分式不等式公式

−
f
(x)
>
g ( x)；
f (x) > g(x) ⇔ f (x) > g(x) 或 f (x) < −g(x) .
③ f (x) > g(x) ⇔ [ f (x)]2 > [g(x)]2 .
④形如 x − a + x − b < c 的不等式可利用零点分段讨论求解.
2.重要不等式
（1） a2 + b22ab .其中 a,b ∈ R ，当且仅当 a = b 时等号成立.
-8-
（2）基本不等式： a + b ab .其中 a,b > 0 ，当且仅当 a = b 时等号成立. 2
（3） 2 ab a + b a2 + b2 . 其中 a,b > 0 ，当且仅当 a = b 时等
1+1
2
2
ab
号成立.
（4） 4ab(a + b)22(a2 + b2 ). 其中 a,b ∈ R ，当且仅当 a = b 时等号成
（3）绝对值不等式的解法
①
f (x)
<
g(x)
⇔
f f
(x)0，
或
(x) < g(x)，
f −
(x) < 0， f (x) < g(x)；
f (x) < g(x) ⇔ −g(x) < f (x) < g(x).
f (x)0， f (x) < 0，
②
f (x)
>
g(x)
⇔
f
(x)
>
或
g ( x)，
6. A ⊆ B, B ⊆ A ⇔ A =B . 7.空集是任何集合的子集，即 φ ⊆ A （A 为任意集合）；空集是任何非空集合

