马尔科夫链模型简介

马尔可夫链模型简介设考察对象为一系统,若该系统在某一时刻可能出现的事件集合为,}{N N E E E E E E ⋅⋅⋅⋅⋅⋅,2,1,2,1,两两互斥,则陈i E 为状态。

N i ⋅⋅⋅=,2,1。

称该系统从一种状态i E 变化到另一状态j E 的过程称为状态转移，并把整个系统不断实现状态转移的过程称为马尔可夫过程。

定义1 具有下列两个性质的马尔可夫过程称为马尔可夫链： （1）无后效性，即系统的第n 次实验结果出现的状态，只与第1-n 次有关，而与它以前所处的状态无关；（2）具有稳定性，该过程逐渐趋于稳定状态，而与初始状态无关。

定义2 向量),,,(21n u u u u ⋅⋅⋅= 成为概率向量，如果u 满足：⎪⎩⎪⎨⎧=⋅⋅⋅=≥∑=nj jj u nj u 11,,2,10 定义3 如果方阵P 的每行都为概率向量，则称此方阵为概率矩阵。

如果矩阵A 和B 皆为概率矩阵，则AB ，k A ，k B 也都是概率矩阵（k 为正整数）。

定义4 系统由状态i E 经过一次转移到状态j E 的概率记为ij P ，称矩阵⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=3212222111211N N N N N P P P P P P P P P P 为一次（或一步）转移矩阵。

转移矩阵必为概率矩阵，且具有以下两个性质： 1、P P P k k )1()(-=； 2、k k P P =)(其中)(k P 为k 次转移矩阵。

定义5 对概率矩阵P ，若幂次方)(m P 的所有元素皆为正数，则矩阵P 称为正规概率矩阵。

（此处2≥m ）定理1 正规概率矩阵P 的幂次方序列P ，2P ，3P ，…趋近于某一方阵T ，T 的每一行均为同一概率向量t ，且满足t tP = 。

马尔可夫链模型如下：设系统在0=k 时所处的初始状态 ),,()0()0(2)0(1)0(N S S S S ⋅⋅⋅=为已知，经过k 次转移后的状态向量 ),,()()(2)(1)(k N k k k S S S S ⋅⋅⋅=),2,1(⋅⋅⋅=k ，则⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=NN N N N N k P P P P P P P P P S S 212222111211)0()( 此式即为马尔可夫链预测模型。

马尔可夫链模型（Markov Chain Model）目录[隐藏]1 马尔可夫链模型概述2 马尔可夫链模型的性质3 离散状态空间中的马尔可夫链模型4 马尔可夫链模型的应用o 4.1 科学中的应用o 4.2 人力资源中的应用5 马尔可夫模型案例分析[1]o 5.1 马尔可夫模型的建立o 5.2 马尔可夫模型的应用6 参考文献[编辑]马尔可夫链模型概述马尔可夫链因安德烈·马尔可夫（Andrey Markov，1856－1922）得名，是数学中具有马尔可夫性质的离散时间随机过程。

该过程中，在给定当前知识或信息的情况下，过去（即当期以前的历史状态）对于预测将来（即当期以后的未来状态）是无关的。

时间和状态都是离散的马尔可夫过程称为马尔可夫链, 简记为。

马尔可夫链是随机变量的一个数列。

这些变量的范围，即他们所有可能取值的集合，被称为“状态空间”，而Xn的值则是在时间n的状态。

如果Xn + 1对于过去状态的条件概率分布仅是Xn的一个函数，则这里x为过程中的某个状态。

上面这个恒等式可以被看作是马尔可夫性质。

马尔可夫在1906年首先做出了这类过程。

而将此一般化到可数无限状态空间是由柯尔莫果洛夫在1936年给出的。

马尔可夫链与布朗运动以及遍历假说这两个二十世纪初期物理学重要课题是相联系的，但马尔可夫寻求的似乎不仅于数学动机，名义上是对于纵属事件大数法则的扩张。

马尔可夫链是满足下面两个假设的一种随机过程：1、t+l时刻系统状态的概率分布只与t时刻的状态有关，与t时刻以前的状态无关；2、从t时刻到t+l时刻的状态转移与t的值无关。

