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解决大规模稀疏线性方程组的迭代法在计算科学和工程学领域中，大规模稀疏线性方程组是一种常见的问题，包括许多领域，如电力系统、材料科学、药物发现、计算流体力学等。
这些问题的解决对科学研究和工程设计都具有重要意义。
然而，当问题规模增大时，求解这些线性方程组变得困难。
因此，研究高效的迭代算法和求解方法是至关重要的。
稀疏线性方程组求解的挑战：大规模稀疏线性方程组求解是一个复杂的问题，其中最主要的挑战是如何有效地处理稀疏矩阵。
由于其稀疏性，大多数元素都为零，这使得传统的直接求解方法，如高斯消元，LU分解等不再适用。
因此，迭代算法是求解该类问题的首选方法。
迭代算法的工作原理：迭代算法的基本思想是利用一个初值解，通过不断地逐次修正，最终得到线性方程组的解。
其基本工作原理是计算误差的后效性，也就是说，每次求解都是在上一次求解结果的基础上进行修正。
最受欢迎的迭代算法：- Jacobi迭代：该方法使用对角矩阵的逆作为迭代矩阵。
这个逆矩阵只需要在算法的一开始计算一次，随后每次迭代都可以直接使用。
这使得Jacobi算法特别适用于在处理较小的稀疏线性方程组时。
- Gauss-Seidel迭代：该方法是Jacobi算法的改进版本。
Gauss-Seidel算法会在每次迭代中更新解向量的所有元素，而不是只更新一个，从而使得每次迭代都较为精确。
- 共轭梯度法：是一种迭代算法，旨在求解系数矩阵为对称、正定矩阵的线性方程组。
其聚焦于求解富有特色的欧几里得范数下的误差最小化问题，使用一种成熟的迭代策略来加速计算。
提高矩阵向量乘和解向量稠密化：在实际应用中，稀疏矩阵向量乘和解向量的稠密化是影响迭代算法效率的两个主要瓶颈。
一些技术，如并行计算、矩阵压缩、矩阵重排序、缓存预取等，可以大大提高矩阵向量乘的效率。
此外，在解向量稠密化方面，使用过渡方案或基于层次的内存管理方案可以大大减少内存使用量，并提高迭代算法的效率。
总结：大规模稀疏线性方程组的迭代算法是一个十分重要的研究领域，具有广泛的应用前景。
稀疏线性方程组求解法稀疏线性方程组的求解是对自然科学和社会科学中许多实际问题进行数值模拟时的关键技术之一。
在高层建筑、桥梁、水坝、防洪堤的结构设计中，需对变形与应力情况进行模拟；在油气资源探测与分析、数值天气预报、飞行器的动力学分析中，需利用流体力学方程组进行模拟;在进行恒星大气分析与核爆实验时，常需利用辐射流体力学与粒子统计平衡等规律进行模拟。
在对这些问题进行分析模拟时，通常利用偏微分方程建立数学模型。
在对偏微分方程的离散求解过程中，稀疏线性方程组求解算法扮演着十分重要的角色。
在许多不以偏微分方程建模的问题中，稀疏线性方程组求解同样发挥了重要的作用。
在空中交通控制、电力线路中的最优电流问题中，需利用数学规划求解;在对采纳某项政策时在某给定条件下对国内、国际多个区域的相应经济指标进行预测时，需利用CGE模型进行分析；在可靠性分析、排队网络分析与计算机系统性能评估中，常利用具有大量状态的离散Markov链进行模拟。
在这些问题的求解中，稀疏线性方程组的求解都占有重要位置，并且往往是整个计算过程中的性能瓶颈，稀疏线性方程组的高效求解是计算数学和工程应用中十分重要的课题之一。
解稀疏线性方程组的方法包括直接法(direct method)与迭代(iterative method)两类。
直接法指在不考虑计算舍入误差的情况下，通过包括矩阵分解和三角方程组求解等有限步的操作求得方程组的精确解，因此又称精确法;迭代法指给定一个初始解向量，通过一定的计算构造一个向量列(一般通过逐次迭代得到一系列逼近精确值的近似解)，向量列的极限为方程组理论上的精确解。
迭代法对存储空间的需求低，在求解高阶非病态（求解方程组时如果对数据进行较小的扰动，则得出的结果具有很大波动，这样的矩阵称为病态矩阵。
判定矩阵是否病态以及衡量矩阵的病态程度通常是看矩阵A的条件数K(A)=‖A-1‖*‖A‖的大小,其中‖‖表示对矩阵取某一种范数。
