江苏省泰州市2015届高三上学期期末考试(期末考试) 数学试题 含答案

2012-2013学年江苏省泰州市高三（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、填空题：（本大题共14小题，每小题4分，共56分．请将答案填入答题纸填空题的相应答题线上．）1．（4分）已知集合A={1，2，3}，B={1，2，5}，则A∩B={1} ．考点：交集及其运算．专题：阅读型．分析：把两个集合的公共元素写在花括号内即可．解答：解：由A={1，2，﹣3}，B={1，﹣4，5}，则A∩B={1，2，﹣3}∩{1，﹣4，5}={1}．故答案为{1}．点评：本题考查了交集及其运算，考查了交集概念，是基础的概念题．2．（4分）设复数z1=2+2i，z2=2﹣2i，则= i ．考点：复数代数形式的乘除运算．专题：计算题．分析：把复数代入表达式，复数的分母、分子同乘分母的共轭复数，化简复数即可．解答：解：因为复数z1=2+2i，z2=2﹣2i，所以=====i．故答案为：i．点评：本题考查复数代数形式的混合运算，复数的分母实数化，是解题的关键，是基础题．3．（4分）若数据x1，x2，x3，x4，x5，3的平均数为3，则数据x1，x2，x3，x4，x5的平均数为 3 ．考点：众数、中位数、平均数．专题：概率与统计．分析：根据平均数的性质知，要求x1，x2，x3，x4，x5的平均数，只要把数x1、x2、x3、x4、x5的和表示出即可．解答：解：∵x1，x2，x3，x4，x5，3的平均数为3，∴数x1+x2+x3+x4+x5+3=6×3∴x1，x2，x3，x4，x5的平均数=（x1+x2+x3+x4+x5）÷5=（6×3﹣3）÷5=3．故答案为：3．点评：本题考查的是样本平均数的求法．解决本题的关键是用一组数据的平均数表示另一组数据的平均数．4．（4分）设双曲线的左、右焦点分别为F1，F2，点P为双曲线上位于第一象限内的一点，且△PF1F2的面积为6，则点P的坐标为．考点：双曲线的简单性质．专题：计算题．分析：由双曲线方程，算出焦点F1、F2的坐标，从而得到|F1F2|=6．根据△PF1F2的面积为6，算出点P的纵坐标为2，代入双曲线方程即可算出点P的横坐标，从而得到点P的坐标．解答：解：∵双曲线的方程是，∴a2=4且b2=5，可得c==3由此可得双曲线焦点分别为F1（﹣3，0），F2（3，0）设双曲线上位于第一象限内的一点P坐标为（m，n），可得△PF1F2的面积S=|F1F2|•n=6，即×6×n=6，解得n=2将P（m，2）代入双曲线方程，得，解之得m=．∴点P的坐标为故答案为点评：本题给出双曲线上一点与焦点构成面积为6的三角形，求该点的坐标，着重考查了三角形面积公式、双曲线的标准方程与简单几何性质等知识，属于基础题．5．（4分）曲线y=2lnx在点（e，2）处的切线（e是自然对数的底）与y轴交点坐标为（0，0）．考点：利用导数研究曲线上某点切线方程．专题：导数的综合应用．分析：求出曲线方程的导函数，把切点横坐标代入导函数中表示出的导函数值即为切线的斜率，由切点坐标和斜率表示出切线方程，把x=0代入切线方程中即可求出y轴交点坐标．解答：解：对y=2lnx求导得：y′=，∵切点坐标为（e，2），所以切线的斜率k=，则切线方程为：y﹣2=（x﹣e），把x=0代入切线方程得：y=0，所以切线与y轴交点坐标为（0，0）．故答案为：（0，0）．点评：本题的解题思想是把切点的横坐标代入曲线方程的导函数中求出切线的斜率，进而写出切线方程．6．（4分）如图，ABCD是一个4×5的方格纸，向此四边形ABCD内抛撒一粒豆子，则豆子恰好落在阴影部分内的概率为0.2 ．考点：几何概型．专题：计算题；概率与统计．分析：试验发生包含的事件对应的图形是一个大长方形，若设小正方形的边长是1，则长方形的面积是20，满足条件的事件是正方形面积是 4，根据面积之比做出概率．解答：解：由题意知本题是一个几何概型，设每一个小正方形的边长为1试验发生包含的事件对应的图形是一个长方形，面积为5×4=20阴影部分是边长为2的正方形，面积是4，∴落在图中阴影部分中的概率是=0.2故答案为：0.2点评：本题考查几何概型，解题的关键是求出两个图形的面积，根据概率等于面积之比得到结果，本题是一个基础题．7．（4分）设函数f（x）是定义在R上的奇函数，且f（a）＞f（b），则f（﹣a）＜f （﹣b）（用“＞”或“＜”填空）．考点：函数奇偶性的性质．专题：函数的性质及应用．分析：根据奇函数的性质f（﹣x）=﹣f（x）求解．解答：解：根据奇函数的性质，f（﹣a）=﹣f（a），f（﹣b）=﹣f（b）；∵f（a）＞f（b），∴﹣f（a）＜﹣f（b），即f（﹣a）＜f（﹣b）．故答案是＜点评：本题考查函数的奇偶性．8．（4分）在空间中，用a，b，c表示三条不同的直线，γ表示平面，给出下列四个命题：①若a∥b，b∥c，则a∥c；②若a⊥b，b⊥c，则a⊥c；③若a∥γ，b∥γ，则a∥b；④若a⊥γ，b⊥γ，则a∥b；其中真命题的序号为①④．考点：命题的真假判断与应用；平面的基本性质及推论．专题：阅读型．分析：①有平行线公理判断即可；②中正方体从同一点出发的三条线进行判断；③可以翻译为：平行于同一平面的两直线平行，错误，还有相交、异面两种情况；④由线面垂直的性质定理可得；解答：解：①因为空间中，用a，b，c表示三条不同的直线，若a∥b，b∥c，则a∥c，满足平行线公理，所以①正确；②中正方体从同一点出发的三条线，也错误；③可以翻译为：平行于同一平面的两直线平行，错误，还有相交、异面两种情况；④可以翻译为：垂直于同一平面的两直线平行，由线面垂直的性质定理，正确；故答案为：①④．点评：与立体几何有关的命题真假判断，要多结合空间图形．本题考查空间两条直线的位置关系以及判定方法，线面平行的判定，解决时要紧紧抓住空间两条直线的位置关系的三种情况，牢固掌握线面平行、垂直的判定及性质定理．9．（4分）如图是一个算法流程图，则输出的P= ．考点：程序框图．专题：计算题；概率与统计．分析：由程序中的变量、各语句的作用，结合流程图所给的顺序，可知当n＜6时，用P+的值代替P得到新的P值，并且用n+1代替n值得到新的n值，直到n=6时输出最后算出的P值，由此即可得到本题答案．解答：解：根据题中的程序框图可得：当n＜6时，用P+的值代替P，并且用n+1代替n值；直到当n=6时，输出最后算出的P值．因此可列出如下表格：依此表格，可得输出的P=++++=1﹣=故答案为：点评：本题给出程序框图，求最后输出的P值，属于基础题．解题的关键是先根据已知条件判断程序的功能，构造出相应的数学模型再求解，从而使问题得以解决．10．（4分）已知点P（t，2t）（t≠0）是圆C：x2+y2=1内一点，直线tx+2ty=m与圆C相切，则直线x+y+m=0与圆C的位置关系是相交．考点：直线与圆的位置关系．专题：计算题；直线与圆．分析：由圆的方程找出圆心坐标与半径，因为M为圆内一点，所以M到圆心的距离小于圆的半径，利用两点间的距离公式表示出一个不等式，然后利用点到直线的距离公式表示出圆心到已知直线的距离d，根据求出的不等式即可得到d大于半径r，得到直线与圆的位置关系是相离．解答：解：由圆的方程得到圆心坐标为（0，0），半径r=1，由P为圆内一点得到：＜1，则圆心到已知直线tx+2ty=m的距离d==1，可得|m|=＜1，圆心到已知直线x+y+m=0的距离＜1=r，所以直线x+y+m=0与圆的位置关系为：相交．故答案为：相交．点评：此题考查小时掌握点与圆的位置关系及直线与圆的位置关系的判断方法，灵活运用两点间的距离公式及点到直线的距离公式化简求值，是一道综合题．11．（4分）设a∈R，s：数列{（n﹣a）2}是递增的数列；t：a≤1，则s是t的必要不充分条件．（填“充分不必要，必要不充分，充要，既不充分也不必要”中的一个）．考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．分析：在a∈R的前提下，看由数列{（n﹣a）2}是递增的数列能否推出a≤1，再看由a≤1能否推出数列{（n﹣a）2}是递增的数列．解答：解：若数列{（n﹣a）2}是递增的数列，则（n+1﹣a）2﹣（n﹣a）2=（n+1）2﹣2a（n+1）+a2﹣n2+2an﹣a2=n2+2n+1﹣2an﹣2a+a2﹣n2+2an﹣a2=2n+1﹣2a＞0，即a＜n+，因为n的最小值是1，所以当n取最小值时都有a＜，则a≤1不成立．又由（n+1﹣a）2﹣（n﹣a）2=（n+1）2﹣2a（n+1）+a2﹣n2+2an﹣a2=n2+2n+1﹣2an﹣2a+a2﹣n2+2an﹣a2=2n+1﹣2a．因为n是大于等于1的自然数，所以当a≤1时，2n+1﹣2a，即数列{（n﹣a）2}中，从第二项起，每一项与它前一项的差都大于0，数列是递增的数列．所以，s是t的必要不充分条件．故答案为必要不充分．点评：本题考查了必要条件、充分条件与充要条件．判断充要条件的方法是：①若p⇒q为真命题且q⇒p为假命题，则命题p是命题q的充分不必要条件；②若p⇒q为假命题且q⇒p为真命题，则命题p是命题q的必要不充分条件；③若p⇒q为真命题且q⇒p为真命题，则命题p是命题q的充要条件；④若p⇒q为假命题且q⇒p为假命题，则命题p是命题q的即不充分也不必要条件．此题是基础题．12．（4分）各项均为正数的等比数列{a n}中，若a1≥1，a2≤2，a3≥3，则a4的取值范围是．考点：简单线性规划；等比数列；等比数列的通项公式．专题：计算题；等差数列与等比数列；不等式的解法及应用．分析：根据题中的不等式组，联想到运用线性规划的知识解决问题．因此，将所得的不等式的两边都取常用对数，得到关于lga1和lgq的一次不等式组，换元：令lga1=x，lgq=y，lga4=t，得到关于x、y的二次一次不等式组，再利用直线平移法进行观察，即可得到a4的取值范围．解答：解：设等比数列的公比为q，根据题意得：，∴各不式的两边取常用对数，得令lga1=x，lgq=y，lga4=t将不等式组化为：，作出以上不等式组表示的平面区域，得到如图的△ABC及其内部其中A（0，lg2），B（2lg2﹣lg3，lg3﹣lg2），C（0，lg3）将直线l：t=x+3y进行平移，可得当l经过点A时，t=3lg2取得最大值；当l经过点B时，t=﹣lg2+2lg3取得最小值∴t=lga4∈[﹣lg2+2lg3，3lg2]，即lga4∈[lg，lg8]由此可得a4的取值范围是故答案为：点评：本题给出等比数列，在已知a1≥1，a2≤2，a3≥3的情况下求a4的取值范围．着重考查了等比数列的通项公式、二元一次不等式组表示的平面区域和简单的线性规划等知识，属于基础题．13．（4分）已知六个点A1（x1，1），B1（x2，﹣1），A2（x3，1），B2（x4，﹣1），A3（x5，1），B3（x6，﹣1）（x1＜x2＜x3＜x4＜x5＜x6，x6﹣x1=5π）都在函数f（x）=sin（x+）的图象C上．如果这六点中不同的两点的连线的中点仍在曲线C上，则称此两点为“好点组”，则上述六点中好点组的个数为11 ．（两点不计顺序）考点：正弦函数的图象；函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．专题：三角函数的图像与性质．分析：题干错误：x6﹣x1=5π，应该是：x6 ﹣x1=5π，请给修改，谢谢．由题意可得，只要研究函数y=sinx在[0，6π]上的情况即可．画出函数y=sinx在[0，6π]上的图象，数形结合可得结论．解答：解：由于对称关系不因平移而改变，∴y=sinx与f（x）=sin（x+）对称关系没有变．根据函数的周期性，只要研究函数y=sinx在[0，6π]上的情况即可．画出函数y=sinx在[0，6π]上的图象，如图所示：可得A1（，0）、B1（，0）、A2（，0）、B2（，0）、A3（，0）、B3（，0）．由函数y=sinx的图象性质可得，“好点租”有：A1B1，B1A2，A2B2，B2B2，B2A3，A3B3，A1A3，B1B3，A1B2，A2B3，B1A3，共11个，故答案为 11．点评：本题主要考查新定义“好点组”，正弦函数的图象的对称性的应用，函数y=Asin （ωx+∅）的图象变换规律，属于中档题．14．（4分）已知f（x）=2mx+m2+2，m≠0，m∈R，x∈R．若|x1|+|x2|=1，则的取值范围是．考点：函数与方程的综合运用．专题：函数的性质及应用．分析：（i）法一：目标函数法：①分类讨论去绝对值找x1，x2的关系．②将化为一个变量的函数g（x2）．（ii）法二：数形结合：①“数”难时，要考虑“形”．②C：|x1|+|x2|=1为正方形．③“分式”联想到斜率．解答：解：解法一：先考虑0≤x1≤1，0≤x2≤1的情形，则x1+x2=1===当m＞0，令函数g（x）=，x∈[0，1]，由单调性可得：g（1）≤g（x）≤g（0）．其中，，当m＜0，同理．x1、x2在其他范围同理．综上可得．解法二：==，∴为点P与点Q（x2，x1）连线的斜率．P点在直线上．由图可得直线PQ斜率的范围，即的范围．点评：熟练掌握分类讨论、数形结合的思想方法、函数的单调性、直线的斜率公式及意义是解题的关键．二、解答题：（本大题共12小题，共90分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）15．（14分）已知向量=（cosλθ，cos（10﹣λ）θ），=（sin（10﹣λ）θ，sinλθ），λ、θ∈R．（1）求+的值；（2）若⊥，求θ；（3）若θ=，求证：∥．考点：平面向量数量积的运算；向量的模；平行向量与共线向量．专题：综合题；平面向量及应用．分析：（1）由向量的数量积的坐标表示可求||，||，代入即可求解（2）由⊥，利用向量数量积的性质的坐标表示可得cosλθ•sin（10﹣λ）θ+cos （10﹣λ）θ•sinλθ=0，整理可求θ（3）要证明∥，根据向量平行的坐标表示，只要证明cosλθ•sinλθ﹣cos（10﹣λ）θ•sin[（10﹣λ）θ]=0即可解答：解：（1）∵||=，||=（算1个得1分）||2+||2=2，…（4分）（2）∵⊥，∴cosλθ•sin（10﹣λ）θ+cos（10﹣λ）θ•sinλθ=0∴sin（（10﹣λ）θ+λθ）=0，∴sin10θ=0…（7分）∴10θ=kπ，k∈Z，∴θ=，k∈Z…（9分）（3）∵θ=，cosλθ•sinλθ﹣cos（10﹣λ）θ•sin[（10﹣λ）θ]=cos•sin﹣cos（﹣）•sin（﹣）=cos•sin﹣sin•cos=0，∴∥…..…..（14分）点评：本题主要考查了向量的数量积的性质的坐标表示及向量平行的坐标表示，属于基础试题16．（14分）在三棱锥S﹣ABC中，SA⊥平面ABC，SA=AB=AC=BC，点D是BC边的中点，点E是线段AD上一点，且AE=4DE，点M是线段SD上一点．（1）求证：BC⊥AM；（2）若AM⊥平面SBC，求证EM∥平面ABS．考点：直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的判定．专题：空间位置关系与距离．分析：对（1），通过证明线面垂直⇒线线垂直即可；对（2），将空间几何问题转化为平面几何问题，在△SAD中利用M、E分线段SD、AD 成等比例，证明ME与SA平行，再由线线平行⇒线面平行．解答：证明：（1）∵AB=AC，D是BC的中点，∴AD⊥BC，∵SA⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，∴SA⊥BC，SA∩AD=A，∴BC⊥平面SAD∵AM⊂平面SAD，∴BC⊥AM．（2）∵AM⊥面SAB，⇒AM⊥SD，∵SA=AB=AC=BC，可设BC=3，SA=在△ABC中，cos∠A==﹣，∴∠A=∴AD=．在Rt△SAD中，=2==，∴SM=4MD，∵AE=4ED，∴ME∥SA，ME⊄平面ABS，SA⊂平面ABS．∴EM∥平面ABS．点评：本题考查直线与平面平行、垂直的判定．利用平面几何知识证明线线平行是本题证明（II）的关键；另：将空间几何问题转化为平面几何问题是解决问题的常用方法．17．（14分）如图，一个半圆和长方形组成的铁皮，长方形的边AD为半圆的直径，O为半圆的圆心，AB=1，BC=2，现要将此铁皮剪出一个等腰三角形PMN，其底边MN⊥BC．（1）设∠MOD=30°，求三角形铁皮PMN的面积；（2）求剪下的铁皮三角形PMN面积的最大值．考点：两角和与差的正弦函数．专题：应用题；三角函数的图像与性质．分析：（1）设MN交AD交于Q点由∠MOD=30°，利用锐角三角函数可求MQ，OQ，进而可求MN，AQ，代入S△PMN=MN•AQ可求（2）设∠MOQ=θ，由θ∈[0，]，结合锐角三角函数的定义可求MQ=sinθ，OQ=cosθ，代入三角形的面积公式S△PMN=MN•AQ=（1+sinθ）（1+cosθ）展开利用换元法，转化为二次函数的最值求解解答：解：（1）设MN交AD交于Q点∵∠MOD=30°，∴MQ=，OQ=（算出一个得2分）S△PMN=MN•AQ=××（1+）=…（6分）（2）设∠MOQ=θ，∴θ∈[0，]，MQ=sinθ，OQ=cosθ∴S△PMN=MN•AQ=（1+sinθ）（1+cosθ）=（1+sinθcosθ+sinθ+cosθ）…．（11分）令sinθ+cosθ=t∈[1，]，∴S△PMN=（t+1+）θ=，当t=，∴S△PMN的最大值为．…..…（14分）点评：本题主要考查了三角函数的定义的应用及利用三角函数求解函数的最值，换元法的应用是求解的关键18．（16分）直角坐标系xoy中，已知椭圆C：（a＞b＞0）的左、右顶点分别是A1，A2，上、下顶点为B2，B1，点P（，m）（m＞0）是椭圆C上一点，PO⊥A2B2，直线PO分别交A1B1、A2B2于点M、N．（1）求椭圆离心率；（2）若MN=，求椭圆C的方程；（3）在（2）的条件下，设R点是椭圆C上位于第一象限内的点，F1、F2是椭圆C的左、右焦点，RQ平分∠F1RF2且与y轴交于点Q，求点Q纵坐标的取值范围．直线与圆锥曲线的关系；椭圆的标准方程．考点：圆锥曲线的定义、性质与方程．