河南省安阳市2024届高一数学第二学期期末学业水平测试试题含解析
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河南省安阳市2024届高一数学第二学期期末学业水平测试试题
注意事项
1．考生要认真填写考场号和座位序号。
2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B
铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。
3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1．在ABC中，角,,ABC的对边分别为,,abc，若111tantantanABC，则2223abc的最小值是（ ）
A．5 B．8 C．7 D．6
2．在边长为1的正方体1111ABCDABCD中，E，F，G分别是棱AB，BC，1CC的中点，P是底面ABCD内一动点，若直线1DP与平面EFG没有公共点，则三角形1PBB面积的最小值为（ ）
A．1 B．12 C．22 D．24
3．已知3,0,0,3,cos,sinABC，若·1ACBC，则sin4等于()
A．23 B．1 C．2 D．63
4．如图所示的图形是弧三角形，又叫莱洛三角形，它是分别以等边三角形的三个顶点为圆心，以边长为半径画弧得到的封闭图形.在此图形内随机取一点，则此点取自等边三角形内的概率是( )
A． B． C． D．
5．设变量x，y满足约束条件4,{4,2,yxyxy则目标函数2zxy的最小值为（ ）
A．4 B．-5 C．-6 D．-8 6．根据如下样本数据
x
3
4
5
6
7
8
y
4.0
2.5
0.5
0.5
2.0
3.0
可得到的回归方程为ybxa,则（ ）
A．0,0ab B．0,0ab C．0,0ab D．0,0ab
7．若2a，2b，且aba，则a与b的夹角是（ ）
A．6 B．4 C．3 D．2
8．已知圆锥的底面半径为1，母线与底面所成的角为3，则此圆锥的侧面积为（
）
A．23 B．2 C．3 D．
9．设集合22(,)|(4)1Axyxy，22(,)|()(2)1Bxyxtyat，若存在实数t，使得AB，则实数a的取值范围是（ ）
A．(0,1] B．41,3 C．40,3 D．[0,2]
10．已知2,1a，1,1b，则a在b方向上的投影为（ ）
A．22 B．22 C．55 D．55
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11．在四面体ABCD中，AD平面ABC，2ABAC，90BAC，若四面体ABCD的外接球的表面积为16，则四面体ABCD的体积为_______．
12．51()(2)axxxx展开式中，各项系数之和为4，则展开式中的常数项为__________．
13．已知向量(3,1)a，(,1)bx，且a与b垂直，则x的值为______.
14．将一个圆锥截成圆台，已知截得的圆台的上、下底面面积之比是1:4，截去的小圆锥母线长为2，则截得的圆台的母线长为________.
15．已知无穷等比数列na的首项为1，公比为12，则其各项的和为__________．
16．数列{}na的前n项和为nS，若数列{}na的各项按如下规律排列：12，13，23，14，24，34，15，25，35，45，…，1n，2n， …，1nn，…有如下运算和结论：①2438a；②数列1a，23aa，456aaa，78910aaaa，…是等比数列；③数列1a，23aa，456aaa，78910aaaa，…的前n项和为24nnnT；④若存在正整数k，使10kS，110kS，则57ka．其中正确的结论是_____．（将你认为正确的结论序号都填上）
三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．若nS是各项均为正数的数列na的前n项和，且22210nnSnSn．
（1）求1a，2a的值；
（2）设11nnnbaa，求数列nb的前n项和nT．
18．设nS是正项等比数列na的前n项和，已知13a，5423aS
（1）求数列na的通项公式;
（2）令21nnbna，求数列nb的前n项和nT.
19．已知函数sin()fxAx（0,0,A）的一段图象如图所示.
（1）求函数fx的解析式；
（2）若3,84x，求函数fx的值域.
20．已知向量sin,2a，5,cosb，且ab.
（1）求tan的值； （2）求23sincossin2cos22sincoscos22的值.
21．APEC是亚太区域国家与地区加强多边经济联系、交流与合作的重要组织，其宗旨和目标是“相互依存、共同利益，坚持开放性多边贸易体制和减少区域间贸易壁垒.”2017年APEC会议于11月10日至11日在越南岘港举行.某研究机构为了了解各年龄层对APEC会议的关注程度，随机选取了100名年龄在[20,45]内的市民进行了调查，并将结果绘制成如图所示的频率分布直方图（分组区间分别为[20,25)，[25,30)，[30,35)，[35,40)，[40,45]）.