上海高考数学常用公式1、德摩根公式：();()U U U U U U C A B C A C B C A B C A C B ==I U U I .2、包含关系：U U A B A A B B A B C B C A =⇔=⇔⊆⇔⊆I U U A C B ⇔=ΦI U C A B R ⇔=U3、集合12{,,,}n a a a L 的子集个数共有2n 个；真子集有21n -个；非空子集有21n -个；非空的真子集有22n -个4、二次函数的解析式的三种形式：① 一般式2()(0)f x ax bx c a =++≠；② 顶点式2()()(0)f x a x h k a =-+≠；③ 零点式12()()()(0)f x a x x x x a =--≠5、闭区间上的二次函数的最值二次函数)0()(2≠++=a c bx ax x f 在闭区间[]q p ,上的最值只能在abx 2-=处及区间的两端点处取得，具体如下：（1）当a>0时，若[]q p a bx ,2∈-=，则{}min max max ()(),()(),()2b f x f f x f p f q a=-=； []q p abx ,2∉-=，{}max max ()(),()f x f p f q =，{min min ()(),()f x f p f q = （2）当a<0时，若[]q p abx ,2∈-=，则{}min ()min (),()f x f p f q =，若[]q p abx ,2∉-=，则{}max ()max (),()f x f p f q =，{}min ()min (),()f x f p f q =6、定区间上含参数的不等式恒成立(或有解)的条件依据（1）在给定区间),(+∞-∞的子区间L （形如[]βα,，(]β,∞-，[)+∞,α不同）上含参数的不等式()f x t ≥(t 为参数)恒成立的充要条件是min (),(f x t x L ≥∈（2）在给定区间),(+∞-∞的子区间L 上含参数的不等式()f x t ≤(t 为参数)恒成立的充要条件是max (),()f x t x L ≤∈（3）在给定区间),(+∞-∞的子区间L 上含参数的不等式()f x t ≥(t 为参数)的有解充要条件是max (),()f x t x L ≥∈（4）在给定区间),(+∞-∞的子区间L 上含参数的不等式()f x t ≤(t 为参数)有解的充要条件是min (),()f x t x L ≤∈7、常见结论的否定形式914、对于函数)(x f y =(R x ∈),)()(x b f a x f -=+恒成立,则函数)(x f 的对称轴是2ba x +=;两个函数 )(a x f y +=与)(x b f y -= 的图象关于直线2ba x +=对称 15、若)()(a x f x f +--=,则函数)(x f y =的图象关于点)0,2(a对称;若)()(a x f x f +-=,则函数)(x f y =为周期为a 2的周期函数 16、函数()y f x =的图像的对称性：① 函数()y f x =的图像关于直线x a =对称()()f a x f a x ⇔+=-(2)()f a x f x ⇔-=.② 函数()y f x =的图像关于直线2a bx +=对称()()f a mx f b mx ⇔+=-()()f a b mx f mx ⇔+-=. 17、两个函数图像的对称性：① 函数()y f x =与函数()y f x =-的图像关于直线0x =(即y 轴)对称； ② 函数()y f mx a =-与函数()y f b mx =-的图像关于直线2a bx m+=对称； ③ 函数)(x f y =和)(1x f y -=的图像关于直线x y =对称.18、分数指数幂： ①m na=（0,,a m n N *>∈，且1n >）；② 1mnm naa-=（0,,a m n N *>∈，且1n >）19、指数式与对数式的互化式：log (0,1,0)b a N b a N a a N =⇔=>≠>.20、对数的换底公式：log log log m a m NN a= (0a >,且1a ≠,0m >,且1m ≠, 0N >)对数恒等式：log a NaN =(0a >,且1a ≠, 0N >)推论：log log m n a a nb b m=(0a >,且1a ≠, 0N >) 21、对数的四则运算法则：若0>a ，1≠a ，0>M ，0>N ，则（1）log ()log log a a a MN M N =+；（2）log log log a a a MM N N=-；（3）log log ()n a a M n M n R =∈； （4）log log (,)m na a n N N n m R m=∈22、数列的通项公式与前n 项的和的关系：11,1,2n n n s n a s s n -=⎧=⎨-≥⎩（数列{}n a 的前n 项的和为12n n s a a a =+++L ）23、等差数列的通项公式：*11(1)()n a a n d dn a d n N =+-=+-∈；其前n 项和公式：1()2n n n a a s +=1(1)2n n na d -=+211()22d n a d n =+-. 24、等比数列的通项公式：1*11()n n n a a a q q n N q-==⋅∈；其前n 项的和公式为：11(1),11,1n n a q q s q na q ⎧-≠⎪=-⎨⎪=⎩或11,11,1n n a a qq q s na q -⎧≠⎪-=⎨⎪=⎩25、特殊数列的极限（1）01lim=∞→nn （2）0||1lim 11||11nn q q q q q →∞<⎧⎪==⎨⎪<=-⎩不存在或.（3）1101100()lim ()()k k k k tt t n t t kk t a n a n a a k t b n b n b b k t ---→∞-⎧<⎪+++⎪==⎨+++⎪⎪>⎩L L 不存在 .