专题：分（1）根据点P在椭圆上可把P点坐标用a，b表示出来，由PO⊥A2B2，可得•K OP=析：﹣1，由此可得a，b的关系式，连同a2=b2+c2可求得e值；（2）由MN=可得关于a，b的一方程，再根据（1）中离心率值即可求得a，b值，从而求得椭圆方程； （3）设R （x 0，y 0），Q （0，t ），由题意得cos∠F 1RQ=cos∠F 2RQ ，利用向量夹角公式可表示成关于y 0与t 的式子，根据y 0的范围即可求得t 的范围； 解答：解：（1）因为点P 在椭圆上，所以在方程中令x=，得m=b ，故P （，），∵PO⊥A 2B 2，∴•K OP =﹣1，即﹣×=﹣1，∴4b 2=3a 2=4（a 2﹣c 2），∴a 2=4c 2，∴e=①， 故椭圆的离心率为；（2）MN==，∴②联立①②解得，a 2=4，b 2=3， ∴椭圆C 的方程为：．（3）由（2）可得F 1（﹣1，0），F 2（1，0），设∠F 1RQ=α，∠F 2RQ=β，则cosα=cosβ， ∴=．设R （x 0，y 0），Q （0，t ）， 则化简得：t=﹣y 0， ∵0＜y 0＜，t ∈（﹣，0）．故点Q 纵坐标的取值范围为：（﹣，0）．点评： 本题考查直线与圆锥曲线的位置关系以及椭圆标准方程的求解，考查学生综合运用所学知识分析问题解决问题的能力，属难题．19．（4分）已知数列a n =n ﹣16，b n =（﹣1）n |n ﹣15|，其中n ∈N *． （1）求满足a n+1=|b n |的所有正整数n 的集合； （2）若n≠16，求数列的最大值和最小值；（3）记数列{a n b n}的前n项和为S n，求所有满足S2m=S2n（m＜n）的有序整数对（m，n）．考点：数列的求和；数列的函数特性．专题：计算题；分类讨论；等差数列与等比数列．分析：（1）由a n+1=|b n|，把已知通项代入可得关于n的方程，根据绝对值的意义，从而可求符合条件的n（2）由已知=，结合式子的特点，考虑讨论n与16的大小关系及n的奇偶性分别对已知式子进行化简求解最值（3）结合b n=（﹣1）n|n﹣15|，需要考虑n与15的大小对已知式子去绝对值，然后讨论n的奇偶性代入可求满足条件的m，n解答：解：（1）∵a n+1=|b n|，∴n﹣15=|n﹣15|，∴当n≥15时，a n+1=|b n|恒成立，当n＜15时，n﹣15=﹣（n﹣15），∴n=15n的集合{n|n≥15，n∈N*}…．…．…．（4分）（2）∵=（i）当n＞16时，n取偶数==1+当n=18时（）max=无最小值n取奇数时=﹣1﹣n=17时（）min=﹣2无最大值…（8分）（ii）当n＜16时，=当n为偶数时==﹣1﹣n=14时（）max=﹣（）min=﹣当n奇数==1+，n=1，（）max=1﹣=，n=15，（）min=0 …（11分）综上，最大值为（n=18）最小值﹣2（n=17）…．…..…．（12分）（3）n≤15时，b n=（﹣1）n﹣1（n﹣15），a2k﹣1b2k﹣1+a2k b2k=2 （16﹣2k）≥0，n＞15时，b n=（﹣1）n（n﹣15），a2k﹣1b2k﹣1+a2k b2k=2 （2k﹣16）＞0，其中a15b15+a16b16=0∴S16=S14 m=7，n=8…．（16分）点评：本题主要考查了数列的和的求解，求解中要注意对所出现式子的化简，体现了分类讨论思想的应用20．（6分）已知函数f（x）=（x﹣a）（x﹣b）2，a，b是常数．（1）若a≠b，求证：函数f（x）存在极大值和极小值；（2）设（1）中f（x）取得极大值、极小值时自变量的值分别为x1、x2，令点A（x1，f（x1）），B（x2，f（x2））．如果直线AB的斜率为﹣，求函数f（x）和f′（x）的公共递减区间的长度；（3）若f（x）≥mxf′（x）对于一切x∈R恒成立，求实数m，a，b满足的条件．考点：函数在某点取得极值的条件；函数恒成立问题．专题：导数的综合应用．分析：（1）由于f′（x）=（x﹣b）[3x﹣（2a+b）]，可得一元二次方程f′（x）=0有两不等实数根，可得f（x）存在极大值和极小值．（2）分a=b、a＞b、a＜b三种情况，求得f（x）的减区间，再求出f′（x）减区间，可得f（x）与′的公共减区间，从而求得公共减区间的长度．（3）由条件可得，（x﹣b）{（1﹣3m）x2+[m（2a+b）﹣（a+b）]x+ab}≥0恒成立，可得m=，故（x﹣b）[（a+2b）x﹣3ab]≤0恒成立．再利用二次函数的性质求得实数m，a，b满足的条件．解答：解：（1）由于f′（x）=（x﹣b）[3x﹣（2a+b）]，…（1分）∵a≠b，∴，∴一元二次方程f′（x）=0有两不等实数根 b和，∴f（x）存在极大值和极小值．…（4分）（2）①若a=b，f（x）不存在减区间．②若a＞b，由（1）知x1=b，x2=，∴A（b，0），B ，∴，∴（a﹣b）2 =，∴．③当a＜b时，x1=，x2=b，同理可得a﹣b=（舍）．综上a﹣b=…..…．（7分）∴f（x）的减区间为即（b，b+1），f′（x）减区间为，∴公共减区间为（b，b+），故公共减区间的长度为．…（10分）（3）∵f（x）≥mxf′（x），∴（x﹣a）（x﹣b）2 ≥m•x（x﹣b）[3x﹣（2a+b）]，∴（x﹣b）{（1﹣3m）x2+[m（2a+b）﹣（a+b）]x+ab}≥0．若，则左边是一个一次因式，乘以一个恒正（或恒负）的二次三项式，或者是三个一次因式的积，无论哪种情况，总有一个一次因式的指数是奇次的，这个因式的零点左右的符号不同，因此不可能恒非负，不满足条件．∴，…（12分）∴（x﹣b）[（a+2b）x﹣3ab]≤0恒成立．若a+2b=0，则有a=﹣2b，∴a=b=0．若a+2b≠0，则 x1=b，，且 b=．①当b=0，则由二次函数的性质得 a＜0，②当b≠0，则，∴a=b，且b＜0．综上可得，，a=b≤0或 a＜0，b=0．…..（16分）点评：本题主要考查函数在某点取得极值的条件，函数的恒成立问题，体现了分类讨论的数学思想，属于中档题．21．（6分）如图⊙O的两弦AB，CD所在直线交于圆外一点P．（1）若PC=2，CD=1，点A为PB的中点，求弦AB的长；（2）若PO平分∠BPD，求证：PB=PD．考点：与圆有关的比例线段．分析：（1）利用割线定理即可得出；（2）利用垂径定理、同圆中的弦与弦心距的关系定理、角平分线的性质及全等三角形的判定与性质即可得出．解答：解（1）由割线定理可得：PA•PB=PC•PD，∵点A为PB的中点，∴PA=AB，∴AB•2AB=2×3，解得AB=．（2）作OM⊥CD于 M，ON⊥AB于N，∵PO平分∠BPD，∴OM=ON，在同圆中弦心距相等，∴AB=CD，∴点M平分弦CD，点N平分弦AB，∴AN=NB，CM=MD，∴NB=MD．又∵△PON≌△POM，∴PN=PM，∴PN+NB=PM+MD，∴PB=PD．点评：熟练掌握圆的割线定理、垂径定理、同圆中的弦与弦心距的关系定理、角平分线的性质及全等三角形的判定与性质是解题的关键．22．（6分）已知变换T 把平面上的点（1，0），（0，）分别变换成点（1，1），（﹣，）．（1）试求变换T对应的矩阵M；（2）求曲线x2﹣y2=1在变换T的作用下所得到的曲线的方程．考点：几种特殊的矩阵变换．专题：计算题．分析：（1）先设出所求矩阵，利用待定系数法建立一个四元一次方程组，解方程组即可；（2）先设P（x，y）是曲线x2﹣y2=1上的任一点，P1（x′，y′）是P（x，y）在矩阵T对应变换作用下新曲线上的对应点，根据矩阵变换求出P与P1的关系，代入已知曲线求出所求曲线即可．解答：解：（1）设矩阵M=依题意得，=→，∴（1，0）变换为（1，1）得：a=1，c=1，（0，）变换为（﹣，）得：b=﹣1，d=1所求矩阵M=…（5分）（2）变换T所对应关系解得…（7分）代入x2﹣y2=1得：x′y′=1，故x2﹣y2=1在变换T的作用下所得到的曲线方程得xy=1 …（10分）点评：本题主要考查来了逆矩阵与投影变换，以及计算能力，属于基础题．23．（6分）已知直线（t为参数）与圆C：（θ为参数）相交于A，B两点，m为常数．（1）当m=0时，求线段AB的长；（2）当圆C上恰有三点到直线的距离为1时，求m的值．考点：参数方程化成普通方程；直线与圆的位置关系．专题：直线与圆．分析：（1）先把参数方程化为普通方程，再利用点到直线的距离公式、弦长|AB|=2即可得出；（2）圆C上恰有三点到直线的距离为1的条件⇔圆心C到直线l的距离=1．解答：解：（1）由直线（t为参数）消去参数化为普通方程l：x+y﹣1=0；当m=0时，圆C：（θ为参数）消去参数θ得到曲线C：x2+y2=4，圆心C（0，0），半径r=2．∴圆心C到直线l的距离为 d=，∴|AB|=2=．（2）由（1）可知：x+y﹣1=0，又把圆C的参数方程的参数θ消去可得：x2+（y﹣m）2=4，∴圆心C（0，m），半径r=2．只要圆心C到直线l的距离=1即可满足：圆C上恰有三点到直线的距离为1的条件．由d==1，解得m﹣1=±，∴m=1+或m=1﹣．点评：熟练把参数方程化为普通方程、掌握点到直线的距离公式、弦长|AB|=2及正确把问题等价转化是解题的关键．24．（6分）若a，b，c∈R+，a+2b+3c=6．（1）求abc的最大值；（2）求证≥12．考点：基本不等式．专题：综合题．分析：（1）由已知可得abc=a•2b•3c≤（）3，可求（2）由++=3+++=（++）（a+2b+3c），化简后利用基本不等式可证解答：解：（1）∵a，b，c∈R+，a+2b+3c=6∴abc=a•2b•3c≤（）3=当a=2，b=1，c=时取等号，∴abc的最大值为…．…..（5分）（2）∵++=3+++而（++）（a+2b+3c）≥（++）2=54∴++≥9∴++≥12…（10分）点评：本题主要考查了基本不等式在求解最值及证明中的应用，解题的关键是对基本不等式应用条件的配凑25．（6分）如图，在棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E、F分别为AD、DC的中点．（1）求直线BC1与平面EFD1所成角的正弦值；（2）设直线BC1上一点P满足平面PAC∥平面EFD1，求PB的长．考点：用空间向量求直线与平面的夹角；平面与平面平行的判定；直线与平面所成的角．专题：空间位置关系与距离；空间角．分析：（1）建立以D点为原点，DA所在直线为x轴，DC所在直线为y轴，DD1所在直线为z 轴的空间直角坐标系，求出平面D1EF的法向量，和直线BC1的方向向量，代入向量夹角公式，可得直线BC1与平面EFD1所成角的正弦值；（2）设=λ，可求出向量的坐标（含参数λ），进而根据平面PAC∥平面EFD1，可得平面D1EF的法向量也垂直平面PAC，即.=0，进而求出参数值后，代入向量模的计算公式可得答案．解答：解：（1）建立以D点为原点，DA所在直线为x轴，DC所在直线为y轴，DD1所在直线为z轴的空间直角坐标系则D1（0，0，2），A（2，0，0），B（2，2，0），E（1，0，0），C1（0，2，2），F（0，1，0）．=（﹣2，0，2），=（1，0，﹣2），=（﹣1，1，0）．设平面D1EF的法向量=（x1，y1，z1），则，即令x1=2，则=（2，2，1）…（3分）∴cos＜，＞==﹣∴直线BC1与平面EFD1所成角的正弦值为…..…..（5分）（2）设=λ=（﹣2λ，0，2λ）则=+=（﹣2λ，2，2λ），.=﹣4λ+4+2λ=0∴λ=2…（8分）∵AP⊄平面EFD1，AP∥平面EFD1，又AC∥EF，EF⊆平面EFD1，∴AC∥平面EFD1又AP∩AC=A，AP，AC⊂平面EFD1，∴平面PAC∥平面EFD1，∴=（﹣4，0，4），=4…．（10分）点评：本题考查的知识点是直线与平面所成的角，平面与平面平行的判定，其中建立空间坐标系，将空间线面关系及夹角问题转化为向量夹角问题是解答的关键．26．（6分）如图A1（x1，y1）（y1＜0）是抛物线y2=mx（m＞0）上的点，作点A1关于x轴的对称点B1，过B1作与抛物线在A1处的切线平行的直线B1A2交抛物线于点A2．（1）若A1（4，﹣4），求点A2的坐标；（2）若△A1A2B1的面积为16，且在A1，B1两点处的切线互相垂直．①求抛物线方程；②作A2关于x轴的对称点B2，过B2作与抛物线在A2处的切线平行的直线B2A3，交抛物线于点A3，…，如此继续下去，得一系列点A4，A5，…，设A n（x n，y n），求满足x n≥10000x1的最小自然数n．考点：抛物线的标准方程；数列的函数特性．专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（1）由A1（4，﹣4）在抛物线上代入可求m，设出A2（x2，﹣2x2），对函数y=﹣求导根据导数的几何意义可求x2，即可求解A2．（2）①设A1，B1处切线的斜率分别为K1，K2，容易得出K1•K2=﹣1，代入点的坐标即可得到m与x1 的方程，再设A2，结合已知又可得x2，x1的关系，代入三角形的面积公式中即可可求知x1，m，从而可求抛物线方程②由题意可求x n与x n﹣1的递推关系，结合等比数列的通项公式可求n的最小值解答：解：（1）若A1（4，﹣4）在抛物线上∴16=4m∴m=4，设A2（x2，﹣2x2），y=﹣，y′=﹣，B（4，4）∴=∴x2=36∴A2（36，﹣12）…．…．…（3分）（2）①设A1，B1处切线的斜率分别为K1，K2，K1•K2=﹣1∴（﹣）.=﹣1∴m=4x1 ①设A2（x2，﹣）∴=﹣∴x2=9x1 ②又S=×2（x2﹣x1）=16 ③由①②③知x1=1，m=4∴抛物线方程为y2=4x…..…（6分）②由（2）知=﹣，∴x n=9x n﹣1，∴数列{x n}为等比数列，∴x19n﹣1≥10000x1∴n≥6∴n最小值为6…（10分）点评：本题主要考查了由抛物线的性质求解抛物线的方程，还考查了一定的逻辑推理与运算的能力。

江苏省12市2015届高三上学期期末考试数学试题分类汇编立体几何一、填空题1、（泰州市2015届高三上期末）若αβ、是两个相交平面，则在下列命题中，真命题的序号为 ▲ ．（写出所有真命题的序号） ①若直线m α⊥，则在平面β内，一定不存在与直线m 平行的直线． ②若直线m α⊥，则在平面β内，一定存在无数条直线与直线m 垂直． ③若直线m α⊂，则在平面β内，不一定存在与直线m 垂直的直线． ④若直线m α⊂，则在平面β内，一定存在与直线m 垂直的直线．2、（无锡市2015届高三上期末）三棱锥P ABC -中，,D E 分别为,PB PC 的中点，记三棱锥D ABE -的体积为1V ，P ABC -的体积为2V ，则12V V =二、解答题1、（常州市2015届高三）如图，四棱锥P ABCD -的底面ABCD 是平行四边形，平面PBD⊥平面 ABCD ， PB =PD ，PA ⊥PC ，CD ⊥PC ，O ，M 分别是BD ，PC的中点，连结OM ．求证： （1）OM ∥平面PAD ； （2）OM ⊥平面PCD ．D（第16题）2、（连云港、徐州、淮安、宿迁四市2015届高三）如图，在三棱锥P ABC -中，已知平面PBC ⊥平面ABC ．(1) 若AB ⊥BC ，且CP ⊥PB ，求证：CP ⊥PA ；(2) 若过点A 作直线l ⊥平面ABC ，求证：l //平面PBC ．3、（南京市、盐城市2015届高三）如图，在正方体1111ABCD A BC D -中，,O E 分别为1,B D AB 的中点. （1）求证：//OE 平面11BCC B ； （2）求证：平面1B DC ⊥平面1B DE .4、（南通市2015届高三）如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，1,4,AC BC CC M ⊥=是棱1CC 上的一点.()1求证：BC AM ⊥；()2若N 是AB 的中点，且CN ∥平面1AB M .A PB （第16题）BACDB 1A 1 C 1 D 1 E第16题图O5、（南通市2015届高三）如图，在四棱锥A-BCDE 中，底面BCDE 为平行四边形，平面ABE ⊥平面BCDE ，AB ＝AE ，DB ＝DE ，∠BAE ＝∠BDE ＝90º。

2014-2015学年江苏省泰州市泰兴市高三（上）期中数学试卷一、填空题（每小题5分，共70分）1．已知集合A={x|y=lg（2x﹣x2）}，B={y|y=2x，x＞0}，则A∩B= ．2．已知，则= ．3．命题P：“若，则a、b、c成等比数列”，则命题P的否命题是 （填“真”或“假”之一）命题．4．如果x﹣1+yi，与i﹣3x是共轭复数（x、y是实数），则x+y= ．5．在等差数列{a n}中，a7=m，a14=n，则a28= ．6．已知O、A、B三点的坐标分别为O（0，0），A（3，0），B（0，3），且P在线段AB上，=t（0≤t≤1）则•的最大值为 ．7．已知a n=（n∈N*），设a m为数列{a n}的最大项，则m= ．8．已知实数a≠0，函数，若f（1﹣a）=f（1+a），则a的值为 ．9．函数的图象与函数y=2sinπx（﹣2≤x≤4）的图象所有交点的横坐标之和等于 ．10．已知AD是△ABC的中线，若∠A=120°，，则的最小值是 ．11．如图，l1，l2，l3是同一平面内的三条平行直线，l1与l2间的距离是1，l3与l2间的距离是2，正△ABC的三顶点分别在l1，l2，l3上，则△ABC的边长是 ．12．将函数f（x）=2sin（ωx﹣）（ω＞0）的图象向左平移个单位，得到函数y=g（x）的图象，若y=g（x）在[0，]上为增函数，则ω的最大值为 ．13．定义f（x）是R上的奇函数，且当x≥0时，f（x）=x2．若对任意的x∈[a，a+2]均有f（x+a）≥2f（x），则实数a的取值范围为 ．14．对任意的x＞0，总有 f（x）=a﹣x﹣|lgx|≤0，则a的取值范围是 ．二、解答题（本大题6小题，共90分）15．设集合A={x|x2﹣（a+4）x+4a=0，a∈R}，B={x|x2﹣5x+4=0}．求（Ⅰ）若A∩B=A，求实数a的值；（Ⅱ）求A∪B，A∩B．16．已知函数f（x）=sincos+cos2（1）将f（x）写成Asin（ωx+φ）+b的形式，并求其图象对称中心的横坐标；（2）如果△ABC的三边a，b，c满足b2=ac，且边b所对的角为x，试求x 的范围及此时函数f（x）的值域．17．已知扇形AOB的半径等于1，∠AOB=120°，P是圆弧上的一点．（1）若∠AOP=30°，求的值．（2）若，①求λ，μ满足的条件；②求λ2+μ2的取值范围．18．为合理用电缓解电力紧张，某市将试行“峰谷电价”计费方法，在高峰用电时段，即居民户每日8时至22时，电价每千瓦时为0.56元，其余时段电价每千瓦时为0.28元．而目前没有实行“峰谷电价”的居民户电价为每千瓦时0.53元．若总用电量为S千瓦时，设高峰时段用电量为x 千瓦时．