互为反函数的函数图象间的关系一(PPT课件)
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反函数的图象全面版
3）函数 y = f ( x ) 与函数 y = f －1 ( x ) 互为反函数；
函数 y = f ( x ) 与函数 x = f －1 ( y ) 为 同一函数;
4）如果两个函数的图象关于y = x 对称，那么
这两象关于y = x 对称，那么
这个函数的反函数就是它本身。
想一想：函数ｙ＝3ｘ－2的图象和它的反函数 ｙ＝ｘ＋2 的图象之间有什么关系？
3
定理：函数 y = f ( x ) 的图象与它的反函数 y
= f －1 ( x ) 的图象关于直线 y = x 对称。
注：1）这个结论是由特殊到一般归纳出来的。
2）这个结论是在同一坐标系下，且横轴（x轴）与纵轴 （y轴）长度单位一致的情况下得出的。
互为反函数的函数图象之间的关系
复习
反函数的定义是什么？
一般地，函数 y=f(x) (x ∈ A) 中设它
的值域为C.我们根据这个函数中x，y的关
系，用y把x表示出，得到 x= φ(y). 如果对
于y在C中的任何一个值，通过x=φ(y) ，x
在A中都有唯一的值和它对应，那么
x=φ(y) 就表示以y为自变量的函数.
解：1)由y 3x1 xa
y xa y3x1
x
1 ay y3
又 y3(xa)13a 3 1 3a
xa
xa
≠3
f1(x)1ax (x3) x3
2）由题 函数图象关于 y = x 对称 可知 f（x）的反函数是它本身即
f （x） = f -1 （x）
1、已知函数 f ( x ) = axb(xb) 的图象过点 ( 1 , 2 ) ， a
它的反函数图象也过此点，求函数 f ( x ) 的解析式。
函数 y = f ( x ) 与函数 x = f －1 ( y ) 为 同一函数;
4）如果两个函数的图象关于y = x 对称，那么
这两象关于y = x 对称，那么
这个函数的反函数就是它本身。
想一想：函数ｙ＝3ｘ－2的图象和它的反函数 ｙ＝ｘ＋2 的图象之间有什么关系？
3
定理：函数 y = f ( x ) 的图象与它的反函数 y
= f －1 ( x ) 的图象关于直线 y = x 对称。
注：1）这个结论是由特殊到一般归纳出来的。
2）这个结论是在同一坐标系下，且横轴（x轴）与纵轴 （y轴）长度单位一致的情况下得出的。
互为反函数的函数图象之间的关系
复习
反函数的定义是什么？
一般地，函数 y=f(x) (x ∈ A) 中设它
的值域为C.我们根据这个函数中x，y的关
系，用y把x表示出，得到 x= φ(y). 如果对
于y在C中的任何一个值，通过x=φ(y) ，x
在A中都有唯一的值和它对应，那么
x=φ(y) 就表示以y为自变量的函数.
解：1)由y 3x1 xa
y xa y3x1
x
1 ay y3
又 y3(xa)13a 3 1 3a
xa
xa
≠3
f1(x)1ax (x3) x3
2）由题 函数图象关于 y = x 对称 可知 f（x）的反函数是它本身即
f （x） = f -1 （x）
1、已知函数 f ( x ) = axb(xb) 的图象过点 ( 1 , 2 ) ， a
它的反函数图象也过此点，求函数 f ( x ) 的解析式。
反函数的图象最新版
这样的函数 x=φ(y) 叫做函数 y=f(x) (x ∈ A) 的反函数，记作 x=f-1(y).
我们常常把x，y对调一下，把它改成 y= f-1(x).
求函数反函数的步骤: 1 反解 2 x与y互换 3求原函数的值域
4 写出反函数及它的定义域
做一 例做2 求函数ｙ＝3ｘ－2（ｘ∈R）反函数，并在同
互为反函数的函数图象之间的关系
复习
反函数的定义是什么？
一般地，函数 y=f(x) (x ∈ A) 中设它
的值域为C.我们根据这个函数中x，y的关
系，用y把x表示出，得到 x= φ(y). 如果对
于y在C中的任何一个值，通过x=φ(y) ，x
在A中都有唯一的值和它对应，那么
x=φ(y) 就表示以y为自变量的函数.