一个马尔可夫链模型可表示为=(S，P，Q)，其中各元的含义如下：1）S是系统所有可能的状态所组成的非空的状态集，有时也称之为系统的状态空间，它可以是有限的、可列的集合或任意非空集。

本文中假定S是可数集(即有限或可列)。

用小写字母i,j(或S i,S j)等来表示状态。

2）是系统的状态转移概率矩阵，其中P ij表示系统在时刻t处于状态i，在下一时刻t+l处于状态i的概率，N是系统所有可能的状态的个数。

马尔可夫链▏小白都能看懂的马尔可夫链详解1.什么是马尔可夫链在机器学习算法中，马尔可夫链(Markov chain)是个很重要的概念。

马尔可夫链（Markov chain），又称离散时间马尔可夫链（discrete-time Markov chain），因俄国数学家安德烈·马尔可夫（俄语：Андрей Андреевич Марков）得名，为状态空间中经过从一个状态到另一个状态的转换的随机过程。

该过程要求具备“无记忆”的性质：下一状态的概率分布只能由当前状态决定，在时间序列中它前面的事件均与之无关。

这种特定类型的“无记忆性”称作马尔可夫性质。

马尔科夫链作为实际过程的统计模型具有许多应用。

在马尔可夫链的每一步，系统根据概率分布，可以从一个状态变到另一个状态，也可以保持当前状态。

状态的改变叫做转移，与不同的状态改变相关的概率叫做转移概率。

随机漫步就是马尔可夫链的例子。

随机漫步中每一步的状态是在图形中的点，每一步可以移动到任何一个相邻的点，在这里移动到每一个点的概率都是相同的（无论之前漫步路径是如何的）。

2.一个经典的马尔科夫链实例用一句话来概括马尔科夫链的话，那就是某一时刻状态转移的概率只依赖于它的前一个状态。

举个简单的例子，假如每天的天气是一个状态的话，那个今天是不是晴天只依赖于昨天的天气，而和前天的天气没有任何关系。

这么说可能有些不严谨，但是这样做可以大大简化模型的复杂度，因此马尔科夫链在很多时间序列模型中得到广泛的应用，比如循环神经网络RNN，隐式马尔科夫模型HMM等。

假设状态序列为由马尔科夫链定义可知，时刻Xt+1 的状态只与Xt 有关，用数学公式来描述就是：既然某一时刻状态转移的概率只依赖前一个状态，那么只要求出系统中任意两个状态之间的转移概率，这个马尔科夫链的模型就定了。

