考研数学三(微积分)历年真题试卷汇编14(题后含答案及解析)

考研数学三（微积分）历年真题试卷汇编14 (题后含答案及解析)

题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题

选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。

1． (1998年)设函数f(x)=讨论函数f(x)的间断点，其结论为( )

A．不存在间断点。

B．存在间断点x=1。

C．存在间断点x=0。

D．存在间断点x=一1。

正确答案：B

解析：现求f(x)的(分段)表达式：当|x|＞1时，再讨论函数f(x)的性质：在x=一1处， 知识模块：微积分

2． (2004年)设f(x)在(一∞，+∞)内有定义，且=a，g(x)=则( )

A．x=0必是g(x)的第一类间断点。

B．x=0必是g(x)的第二类间断点。

C．x=0必是g(x)的连续点。

D．g(x)在点x=0处的连续性与a的取值有关。

正确答案：D

解析：因为又g(0)=0，故当a=0时，即g(x)在点x=0处连续；当a≠0时，即x=0是g(x)的第一类间断点。因此，g(x)在点x=0处的连续性与a的取值有关，故选D。 知识模块：微积分

3． (2008年)设函数f(x)在区间[一1，1]上连续，则x=0是函数g(x)=的( )

A．跳跃间断点。

B．可去间断点。

C．无穷间断点。

D．振荡间断点。

正确答案：B

解析：由题意可知，所以x=0是函数g(x)的可去间断点。 知识模块：微积分

4． (2009年)函数f(x)=的可去间断点的个数为( )

A．1。

B．2。

C．3。

D．无穷多个。

正确答案：C

解析：由于f(x)=则当x取任何整数时，f(x)均无意义。故f(x)的间断点有无穷多个，但可去间断点为极限存在的点，故应是x—x3=0的解，x=0，±1。故可去间断点为3个，即0，±1。 知识模块：微积分

5． (2013年)函数f(x)=的可去间断点的个数为( )

A．0。

B．1。

C．2。

D．3。

正确答案：C

解析：根据已知所以x=0是可去间断点。所以x=1是可去间断点。所以x=一1是第二类间断点。综上可知，函数f(x)的可去间断点有2个，故应选C。 知识模块：微积分

6． (2017年)若函数f(x)=在x=0处连续，则( )

A．

B．

C．ab=0。

D．ab=2。

正确答案：A

解析： 知识模块：微积分

7． (1998年)设周期函数f(x)在(一∞，+∞)内可导，周期为4。又=一1，则曲线y=f(x)在点(5，f(5))处的切线的斜率为( )

A．

B．0。

C．一1。

D．一2。

正确答案：D

解析：根据导数定义：所以f’(1)=一2。 因为f(x)周期为4，f’(x)的周期也是4，即f’(x)=f’(x+4)，所以 f’(5)=f’(1+4)=f’(1)=-2。 所以曲线y=f(x)在点(5，f(5))处的切线的斜率为f’(5)=f’(1)=一2。选D。 知识模块：微积分

8． (2000年)设函数f(x)在点x=a处可导，则函数|f(x)|在点x=a处不可导的充分条件是( )

A．f(a)=0且f’(a)=0。

B．f(a)=0且f’(a)≠0。

C．f(a)＞0且f’(a)＞0。

D．f(a)＜0且f’(a)＜0。

正确答案：B

解析：选项A：f(x)=x2，满足f(0)=0且f’(0)=0，但|f(x)|=x2在x=0处可导；选项C：f(x)=x+1，满足f(0)=1＞0，f’(0)=1＞0，但|f(x)|=x+1，当x∈(一1，1)，在x=0处可导；选项D：f(x)=一x一1，满足f(0)=一1＜0，f’(0)=一1＜0，但|f(x)|=x+1，当x∈(一1,1)，在x=0处可导。 知识模块：微积分

9． (2003年)设f(x)为不恒等于零的奇函数，且f’(0)存在，则函数g(x)=

A．在x=0处左极限不存在。

B．有跳跃间断点x=0。

C．在x=0处右极限不存在。

D．有可去间断点x0。

正确答案：D

解析：显然x=0为g(x)的无定义点，且由f(x)为不恒等于零的奇函数知，f(0)=0。于是有即f’(0)存在，故x=0为可去间断点。 知识模块：微积分

10． (2006年)设函数y=f(x)具有二阶导数，且f’(x)＞0，f”(x)＞0，△x为自变量x在x0处的增量，△y与dy分别为f(x)在点x0处对应的增量与微分，若△x＞0，则( )