（1）写出实行峰谷电价的电费y1=g1（x）及现行电价的电费y2=g2（S）的函数解析式及电费总差额f（x）=y2﹣y1的解析式；（2）对于用电量按时均等的电器（在全天任何相同长的时间内，用电量相同），采用峰谷电价的计费方法后是否能省钱？说明你的理由．19．已知数列{a n}、{b n}，其中，a1=，数列{a n}的前n项和S n=n2a n（n∈N*），数列{b n}满足b1=2，b n+1=2b n．（1）求数列{a n}、{b n}的通项公式；（2）是否存在自然数m，使得对于任意n∈N*，n≥2，有1+恒成立？若存在，求出m的最小值；（3）若数列{c n}满足c n=，求数列{c n}的前n项和T n．20．已知函数f（x）=ax3+bx2+（b﹣a）x（a，b不同时为零的常数），导函数为f′（x）．（1）当时，若存在x∈[﹣3，﹣1]使得f′（x）＞0成立，求b的取值范围；（2）求证：函数y=f′（x）在（﹣1，0）内至少有一个零点；（3）若函数f（x）为奇函数，且在x=1处的切线垂直于直线x+2y﹣3=0，关于x的方程在[﹣1，t]（t＞﹣1）上有且只有一个实数根，求实数t的取值范围．　2014-2015学年江苏省泰州市泰兴市高三（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（每小题5分，共70分）1．已知集合A={x|y=lg（2x﹣x2）}，B={y|y=2x，x＞0}，则A∩B=　（1，2）　．考点： 交集及其运算．专题： 计算题．分析： 求出A中函数的定义域确定出A，求出B中函数的值域确定出B，找出A与B的交集即可．解答： 解：由A中的函数y=lg（2x﹣x2），得到2x﹣x2＞0，即x（x﹣2）＜0，解得：0＜x＜2，即A=（0，2），由B中的函数y=2x，x＞0，得到y＞1，即B=（1，+∞），则A∩B=（1，2）．故答案为：（1，2）点评： 此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．2．已知，则=　　．考点： 运用诱导公式化简求值．专题： 计算题．分析： 根据诱导公式可知=sin（﹣α﹣），进而整理后，把sin（α+）的值代入即可求得答案．解答： 解：=sin（﹣α﹣）=﹣sin（α+）=﹣故答案为：﹣点评： 本题主要考查了运用诱导公式化简求值的问题．属基础题．　3．命题P：“若，则a、b、c成等比数列”，则命题P的否命题是　假　（填“真”或“假”之一）命题．考点： 命题的真假判断与应用．专题： 计算题．分析： 写出命题的否命题，然后判断否命题的真假即可．解答： 解：命题P：“若，则a、b、c成等比数列”，命题P的否命题是：“若，则a、b、c不成等比数列”．否命题中，，可以有ac=b2，a、b、c成等比数列，所以否命题不正确．故答案为：假．点评： 本题考查命题的真假的判断，四种命题的关系，考查基本知识的应用．4．如果x﹣1+yi，与i﹣3x是共轭复数（x、y是实数），则x+y=　　．考点： 复数的基本概念．专题： 数系的扩充和复数．分析： 利用共轭复数的定义即可得出．解答： 解：∵x﹣1+yi，与i﹣3x是共轭复数，∴﹣3x=x﹣1，﹣y=1，解得x=，y=﹣1．∴x+y=．故答案为：﹣．点评： 本题考查了共轭复数的定义，属于基础题．5．在等差数列{a n}中，a7=m，a14=n，则a28=　3n﹣2m　．考点： 等差数列的性质．专题： 计算题；等差数列与等比数列．分析： 由等差数列的性质可得a28=3a14﹣2a7，代入已知的值可求．解答： 解：等差数列{a n}中，由性质可得：a28=a1+27d，3a14﹣2a7=3（a1+13d）﹣2（a1+6d）=a1+27d，∴a28=3a14﹣2a7，∵a7=m，a14=n，∴a28=3n﹣2m．故答案为：3n﹣2m．点评： 本题为等差数列性质的应用，熟练利用性质是解决问题的关键，属基础题．6．已知O、A、B三点的坐标分别为O（0，0），A（3，0），B（0，3），且P在线段AB上，=t（0≤t≤1）则•的最大值为　9　．考点： 平面向量数量积的含义与物理意义．专题： 计算题．分析： 先利用响亮的三角形法则将用表达，再由数量积的坐标运算得到关于t的式子求最值即可．解答： 解：•=====（1﹣t）9因为0≤t≤1，所以（1﹣t）9≤9，最大值为9，所以•的最大值为9故答案为：9点评： 本题考查向量的表示、数量积运算等知识，属基本运算运算的考查．7．已知a n=（n∈N*），设a m为数列{a n}的最大项，则m=　8　．考点： 数列的函数特性．专题： 函数的性质及应用；等差数列与等比数列．分析： 把数列a n==1+，根据单调性，项的符号判断最大项．解答： 解：∵a n=（n∈N*），∴a n==1+根据函数的单调性可判断：数列{a n}在[1，7]，[8，+∞）单调递减，∵在[1，7]上a n＜1，在[8，+∞）上a n＞1，∴a8为最大项，故答案为：8点评： 本题考查了数列与函数的结合，根据单调性求解，属于中档题．8．已知实数a≠0，函数，若f（1﹣a）=f（1+a），则a的值为　　．考点： 函数的值；分段函数的应用．专题： 函数的性质及应用．分析： 对a分类讨论判断出1﹣a，1+a在分段函数的哪一段，代入求出函数值；解方程求出a．解答： 解：当a＞0时，1﹣a＜1，1+a＞1∴2（1﹣a）+a=﹣1﹣a﹣2a解得a=舍去当a＜0时，1﹣a＞1，1+a＜1∴﹣1+a﹣2a=2+2a+a解得a=故答案为点评： 本题考查分段函数的函数值的求法：关键是判断出自变量所在的范围．9．函数的图象与函数y=2sinπx（﹣2≤x≤4）的图象所有交点的横坐标之和等于　4　．考点： 正弦函数的图象；函数的零点与方程根的关系．专题： 计算题．分析：的图象由奇函数的图象向右平移1个单位而得，所以它的图象关于点（1，0）中心对称，再由正弦函数的对称中心公式，可得函数y2=2sinπx的图象的一个对称中心也是点（1，0），故交点个数为偶数，且对称点的横坐标之和为2解答： 解：函数y1==2sinπx的图象有公共的对称中心（1，0），作出两个函数的图象，当1＜x≤4时，y1≥，而函数y2在（1，4）上出现1.5个周期的图象，在上是单调增且为正数函数，y2在（1，4）上出现1.5个周期的图象，在上是单调减且为正数，∴函数y2在x=处取最大值为2≥，而函数y2在（1，2）、（3，4）上为负数与y1的图象没有交点，所以两个函数图象在（1，4）上有两个交点（图中C、D），根据它们有公共的对称中心（1，0），可得在区间（﹣2，1）上也有两个交点（图中A、B），并且：x A+x D=x B+x C=2，故所求的横坐标之和为4，故答案为：4．点评： 本题考查函数的零点与方程的根的关系，考查数形结合思想，发现两个图象公共的对称中心是解决本题的入口，讨论函数y2=2sinπx 的单调性找出区间（1，4）上的交点个数是本题的难点所在．10．已知AD是△ABC的中线，若∠A=120°，，则的最小值是　1　．考点： 向量在几何中的应用．专题： 压轴题；平面向量及应用．分析： 利用向量的数量积公式，及三角形中线向量的表示，利用基本不等式，即可求的最小值．解答： 解：∵=||||cosA，∠A=120°，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（7分）∴||||=4﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（8分）∵=（+），∴||2=（||2+||2+2•）=（||2+||2﹣4）≥（2||||﹣4）=1﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（10分）∴min=1﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（12分）故答案为：1．点评： 本题考查向量的数量积，基本不等式，考查学生的计算能力，属于中档题．11．如图，l1，l2，l3是同一平面内的三条平行直线，l1与l2间的距离是1，l3与l2间的距离是2，正△ABC的三顶点分别在l1，l2，l3上，则△ABC的边长是　　．考点： 两点间的距离公式．专题： 计算题；空间位置关系与距离．分析： 过A，C作AE，CF垂直于L2，点E，F是垂足，将Rt△BCF绕点B逆时针旋转60°至Rt△BAD处，延长DA交L2于点G，由此可得结论．解答： 解：如图，过A，C作AE，CF垂直于L2，点E，F是垂足，将Rt△BCF绕点B逆时针旋转60°至Rt△BAD处，延长DA交L2于点G．由作图可知：∠DBG=60°，AD=CF=2．在Rt△BDG中，∠BGD=30°．在Rt△AEG中，∠EAG=60°，AE=1，AG=2，DG=4．∴BD=在Rt△ABD中，AB==故答案为：点评： 本题考查平行线的性质，等腰三角形，直角三角形的性质，考查学生的计算能力，属于基础题．12．（5分）（2015•德州一模）将函数f（x）=2sin（ωx﹣）（ω＞0）的图象向左平移个单位，得到函数y=g（x）的图象，若y=g（x）在[0，]上为增函数，则ω的最大值为　2　．考点： 由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．专题： 计算题．分析： 函数的图象向左平移个单位，得到函数y=g（x）的表达式，然后利用在上为增函数，说明，利用周期公式，求出ω的不等式，得到ω的最大值．解答： 解：函数的图象向左平移个单位，得到函数y=g（x）=2sinωx，y=g（x）在上为增函数，所以，即：ω≤2，所以ω的最大值为：2．故答案为：2．点评： 本题是基础题，考查由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式，注意函数的周期与单调增区间的关系，考查计算能力，常考题型，题目新颖．13．定义f（x）是R上的奇函数，且当x≥0时，f（x）=x2．若对任意的x∈[a，a+2]均有f（x+a）≥2f（x），则实数a的取值范围为　　．考点： 函数恒成立问题．专题： 函数的性质及应用．分析： 利用函数奇偶性和单调性之间的关系，解不等式即可．解答： 解：∵当x≥0时，f（x）=x2，∴此时函数f（x）单调递增，∵f（x）是定义在R上的奇函数，∴函数f（x）在R上单调递增，若对任意x∈[a，a+2]，不等式f（x+a）≥2f（x）恒成立，∵2f（x）=2x2=（x）2=f（x），∴f（x+a）≥f（x）恒成立，则x+a≥恒成立，即a≥﹣x+=恒成立，∵x∈[a，a+2]，∴（）max=（a+2），即a≥（a+2），解得a，即实数a的取值范围是故答案为．故答案为：．点评： 本题主要考查函数奇偶性和单调性的应用，以及不等式恒成立问题，综合考查函数的性质，是中档题．14．对任意的x＞0，总有 f（x）=a﹣x﹣|lgx|≤0，则a的取值范围是　（﹣∞，lge﹣lglge]　．考点： 函数恒成立问题．专题： 函数的性质及应用．分析： 把不等式变形，然后分x≥1和0＜x＜1两种情况讨论，对于0＜x ＜1时，借助于导数求函数的最小值得答案．解答： 解：由 f（x）=a﹣x﹣|lgx|≤0，得a≤x+|lgx|．当x≥1时，化为a≤x+lgx，知a≤1；当0＜x＜1时，化为a≤x﹣lgx，令g（x）=x﹣lgx，则，由，得x=lge．当x∈（0，lge）时，g′（x）＜0，当x∈（lge，1）时，g′（x）＞0，∴当x=lge时，g（x）有最小值为lge﹣lglge．综上，a的取值范围是（﹣∞，lge﹣lglge]．故答案为：（﹣∞，lge﹣lglge]．点评： 本题考查了函数恒成立问题，考查了数学转化思想方法，训练了利用导数求函数的最值，是中档题．二、解答题（本大题6小题，共90分）15．设集合A={x|x2﹣（a+4）x+4a=0，a∈R}，B={x|x2﹣5x+4=0}．求（Ⅰ）若A∩B=A，求实数a的值；（Ⅱ）求A∪B，A∩B．考点： 交、并、补集的混合运算．专题： 集合．分析： 本题考察集合的运算中的交集和并集，先对集合A，B进行化简，然后按运算法则运算即可．解答： 解：A={x|x=4，或x=a}，B={x|x=1，或x=4}．（Ⅰ）∵A∩B=A，∴A⊆B，由此得，a=1或a=4（Ⅱ）若a=1，则A=B={1，4}，∴A∪B={1，4}，A∩B={1，4}；若a=4，则A={4}，∴A∪B={1，4}，A∩B={4}；若a≠1、4，则A={4，a}，∴A∪B={1，4，a}，A∩B={4}．点评： 本题考查集合运算，属于基础题．注意元素的互异性和确定性．16．已知函数f（x）=sincos+cos2（1）将f（x）写成Asin（ωx+φ）+b的形式，并求其图象对称中心的横坐标；（2）如果△ABC的三边a，b，c满足b2=ac，且边b所对的角为x，试求x 的范围及此时函数f（x）的值域．考点： 余弦定理；两角和与差的正弦函数．专题： 解三角形．分析： （1）f（x）解析式利用二倍角的正弦、余弦函数公式化简，整理后再利用两角和与差的正弦函数公式化为一个角的正弦函数，令正弦函数为0求出x的值，即为其图象对称中心的横坐标；（2）利用余弦定理表示出cosx，把b2=ac代入并利用基本不等式变形，求出cosx的范围，确定出x的范围，求出这个角的范围，利用正弦函数的值域确定出f（x）的值域即可．解答： 解：（1）f（x）=sin+（1+cos）=sin+cos+=sin（+）+，由sin（+）=0，得+=kπ（k∈Z），解得：x=，k∈Z，则对称中心的横坐标为（k∈Z）；（2）由已知b2=ac及余弦定理，得：cosx==≥=，∴≤cosx＜1，即0＜x≤，∴＜+≤，∴＜sin（+）+≤1+，即f（x）的值域为（，1+]，综上所述，x∈（0，]，f（x）值域为（，1+]．点评： 此题考查了余弦定理，二倍角的正弦、余弦函数公式，以及正弦函数的定义域与值域，熟练掌握余弦定理是解本题的关键．17．已知扇形AOB的半径等于1，∠AOB=120°，P是圆弧上的一点．（1）若∠AOP=30°，求的值．（2）若，①求λ，μ满足的条件；②求λ2+μ2的取值范围．考点： 余弦定理；平面向量数量积的运算．专题： 解三角形．分析： （1）由题意确定出∠BOP为直角，即OP与OB垂直，得到数量积为0，原式变形后，利用平面向量数量积运算法则计算即可得到结果；（2）①利用余弦定理列出关系式，利用平面向量的数量积运算法则及特殊角的三角函数值化简，整理即可得到λ，μ满足的条件；②利用基本不等式求出λ2+μ2的取值范围即可．解答： 解：（1）∵∠AOP=30°，∠AOB=120°，∴∠BOP=∠AOB﹣∠AOP=120°﹣30°=90°，∴•=0，则•=•（﹣）=•﹣•=﹣cos30°=﹣；（2）①由余弦定理，知=cos60°=，整理得：=，即λ2+μ2=1+λμ，则λ，μ满足的条件为；②由λ≥0，μ≥0，知λ2+μ2=1+λμ≥1（当且仅当λ=0或μ=0时取“=”），由λ2+μ2=1+λμ≤1+，得到λ2+μ2≤2（当且仅当λ=μ时取“=”），则λ2+μ2的取值范围为[1，2]．点评： 此题考查了余弦定理，平面向量的数量积运算，以及基本不等式的运用，熟练掌握余弦定理是解本题的关键．18．为合理用电缓解电力紧张，某市将试行“峰谷电价”计费方法，在高峰用电时段，即居民户每日8时至22时，电价每千瓦时为0.56元，其余时段电价每千瓦时为0.28元．而目前没有实行“峰谷电价”的居民户电价为每千瓦时0.53元．若总用电量为S千瓦时，设高峰时段用电量为x 千瓦时．（1）写出实行峰谷电价的电费y1=g1（x）及现行电价的电费y2=g2（S）的函数解析式及电费总差额f（x）=y2﹣y1的解析式；（2）对于用电量按时均等的电器（在全天任何相同长的时间内，用电量相同），采用峰谷电价的计费方法后是否能省钱？说明你的理由．考点： 函数模型的选择与应用．专题： 应用题．分析： （1）总用电量为S千瓦时，高锋时段用电量为x千瓦时，则低谷时段用电量为（S﹣x）千瓦时；实行峰谷电价的电费y1=0.56x+（S﹣x）×0.28；现行电价的电费y2=0.53S；作差比较y2﹣y1即可．（2）省钱时y2﹣y1＞0，可得＜；对于用电量按时均等的电器，高峰用电时段的时间与总时间的比为．所以能省钱．解答： 解：（1）若总用电量为S千瓦时，设高锋时段用电量为x千瓦时，则低谷时段用电量为（S﹣x）千瓦时；实行峰谷电价的电费为y1=0.56x+（S﹣x）×0.28=0.28S+0.28x；现行电价的电费为y2=0.53S；电费总差额f（x）=y2﹣y1=0.25S﹣0.28x，（0≤x≤S）（2）可以省钱，因为f（x）＞0，即0.25S﹣0.28x＞0，∴＜．对于用电量按时均等的电器，高峰用电时段的时间与总时间的比为．所以用电量按时均等的电器采用峰谷电价的计费方法后能省钱．点评： 本题考查了与实际生活相关的峰谷用电问题，并通过作差来比较函数值的大小，属于基础题目．19．已知数列{a n}、{b n}，其中，a1=，数列{a n}的前n项和S n=n2a n（n∈N*），数列{b n}满足b1=2，b n+1=2b n．（1）求数列{a n}、{b n}的通项公式；（2）是否存在自然数m，使得对于任意n∈N*，n≥2，有1+恒成立？若存在，求出m的最小值；（3）若数列{c n}满足c n=，求数列{c n}的前n项和T n．考点： 数列与不等式的综合．专题： 综合题；不等式的解法及应用．分析： （1）根据题设条件用累乘法能够求出数列{a n}的通项公式．b1=2，b n+1=2b n可知{b n}是首项为2，公比为2的等比数列，由此能求出{b n}的通项公式．（2）b n=2n．假设存在自然数m，使得对于任意n∈N*，n≥2，有1+恒成立，由此能导出m的最小值．（3）当n是奇数时，，当n是偶数时，，由此能推导出当n是偶数时，求数列{c n}的前n项和T n．解答： 解：（1）因为．当n≥2时，，所以所以（n+1）a n=（n﹣1）a n﹣1，即． …2分又，所以==．…4分当n=1时，上式成立，因为b1=2，b n+1=2b n，所以{b n}是首项为2，公比为2的等比数列，故．…6分（2）由（1）知，则．假设存在自然数m，使得对于任意n∈N*，n≥2，有恒成立，即恒成立，由，解得m≥16．…9分所以存在自然数m，使得对于任意n∈N*，n≥2，有恒成立，此时，m的最小值为16．…11分（3）当n为奇数时，=[2+4+…+（n+1）]+（22+24+…+2n﹣1）==；…13分当n为偶数时，=（2+4+…+n）+（22+24+…+2n）==．…15分因此． …16分．点评： 本题是考查数列知识的综合运用题，难度较大，在解题时要认真审题，仔细作答．20．已知函数f（x）=ax3+bx2+（b﹣a）x（a，b不同时为零的常数），导函数为f′（x）．（1）当时，若存在x∈[﹣3，﹣1]使得f′（x）＞0成立，求b的取值范围；（2）求证：函数y=f′（x）在（﹣1，0）内至少有一个零点；（3）若函数f（x）为奇函数，且在x=1处的切线垂直于直线x+2y﹣3=0，关于x的方程在[﹣1，t]（t＞﹣1）上有且只有一个实数根，求实数t的取值范围．考点： 利用导数研究函数的单调性；奇偶性与单调性的综合．专题： 计算题；证明题；压轴题；转化思想．分析： （1）当时，f′（x）==，由二次函数的性质，分类讨论可得答案；（2）因为f′（x）=3ax2+2bx+（b﹣a），所以f′（0）=b﹣a，f'（﹣1）=2a﹣b，．再由a，b不同时为零，所以，故结论成立；（3）将“关于x的方程在[﹣1，t]（t＞﹣1）上有且只有一个实数根”转化为“函数f（x）与的交点”问题解决，先求函数f（x）因为f（x）=ax3+bx2+（b﹣a）x为奇函数，可解得b=0，所以f（x）=ax3﹣ax，再由“f（x）在x=1处的切线垂直于直线x+2y﹣3=0”解得a，从而得到f（x），再求导，由，知f（x上是増函数，在上是减函数，明确函数的变化规律，再研究两个函数的相对位置求解．解答： 解：（1）当时，f′（x）==，其对称轴为直线x=﹣b，当，解得，当，b无解，所以b的取值范围为；（4分）（2）因为f′（x）=3ax2+2bx+（b﹣a），∴f′（0）=b﹣a，f'（﹣1）=2a﹣b，．由于a，b不同时为零，所以，故结论成立．（3）因为f（x）=ax3+bx2+（b﹣a）x为奇函数，所以b=0，所以f（x）=ax3﹣ax，又f（x）在x=1处的切线垂直于直线x+2y﹣3=0．所以a=1，即f（x）=x3﹣x．因为所以f（x）在上是増函数，在上是减函数，由f（x）=0解得x=±1，x=0，如图所示，当时，，即，解得；当时，或，解得；当时，或，即，解得；当时，或或，故．当时，或，解可得t=，当时，，无解．所以t的取值范围是或或t=．点评： 本题主要考查利用导数法研究函数的单调性，主要涉及了函数的奇偶性，函数的图象和性质以及方程的根转化为函数图象的交点解决等问题．。