K(A)称为A的条件数,它很大时，称A为病态，否则称良态；K(A)愈大，A的病态程度就愈严重。
求解大规模稀疏线性方程组的新方法与实现大规模稀疏线性方程组是数学、科学和工程领域中的一个重要问题，它比较复杂，需要使用高级数学和计算技术才能求解。
传统的直接求解方法在大规模稀疏线性方程组中遇到了困难。
因此，寻找一个更加高效的方法是求解大规模稀疏线性方程组面临的一个挑战。
目前，有许多大规模稀疏线性方程组求解的方法，其中比较常用的是迭代法和预处理法。
但是这些方法在求解复杂问题时，可能存在一些缺陷。
比如，它们可能需要长时间的计算，或者需要更多的存储空间。
因此，研究者们一直在努力寻找更加高效的方法，以更快、更准确、更稳定地求解大规模稀疏线性方程组。
最近，一些新方法被开发出来，以解决大规模稀疏线性方程组的困境。
其中一种是迭代refinement方法。
此方法是在先前已解过的方程组解的基础上进行计算，如此反复迭代直到满足精度要求。
该方法能够快速收敛、具有更小的内存需求，特别适用于求解非对称稀疏线性方程组的生产问题。
该方法最显著的优势是可以并行化实现，能够方便快捷地应用于大型计算机上的并行计算。
另外，还有一种名为基于Galerkin加权的矩阵预处理技术，该技术旨在加速迭代解法的收敛速度，例如，双共轭梯度法。
此方法也是利用预处理因子的方式减少方程组求解的计算量。
通过构造适当的矩阵加权器，可以在计算中快速抑制方程组的振荡。
矩阵加权器的构造具有很好的自适应性，因此，能够适应复杂问题求解的需要。
为了实现这些新的求解方法，需要有适合的算法，并且需要使用高性能的计算硬件。
另外，还需要使用并发、分布式和云计算等技术，以处理和分析大型数据规模和计算负载。
特别是在生产环境中，各种方法和算法的实现和部署需要紧密合作，才能实现更高效的目标。
总之，由于计算机科学和数学的进步，现在已经可以开发出更高效的大规模稀疏线性方程组求解方法。
这些方法不仅能够提高求解的速度和精度，与此同时还可以节省计算和存储资源，从而为更广泛的应用提供更多的可能性。
大型稀疏非线性方程组的一类不精确Newton法的
开题报告
题目：大型稀疏非线性方程组的一类不精确Newton法
一、选题背景
大型稀疏非线性方程组在现代科学计算和工程应用中占有重要地位。
求解大型稀疏非线性方程组是计算领域中的研究热点之一。
然而，由于
实际应用中的复杂性和计算机性能限制，精确求解大型稀疏非线性方程
组的计算量通常非常大。
不精确Newton法是求解大型稀疏非线性方程组的一种常用方法。
该方法通过不断更新Newton方向以逼近最优解，但是不像经典的Newton法每次迭代都需要求解全局的Newton矩阵，不精确Newton法
只需要对少量的主要变量进行更新，从而降低了计算量。
二、研究内容
本文将研究大型稀疏非线性方程组的一类不精确Newton法。
具体
研究内容包括以下方面：
1. 不精确Newton法的基本理论和算法
2. 不精确Newton法的迭代过程分析
3. 不精确Newton法的收敛性分析
4. 不精确Newton法的数值实验
三、研究方法
本文将采用文献调研法和数值分析法进行研究。
首先，对不精确Newton法的基本理论和算法进行全面调研，并对其迭代过程和收敛性进行分析。
然后，通过数值实验来验证该算法的有效性和可行性。
四、研究意义
本文的研究对于进一步完善大型稀疏非线性方程组的求解方法具有一定的意义。
不精确Newton法的提出和研究，可以降低计算量和时间的消耗，显著提高大型稀疏非线性方程组的求解效率和精度。
同时，通过本文的研究成果，还可以为相关领域的进一步研究提供参考和启示。
求解非对称线性方程组的松弛混合算法
钟宝江
【期刊名称】《南京航空航天大学学报》
【年(卷),期】2002(034)005
【摘要】求解大型稀疏非对称线性方程组的混合迭代算法通常会由于系数矩阵的谱分布较广而导致收敛失败.本文通过在迭代多项式中加入变化的松弛因子定义了一类松弛混合算法.选择适当的松弛因子可以显著地改善算法的收敛效果.
