武汉华师一附中年高一下期中考试数学试题及答案【精校】.doc

华师一附中2019-2020学年度下学期高一期中诚信检测数学试题Ⅰ卷（共16小题，满分80分）一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.已知向量(1,1)a =-r，(,3)b x =r 且a b ⊥r r ，则||a b +r r 的值为（ ） A.B.C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由a b ⊥r r可求出x 的值，从而可得到a b +r r 的坐标，然后可求出模.【详解】解：因为向量(1,1)a =-r ，(,3)b x =r 且a b ⊥r r，所以1(1)30x ⋅+-⨯=，解得3x =，所以(3,3)b =r ，所以(4,2)a b +=r r，所以||a b +=r r故选：D【点睛】此题考查向量的坐标运算，向量垂直，向量的模，属于基础题. 2.已知2(2),(1)(3)M a a N a a =-=+-，则,M N 的大小关系是（ ） A. M N > B. M N ≥ C. M N < D. M N ≤【答案】A 【解析】 【分析】通过作差得到M N -，根据判别式∆和开口方向可知0M N ->，从而得到结果. 【详解】()()()2221323M N a a a a a a -=--+-=-+4120∆=-< 2230a a ∴-+>，即M N >本题正确选项：A【点睛】本题考查作差法判断大小问题，关键是通过作差得到二次函数，根据判别式和开口方向得到符号. 3.一个水平放置的三角形的斜二测直观图是等腰直角三角形A B O '''，若1O B ''=，那么原ABO ∆的面积是( )A.12 B.2C.D.【答案】C 【解析】试题分析：由斜二测直观图还原原图形如图，因为边O ′B ′在x ′轴上，所以，在原图形中对应的边应在x 轴上，且长度不变， O ′A ′在y ′轴上，所以，在原图形中对应的边应在y 轴上，且长度增大到2倍，因O′B′=1，所以O ′A ′，则．则S △ABO =12OB ⨯OA=12考点：斜二测画法．4.已知等比数列{}n a 中，51183a a a =，数列{}n b 是等差数列，且68b a =，则48b b +=（ ） A. 3 B. 6C. 9D. 12【答案】B 【解析】 【分析】由等比数列的性质可将51183a a a =转化为8283a a =，从而得83a =，所以63b =，再由等差数列的性质可求出48626b b b +==.【详解】解：因为数列{}n a 为等比数列，51183a a a =，所以8283a a =，解得83a =，因68b a =，所以63b =，因为数列{}n b 是等差数列， 所以48626b b b +==， 故选：B【点睛】此题考查的是等差数列和等比数列的性质，属于基础题.5.已知ABC V 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且cos cos a B b A +=，1a =，b =则c =（ ）A.B. 1C.D.【答案】B 【解析】 【分析】先由正弦定理将cos cos a B b A +=中的边转化为角，可得sin()A B +=，可求出角6C π=，再利用余弦定理可求得结果.【详解】解：因为cos cos 2cos a B b A C+=，所以正弦定理得，sin cos sin cos 2cos CA B B A C+=所以sin()A B +=sin C =因为sin 0C ≠，所以cos C =，又因为(0,)C π∈，所以6C π=，因为1a =，b =所以由余弦定理得，2222cos 13211c a b ab C =+-=+-⨯=， 所以1c = 故选：B【点睛】此题考查的是利用正、余弦定理解三角形，属于中档题.6.《九章算术》第三章“衰分”介绍了比例分配问题，“衰分”是按比例递减分配意思，通常称递减的比例为“衰分比”.如：已知,,A B C 三人分配奖金的衰分比为10%，若A 分得奖金1000元，则,B C 所分得奖金分别为900元和810元.某科研所四位技术人员甲、乙、丙、丁攻关成功，共获得奖金59040元，若甲、乙、丙、丁按照一定的“衰分比”分配奖金，且甲与丙共获得奖金32800元，则“衰分比”与丙所获得的奖金分别为（ ） A. 20%，12800元 B. 10%，12800元 C. 20%，10240元 D. 10%，10240元【答案】A 【解析】 【分析】由题意得甲、乙、丙、丁获得奖金组成等比数列{}n a ，设“衰分比”为m ，则数列的公比为1m -，而由题意可知1234135904032800a a a a a a +++=⎧⎨+=⎩，进而计算可得3,m a 的值.【详解】解：由题意设，甲、乙、丙、丁获得奖金组成等比数列{}n a ，设“衰分比”为m ，则数列的公比为1m -，则有1234135904032800a a a a a a +++=⎧⎨+=⎩ 则有2426240a a +=，13(1)()26240m a a -+=， 解得 10.8m -=，则0.220%m ==， 因为1332800a a += 所以332328000.8a a +=，解得312800a = 的故选：A【点睛】此题考查等比数列的通项公式的应用，属于基础题. 7.若圆锥的高等于底面直径，则它的底面积与侧面积之比为 A. 1∶2 B. 1C. 1D.∶2【答案】C 【解析】 【分析】由已知，求出圆锥的母线长，进而求出圆锥的底面面积和侧面积，可得答案 【详解】设圆锥底面半径为r ，则高h ＝2r ＝∴其母线长l ＝r ＝∴S 侧＝πrl ＝πr 2＝S 底＝πr 故选C＝【点睛】本题考查的知识点是旋转体，圆锥的表面积公式，属于基础题．