江苏省泰州市2014～2015学年度第一学期期末考试高三数学试题一、填空题：（本大题共14小题，每小题5分，共70分．请将答案填入答题纸填空题的相应答题线上．）1.已知{}1,3,4A =，{}3,4,5B =，则A B = ▲ ．2.函数()sin(3)6f x x π=+的最小正周期为 ▲ ．3.复数z 满足i z 34i =+（i 是虚数单位），则z = ▲ ．4.函数()f x =的定义域为 ▲ ．5.执行如右图所示的流程图，则输出的n 为 ▲ ．6.若数据2,,2,2x 的方差为0，则x = ▲ ．7.袋子里有两个不同的红球和两个不同的白球，从中任取两个球，则这两个球颜色相同的概率为 ▲ ．8.等比数列{}n a 中，16320a a +=，3451a a a =，则数列的前6项和为 ▲ ．9.已知函数22sin ,0()cos(),0x x x f x x x x α⎧+≥=⎨-++<⎩是奇函数，则sin α= ▲ ．10.双曲线12222=-by a x 的右焦点到渐近线的距离是其到左顶点距离的一半，则双曲线的离心率e = ▲ ．11.若αβ、是两个相交平面，则在下列命题中，真命题的序号为 ▲ ．（写出所有真命题的序号） ①若直线m α⊥，则在平面β内，一定不存在与直线m 平行的直线． ②若直线m α⊥，则在平面β内，一定存在无数条直线与直线m 垂直． ③若直线m α⊂，则在平面β内，不一定存在与直线m 垂直的直线． ④若直线m α⊂，则在平面β内，一定存在与直线m 垂直的直线． 12.已知实数,,a b c 满足222a b c +=，0c ≠，则2ba c-的取值范围为 ▲ ． 13.在梯形A B C D 中，2A B D C =，6BC =，P 为梯形A B C D 所在平面上一点，且满足4AP BP DP ++=0，DA CB DA DP ⋅=⋅，Q 为边AD 上的一个动点，则PQ 的最小值为 ▲ ．14.在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，若22274a b c ++=则ABC ∆面积的最大值为 ▲ ．二、解答题：（本大题共6小题，共90分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．） 15.（本题满分14分）在平面直角坐标系xOy 中，角α的终边经过点(3,4)P ． （１）求sin()4πα+的值；（２）若P 关于x 轴的对称点为Q ，求OP OQ ⋅的值．16.（本题满分14分）如图，在多面体ABCDEF 中，四边形ABCD 是菱形，,AC BD 相交于点O ，//EF AB ，2AB EF =，平面BCF ⊥平面ABCD ，BF CF =，点G 为BC 的中点． （1）求证：直线//OG 平面EFCD ； （2）求证：直线AC ⊥平面ODE ．17.（本题满分14分）如图，我市有一个健身公园，由一个直径为2km 的半圆和一个以PQ 为斜边的等腰直角三角形PRQ ∆构成，其中O 为PQ 的中点．现准备在公园里建设一条四边形健康跑道ABCD ，按实际需要，四边形ABCD 的两个顶点C D 、分别在线段QR PR 、上，另外两个顶点A B 、在半圆上， ////AB CD PQ ，且AB CD 、间的距离为1km ．设四边形ABCD 的周长为c km ． （1）若C D 、分别为QR PR 、的中点，求AB 长； （2）求周长c 的最大值．18.（本题满分16分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，离心率为2的椭圆:C 22221(0)x y a b a b+=>>的左顶点为A ，过原点O 的直线（与坐标轴不重合）与椭圆C 交于,P Q 两点，直线,PA QA 分别与y 轴交于,M N 两点．若直线PQ斜率为2时，PQ = （1）求椭圆C 的标准方程；（2）试问以MN 为直径的圆是否过定点？若存在，求出定点坐标； 若不存在，说明理由．19.（本题满分16分）数列}{n a ，}{n b ，}{n c 满足：12n n n b a a +=-，1222n n n c a a ++=+-，*n N ∈． （1）若数列}{n a 是等差数列，求证：数列}{n b 是等差数列；（2）若数列}{n b ，}{n c 都是等差数列，求证：数列}{n a 从第二项起为等差数列；（3）若数列}{n b 是等差数列，试判断当130b a +=时，数列}{n a 是否成等差数列？证明你的结论．20.（本题满分16分） 已知函数1()ln f x x x=-，()g x ax b =+． (1)若函数()()()h x f x g x =-在(0,)+∞上单调递增，求实数a 的取值范围； (2) 若直线()g x ax b =+是函数1()ln f x x x=-图象的切线，求a b +的最小值； (3)当0b =时，若()f x 与()g x 的图象有两个交点1122(,),(,)A x y B x y ，求证：12x x 22e >． （取e 为2.8，取ln 2为0.7为1.4）附加题21.（［选做题］请考生在A 、B 、C 、D 四小题中任选两题作答，如果多做，则按所做的前两题记分． A ．（本小题满分10分，几何证明选讲）如图，EA 与圆O 相切于点A ，D 是EA 的中点，过点D 引O 的割线，与圆O 相交于点,B C ，连结EC ． 求证：DEB DCE ∠=∠．B ．（本小题满分10分，矩阵与变换） 已知矩阵1002A ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，1201B ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，若矩阵1AB -对应的变换把直线l 变为直线:20l x y '+-=，求直线l 的方程．C ．（本小题满分10分，坐标系与参数方程选讲） 己知在平面直角坐标系xOy 中，圆O 的参数方程为2cos 2sin x y αα=⎧⎨=⎩（α为参数）．以原点O 为极点，以x 轴的非负半轴为极轴的极坐标系中，直线l 的极坐标方程为(sin cos )1ρθθ-=，直线l 与圆M 相交于,A B 两点，求弦长AB 的值．D ．（本小题满分10分，不等式选讲） 已知正实数,,a b c 满足3a b c ++=，求证：2223b c aa b c ++≥．［必做题］第22题，第23题，每题10分，共计20分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 22.（(本小题满分10分)如图，在长方体ABCD A B C D ''''-中，2DA DC ==，1DD '=，A C ''与B D ''相交于点O '，点P 在线段BD 上（点P 与点B 不重合）．(1)若异面直线O P '与BC '所成角的余弦值为55，求DP 的长度;(2)若2DP =，求平面PA C ''与平面DC B '所成角的正弦值．23.（(本小题满分10分)记ri C 为从i 个不同的元素中取出r 个元素的所有组合的个数．随机变量ξ表示满足212ri C i ≤的二元数组(,)r i 中的r ，其中}{2,3,4,5,6,7,8,9i ∈，求E ξ．2013～2014学年度第一学期期末考试高三数学参考答案一、填空题1．{}3,4； 2．23π； 3．43i -； 4．[2,)+∞； 5．4； 6．2； 7．13； 8．214-； 9．1-； 10．53；11．②④； 12．[,]33- ； 13； 14．5. 二、解答题15. 解：（１）∵角α的终边经过点(3,4)P ，∴43sin ,cos 55αα==，∴43sin()sin coscos sin44455πππααα+=+==．……………７分 （２）∵(3,4)P 关于x 轴的对称点为Q ，∴(3,4)Q -．∴(3,4),(3,4)OP OQ ==-，∴334(4)7OP OQ ⋅=⨯+⨯-=-． ……………１４分 16. 证明（1）∵四边形ABCD 是菱形，ACBD O =，∴点O 是BD 的中点，∵点G 为BC 的中点 ∴//OG CD ， ………………3分 又∵OG ⊄平面EFCD ，CD ⊂平面EFCD ，∴直线//OG 平面EFCD ．………７分（２）∵ BF CF =，点G 为BC 的中点, ∴FG BC ⊥, ∵平面BCF ⊥平面ABCD ，平面BCF 平面ABCD BC =， FG ⊂平面BCF ，FG BC ⊥ ∴FG ⊥平面ABCD ， ………………9分∵AC ⊂平面ABCD ∴FG AC ⊥, ∵1//,2OG AB OG AB =，1//,2EF AB EF AB =，∴//,OG EF OG EF =， ∴四边形EFGO 为平行四边形, ∴//FG EO ， ………………11分 ∵FG AC ⊥，//FG EO ，∴AC EO ⊥， ∵四边形ABCD 是菱形，∴AC DO ⊥， ∵AC EO ⊥，AC DO ⊥，EODO O =，EO DO 、在平面ODE 内，∴AC ⊥平面ODE ． ………………1４分 17. （１）解：连结RO 并延长分别交AB CD 、于M N 、，连结OB ， ∵C D 、分别为QR PR 、的中点，2PQ =，∴112CD PQ ==，12NO =．∵1MN =，∴12MO =．在Rt BMO ∆中，1BO =，∴2BM ==，∴2AB BM == ……………6分 （２） 解法１ 设BOM θ∠=，02πθ<<．在Rt BMO ∆中，1BO =，∴sin BM θ=，cos OM θ=．∵1MN =，∴1cos CN RN ON OM θ==-==，∴BC AD ==，∴2(sin cos c AB CD BC AD θθ=+++=+……………１０分≤=（当12πθ=或512π时取等号）∴当12πθ=或512πθ=时，周长c 的最大值为km ． ………………１４分 解法２ 以O 为原点，PQ 为y 轴建立平面直角坐标系． 设(,)B m n ，,0m n >，221m n +=，(1,)C m m -，∴2AB n =，2CD m =，BC AD ==∴2(c AB CD BC AD m n =+++=++ ……………１０分≤=（当4m =4n =或4m =，4n =时取等号）∴当m =，n =或m =，n =时，周长c 的最大值为km ． ……………１４分18. 解：（1）设00(,)2P x x ，∵直线PQ 时，PQ =2200)3x x +=，∴202x =…………３分∴22211a b+=，∵2c e a ===，∴224,2a b ==．∴椭圆C 的标准方程为22142x y +=． ………………６分 （２）以MN为直径的圆过定点(F ．设00(,)P x y ，则00(,)Q x y --，且2200142x y +=，即220024x y +=， ∵(2,0)A -，∴直线PA 方程为：00(2)2y y x x =++ ，∴002(0,)2y M x + ， 直线QA 方程为：00(2)2y y x x =+- ，∴002(0,)2y N x -， ………………９分 以MN 为直径的圆为000022(0)(0)()()022y y x x y y x x --+--=+- 即222000220044044x y y x y y x x +-+=--， ………………12分∵220042x y -=-，∴22220x x y y y ++-=， 令0y =，2220x y +-=，解得x =∴以MN为直径的圆过定点(F ． ………………16分19．证明：（１）设数列}{n a 的公差为d ， ∵12n n n b a a +=-，∴1121121(2)(2)()2()2n n n n n n n n n n b b a a a a a a a a d d d +++++++-=---=---=-=-， ∴数列}{n b 是公差为d -的等差数列． ………………４分 （２）当2n ≥时，1122n n n c a a -+=+-，∵12n n n b a a +=-，∴112n n n b c a -+=+，∴1112n n n b ca +++=+， ∴111112222n n n n n n n nn n b c b c b b c c a a +-+++++---=-=+，∵数列}{n b ，}{n c 都是等差数列，∴1122n n n nb bc c ++--+为常数， ∴数列}{n a 从第二项起为等差数列． ………………１０分 （３）数列}{n a 成等差数列． 解法１ 设数列}{n b 的公差为d '， ∵12n n n b a a +=-，∴11222n n n n n n b a a ++=-，∴1111222n n n n n n b a a ----=-，…，2112222b a a =-， ∴11111122222n n n n n n b b b a a -+-++++=-， 设211212222n n n n n T b b b b --=+++，∴21112222n n n n n T b b b +-=+++，两式相减得：21112(222)2n n n n n T b d b -+'-=+++-，即11124(21)2n n n n T b d b -+'=---+，∴11111124(21)222n n n n n b d b a a -+++'---+=-，∴1111111112224(21)22242()n n n n n n n a a b d b a b d b d +-+++'''=++--=+---，∴1111224()2n n n a b d a b d ++'+-'=--， ………………１２分令2n =，得111132133224224()22a b d a b d a b d b ''+-+-'=--=-，∵130b a +=，∴1113322402a b d b a '+-=+=，∴112240a b d '+-=， ∴1()n n a b d +'=--，∴211()()n n n n a a b d b d d +++'''-=--+-=-，∴数列}{n a （2n ≥）是公差为d '-的等差数列， ………………１４分 ∵12n n n b a a +=-，令1n =，1232a a a -=-，即12320a a a -+=，∴数列}{n a 是公差为d '-的等差数列． ………………１６分 解法2 ∵12n n n b a a +=-，130b a +=，令1n =，1232a a a -=-，即12320a a a -+=， ………………１２分 ∴1122n n n b a a +++=-，2232n n n b a a +++=-，∴12122132(2)2(2)n n n n n n n n n b b b a a a a a a +++++++--=-----， ∵数列}{n b 是等差数列，∴1220n n n b b b ++--=，∴1221322(2)n n n n n n a a a a a a +++++--=--， ………………１４分 ∵12320a a a -+=，∴1220n n n a a a ++--=，∴数列}{n a 是等差数列． ………………１６分20. 