【总页数】3页(P498-500)
【作者】钟宝江
【作者单位】南京航空航天大学理学院,南京,210016
【正文语种】中文
【中图分类】O241.6
【相关文献】
1.基于极大熵微粒群混合算法的非线性方程组求解 [J], 雍龙泉
2.求解非线性方程组的蛙跳和 BFGS 混合算法 [J], 潘学
3.基于极大熵差分进化混合算法求解非线性方程组 [J], 陈海霞;杨铁贵
4.一种求解病态复线性方程组的混合算法 [J], 陈凤坤;雷秀仁
5.一类弱非线性方程组的非线性松弛非对称HSS类迭代算法 [J], 汤雪华
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稀疏线性方程组求解法稀疏线性方程组的求解是对自然科学和社会科学中许多实际问题进行数值模拟时的关键技术之一。
在高层建筑、桥梁、水坝、防洪堤的结构设计中，需对变形与应力情况进行模拟；在油气资源探测与分析、数值天气预报、飞行器的动力学分析中，需利用流体力学方程组进行模拟;在进行恒星大气分析与核爆实验时，常需利用辐射流体力学与粒子统计平衡等规律进行模拟。
在对这些问题进行分析模拟时，通常利用偏微分方程建立数学模型。
在对偏微分方程的离散求解过程中，稀疏线性方程组求解算法扮演着十分重要的角色。
在许多不以偏微分方程建模的问题中，稀疏线性方程组求解同样发挥了重要的作用。
在空中交通控制、电力线路中的最优电流问题中，需利用数学规划求解;在对采纳某项政策时在某给定条件下对国内、国际多个区域的相应经济指标进行预测时，需利用CGE模型进行分析；在可靠性分析、排队网络分析与计算机系统性能评估中，常利用具有大量状态的离散Markov链进行模拟。
在这些问题的求解中，稀疏线性方程组的求解都占有重要位置，并且往往是整个计算过程中的性能瓶颈，稀疏线性方程组的高效求解是计算数学和工程应用中十分重要的课题之一。
解稀疏线性方程组的方法包括直接法(direct method)与迭代(iterative method)两类。
直接法指在不考虑计算舍入误差的情况下，通过包括矩阵分解和三角方程组求解等有限步的操作求得方程组的精确解，因此又称精确法;迭代法指给定一个初始解向量，通过一定的计算构造一个向量列(一般通过逐次迭代得到一系列逼近精确值的近似解)，向量列的极限为方程组理论上的精确解。
迭代法对存储空间的需求低，在求解高阶非病态（求解方程组时如果对数据进行较小的扰动，则得出的结果具有很大波动，这样的矩阵称为病态矩阵。
判定矩阵是否病态以及衡量矩阵的病态程度通常是看矩阵A的条件数K(A)=‖A-1‖*‖A‖的大小,其中‖‖表示对矩阵取某一种范数。
K(A)称为A的条件数,它很大时，称A为病态，否则称良态；K(A)愈大，A的病态程度就愈严重。
迭代方法在大型稀疏线性方程组求解中的应用随着科技的不断进步和计算力的提升，大型稀疏线性方程组求解成为科学计算和工程领域中的重要问题。
在这方面，迭代方法因其高效性和适应性成为了研究的热点。
本文将介绍迭代方法在大型稀疏线性方程组求解中的具体应用，并探讨其优缺点。
一、背景介绍近年来，随着科学模拟、数据分析和机器学习等领域的快速发展，对大型稀疏线性方程组的求解需求日益增加。
相比于密集线性方程组，稀疏线性方程组矩阵的核心特征是大部分元素为零，而非零元素相对较少。
传统的直接解法，如高斯消元法和LU分解，在处理大规模稀疏线性方程组时，由于需要存储和操作大量的零元素，会导致计算和存储资源的浪费。
而迭代方法则通过迭代逼近的方式，逐步逼近方程组的解，以较小的计算和存储开销达到较高的求解精度。
二、迭代方法的基本原理迭代方法是一种基于迭代逼近的求解方法，其核心思想是将线性方程组的解逐步逼近，并通过迭代次数的增加逐渐提高逼近的精度。
通常情况下，迭代方法的计算过程可以表达为：x_{k+1} = M^{-1}(b - N x_k)其中，x_k表示第k次迭代的逼近解，M为某种矩阵的逆，N为M与线性方程组系数矩阵之差，b为线性方程组的右端向量。
迭代方法的关键在于选择合适的迭代矩阵M和N，以提高迭代的稳定性和收敛速度。
