11月18日周日会考题数学答案(第十一周)

A. B. C. D.下列运算结果为( )a3⋅a2a3+a3(a2)3a18÷a3 A. C. D.若一个等腰三角形的两边长分别是，则第三边的长可能是AB=AC D E AB,AC6.如图，，点，分别在上，补充下列一个条件后，不能判断▵ABE≌▵ACD的是( )∠B=∠C AD=AEA. B.∠BDC=∠CEB BE=CDC. D.▵ABC≌▵DEC E AB∠B=75∘∠ACD7.如图，，点在线段上，，则的度数为( )20°25°30°40°A. B. C. D.x=a+b−2,y−2ab=a2+b2x y8.已知，用含的式子表示是( )x+2x2+4(x+2)2x2−4A. B. C. D.▵ABC D E BC AC P AD9.如图，等边中，点，分别是，的中点，点是上的一个动点，当PC+PE∠CPE最小时，的度数是( )22.5°30°45°60°A. B. C. D.A. 6二、填空题：本题共8小题，每小题(2x−1)0=1x11.若，则需要满足的条件是12.因式分解：mn2−4my2−6y+m15.如果是完全平方式，则▵ABC AD∠BAC16.如图，中，平分为．∘(8)21.本小题分4a2+3a−4=0.已知求代数式(8)22.本小题分①O P 作法：分别以点、②MN OB作直线，交射线Q则点即为所求．(1)依题意补全图形；(2)∠BAN(α求的度数用含(3)D AB过点作的平行线，交证明．(1)1如图，①m=−2M M2当时，点的“旋轴变换图形”的坐标是；②M M2x m若点的“旋轴变换图形”始终位于轴上方，求的取值范围；(2)N(m,m)M2MN已知点，随着点的运动，在图中画出线段的“旋轴变换图形区域．答案1.D 2.C 3.B 4.A 5.C 6.D 7.C 8.C 9.D 10.A 11.x ≠1212.m (n +2)(n−2)13.414.215.916.1017.或32618.①③④19.解：(1)2x 2(x−12)=2x 2⋅x−2x 2⋅12=2x 3−x 2解：(2)[(x +1)(x +2)−2]÷x=[x 2+3x +2−2]÷x=[x 2+3x ]÷x．=x +320.证明连接，∶AD∵AB=AC D BC，是中点，∴AD∠BAC平分，DE⊥AB E DF⊥AC F又于，于，∴DE=DF．21.解：(3a+1)2−(a+1)(a−1)=9a2+6a+1−a2+1=8a2+6a+2=2(4a2+3a)+2，∵4a2+3a−4=0，∴4a2+3a=4，2(4a2+3a)+2=2×4+2=10则．(1)22.解：所作图形如下所示：(2)PM PN OM ON PQ证明：连接，，，，，如图所示：∵PM=OM PN=ON，，∴MN OP直线是线段的垂直平分线，∵Q MN点在直线上，∴PQ=OQ()线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等∴∠POQ=∠OPQ，∵OC∠AOB平分，∴∠AOC=∠BOC，∴∠OPQ=∠AOC，∴PQ//OA．(1)1a2−3223.解：由图得：，2(a+3)(a−3)由图得：，a2−32=(a+3)(a−3)根据面积相等，得到：，(2)①34mn解：由图得：，4(m+n)2−(m−n)2由图得：，4mn=(m+n)2−(m−n)2根据面积相等，得到：，②∵4mn=(m+n)2−(m−n)2mn=16,m−n=6，，∴4×16=(m+n)2−62m+n=10，解得：，2(m+n)=20所以小长方形的周长为：．(1)24.如图所示，即为所求，(2)AC F CF=AF BF延长到点，使，连接，ΔACDΔFCB在和中{CD=CB∠ACD=∠FCBAC=FC∴ΔACD≅ΔFCB(SAS)∴AD=FB∵CF=AC∴AF=2AC∵AE=2CA∴AF=AE∵∠BAC=90∘∴AB⊥EF(2)AP解：连接，∵▵ABC为等边三角形，∴AB=AC=BC,∠ABC=∠BAC ∵对称，∴AP=AB，∴∠BAD=∠PAD=αAP=AC∠BON=∠ABC=60∘则：，∴∠BNO=180∘−∠NBO−∠NOB ∴▵BNO∠ANO为等边三角形，∴BN=NO=BO，∴NO=CD，y M1(2,0)关于轴的对称点为：，PM1PM2M2H⊥y H连接、，作轴，垂足为，∵PM1=PM2∠M1PM2=90∘，，∴∠HPM2+∠OPM1=90∘，∵M2H⊥y轴，∴∠HPM2+∠HM2P=90∘，∴∠OPM1=∠HM2P，∵∠M2HP=∠POM1=90∘又，∴▵M2H≌▵POM1(AAS)，∴HP=OM1=2HM2=OP=1，，∴HO=OP+HP=1+2=3，∴M2(1,3)，②M(m,0)y M1(−m,0)，关于轴的对称点为：，PM1PM2M2H⊥y H连接、，作轴，垂足为，∵PM1=PM2∠M1PM2=90∘，，∴∠HPM2+∠OPM1=90∘，∴∠HPM2+∠HM2P=90∘，∴∠OPM1=∠HM2P，∵∠M2HP=∠POM1=90∘又，∴▵M2H≌▵POM1(AAS)，∴HP=OM1=|m|HM2=OP=1，，m≤0HO=OP+HP=1−m当时，，m>0当时，HO=OP−HP=1−m，m<1HO=1−m当时，，∴M2(1,1−m)，m<11−m>0M2x当时，，始终位于轴上方，(2)(1)M2(1,1−m)解：由可知，N(m,m)y N1(−m,m)，关于轴的对称点为：，PN1PN2N2H⊥y H N1I⊥y H 连接、，作轴，垂足为，作轴，垂足为，∵PN1=PN2∠N1PN2=90∘，，∴∠HPN2+∠OPN1=90∘，∴∠HPN2+∠HN2P=90∘，∴∠IPN1=∠HN2P，∵∠N2HP=∠PIN1=90∘又，∴▵N2H≌▵PIN1(AAS)，m≤0HP=IN1=−m HN2=IP=1−m HO=OP+HP=1−m当时，，，，∴N2(1−m,1−m)，m>0当时，HP=IN1=m HN2=IP=m−1HO=HP−OP=m−1，，，∴N2(1−m,1−m)，m−1=t M2(1,t)N2(t,t)设，则，，∴M2N2扫过的区域如图。

2024学年西宁市十四中高二数学11月期中考试卷第I 卷（选择题）一、单选题（每小题5分，共40分）1．已知直线310l y -+=，则直线l 的倾斜角为（）A ．π6B ．π3C ．π2D ．2π32．已知()2,3,1a = ，()1,2,2b =-- ，则a 在b 上的投影向量为（）A ．2bB ．2b- C ．23bD ．23b- 3．已知直线1l ：360ax y +-=，直线2l ：()2140x a y +--=，则“2a =-”是“12l l ∥”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．已知空间向量()1,,2a n = ，()2,1,2b =- ，若2a b - 与b垂直，则a 等于（）A B C D ．25．已知圆224x y +=与圆2284160x y x y +-++=关于直线l 对称，则直线l 的方程为（）A ．230x y +-=B ．280x y --=C ．250x y --=D ．20x y +=6．已知点()()2,4,0,,P Q m O -为坐标原点，且0OP OQ ⋅=，则PQ = （）A ．36BC ．6D ．7．已知直线:20+-=l x y 与圆22:440M x y x y a +--+=交于,A B 两点，且AB =，则a =（）A ．4B ．4-C ．2D ．2-8．如图，在三棱锥P -ABC 中，90APB ∠=︒，60CPA CPB ∠=∠=︒，2PA PB PC ===，点D ，E ，F 满足PD DB = ，2PE EA = ，AF FC =，则直线CE 与DF 所成的角为（）A ．30°B ．45︒C ．60°D ．90°二、多选题（每小题6分，共18分.全选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分）9．向量()()2,1,3,1,2,9a x b y ==- ，若a b ∥，则（）A ．15x =B ．32y =-C ．13a b= D ．12a b= 10．已知圆2221:2100C x y mx y m ++-+=，圆222:450C x y y ++-=，则下列说法正确的是（）A ．若点()1,1在圆1C 的内部，则24m -<<B ．若2m =，则圆12,C C 的公共弦所在的直线方程是41490x y -+=C ．若圆12,C C 外切，则m =D ．过点()3,2作圆2C 的切线l ，则l 的方程是3x =或724270x y -+=11．设a ，b分别是直线l ，m 的方向向量，1n ，2n 分别是平面α，β的一个法向量，则（）A ．若αβ⊥，则12n n ⊥B ．若1a n ⊥ ，2b n ⊥ ，且π,3a b = ，则α与β的夹角为π3C ．若1π,3a n = ，则直线l 与平面α所成的角为π6D ．若12π,,3a nb n ==，且//αβ，则//l m 第II 卷（非选择题）三、填空题（每小题5分，共15分）12．已知()()2,1,31,2,1a b =-=- ，，则a与b 夹角的余弦值为.13．已知圆C ：221x y +=，过圆C 外一点P 作C 的两条切线，切点分别为A ，B ，若120APB ∠=︒，则AB =．14．已知平面α的一个法向量为()2,3,5n =，点()1,2,4A 是平面α上的一点，则点()1,1,5P -到平面α的距离为.四、解答题(共5小题共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)15.（13分）（1）已知空间向量()()2,1,2,1,1,4a b =--=-，求23a b- （2）已知()()2,1,3,1,2,1a b =-=-，若()a ab λ⊥- ，求实数λ的值.16.（15分）已知以点−1,2为圆心的圆与直线1270:l x y ++＝相切，过点()2,0B -的动直线l 与圆A 相交于,M N(1)求圆A 的方程.(2)当MN =l 的方程．17.（15分）如图，在四棱锥P ABCD -中，PD ⊥平面ABCD ，AD DC ⊥，AB DC ，122AB AD CD ===，2PD =，M 为棱PC 的中点(1)证明：//BM 平面PAD .(2)求平面PDM 和平面DMB 夹角的余弦值.18.（17分）已知一组动直线方程为()()11530k x k y k ++---=.(1)求证：直线恒过定点，并求出定点P 的坐标.(2)若直线与x 轴正半轴，y 轴正半分别交于点,A B 两点，求AOB ∆面积的最小值.19.（17分）在四棱锥P ABCD -中，PAB 是等边三角形，四边形ABCD 是矩形，2AB =，AD =PB AD ⊥，E 是棱PD 的中点．(1)求证：PA BE ⊥.(2)求二面角P AE B --的正切2024学年西宁市十四中高二数学11月期中考试卷一、单选题1．已知直线310l y -+=，则直线l 的倾斜角为（）A ．π6B ．π3C ．π2D ．2π32．已知()2,3,1a =，()1,2,2b =--，则a 在b 上的投影向量为（）A ．2bB ．2b- C ．23bD ．23b - 3．已知直线1l ：360ax y +-=，直线2l ：()2140x a y +--=，则“2a =-”是“12l l ∥”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】C【分析】利用两直线平行求解a 的值，结合充要关系的定义判断即可.【详解】由12l l ∥可得()61a a =-，解得3a =或2a =-.当3a =时，1l ：3360x y +-=，2l ：2240x y +-=，显然1l，2l 重合，舍去，故12l l ∥时，2a =-.因此“2a =-”是“12l l ∥”的充要条件.故选：C 4．已知空间向量()1,,2a n = ，()2,1,2b =- ，若2a b - 与b垂直，则a 等于（）A B C D ．212B.5．已知圆224x y +=与圆2284160x y x y +-++=关于直线l 对称，则直线l 的方程为（）A ．230x y +-=B ．280x y --=C ．250x y --=D ．20x y +=6．已知点()2,4,0,,P Q m O -为坐标原点，且0OP OQ ⋅=，则PQ =（）A ．36BC ．6D ．7．已知直线:20+-=l x y 与圆22:440M x y x y a +--+=交于,A B 两点，且AB =，则a =（）A ．4B ．4-C ．2D ．2-8．如图，在三棱锥P -ABC 中，90APB ∠=︒，60CPA CPB ∠=∠=︒，2PA PB PC ===，点D ，E ，F 满足PD DB = ，2PE EA = ，AF FC =，则直线CE 与DF 所成的角为（）A ．30°B ．45︒C ．60°D ．90°二、多选题9．向量()()2,1,3,1,2,9a x b y ==- ，若a b ∥，则（）A ．15x =B ．32y =-C ．13a b= D ．12a b= 10．已知圆2221:2100C x y mx y m ++-+=，圆222:450C x y y ++-=，则下列说法正确的是（）A ．若点()1,1在圆1C 的内部，则24m -<<B ．若2m =，则圆12,C C 的公共弦所在的直线方程是41490x y -+=C ．若圆12,C C 外切，则m =D ．过点()3,2作圆2C 的切线l ，则l 的方程是3x =或724270x y -+=11．设a ，b 分别是直线l ，m 的方向向量，1n ，2n 分别是平面α，β的一个法向量，则（）A ．若αβ⊥，则12n n ⊥B ．若1a n ⊥ ，2b n ⊥ ，且π,3a b = ，则α与β的夹角为π3C ．若1π,3a n = ，则直线l 与平面α所成的角为π6D ．若12π,,3a nb n == ，且//αβ，则//l m【答案】AC【分析】利用直线方向向量与平面法向量的位置关系，逐一分析各选项即可得解.三、填空题12．已知()()2,1,31,2,1a b =-=- ，，则a与b 夹角的余弦值为.13．已知圆C ：221x y +=，过圆C 外一点P 作C 的两条切线，切点分别为A ，B ，若120APB ∠=︒，则AB =．【答案】1【分析】结合切线长定理可得ABC V 为等边三角形，即可得A .【详解】由圆C ：221x y +=可得圆心坐标为0,0，半径1r =，由PA 、PB 为圆C 切线，故90OAP OBP ∠=∠=︒，14．已知平面α的一个法向量为()2,3,5n =，点()1,2,4A 是平面α上的一点，则点()1,1,5P -到平面α的距离为.四、解答题15．（1）已知空间向量()()2,1,2,1,1,4a b =--=-，求23a b - ；（2）已知()()2,1,3,1,2,1a b =-=-，若()a ab λ⊥- ，求实数λ的值16．已知以点−1,2为圆心的圆与直线1270:l x y ++＝相切，过点()2,0B -的动直线l 与圆A 相交于,M N (1)求圆A 的方程；(2)当MN =l 的方程．【答案】(1)()()221220x y ++-=(2)3460x y -+=或2x =-【分析】(1)由题意知点到直线距离公式可确定圆A 半径r ，带入到圆的标准方程可求得圆的方程；(2)过A 做AQ MN ⊥，由垂径定理可知圆心到直线l ，设出直线l ，可分为斜率存在和斜率不存在两种情17．如图，在四棱锥P ABCD -中，PD ⊥平面ABCD ，AD DC ⊥，AB DC ，122AB AD CD ===，2PD =，M 为棱PC 的中点(1)证明：//BM 平面PAD ；(2)求平面PDM 和平面DMB 夹角的余弦值；在PCD △中，M ，N 分别为因为//AB DC ，12AB DC =可知四边形ABMN 为平行四边形，则取CD 的中点E ，连接BE ，因为AB DC ，12AB DC =，则AB 又因为AD DC ⊥，所以四边形ABED 且2AB AD ==，可知四边形ABED18．已知一组动直线方程为()()11530k x k y k ++---=.(1)求证：直线恒过定点，并求出定点P 的坐标;(2)若直线与x 轴正半轴，y 轴正半分别交于点,A B 两点，求AOB ∆面积的最小值.19．在四棱锥P ABCD -中，PAB 是等边三角形，四边形ABCD 是矩形，2AB =，AD =PB AD ⊥，E 是棱PD 的中点．(1)求证：PA BE ⊥；(2)求二面角P AE B--的正切值．。