解：（1）()()()h x f x g x =-1ln x ax b x =---,则211()h x a x x'=+-， ∵()()()h x f x g x =-在(0,)+∞上单调递增，∴对0x ∀>，都有211()0h x a x x'=+-≥，即对0x ∀>，都有211a x x ≤+，∵2110x x+>，∴0a ≤，故实数a 的取值范围是(,0]-∞． ………………4分 (2) 设切点0001(,ln )x x x -，则切线方程为002000111(ln )()()y x x x x x x --=+-， 即00220000011111()()(ln )y x x x x x x x x =+-++-，亦即02000112()(ln 1)y x x x x x =++--， 令10t x =>，由题意得202000112,ln 1ln 21a t t b x t t x x x =+=+=--=---，……７分令2()ln 1a b t t t t ϕ+==-+--，则1(21)(1)()21t t t t t tϕ+-'=-+-=，当(0,1)t ∈时 ，()0t ϕ'<，()t ϕ在(0,1)上单调递减；当(1,)t ∈+∞时，()0t ϕ'>，()t ϕ在(1,)+∞上单调递增，∴()(1)1a b t ϕϕ+=≥=-，故a b +的最小值为1-． ………………１０分 （3）由题意知1111ln x ax x -=，2221ln x ax x -=， 两式相加得12121212ln ()x x x x a x x x x +-=+，两式相减得21221112ln ()x x xa x x x x x --=-， 即212112ln1x x a x x x x +=-，∴21211212122112ln 1ln ()()xx x x x x x x x x x x x x +-=++-，即1212212122112()ln ln x x x x x x x x x x x x ++-=-， …………１２分 不妨令120x x <<，记211x t x =>，令2(1)()ln (1)1t F t t t t -=->+，则2(1)()0(1)t F t t t -'=>+， ∴2(1)()ln 1t F t t t -=-+在(1,)+∞上单调递增，则2(1)()ln (1)01t F t t F t -=->=+， ∴2(1)ln 1t t t ->+，则2211122()ln x x x x x x ->+，∴1212212122112()ln ln 2x x x x x x x x x x x x ++-=>-，又1212121212122()ln ln ln 2ln x x x x x x x x x x +-<==∴2>，即1>， 令2()ln G x x x =-，则0x >时，212()0G x x x '=+>，∴()G x 在(0,)+∞上单调递增，又1ln 210.8512=+≈<，∴1G =>>，即2122x x e >． ………………１６分 附加题参考答案21.A ．证明：∵EA 与O 相切于点A ．由切割线定理：2DA DB DC =⋅．∵D 是EA 的中点，∴DA DE =．∴2DE DB DC =⋅ ． ………………５分 ∴DE DB DC DE=．∵EDB CDE ∠=∠ ∴EDB CDE ∆∆∴DEB DCE ∠=∠……１０分 21.B .解：∵1201B ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，∴11201B --⎡⎤=⎢⎥⎣⎦， ∴1101212020102AB ---⎡⎤⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦, ………………５分 设直线l 上任意一点(,)x y 在矩阵1AB -对应的变换下为点(,)x y ''1202x x y y '-⎤⎤⎡⎤⎡⎡=⎥⎥⎢⎥⎢⎢'⎣⎦⎣⎣⎦⎦，∴22x x y y y '=-⎧⎨'=⎩．代入l '，:(2)(2)20l x y y '-+-=，化简后得：:2l x =． ………………１０分21.C .解：圆O ：224x y +=，直线l ：10x y -+=， ………………5分 圆心O 到直线l的距离2d ==，弦长AB == 21.D . 证明：∵正实数,,a b c 满足3a b c ++=，∴3a b c =++≥1abc ≤， ………………5分∴2223b c a a b c ++≥=≥． ………………１０分 22. 解：（1）以,,DA DC DD '为一组正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系D xyz -， 设(,,0)P t t ，(0,0,0)D ,(2,0,1)A '，(2,2,0)B ，(0,2,1)C '，(1,1,1)O '∴(1,1,1)O P t t '=---，(2,0,1)BC '=-设异面直线O P '与BC '所成角为θ，则cos 2(O P BC O P BC θ''⋅===''⋅，化简得：2212040t t -+=,解得：23t =或27t =， DP =或DP = ………………5分 （2）∵2DP =，∴33(,,0)22P ， (0,2,1)DC '=,(2,2,0)DB =，13(,,1)22PA '=-,31(,,1)22PC '=-， 设平面DC B '的一个法向量为1111(,,)n x y z =，∴1100n DC n DB ⎧'⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，∴111120220y z x y +=⎧⎨+=⎩，即11112z y x y =-⎧⎨=-⎩，取11y =-，1(1,1,2)n =-， 设平面PA C ''的一个法向量为2222(,,)n x y z =，∴2200n PA n PC ⎧'⋅=⎪⎨'⋅=⎪⎩，∴2222221302231022x y z x y z ⎧-+=⎪⎪⎨⎪-++=⎪⎩，即2222z y x y =⎧⎨=⎩，取21y =，2(1,1,1)n =， 设平面PA C ''与平面DC B '所成角为ϕ，∴1212cos 36n n n n ϕ⋅===⋅， ∴sin 3ϕ=． ………………１０分 23.解：∵ 212r i C i ≤， 当2i ≥时， 02112i i iC C i ==≤，11212i i i C C i i -==≤，222(1)122i i i i i C C i --==≤，23552C ≤， ∴当25,*i i N ≤≤∈时，212ri C i ≤的解为0,1,,r i =． ………………４分 当610,*i i N ≤≤∈， 112r r i i i C C r +-≥⇔≤， 由32(1)(2)162i i i i C i --=≤3,4,5i ⇔=可知： 当0,1,2,2,1,r i i i =--时，212r i C i ≤成立， 当3,,3r i =-时，321r i i C C i ≥≥（等号不同时成立），即21r i C i >． ………………8分∴311177(012)(345678)9101616244824E ξ=++⨯++++++⨯+⨯+⨯=． ………………１０分。

江苏省泰州市2015届高三上学期期末考试数学（理）试题解析一、填空题：1.已知{}1,3,4A =，{}3,4,5B =，则A B = ▲ ． 【答案】{}3,4 【解析】【考点】集合运算 2.函数()sin(3)6f x x π=+的最小正周期为 ▲ ．【答案】23π 【解析】试题分析：函数()sin(3)6f x x π=+ 的最小正周期为22=||3ππω 【考点】三角函数周期3.复数z 满足iz 34i =+（i 是虚数单位），则z = ▲ ． 【答案】43i - 【解析】【考点】复数运算4.函数()f x =的定义域为 ▲ ．【答案】[2,)+∞ 【解析】试题分析：因为2402x x -≥⇒≥，所以定义域为[2,)+∞ 【考点】函数定义域5.执行如下图所示的流程图，则输出的n为▲ ．【答案】4【考点】循环结构流程图6.若数据2,,2,2x的方差为0，则x=▲ ．【答案】2【解析】试题分析：因为方差为0，所以各数相等，即 2.x=【考点】方差7.袋子里有两个不同的红球和两个不同的白球，从中任取两个球，则这两个球颜色相同的概率为▲ ．【答案】1 3【考点】古典概型概率8.等比数列{}n a 中，16320a a +=，3451a a a =，则数列的前6项和为 ▲ ． 【答案】214- 【解析】试题分析：51613201+3202a a q q +=⇒=⇒=-，33454411=1=18a a a a a a =⇒⇒⇒=-，数列的前6项和为618(1())212141()2---=--- 【考点】等比数列求和9.已知函数22sin ,0()cos(),0x x x f x x x x α⎧+≥=⎨-++<⎩是奇函数，则sin α= ▲ ．【答案】1-【考点】奇函数性质10.双曲线12222=-by a x 的右焦点到渐近线的距离是其到左顶点距离的一半，则双曲线的离心率e = ▲ ． 【答案】53【解析】试题分析：因为双曲线12222=-by a x 的右焦点到渐近线的距离为,b 所以5,,35,.2243c a c a c a c b c a c a e a +++==-==== 【考点】双曲线离心率11.若αβ、是两个相交平面，则在下列命题中，真命题的序号为 ▲ ．（写出所有真命题的序号） ①若直线m α⊥，则在平面β内，一定不存在与直线m 平行的直线． ②若直线m α⊥，则在平面β内，一定存在无数条直线与直线m 垂直． ③若直线m α⊂，则在平面β内，不一定存在与直线m 垂直的直线． ④若直线m α⊂，则在平面β内，一定存在与直线m 垂直的直线． 【答案】②④ 【解析】试题分析：①当αβ⊥时，在平面β内存在与直线m 平行的直线．②若直线m α⊥，则平面αβ、的交线必与直线m 垂直，而在平面β内与平面αβ、的交线平行的直线有无数条，因此在平面β内，一定存在无数条直线与直线m 垂直．③当直线m 为平面αβ、的交线时，在平面β内一定存在与直线m 垂直的直线．④当直线m 为平面αβ、的交线，或与交线平行，或垂直于平面β时，显然在平面β内一定存在与直线m 垂直的直线．当直线m 为平面β斜线时，过直线m 上一点作直线l 垂直平面β，设直线m 在平面β上射影为l '，则平面β内作直线l ''垂直于l '，则必有直线l ''垂直于直线m ，因此在平面β内，一定存在与直线m 垂直的直线．【考点】直线与平面平行与垂直关系12.已知实数,,a b c 满足222a b c +=，0c ≠，则2ba c-的取值范围为 ▲ ．【答案】[]33- 【解析】试题分析：由题意可设：cos ,sin a c b c θθ==则sin sin =2cos 2cos 2b c y a c c c θθθθ==---，因此2cos sin y y θθ=+，|2|y y ≤≤≤ 【考点】三角函数最值13.在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，若B C ∠=∠且2227a b c ++=则ABC ∆面积的最大值为 ▲ ．【答案】5【解析】ABC ∆面积11sin 22S bc A b ====由2227a b c ++=S =当2b 时ABC ∆【考点】余弦定理，二次函数最值14.在梯形ABCD 中，2AB DC =，6BC = ，P 为梯形ABCD 所在平面上一点，且满足4++=0，DA CB DA DP ⋅=⋅ ，Q 为边AD 上的一个动点，则PQ的最小值为 ▲ ．【解析】试题分析：取AB 中点M ，连DM ，则四边形DMBC 为平行四边形，DM//CB,,,6DA CB ADM DM CB 〈〉=∠== .由40AP BP DP ++=得42,2, 2.DP PM DP PM DP === 由DA CB DA DP ⋅=⋅ 得1cos ||||cos 3ADM DA CB DA DP ADM ∠⋅⋅=⋅⇒∠= ，PQ的最小值为sin 2DP ADM ⋅∠=⨯= 【考点】向量数量积 二、解答题15.（本题满分14分）在平面直角坐标系xOy 中，角α的终边经过点(3,4)P ． （１）求sin()4πα+的值； （２）若P 关于x 轴的对称点为Q ，求OP OQ ⋅的值．【答案】7- 【解析】（１）∵角α的终边经过点(3,4)P ，∴43sin ,cos 55αα==，……………4分∴43sin()sin coscos sin4445252πππααα+=+=⨯+⨯=7分 （２）∵(3,4)P 关于x 轴的对称点为Q ，∴(3,4)Q -．………………………………9分∴(3,4),(3,4)OP OQ ==- ，∴334(4)7OP OQ ⋅=⨯+⨯-=-． ……………１４分【考点】三角函数定义，向量数量积16.（本题满分14分）如图，在多面体ABCDEF 中，四边形ABCD 是菱形，,AC BD 相交于点O ，//EF AB ，2AB EF =，平面BCF ⊥平面ABCD ，BF CF =，点G 为BC 的中点．（1）求证：直线//OG 平面EFCD ； （2）求证：直线AC ⊥平面ODE ．【答案】（１）∵四边形ABCD 是菱形，∴点O 是BD 的中点，∵点G 为BC 的中点，由三角形中位线性质得//OG CD ，再根据线面平行判定定理得直线//OG 平面EFCD ．（２）一方面∵四边形ABCD 是菱形，∴AC DO ⊥，另一方面∵ BF CF =，点G 为BC 的中点, ∴FG BC ⊥,由面面垂直性质定理得FG ⊥平面ABCD ，从而FG AC ⊥，又可证四边形EFGO 为平行四边形，即//FG EO ，所以AC EO ⊥，最后由线面垂直判定定理得AC ⊥平面ODE ．试题解析：证明（1）∵四边形ABCD 是菱形，AC BD O = ，∴点O 是BD 的中点， ∵点G 为BC 的中点 ∴//OG CD ， ………………3分 又∵OG ⊄平面EFCD ，CD ⊂平面EFCD ，∴直线//OG 平面EFCD ．………７分（２）∵ BF CF =，点G 为BC 的中点, ∴FG BC ⊥, ∵平面BCF ⊥平面ABCD ，平面BCF 平面ABCD BC =，FG ⊂平面BCF ，FG BC ⊥ ∴FG ⊥平面ABCD ， ………………9分∵AC ⊂平面ABCD ∴FG AC ⊥, ∵1//,2OG AB OG AB =，1//,2EF AB EF AB =，∴//,OG EF OG EF =， ∴四边形EFGO 为平行四边形, ∴//FG EO ， ………………11分 ∵FG AC ⊥，//FG EO ，∴AC EO ⊥， ∵四边形ABCD 是菱形，∴AC DO ⊥， ∵AC EO ⊥，AC DO ⊥，EO DO O = ，EO DO 、在平面ODE 内，∴AC ⊥平面ODE ． ………………1４分 【解析】【考点】线面平行判定定理，线面垂直判定定理，面面垂直性质定理17.（本题满分14分）如图，我市有一个健身公园，由一个直径为2km 的半圆和一个以PQ 为斜边的等腰直角三角形PRQ ∆构成，其中O 为PQ 的中点．现准备在公园里建设一条四边形健康跑道ABCD ，按实际需要，四边形ABCD 的两个顶点C D 、分别在线段QR PR 、上，另外两个顶点A B 、在半圆上， ////AB CD PQ ，且AB CD 、间的距离为1km ．设四边形ABCD 的周长为c km ．（1）若C D 、分别为QR PR 、的中点，求AB 长； （2）求周长c 的最大值．【答案】【解析】（１）解：连结RO 并延长分别交AB CD 、于M N 、，连结OB ， ∵C D 、分别为QR PR 、的中点，2PQ =，∴112CD PQ ==， PRQ ∆ 为等腰直角三角形，PQ 为斜边，112RO PQ ∴==， 1122NO RO ==．∵1MN =，∴12MO =．………………3分在Rt BMO ∆中，1BO =，∴BM ==∴2AB BM == ……………6分 （２） 解法１ 设BOM θ∠=，02πθ<<．在Rt BMO ∆中，1BO =，∴sin BM θ=，cos OM θ=．∵1MN =，∴1cos CN RN ON OM θ==-==，∴BC AD ==8分∴2(sin cos c AB CD BC AD θθ=+++=++………………10分≤=（当12πθ=或512π时取等号）∴当12πθ=或512πθ=时，周长c 的最大值为km ． …………………14分 解法２ 以O 为原点，PQ 为y 轴建立平面直角坐标系． 设(,)B m n ，,0m n >，221m n +=，(1,)C m m -，∴2AB n =，2CD m =，BC AD ==8分∴2(c AB CD BC AD m n =+++=++ ………………………10分≤=（当4m =，4n =或4m =，4n =时取等号）∴当m =n =或m =，n =时，周长c 的最大值为km ． ……………１４分【考点】直线与圆位置关系，基本不等式求最值18.（本题满分16分）如图，在平面直角坐标系xOy 的椭圆:C 22221(0)x y a b a b +=>>的左顶点为A ，过原点O 的直线（与坐标轴不重合）与椭圆C 交于,P Q 两点，直线,PA QA 分别与y 轴交于,M N 两点．若直线PQ 时，PQ = （1）求椭圆C 的标准方程；（2）试问以MN 为直径的圆是否经过定点（与直线PQ 的斜率无关）？请证明你的结论．【答案】（１）22142x y +=（２）过定点(F ．【解析】解：（1）设00()P x ， ∵直线PQ斜率为2时，PQ =2200()32x x +=，∴202x =…………３分∴22211a b +=，∵2c e a a ===224,2a b ==． ∴椭圆C 的标准方程为22142x y +=． ………………６分（２）以MN为直径的圆过定点(F ．设00(,)P x y ，则00(,)Q x y --，且2200142x y +=，即220024x y +=，∵(2,0)A -，∴直线PA 方程为：00(2)2y y x x =++，∴002(0,)2y M x +， 直线QA 方程为：00(2)2y y x x =+-，∴002(0,)2y N x -， ………………９分 以MN 为直径的圆为000022(0)(0)()()022y y x x y y x x --+--=+- 即222000220044044x y y x y y x x +-+=--， ………………12分∵220042x y-=-，∴220220x x y y y ++-=， 令0y =，2220x y +-=，解得x =∴以MN为直径的圆过定点(F ． ………………16分 【考点】直线与椭圆位置关系19.（本题满分16分）数列}{n a ，}{n b ，}{n c 满足：12n n n b a a +=-，1222n n n c a a ++=+-，*n N ∈． （1）若数列}{n a 是等差数列，求证：数列}{n b 是等差数列；（2）若数列}{n b ，}{n c 都是等差数列，求证：数列}{n a 从第二项起为等差数列； （3）若数列}{n b 是等差数列，试判断当130b a +=时，数列}{n a 是否成等差数列？