高二下学期期末数学试题(含答案)

1 第二学期教学质量监测试卷

高二数学

本试卷共4页，22小题，满分150分．考试用时120分钟．

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．在复平面内，复数213i22所对应的点位于

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

2．下列命题中的假命题是

A．,lg0xxR B．,sin1xxR

C．2,0xxR D．,20xxR

3．设()lnfxxx,若0'()2fx,则0x

A.2e B.e C.ln22 D.ln2

4．已知A是B的充分不必要条件，C是B是必要不充分条件，A是D的充分不必要条件，则C是D的

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

5．已知2~(,)ZN，则()PZ=0.6826，(22)PZ=0.9544．若

(),~51XN，则(67)PX等于

A．0.3413 B．0.4772 C．0.1359 D．0.8185

6．在四面体OABC中，OAauurr，OBbuuurr，OCcuuurr，点M在OA上，且2OMMA,点N是BC的中点，则MNuuur

A．211322abcrrr B．121232abcrrr

C．111222abcrrr D．221332abcrrr

7．直线3,,022xxy及曲线cosyx所围成图形的面积是 2 A．2 B．3 C． D．2

8．从5名男生和4名女生中选出4人去参加辩论比赛，4人中既有男生又有女生的不同选法共有

A．80种 B．100种 C．120种 D．126种

9．抛物线22ypx的焦点为F，M为抛物线上一点，若OFM的外接圆与抛物线的准线相切（O为坐标原点），且外接圆的面积为9，则p

A．2 B．4 C．6 D．8

10．以下命题正确的个数为

(1)存在无数个,R，使得等式sincoscossin)sin(成立；

(2)在ABC中，“6A”是“1sin2A”的充要条件；

(3)命题“在ABC中，若sinsinAB,则AB”的逆否命题是真命题；

(4)命题“若6，则21sin”的否命题是“若6，则21sin”．

A．1 B．2 C．3 D．4

11．如图，已知椭圆221:110xCy，双曲线22222:1(0,0)xyCabab，若以1C的长轴为直径的圆与2C的一条渐近线交于,AB两点，且1C与该渐近线的两交点将线段AB三等分，则2C的离心率为

A．9 B．5 C．5 D．3

12．已知函数)(xf的导函数为()fx，且()()fxfx对任意的xR恒成立，则下列不等式均成立的是

A．(1)(0)fef，2(2)(0)fef B．(1)(0)fef，2(2)(0)fef

C．(1)(0)fef，2(2)(0)fef D．(1)(0)fef，2(2)(0)fef

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分．

13．若双曲线2221(0)3xyaa的一个焦点恰好与抛物线28yx的焦点重合，则双曲线的渐近

线方程为 ．

14．代数式11111中省略号“…”代表以此方式无限重复，因原式是一个固定值，可以用如下方法求得：令原式t,则11tt，则210tt，取正值得512t，用类似方法可得666 ． 3 15．用总长为24m的钢条制作一个长方体容器的框架,若所制作容器底面为正方形,则这个容器体积的最大值为 ．

16．在642xxy的展开式中，记mnxy项的系数为,fmn，则3,45,3ff＝ ．(用数字作答)

三、解答题：本大题共6小题，满分70分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．

17.（本小题满分10分）

已知数列na中，1112,2(1,2,3...)nnaana．

（Ⅰ）求234,,aaa的值，猜想出数列的通项公式na；

（Ⅱ）用数学归纳法证明你的猜想．

18.（本小题满分12分）

已知函数()(,)bfxaxabxR的图象过点))1(,1(fP，且在点P处的切线方程为38yx．

（Ⅰ）求ba,的值；

（Ⅱ）求函数)(xf的极值．

19.（本小题满分12分）

如图四边形ABCD为边长为2的菱形，G为AC与BD交点，平面BED平面ABCD，2,22BEAE．

（Ⅰ）证明：BE平面ABCD ；

（Ⅱ）若120ABC，求直线EG与平面EDC所成角的正弦值．

20.（本小题满分12分）

某经销商从沿海城市水产养殖厂购进一批某海鱼，随机抽取50条作为样本进行统计，按海鱼重量（克）得到如下的频率分布直方图： 第19题图DAGBCE 4

（Ⅰ）若经销商购进这批海鱼100千克，试估计这批海鱼有多少条（同一组中的数据用该区间的中点值作代表）；

（Ⅱ）根据市场行情，该海鱼按重量可分为三个等级，如下表：

等级

一等品

二等品

三等品

重量（g）

165,185 [155,165) [145,155)