看一个具体的例子。

这个马尔科夫链是表示股市模型的，共有三种状态：牛市（Bull market）, 熊市（Bear market）和横盘（Stagnant market）。

马尔可夫链的基本概念马尔可夫链是一种数学模型，用于描述具有马尔可夫性质的随机过程。

马尔可夫性质指的是在给定当前状态的情况下，未来状态的概率只与当前状态有关，与过去状态无关。

马尔可夫链由一组状态和状态之间的转移概率组成，可以用于模拟和预测各种随机过程，如天气变化、股票价格波动等。

一、马尔可夫链的定义马尔可夫链由状态空间和转移概率矩阵组成。

状态空间是指所有可能的状态的集合，用S表示。

转移概率矩阵是一个n×n的矩阵，其中n 是状态空间的大小。

转移概率矩阵的元素表示从一个状态转移到另一个状态的概率。

二、马尔可夫链的性质1. 马尔可夫性质：在给定当前状态的情况下，未来状态的概率只与当前状态有关，与过去状态无关。

2. 遍历性：从任意一个状态出发，经过有限步骤后可以到达任意一个状态。

3. 周期性：一个状态可以分为周期为k的状态和非周期状态。

周期为k的状态在经过k步后才能返回原状态，非周期状态的周期为1。

4. 不可约性：如果一个马尔可夫链中的任意两个状态都是可达的，那么该马尔可夫链是不可约的。

5. 非周期马尔可夫链的收敛性：如果一个马尔可夫链是非周期的且不可约的，那么它具有收敛性，即在经过足够多的步骤后，状态分布会趋于稳定。

三、马尔可夫链的应用马尔可夫链在许多领域都有广泛的应用，包括自然语言处理、机器学习、金融市场分析等。

1. 自然语言处理：马尔可夫链可以用于语言模型的建立，通过分析文本中的词语之间的转移概率，可以预测下一个词语的出现概率，从而实现自动文本生成、机器翻译等任务。

2. 机器学习：马尔可夫链可以用于序列数据的建模和预测，如音频信号处理、图像处理等。

通过分析序列数据中的状态转移概率，可以预测下一个状态的出现概率，从而实现序列数据的预测和分类。

3. 金融市场分析：马尔可夫链可以用于分析金融市场的波动性和趋势。

通过分析股票价格的状态转移概率，可以预测未来股票价格的走势，从而指导投资决策。

四、马尔可夫链的改进和扩展马尔可夫链的基本概念可以通过改进和扩展来适应更复杂的问题。

马 氏 链 模 型 简 介1、随机过程的概念。

定义：设集合{}T t t ∈:ξ是一族随机变量，T 是一个实数集合，如果对于任意T t ∈，t ξ是一个随机变量，则称{}T t t ∈:ξ是一个随机过程。

其中：（1）t 为参数可以认为是时间，T 为参数集合。

（2）随机变量t ξ的每一个可能值，称为随机过程的一个状态。

其全体可能值构成的集合，称为随机过程的状态空间，用E 表示。

（3）当参数集合T 为非负整数集时，随机过程又称为随机序列。

随机序列可用{} ,3,2,1:=n n ξ表示。

当T 为时间时，该随机序列就是一个时间序列。

如：（1）用t ξ表示“t 时刻，某商店的库存量”，则{}),0[:+∞∈t t ξ就是一个随机过程。

（2）用t ξ表示“在一天中t 时刻，某地区的天气状况”，则{}]24,0[:∈t t ξ是一个随机过程。

（3）用t ξ表示“在一天中t 时刻（整数），某城市的出租汽车的分布状况”，则{}24,,2,1,0: =t t ξ是一个随机时间序列。

马氏链，也称为马尔可夫链，就是一个特殊的随机时间序列，也为随机序列。

2、（离散时间）马尔可夫链——马氏链。

定义：设{} ,3,2,1:=n n ξ是一个随机序列，状态空间E 为有限或可列集。

若对于任意正整数m 、n 。

如果E i ∈、E j ∈、E i k ∈ （1,,2,1-=n k ）满足)(),,,(1111i j P i i i j P n m n n n n m n =======+--+ξξξξξξ 成立，则称随机序列{} ,3,2,1:=n n ξ为一个马尔可夫链，简称为马氏链。

（时间、状态均为离散的随机转移过程） 从该定义可知：（1）如果将随机变量n ξ的下角标n ，理解为步数。

则随机变量n ξ就是从起始点经过n 步，到达的随机变量。

（2）随机变量)(i n =ξ，是指第n 步时的随机变量n ξ所处的状态i 。

（3）条件概率)(i j P n m n ==+ξξ是指，第n 步时的随机变量n ξ所处的状态i 发生的条件下，第m n +步时的随机变量m n +ξ所处的状态j ，发生的条件概率。