2021年高三年级上学期11月周考考数学文科含解析第I卷（选择题共60分）一、选择题（本大题12小题，每小题5分，共60分）1．已知是两条不同直线，是两个不同的平面，且，则下列叙述正确的是（）A．若，，则 B．若，，则C．若，，则 D．若，，则2．三棱锥S﹣ABC及其三视图中的正视图和侧视图如图所示，则棱SB的长为（）A．2 B．16C． D．43．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（）A． B． C． D．4．如图，四面体中，，且，分别是的中点，则与所成的角为（ ）A. B.C. D.5．圆与圆的位置关系是（ ）A ．相交B ．外切C ．内切D ．相离6．如图所示，正方体的棱长为1，线段上有两个动点，且，则下列结论中错误的是（ ）A ．三棱锥的体积为定值B ．平面C. 直线与所成的角为定值D ．异面直线所成的角为定值 7．在四面体中，,2,2,SB 6AB BC AB BC SA SC ⊥=====面积是（ ）A ．B ．C ．D ．8．如下图，能推断这个几何体可能是三棱台的是（ ）A．，，，B．，，，，，C．，，，，，D．，，9．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A． B． C. D．10．棱锥被平行于底面的平面所截，当截面分别平分棱锥的侧棱、侧面积、体积时，相应截面面积为、、，则（）A． B．C． D．11．以为圆心，且与两条直线与同时相切的圆的标准方程为（）A． B．C． D．12．正方体ABCD—A1B1C1D1中直线与平面所成角的余弦值是（）A. B.C. D.评卷人得分二、填空题13．已知平面平面，且，试过点的直线与，分别交于，，过点的直线与，分别交于且，，，则的长为___________.14．已知直线：（）被圆：所截的弦长是圆心到直线的距离的2倍，则 .15．半径为的球中有一内接圆柱，当圆柱的侧面积最大时，圆柱的侧面积与球的表面积之比是____________．16．已知为等腰直角三角形，斜边上的中线，将沿折成的二面角，连结，则三棱锥的体积为__________.评卷人得分三、解答题17．（本题12分）一个四棱锥的三视图如图所示．（1）求证：PA⊥BD；（2）在线段PD上是否存在一点Q，使二面角Q－AC－D的平面角为30°？若存在，求的值；若不存在，说明理由．18．（本题12分）直线与坐标轴的交点是圆一条直径的两端点．（I）求圆的方程；（II）圆的弦长度为且过点，求弦所在直线的方程．19．（本题12分）如图,在四棱锥中, 底面,底面是直角梯形,,,3,2,5AB DC AB AD AB CD PD AD⊥====, 是上一点.（1）若平面,求的值;（2）若是的中点, 过点作平面平面,平面与棱交于,求三棱锥的体积.20．（本题12分）已知点,直线与圆相交于两点, 且,求．（1）的值；（2）线段中点的轨迹方程；（3）的面积的最小值．21．（本题12分）一个几何体的三视图如图所示，已知正（主）视图是底边长为1的平行四边形，侧（左）视图是一个长为，宽为1的矩形，俯视图为两个边长为1的正方形拼成的矩形．（1）求该几何体的体积；（2）求该几何体的表面积．22．（本题12分）如图，在四棱锥中，四边形为直角梯形，平面，为的中点，．（1）求证：平面；（2）设，求点到平面的距离．答案1．C【解析】试题分析：根据判定定理“如果一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面互相垂直”可知C正确.考点：空间点线面位置关系．2．D【解析】试题分析：由已知中的三视图可得SC⊥平面ABC，且底面△ABC为等腰三角形，在△ABC中AC=4，AC边上的高为，故BC=4，在Rt△SBC中，由SC=4，可得SB=考点：简单空间图形的三视图3．C【解析】试题分析：由三视图可得该几何体是三棱柱，底面是有一个角是30°斜边为4且斜边上的高为的直角三角形，可得三角形另外两边为2，，三棱柱的高为4，该几何体的表面积为． 考点：三视图．4．B【解析】试题分析：设为中点，由中位线可知，所以就是所求两条之间所成的角，且三角形为等腰直角三角形你给，所以.考点：空间两条直线所成的角.【思路点晴】求异面直线所成的角常采用“平移线段法”，平移的方法一般有三种类型：利用图中已有的平行线平移；利 用特殊点(线段的端点或中点)作平行线平移；补形平移.计算异面直线所成的角通常放在三角形中进行.平移线段法是求异面直线所成角的常用方法，其基本思路是通过平移直线，把异面问题化归为共面问题来解决5．D【解析】试题分析：由题是给两圆标准方程为：()()()()222212:1425,:2216C x y C x y +++=-++=，显然两圆相离，故选D.考点：圆与圆的位置关系．6．D【解析】试题分析：，三角形底边长为定值，高等于也为定值，所以为定值.点到平面的距离为定值，故A 选项结论正确.由于所以平面，即B 选项结论正确.将平移到，则角就是异面直线所成的角，这个角是定值，故C 选项结论正确.综上所述，选D.考点：空间线面平行、垂直关系的证明．7．D【解析】试题分析：如图所示，由于，其即为外接球的直径，即，表面积为.考点：几何体的外接球.【易错点晴】设几何体底面外接圆半径为,常见的图形有正三角形,直角三角形,矩形,它们的外心可用其几何性质求；而其它不规则图形的外心,可利用正弦定理来求.若长方体长宽高分别为则其体对角线长为；长方体的外接球球心是其体对角线中点.找几何体外接球球心的一般方法:过几何体各个面的外心分别做这个面的垂线,交点即为球心. 三棱锥三条侧棱两两垂直,且棱长分别为，则其外接球半径公式为: .8．C【解析】试题分析：根据棱台是由棱锥截成的，A、，故A不正确；B、，故B不正确；C、，故C正确，D、满足这个条件的是一个三棱柱，不是三棱台，故选C．考点：棱台的结构特征．9．C【解析】试题分析：几何体一个三棱锥与一个三棱柱的组合体，三棱锥的高为1，底为等腰三角形，底长为2，底上高为；三棱柱高为1，底为等腰三角形，底长为2，底上高为；因此体积为，选C.考点：三视图【名师点睛】(1)解决本类题目的关键是准确理解几何体的定义，真正把握几何体的结构特征，可以根据条件构建几何模型，在几何模型中进行判断；(2)解决本类题目的技巧：三棱柱、四棱柱、三棱锥、四棱锥是常用的几何模型，有些问题可以利用它们举特例解决或者学会利用反例对概念类的命题进行辨析．10．A【解析】试题分析：因为，因为，因为，所以，故选A ．考点：棱锥的结构特征．11．A【解析】试题分析：因为两条直线与的距离为，所以所求圆的半径为，所以圆心到直线的距离为即或，又因为圆心到直线的距离也为，所以，所以所求的标准方程为，故应选.考点：直线与圆的位置关系.12．C【解析】试题分析：取的中点为,连,因为平面平面,故,又,故平面,则就是直线与平面所成角,因,故,故的余弦值为.应选C.D 1A BC考点：线面角的定义及求法.【易错点晴】本题以正方体这一简单几何体为背景,考查的是直线与平面所成角的余弦值的求法问题及直线与平面的位置关系等知识的综合运用的综合问题.求解时充分借助题设条件和线面角的定义,运用线面的垂直关系找出直线在平面的射影,进而确定就是直线与平面所成角,然后在直角中求出,故,故的余弦值为.13．或【解析】试题分析：第一种情况画出图形如下图所示，由于“如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线相互平行.”所以，设，根据平行线分线段成比例，有第二种情况画出图形如下图所示，由于“如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线相互平行.”所以，设，根据平行线分线段成比例，有.考点：求两点距离.【思路点晴】本题主要考查公理二“过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面”的一个推论“两条相交直线确定一个平面”，在根据两个平面平行的性质定理“如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线相互平行”可以判断出，根据平行线分线段成比例，或相似三角形对应边成比例，可求出的值.14．9【解析】试题分析：圆，圆心，半径，圆心到直线的距离，解得：或（舍），故填：9.考点：直线与圆的位置关系【方法点睛】本题考查了直线与圆的位置关系，属于基础题型，涉及一些最值问题，当点在圆的外部时，圆上的点到定点距离的最小值是圆心到直线的距离减半径，当点在圆外，可做两条直线与圆相切，当点在圆上，可做一条直线与圆相切，当点在圆内，过定点做圆的弦时，过圆心即直径最长，当定点是弦的中点时，弦最短，并且弦长公式是，R是圆的半径，d是圆心到直线的距离.15．1：2【解析】试题分析：，圆柱的侧面积，当且仅当时取等号，此时圆柱的侧面积与球的表面积之比为考点：圆柱侧面积16．【解析】试题分析：为三棱锥的高，为二面角平面角，即,所以三棱锥的体积为考点：三棱锥体积【思想点睛】空间几何体体积问题的常见类型及解题策略(1)若所给定的几何体是可直接用公式求解的柱体、锥体或台体，则可直接利用公式进行求解．(2)若所给定的几何体的体积不能直接利用公式得出，则常用转换法、分割法、补形法等方法进行求解．(3)若以三视图的形式给出几何体，则应先根据三视图得到几何体的直观图，然后根据条件求解．17．（1）详见解析（2）＝．【解析】试题分析：（1）由三视图，可知四棱锥的底面是正方形，侧面是全等的等腰三角形，所以该四棱锥是一个正四棱锥．作出它的直观图，根据线面垂直的判定与性质，可证出PA⊥BD；（2）假设存在点Q，使二面角Q-AC-D的平面角为30°，由AC⊥平面PBD可得∠DOQ为二面角Q-AC-D 的平面角，可证出在Rt△PDO中，OQ⊥PD，且∠PDO=60°，结合三角函数的计算可得＝．试题解析：（1）由三视图可知P－ABCD为四棱锥，底面ABCD为正方形，且PA＝PB＝PC＝PD，连接AC、BD交于点O，连接PO．因为BD⊥AC，BD⊥PO，所以BD⊥平面PAC，即BD⊥PA．（2）由三视图可知，BC＝2，PA＝2，假设存在这样的点Q，因为AC⊥OQ，AC⊥OD，所以∠DOQ为二面角Q－AC－D的平面角，在△POD中，PD＝2， OD＝，则∠PDO＝60°，在△DQO中，∠PDO＝60°，且∠QOD＝30°．所以DP⊥OQ．所以OD＝，QD＝．所以＝．考点：二面角的平面角及求法；空间中直线与直线之间的位置关系18．（I）（II）或【解析】试题分析：（1）由题意可得，A（0，3）B（-4，0），AB的中点（-2，）为圆的圆心，直径AB=5，从而可利用圆的标准方程求解；（2）圆C的弦AB长度为，所以圆心到直线的距离为1，设直线方程为y-=k（x-1），利用点到直线的距离公式，即可求弦AB所在直线的方程试题解析：（I）直线与两坐标轴的交点分别为，．（2分）所以线段的中点为，．（4分）故所求圆的方程为．（6分）（II）设直线到原点距离为，则．（8分）若直线斜率不存在，不符合题意．若直线斜率存在，设直线方程为，则，解得或．（11分）所以直线的方程为或．（12分）考点：直线和圆的方程的应用19．（1）（2）【解析】试题分析：（1）连接交于,由线面平行的性质定理，可得线线平行，再根据平行得相似，，再由得即得比例关系（2）设平面与平面的交线分别为，由线面平行的性质定理，可得线线平行：，，，根据是的中点,可确定为三等分点，最后根据等体积法求三棱锥体积试题解析：（1）连接交于,在中, 过作交于,平面平面平面,33,2,2AB BO PEAB CDCD DO ED==∴===.（2）过作交于,过作交于,则平面即为平面,则平面与平面的交线与平行, 即过作交于是的中点,, 则,又,则到平面旳距离为,则.考点：线面平行性质定理，三棱锥体积【思想点睛】垂直、平行关系证明中应用转化与化归思想的常见类型.(1)证明线面、面面平行，需转化为证明线线平行.(2)证明线面垂直，需转化为证明线线垂直.(3)证明线线垂直，需转化为证明线面垂直.20．（1）；（2）；（3）．【解析】试题分析：（1）利用，得圆心到直线的距离，从而，再进行化简，即可求解的值；（2）设点的坐标为，则代入①，化简即可求得线段中点的轨迹方程；（3）将面积表示为()()()114482446224ADP b S a a b a b a b ∆==+-=+-=-+-+，再利用基本不等式，即可求得的面积的最小值．试题解析：（1）直线的方程,即:, 圆圆心到的距离即：，化简得，．①（2）设点的坐标为,则代入①得即：为所求的轨迹方程．（3）()()()()()1144824462446426224ADP b S a a b a b a b a b ∆==+-=+-=-+-+≥--=,当时, 面积最小, 最小值为．考点：直线与圆的综合问题．【方法点晴】本题主要考查了直线与圆的综合问题，其中解答中涉及到点到直线的距离公式、轨迹方程的求解，以及基本不等式的应用求最值等知识点的综合考查，着重考查了转化与化归思想和学生分析问题和解答问题的能力，本题的解答中将面积表示为，再利用基本不等式是解答的一个难点，属于中档试题．21．（1）；（2）．【解析】试题分析：（1）根据正视图是底面边长为的平行四边形，侧视图是个长为，宽为的矩形，得到该几何体是一个平行六面体，其底面是边长为的正方形，高为，即可求解体积；（2）由（1）看出的几何体，知道该平行六面体中，面，面，得到侧棱长，表示几何体的表面积，得到结果．试题解析：（1）由三视图可知，该几何体是一个平行六面体（如图），其底面是边长为1的正方形，高为，所以．（2）由三视图可知，该平行六面体中平面，平面，∴，侧面，均为矩形，．考点：几何体的三视图；几何体的表面积与体积．22．（1）见解析，（2）【解析】试题分析：（1）证明线面平行常用方法：一是利用线面平行的判定定理，二是利用面面平行的性质定理，三是利用面面平行的性质；（2）利用棱锥的体积公式求体积．（3）证明线面垂直的方法：一是线面垂直的判定定理；二是利用面面垂直的性质定理；三是平行线法（若两条平行线中的一条垂直于这个平面，则另一条也垂直于这个平面．解题时，注意线线、线面与面面关系的相互转化．（4）在求三棱柱体积时，选择适当的底作为底面，这样体积容易计算．试题解析：（1）证明：（方法一）设线段的中点为，连接．∵为的中点，∴∵，且，∴四边形为平行四边形，∴．又，∴平面平面．∵平面，∴平面．（方法二）设线段的中点为，连接．∵为的中点，∴，且．又∵，且，∴，∴四边形为平行四边形，∴．∵平面平面，∴平面（2）解：（方法一）∵四边形为直角梯形，．∴四边形为正方形，为等腰直角三角形．∴，即．又∵平面，∴．又，∴平面，面平面，∴平面平面过作于点，则平面，即为点到平面的距离．∵，∴，∴，点到平面的距离为（方法二）设点到平面的距离为．∵，∴，∴．由方法一得，平面 ，∴，∴12232117172FC CD AF FC AF d AC AC CD ====． 考点：线面平行及点到平面的距离．21219 52E3 勣C40696 9EF8 黸38994 9852 顒N31488 7B00 笀U-v.37124 9104 鄄22196 56B4 嚴u20241 4F11 休22112 5660 噠。

