第六讲马氏链模型

马尔可夫链模型简介设考察对象为一系统,若该系统在某一时刻可能出现的事件集合为,}{N N E E E E E E ⋅⋅⋅⋅⋅⋅,2,1,2,1,两两互斥,则陈i E 为状态。

N i ⋅⋅⋅=,2,1。

称该系统从一种状态i E 变化到另一状态j E 的过程称为状态转移，并把整个系统不断实现状态转移的过程称为马尔可夫过程。

定义1 具有下列两个性质的马尔可夫过程称为马尔可夫链： （1）无后效性，即系统的第n 次实验结果出现的状态，只与第1-n 次有关，而与它以前所处的状态无关；（2）具有稳定性，该过程逐渐趋于稳定状态，而与初始状态无关。

定义2 向量),,,(21n u u u u ⋅⋅⋅= 成为概率向量，如果u 满足：⎪⎩⎪⎨⎧=⋅⋅⋅=≥∑=nj jj u nj u 11,,2,10 定义3 如果方阵P 的每行都为概率向量，则称此方阵为概率矩阵。

如果矩阵A 和B 皆为概率矩阵，则AB ，k A ，k B 也都是概率矩阵（k 为正整数）。

定义4 系统由状态i E 经过一次转移到状态j E 的概率记为ij P ，称矩阵⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=3212222111211N N N N N P P P P P P P P P P 为一次（或一步）转移矩阵。

转移矩阵必为概率矩阵，且具有以下两个性质： 1、P P P k k )1()(-=； 2、k k P P =)(其中)(k P 为k 次转移矩阵。

定义5 对概率矩阵P ，若幂次方)(m P 的所有元素皆为正数，则矩阵P 称为正规概率矩阵。

（此处2≥m ）定理1 正规概率矩阵P 的幂次方序列P ，2P ，3P ，…趋近于某一方阵T ，T 的每一行均为同一概率向量t ，且满足t tP = 。

马尔可夫链模型如下：设系统在0=k 时所处的初始状态 ),,()0()0(2)0(1)0(N S S S S ⋅⋅⋅=为已知，经过k 次转移后的状态向量 ),,()()(2)(1)(k N k k k S S S S ⋅⋅⋅=),2,1(⋅⋅⋅=k ，则⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=NN N N N N k P P P P P P P P P S S 212222111211)0()( 此式即为马尔可夫链预测模型。

Markov 链}0:{≥n n ξ称为有限状态Markov 链,若n ξ只有有限个取值且 =====--+),,,|(0011i i i j P n n n k n ξξξξ )|(i j P n k n ==+ξξ. 将其记为 ),(k n n p ij +.转移概率矩阵记 )),((),(k n n p k n n P ij +=+,P ),(k n n +就称为从n 出发的k 步转移矩阵.显然P =),(n n I , P ),(m n 1T =1T , 而且P =),(l n P ),(m n P ),(l m (C-K 方程)时齐性: P =+),(m n n P m记成 )(m P , ()()()(m ij m p =P设初始分布为)(0)0(i P i ==ξμ，转移为P=)(ij p ，则nn i i i i i i i n n p p p i i i P 121100)0(1100),,,(-==== μξξξ绝对概率设)()(i P n n i ==ξμ，行向量)(n μ=):()(S i n i ∈μ，则 )(n m +μ=)(m μ)(n P .例1.DNA序列中的删除、插入、错读、及正确阅读由于DNA序列中每次错误的发生是独立的，而且可以近似地认为某一个bp是删除（插入）的可能只依赖其前一个bp 是否是删除（插入），所以它近似地可以看作一个Markov链。

这个数学模型在multiple alignment(MA) 时,是一个很好的模型。

2.在基因(编码CDNA)序列中, 正确的阅读框下,三联子码(codon)序列就可看作一个Markov链.这是因为氨基酸之间具有不同的结合能,因此有不同的稳定性.在长期的自然选择下,较稳定的连接对应的三联子码(codon)连接,就会比不稳定的三联子码(codon)连接以更大的可能出现. 所以将三联子码(codon)序列看作Markov链比通常采用的独立模型更为合理.3. 一个平稳随机序列(其有限个随机变量的联合分布平移不变: 例如(X(1),X(2),X(3)) 和(X(1+n),X(2+n ),X(3+n)) 具有相同的联合分布), 通常可以近似地认为X(n)的分布只依赖于它前面足够多的有限个(例如s个), 这时,{(X(n),X(n+1),X(n+2),…,X(n+s-1) )|n=0,1,2,… }就是一个Markov链.Poisson 过程Poisson 过程是一个连续时间的,取整数值的独立增量过程, 所以它有Markov 性. 它是时间连续的Markov 链。

马氏链模型在金融风险评估中的应用研究在金融领域，风险的评估是一项非常重要的工作。

如何准确地评估各种金融产品的风险程度，是各家金融机构与投资者必须研究的重要问题。

在金融风险评估中，马氏链模型成为了一种非常有效的分析工具，能够帮助我们理解和量化各种金融事件的概率和风险程度。

一、马氏链模型的原理马氏链模型是一种描述随机过程的数学工具，它基于概率转移矩阵，用于描述系统在不同状态之间的转移概率，并可以通过数学推导来预测未来发展趋势。

在金融领域，这种模型可以用来分析各种金融事件的发生概率，帮助投资者和金融机构评估风险程度。

二、金融风险评估中的应用在金融风险评估中，马氏链模型可以用来分析各种金融产品的风险程度。

比如，对于股票基金、债券基金、货币基金等金融产品，我们可以利用马氏链模型来评估未来一段时间内它们的收益率和风险程度。

对于股票基金，我们可以使用马氏链模型来分析其在不同的市场环境下的表现，比如在经济繁荣时期、危机时期、通货膨胀时期等。

在分析中，我们可以把市场环境看成是该模型的状态，根据历史数据来计算在每个市场环境下不同收益率之间的转移概率，从而预测股票基金在未来各种市场环境下的表现。

对于债券基金，我们可以利用马氏链模型来预测未来的市场利率变化。

一般来讲，债券基金的收益率和市场利率呈现负相关关系，因此我们可以通过分析市场利率的变化来预测债券基金的收益率。

在模型的分析中，我们可以将不同利率水平看作状态，然后利用历史数据来计算不同利率之间的转移概率，从而预测未来利率的变化趋势。

对于货币基金，我们可以使用马氏链模型来分析利率的变化对其收益率的影响。

与债券基金一样，货币基金的收益率也与市场利率呈现负相关关系。

我们可以将市场利率的变化看作模型的状态，然后通过分析历史数据来计算不同利率之间的转移概率，进而预测未来利率的变化趋势及其对货币基金收益率的影响。

三、马氏链模型的优势在金融风险评估中，马氏链模型具有很多优势。

首先，该模型能够将金融事件抽象成不同的状态，通过数学建模的方式，准确地估计各种状态之间的转移概率，从而得出未来的趋势和风险。