三、常用的迭代方法1. Jacobi迭代法Jacobi迭代法是最简单和最基础的迭代方法之一。
它的迭代矩阵M选取为线性方程组的对角矩阵，N则为对角矩阵与系数矩阵的差。
Jacobi迭代法的迭代格式为：x_{k+1} = D^{-1}(b - (L+U)x_k)其中，D、L和U分别为对角矩阵、严格下三角矩阵和严格上三角矩阵。
Jacobi迭代法的优点是简单易于实现，缺点是收敛速度较慢。
2. Gauss-Seidel迭代法Gauss-Seidel迭代法是Jacobi迭代法的改进版，其迭代矩阵M选取为线性方程组的下三角矩阵，N则为下三角矩阵与系数矩阵的差。
大型稀疏矩阵直接求解算法的研究及实现共3篇大型稀疏矩阵直接求解算法的研究及实现1大型稀疏矩阵直接求解算法的研究及实现随着计算机技术的不断发展和数学建模需求的增加，大型稀疏矩阵直接求解算法的研究和实现日益受到人们的关注。
在实际应用中，大型稀疏矩阵经常出现在各种科学计算、工程计算以及机器学习等领域。
因此，如何高效地求解大型稀疏矩阵成为了一个十分重要的问题。
一般来说，大型稠密矩阵的求解可以使用各种经典算法，如高斯消元、LU分解等。
然而，大型稀疏矩阵的求解却需要特殊的算法和数据结构。
传统的直接求解方法存在着效率低下和存储空间过大等问题，因此研究者们提出了许多改进方法和优化方案。
稀疏矩阵存储结构是求解算法中的重要问题之一。
目前，广泛应用的稀疏矩阵存储格式包括压缩列（Compressed Column，CC）、压缩行（Compressed Row，CR）以及双重压缩（Double Compressed）等。
这些存储格式各有优缺点，具体用哪一种存储格式取决于矩阵的具体特点和求解算法的需求。
比如，在随机梯度下降等机器学习算法中，常常使用压缩行存储方式来优化矩阵乘法操作的速度。
多核并行、GPU加速等技术也被广泛应用于大型稀疏矩阵的求解算法中，以提高计算效率。
并行求解算法可以将巨大的计算任务划分成多个子任务，并分配给多个核心同时执行，充分利用计算机的计算资源。
而GPU加速则充分利用了GPU的特殊架构，通过将计算任务映射到各个流处理器上并行执行，进一步提高求解效率。
除了以上所述的算法优化和技术应用，近年来还出现了一些新的求解算法。
比如，基于埃米尔特矩阵分解的求解算法，具有比传统LU分解更快的求解速度；基于内点法的求解算法，在高稀疏性的情况下，具有比其他算法更优的求解速度和精度。
综上所述，大型稀疏矩阵直接求解算法的研究和实现是一个充满挑战的领域。
在实际应用中，选择适合的算法和存储结构，并结合多核并行、GPU加速等技术，可以有效提高求解速度和精度。
求解大型非对称稀疏线性方程组的FIMinpert算法孙蕾【摘要】The truncated version of the Minpert method—the IMinpert algorithm for large unsymmetric linear systems has been given in another paper. In order to accelerate the convergence rate of the IMinpert algorithm, the right precondi-tioning technique is used, and then the Flexible IMinpert algorithm(FIMinpert algorithm)is presented in this paper. The theoretical deduction and practical implementation issues of the FIMinpert algorithm are discussed in details. Numerical experiments show that the FIMinpert algorithm can achieve better convergence rate than the IMinpert algorithm and the GMRES algorithm.%在Krylov子空间方法日益流行的今天，提出了又一求解大型稀疏线性方程组的Krylov子空间方法：灵活的IMinpert算法（即FIMinpert算法）。