四年级奥数上每日一题四年级奥数每日一题（9月1日）□÷30=21……□,余数最大是（），这时被除数是（）。

每日一题（9月2日）（）÷（）=12……39,被除数最小是多少？每日一题（9月3日）□□÷20=□……5,有（)种不同的填法。

每日一题（9月6日）已知△÷☆=◇，◇×☆+△=150，△=( )。

每日一题（9月7日）□26÷42=1□……□,被除数里的□可以填的数有（）种情况。

每日一题（9月8日）小马虎在计算除法时，把除数20看成26，结果得到的商是12，正确的商是多少？每日一题（9月9日）小马虎在计算除法时，把除数72写成27，结果得到的商是26还余18，正确的商是多少？每日一题（9月10日）除法数字迷每日一题（9月13日）一个数加12，小华把加号当成乘号，得到的结果是228，正确的计算结果应该是多少?逐日一题（9月14日）在一道减法算式中的被减数、减数与差相加，得数是54，已知减数是差的2倍，请问：被减数是多少？减数是多少？逐日一题（9月15日）除法数字谜逐日一题（9月16日）两个数相除，商是4，被除数、除数、商的和是124，被除数和除数各是多少？逐日一题（9月17日）两数相除的商是5，余数是8，被除数、除数、商和余数加起来的和是141，被除数是多少？9月26日书柜的上、下层共有96本书，如果上层给下层8本，两层就一样多了，上、下层各有多少本书？9月27日甲、乙两袋共57颗糖，乙袋给甲袋6颗糖还比甲袋多3颗。

甲、乙原来有多少颗糖？9月28日甲、乙、丙三个数，和为300，甲比乙大50，乙比丙大20,甲数是多少？9月29日在春游活动中4、5、六年级共有1200人，四年级比五年级多60人，六年级比五年级少42人，这三个年级各有多少人参加了秋游？9月30日甲、乙、丙三人储蓄，甲、乙两人共储蓄220元，乙、丙两人共储蓄180元，甲、丙两人共储蓄200元，问：三人共储蓄多少元？第六周逐日一题（10月8日）用一副三角尺能画出哪些度数的角？（10月9日）一个长方形纸片，沿一条直线剪去一个角，剩下的角可能是（）个。

2024-2025学年北京市西城区育才学校九年级上学期11月期中考试数学试题一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分。

在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.一副扑克牌中有“黑桃”、“红桃”、“梅花”、“方块”四种花色，其中外轮廓既是轴对称图形，又是中心对称图形的是()A. B. C. D.2.在平面直角坐标系xOy中，下列函数的图象经过点的是()A. B. C. D.3.一元二次方程的根的情况是()A.没有实数根B.有两个相等的实数根C.有两个不相等的实数D.无法确定4.将抛物线向上平移5个单位长度得到的抛物线是()A. B. C. D.5.在中，，CO平分，交AB于点以点C为圆心，CO长为半径作，则与AB的位置关系是()A.相交B.相切C.相离D.不确定6.学习了旋转后，小毓将图案绕某点以相同角度连续旋转若干次，设计出一个外轮廓为正五边形的图案如图，则不可能为()A. B. C. D.7.如图，AB为的直径，弦CD交AB于点E，，若，则的大小为()A. B. C. D.8.计算机处理任务时，经常会以圆形进度条的形式显示任务完成的百分比，下面是同一个任务进行到不同阶段时进度条的示意图：当任务完成的百分比为x时，线段MN的长度记为下列描述正确的是()A.当时，B.当时，C.当时，D.当时，二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分。