3x11ax 即 3x2 – 8x - 3 = x3
-a=3 ∴ 1 – a2 = - 8
a = -3 a = 3 或 -3
∴ a = －3
a = -2
a = -3
课堂小结
1 定理：函数 y = f ( x ) 的图象与它的反函
数 y = f －1 ( x ) 的图象关于直线 y = x 对称。
想一想：函数ｙ＝3ｘ－2的图象和它的反函数 ｙ＝ｘ＋2 的图象之间有什么关系？
3
定理：函数 y = f ( x ) 的图象与它的反函数 y
= f －1 ( x ) 的图象关于直线 y = x 对称。
注：1）这个结论是由特殊到一般归纳出来的。
2）这个结论是在同一坐标系下，且横轴（x轴）与纵轴 （y轴）长度单位一致的情况下得出的。
解二：令 f –1 （2）= x 则 f （x） = 2 即 2x + 1 / 4x + 3 = 2 得 x = - 5 / 6 ∴ f –1 （2） = - 5 / 6
人教版高中数学必修第一册4.4对数函数 课时10 对数函数的图象和性质(2)【课件】
数 m 的取值范围是(9,+∞).
【方法规律】
解决对数函数类型的综合问题,抓住函数本身的定义域和基本性质
.
课堂反思
1.通过本节课的学习，你学到了哪些知识？
2.你认为本节课的重点和难点是什么？
随堂演练
1.方程log (x+4)＝3x的实数根的个数为( C
A. 0
B. 1
)
C. 2 D. 3
log ， >
数学思想在研究数学问题中的运用
在运用数形结合、等价转化等思想解题
的过程中,培养逻辑推理、数学运算素
养
情境导学
燕子每年秋天都要从北方飞向南方过冬，研究燕子的科学家发现，
两岁燕子的飞行速度可以表示为函数v＝5log2 ，单位是m/s，其中Q
表示燕子的耗氧量．试问燕子静止时的耗氧量是多少个单位？
初探新知
(2) 形如 loga x>b 的不等式,应将 b 化为以 a 为底数的对数式的形式(b=logaa b),再借助
y=loga x 的单调性求解.
(3) 形如 logf(x )a>logg(x)a[f(x),g(x)>0,且 f(x),g(x)≠1;a>0]的不等式,可利用换底公式化为同底
的对数进行求解,或利用函数图象求解.
3
3
3
log 2( +4)
>log2 (2+x),即
log24
(2) 原不等式可化为
10
1<x< 9 ,所以原不等式
log2(x+4)>log2 (2+x)2 ,所以
>− 2,
( + 3) < 0, 解得-2<x<0.所以原不等式的解集为(-2,0).
【方法规律】
解决对数函数类型的综合问题,抓住函数本身的定义域和基本性质
.
课堂反思
1.通过本节课的学习，你学到了哪些知识？
2.你认为本节课的重点和难点是什么？
随堂演练
1.方程log (x+4)＝3x的实数根的个数为( C
A. 0
B. 1
)
C. 2 D. 3
log ， >
数学思想在研究数学问题中的运用
在运用数形结合、等价转化等思想解题
的过程中,培养逻辑推理、数学运算素
养
情境导学
燕子每年秋天都要从北方飞向南方过冬，研究燕子的科学家发现，
两岁燕子的飞行速度可以表示为函数v＝5log2 ，单位是m/s，其中Q
表示燕子的耗氧量．试问燕子静止时的耗氧量是多少个单位？
初探新知
(2) 形如 loga x>b 的不等式,应将 b 化为以 a 为底数的对数式的形式(b=logaa b),再借助
y=loga x 的单调性求解.
(3) 形如 logf(x )a>logg(x)a[f(x),g(x)>0,且 f(x),g(x)≠1;a>0]的不等式,可利用换底公式化为同底
的对数进行求解,或利用函数图象求解.