证明你的结论．【答案】（１）证明一个数列为等差数列，一般从等差数列定义出发：，其中为等差数列的公差（２）同（1），先根据关系式，解出，再从等差数列定义出发，其中分别为等差数列，的公差（3）探究性问题，可将条件向目标转化，一方面，所以，即，另一方面，所以，整理得，从而，即数列成等差数列．试题解析：证明：（１）设数列的公差为，1121121(2)(2)()2()2n n n n n n n n n n b b a a a a a a a a d d d +++++++-=---=---=-=-d }{n a 12n n n b a a +=-1122n n n c a a -+=+-112n n n b c a -+=+1111121222222n n n n n n n n n n b c b c b b c c d d a a +-+-+++---=-=+=+12,d d }{n b }{n c 130b a +=1232a a a -=-12320a a a -+=122=+n n n b b b ++1+23+122+2=22n n n n n n a a a a a a +++---（）1221322(2)n n n n n n a a a a a a +++++--=--1220n n n a a a ++--=}{n a }{n a d∵，∴， ∴数列是公差为的等差数列． ………………４分（３）数列成等差数列． 解法１ 设数列的公差为， ∵， ∴，∴，…，，∴，设，∴，两式相减得：，即，∴，∴，∴， ………………１２分 令，得，∵，∴，∴， 12n n n b a a +=-1121121(2)(2)()2()2n n n n n n n n n n b b a a a a a a a a d d d +++++++-=---=---=-=-}{n b d-}{n a }{n b d '12n n n b a a +=-11222nnn n n n b a a ++=-1111222n n n n n n b a a ----=-2112222b a a =-11111122222nn n n n n b b b a a -+-++++=- 211212222n n n n n T b b b b --=+++ 21112222n n n n n T b b b +-=+++ 21112(222)2n n n n n T b d b -+'-=++++- 11124(21)2n n n n T b d b -+'=---+11111124(21)222n n n n n b d b a a -+++'---+=-1111111112224(21)22242()n n n n n n n a a b d b a b d b d +-+++'''=++--=+---1111224()2n n n a b d a b d ++'+-'=--2n =111132133224224()22a b d a b d a b d b ''+-+-'=--=-130b a +=1113322402a b d b a '+-=+=112240a b d '+-=∴，∴，∴数列（）是公差为的等差数列， ………………１４分 ∵，令，，即，∴数列是公差为的等差数列． ………………１６分∵数列是等差数列，∴，∴， ………………１４分 ∵，∴，∴数列是等差数列． ………………１６分 【解析】【考点】等差数列定义20.（本题满分16分） 已知函数1()ln f x x x=-，()g x ax b =+． (1)若函数()()()h x f x g x =-在(0,)+∞上单调递增，求实数a 的取值范围；(2) 若直线()g x ax b =+是函数1()ln f x x x=-图象的切线，求a b +的最小值； (3)当0b =时，若()f x 与()g x 的图象有两个交点1122(,),(,)A x y B x y ，求证：12x x 22e >． （取e 为2.8，取ln 2为0.71.4） 【答案】（１）(,0]-∞（２）1-．1()n n a b d +'=--211()()n n n n a a b d b d d +++'''-=--+-=-}{n a 2n ≥d '-12n n n b a a +=-1n =1232a a a -=-12320a a a -+=}{n a d '-}{n b 1220n n n b b b ++--=1221322(2)n n n n n n a a a a a a +++++--=--12320a a a -+=1220n n n a a a ++--=}{n a（3）由题意知，， 两式相加得，两式相减得， 即，∴，即， …………１２分不妨令，记，令，则， ∴在上单调递增，则， ∴，则，∴， 又，∴，即， 令，则时，，∴在上单调递增， 又，∴，即．………………１６分【解析】（１）由题意得对0x ∀>，211()0h x a x x '=+-≥恒成立，即min 211a x x≤+（），∵2110x x +>，∴0a ≤（２）设切点0001(,ln )x x x -，由导数几何意义得20011a x x =+，1111ln x ax x -=2221ln x ax x -=12121212ln ()x x x x a x x x x +-=+21221112ln ()x x xa x x x x x --=-212112ln1x x a x x x x +=-21211212122112ln 1ln ()()xx x x x x x x x x x x x x +-=++-1212212122112()ln ln x x x x x x x x x x x x ++-=-120x x <<211x t x =>2(1)()ln (1)1t F t t t t -=->+2(1)()0(1)t F t t t -'=>+2(1)()ln 1t F t t t -=-+(1,)+∞2(1)()ln (1)01t F t t F t -=->=+2(1)ln 1t t t ->+2211122()ln x x x x x x ->+1212212122112()ln ln 2x x x x x x x x x x x x ++-=>-1212121212122()ln ln ln x x x x x x x x x x +-<=-=2>1>2()ln G x x x =-0x >212()0G x x x'=+>()G x (0,)+∞1ln 210.8512e =+-≈<1G =>>>2122x x e >002ln 1b x x =--，令010t x =>，则2()ln 1a b t t t t ϕ+==-+--，问题就转化为利用导数求最值：由1(21)(1)()21t t t t ttϕ+-'=-+-=得当(0,1)t ∈时，()0t ϕ'<，()t ϕ在(0,1)上单调递减；当(1,)t ∈+∞时，()0t ϕ'>，()t ϕ在(1,)+∞上单调递增，∴()(1)1a b t ϕϕ+=≥=-，故a b +的最小值为1-．（3）本题较难，难点在于构造函数.先根据等量关系消去参数a ：由题意知1111ln x ax x -=，2221ln x ax x -=，两式相加得12121212ln ()x x x x a x x x x +-=+，两式相减得21221112ln ()x x xa x x x x x --=-，即212112ln1x x a x x x x +=-，∴21211212122112ln1ln ()()x x x x x x x x x x x x x x +-=++-，即1212212122112()ln ln x x x x x x x x x x x x ++-=-，为研究等式右边范围构造函数2(1)()ln (1)1t F t t t t -=->+，易得()F t 在(1,)+∞上单调递增，因此当120x x <<时，有2211122()ln0x x x x x x -->+即2211122()ln x x x x x x ->+，所以1212122()ln 2x x x x x x +->，再利用基本不等式进行放缩：1212121212122()2ln ln ln x x x x x x x x x x +<-<==，即1>，再一次构造函数2()ln G x x x=-，易得其在(0,)+∞上单调递增，而1)G G =>>=，即2122x x e >．试题解析：解：（1）()()()h x f x g x =-1ln x ax b x =---,则211()h x a x x'=+-， ∵()()()h x f x g x =-在(0,)+∞上单调递增，∴对0x ∀>，都有211()0h x a x x'=+-≥， 即对0x ∀>，都有211a x x ≤+，∵2110x x+>，∴0a ≤， 故实数a 的取值范围是(,0]-∞． ………………4分 (2) 设切点0001(,ln )x x x -，则切线方程为002000111(ln )()()y x x x x x x --=+-， 即00220000011111()()(ln )y x x x x x x x x =+-++-，亦即02000112()(ln 1)y x x x x x =++--，令010t x =>，由题意得202000112,ln 1ln 21a t t b x t t x x x =+=+=--=---，……７分 令2()ln 1a b t t t t ϕ+==-+--，则1(21)(1)()21t t t t ttϕ+-'=-+-=，当(0,1)t ∈时，()0t ϕ'<，()t ϕ在(0,1)上单调递减；当(1,)t ∈+∞时，()0t ϕ'>，()t ϕ在(1,)+∞上单调递增，∴()(1)1a b t ϕϕ+=≥=-，故a b +的最小值为1-． ………………１０分 （3）由题意知1111ln x ax x -=，2221ln x ax x -=， 两式相加得12121212ln ()x x x x a x x x x +-=+，两式相减得21221112ln ()x x xa x x x x x --=-， 即212112ln1x x a x x x x +=-，∴21211212122112ln 1ln ()()xx x x x x x x x x x x x x +-=++-，即1212212122112()ln ln x x x x x x x x x x x x ++-=-， …………１２分不妨令120x x <<，记211x t x =>，令2(1)()l n (1)1t F t t t t -=->+，则2(1)()0(1)t F t t t -'=>+，∴2(1)()ln 1t F t t t -=-+在(1,)+∞上单调递增，则2(1)()ln (1)01t F t t F t -=->=+， ∴2(1)ln 1t t t ->+，则2211122()ln x x x x x x ->+，∴1212212122112()ln ln 2x x x x x x x x x x x x ++-=>-，又1212121212122()ln ln ln x x x x x x x x x x +-<==，∴2>，即1>， 令2()ln G x x x =-，则0x >时，212()0G x x x'=+>，∴()G x 在(0,)+∞上单调递增，又1ln 210.8512e =+-≈<，∴1G =>>>，即2122x x e >． ………………１６分【考点】导数几何意义，导数综合应用附加题21.A （本小题满分10分，几何证明选讲）如图，EA 与圆O 相切于点A ，D 是EA 的中点，过点D 引圆O 的割线，与圆O 相交于点,B C ，连结EC ．求证：DEB DCE ∠=∠．【答案】证两角相等，一般利用相似三角形，而证两三角形相似，一般从切割线定理出发寻求对应边成比例：由切割线定理：2DA DB DC =⋅．∵D 是EA 的中点，∴2DE DB DC =⋅∴DE DBDC DE=．∴EDB CDE ∆∆ ∴DEB DCE ∠=∠ 【解析】【考点】切割线定理21.B （本小题满分10分，矩阵与变换）已知矩阵1002A ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，1201B ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，若矩阵1AB -对应的变换把直线l 变为直线:20l x y '+-=，求直线l 的方程．【答案】:2l x = 【解析】试题分析：从求轨迹方法出发：先设直线l 上任意一点(,)x y 在矩阵1AB -对应的变换下为点(,)x y ''再求1101212020102AB ---⎡⎤⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦，所以1202x x y y '-⎤⎤⎡⎤⎡⎡=⎥⎥⎢⎥⎢⎢'⎣⎦⎣⎣⎦⎦，22x x yy y '=-⎧⎨'=⎩:(2)(2)20l x y y '-+-=，:2l x =试题解析：解：∵1201B ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，∴11201B --⎡⎤=⎢⎥⎣⎦， ∴1101212020102AB ---⎡⎤⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦, ………………５分设直线l 上任意一点(,)x y 在矩阵1AB -对应的变换下为点(,)x y ''1202x x y y '-⎤⎤⎡⎤⎡⎡=⎥⎥⎢⎥⎢⎢'⎣⎦⎣⎣⎦⎦，∴22x x y y y '=-⎧⎨'=⎩ ．代入l '，:(2)(2)20l x y y '-+-=，化简后得：:2l x =． ………………１０分 【考点】矩阵变换21.C （本小题满分10分，坐标系与参数方程选讲） 己知在平面直角坐标系xOy 中，圆O 的参数方程为2cos 2sin x y αα=⎧⎨=⎩（α为参数）．以原点O 为极点，以x 轴的非负半轴为极轴的极坐标系中，直线l 的极坐标方程为(sin cos )1ρθθ-=，直线l 与圆M 相交于,A B 两点，求弦AB 的长．【解析】试题分析：由cos ,sin x y ρθρθ==，将直线l 的极坐标方程化为直角坐标方程10x y -+=，由22sin cos 1αα+=消去参数得圆O 的普通方程为224x y +=，根据圆心到直线距离得2d ==，再由垂径定理得AB ==试题解析：圆O ：224x y +=，直线l ：10x y -+=， ………………5分圆心O 到直线l 的距离2d ==，弦长AB == 【考点】极坐标方程化为直角坐标，参数方程化普通方程，直线与圆位置关系21.D （本小题满分10分，不等式选讲） 已知正实数,,a b c 满足3a b c ++=，求证：2223b c aa b c++≥． 【答案】证明：∵正实数,,a b c 满足3a b c ++=，∴3a b c =++≥1abc ≤， ………………5分∴2223b c a a b c ++≥=≥． ………………１０分 【解析】【考点】基本不等式22.(本小题满分10分)如图，在长方体ABCD A B C D ''''-中，2DA DC ==，1DD '=，A C ''与B D ''相交于点O '，点P 在线段BD 上（点P 与点B 不重合）．(1)若异面直线O P '与BC 'DP 的长度; (2)若2DP =，求平面PA C ''与平面DC B '所成角的正弦值．【答案】（１）DP =DP =．（２）3【解析】（１）先建立空间直角坐标系，设(,,0)P t t ，利用空间向量数量积可求两向量夹角：cos 55O P BC O P BC θ''⋅===''⋅，解得23t =或27t =，因此DP =或DP =（２）求二面角，关键求出平面的法向量，设平面DC B '的一个法向量为1111(,,)n x y z = ，根据1100n DC n DB ⎧'⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ ，可得1(1,1,2)n =- ，同理设平面PA C ''的一个法向量为2222(,,)n x y z = ，根据2200n PA n PC ⎧'⋅=⎪⎨'⋅=⎪⎩ 可得2(1,1,1)n =，因此二面角满足：1212cos n n n n ϕ⋅===⋅∴sin ϕ=．试题解析：（1）以,,DA DC DD '为一组正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系D xyz -，由题意，知(0,0,0)D ,(2,0,1)A '，(2,2,0)B ，(0,2,1)C '，(1,1,1)O '.设(,,0)P t t ，∴(1,1,1)O P t t '=--- ，(2,0,1)BC '=-.设异面直线O P'与BC'所成角为θ，则cos55O P BCO P BCθ''⋅===''⋅，化简得：2212040t t-+=,解得：23t=或27t=，DP=DP=………………5分（2）∵DP=33(,,0)22P，(0,2,1)DC'=,(2,2,0)DB=，13(,,1)22PA'=-,31(,,1)22PC'=-，设平面DC B'的一个法向量为1111(,,)n x y z=，∴11n DCn DB⎧'⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，∴111120220y zx y+=⎧⎨+=⎩，即11112z yx y=-⎧⎨=-⎩，取11y=-，1(1,1,2)n=-，设平面PA C''的一个法向量为2222(,,)n x y z=，∴22n PAn PC⎧'⋅=⎪⎨'⋅=⎪⎩，∴22222213223122x y zx y z⎧-+=⎪⎪⎨⎪-++=⎪⎩，即2222z yx y=⎧⎨=⎩，取21y=，2(1,1,1)n=，设平面PA C''与平面DC B'所成角为ϕ，∴1212cos3n nn nϕ⋅===⋅，∴sinϕ=．………………１０分【考点】利用空间向量求线线角及二面角23.(本小题满分10分)记riC为从i个不同的元素中取出r个元素的所有组合的个数．随机变量ξ表示满足212r i C i ≤的二元数组(,)r i 中的r ，其中}{2,3,4,5,6,7,8,9,10i ∈，每一个r i C （=r 0,1,2,…,i ）都等可能出现．求E ξ． 【答案】7724【解析】∵212r i C i ≤， 当2i ≥时， 02112i i iC C i ==≤，11212i i i C C i i -==≤，222(1)122i i i i i C C i --==≤，23552C ≤， ∴当25,*i i N ≤≤∈时，212r i C i ≤的解为0,1,,r i = ． ………………3分 当610,*i i N ≤≤∈，112r r i i i C C r +-≥⇔≤， 由32(1)(2)162i i i i C i --=≤3,4,5i ⇔=可知： 当0,1,2,2,1,r i i i =--时，212r i C i ≤成立， 当3,,3r i =- 时，3212r i i C C i ≥≥（等号不同时成立），即212r i C i >．……………6分…………………………………………8分∴311177(012)(345678)9101616244824E ξ=++⨯++++++⨯+⨯+⨯=． ………………………………………10分【考点】数学期望。