9.在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标是__________.10.若关于x的一元二次方程有一个根为1，则实数k的值为__________.11.已知的半径为5，若点P在内，则OP___________________填“>”，“=”或“<”12.请写出一个开口向上，并且与y轴交于点的抛物线的解析式__________.13.2024年6月27日，“探秘古蜀文明——三星堆与金沙”展览在北京大运河博物馆开幕．据了解，开幕第一周的参观人数为4万人，第三周的参观人数增加到万人．设参观人数的周平均增长率为x，则可列方程为__________.14.如图，将绕点A顺时针旋转得到，若，，则的度数为__________.15.斛是中国古代的一种量器.据《汉书.律历志》记载：“斛底，方而圜á其外，旁有庣ā焉”．意思是说：“斛的底面为：正方形外接一个圆，此圆外是一个同心圆”.如图所示，问题：现有一斛，其底面的外圆直径．．．．为两尺五寸即尺，“庣旁”为两寸五分即两同心圆的外圆与内圆的半径之差．．．．为尺，则此斛底面的正方形的边长为__________尺．16.若二次函数的部分图象如图所示，以下四个结论：①；②；③；④关于x的不等式的解集是其中正确结论的序号的是__________.三、解答题：本题共12小题，共96分。

第十一周双休日自主作业七年级数学作业本卷贰O 贰贰年贰月捌日编写； 出题人：令狐学复；欧阳化语；令狐理总。

作业时间是：120分钟 分值：100分 得分__________一、填空题。

1、用加减消元法解方程组⎩⎨⎧=+-=+12413y x y x ，由①×2—②得 。

2、在方程y x 413-＝5中，用含x 的代数式表示y 为：y ＝ ，当x ＝3时，y ＝ 。

3、在代数式k n m -+53中，当m ＝－2，n ＝1时，它的值是1，那么k ＝ ；当m ＝2，n ＝－3时代数式的值是 。

4、方程组⎩⎨⎧-=-=+2513n ny x ny mx 与⎩⎨⎧=+=-82463y x y x 有一样的解，那么m ＝ ，n ＝ 。

5、假设02)532(2=-+++-y x y x ，那么x ＝ ，y ＝ 。

6、有一个两位数，它的两个数字之和为11，把这个两位数的个位数字与十位数字对调，所得的新数比原数大63，设原两位数的个位数字为x ，十位数字为y ，那么用代数式表示原两位数为 ，根据题意得方程组⎩⎨⎧_________________________________。

7、假如x ＝3，y ＝2是方程326=+by x 的解，那么b ＝ 。

8、假设⎩⎨⎧-==21y x 是关于x 、y 的方程1=-by ax 的一个解，且3-=+b a ，那么b a 25-＝ 。

9、212=+-a a ，那么12+-a a 的值是 。

二、选择题。

10、在方程组⎩⎨⎧+==-1312z y y x 、⎩⎨⎧=-=132x y x 、⎩⎨⎧=-=+530y x y x 、⎩⎨⎧=+=321y x xy 、 ⎪⎩⎪⎨⎧=+=+1111y x y x 、⎩⎨⎧==11y x 中，是二元一次方程组的有〔 〕A 、2个B 、3个C 、4个D 、5个11、假如x y y x b a b a 2427773-+-和是同类项，那么x 、y 的值是〔 〕A 、x ＝－3，y ＝2B 、x ＝2，y ＝－3C 、x ＝－2，y ＝3D 、x ＝3，y ＝－212、假设二元一次方程73=-y x ，132=+y x ，9-=kx y 有公一共解，那么k 的取值为〔 〕A 、3B 、－3C 、－4D 、413、假设二元一次方程123=-y x 有正整数解，那么x 的取值应为〔 〕A 、正奇数B 、正偶数C 、正奇数或者正偶数D 、014、假设方程组⎩⎨⎧-=++=+ay x a y x 13313的解满足y x +=0，那么a 的取值是〔 〕A 、a =－1B 、a =1C 、a =0D 、a 不能确定15、方程14-=-x y ax 是二元一次方程，那么a 的取值为〔 〕A 、a ≠0B 、a ≠－1C 、a ≠1D 、a ≠216、解方程组⎩⎨⎧=-=+872y cx by ax 时，一学生把c 看错而得⎩⎨⎧=-=22y x ，而正确的解是⎩⎨⎧-==23y x 那么a 、b 、c 的值是〔 〕A 、不能确定B 、a ＝4，b ＝5，c ＝－2C 、a 、b 不能确定，c ＝－2D 、a ＝4，b ＝7，c ＝217、当2=x 时，代数式13++bx ax 的值是6，那么当2-=x 时这个式子的值是〔 〕A 、6B 、－4C 、5D 、1三、算一算！千万别出错！18、⎩⎨⎧=-=+1392x y y x 19、⎪⎩⎪⎨⎧=---=+1213343144y x y x20、你也来试试解方程组⎩⎨⎧=+=+39742722y x y x 解：原方程组化为⎩⎨⎧=+=++3974)97(3y x y x x ①② 将②代入①得5433-=∴=⨯+x x 把5-=x 代入②求得938=y ∴⎪⎩⎪⎨⎧=-=9385y x 你能用这种方法完成下面的题目吗？本卷贰O 贰贰年贰月捌日编写； 出题人：令狐学复；欧阳化语；令狐理总。