3
3
3
log 2( +4)
>log2 (2+x),即
log24
(2) 原不等式可化为
10
1<x< 9 ,所以原不等式
log2(x+4)>log2 (2+x)2 ,所以
>− 2,
( + 3) < 0, 解得-2<x<0.所以原不等式的解集为(-2,0).
反函数的性质PPT教学课件
2.分段函数求解时注意分段求解 并分别注明定义域。
例1、求函数y=3x-2（x∈R）的反函数， 并画出原函数和它的反函数的图象。
解：从y=3x-2，解得 x y 2 。因
此，函数y=3x-2
3
的反函数是 y x 2 , (x R)
3
函数y=3x-2（x∈R）和它的反函数
y x 2 ,x R的图象如图
小结：
互为反函数的两个函数的 性质
1、函数y=f（x）的图象和它的反函数 y f 1(x)的图象关于直线y=x对称。
2、互为反函数的两个函数在各自 的定义域内具有相同的单调性。
数学广角
沏茶前要做些什么事呢？
怎样才能让客人尽快喝上茶？
①
②
③
④
⑤
⑥
数学家,中国科学院院士 华罗庚
“统筹法”
3
y Y=3x-2
y x2 3
o1
x
Y=x
例2、求函数y=x3（x∈R）的反函
数，并画出原来的函数和它的反函
数的图象。
解：从y=x3，解得x 3 y ，所以函数
y=x3（x∈R）的反函是y 3 x x R。
函数y=x3（x∈R）和它的反函数 y 3 x x R
的图像如图
y
0
x
性质：
1
3分钟 + 3分钟
3
1
ok
3分钟 + 3分钟 + 3分钟
o3k ok
ok
3分钟 + 3分钟 + 3分钟＝9分钟
①烙2张饼需要6分钟， 烙3张饼的最佳方案需要9分钟。
②每次烙饼，锅里都有两张饼，速度最快。
两个人合作完成三张正反面的贺卡， 要怎样分工合作好呢？
例1、求函数y=3x-2（x∈R）的反函数， 并画出原函数和它的反函数的图象。
解：从y=3x-2，解得 x y 2 。因
此，函数y=3x-2
3
的反函数是 y x 2 , (x R)
3
函数y=3x-2（x∈R）和它的反函数
y x 2 ,x R的图象如图
小结：
互为反函数的两个函数的 性质
1、函数y=f（x）的图象和它的反函数 y f 1(x)的图象关于直线y=x对称。
2、互为反函数的两个函数在各自 的定义域内具有相同的单调性。
数学广角
沏茶前要做些什么事呢？
怎样才能让客人尽快喝上茶？
①
②
③
④
⑤
⑥
数学家,中国科学院院士 华罗庚
“统筹法”
3
y Y=3x-2
y x2 3
o1
x
Y=x
例2、求函数y=x3（x∈R）的反函
数，并画出原来的函数和它的反函
数的图象。
解：从y=x3，解得x 3 y ，所以函数
y=x3（x∈R）的反函是y 3 x x R。
函数y=x3（x∈R）和它的反函数 y 3 x x R
的图像如图
y
0
x
性质：
1
3分钟 + 3分钟
3
1
ok
3分钟 + 3分钟 + 3分钟
o3k ok
ok
3分钟 + 3分钟 + 3分钟＝9分钟
①烙2张饼需要6分钟， 烙3张饼的最佳方案需要9分钟。
②每次烙饼，锅里都有两张饼，速度最快。
两个人合作完成三张正反面的贺卡， 要怎样分工合作好呢？
互为反函数的函数图像之间的关系及应用
mx 5 x 5 解法一：由 f ( x) 得反函数 y 2 x 1 2x m
x 5 练习5：已知函数 f ( x) 2x m 的图象关于直线y=x对称，求m的值.
x 5 mx 5 2x m 2x 1
由
令 x=0得
5 ∴m=-1 5 解法二：令x=0 则(0, m )在f(x)的图象上
-1 （x）
∴
a = －3
练习2：如果y=f（x）的图象过点（1，2），那么 y=f-1(x)–1的图象过点__________ (2,0)
分析：由y=f（x）的图象过点（1，2），知y=f (x)的 -1 -1 图像过点（2，1），而y=f (x)–1的图像是由y=f (x) -1 的图像向下平移1个单位得到的，故y=f (x)–1的图象 过点（2,0)
（1，3），且它的反函数f (x)的图像过点 （2，0），求f(x).