FIMinpert算法是在Minpert算法的截断版本即IMinpert算法的基础上结合右预处理技术，对原方程组作某些预处理来降低系数矩阵的条件数，从而大大加快迭代方法的收敛速度。
给出了新算法的详细的理论推理过程和具体执行，并且通过数值实验表明，FIMinpert算法的收敛速度确实比IMinpert算法和GMRES算法快得多。
【期刊名称】《计算机工程与应用》【年(卷),期】2016(052)021【总页数】6页(P63-67,93)【关键词】非对称线性方程组;Krylov子空间方法;最小联合向后扰动;IMinpert算法;右预处理技术;不完全正交化过程【作者】孙蕾【作者单位】南京航空航天大学金城学院基础部，南京 211156【正文语种】中文【中图分类】O241.6SUN Lei.Computer Engineering and Applications，2016，52（21）：63-67.在许多应用科学和工程计算中，经常需要求解大型稀疏线性方程组。
其中A∈Rn×n是非奇异实矩阵，x，b∈Rn。
本文中未定义的符号可参考文献［1］。
Krylov子空间方法［2］是目前求解方程组（1）的一类很有效的方法。
Krylov子空间方法通常用残量范数作为判断算法终止的条件。
若近似解是精确的，残量范数是小的，但是反过来残量范数小并不意味着近似解就是精确的，尤其当A 是病态矩阵时。
为了克服残量范数作为终止条件的不足，目前已经出现了一系列利用向后扰动范数［3］作为终止条件的算法。
Kasenally和Simoncini考虑求满足扰动方程的近似解使联合向后扰动范数极小化，也就是求，使得得到了求解方程组（1）的最小联合向后扰动方法（即Minpert算法［4-5］）。
在本文的记号中，x0表示对近似解的原始估计，记r0:=b-Ax0；xm表示方程组（1）的近似解，有如下形式：xm=x0+tm，其中tm∈Km（A，r0），Km（A，r0）表示m维的Krylov子空间［2］；ΔA和Δb分别表示对矩阵A和向量b的扰动，它们组成联合向后扰动矩阵［ΔA，Δb］。
Minpert算法是利用Arnoldi过程产生Km（A，r0）的一组基v1，v2，…，vm，也就意味着Minpert算法要用到长递推式，这导致计算量和存储量随步数的增长而剧烈增加，当步数增加到一定程度时算法将变得无法使用。
因此，Minpert算法通常必须重新启动，但是，对于困难问题，即使和预处理技术相结合，为保证算法收敛，重新启动中所取的步数仍然是相当大的。
为了克服长递推式的缺点，一种普遍流行的技术是求助截断策略，其思想是仅使用几个而非所有前面计算出来的向量来构造新的短的递推式以计算后面的向量，这就使得计算量和存储量大大减少。
孙蕾在文献［1］中提出了Minpert算法的截断版本：IMinpert算法［6］。
对于病态的线性方程组，为了降低系数矩阵A的条件数，一种有效的方法是对原方程组作某些预处理［7］。
在用Krylov子空间方法求解大型线性方程组时结合预处理技术［8-10］，可以大大加快迭代方法的收敛速度。
本文在IMinpert算法的执行中，利用右预处理技术［11］，提出了求解方程组（1）的灵活的IMinpert算法（即FIMinpert算法）。
本文给出了新算法的详细的理论推理过程和具体执行，并通过数值实验表明，FIMinpert算法的收敛效果非常好。
2.1 问题的产生及联合向后扰动矩阵的分析2.2 问题的转化2.3 FIMinpert算法的产生（具体执行）在这一部分，将通过若干数值例子说明FIMinpert（m）算法在实际应用中是非常有效的。
本文的数值实验使用的编程软件是MATLAB7.0。
主要比较如下四种算法：（1）Minpert（m）；（2）FIMinpert（m，k）（采用IMinpert（k）算法作为内循环）；（3）IMinpert（m，q）（q为不完全正交化过程中的参数）；（4）GMRES（m）。