（4）()111lim11nn a q a S qq→∞-==--（S 无穷等比数列}{11n a q - (||1q <)的和）26、数列极限的四则运算法则 若lim ,lim n n n n a a b b →∞→∞==，则（1）()lim n n n a b a b →∞±=±；（2）()lim n n n a b a b →∞⋅=⋅；（3）()lim0n n na ab b b →∞=≠（4）()lim lim lim n n n n n c a c a c a →∞→∞→∞⋅=⋅=⋅( c 是常数)27、同角三角函数的基本关系式：22sin cos 1θθ+=，tan θ=θθcos sin ，tan 1cot θθ⋅=.28、正弦、余弦的诱导公式（奇变偶不变，符号看象限）212(1)sin ,sin()2(1)s ,nn n co απαα-⎧-⎪+=⎨⎪-⎩⎪⎩⎪⎨⎧--=++αααπsin )1(cos )1()2cos(212n nn29、和角与差角公式sin()sin cos cos sin αβαβαβ±=±；cos()cos cos sin sin αβαβαβ±=mtan tan tan()1tan tan αβαβαβ±±=msin cos a b αα+=)αϕ+(辅助角ϕ所在象限由点(,)a b 的象限决定,tan b aϕ=) 30、二倍角公及降幂公式ααααα2tan 1tan 2cos sin 22sin +==； ααααααα222222tan 1tan 1sin 211cos 2sin cos 2cos +-=-=-=-= 22tan tan 21tan ααα=-. 221cos 21cos 2sin ,cos 22αααα-+==31、三角函数的周期公式函数sin()y x ωϕ=+，x ∈R 及函数cos()y x ωϕ=+，x ∈R(A,ω,ϕ为常数，且A ≠0)的周期2||T πω=； 函数tan()y x ωϕ=+，,2x k k Z ππ≠+∈(A,ω,ϕ为常数，且A ≠0)的周期||T πω=32、正弦定理：2sin sin sin a b cR A B C===（R 为ABC ∆外接圆的半径）2sin ,2sin ,2sin a R A b R B c R C ⇔===::sin :sin :sin a b c A B C ⇔=33、余弦定理：2222cos a b c bc A =+-；2222cos b c a ca B =+-；2222cos c a b ab C =+-34、面积定理（1）111222a b c S ah bh ch ===（a b c h h h 、、分别表示a 、b 、c 边上的高） （2）111sin sin sin 222S ab C bc A ca B ===35、三角形内角和定理：在△ABC 中，有()222C A BA B C C A B πππ+++=⇔=-+⇔=-222()C A B π⇔=-+ 36、平面两点间的距离公式,A B d =||AB =u u u r =11(,)x y ，B 22(,)x y )37、向量的平行与垂直：设a r=11(,)x y ,b r =22(,)x y ，且b r ≠0r ，则a r ||b r ⇔b r =λa r12210x y x y ⇔-= a r ⊥b r (a r ≠0r )⇔ a r ·b r=012120x x y y ⇔+=38、三角形的重心坐标公式：△ABC 三个顶点的坐标分别为11A(x ,y )、22B(x ,y )、33C(x ,y ),则△ABC 的重心的坐标是123123(,)33x x x y y y G ++++ 39、常用不等式：（1）,a b R ∈⇒222a b ab +≥(当且仅当a ＝b 时取“=”号)（2）,a b R +∈⇒2a b+≥(当且仅当a ＝b 时取“=”号) （3）b a b a b a +≤+≤-40、极值定理:已知y x ,都是正数，则有（1）若积xy 是定值p ，则当y x =时和y x +有最小值p 2； （2）若和y x +是定值s ，则当y x =时积xy 有最大值41s （3）已知,,,a b x y R +∈，若1ax by +=，则有1111()()by ax ax by a b a b x y x y x y+=++=+++≥++=（4）已知,,,a b x y R +∈，若1a bx y+=，则有2()()a b ay bxx y x y a b a b x y x y+=++=+++≥++=41、一元二次不等式20(0)ax bx c ++><或2(0,40)a b ac ≠∆=->，如果a 与2ax bx c ++同号，则其解集在两根之外；如果a 与2ax bx c ++异号，则其解集在两根之间.简言之：同号两根之外，异号两根之间.121212()()0()x x x x x x x x x <<⇔--<<； 121212,()()0()x x x x x x x x x x <>⇔--><或.42、含有绝对值的不等式：当a> 0时，有22x a x a a x a <⇔<⇔-<<.22x a x a x a >⇔>⇔>或x a <-.43、分式不等式⎩⎨⎧≠≥⋅⇔≥0)(0)()(0)()(x g x g x f x g x f ⎩⎨⎧≠≤⋅⇔≤0)(0)()(0)()(x g x g x f x g x f44、无理不等式： （1()0()0()()f x g x f x g x ≥⎧⎪⇔≥⎨⎪>⎩（22()0()0()()0()0()[()]f x f x g x g x g x f x g x ≥⎧≥⎧⎪⇔≥⎨⎨<⎩⎪>⎩或 （32()0()()0()[()]f x g x g x f x g x ≥⎧⎪⇔>⎨⎪<⎩45、指数不等式与对数不等式： （1）当1a >时()()()()f x g x a a f x g x >⇔>；()0log ()log ()()0()()a a f x f x g x g x f x g x >⎧⎪>⇔>⎨⎪>⎩.（2）当01a <<时()()()()f x g x a a f x g x >⇔<；()0log ()log ()()0()()a a f x f x g x g x f x g x >⎧⎪>⇔>⎨⎪<⎩46、斜率公式 2121y y k x x -=-（111(,)P x y 、222(,)P x y ）.47、直线的四种方程（1）点斜式：)(00x x k y y -=-（直线l 过点),(000y x P ，且斜率为k ） （2）斜截式：y kx b =+(b 为直线l 在y 轴上的截距).（3）两点式：112121y y x x y y x x --=--(12y y ≠)(111(,)P x y 、222(,)P x y (12x x ≠)).