解： ∵f(x)的图像过点（1，3）
-1
∴a+b=3 ①
由f(x)的反函数f (x)的图像过点（2，0），可知 f(x)的图像过点（0，2） ∴1+b=2 ② 由②得b=1,将b=1代入①中得a=2
-1
f ( x) 2x 1
y x2 3
x y x y
0 -2 -2 0
0
2 3
x
0
2 3
问题：
互为反函数的两个函数的图象之间是否 具有某种对称关系? 回答：
它们的两个函数图象是以直线y=x为对 称轴的对称图形。 给出定理：
函数 y = f ( x ) 的图象与它的 反函数 y = f －1 ( x ) 的图象关于直 线 y = x 对称。
1
O
高中数学探究与发现 互为反函数的两个函数图象之间的关系
x log a N
指数ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ与对数式的对比
式子 指数式: a x =N 对数式: log a N=x
a
底数 底数
名称
x
N
指数 对数
幂值 真数
几点说明：
1．在对数式中 N > 0 （负数与零没有对数）
2．对任意 a 0且 a 1, 都有a0 1
∴loga 1 0 同样易知：loga a 1
(1) log 3 9 2
(2) log 5 125 3
1 (3) log 2 4 2
(4)
log
3
1 81
4
例题讲解
例题3：求下列各式中x的值：
(1) lg 100 x
(2) log x 27 3
(3) log 2 16 x
(4) ln e2 x
小结：
1°对数的定义
2°互换(对数与指数会互换)
课后作业：
必做：课本74页A组 1题，2题，3题。 选做：课本64页练习 3题，4题。
祝：同学们健康成长，开心学习！
谢 谢 大 家， 再 见！
介绍两种特殊的对数：
1．常用对数：以10作底 log10 N写成 lg N
2．自然对数：以 e作底 e为无理数，
e = 2.71828……
log e N 写成
ln N
例题讲解
例题1：将下列指数式写成对数式：
(1)
54 625 (2)
26 1 64
(3)
3a 27
(4)
1 m
5.73
3
§2.2.1 对数的概念
人民教育出版社A版
复习：
回顾指数
22 = 4 25 =32
高一数学互为反函数的函数图象间的关系
练习：①画出函数y=√x(x∈[0,+∞))的图象.
好画吗? 怎样转化,用我们学过的知识来画?
先画y=x2 (x∈[0,+∞))这个我们熟悉! y
yx y x2
x 0 1 2 3… y 0 1 4 9…
y x
x
x 0 1 4 9… y 0 1 2 3…
例2、 已知函数f (x) 1 2x 3(x 3)有反函数， 且点(a,b)
2
在原函数图象上， 也在反函数图象上， 求a,b的值.
解法一：由y 1 2x 3(x 3)得x ( y 1)2 3 ( y 1)
2
2
原函数的反函数是f 1(x) (x 1)2 3 (x 1) 2
又点(a,b)既在原函数图象上， 也在反函数的图象上.
b
(a
1)2 2
3
b 1 2a 3
结论推广：
y f (x) x A y C 互为反函数 y f 1(x) x C y A
任意点P(a,b) 在原函数图象上即b=f(a) 则点Q（b,a）在反函数图象上 这个结论说明:
原函数图象与反函数图象关于直线y=x对称。
自学例1 求函数y=3x-2(x∈R)的反函数，并且画出原来的函数
和它的反函数的图象。
解 ∵y=3x-2
∴x= y 2
3
函数y=3x-2(x∈R)的反函数为y=
x
2
y=3x-2
3y
yx
x0
2
3
y -2 0
x -2
0
y0
2 3
1 -2 -1 -1 1
-2
y x2 3
x
注意
函数y=f(x)的图象和它的反函数y=f-1(x)的图 象关于直线y=x对称。
反函数课件
反函数与原来函数的联系
原来函数
反函数
y=f-1(x)
解析式
y= f(x )
定义域
值域
A C
C A
所有的函数都存在反函数吗?