2024学年海口市高二数学上学期11月期中考试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.直线20x +-=的倾斜角为（）A.π3B.5π6C. D.3-2.已知复数z 在复平面内对应的点的坐标为(1,2)-，则z z ⋅=（）A.3- B.3C.4D.53.有一组样本数据1x 、2x 、L 、n x ，由这组数据得到新样本数据1y 、2y 、L 、n y ，其()1,2,,i i y x c i n =+= ，c 为非零常数，则下列说法正确的是（）①两组样本数据的样本平均数相同②两组样本数据的样本中位数相同③两组样本数据的样本标准差相同④两组样本数据的样本极差相同A.③④B.②③C.②④D.①③4.如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，,M N 分别为11,DB A C 的中点，则直线1A M 和BN 夹角的余弦值为（）A.3B.3C.23D.135.已知向量a 、b 满足2a = ，b = ，24a b -= ，则b 在a上的投影向量为（）A.2bB.2aC.12a- D.12a 6.在ABC V 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知ABC V 的面积为222S a b c =+-，则tan C 的值为（）A.14B.12C.2D.47.在四面体OABC 中，0O A O B O A O C O B O C ⋅=⋅=⋅= ，3332OC OB OA === ，2O D D C =，若点G 为ABC V 的重心，则点G 到直线BD 的距离为（）A.4B.3C.2D.68.先后抛掷一枚质地均匀的骰子两次，第一次出现的点数记为a ，第二次出现的点数记为b ，则下列事件发生的可能性最小的是（）A.6a b += B.2a b>C.2log a b> D.方程230ax bx ++=有实数解二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的部分分，有选错的得0分.9.下列利用方向向量、法向量判断线、面位置关系的结论中，正确的是（）A.两条不重合直线1l ，2l 的方向向量分别是()2,3,1a =-，()2,3,1b =-- ，则12l l //B.两个不同的平面α，β的法向量分别是()2,2,1u =- ，()3,4,2v =-，则αβ⊥C.直线的方向向量()112a ,,=- ，平面α的法向量是()6,4,1u =-，则l α⊥D.直线的方向向量()0,3,0a = ，平面α的法向量是()0,5,0u =-，则//l α10.对空中飞行的飞机连续射击两次，每次发射一枚炮弹，记事件A 为“两次都击中飞机”，事件B 为“两次都没击中飞机”，事件C 为“恰有一次击中飞机”，事件D 为“至少有一次击中飞机”，则（）A.A D⊆ B.B D =∅C.A C D+= D.A C B D-=+11.如图，P 是棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -的表面上一个动点，则下列说法正确的有（）A.当P 在平面11BCC B 内运动时，四棱锥11P AA D D -的体积不变B.当P 在线段AC 上运动时，1D P 与11A C 所成角的取值范围是ππ,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦C.当P 在平面1111D C B A 内运动时，使得直线AP 与平面ABCD 所成的角为45 的点P 的轨迹长度为πD.若F 是棱11A B 的中点，当P 在底面ABCD 上运动，且满足//PF 平面11B CD 时，PF 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.直线()23y ax a a =-+∈R 过定点______；13.已知事件A 和B 互斥，且()0.8P A B = ，()0.6P B =，则()P A =______.14.如图所示的平行六面体1111ABCD A B C D -中，已知1AB AA AD ==，160BAD DAA ∠=∠=︒，130BAA ∠=︒，N 为11A D 上一点，且111A N A D λ=．若BD AN ⊥，则λ的值为__；若M 为棱1DD 的中点，//BM平面1AB N ，则λ的值为__．四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知△ABC 的三个顶点分别为A （﹣3，0），B （2，1），C （﹣2，3），试求：（1）边AC 所在直线的方程；（2）BC 边上的中线AD 所在直线的方程；（3）BC 边上的高AE 所在直线的方程.16.如图，在四棱锥S ABCD -中，底面ABCD 为正方形，2SA AD ==，SA ⊥平面ABCD ，M 、N 分别为棱SB 、SC 的中点.（1）证明：平面AMND ⊥平面SBC ；（2）求点C 到平面AMND 的距离.17.在ABC V 中，a 、b 、c 分别为A 、B 、C 所对边，满足：cos cos cos a A b c B C=++且C A B >>；（1）求A ；（2）若()22a b c =-=，求BC 边上的高.18.已知某著名高校今年综合评价招生分两步进行：第一步是材料初审，若材料初审不合格，则不能进入第二步面试；若材料初审合格，则进入第二步面试．只有面试合格者，才能获得该高校综合评价的录取资格，且材料初审与面试之间相互独立，现有甲、乙、丙三名考生报名参加该高校的综合评价，假设甲、乙，丙三名考生材料初审合格的概率分别是13，12，14，面试合格的概率分别是12，13，23．（1）求甲考生获得该高校综合评价录取资格的概率；（2）求甲、乙两位考生中有且只有一位考生获得该高校综合评价录取资格的概率；（3）求三人中至少有一人获得该高校综合评价录取资格的概率．19.如下图，在ABC V 中，AC BC ⊥，2AC BC ==，D 是AC 中点，E 、F 分别是BA 、BC 边上的动点，且//EF AC ；将BEF △沿EF 折起，将点B 折至点P 的位置，得到四棱锥；（1）求证：EF PC ⊥；（2）若2BE AE =，二面角P EF C --是直二面角，求二面角P CE F --的正切值；（3）当PD AE ⊥时，求直线PE 与平面ABC 所成角的正弦值的取值范围．2024学年海口市高二数学上学期11月期中考试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.直线20x +-=的倾斜角为（）A.π3B.5π6C. D.3-【答案】B 【解析】【分析】求出给定直线的斜率，进而求出倾斜角.直线20x +-=的斜率3k =-，则该直线的倾斜角为5π6.故选：B.2.已知复数z 在复平面内对应的点的坐标为(1,2)-，则z z ⋅=（）A.3- B.3C.4D.5【答案】D【分析】由题意可知：12z i =-，根据共轭复数的概念以及乘法运算求解.由题意可知：12z i =-，所以()()12125⋅=-+=z z i i .故选：D.3.有一组样本数据1x 、2x 、L 、n x ，由这组数据得到新样本数据1y 、2y 、L 、n y ，其()1,2,,i i y x c i n =+= ，c 为非零常数，则下列说法正确的是（）①两组样本数据的样本平均数相同②两组样本数据的样本中位数相同③两组样本数据的样本标准差相同④两组样本数据的样本极差相同A.③④ B.②③C.②④D.①③【答案】A【分析】利用平均数公式可判断①；利用中位数的定义可判断②；利用标准差公式可判断③；利用极差的定义可判断④.对于①，设数据1x 、2x 、L 、n x 的平均数为x ，数据1y 、2y 、L 、n y 的平均数为y ，则()()()1212n n x c x c x c y y y y n n+++++++++==12n x x x ncx c n++++==+ ，故①错；对于②，设数据1x 、2x 、L 、n x 中位数为M ，数据1y 、2y 、L 、n y 的中位数为N ，不妨设12n x x x <<< ，则12n y y y <<< ，若n 为奇数，则12n M x +=，1122n n N y x c M c ++==+=+；若n 为偶数，则1222n nx x M ++=，112222222n nn n y y x x c N M c ++++===+.N M c =+，故②错；对于③，设数据1x 、2x 、L 、n x 的标准差为，数据1y 、2y 、L 、n y 的标准差为s '，s ='=s ==，故③对；对于④，不妨设12n x x x <<< ，则12n y y y <<< ，则数据1x 、2x 、L 、n x 的极差为1n x x -，数据1y 、2y 、L 、n y 的极差为()()111n n n y y x c x c x x -=+-+=-，故④对.故选：A.4.如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，,M N 分别为11,DB A C 的中点，则直线1A M 和BN 夹角的余弦值为（）A.3B.3C.23D.13【答案】C 【解析】【分析】以1,,DA DC DD 所在直线为,,x y z 轴，建立空间直角坐标系，根据向量夹角的余弦公式求解即可．分别以1,,DA DC DD 所在直线为,,x y z轴，建立如图所示空间直角坐标系，设正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，则()1(2,0,2),(1,1,0),(2,2,0),1,1,2A M B N ，所以()1(1,1,2),1,1,2MA BN =-=--设向量1MA与BN的夹角为θ，则1142cos 63MA BN MA BNθ⋅===⋅，所以直线1A M 和BN 夹角的余弦值为23，故选：C ．5.已知向量a 、b 满足2a =，b = ，24a b -= ，则b 在a上的投影向量为（）A.2bB.2aC.12a -D.12a 【答案】D 【解析】【分析】利用平面向量数量积的运算性质求出a b ⋅ 的值，再利用投影向量的定义可求得b 在a上的投影向量.因为向量a 、b满足2a =，b = ，24a b -= ，则222216441648a a b b a b a b =-⋅+==--⋅+ ，可得2a b ⋅=，所以，b 在a上的投影向量为221cos ,42a a b a a b b a b b a a a a a b a a⋅⋅⋅=⋅⋅=⋅==⋅.故选：D.6.在ABC V 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知ABC V 的面积为222S a b c =+-，则tan C 的值为（）A.14B.12C.2D.4【答案】D 【解析】【分析】利用三角形的面积公式和余弦定理即可求解.因为ABC V 的面积为222S a b c =+-，所以2221sin 2ab C a b c =+-，又∵222cos 2a b c C ab+-=，∴12cos sin 2ab C ab C =，则tan 4C =，故选:D.7.在四面体OABC 中，0O A O B O A O C O B O C ⋅=⋅=⋅= ，3332OC OB OA === ，2O D D C =，若点G 为ABC V 的重心，则点G 到直线BD 的距离为（）A.4B.3C.2D.6【答案】D 【解析】【分析】以射线OA ，OB ，OC 的方向分别为x 轴、y 轴、z 轴的正方向建立空间直角坐标系，应用向量法求距离.由题意知，在四面体OABC 中，OA ，OB ，OC 两两互相垂直，如图，以O 为原点，以射线OA ，OB ，OC 的方向分别为x 轴、y 轴、z 轴的正方向建立空间直角坐标系.∵1OA =，2OB =，3OC =，2O D D C =，∴1,0,0，()0,2,0B ，()0,0,3C ，()0,0,2D ，12,,133G ⎛⎫⎪⎝⎭，∴()0,2,2BD =-，14,,133BG ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，22214261333BG ⎛⎫⎛⎫=+-+=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()4142233BG BD ⎛⎫⋅=-⨯-+= ⎪⎝⎭，∴点G 到直线BD 的距离2221426639622BG BD d BG BD ⎛⎫⎛⎫ ⎪⋅ ⎪=-=- ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.故选：D8.先后抛掷一枚质地均匀的骰子两次，第一次出现的点数记为a ，第二次出现的点数记为b ，则下列事件发生的可能性最小的是（）A.6a b += B.2a b>C.2log a b > D.方程230ax bx ++=有实数解【答案】A 【解析】【分析】利用古典概型的概率公式求出各选项中事件的概率，即可得出合适的选项.样本空间中样本点的个数为2636=个，以(),a b 表示样本空间中的一个样本点，对于A 选项，记事件A =“6a b +=”，则()()()()(){}1,5,2,4,3,3,4,2,5,1A =，所以()536P A =；对于B 选项，记事件B =“2a b >”，则()()()()()(){}3,1,4,1,5,1,5,2,6,1,6,2B =，所以()61366P B ==；对于C 选项，记事件C =“2log a b >”，则()()()()()(){}3,1,4,1,5,1,5,2,6,1,6,2C =，所以，()61366P C ==；对于D 选项，记事件D =“方程230ax bx ++=有实数解”，则2120b a ∆=-≥，则()()()()()(){}4,1,5,1,5,2,6,1,6,2,6,3D =，所以，()61366P D ==.所以A 选项中的事件发生的概率最小.故选：A.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的部分分，有选错的得0分.9.下列利用方向向量、法向量判断线、面位置关系的结论中，正确的是（）A.两条不重合直线1l ，2l 的方向向量分别是()2,3,1a =-，()2,3,1b =-- ，则12l l //B.两个不同的平面α，β的法向量分别是()2,2,1u =- ，()3,4,2v =-，则αβ⊥C.直线的方向向量()112a ,,=- ，平面α的法向量是()6,4,1u =-，则l α⊥D.直线的方向向量()0,3,0a = ，平面α的法向量是()0,5,0u =-，则//l α【答案】AB【分析】运用空间线线平行，线面平行，线面垂直，面面垂直的向量证明方法,结合向量平行垂直的坐标结论，逐个判断即可.两条不重合直线1l ，2l 的方向向量分别是()2,3,1a =- ，()2,3,1b =-- ，则b a =- ，所以12l l //，A 正确；两个不同的平面α，β的法向量分别是()2,2,1u =- ，()3,4,2v =-，则()2324120u v ⋅=⨯-+⨯-⨯=，所以αβ⊥，B 正确；直线的方向向量()112a ,,=- ，平面α的法向量是()6,4,1u =- ，则()1614210a u ⋅=⨯-⨯+⨯-=，所以//l α或l α⊂，C 错误；直线的方向向量()0,3,0a = ，平面α的法向量是()0,5,0u =- ，则53u a =- ，所以l α⊥，D 错误．故选：AB10.对空中飞行的飞机连续射击两次，每次发射一枚炮弹，记事件A 为“两次都击中飞机”，事件B 为“两次都没击中飞机”，事件C 为“恰有一次击中飞机”，事件D 为“至少有一次击中飞机”，则（）A.A D⊆ B.B D =∅ C.A C D += D.A C B D-=+【答案】ABC【分析】利用随机事件的关系和运算直接判断选项即可.对空中飞行的飞机连续射击两次，其样本点有：“两次都击中飞机”，“两次都没击中飞机”，和“恰有一次击中飞机”，所以D A C =+，AC 正确；事件B 和事件D 交集为∅，且B D =Ω ，B 正确，D 错.故选：ABC11.如图，P 是棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -的表面上一个动点，则下列说法正确的有（）A.当P 在平面11BCC B 内运动时，四棱锥11P AA D D -的体积不变B.当P 在线段AC 上运动时，1D P 与11A C 所成角的取值范围是ππ,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦C.当P 在平面1111D C B A 内运动时，使得直线AP 与平面ABCD 所成的角为45 的点P 的轨迹长度为πD.若F 是棱11A B 的中点，当P 在底面ABCD 上运动，且满足//PF 平面11B CD 时，PF 【答案】AC【分析】A 选项，考虑底面积和高均未变，所以体积不变；B 选项，找到异面直线所成角即可判断；C 选项，找到P 的轨迹，计算即可；D 选项，找到P 的轨迹，计算即可.对于A 选项，底面正方形11AA D D 的面积不变，P 到平面11AA D D 的距离为正方体棱长，故四棱锥11P AA D D -的体积不变，故A 正确；对于B 选项，1D P 与11A C 所成的角即为1D P 与AC 所成的角，当P 在端点A 、C 时，所成的角最小，为π3，当P 在AC 的中点时，所成的角最大，为π2，故B 错误；对于C 选项，P 在平面1111D C B A 内运动，且直线AP 与平面ABCD 所成的角为45 ，如图①所示，因为平面1111//A B C D 平面ABCD ，所以直线AP 与平面1111D C B A 所成的角为45 ，因为1AA ⊥平面1111D C B A ，则AP 与平面1111D C B A 所成角为145APA ∠= ，因为1A P ⊂平面1111D C B A ，则11AA A P ⊥，所以，1AA P 为等腰直角三角形，则112A P AA ==，所以点P 在平面1111D C B A 内以1A 为圆心、2为半径的14圆弧，故P 的轨迹长度为12π2π4⨯⨯=，故C 正确；分别取11A D 、1DD 、BC 、1BB 、CD 的中点M 、N 、S 、E 、P ，由正方体的性质可知M 、N 、S 、E 、P 、F 六点共面，且为正六边形MNPSEF ，由中位线定理，11//MF B D ，11B D ⊂平面11B CD ，所以//MF 平面11B CD ，同理//MN 平面11B CD ，且MF MN M = ，MF 、MN ⊂平面MNPSEF ，所以平面//MNPSEF 平面11B CD ，所以FP 所在的平面为如图②所示的正六边形，当P 为BC 的中点时，FP 的长最小，为，故D 错误．故选：AC.【点睛】思路点睛：平移线段法是求异面直线所成角的常用方法，其基本思路是通过平移直线，把异面直线的问题化归为共面直线问题来解决，具体步骤如下：（1）平移：平移异面直线中的一条或两条，作出异面直线所成的角；（2）认定：证明作出的角就是所求异面直线所成的角；（3）计算：求该角的值，常利用解三角形；（4）取舍：由异面直线所成的角的取值范围是π0,2⎛⎤ ⎥⎝⎦，当所作的角为钝角时，应取它的补角作为两条异面直线所成的角．三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.直线()23y ax a a =-+∈R 过定点______；【答案】2,3【解析】【分析】将直线方程变形为()230a x y -+-=，由2030x y -=⎧⎨-=⎩可求得直线所过定点的坐标.将直线方程化为()230a x y -+-=，由2030x y -=⎧⎨-=⎩可得23x y =⎧⎨=⎩，因此，直线()23y ax a a =-+∈R 过定点()2,3.故答案为：()2,3.13.已知事件A 和B 互斥，且()0.8P A B = ，()0.6P B =，则()P A =______.【答案】0.4##25【解析】【分析】根据互斥事件及对立事件的概率相关知识进行求解.∵事件A 和B 互斥，∴()()()0.8P A B P A P B ⋃=+=，又()0.6P B =，∴()()1P B P B =-=10.60.4-=，∴()()0.80.4P A P B =-=.故答案为：0.4.14.如图所示的平行六面体1111ABCD A B C D -中，已知1AB AA AD ==，160BAD DAA ∠=∠=︒，130BAA ∠=︒，N 为11A D 上一点，且111A N A D λ=．若BD AN ⊥，则λ的值为__；若M 为棱1DD 的中点，//BM 平面1AB N ，则λ的值为__．【答案】①.1-②.23【分析】①BD AN ⊥ ，不妨取11AB AA AD ===，利用111()()0BD AN AD AB AA AD AD AA AD AD AB AA AD AB λλλ=-+=+--= ，即可得出λ．②连接1A B ，与1AB 交于点E ．连接1A M ，交AN 于点F ，连接EF ．//BM 平面1AB N ，可得//BM EF ．根据E 点为1A B 的中点，可得F 点为1A M 的中点．延长AN 交线段1DD 的延长线于点P ．利用平行线的性质即可得出．解：①BD AN ⊥ ，不妨取11AB AA AD ===，∴11111()()cos60cos30cos60022BD AN AD AB AA AD AD AA AD AD AB AA AD AB λλλλλλ=-+=+--=︒+-︒-︒== ．1λ∴=．②连接1A B ，与1AB 交于点E ．连接1A M ，交AN 于点F ，连接EF ．//BM 平面1AB N ，//BM EF ∴．E 点为1A B 的中点，F ∴点为1A M 的中点．延长AN 交线段1DD 的延长线于点P ．11//AA DD ，1A F FM =．112AA MP D P ∴==．∴11112A N AA ND D P==，∴11123A N A D = ．则23λ=．1-，23．【点睛】本题考查了向量三角形法则、数量积运算性质、平行线的性质、线面平行的性质定理，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知△ABC 的三个顶点分别为A （﹣3，0），B （2，1），C （﹣2，3），试求：（1）边AC 所在直线的方程；（2）BC 边上的中线AD 所在直线的方程；（3）BC 边上的高AE 所在直线的方程.【答案】（1）3x ﹣y +9＝0（2）2x ﹣3y +6＝0（3）2x ﹣y +6＝0【解析】【分析】（1）利用直线方程的两点式，即可求解；（2）求出BC 边上的中点D 坐标，利用,A D 两点坐标，即可求出直线方程；（3）求出直线BC 的斜率，即可得到高AE 的斜率，利用直线方程的点斜式，即可求解.（1）∵A （﹣3，0），C （﹣2，3），故边AC 所在直线的方程为：3233x y +=-+，即3x ﹣y +9＝0，（2）BC 边上的中点D （0，2），故BC 边上的中线AD 所在直线的方程为132x y +=-，即2x ﹣3y +6＝0，（3）BC 边斜率k 131222-==-+，故BC 边上的高AE 的斜率k ＝2，故BC 边上的高AE 所在直线的方程为y ＝2（x +3），即2x ﹣y +6＝0.【点睛】本题考查直线方程，熟练掌握直线方程的各种形式是解题的关键，属于基础题.16.如图，在四棱锥S ABCD -中，底面ABCD 为正方形，2SA AD ==，SA ⊥平面ABCD ，M 、N 分别为棱SB 、SC 的中点.（1）证明：平面AMND ⊥平面SBC ；（2）求点C 到平面AMND 的距离.【答案】（1）证明见解析（2【解析】【分析】（1）推导出AM ⊥平面SBC ，再利用面面垂直的判定定理可证得结论成立；（2）证明出//BC 平面AMND ，可知点C 到平面AMND 的距离等于点B 到平面AMND 的距离，推导出SB ⊥平面AMND ，即可求得点C 到平面AMND 的距离.【小问1详解】因为M 、N 分别为棱SB 、SC 的中点，则//MN BC ，因为四边形ABCD 为正方形，则//AD BC ，所以，//MN AD ，所以，A 、D 、M 、N 四点共面，因为四边形ABCD 为正方形，则BC AB ⊥，因为SA ⊥平面ABCD ，⊂BC 平面ABCD ，则BC SA ⊥，因为SA AB A ⋂=，SA 、AB ⊂平面SAB ，所以，⊥BC 平面SAB ，因为AM ⊂平面SAB ，则AM BC ⊥，因为SA AD AB ==，M 为SB 的中点，则AM SB ⊥，因为SB BC B = ，SB 、⊂BC 平面SBC ，所以，AM⊥平面SBC ，因为AM ⊂平面AMND ，所以，平面AMND ⊥平面SBC .【小问2详解】因为//MN BC ，MN ⊂平面AMND ，BC ⊄平面AMND ，所以，//BC 平面AMND ，所以，点C 到平面AMND 的距离等于点B 到平面AMND 的距离，因为SA ⊥平面ABCD ，AD ⊂平面ABCD ，则AD SA ⊥，因为AD AB ⊥，SA AB A ⋂=，SA 、AB ⊂平面SAB ，所以，AD ⊥平面SAB ，因为SB ⊂平面SAB ，则SB AD ⊥，因为AM SB ⊥，AM AD A = ，AM 、AD ⊂平面AMND ，所以，SB ⊥平面AMND ，因为SA ⊥平面ABCD ，AB ⊂平面ABCD ，则SA AB ⊥，所以，SB ===，所以，点C 到平面AMND 的距离等于12BM SB ==.17.在ABC V 中，a 、b 、c 分别为A 、B 、C 所对边，满足：cos cos cos a A b c B C =++且C A B >>；（1）求A ；（2）若()22a b c =-=，求BC 边上的高.【答案】（1）π3A =（2）334【解析】【分析】（1）利用余弦定理化简可得出222b c a bc +-=，利用余弦定理求出cos A 的值，结合角A 的取值范围可得出角A 的值；（2）利用余弦定理以及三角形的面积公式求解.【小问1详解】因为cos cos cos a A b c B C=++，则cos cos cos cos a B a C b A c A +=+，由余弦定理可得2222222222222222a c b a b c b c a b c a a a b c ac ab bc bc+-+-+-+-⋅+⋅=⋅+⋅，整理可得2332a b b c a c -=-，即()()2220b c b c bc a ++--=，因为0b c +>，所以，222b c a bc +-=，由余弦定理可得2221cos 22b c a A bc +-==，因为()0,πA ∈，则π3A =.【小问2详解】由（1）知，π3A =．由余定理得2222cos a b c bc A =+-，即()22241b c bc b c bc bc =+-=-+=+，所以3bc =．于是，11sin 32224ABC S bc A ==⨯⨯= ．设BC 边上的高为h ，则12ABC S ah =，即1224h ⨯=，得h =，即BC 边上的高为334．18.已知某著名高校今年综合评价招生分两步进行：第一步是材料初审，若材料初审不合格，则不能进入第二步面试；若材料初审合格，则进入第二步面试．只有面试合格者，才能获得该高校综合评价的录取资格，且材料初审与面试之间相互独立，现有甲、乙、丙三名考生报名参加该高校的综合评价，假设甲、乙，丙三名考生材料初审合格的概率分别是13，12，14，面试合格的概率分别是12，13，23．（1）求甲考生获得该高校综合评价录取资格的概率；（2）求甲、乙两位考生中有且只有一位考生获得该高校综合评价录取资格的概率；（3）求三人中至少有一人获得该高校综合评价录取资格的概率．【答案】（1）16；（2）518；（3）91216．【解析】【分析】设事件A 、B 、C 分别为“甲、乙、丙获得该高校综合评价录取资格”，根据独立事件概率计算方法可直接求出()P A 、()P B 、()P C .由此可得(1)题答案，(2)题概率为()()()()()P AB AB P A P B P A P B +=+，(3)题可先计算其对立事件概率从而求解．【小问1详解】设事件A 表示“甲获得该高校综合评价录取资格”，则()111326P A =⨯=；【小问2详解】设事件B 表示“乙获得该高校综合评价录取资格”，则()111236P B =⨯=，则甲、乙两位考生有且只有一位考生获得该高校综合评价录取资格的概率为：()()()()()1111511666618P P AB AB P A P B P A P B ⎛⎫⎛⎫=+=+=⨯-+-⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；【小问3详解】设事件C 表示“丙获得该高校综合评价录取资格”，则()121436P C =⨯=，三人中至少有一人获得该高校综合评价录取资格的对立事件是三人都没有获得该高校综合评价录取资格，三人中至少有一人获得该高校综合评价录取资格的概率为：()1119111111666216P P ABC ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=----= ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭．19.如下图，在ABC V 中，AC BC ⊥，2AC BC ==，D 是AC 中点，E 、F 分别是BA 、BC 边上的动点，且//EF AC ；将BEF △沿EF 折起，将点B 折至点P 的位置，得到四棱锥；（1）求证：EF PC ⊥；（2）若2BE AE =，二面角P EF C --是直二面角，求二面角P CE F --的正切值；（3）当PD AE ⊥时，求直线PE 与平面ABC 所成角的正弦值的取值范围．【答案】（1）证明见解析（2（3）0,4⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭【解析】【分析】（1）根据线面垂直判定定理证明线面垂直得出线线垂直；（2）根据直二面角建立空间直角坐标系求二面角余弦进而求出正弦值计算正切值即可；（3）先建立空间直角坐标系，再设坐标结合垂直关系求参，最后结合线面角的正弦应用以及对勾函数单调性得出范围即可.【小问1详解】因为,//AC BC AC EF ⊥，所以EF BC ⊥，即,,,,EF FC EF PF PF FC F PF FC ⊥⊥⋂=⊂平面PFC ，⊥EF 平面PFC ，PC ⊂平面PFC ，所以.EF PC ⊥【小问2详解】因为二面角P EF C --是直二面角，所以平面PEF ⊥平面EFC ，平面PEF 平面EFC EF =，,PF EF PF ⊥⊂平面PEF ，PF ⊥平面EFC ，以,,FE FC FP 分别为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，设平面CEF 法向量为()0,0,1n = ，42424420,0,,0,,0,,0,0,0,,,,,03333333P C E PC CE ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭设平面PCE 法向量为(),,m x y z = 2403342033y z x y ⎧-=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，令1z =，得2,1y x ==，所以()1,2,1m = ，设二面角P CE F --为θ，·cos 6n m n m θ===⨯.sin 6θ=====，sin 6tan cos 66θθθ===【小问3详解】分别以B 反方向和C 方向分别为,x y 轴，过F 做BC 的垂线为z 轴，设()()0,,,0,,0P m n F t ，()()()1,0,0,2,0,0,2,,0D A E t t ---，显然0n >，()(),,0,1,,AE t t PD m n ==--- ，·0AE PD t mt =--= ，得出1m =-，则()0,1,P n -，则()2,1,PE t t n =-+- ，根据翻折后勾股定理得()()22212n t t ++=-，化简得236n t =-，因为构成直角三角形，则21t t ->+，且0t >，解得102t <<，设平面ABC 的法向量为()0,0,1n = ，设直线PE 与平面ABC 所成角为β，·sin ·PE p PE pβ== 则()()222223636312sin 2882442136tt t t t t t t t t β---===⨯-+-+-+++-，令2443212t t t y -⨯-=+，10,2t ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，令12t a -=，则12a t -=，且()0,1a ∈，221669691164422aa y a a a a a a==⨯=⨯++--⎛⎫++-⨯+ ⎪⎝⎭，根据对勾函数9y a a=+在0,1上单调递减，且恒大于0，则函数1696a y a ⨯+=+在0,1单调递增，则30,8y ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，即23sin 0,8β⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则6sin 0,4β⎛⎫∈ ⎪ ⎪⎝⎭，即正弦值的取值范围60,4⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭.【点睛】方法点睛：先建立空间直角坐标系，再设坐标结合垂直关系求参，最后结合线面角的正弦应用基本不等式得出范围即可.。