8.在ABC ∆中，D ，E 分别为BC ，AC 边上的点，且2BD DC =u u u r u u u r，若34BE AB AD λ=+u u u r u u u r u u u r ，则λ=（ ） A. 54-B. 43-C. 45-D. 34-【答案】A 【解析】 【分析】可设AE xAC =u u u r u u u r，然后根据向量减法、加法的几何意义，以及向量的数乘运算即可得出3(1)22x x BE AB AD =-++u u u r u u u r u u u r ，从而根据平面向量基本定理即可得出(1)23324x x λ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，解出λ即可．【详解】解：如图，设AE xAC =u u u r u u u r，且2BD DC =u u u r u u u r，则：BE AE AB =-u u u r u u u r u u u rxAC AB =-u u u r u u u r ()x AD DC AB =+-u u u r u u u r u u u r 1()2x AD BD AB =+-u u u r u u u r u u u r ()2x xAD AD AB AB=+--u u u r u u u r u u u r u u u r 3(1)22xx AB AD =-++u u u r u u u r ，Q 34BE AB AD λ=+u u u r u u u r u u u r ，∴(1)23324x x λ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，解得54λ=-，故选：A ．【点睛】本题主要考查向量加法和减法的几何意义，向量的数乘运算，平面向量基本定理，考查了计算能力，属于基础题． 9.若正数a,b 满足a+b=2,则1411a b +++ 的最小值是( ) A. 1 B. 94C. 9D. 16【答案】B 【解析】 分析】 由2a b +=可得()()114a b +++=＝所以可得()()()411411411111411411411a b a b a b a b a b ⎡⎤++⎛⎫⎡⎤+=++++=+++⎢⎥ ⎪⎣⎦++++++⎝⎭⎣⎦＝由基本不等式可得结果. 【详解】∵2a b +=，∴()()114a b +++=，又∵0a >，0b >， ∴()()141141111411a b a b a b ⎛⎫⎡⎤+=++++ ⎪⎣⎦++++⎝⎭()()411119145441144a b a b ⎡⎤++=+++≥⨯+=⎢⎥++⎣⎦， 当且仅当()41111a b a b ++=++， 即13a =，53b =时取等号,【1411a b +++ 的最小值是94,故选B.【点睛】在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”（即条件要求中字母为正数）、“定”（不等式的另一边必须为定值）、“等”（等号取得的条件）的条件才能应用，否则会出现错误.10.对于实数,[]x x 表示不超过x 的最大整数.已知正项数列{}n a 满足112n n n S a a ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，*n N ∈，其中n S 为数列{}n a 的前n 项和，则[][][]1240S S S +++=L （ ） A. 135 B. 141C. 149D. 155【答案】D 【解析】 【分析】利用已知数列的前n 项和求其n S 得通项，再求[]n S【详解】解：由于正项数列{}n a 满足112n n n S a a ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，*n N ∈，所以当1n =时，得11a =，当2n ≥时，111111[()]22n n n n n n n S a S S a S S --⎛⎫=+=-+⎪-⎝⎭ 所以111n n n n S S S S ---=-，所以2=n S n ，因为各项为正项，所以=n S因为[][][]1234851,1,[]1,[][]2S S S S S S =======L ,[]05911[][]3S S S ====L ,[]161724[][]4S S S ====L ,[]252635[][]5S S S ====L , []363740[][]6S S S ====L .所以[][][]1240S S S +++=L 13+25+37+49+511+65=155⨯⨯⨯⨯⨯⨯， 故选：D【点睛】此题考查了数列的已知前n 项和求通项，考查了分析问题解决问题的能力，属于中档题. 11.已知点C 为线段AB 上一点，P 为直线AB 外一点，PC 是APB ∠的角平分线，I 为PC 上一点，满足BI BA =+u u v u u u vAC AP AC AP λ⎛⎫⎪+ ⎪⎝⎭u u u v u u u v u u u v u u u v (0)λ>，4PA PB -=u u u v u u u v ，10PA PB -=u u u v u u u v ，则BI BA BA ⋅u u v u u u v u u uv 的值为（ ） A. 2 B. 3C. 4D. 5【答案】B 【解析】 【分析】由题意结合向量的运算法则可得点I 为三角形内切圆的圆心，结合三角形内切圆与边长关系的公式和向量的数量积运算公式整理计算即可确定BI BA BA⋅u u v u u u vu u u v 的值. 