函数y=x2具有反函数吗?
y=x2
x y
A 1 -1 2 -2 …
y=x2本身不具有反函数, 请问如何改变它的定义域 使其具有反函数?
y=x2
B 1
y x ( x 0)
x 1( x 0)
2
g x
x 1x R
2
性质： 1.函数y=f（x）的图象和它的反函数 y=f-1(x) 的图象关于直线y=x对称。
当已知函数y=f（x）的图象时，利用这一性质，作出它关
于直线y=x对称的图象，就是反函数y=f—1（x）的图象。
2、互为反函数的两个函数的单调性相同。
才具有反函数
作业:
1.课本P64习题第1题中的单号题,第2题 2.一课一练
反函数
第二课时
思考:
若函数y=f(x),x ∈A是定义域上的增函数, 试问该函数是否有反函数?其反函数在自 身定义域内是否是单调函数?
结论:若y=f(x)在定义域内是单调函数,则 y=f(x)有反函数y=f-1(x),并且y=f-1(x)在 自身定义域内也是单调函数,其单调性与 原函数的单调性是一致的.
2 a b 1 2a b
解得，a=—3，b=7
3.若函数f（x）与g（x）的图象关于直线y=x对称， 且f（x）=（x-1）2（x≤1），求g（x2） 解：∵函数f（x）与g（x）的图象关于直线y=x对称
∴ g（x）是f（x）的反函数，
∴ g（x）=f-1（x）=
高中数学《反函数》 PPT课件 图文
3 y x 1 x 0
4
y
2x3 x1
xR, x 1
解析：①先判断一下决定这个函数的映射是不是一 一映射？ ②求反函数必须写出其定义域即原函数的值域
③求反函数的时候一定要注意原函数的定义域和值 域对反函数的限制。
例2、求函数
x1 0x1 yx2 1x0
2、教学目标的确定
知识目标：（1）对反函数概念的理解 （2）学会求函数的反函数
能力目标： （1）通过概念的学习，培养学生分析、解决问题的能力
和抽象概括的能力 （2）通过在反函数的求解过程中，把握函数与方程的思想
德育、情感目标： （1）培养学生对立统一的辩证唯物主义观点 （2）在民主、和谐的教学氛围中促进师生的情感交流
在学习中，应关注平时抽象思维较弱的学 生，在提供素材的环节中，鼓励他们“敢想”、 “敢做”积极参与，逐步提升思维能力；对于 平时抽象思维较好的学生，应积极引导他们学 会合作、交流，在抽象概括环节中进一步提高 其抽象思维能力，并教会学生学会通过观察、 分析、归纳、从具体实例中抽象出结论的方法， 逐步练就“会学”的本领，从而使人人都能有 所收获，整体水平得到提高。
前置诊断
1、请说出“对应”与“映射”、 “映射”与“函数”的联系与区别； 2、函数的三要素是什么？
创设情境，揭示课题
1、请同学们指出下列两个对应是不是映射？是不是
一一映射？是不是函数？
乘2
1
2
2
4
3
6
4
8
-1 平方 1
1
-2
4
2
-3
9
3
A
B
A
B
2、上述两个映射能不能构成从B到A的映射呢？如
探究与发现：互为反函数的两个函数图象间的关系 高一上学期数学人教A版(2019)必修第一册
得出结论
y2
x
与y
log 2 x 的图象关于直线 y x 对称.