2025年北师大版三年级数学上册阶段测试试卷含答案考试试卷考试范围：全部知识点；考试时间：120分钟学校：______ 姓名：______ 班级：______ 考号：______总分栏一、选择题(共5题，共10分)1、一列火车上午9时30分开出，下午5时20分到达终点．这列火车运行的时间是（）A. 4小时10分钟B. 14小时50分钟C. 7小时50分钟2、少先队员在烈士陵园栽树，栽了22行，每行11棵，一共栽树( )棵树。

A. 222B. 232C. 2423、432÷4的商是（）位数．A. 2B. 3C. 14D. 54、大于0.1而小于0.2的数有（）A. 没有B. 1个C. 9个D. 无数个5、832÷4商是（）A. 28B. 280C. 208二、填空题(共9题，共18分)6、裤子219元，帽子129元，吴小姐要买这两件衣服，大约应该准备____元就可以．7、2013年的全年有____天；国庆节在第____季度，这一季度有____天．8、横线上最大能填几．6×____＜40； 5×____＜43；____×8＜29．9、17个百乘3是____个百，是____．10、在读书活动中，小丽读了7本，小明读了5本，小华读了4本，小军读了8本，平均每人读____本课外书．11、在横线上填上“＞”“＜”或“=”．1______0.91.2元______1元2角。