（4）点方向式：vy y u x x 00-=- （5）点法向式：0)()(00=-+-y y b x x a（6）一般式：0Ax By C ++=（其中A 、B 不同时为0）48、两条直线的平行和垂直（1）若111:l y k x b =+，222:l y k x b =+①121212||,l l k k b b ⇔=≠；②12121l l k k ⊥⇔=-（2）若1111:0l A x B y C ++=，2222:0l A x B y C ++=,且A 1、A 2、B 1、B 2都不为零, ①11112222A B C l l A B C ⇔=≠P ；②1212120l l A A B B ⊥⇔+=；49、夹角公式：222221212121cos B A B A B B A A +++=α（1111:0l A x B y C ++=，2222:0l A x B y C ++=，12120A A B B +≠）直线12l l ⊥时，直线l 1与l 2的夹角是2π50、点到直线的距离：d =（点00(,)P x y ,直线l ：0Ax By C ++=）51、两条平行线之间的距离：2221BA C C d +-=（两条直线0:11=++C By Ax l ，0:22=++C By Ax l ）52、圆的三种方程（1）圆的标准方程：222()()x a y b r -+-=（2）圆的一般方程：220x y Dx Ey F ++++=(224D E F +-＞0)（3）圆的参数方程：cos sin x a r y b r θθ=+⎧⎨=+⎩53、点与圆的位置关系：点00(,)P x y 与圆222)()(r b y a x =-+-的位置关系有三种若d =d r >⇔点P 在圆外；d r =⇔点P 在圆上；d r <⇔点P 在圆内54、直线与圆的位置关系直线0=++C By Ax 与圆222)()(r b y a x =-+-的位置关系有三种：0<∆⇔⇔>相离r d ；0=∆⇔⇔=相切r d ；0>∆⇔⇔<相交r d 55、椭圆的标准方程：22221(0)x y a b a b +=>>椭圆的参数方程是cos sin x a y b θθ=⎧⎨=⎩56、椭圆的内外部（1）点00(,)P x y 在椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的内部2200221x y a b ⇔+< （2）点00(,)P x y 在椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的外部2200221x y a b ⇔+> 57、双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>58、双曲线的内外部（1）点00(,)P x y 在双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的内部220022x y a b⇔->（2）点00(,)P x y 在双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的外部2200221x y a b⇔-<59、双曲线的方程与渐近线方程的关系（1）若双曲线方程为12222=-b y a x ⇒渐近线方程：22220x y a b -=⇔x aby ±=（2）若渐近线方程为x aby ±=⇔0=±b y a x ⇒双曲线可设为λ=-2222b y a x（3）若双曲线与12222=-b y a x 有公共渐近线，可设为λ=-2222by a x（0>λ，焦点在x 轴上，0<λ，焦点在y 轴上）60、椭圆的焦点三角形面积公式：2tan221θb S F PF =∆双曲线的焦点三角形面积公式：2cot 221θb S F PF =∆（其中点P 为椭圆或双曲线上的一点，θ=∠21PF F ）61、抛物线px y 22=的焦半径公式 抛物线22(0)y px p =>焦半径02CF x = 过焦点弦长p x x px p x CD ++=+++=212122 62、抛物线px y 22=上的动点可设为P ),2(2οοy py 或或)2,2(2pt pt P P (,)x y o o ，其中 22y px =oo .63、直线与圆锥曲线相交的弦长公式：AB =21222121111y y ka k x x k AB -+=∆+=-+= （弦端点A ),(),,(2211y x B y x ，由方程⎩⎨⎧=+=0)y ,x (F b kx y 消去y 得到02=++c bx ax ，0∆>,α为直线AB 的倾斜角，k 为直线的斜率）64、圆锥曲线的两类对称问题：（1）曲线(,)0F x y =关于点00(,)P x y 成中心对称的曲线是00(2-,2)0F x x y y -=. （2）曲线(,)0F x y =关于直线0Ax By C ++=成轴对称的曲线是22222()2()(,)0A Ax By C B Ax By C F x y A B A B++++--=++. 特别地，曲线(,)0F x y =关于原点O 成中心对称的曲线是(,)F x y --=曲线(,)0F x y =关于直线x 轴对称的曲线是(,)F x y -= 曲线(,)0F x y =关于直线y 轴对称的曲线是(,)F x y -= 曲线(,)0F x y =关于直线y x =轴对称的曲线是(,)F y x = 曲线(,)0F x y =关于直线y x =-轴对称的曲线是(,)F y x --=65、“四线”一方程：对于一般的二次曲线220Ax Bxy Cy Dx Ey F +++++=，用0x x 代2x ，用0y y 代2y ，用002x y xy +代xy ，用02x x +代x ，用02y y+代y 即得方程0000000222x y xy x x y yAx x B Cy y D E F ++++⋅++⋅+⋅+=，曲线的切线，切点弦，中点弦，弦中点方程均是此方程得到66、球的半径是R ，则其体积是343V R π=,其表面积是24S R π= 67、柱体、锥体的体积13V Sh =柱体（S 是柱体的底面积、h 是柱体的高）13V Sh =锥体（S 是锥体的底面积、h 是锥体的高）68、求夹角是不可缺少的重要题型之一，要牢记各类角的范围，倾斜角的取值范围是：01800<≤α；两条异面直线所成的角的范围：00090α<≤；直线与平面所成角的范围：00090α≤≤；二面角的平面角的取值范围：000180α≤≤。