探究三 互为反函数的两个函数图象间的关系
问题8：指数函数 = （ > , 且 ≠ )及其反函数
= （ > , 且 ≠ )的图象关于直线 = 对
称吗？为什么？
探究三 互为反函数的两个函数图象间的关系
课堂练习：求出下列函数的反函数，画出图象，并判
断它们关于直线 = 对称吗？
（1） =
(2) = −3
探究三 互为反函数的两个函数图象间的关系
课堂练习：求出下列函数的反函数，画出图象，并判
断它们关于直线 = 对称吗？
（1） =
y
解：由y e
x
可得x ln y
4
2
4
3
8
3
8
4
16
4
16
A
B
A
B
探究一 反函数概念的理解
问题3. 函数中的自变量和因变量发生了什么样的变化？
1
2
1
2
2
4
2
4
3
8
3
8
4
16
4
16
A
B
A
B
原函数
自变量
因变量
自变量
因变量
反函数
探究一 反函数概念的理解
问题4. 如果原函数的解析式是 = ,请尝试求其反函数的解析式，
（1）如果两个函数的图象关于直线 = 对称，那么两
个函数互为反函数吗？
（2）哪些函数存在反函数？
（3）反函数的性质.
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生：函数y=f(x)的定义域是它的反函数y=f-1(x)的值域； 函数y=f(x)的值域是它的反函数y=f-1(x)的定义域． 师：(2)已知函数y=f(x)存在反函数，如何求它的反函数？ 生：求反函数的步骤是由y=f(x)解出x=f-1(y)，然后x、y 互换，得到反函数y=f-1(x)． 师：很好，请大家根据反函数的有关知识，求下列各函 数的反函数，并在同一个直角坐标系中，分别作出互为 反函数的两个函数的图象． 例1 (1)y=2x-1(x∈R)； (2)y=x3(x∈R)； (3)y=x2(x≤0)．
证明：设M(a、b)是y=f(x)的图象上的任意一点，那么x=a 时，f(x)有唯一的值f(a)=b，∵y=f(x)有反函数y=f-1(x)， ∴x=b时，f-1(x)有唯一的值f-1(b)＝a，即点M'(b，a)在反 函数y=f-1(x)的图象上． 如果a=b，那么M(a，b)，M'(b，a)是直线y=x上的同一个 点，因此它们关于直线y=x对称．
§1．12互为反函数的函数图象间的关系
一、素质教育目标 (一)知识教学点 1．互为反函数的两个函数图象间的关系． 2．证明两个函数图象关于已知直线对称的方法． 3．加深理解函数和反函数的概念． (二)能力训练点 1．掌握互为反函数的两个函数图象关于直线y=x对称的关 系． 2．学会证明两个函数图象关于已知直线对称的方法． 3．通过定理的教学，培养学生观察比较、归纳猜想、数形结 合等能力． (三)德育渗透点 1．渗透“由特殊到一般”的辩证思想． 2．培养学生化归的思想方法． 3．培养学生勇于探索、大胆猜想、严谨论证的良好思维习 惯．
代数(上)P．65中练习2、3；P．66中7． 补充：已知直线l1和l2的夹角平分线为y=x，如果l1的方 程为ax+by+c=0(ab＞0)，求l2的方程．
六、板书设计
七、参考书目 《高中代数教学参考书》(上) 《高中数学教案》
现设a≠b，如图1－49，在直线y=x上任取一个点，P(c，c)，
由此可知，直线y=x上任意一点到两个定点M、M'的距离相等， 因此直线y=x是线段MM'的垂直平分线，从而点M、M'关于直 线y=x对称． 因为点M是y=f(x)的图象上的任意一点，所以y=f(x)图象上任 意一点关于直线y=x的对称点都在它的反函数y=f-1(x)的图象 上，由f(x)与f-1(x)互为反函数可知，函数y=f-1(x)图象上任意 一点关于直线y=x的对称点也都在它的反函数y=f(x)的图象上， 这就是说，y=f(x)和y=f-1(x)的图象关于直线y=x对称． 这个定理的证明要抓住三个问题： (1)若点M(a、b)在y=f(x)上，则M'(b、a)在y=f-1(x)上． (2)M、M'关于y=x对称． (3诺M'在y=f-1(x)上，则M也在y=f(x)上． 函数y=f(x)与y=f-1(x)的图象关于y=x的对称性直观反映了互为 反函数的两函数的内在联系，为进一步研究函数和反函数的 图象和性质提供了有力的工具，下面我们运用这种工具解决 一些问题． 例2 画出函数y=x，x∈[0，＋10]的图象，再利用对称关系 画出它的反函数的图象． (让一学生在黑板上板演，其余学生在练习本上画．)