高三数学试题(考试时间： 120分钟 总分160分)注意事项：所有试题的答案均填写在答题纸上，答案写在试卷上的无效． 一、填空题：（本大题共14小题，每小题5分，共70分．请将答案填入答题纸填空题的相应答题线上．） 1．已知集合A ={}3,2,1，B ={}5,2,1，则A ∩B = ▲ .2．设复数z 1=2+2i,z 2=2-2i,则21z z= ▲ .3．若数据3,,,,,54321x x x x x 的平均数为3，则数据54321,,,,x x x x x 的平均数为 ▲ .4．设双曲线15422=-yx 的左、右焦点分别为F 1，F 2，点P 为双曲线上位于第一象限内的一点，且△PF 1F 2的面积为6，则点P 的坐标为 ▲ .5．曲线y =2ln x 在点(e,2)处的切线（e 是自然对数的底）与y 轴交点坐标为 ▲ .6．如图，ABCD 是一个4×5的方格纸，向此四边形ABCD 内抛撒一粒豆子，则豆子恰好落在阴影部分内的概率为 ▲ .7．设函数f （x ）是定义在R 上的奇函数，且),()(b f a f >则)(a f - ▲ )(b f -（用""""<>或填空）.8． 在空间中，用a b c ,, 表示三条不同的直线，γ表示平面，给出下列四个命题：①若//a b ，//b c ，则//a c ； ②若a b ⊥，b c ⊥，则a c ⊥； ③若//a γ，//b γ，则//a b ； ④若a γ⊥，b γ⊥，则//a b ；其中真命题的序号为 ▲ .9. 右图是一个算法流程图，则输出的P = ▲ .10. 已知点P (t ,2t )(t ≠0)是圆C ：x 2+y 2=1内一点，直线tx +2ty =m 与圆C 相切，则直线x +y +m =0与圆C 的位置关系是 ▲ .11. 设a ∈R ，s ：数列{()2a n -}是递增的数列；t ：≤a 1.则s 是t 的 ▲ 条件.（填“充分不必要，必要不充分，充要，既不充分也不必要”中的一个）.12.各项均为正数的等比数列{a n }中，若a 1≥1，a 2≤2，a 3≥3，则a 4的取值范围是 ▲ .13. 已知六个点A 1(x 1,1),B 1(x 2,-1),A 2(x 3,1),B 2(x 4,-1),A 3(x 5,1),B 3(x 6,-1)（x 1＜x 2＜x 3＜x 4D＜x 5 ＜x 6，x 6－x 1=5π)都在函数f (x )=sin(x +3π)的图象C 上.如果这六点中不同的两点的连线的中点仍在曲线C 上，则称此两点为“好点组”，则上述六点中好点组的个数为 ▲ .（两点不计顺序）14. 已知f (x )=2mx +m 2+2,m ≠0,m ∈R ,x ∈R .若｜x 1｜+｜x 2｜=1，则)()(21x f x f 的取值范围是▲ .二、解答题：（本大题共6小题,共90分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤．）15. （本题满分14分）已知向量a =（cos λθ,cos(10-λ)θ），b =(sin(10-λ)θ,sin λθ),λ、θ∈R .（1）求2a +2b 的值；（2）若a ⊥b，求θ；（3）若θ=20π，求证：a ∥b.16. （本题满分14分） 在三棱锥S-ABC 中，SA ⊥平面ABC ，SA =AB =AC =33BC ，点D 是BC 边的中点，点E 是线段AD 上一点，且AE =4DE ，点M 是线段SD 上一点. (1)求证：BC ⊥AM ；(2)若AM ⊥平面SBC ，求证EM ∥平面ABS .17. （本题满分14分）如图，一个半圆和长方形组成的铁皮，长方形的边AD 为半圆的直径，O 为半圆的圆心，AB =1，BC =2，现要将此铁皮剪出一个等腰三角形PMN ，其底边MN ⊥BC . （1）设∠MOD =30°，求三角形铁皮PMN 的面积； （2）求剪下的铁皮三角形PMN 面积的最大值.18. （本题满分16分）直角坐标系xoy 中，已知椭圆C ：12222=+b y a x （a >b >0）的左、右顶点分别是A 1，A 2，上、下顶点为B 2，B 1，点P （a 53，m ）（m ＞0）是椭圆C 上一点，PO ⊥A 2B 2，直线PO 分别交A 1B 1、A 2B 2于点M 、N . （1）求椭圆离心率；（2）若MN =7214，求椭圆C 的方程；（3）在（2）的条件下，设R 点是椭圆C 上位于第一象限内的点，F 1、F 2是椭圆C 的左、右焦点，RQ 平分∠F 1RF 2且与y 轴交于点Q ，求点Q 纵坐标的取值范围.19. （本题满分16分）已知数列a n =n -16，b n =(-1)n ｜n -15｜，其中n ∈N *. （1）求满足a n +1=｜b n ｜的所有正整数n 的集合； （2）若n ≠16，求数列nna b 的最大值和最小值； （3）记数列{a n b n }的前n 项和为S n ，求所有满足S 2m =S 2n （m ＜n ）的有序整数对（m ,n ）.20. （本题满分16分）已知函数f (x )=(x -a )(x -b )2，a ,b 是常数. (1)若a ≠b ，求证：函数f (x )存在极大值和极小值；(2)设（1）中f (x )取得极大值、极小值时自变量的值分别为x 1、x 2，令点A (x 1, f (x 1)),B (x 2,f (x 2)).如果直线AB 的斜率为-21，求函数f (x )和f ′ (x )的公共递减区间的长度 ； (3)若f (x )≥mxf ′ (x )对于一切x ∈R 恒成立，求实数m ,a ,b 满足的条件.2012～2013学年度第一学期期末考试高三数学试题(附加题)21.［选做题］请考生在A 、B 、C 、D 四小题中任选两题作答，如果多做，则按所做的前两题记分。

2018～2019学年度第一学期期末考试数 学(满分160分，考试时间120分钟)参考公式：柱体的体积V ＝Sh ，锥体的体积V ＝13Sh一、 填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分． 1. 函数f(x)＝sin 2x 的最小正周期为________．2. 已知集合A ＝{4，a 2}，B ＝{－1，16}，若A ∩B ≠∅，则实数a ＝________． 3. 复数z 满足z i ＝4＋3i (i 是虚数单位)，则|z|＝________． 4. 函数y ＝1－x 2的定义域是________．5. 从1，2，3，4，5这五个数中随机取两个数，则这两个数的和为6的概率为________．6. 一个算法的伪代码如图所示，执行此算法，最后输出的T 的值是________．7. 已知数列{a n }满足log 2a n ＋1－log 2a n ＝1，则a 5＋a 3a 3＋a 1＝________．8. 若抛物线y 2＝2px(p>0)的准线与双曲线x 2－y 2＝1的一条准线重合，则p ＝________． 9. 如图，在直三棱柱ABCA 1B 1C 1中，M 为棱AA 1的中点，记三棱锥A 1MBC 的体积为V 1，四棱锥A 1BB 1C 1C 的体积为V 2，则V 1V 2的值是________．10. 已知函数f(x)＝2x 4＋4x 2，若f(a ＋3)>f(a －1)，则实数a 的取值范围为________． 11. 在平面直角坐标系xOy 中，过圆C 1：(x －k)2＋(y ＋k －4)2＝1上任一点P 作圆C 2：x 2＋y 2＝1的一条切线，切点为Q ，则当线段PQ 的长最小时，k ＝________．12. 已知P 为平行四边形ABCD 所在平面上任一点，且满足PA →＋PB →＋2PD →＝0，λPA →＋μPB→＋PC →＝0，则λμ＝________．13. 已知函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x 3－3x ＋2a ，x ≥a ，x 3＋3x －4a ，x<a ，若存在x 0＜0，使得f(x 0)＝0，则实数a 的取值范围是________．14. 在△ABC 中，已知sin A sin B sin (C －θ)＝λsin 2C ，其中tan θ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫0<θ<π2，若1tan A ＋1tan B ＋2tan C为定值，则实数λ＝________． 二、解答题：本大题共6小题，共计90分．解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤．15. (本小题满分14分) 已知向量a ＝(sin x ，1)，b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，cos x ，其中x ∈(0，π)． (1) 若a ∥b ，求x 的值；(2) 若tan x ＝－2，求|a ＋b |的值．16. (本小题满分14分)如图，在四棱锥PABCD 中，底面ABCD 为平行四边形，O 为对角线BD 的中点，E ，F 分别为棱PC ，PD 的中点，已知PA ⊥AB ，PA ⊥AD.求证：你是我身边最美的云彩你是我身边最美的云彩(1) 直线PB∥平面OEF；(2) 平面OEF⊥平面ABCD.如图，三个小区分别位于扇形OAB 的三个顶点上，Q 是弧AB 的中点，现欲在线段OQ 上找一处开挖工作坑P(不与点O ，Q 重合)，为小区铺设三条地下电缆管线PO ，PA ，PB ，已知OA ＝2千米，∠AOB ＝π3，记∠APQ ＝θ rad ，地下电缆管线的总长度为y 千米．(1) 将y 表示成θ的函数，并写出θ的范围；(2) 请确定工作坑P 的位置，使地下电缆管线的总长度最小．如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C ：x 2a 2＋y2b 2＝1(a>b>0)的左顶点为A ，B 是椭圆C上异于左、右顶点的任意一点，P 是AB 的中点，过点B 且与AB 垂直的直线与直线OP 交于点Q ，已知椭圆C 的离心率为12，点A 到右准线的距离为6.(1) 求椭圆C 的标准方程；(2) 设点Q 的横坐标为x 0，求x 0的取值范围．设A ，B 为函数y ＝f(x)图象上相异两点，且点A ，B 的横坐标互为倒数，过点A ，B 分别作函数y ＝f(x)的切线，若这两条切线存在交点，则称这个交点为函数f(x)的“优点”．(1) 若函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧ln x ，0<x<1，ax 2， x>1不存在“优点”，求实数a 的值；(2) 求函数f(x)＝x 2的“优点”的横坐标的取值范围； (3) 求证：函数f(x)＝ln x 的“优点”一定落在第一象限．已知首项不为0的数列{a n}的前n项和为S n，2a1＋a2＝a3，且对任意的n∈N，n≥2都有2nS n＋1－(2n＋5)S n＋S n－1＝ra1.(1) 若a2＝3a1，求r的值；(2) 数列{a n}能否是等比数列？说明理由；(3) 当r＝1时，求证：数列{a n}是等差数列．2018～2019学年度第一学期期末考试数学附加题(本部分满分40分，考试时间30分钟)21. 【选做题】本题包括A 、B 、C 三小题，请选定其中两小题，并作答．若多做，则按作答的前两小题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．A. [选修42：矩阵与变换](本小题满分10分)B. [选修44：坐标系与参数方程](本小题满分10分)在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝12－t ，y ＝12＋t(t 为参数)，曲线C的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1＋2cos θ，y ＝2sin θ(θ为参数)．若直线l 与曲线C 相交于A ，B 两点，求线段AB 的长．C. [选修45：不等式选讲](本小题满分10分)设正数a ，b ，c 满足3a ＋2b ＋c ＝1，求1a ＋1a ＋b ＋1b ＋c 的最小值．【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．22. (本小题满分10分)如图，在正四棱柱ABCDA1B1C1D1中，AA1＝3，AB＝1.(1) 求异面直线A1B与AC1所成角的余弦值；(2) 求平面A1BC与平面AC1D所成二面角的正弦值．23. (本小题满分10分)已知函数f(x)＝1－|2x－1|，0≤x≤1，设f n(x)＝f n－1(f1(x))，其中f1(x)＝f(x)，方程f n(x)＝0和方程f n(x)＝1根的个数分别为g n(0)，g n(1)．(1) 求g2(1)的值；(2) 证明：g n(0)＝g n(1)＋1.2018～2019学年度第一学期期末考试数学参考答案1. π2. ±43. 54. [－1，1]5. 15 6. 87. 4 8. 2 9. 14 10. (－1，＋∞) 11. 212. －34 13. [－1，0) 14. 51015. (1) 因为a∥b ，所以sin x cos x ＝12，即sin 2x ＝1.因为x ∈(0，π)，所以x ＝π4. (2) 因为tan x ＝sin xcos x ＝－2，所以sin x ＝－2cos x .因为a ＋b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫sin x ＋12，1＋cos x ， 所以|a ＋b |＝⎝⎛⎭⎪⎫sin x ＋122＋（1＋cos x ）2＝94＋sin x ＋2cos x ＝32.16. (1) O 为BD 的中点，F 为PD 的中点， 所以PB∥FO.因为PB ⊄平面OEF ，FO ⊂平面OEF ， 所以PB∥平面OEF.(2) 连结AC ，因为四边形ABCD 为平行四边形， 所以AC 与BD 交于点O ，O 为AC 的中点． 因为E 为PC 的中点， 所以PA∥OE.因为PA⊥AB，PA⊥AD，AB∩AD＝A ，AB ，AD ⊂平面ABCD ， 所以PA⊥平面ABCD ，所以OE⊥平面ABCD. 因为OE ⊂平面OEF ， 所以平面OEF⊥平面ABCD.17. (1) 因为Q 为弧AB 的中点，由对称性，知PA ＝PB ，∠AOP＝∠BOP＝π6，又∠APO＝π－θ，∠OAP＝θ－π6，由正弦定理，得PA sinπ6＝OAsin （π－θ）＝OPsin ⎝⎛⎭⎪⎫θ－π6，又OA ＝2， 所以PA ＝1sin θ，OP ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫θ－π6sin θ，所以y ＝PA ＋PB ＋OP ＝2PA ＋OP ＝2＋2sin ⎝⎛⎭⎪⎫θ－π6sin θ＝3sin θ－cos θ＋2sin θ，因为∠APQ＞∠AOP，所以θ>π6，∠OAQ＝∠OQA＝12(π－π6)＝5π12，所以θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，5π12. (2) 令f(θ)＝3sin θ－cos θ＋2sin θ，θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，5π12，f′(θ)＝1－2cos θsin 2θ＝0，得θ＝π3， f(θ)在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，π3上单调递减，在区间(π3，5π12)上单调递增，所以当θ＝π3，即OP ＝233千米时，f(θ)有唯一的极小值，即是最小值，则f(θ)min＝2 3.答：当工作坑P 与O 的距离为233千米时，地下电缆管线的总长度最小．18. (1) 依题意，得⎩⎪⎨⎪⎧c a ＝12，a ＋a 2c ＝6，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，c ＝1，所以b ＝a 2－c 2＝3， 所以椭圆C 的方程为x 24＋y23＝1.(2) 由(1)知，A(－2，0)，设AB ：x ＝my －2，m≠0，联立⎩⎪⎨⎪⎧x ＝my －2，3x 2＋4y 2＝12， 解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝6m 2－83m 2＋4，y ＝12m3m 2＋4或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2，y ＝0， 即B(6m 2－83m 2＋4，12m 3m 2＋4)，则P(－83m 2＋4，6m3m 2＋4)，所以k OP ＝－3m 4，OP ：y ＝－3m 4x.因为AB⊥BQ，所以k BQ ＝－m ，所以直线BQ 的方程为BQ ：y ＝－mx ＋6m 3＋4m3m 2＋4，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－3m 4x ，y ＝－mx ＋6m 3＋4m3m 2＋4，得x 0＝8（3m 2＋2）3m 2＋4＝8－163m 2＋4∈(4，8)．