基本不等式变形公式在我们学习数学的道路上，基本不等式变形公式就像是一把神奇的钥匙，能帮助我们打开许多难题的大门。

先来瞧瞧基本不等式的常见形式：对于非负实数 a 和 b，有$\sqrt{ab} \leq \frac{a + b}{2}$ ，当且仅当 a = b 时，等号成立。

从这个简单又重要的式子出发，能衍生出好多有趣且实用的变形公式。

比如说，我们把基本不等式两边同时平方，就能得到 $ab \leq(\frac{a + b}{2})^2$ 。

这一变形在解决一些求最值的问题时，常常能发挥意想不到的作用。

我记得之前有个学生，叫小明，在做一道数学题的时候就被基本不等式变形公式给难住了。

那道题是这样的：已知 x > 0，y > 0，且 x +2y = 8，求xy 的最大值。

小明一开始毫无头绪，眉毛都快拧成麻花啦。

我就引导他，让他想想基本不等式变形公式。

他恍然大悟，把 x + 2y = 8 变形为 x = 8 - 2y，然后代入到 xy 中，得到一个关于 y 的二次函数。

再利用我们的变形公式 $ab \leq (\frac{a + b}{2})^2$ ，求出 xy 的最大值。

当他算出答案的那一刻，脸上绽放出了像花儿一样灿烂的笑容，我心里也别提多有成就感啦！还有一种常见的变形是：$a + b \geq 2\sqrt{ab}$ ，这个变形在证明不等式或者求取值范围的时候经常会用到。

咱们再来说说另一个变形：$\frac{2}{\frac{1}{a} + \frac{1}{b}} \leq \sqrt{ab}$ 。

这个变形看起来有点复杂，但在处理一些涉及到分式的问题时，它可是能大显身手的。

比如说，在解决一个关于两个正数的平均速度问题时，就可以巧妙地运用这个变形公式。

假设一段路程，甲用时间 a 走完，乙用时间 b 走完，求他们速度的平均大小关系，这时候这个变形公式就能派上用场啦。

总之，基本不等式变形公式虽然看起来有点“调皮”，不好捉摸，但只要我们多做练习，多思考，就能把它们驯服，让它们成为我们解题的得力助手。

高中数学必修五公式声明：本文非原创，由于界面阅读感不好而本人进行重新排版。

第一章 三角函数一．正弦定理：2(sin sin sin a b cR R A B C===为三角形外接圆半径） 变形：2sin (sin )22sin (sin )22sin (sin )2a a R A A R b b R B B R c c R C C R ⎧==⎪⎪⎪==⎨⎪⎪==⎪⎩推论：::sin :sin :sin a b c A B C =二．余弦定理：三．三角形面积公式：111sin sin sin ,222ABC S bc A ac B ab C ∆===第二章 数列一．等差数列： 1.定义：a n+1-a n =d (常数)2.通项公式：()d n a a n ∙-+=11或()d m n a a m n ∙-+=3.求和公式:()()d n n n n a a a S n n 21211-+=+=4.重要性质(1)a a a a q p n m q p n m +=+⇒+=+(2) m,2m,32m m m S S S S S --仍成等差数列二．等比数列：1.定义：)0(1≠=+q q a a nn 2.通项公式：q a a n n 11-∙=或q a a mn m n -∙=3.求和公式: ）（1q ,1==na S n ）（1q 11)1(11≠--=--=qqa a q q a S n n n2222222222cos 2cos 2cos a b c bc Ab ac ac B c a b ab C =+-=+-=+-222222222cos 2cos 2cos 2b c a A bca cb B aca b c C ab+-=+-=+-=4.重要性质（1）a a a a q p n m q p n m =⇒+=+(2)()m,2m,32q 1m m m m S S S S S --≠-仍成等比数列或为奇数三．数列求和方法总结：1.等差等比数列求和可采用求和公式(公式法).2.非等差等比数列可考虑(分组求和法) ,(错位相减法)等转化为等差或等比数列再求和, 若不能转化为等差或等比数列则采用(拆项相消法)求和.注意(1):若数列的通项可分成两项之和（或三项之和）则可用（分组求和法）。