1米5分米______1.6米12、在6530、6350、6305、5306、5036这几个数中，____最大，____最小．13、今年共有____天，第二季度的最后一天是____月____日．14、找规律；填空：（1）____，____；76，70，64，58，52，46；（2）____；66，56，47，39，32，26，21；（3）1，2，2，4，8，32，____；（4）2，6，12，20，30，42，____，72，90．三、判断题(共9题，共18分)15、任何不为0的数，除以或者乘0都得0．____（判断对错）16、相邻的两个常用的面积单位间的进率是1000．____（判断对错）17、420×5的积末尾只有一个0．____．（判断对错）18、在乘法里，积一定大于任何一个因数．____（判断对错）19、403×3≈1209．____（判断对错）20、2012年有365天，其中2月有28天．____．（判断对错）21、从下面的两个盒子中分别任意摸出一个球，摸到红球的可能性相同．____（判断对错）22、二月份只有闰年才有28日．____（判断对错）23、红星小学有甲、乙两个小合唱队，每个队都是由学校内的6个学生组成，甲队有4个学生的身高比乙队4个学生的身高更高，甲队的平均身高肯定比乙队的平均身高更高．____（判断对错）评卷人得分四、证明题(共2题，共20分)24、已知：如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，E是CD中点，BE的延长线与AD的延长线相交于点M．求证：BE=EM．25、如图1；在正方形ABCD中，对角线AC与BD相交于点E，AF平分∠BAC，交BD于点F．（1）求证：EF+AC=AB；（2）点C1从点C出发，沿着线段CB向点B运动（不与点B重合），同时点A1从点A出发，沿着BA的延长线运动，点C1与A1的运动速度相同，当动点C1停止运动时，另一动点A1也随之停止运动．如图2，A1F1平分∠BA1C1，交BD于点F1，过点F1作F1E1⊥A1C1，垂足为E1，请猜想E1F1，A1C1与AB三者之间的数量关系；并证明你的猜想；（3）在（2）的条件下，当A1E1=3，C1E1=2时，求BD的长．评卷人得分五、问答题(共4题，共12分)26、边长是1厘米的正方形。

2024-2025学年北京市丰台区高二上学期11月期中考试数学检测试题一、单选题（本大题共10小题）1．已知，，且，则（ ）(2,1,1)a =- (42)b x =- ,,//a b x =A ．B ．C ．2D ．1010-2-2．若直线过两点和，则直线的倾斜角为（ ）l (0,0)l A ．B ．C ．D ．2π3π35π6π63．过点，且横、纵截距相等的直线方程为（ ）(1,4)A A ．或B ．或4y x =y x=50x y ++=4y x =C ．或D ．或30x y -+=50x y +-=50x y +-=4y x=4．已知以点为圆心，为半径的圆，则点与圆的位置关系是（ ）()0,12C ()1,2M C A ．在圆内B ．在圆上C ．在圆外D ．无法判断5．如图，在平行六面体中，，为线段CH 的中点，ABCD EFGH -AD AB a b AE c ===,,I 则可表示为（ ）AIA ．B ．1122-++ a b c1122a b c ++C ．D ．1122a b c--+1122a b c -+ 6．在空间直角坐标系中，若点关于轴的对称点为点，点Oxyz ()1,2,3B -y B '关于平面的对称点为点，则（ ）()1,1,2C -Oyz C 'B C ''=A ．B ．()2,1,1--()0,3,5-C ．D ．()2,1,1-()0,3,5-7．过原点且倾斜角为的直线被圆所截得的弦长为（ ）30︒22(2)4x y +-=A ．1B ．2C ．D ．8．设A ，B 是x 轴上的两点，点P 的横坐标为2，且，若直线PA 的方程为||||PA PB =，则直线PB 的方程为（ ）10x y -+=A ．B ．270x y +-=240x y --=C ．D ．50x y +-=10x y +-=9．在棱长为4的正方体内有一点P ，它到该正方体共顶点的三个面的距离分别为2，1，1，记正方体的中心为点O ，则OP =（ ）A ．B ．C ．2D ．10．在棱长为2的正四面体ABCD 中，点M 满足=x +y -(x +y -1)，点NAM ABAC AD 满足=λ+(1-λ)，当AM 、BN 最短时，·=（ ）BN BA BC AM MNA ．-B ．C ．-D ．43431313二、填空题（本大题共5小题）11．圆的圆心坐标为 ；半径为 .222690x y x y +-++=12．已知直线，且的方向向量为，平面的法向量为，则 l α∥l (2,,1)m α(1,1,2)m =.13．已知两平行直线，，则与间的距离是1:230l x y +-=21:20l x my +-=1l 2l .14．已知，，，若四点共面，则实数(2,1,3)AB =- (112)AC =--,,(21)AD λ=- ,,,,,A B C D.λ=15．在平面直角坐标系中，定义为两点1212(,)max{||,||}d A B x x y y =--的“切比雪夫距离”，又设点及直线上任一点，称的最小11(,),A x y 22(,)B x y P l Q (,)d P Q 值为点到直线的“切比雪夫距离”，记作.已知点和直线，P l (,)d P l (3,1)P :210l x y --=则=；若定点，动点满足，则点所在(,)d P l 00(,)C x y (,)P x y ()(0)d C P r r =>,P 的曲线所围成图形的面积是.三、解答题（本大题共6小题）16．已知直线过点，直线：．1l (2,2)2l y x =(1)若，求直线的方程；12l l ⊥1l (2)若直线与轴和直线围成的三角形的面积为，求直线的方程．1l x 2l 21l 17．如图所示，在三棱柱中，，，111ABC A B C -1,,CA a CB b CC c ===1=2CA CB CC ==，，点是棱的中点，点在棱上，且12π3ACB ACC ∠=∠=1π2BCC ∠=N AB M 11C B .112C M MB =(1)用表示向量；,,a b c AM(2)求；AM (3)求证.1AM A N⊥18．已知圆，圆及点.22:2440C x y x y +-+-=221:(3)(1)4C x y -+-=(3,1)P (1)判断圆和圆的位置关系，并说明理由；C 1C (2)若斜率为的直线经过点且与圆相切，求直线的方程.k l P C l 19．如图，在长方体中，，，点在上，且1111ABCD A B C D -3AB =12AD AA ==E AB .1AE =(1)求直线与直线所成角的大小；1BC CE (2)求直线与平面所成角的正弦值；1BC 1A EC (3)若点在侧面上，且点到直线和的距离相等，求点P 到直线距P 11A ABB P 1BB CD 1AD 离的最小值．20．如图，在四棱锥中，平面，为等腰三角形，P ABCD -CD ⊥PAD PAD △，，，点分别为棱的中点．PA PD ==AD BC ∥22AD CD BC ===,E F ,PD PB(1)求证：直线平面；//BD AEF (2)求直线到平面的距离；BD AEF(3)试判断棱上是否存在一点G ，使平面与平面夹角的余弦值为PC AEF ADG 若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.PGPC 21．已知圆M 的圆心在y 轴上，半径为2，且经过点.(2,2)A (1)求圆M 的标准方程；(2)设点，过点D 作直线，交圆M 于P ，Q 两点（P ，Q 不在y 轴上），过点(0,1)D 1l D 作与直线垂直的直线，交圆M 于E ，F 两点，记四边形EPFQ 的面积为S ，求1l2l S 的最大值.答案1．【正确答案】C【详解】由题意得，即，b ka =()()4,2,2,1,1x k -=-所以，解得.422kk x k =⎧⎪-=-⎨⎪=⎩2x k ==故选：C2．【正确答案】B【详解】由题意，设直线的斜率为，倾斜角为l k α故tan k α===由于，故[0,)απ∈π3α=故选：B3．【正确答案】D【详解】解：当直线过原点时，直线的斜率为，则直线方程为；4k =4y x =当直线不过原点时，设直线方程为，则，解得，x y a +=14a +=5a =所求的直线方程为，50x y +-=综上知，所求直线方程为或．4y x =50x y +-=故选：D.4．【正确答案】A 【详解】由题意，圆心，点，圆的半径为，()0,1C ()1,2M C 2，2=<因此，点在圆内.()1,2M C 故选：A.5．【正确答案】B【详解】由题可得：，CH CD CG BA AE a c =+=+=-+所以.()11112222AI AB BC CI AB AD CH a b a c a b c=++=++=++-+=++ 故选：B.6．【正确答案】A【详解】因为点关于轴的对称点为点，则，()1,2,3B -y B '()1,2,3B '-因为点关于平面的对称点为点，则，()1,1,2C -Oyz C '()1,1,2C '--因此，.()2,1,1B C ''=--故选：A.7．【正确答案】B【详解】过原点且倾斜角为的直线为，即，30︒tan 30y x =︒y x =圆心到的距离，()0,2y x=d ==故直线被圆所截得的弦长为.22(2)4x y +-=22==故选：B8．【正确答案】C 【详解】如图：因为点在直线上，且横坐标为2，所以点坐标为，P 10x y -+=P (2,3)点为直线与轴交点，所以，A 10x y -+=x ()1,0A -又点在轴上，且，B x PA PB=则点是的中点，所以，(2,0),A B ()5,0B 所以直线PB 的方程为，即.053025y x --=--50x y +-=故选：C.9．【正确答案】D【详解】由题意知在棱长为4的正方体内有一点P ，它到该正方体共顶点的三个面的距离分别为2，1，1，不妨设该顶点为D ，以D 点为坐标原点，建立如图所示空间直角坐标系：则，根据正方体的对称性，可取，()2,2,2O ()2,1,1P 故OP ==故选：D10．【正确答案】A【分析】首先由向量的关系式得M ∈平面BCD ，N ∈直线AC ，由条件判断点，线，面的位置关系，结合向量数量积的运算，即可求解.【详解】由共面向量定理和共线向量定理可知，M ∈平面BCD ，N ∈直线AC ，当AM 、BN 最短时，AM ⊥平面BCD ，BN ⊥AC ，所以M 为△BCD 的中心，N 为AC 的中点，此时，2||=∴||=MC 260sin ︒MC∵AM ⊥平面BCD ，MC ⊂平面BCD ，∴AM ⊥MC ，∴|MA又=(+)，MN 12MCMA ∴·=(·+·)AM MN 12AM MC AM MA=-||2=-.12MA43故选：A.11．【正确答案】；(1,3)-1【分析】配方后可得圆心坐标和半径．【详解】将圆的一般方程化为圆标准方程是，22(1)(3)1x y -++=圆心坐标为，半径为．(1,3)-1故；．(1,3)-112．【正确答案】4-【详解】因为直线，且的方向向量为，平面的法向量为，l α∥l (2,,1)m α(1,1,2)所以，解得.211120m ⨯+⨯+⨯=4m =-故4-13．【正确答案【详解】由两直线平行可知，此时4m =2:2410l x y +-=将可化为，1:230l x y +-=2460x y +-=所以与1l 2l =故14．【正确答案】3【详解】因为四点共面，,,,A B C D 所以存在实数，使得，即，,x y AD xAB y AC =+()()()2,1,2,1,31,1,2x y λ-=-+--所以，解得，22132x y x y x y λ=-⎧⎪-=-+⎨⎪=-⎩103x y λ=⎧⎪=⎨⎪=⎩所以.3λ=故答案为.315．【正确答案】4324r 【详解】设为直线上一点，则，(),21Q x x -:210l x y --=(){},max 3,22d P Q x x =--由，解得，即有，当时，取得最小值，322x x -≥-513x -≤≤(),3d P Q x =-53x =43由，解得或，即有，322x x-<-53x >1x <-(),22d P Q x =-的范围为，无最小值，(),d P Q ()444,,,33∞∞∞⎛⎫⎛⎫+⋃+=+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭综上，的最小值为，(),d P Q 43所以.()4,3d P l =设轨迹上动点为，则，P (x,y )(){}00,max ,d C P x x y y r=--=等价于或，000y y x x x x r ⎧-≤-⎪⎨-=⎪⎩000y y x x y y r ⎧-≥-⎪⎨-=⎪⎩所以点的轨迹是以为中心，边长为的正方形，P ()00,C x y 2r 所以点所在的曲线所围成图形的面积为.P 24r 故24,4.3r 16．【正确答案】(1)40x y +-=(2)或2x =220x y -+=【详解】（1）设直线的斜率为，直线的斜率为1l 1k 2l 2k 因为，所以12l l ⊥121k k =-又因为，所以2=1k 1=1k -又因为直线过点1l (2,2)直线的方程为，即．1l 2(1)(2)y x -=--40x y +-=（2）若直线斜率不存在，则直线：1l 1l 2x =此时，直线与轴和直线围成的三角形面积为，符合题意．1l x 2l 2若直线斜率存在，设直线的斜率为1l 1l (0)k k ≠设直线：，与轴交点为点1l (22)y k x -=-x A 令，解得=0y 2=2x k-所以点坐标为A 2(2,0)k -直线与直线的交点为点1l 2l (2,2)因为直线与轴和直线围成的三角形面积为1l x 2l 2即1S=2|OA|=22⨯⨯即，可求得2|2|=2k -1=2k 则直线的方程为1l 12(2)2y x -=-综上：直线的方程为或．1l 2x =220x y -+=17．【正确答案】(1)23AM a b c=-++(2)AM =u u u r (3)证明见解析【详解】（1）；1123AM CM CA CC C M CA a b c=-=+-=-++（2），2223AM a b c ⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭ 4411148=4+4+42224=93229⎛⎫⎛⎫⨯-⨯⨯⨯--⨯⨯- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭则AM =（3）1111()()2A N CN CA CA CB CA CC =-=+-+u u u r u u u r u u u r u u r u u r u u r u u u r ，11122CA CB CC =-+-u ur u u r u u u r 1122a b c=-+- 所以1211()()322AM A N a b c a b c ⋅=-++⋅-+-22211111122322323a a b a c a b b b c a c b c c =-⋅-⋅-⋅++⋅+⋅-⋅- 22211511+23626a b c a b a c b c =+--⋅⋅-⋅ ，151112+222222+22036222=⨯⨯-⨯-⨯⨯⨯-⨯⨯⨯--（）（）0=所以，即.1AM A N ⊥1AM A N ⊥18．【正确答案】(1)圆和圆相交，理由见解析C 1C (2)或.1y =125410x y +-=【详解】（1）圆方程可整理为：，则圆心，半径，C 22(1)(2)9x y -++=(1,2)C -3r =由圆方程可知：圆心，半径，1C 1(3,1)C 12r =因为，，，1||CC ==15r r +=11r r -=所以，111||r r CC r r -<<+所以圆和圆相交.C 1C （2）当过的直线斜率不存在，(3,1)P 即直线为时，其与圆不相切，3x =C 所以可设所求切线方程为：，即，1(3)y k x -=-310kx y k --+=所以圆心到切线的距离，即，解得：或，C 3d ==2299(32)k k +=-0k =125k =-所以切线方程为：或，即或.1y=121(3)5y x -=--1y =125410x y +-=19．【正确答案】(1)60︒(3)1【详解】（1）以为坐标原点，分别以所在直线为轴，轴，轴建立D 1,,DA DC DD x y z 空间直角坐标系，如图所示：(0,0,0),(0,3,0),(2,0,0)(2,3,0),D C A B ，,11(2,1,0),(2,0,2),(0,3,2)E A C 则，1(2,0,2),(2,2,0)BC EC =-=-uu u r u u u r，1111cos ,2BC EC BC EC BC EC ⋅∴===所以直线与直线所成角为.1BC EC 60︒（2）设平面的一个法向量为，1A EC (,,)n x y z = ，1(0,1,2),(2,2,0)A E EC =-=-u u u r u u u r因为，所以，即，1n A E n EC ⎧⊥⎪⎨⊥⎪⎩ 100n A E n EC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ 20220y z x y -=⎧⎨-+=⎩令，则，所以，1z =2x y==(2,2,1)n = 设直线与平面所成角为，1BC 1A EC θ则，1sin cos ,BCθ= 所以直线与平面所成角的正弦值为.1BC 1A EC（3）设，根据题意有，即，(2,,),[0,3],[0,2]P a b a b ÎÎ3a -=22(3)4b a =--1(0,,),(2,0,2)AP a bAD ==-u u u r u u u r 则点到的距离P 1ADd =，==当时，取得最小值 1.1a =d 所以点到的距离最小值为 1.P 1AD 20．【正确答案】(1)证明见解析(3)存在，3=4PG PC 【详解】（1）连接，如图所示：BD ，因为点分别为棱的中点，,E F ,PD PB 所以是的中位线，EF PBD △所以，//EF BD 因为平面，平面，EF ⊂EFA BD ⊄EFA 所以平面；//BD EFA （2）由（1）知直线到平面的距离等于点到平面的距离，BD AEF B AEF 取中点，连接，AD O ,OB OP 因为，//,22AD BC AD BC ==所以四边形为平行四边形，OBCD 所以，//OB DC 因为平面，所以平面，CD ⊥PAD OB ⊥PAD 所以，,OB AD OB OP ^^因为为中点，,PA PD O =AD所以，PO AD ⊥，以为坐标原点，分别以所在直线为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，O ,,OA OB OP x y z 如图所示：，(0,0,0),(1,0,0)(0,2,0),(1,0,0)O A B D ，-1(0,0,2),(1,2,0),(,0,1),(0,1,1)2P C E F --设平面的一个法向量为，AEF (,,)n x y z = 因为，所以，所以，n AE n EF ⎧⊥⎪⎨⊥⎪⎩ 00n AE n EF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ 302102x z x y ⎧-+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩设，则所以， ，=2x 1,3y z =-=(2,1,3)n =-r (1,2,0)AB =- 所以直线到平面的距离BD AEF d（3）棱上存在点，使平面与平面夹角的余弦值为PC G AEF ADG 设(01)PG PC λλ=≤≤ (2,0,0),(1,0,2),(1,2,2)AD AP PC =-=-=--u u u r u u u r u u u r (1,0,2)(1,2,2)(1,2,22)AG AP PG λλλλλ=+=-+--=--- 设平面的一个法向量为ADG (,,)m x y z = 因为，所以，，m AD m AG ⎧⊥⎪⎨⊥⎪⎩ 00m AD m AG ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ 201)2(22)0x x y z λλλ-=⎧⎨--++-=⎩（设，则，所以，z λ=1,1x y λ=-=-(0,1,)n λλ=-cos ,n m n m n m ⋅=== 解得，3=[0,1]4λ∈所以.3=4PG PC21．【正确答案】(1)22(2)4x y +-=(2)7【详解】（1）因为圆M 的圆心在y 轴上，可设圆心坐标为，(0,)M b 又因为半径为2，且经过点，(2,2)A -所以，解得：，||2AM ==2b =所以圆M 的标准方程为.22(2)4x y +-=（2）直线的斜率存在，设直线的方程，即，1l 1l 1y kx =+10kx y -+=则圆心到直线的距离(0,2)1l 1d==所以||PQ ==若，则直线斜率不存在，0k =2l 则，则|||4PQ EF ==1||||2S EF PQ =⋅=若，则直线得方程为，即，0k ≠2l 11y x k =-+0x ky k +-=则圆心到直线的距离(0,2)2l 2d =||EF ==则1||||2S EF PQ=⋅==,7==≤=当且仅当，即时取等号，221k k =1k =±综上所述，因为7=>所以S 的最大值为7.。