19. (1) 由题意可知，f′(x)＝f′⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 对x∈(0，1)∪(1，＋∞)恒成立，不妨取x∈(0，1)，则f′(x)＝1x ＝2a x ＝f′⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 恒成立，即a ＝12， 经验证，a ＝12符合题意．(2) 设A(t ，t 2)，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫1t ，1t 2(t≠0且t≠±1)，因为f′(x)＝2x ，所以A ，B 两点处的切线方程分别为y ＝2tx －t 2，y ＝2t x －1t 2，令2tx －t 2＝2t x －1t 2，解得x ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＋1t ∈(－∞，－1)∪(1，＋∞)，所以“优点”的横坐标取值范围为(－∞，－1)∪(1，＋∞)．(3) 设A(t ，ln t)，b ⎝ ⎛⎭⎪⎫1t ，－ln t ，t∈(0，1)， 因为f′(x)＝1x，所以A ，B 两点处的切线方程分别为y ＝1t x ＋ln t －1，y ＝tx －ln t －1，令1t x ＋ln t －1＝tx －ln t －1， 解得x ＝2ln tt －1t>0，所以y ＝1t ·2ln t t －1t ＋ln t －1＝t 2＋1t 2－1(ln t －t 2－1t 2＋1)，设h(m)＝ln m －m 2－1m 2＋1，m∈(0，1)，则h′(m)＝（m 2－1）2m （m 2＋1）2>0，所以h(m)单调递增， 所以h(m)<h(1)＝0， 即ln t －t 2－1t 2＋1<0.因为t 2＋1t 2－1<0，所以y ＝1t ·2ln tt －1t＋ln t －1>0，所以“优点”的横坐标和纵坐标均为正数，在第一象限．20. (1)令n ＝2，得4S 3－9S 2＋S 1＝ra 1， 即4(a 3＋a 2＋a 1)－9(a 2＋a 1)＋a 1＝ra 1， 化简，得4a 3－5a 2－4a 1＝ra 1. 因为2a 1＋a 2＝a 3，a 2＝3a 1， 所以4×5a 1－5×3a 1－4a 1＝ra 1， 解得r ＝1.(2) 假设数列{a n }是等比数列，公比为q ，则由2a 1＋a 2＝a 3得2a 1＋a 1q ＝a 1q 2，且a 1≠0，解得q ＝2或q ＝－1，由2nS n ＋1－(2n ＋5)S n ＋S n －1＝ra 1， 得4S n ＝2na n ＋1－a n －ra 1(n≥2)，所以4S n －1＝2(n －1)a n －a n －1－ra 1(n≥3)，两式相减，整理得2na n ＋1＋a n －1＝(2n ＋3)a n ， 两边同除以a n －1，可得2n(q 2－q)＝3q －1. 因为q ＝2或－1， 所以q 2－q≠0，所以上式不可能对任意n≥3恒成立， 故数列{a n }不可能是等比数列． (3) r ＝1时，令n ＝2， 整理得－4a 1－5a 2＋4a 3＝a 1，又由2a 1＋a 2＝a 3可知a 2＝3a 1，a 3＝5a 1， 令n ＝3，可得6S 4－11S 3＋S 2＝a 1， 解得a 4＝7a 1，由(2)可知4S n ＝2na n ＋1－a n －a 1(n≥2)， 所以4S n －1＝2(n －1)a n －a n －1－a 1(n≥3)，两式相减，整理得2na n ＋1＋a n －1＝(2n ＋3)a n (n≥3)， 所以2(n －1)a n ＋a n －2＝(2n ＋1)a n －1(n≥4)，两式相减，可得2n[(a n ＋1－a n )－(a n －a n －1)]＝(a n －a n －1)－(a n －1－a n －2)(n≥4)． 因为(a 4－a 3)－(a 3－a 2)＝0，所以(a n －a n －1)－(a n －1－a n －2)＝0(n≥4)， 即a n －a n －1＝a n －1－a n －2(n≥4)， 又因为a 3－a 2＝a 2－a 1＝2a 1，所以数列{a n }是以a 1为首项，2a 1为公差的等差数列．21. A. 将λ＝－2代入⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪λ＋1－2－52λ－x＝λ2－(x －1)λ－(x ＋5)＝0，得x ＝3，B. 由题意得曲线C 的直角坐标方程为(x ＋1)2＋y 2＝4. 将直线l 的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝12－t ，y ＝12＋t代入(x ＋1)2＋y 2＝4得⎝ ⎛⎭⎪⎫12－t ＋12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋t 2＝4，即4t 2－4t －3＝0， 解得t 1＝－12，t 2＝32，则AB ＝2|t 1－t 2|＝2⎪⎪⎪⎪⎪⎪－12－32＝2 2.C. 因为3a ＋2b ＋c ＝1， 所以1a ＋1a ＋b ＋1b ＋c＝(2a ＋a ＋b ＋b ＋c )·⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1a ＋b ＋1b ＋c ≥(2a ×1a＋a ＋b ×1a ＋b ＋b ＋c ×1b ＋c)2＝(2＋1＋1)2＝6＋42，当且仅当1a2a＝1a ＋ba ＋b ＝1b ＋cb ＋c时，等号成立， 所以1a ＋1a ＋b ＋1b ＋c的最小值为6＋4 2.22. (1) 以AB ，AD ，AA 1所在直线为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系Oxyz ，则A 1(0，0，3)，B(1，0，0)，C 1(1，1，3)，所以BA 1→＝(－1，0，3)，AC 1→＝(1，1，3)，所以cos 〈BA 1→，AC 1→〉＝－1＋910×11＝411055.(2) 由题意得C(1，1，0)，D(0，1，0)，所以A 1B →＝(1，0，－3)，A 1C →＝(1，1，－3)，AC 1→＝(1，1，3)，AD →＝(0，1，0)， 设平面A 1BC 的一个法向量为n 1＝(x 1，y 1，z 1)，则 ⎩⎪⎨⎪⎧A 1B →·n 1＝0，A 1C →·n 1＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧x 1－3z 1＝0，x 1＋y 1－3z 1＝0， 令z 1＝1，则n 1＝(3，0，1)．设平面AC 1D 的一个法向量为n 2＝(x 2，y 2，z 2)，则 ⎩⎪⎨⎪⎧AC 1→·n 2＝0，AD →·n 2＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＋3z 2＝0，y 2＝0， 令z 2＝1，则n 2＝(－3，0，1)， 所以cos 〈n 1，n 2〉＝n 1·n 2|n 1||n 2|＝－9＋110×10＝－45，所以平面A 1BC 与平面AC 1D 所成二面角的正弦值为35.23. (1) 当n ＝2时，f 2(x)＝f 1(1－|2x －1|)＝f(1－|2x －1|)＝1－|2(1－|2x －1|)－1|＝1，所以2(1－|2x －1|)＝1， 所以1－|2x －1|＝12，所以2x －1＝±12，所以x ＝14或x ＝34，所以g 2(1)＝2.(2) 因为f(0)＝f(1)＝0， 所以f n (0)＝f n (1)＝0.因为f 1(x)＝1－|2x －1|∈[0，1]，当x∈⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12时，f 1(x)单调递增，且f 1(x)∈(0，1]， 当x∈⎝ ⎛⎦⎥⎤12，1时，f 1(x)单调递减，且f 1(x)∈[0，1)． 下面用数学归纳法证明：方程f n (x)＝0(x ∈(0，1])、方程f n (x)＝1(x∈(0，1])、方程f n (x)＝0(x∈[0，1))、方程f n (x)＝1(x∈[0，1))的根的个数都相等，且为g n (1)．(ⅰ) 当n ＝1时，方程f 1(x)＝0(x∈(0，1])、方程f 1(x)＝1(x∈(0，1])、方程f 1(x)＝0(x∈[0，1))、方程f 1(x)＝1(x∈[0，1))的根的个数都相等，且为1，上述命题成立．(ⅱ) 假设n ＝k 时，方程f k (x)＝0(x∈(0，1])、方程f k (x)＝1(x∈(0，1])、方程f k (x)＝0(x∈[0，1))、方程f k (x)＝1(x∈[0，1))的根的个数都相等，且为g k (1)，则当n ＝k ＋1时，有f k ＋1(x)＝f k (f 1(x))．当x∈⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12时，f 1(x)∈(0，1]，方程f k ＋1(x)＝0的根的个数为g k (1)．当x∈⎝ ⎛⎦⎥⎤12，1时，f 1(x)∈[0，1)，方程f k ＋1(x)＝0的根的个数也为g k (1)． 所以方程f k ＋1(x)＝0(x∈(0，1])的根的个数为g k ＋1(0)＝2g k (1)，同理可证：方程f k ＋1(x)＝1(x∈(0，1])、方程f k ＋1(x)＝0(x∈[0，1))、方程f k ＋1(x)＝1(x∈[0，1))的根的个数都相等，且为2g k (1)，由(ⅰ)(ⅱ)可知，命题成立， 又因为f n (0)＝f n (1)＝0， 所以g n (0)＝g n (1)＋1.。

江苏省12市2015届高三上学期期末考试数学试题分类汇编导数及其应用一、填空题1、（常州市2015届高三）曲线cos y x x =-在点22p p ⎛⎫⎪⎝⎭，处的切线方程为 ▲二、解答题1、（常州市2015届高三）已知a b ，为实数，函数1()f x b x a=++，函数()ln g x x =． （1）当0a b ==时，令()()()F x f x g x =+，求函数()F x 的极值；（2）当1a =-时，令()()()G x f x g x =⋅，是否存在实数b ，使得对于函数()y G x =定义域中的任意实数1x ，均存在实数2[1,)x ∈+∞，有12()0G x x -=成立，若存在，求出实数b 的取值集合；若不存在，请说明理由．2、（连云港、徐州、淮安、宿迁四市2015届高三）已知函数x ax x x f +-=221ln )(，a R ∈． (1)若2a =，求函数()f x 的单调递减区间；(2)若关于x 的不等式()1f x ax -≤恒成立，求整数a 的最小值；(3)若2a =-，1x ，2x 是两个不相等的正数，且1212()()0f x f x x x ++=，求证：1212x x +≥．3、（南京市、盐城市2015届高三）已知函数()x f x e =，()g x mx n =+. （1）设()()()h x f x g x =-.① 若函数()h x 在0x =处的切线过点(1,0)，求m n +的值；② 当0n =时，若函数()h x 在(1,)-+∞上没有零点，求m 的取值范围； （2）设函数1()()()nx r x f x g x =+，且4(0)n m m =>，求证：当0x ≥时，()1r x ≥.4、（南通市2015届高三）若函数()y f x =在0x x =处取得极大值或极小值，则称0x 为函数()y f x =的极值点. 已知函数3()3ln 1().f x ax x x a R =+-∈()1当0a =时，求()f x 的极值；()2若()f x 在区间1(,)e e 上有且只有一个极值点，求实数a 的取值范围.5、（苏州市2015届高三上期末）已知函数()(1)x f x e a x =--，其中,a R e ∈为自然对数底数. （1）当1a =-时，求函数()f x 在点(1,(1))f 处的切线方程； （2）讨论函数()f x 的单调性，并写出相应的单调区间；（3）已知b R ∈，若函数()f x b ≥对任意x R ∈都成立，求ab 的最大值.6、（泰州市2015届高三上期末）已知函数1()ln f x x x=-，()g x ax b =+． (1)若函数()()()h x f x g x =-在(0,)+∞上单调递增，求实数a 的取值范围； (2) 若直线()g x ax b =+是函数1()ln f x x x=-图象的切线，求a b +的最小值； (3)当0b =时，若()f x 与()g x 的图象有两个交点1122(,),(,)A x y B x y ，求证：12x x 22e >．（取e 为2.8，取ln 2为0.7 1.4）7、（无锡市2015届高三上期末）设函数()22ln -+f x x x ax b =在点()()0,0x f x 处的切线方程为y x b =-+.(1)求实数a 及0x 的值； (2)求证：对任意实数，函数()f x 有且仅有两个零点.8、（扬州市2015届高三上期末）已知函数2(),()xf x eg x ax bx c ==++。

江苏省12市2015届高三上学期期末考试数学试题分类汇编圆锥曲线一、填空题1、（常州市2015届高三）已知双曲线2241ax y -=a 的值为 ▲2、（连云港、徐州、淮安、宿迁四市2015届高三）已知椭圆)0(12222>>=+b a by a x ，点A ，1B ，2B ，F 依次为其左顶点、下顶点、上顶点和右焦点．若直线2AB 与直线1B F 的交点恰在该椭圆的右准线上，则该椭圆的离心率为 ▲3、（南京市、盐城市2015届高三）若双曲线222(0)x y a a -=>的右焦点与抛物线24y x =的焦点重合，则a =▲ .4、（南通市2015届高三）在平面直角坐标系xOy 中，以直线2y x =±为渐近线，且经过抛物 线24y x =焦点的双曲线的方程是5、（苏州市2015届高三上期末）以抛物线24y x =的焦点为顶点，顶点为中心，离心率为2的双曲线标准方程为6、（泰州市2015届高三上期末）双曲线12222=-by a x 的右焦点到渐近线的距离是其到左顶点距离的一半，则双曲线的离心率e = ▲7、（无锡市2015届高三上期末）已知焦点在x 轴上的双曲线的渐近线方程为13y x = ，则该双曲线的离心率为8、（扬州市2015届高三上期末）已知双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的一条渐近线与直线l ：x ＝0垂直，且C 的一个焦点到l 的距离为2，则C 的标准方程为＿＿＿＿二、解答题1、（常州市2015届高三）在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的离心率12e =，直线:10()l x my m --=∈R 恒谦网过椭圆C 的右焦点F ，且交椭圆C 于A ，B 两点．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）已知点5(,0)2D ，连结BD ，过点A 作垂直于y 轴的直线1l ，设直线1l 与直线BD 交于点P ，试探索当m变化时，是否存在一条定直线2l ，使得点P 恒在直线2l 上？若存在，请求出直线2l 的方程；若不存在，请说明理由．2、（连云港、徐州、淮安、宿迁四市2015届高三）在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线22(0)y px p =>的准线方程为14x =-，过点(0,2)M -作抛物线的切线MA ，切点为A (异于点O )，直线l 过点M 与抛物线交于两点B ,C ，与直线OA 交于点N ．（1）求抛物线的方程；（2）试问：MN MNMB MC+3、（南京市、盐城市2015届高三）在平面直角坐标系xOy 中，椭圆22:1(0)C a b a b+=>>的右准线方程为4x =，右顶点为A ，上顶点为B ，右焦点为F ，斜率为2的直线l 经过点A ，且点F 到直线l 的距离为（1）求椭圆C 的标准方程；（2）将直线l 绕点A 旋转，它与椭圆C 相交于另一点P ，当,,B F P 三点共线时，试确定直线l 的斜率.4、（南通市2015届高三）如图，在平面直角坐标系xOy 中，12,F F 分别是椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左、右焦点，顶点B 的坐标为()0,b ，且∆12BF F 是边长为2的等边三角形.()1求椭圆的方程；()2过右焦点2F 的直线l 与椭圆交于,A C 两点，记∆2ABF ，∆2BCF 的面积分别为12,S S .若122S S =，求直线l 的斜率.5、（苏州市2015届高三上期末）如图，已知椭圆22:1124x y C +=，点B 是其下顶点，过点B 的直线交椭圆C 于另一点A （A 点在x 轴下方），且线段AB 的中点E 在直线y x =上.（1）求直线AB 的方程；（2）若点P 为椭圆C 上异于A 、B 的动点，且直线AP ,BP 分别交直线y x =于点M 、N ，证明：OM ON 为定6、（泰州市2015届高三上期末）如图，在平面直角坐标系xOy 中，:C 22221(0)x y a b a b +=>>的左顶点为A ，过原点O 的直线（与坐标轴不重合）与椭圆C 交于,P Q 两点，直线,PA QA 分别与y 轴交于,M N两点．若直线PQ时，PQ = （1）求椭圆C 的标准方程；（2）试问以MN 为直径的圆是否经过定点（与直线PQ 的斜率无关）？请证明你的结论．7、（无锡市2015届高三上期末）已知椭圆22:142x y C +=的上顶点为A ，直线:l y kx m =+交椭圆于,P Q 两点，设直线,AP AQ 的斜率分别为12,k k .(1)若0m =时，求12k k ×的值； (2)若121k k ?-时，证明直线:l y kx m =+过定点.8、（扬州市2015届高三上期末）如图，A ，B ，C 是椭圆M ：22221(0)x y a b a b+=>>上的三点，其中点A 是椭圆的右顶点，BC 过椭圆M 的中心，且满足AC ⊥BC ，BC ＝2AC 。