定理的证明和应用． 2．教学的疑点：如何将两函数图象的对称性转化为平面 上点的对称性问题． 3．解决办法：①从具体实例入手． ②从点的对称性着眼． ③利用数形结合方法．
三、课时安排
本课题安排1课时．
四、教学过程设计
首先复习有关反函数的问题． 师：(1)互为反函数的两个函数的定义域与值域有什么关 系？
从这两种解法可以看出解法2利用对称性，避免了求反函 数 总结：这一节课主要研究了互为反函数的两个函数之间 的关系，即它们是关于直线y=x对称的，这种关系直观 地反映了互为反函数的两个函数的性质内在联系，为我 们提供了根据函数y=f(x)的图象、性质来研究函数y=f1(x)的图象、性质的方便．
五、作业
(请三位学生在黑板上画出各题的示意图1－46，1－47， 1－48．) 师：请大家仔细观察上述图象，并考虑问题：互为反函 数的两个函数的图象之间是否具有某种对称关系． (让学生交流讨论，教师也可作适当的提示．) 生：它们的两个函数图象是以直线y=x为对称轴的对称 图形． 师：即互为反函数的两个函数图象是关于直线y=x对 称． 我们通过直观观察，判断得到两个互为反函数的图象关 系，那么我们能否用数学方法加以严格证明呢？ 首先要明确什么叫做两个图形关于直线y=x对称呢？ (让学生讨论、交流，教师加以归纳概括．)
生：因为直线y=x上的横坐标与纵坐标相等，这时连结 PM、PM‘
因此点M，M'关于直线y=x对称． 师：思路正确，美中不足的是考虑还不够周到．上述证 明主要考虑了a≠b时的情况，对于a=b应作补充说明，即 当a=b时，点M与M'是直线y=x上的同一点，根据对称轴 上的点与自身对称得M、M'关于直线y=x对称． 下面来看M(a、b)、M'(b、a)之间还有什么关系． 生：若M(a、b)在f(x)上，则M'(b、a)在f-1(x)上． 师：能否从反函数的定义出发说明这种关系． 生：若点M(a、b)在y=f(x)的图象上，则b=f(a)，由反函 数定义知a=f-1(b)，故点M'(b、a)在y=f-1(x)图象上． 师：有了上面的准备，我们可以给出定理：“函数y=f(x) 的图象和它的反函数y=f-1(x)的图象关于直线y=x对称” 的证明(带领学生阅读课本或用幻灯演示)． ．
方法1，描点法．
方法2，运用互为反函数的图象关系作图1－50． 例3 点(1，2)既在y=ax+b的图象上，又在它的反函数图象上， 求实数a、b． (由学生讨论、回答，教师板书．) 法1：∵y=ax+b的反函数存在， ∴a≠0(这一点容易忽视)．
法2：依题意知点(1，2)和(2，1)都在y=ax+b的图象上．
师：函数的图象可以看作是平面上的点集，所以研究图 象的对称性就是研究平面上点的对称性．这样我们的问 题就转化为如何证明点关于直线y=x对称呢？ 生：根据平面几何知识，如果两点M、M'关于直线l对称， 那么l是线段MM'的中垂线，也就是说，如果直线l上的任 意一点1°都有PM=PM'成立，那么点M和M'就关于直线l 对称． 师：这位同学从平几角度说明了点关于直线对称的含义， 关键是要求直线l上的任意一点都有PM＝PM'．如果把这 种关系转化为代数形式，问题就明朗多了． 即在直角坐标系中，平面上的点可以用它的坐标表示， 如果要证明两点M(a，b)，M'(b，a)关于直线y=x对称，那 么就意味着要证明什么呢？ 生：在直线y=x任取一点P(c、c)． 师：为什么可以取P(c、c)？