【详解】由BI BA u u v u u u v=+||||AC AP AC AP λ⎛⎫+ ⎪⎝⎭u u u r u u u r u u ur u u u r (0)λ>可得||||AC AP AI AC AP λ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭u u u r u u u ru u r u u u r u u u r ， 所以I 在∠BAP角平分线上，由此得I 是△ABP 的内心，过I 作IH ⊥AB 于H ，I 为圆心，IH 为半径，作△PAB 的内切圆，如图，分别切PA ，PB 于E ，F ，||||4,||10PA PB PA PB -=-=u u u r u u u r u u u r u u u rQ ，则10AB =u u u r ，11||||(||||||)[||(||||)223 ]BH BF PB AB PA AB PA PB ==+-=--=u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u ur u u u r u u u r ，在直角三角形BIH 中,||cos ||BH IBH BI ∠=u u u r u u r ， 所以||cos 3||BI BA BI IBH BH BA ⋅=∠==u u r u u u ru ur u u u r u u u r . 故选B.【点睛】本题主要考查向量的运算法则，内切圆的性质，向量数量积的定义与应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.的12.设数列{}n a 的前n 项和为n S 已知()*123n n a a n n N++=+∈且1300nS=，若23a <，则n 的最大值为（ ） A. 49 B. 50 C. 51 D. 52【答案】A 【解析】 【分析】对n 分奇偶性分别讨论，当n 为偶数时，可得2+32n n nS =，发现不存在这样的偶数能满足此式，当n 为奇数时，可得21+342n n n S a -=+，再结合23a <可讨论出n 的最大值.【详解】当n 为偶数时，12341()()()n n n S a a a a a a -=++++⋅⋅⋅++(213)(233)[2(1)3]n =⨯++⨯++⋅⋅⋅+-+ 2[13(1)]32n n =⨯++⋅⋅⋅+-+⨯2+32n n=，因为22485048+348503501224,132522S S ⨯+⨯====，所以n 不可能为偶数；当n 为奇数时，123451()()()n n n S a a a a a a a -=+++++⋅⋅⋅++1(223)(243)[2(1)3]a n =+⨯++⨯++⋅⋅⋅+-+21342n n a +-=+因为2491149349412722S a a +⨯-=+=+，2511151351413752S a a +⨯-=+=+，又因为23a <，125a a +=，所以 12a > 所以当1300n S =时，n 的最大值为49 故选：A【点睛】此题考查的是数列求和问题，利用了并项求和的方法，考查了分类讨论思想，属于较难题.二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分.请将答案写在答题纸上的相应位置.）13.设, , a b c 为实数，且0a b <<，则下列不等式正确的是______.（仅填写正确不等式的序号） ①11a b <；＝22ac bc <；＝b a a b >；④b a a b <；⑤2211a b< 【答案】④⑤ 【解析】 【分析】利用不等式的性质分别进行验证即可得答案. 【详解】因为, , a b c 为实数，且0a b <<， 对于①因为0a b <<，所以0ab > 所以a b ab ab <，即11b a<，所以①不正确； 对于＝当0c =时，结论不成立，所以＝不正确； 对于＝④因为0a b <<，所以22a b >因为0ab >，所以22a b ab ab>，即a b b a >，所以＝不正确，④正确； 对于⑤因为220a b >>，所以2211a b <，所以⑤正确 故答案为：④⑤【点睛】此题考查了不等式的基本性质及应用，考查了推理论证的能力，属于基础题.14.已知向量,a b r r 是平面内的一组基底，若m xa yb =+u r r r，则称有序实数对(,)x y 为向量m u r 在基底,a b r r下的坐标.给定一个平面向量p u r ，已知p u r 在基底,a b r r 下的坐标为(1,2)，那么p u r 在基底a b -r r，a b +r r 下的坐标为______. 【答案】13,22⎛⎫- ⎪⎝⎭【解析】 【分析】由题可知2p a b =+u r r r ，若将a b -r r，a b +r r 作为基底，则设()()p m a b n a b =-++u r r r r r ，然后展开化简得，()()p m n a n m b =++-u r r r ，从而得12m n n m +=⎧⎨-=⎩，解出,m n 的值就得到所求的坐标【详解】解：由p u r 在基底,a b r r 下的坐标为(1,2)，得2p a b =+u r r r ，设p u r 在基底a b -r r ，a b +r r 下的坐标为(,)m n ，则()()p m a b n a b =-++u r r r r r所以()()p m n a n m b =++-u r r r所以12m n n m +=⎧⎨-=⎩解得1232m n ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩， 所以p u r 在基底a b -r r ，a b +r r 下的坐标为13,22⎛⎫- ⎪⎝⎭， 故答案为：13,22⎛⎫- ⎪⎝⎭ 【点睛】此题考查的平面向量基本定理及应用，属于基础题15.