通过比较这四种算法近似解的联合向后扰动范数随迭代次数（重新启动的次数）增加的变化情况来反映这四种算法在执行过程中的不同收敛速度。
在GMRES（m）算法中，令联合向后扰动范数例1考虑一个1 000×1 000的矩阵：近似解的初始估计值x0=0，1 000维向量b的每个元素都为1。
Krylov子空间的维数固定为10，即m=10，FIMinpert算法中q固定为5，k=10。
四种算法比较见图1。
图中纵坐标的-10代表10-10，如此类推。
从图1中可以看到GMRES（10）、Minpert（10）、IMinpert（10，5）的收敛速度相同且较慢，FIMinpert（10，10）的收敛速度非常快。
用如下符号来记矩阵A的奇异值分解：A=USVT，其中U=［u1，u2，…，un］，V=［v1，v2，…，vn］，S=diag（s1，s2，…，sn），S中对于i=1，2，…，n-1，si≥si+1，则u1和v1分别是A的最大奇异值s1对应的左奇异向量和右奇异向量，un和vn分别是A的最小奇异值sn对应的左奇异向量和右奇异向量。
例2考虑一个100×100阶的矩阵：，令b=u1，x0=v1，Krylov子空间的维数固定为20，即m=20，FIMinpert算法中q固定为15，k=20，四种算法比较见图2。
从图2中可以看到，GMRES（20），Minpert（20），IMinpert（20，15）的收敛速度仍相同，且比较缓慢，而FIMinpert（20，20）的收敛速度要快得多。
当b=un，x0=vn时，四种算法比较如图3。
从图3中可以看到GMRES（20）在35步内是不收敛的；Minpert（20），IMinpert（20，15）的收敛速度大致相同，且比较缓慢，而FIMinpert（20，20）的收敛速度非常快。
例3考虑另外一个100×100阶的矩阵：A=，矩阵 A的条件数9.242 2，可见A的条件很好。
考虑用上述四种算法解线性方程组（A-E）x=b，其中 b=un，x0=vn，。
矩阵A-E的条件数832.233 5，可见A-E的条件数比A大很多。
令m=20，FIMinpert算法中q=15，k=20，四种算法比较如图4。
从图4中可以看到，GMRES（20）出现了停滞现象。
Minpert（20）、IMinpert （20，15）的收敛速度大致相同，且比较缓慢，而比较起来FIMinper（t20，20）的收敛速度仍然要快得多。
从前面几例可以看出，IMinpert、Minpert和GMRES算法往往需要迭代几十次才能使联合向后扰动范数下降到10-5附近或者出现停滞，而经过预处理之后，FIMinpert算法往往只需迭代两次左右就能使联合向后扰动范数下降到10-16附近，这说明FIMinpert算法的收敛效果非常好。
还做了大量的数值实验，都证明FIMinpert算法十分有效，因而FIMinpert算法具有普遍意义。
孙蕾在文献［1］中给出了求解大型非对称线性方程组的不完全最小联合向后扰动方法（IMinpert算法）。
为了加快IMinpert算法的收敛速度，本文结合右预处理技术，提出了收敛效果非常好的灵活的IMinpert算法，即FIMinpert算法。
数值例子表明FIMinpert算法十分有效。
【相关文献】［1］Sun Lei，Wang Xiaohong，Guan Yong.IMinpert：an incomplete minimum perturbation algorithm for large unsymmetric linear systems［J］.Numerical Mathematics A Journal of Chinese Universities English Series，2007，16（4）：300-312.［2］Saad Y.Krylov subspace method for solving large unsymmetric linear systems［J］.Math Comp，1981，37：105-126.