（1）求选取的市民年龄在[30,35)内的人数；
（2）若从第3，4组用分层抽样的方法选取5名市民进行座谈，再从中选取2人参与APEC会议的宣传活动，求参与宣传活动的市民中至少有一人的年龄在[35,40)内的概率.
参考答案
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1、D
【解题分析】 先化简条件中的等式，利用余弦定理整理得到等式，然后根据等式利用基本不等式求解最小值.
【题目详解】
由111tantantanABC，得cossinsincossincossinsinsinsinsinABABCCABABC，
化简整理得2223abc，2222222333323abccccc，
即22236abc，当且仅当2233cc，即1c时，取等号．故选D．
【题目点拨】
本题考查正、余弦定理在边角化简中的应用，难度一般.对于利用基本不等求最值的时候，一定要注意取到等号的条件.
2、D
【解题分析】
根据直线1DP与平面EFG没有公共点可知1DP∥平面EFG.将截面EFG补全后,可确定点P的位置,进而求得三角形1PBB面积的最小值.
【题目详解】
由题意E,F,G分别是棱AB,BC,1CC的中点,补全截面EFG为EFGHQR,如下图所示:
因为直线1DP与平面EFG没有公共点
所以1DP∥平面EFG,即1DP∥平面EFGHQR,平面EFG∥平面EFGHQR
此时P位于底面对角线AC上,且当P与底面中心O重合时,BP取得最小值
此时三角形1PBB的面积最小
11112212224PBBSOBBB
故选:D
【题目点拨】
本题考查了直线与平面平行、平面与平面平行的性质与应用,过定点截面的作法,属于难题.
3、A
【解题分析】
首先根据1ACBC⇒（cosα﹣3）cosα+sinα（sinα﹣3）＝﹣1，并化简得出2αα3sincos，再化为Asin(ωxφ)形式即可得结果.
【题目详解】
由1ACBC
得：（cosα﹣3）cosα+sinα（sinα﹣3）＝﹣1，
化简得2αα3sincos，即2sin(α4)=2 3,
则sin(α4)=2 3
故选A.
【题目点拨】
本题考查了三角函数的化简求值以及向量的数量积的运算，属于基础题．
4、D
【解题分析】
求出以为圆心，以边长为半径，圆心角为的扇形的面积，根据图形的性质，可知它的3倍减去2倍的等边三角形的面积就是莱洛三角形的面积，运用几何概型公式，求出概率.
【题目详解】
设等边三角形的边长为，设以为圆心，以边长为半径，圆心角为的扇形的面积为，则，， 莱洛三角形面积为，则, 在此图形内随机取一点，则此点取自等边三角形内的概率为,
,故本题选D.
【题目点拨】
本题考查了几何概型.解决本题的关键是正确求出莱洛三角形的面积.考查了运算能力.
5、D
【解题分析】
绘制不等式组所表示的平面区域，结合目标函数的几何意义可知，目标函数在点0,4A处取得最小值28zxy.
本题选择D选项.
6、A
【解题分析】 试题分析：依据样本数据描点连线可知图像为递减且在轴上的截距大于0，所以．
考点：1．散点图；2．线性回归方程；
7、B
【解题分析】
根据相互垂直的向量数量积为零，求出a与b的夹角.
【题目详解】
由题有20abaaba，
即22baa，
故2cos2cos2baab，
因为0,，所以4.
故选：B.
【题目点拨】
本题考查了向量的数量积运算，向量夹角的求解，属于基础题.
8、B
【解题分析】
首先计算出母线长，再利用圆锥的侧面积Srl（其中r为底面圆的半径，l为母线长），即可得到答案．
【题目详解】
由于圆锥的底面半径1r，母线与底面所成的角为3，
所以母线长121cos32rl ，故圆锥的侧面积=2Srl；
故答案选B
【题目点拨】
本题考查圆锥母线和侧面积的计算，解题关键是熟练掌握圆锥的侧面积的计算公式，即Srl（其中r为底面圆的半径，l为母线长），属于基础题
9、C