苏教版初中数学九年级下册第二学期第11周周考试卷一、填空题（每小题2分，共24分） 1.-5的倒数是 .2.某种电子元件的面积大约为0.000 000 46平方毫米，用科学记数法表示为________平方毫米． 3.函数y =中，自变量x 的取值范围是________． 4.271的立方根是________． 5.()3242aa a -+⋅= ．6.如图,已知：a ∥b ，∠3＝137°，则∠2＝ °．7.(a+2b)(a-2b)＋2b 2= 。

8.已知21x y =⎧⎨=⎩是二元一次方程组21mx ny nx my +=⎧⎨-=⎩的解，则m ＋3n 的值为．9．一组数据－1，5，1，2，b 的唯一众数为－1，则数据－1，5，1，2，b 的中位数为________． 10．关于x 的一元二次方程x 2-6x +2k=0有两个不相等的实数根，则实数k 的取值范围是．11. 已知点A （m ，n ）是一次函数3y x =-+和反比例函数1y x=的交点，则代数式223m mn n -+的值为 ．12. 如图，正方形ABCD 和正方形AEFG ，边AE 在边AB 上，AB ＝2AE ＝2．将正方形AEFG绕点A 逆时针旋转60°，BE 的延长线交直线DG 于点P ，旋转过程中点P 运动的路线长为 ．二、选择题（每小题2分，共10分）C B A E GD F C B AE GD FP13．下列各数中是负数的是（ ）A ．3-B ．1)3(--C ．)3(--D ．0)3(-14. 如图，一次函数y ＝(m －2)x －1的图象经过二、三、四象限，则m 的取值范围是（ ）A ．m ＞0B ．m ＜0C ．m ＞2D ．m ＜2 15. 三角形的两边分别为3和5，第三边是方程x 2－5x ＋6＝0的解，则第三边的长为（ ） A ．2B ．3C ．2或3D ．无法确定16. 用半径为12cm ，圆心角为150°的扇形做一个圆锥模型的侧面，则此圆锥底面圆的半径为（ ） A ．5 cmB ．30 cmC ．6 cmD ．10 cm17．已知矩形ABCD 的一边长为20，另一边长为a （a ＜20）剪下一个正方形，剩下一个矩形，称为第一次操作；在剩下的矩形纸片中再剪下一个正方形，剩下一个矩形，称为第二次操作；若在第3次操作后，剩下的矩形为正方形，则a 的值为（ ） A ．5B ．5、8C ．5、8、15D ．5、8、12、15三.解答题（共66分） 18.（本题满分16分）（1）计算：312760tan 2)21(1--+--（2）化简⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++÷--a b ab a ab a b a 22222 ．19.（本题满分16分）（1）解方程：13-x —)1(2-+x x x =0 （2）解不等式组：110334(1)1x x +⎧-⎪⎨⎪--<⎩≥20.（本题满分10分）为了解学生课余活动情况，某班对参加A 组：绘画，B 组：书法，C组：舞蹈，D 组：乐器，这四个课外兴趣小组的人员分布情况进行抽样调查，并根据收集的数据绘制了下面两幅不完整的统计图，请根据图中提供的信息，解答下面的问题： （1）此次共调查了多少名同学？（2）将条形统计图补充完整，并计算扇形统计图中书法部分的圆心角的度数；（3）如果该校共有1000名学生参加这4个课外兴趣小组，而每位教师最多只能辅导本组的20名学生，估计每个兴趣小组至少需要准备多少名教师．21．（本题满分10分）如图，在□ABCD 中，E F ，为BC 上两点，且BE CF =，AF DE =．求证：（1）ABF DCE △≌△；（2）四边形ABCD 是矩形．A B CD E F22（本题满分14分）如图，把抛物线212y x =平移得到抛物线m ，抛物线m 经过点 A(－6，0)和原点O(0，0)，它的顶点为P ，它的对称轴与抛物线212y x =交于点Q ，（1）求抛物线m 的解析式。