［3］Higham D J，Higham N J.Backward error and condition of structured linear systems ［J］.SIAM J Matrix Anal Appl，1992，13：162-175.［4］KasenallyE M，Simoncini V.Analysisof aminimum perturbation algorithm for nonsymmetric linear systems［J］. SIAM J Numer Anal，1997，34：48-66.［5］Cao Zhihao.Total generalized minimum backward error algorithm forsolving nonsymmetric linearsystems［J］. Journal of Comp Math，1998，16：539-550.［6］孙蕾.求解大型非对称线性方程组的（不完全）最小联合向后扰动方法［D］.南京：南京航空航天大学，2006.［7］李庆杨，王能超，易大义.数值分析［M］.武汉：华中科技大学出版社，2002.［8］Saad Y.A flexible inner-outer preconditioned GMRES algorithm［J］.SIAM J Sci Stat Comput，1993，14：461-469.［9］Saad Y.ILUT：a dual threshold incomplete LU factorization［J］.Numerical Linear Algebra with Applications，1994，1（4）：387-402.［10］Saad Y.Highly parallel preconditioners for general sparse matrices［M］//Recent Advances in Iterative Methods.New York：Springer，1994：165-199.［11］孙蕾，管勇.求解大型非对称线性方程组的灵活的Minpert算法［J］.宁夏师范学院学报，2010，31（3）：14-18.［12］Jia Zhongxiao.On IOM（q）：the incomplete orthogonalization method for large unsymmetric linear systems［J］. Numer Lin Alg with Appl，1996，3：491-512.［13］Saad Y.Practical use of some Krylov subspace methods for solving indefinite and nonsymmetric linear systems［J］.SIAM J Sci Stat Comput，1984，5：203-228.［14］Ben-Israel A，Greville T N E.Generalised inverses：theory and applications ［M］.New York：Wiley-Interscience Series，1974.［15］戴华.矩阵论［M］.北京：科学出版社，2001.［16］史荣昌，魏丰.矩阵分析［M］.北京：北京理工大学出版社，2010.［17］袁亚湘，孙文瑜.最优化理论与方法［M］.北京：科学出版社，1997.［18］Stewart G W，Sun J G.Matrix perturbation theory［M］. New York：Academic Press，1990.［19］Saad Y，Schultz M H.GMRES：a generalized minimal residual algorithm for solving nonsymmetric linear systems［J］.SIAM J Sci Stat Comput，1986，7：856-869.。