马尔科夫链模型简介马尔科夫链模型是一种描述随机过程的数学模型，它使用状态转移概率矩阵来表示状态之间的转移。

该模型有着广泛的应用，在自然语言处理、金融学、生态学、物理学和化学等多个领域中有着重要的地位。

状态与状态转移马尔科夫链模型中的状态可以是任何状态，例如一个人的身体状态、一个系统的状况、一个物品的状态等。

设状态集合为$S=\\{s_1,s_2,...,s_n\\}$，则任何一个时刻系统都处于其中的一个状态。

接着，我们定义状态之间的转移概率矩阵$P=(p_{ij})_{n\\times n}$，其中p ij表示在状态s i下，系统转移到s j的概率。

因此，对于所有的$i,j\\in\\{1,2,...,n\\}$，有$0\\leq p_{ij}\\leq1$且$\\sum_{j=1}^{n}p_{ij}=1$。

由此可以看出，状态转移矩阵P具有无后效性：状态s i到s i+k的转移只和当前状态s i有关，和之前的所有状态都无关。

马尔科夫性质马尔科夫链模型有一个很重要的性质，即马尔科夫性质。

它指的是，一个某时刻的状态和当前状态之前的所有状态无关，只和当前状态有关。

更正式地，对于所有$i\\in\\{1,2,...,n\\}$，$j\\in\\{1,2,...,n\\}$和k>0，有：$$ \\begin{aligned} P(X_{t+k}=s_j|X_t=s_i,X_{t-1}=s_{i-1},...,X_0=s_0)&=P(X_{t+k}=s_j|X_t=s_i)\\\\ &=p_{ij}^k \\end{aligned} $$其中X t表示在时刻t系统所处的状态。

这个性质使得我们可以用状态转移概率矩阵来描述系统随时间的演化。

平稳分布在马尔科夫链中，平稳分布是一个与时间无关的状态分布。

它满足以下条件：若$\\pi$是一个向量，其中第i个元素表示系统处于状态s i的稳态概率，则有$\\pi P=\\pi$。

马尔可夫链在自然界与社会现象中，许多随机现象遵循下列演变规律，已知某个系统(或过程)在时刻0t t =所处的状态，与该系统(或过程)在时刻0t t >所处的状态与时刻0t t <所处的状态无关。

例如，微分方程的初值问题描述的物理系统属于这类随机性现象。

随机现象具有的这种特性称为无后效性(随机过程的无后效性)，无后效性的直观含义：已知“现在”，“将来”和“过去”无关。

在贝努利过程(){},1X n n ≥中，设()X n 表示第n 次掷一颗骰子时出现的点数，易见，今后出现的点数与过去出现的点数无关。

在维纳过程(){},0X t t ≥中，设()X t 表示花粉在水面上作布朗运动时所处的位置，易见，已知花粉目前所处的位置，花粉将来的位置与过去的位置无关。

在泊松过程(){,0}N t t ≥中，设()N t 表示时间段[0,]t 内进入某商店的顾客数。

易见，已知时间段0[0,]t 内进入商店的顾客数()0N t ，在时间段()0[0,]t t t >内进入商店的顾客数()N t 等于()0N t 加上在时间段0(,]t t 内进入商店的顾客数()()0N t N t -，而与时刻0t 前进入商店的顾客无关。

一、马尔可夫过程定义：给定随机过程(){},X t t T ∈。

如果对任意正整数3n ≥，任意的12,,1,,n i t t t t T i n <<<∈=，任意的11,,,n x x S -∈S 是()X t 的状态空间，总有()()()1111|,n n n n P X x X t x X t x --≤==()()11|,n n n n n P X x X t x x R --=≤=∈ 则称(){},X t t T ∈为马尔可夫过程。

在这个定义中，如果把时刻1n t -看作“现在”，时刻n t 是“将来”，时刻12,,n t t -是“过去”。

马尔可夫过程要求：已知现在的状态()11n n X t x --=，过程将来的状态()n X t 与过程过去的状态()()1122,,n n X t x X t x --==无关。