A．0＜dx＜△y。

B．0＜△y＜dy。

C．△y＜dy＜0。

D．dy＜△y＜0。

正确答案：A

解析：因为f’(x)＞0，则f(x)严格单调增加；因为f”(x)＞0，则f(x)是凹函数，又△x＞0，画f(x)=x2的图形如右图所示。 结合图形分析，就可以明显得出结论：0＜dy＜△y。 知识模块：微积分

11． (2006年)设函数f(x)在x=0处连续，且，则( )

A．f(0)=0且f-’(0)存在。

B．f(0)=1且f-’(0)存在。

C．f(0)=0且f+’(0)存在。

D．f(0)=1且f+’(0)存在。

正确答案：C

解析：令t=h2，则所以f+’(0)存在，故本题选C。 知识模块：微积分

12． (2007年)设函数f(x)在x=0连续，则下列命题错误的是( )

A．

B．

C．

D．

正确答案：D

解析：证明A，B，C都正确，从而只有D不正确。由存在及f(x)在x=0处连续，所以所以A正确；由选项A知，f(0)=0，所以存在，根据导数定义，存在，所以C也正确； 由f(x)在x=0处连续，所以f(一x)在x=0处连续，从而即有f(0)=0。所以B正确，故此题选择D。 知识模块：微积分

13． (2011年)已知函数f(x)在x=0处可导，且f(0)=0，则

A．一2f’(0)。

B．一f’(0)。

C．f’(0)。

D．0。

正确答案：B

解析：根据导数的定义，由于f(x)在x=0处可导，因此 故选B。 知识模块：微积分

14． (2012年)设函数f(x)=(ex一1)(e2x一2)…(enx一n)，其中n为正整数，则f’(0)=( )

A．(一1)n-1(n一1)!。

B．(一1)n(n一1)!。

C．(一1)n-1n!。

D．(一1)nn!。

正确答案：A

解析：根据导数的定义因此正确选项是A。 知识模块：微积分

15． (2014年)设函数f(x)具有二阶导数，g(x)=f(0)(1一x)+f(1)x，则在区间[0，1]上( )

A．当f’(x)≥0时，f(x)≥g(x)。

B．当f’(x)≥0时，f(x)≤g(x)。

C．当f”(x)≥0时，f(x)≥g(x)。

D．当f”(x)≥0时，f(x)≤g(x)。

正确答案：D

解析：令F(x)=g(x)一f(x)=f(0)(1一x)+f(1)x一f(x)，则F(0)=F(1)=0，且 F’(x)=一x(0)+f(1)一f’(x)，F”(x)=一f”(x)。若f”(x)≥0，则F”(x)≤0，曲线F(x)在[0，1]上是向上凸的。又F(0)=F(1)=0，所以当x∈[0，1]时，F(x)≥0，从而g(x)≥f(x)，故选D。 知识模块：微积分

填空题

16． (2012年)=________

正确答案：

解析：根据对数恒等式可知，原式 知识模块：微积分

17． (2008年)设函数f(x)=在(一∞，+∞)内连续，则c=______。

正确答案：1

解析：由题设知x≥|x≥0，所以f(x)=又因为f(x)在(一∞，+∞)内连续，f(x)必在x=c处连续，所以=f(c)，即即得c=1。 知识模块：微积分

18． (2003年)设f(x)=其导函数在x=0处连续，则λ的取值范围是______。

正确答案：λ＞2

解析：当λ＞1时，有显然当λ＞2时，有=f’(0)，即其导函数在x=0处连续。 知识模块：微积分

19． (2006年)设函数f(x)在x=2的某邻域内可导，且f’(x)=ef(x)，f(2)=1，则f”(2)=______。

正确答案：2e3

解析：由题干知，f’(x)=ef(x)，两边对x求导得 f”(x)=ef(x)f’(x)=e2f(x)，

f”‘(x)=2e2f(x)f’(x)=2e3f(x)，又f(2)=1，故f”‘(2)=2e3f(x)=2e3。 知识模块：微积分

20． (2007年)设函数则y(n)(0)=_______。

正确答案：

解析： 知识模块：微积分

21． (2010年)设可导函数y=y(x)由方程=∫0xxsint2dt确定，则=______

正确答案：一1

解析：由=x∫0xsin2tdt，令x=0，则y=0。等式两端同时对x求导，得=∫0xsint2dt+xsinx2将x=0，y=0代入上式，得 知识模块：微积分

22． (2011年)设f(x)=则f’(x)=________。

正确答案：e3x(1+3x)

解析：由于f(x)=因此有 f’(x)=e3x+x.e3x.3=e3x(1+3x)。 知识模块：微积分

23． (2012年)设函数f(x)==______。