若经销商以这50条海鱼的样本数据来估计这批海鱼的总体数据，视频率为概率．现从这批海鱼中随机抽取3条，记抽到二等品的条数为X，求X的分布列和数学期望．

21.（本小题满分12分）

已知椭圆C：22221(0)xyabab的离心率为63，且经过点1,3M．

（Ⅰ）求椭圆C的方程；

（Ⅱ）若直线02:yxl与椭圆C交于,AB两点，点P为椭圆C上一动点，当△PAB的面积最大时，求点P的坐标及△PAB的最大面积．

22.（本小题满分12分）

已知函数21()ln(1)2fxaxxx，其中a为实数．

（Ⅰ）讨论函数()fx的单调性；

（Ⅱ）若函数()fx有两个极值点12,xx，且12xx，求证：212()0fxx． 5

高二（下）期末数学试卷

参考答案与试题解析

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．在复平面内，复数（+i）2所对应的点位于（ ）

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

【考点】A5：复数代数形式的乘除运算；A4：复数的代数表示法及其几何意义．

【专题】38 ：对应思想；4R：转化法；5N ：数系的扩充和复数．

【分析】利用复数的运算法则、几何意义即可得出．

【解答】解：复数（+i）2=+i=+i对应的点（，）位于第二象限．

故选：B．

【点评】本题考查了复数的运算法则、几何意义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．

2．下列命题中的假命题是（ ）

A．∃x∈R，lgx＞0 B．∃x∈R，sinx=1 C．∀x∈R，x2＞0 D．∀x∈R，2x＞0

【考点】2I：特称命题；2H：全称命题．

【专题】35 ：转化思想；4R：转化法；5L ：简易逻辑．

【分析】根据对数函数，正弦函数及指数函数的性质，分别判断，A，B，D为真命题，由当x=0时，x2=0，故C为假命题．

【解答】解：对于A：当x＞1时，lgx＞0，故∃x∈R，lgx＞0为真命题；

对于B：当x=2kπ+，k∈Z时，sinx=1，则∃x∈R，sinx=1，为真命题；

对于C：当x=0时，x2=0，故∀x∈R，x2＞0，为假命题，

对于D，由指数函数的性质可知：∀x∈R，2x＞0，故为真命题，

故选：C．

【点评】本题考查逻辑语言与指数数、二次函数、对数函数、正弦函数的性质，属容易题．

6 3．（5分）（2008•海南）设f（x）=xlnx，若f′（x0）=2，则x0=（ ）

A．e2 B．e C． D．ln2

【考点】65：导数的乘法与除法法则．

【分析】利用乘积的运算法则求出函数的导数，求出f'（x0）=2解方程即可．

【解答】解：∵f（x）=xlnx

∴

∵f′（x0）=2

∴lnx0+1=2

∴x0=e，

故选B．

【点评】本题考查两个函数积的导数及简单应用．导数及应用是高考中的常考内容，要认真掌握，并确保得分．

4．已知A是B的充分不必要条件，C是B是必要不充分条件，￢A是D的充分不必要条件，则C是￢D的（ ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

【考点】2L：必要条件、充分条件与充要条件的判断．

【专题】38 ：对应思想；4O：定义法；5L ：简易逻辑．

【分析】根据充分条件和必要条件的递推关系进行递推即可．

【解答】解：∵￢A是D的充分不必要条件，

∴￢D是A的充分不必要条件，则￢D⇒A

∵C是B是必要不充分条件，

∴B是C是充分不必要条件，B⇒C

∵A是B的充分不必要条件，

∴A⇒B，则￢D⇒A⇒B⇒C，反之不成立，

即C是￢D的必要不充分条件，

故选：B

【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据充分条件和必要条件的定义进行递推是解决本题 7 的关键．

5．已知Z～N（μ，σ2），则P（μ﹣σ＜Z＜μ+σ）=0.6826，P（μ﹣2σ＜Z＜μ+2σ）=0.9544．若X～N（5，1），则P（6＜X＜7）等于（ ）

A．0.3413 B．0.4772 C．0.1359 D．0.8185

【考点】CP：正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义．

【专题】38 ：对应思想；49 ：综合法；5I ：概率与统计．

【分析】计算P（4＜X＜6），P（3＜X＜7），于是P（6＜X＜7）=（P（3＜X＜7）﹣P（4＜X＜6））．

【解答】解：P（4＜X＜6）=0.6826，

P（3＜X＜7）=0.9544，

∴P（6＜X＜7）=（0.9544﹣0.6826）=0.1359．

故选C．

【点评】本题考查了正态分布的对称性特点，属于基础题．

6．如图，空间四边形OABC中，=，=，=，点M在线段OA上，且OM=2MA，点N为BC的中点，则=（ ）

A．﹣++ B．﹣+ C．+﹣ D．+﹣

【考点】M3：空间向量的加减法．

【专题】5H ：空间向量及应用．

【分析】由题意，把，，三个向量看作是基向量，由图形根据向量的线性运算，将用三个基向量表示出来，即可得到答案，选出正确选项．

【解答】解：=，