已知函数()1ee xf x x =+（e 是自然对数的底数），设(),2020,1,2020,4041n f n n a f n n ≤⎧⎪=⎨⎛⎫> ⎪⎪-⎝⎭⎩，*n N ∈，数列{}n a 的前n 项和为n S ，则4039S 的值是______. 【答案】40392【解析】【分析】由题意可得， 1()11()111()e e e x f x x x==++，且11(1)112f ==+，进而可得1()()1f x f x+=，结合数列的通项公式可得4039111(1)(2)(2020)()()()202020192f f f f f S f =++⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅+ 111(1)[(2)()][(3)()](2020)()232020f f f f f f f =+++++⋅⋅⋅++， 从而可得答案.【详解】根据题意，因为()1e ex f x x =+，所以1()11()111()e e e x f x x x==++，11(1)112f ==+， 所以1()()1f x f x+=， 因为(),2020,1,2020,4041n f n n a f n n ≤⎧⎪=⎨⎛⎫> ⎪⎪-⎝⎭⎩ 所以4039111(1)(2)(2020)()()()202020192f f f f f S f =++⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅+ 111(1)[(2)()][(3)()](2020)()232020f f f f f f f =+++++⋅⋅⋅++ 14039201922=+= 故答案为：40392 【点睛】此题考查数列的求和以及数列与函数的关系，关键是分析1()()1f x f x+=，属于中档题. 16.如图，在平面四边形ABCD 中，135A ∠=︒，75B C ∠=∠=︒，2BC =，则CD 的取值范围是_____.【答案】【解析】【分析】如图，延长,BA CD 交于点E ，设1,,,22AD x DE x AE x AB m ====，求出+x m CD 的取值范围. 【详解】解：如图，延长,BA CD 交于点E ，则在ADE ∆中，105,45,30ADE DAE E ∠=︒∠=︒∠=︒,所以设1,,,224AD x DE x AE x AB m ====， 因为2BC =，所以()sin1514x m +︒=，+x m 所以04x <<，因为CD x m x x =+-=，所以CD 的取值范围为，故答案为：【点睛】此题考查三角形中的几何计算，考查学生的计算能力，属于中档题.Ⅱ卷（共6小题，满分70分）三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.请将答案写在答题纸上的相应位置.）17.已知向量3x ka b =-r r r 和y a b =+u r r r ，其中(1,3)a =-r ，(4,2)b =r ，k ∈R（1）当k 为何值时，有x r 、y u r平行； （2）若向量x r 与y u r 的夹角为钝角，求实数k 的取值范围.【答案】（1）3k =-，（2）112k <且3k ≠- 【解析】【分析】（1）根据题意，设x t y =r u r ，则有3()ka b t a b -=+r r r r ，再结合(1,3)a =-r ，(4,2)b =r ，可求出k 的值；（2）根据题意，若向量x r 与y u r 的夹角为钝角，则有0x y ⋅<r u r，由数量积的计算公式可得3(12)5(36)0x y k k ⋅=--+-<r u r ，再结合向量不共线分析可得答案.【详解】解：（1）因为x r 、y u r 平行，所以设x t y =r u r ，所以3()ka b t a b -=+r r r r ，即()(3)k t a t b -=+r r因为(1,3)a =-r ，(4,2)b =r ，得a r 与b r不共线，所以30k t t -=+=，得3k =-， （2）因为向量x r 与y u r 的夹角为钝角，所以0x y ⋅<r u r ，因为向量3x ka b =-r r r 和y a b =+u r r r ，其中(1,3)a =-r ，(4,2)b =r所以(12,36)x k k =---r ，(3,5)y =u r ，所以 3(12)5(36)0k k --+-<，解得112k <， 又因为向量x r 与y u r 不共线，所以由（1）可知3k ≠- 所以112k <且3k ≠- 【点睛】此题考查向量的数量积运算，涉及向量平行的判定，关键是掌握向量数量积与向量夹角的关系，属于中档题.18.在数列{}n a ，{}n b 中，111a b ==，1421n n n a b a n +=-+-，*1421,n n n b a b n n N +=--+∈.等差数列{}n c 的前两项依次为23,a b .（1）求{}n c 的通项公式；（2）求数列(){}n n n a b c +的前n 项和n S .【答案】（1）73n c n =-，（2）(1413)3132n n n S -+= 【解析】【分析】（1）由已知递推式可得23,a b ，即为12,c c ，由等差数列的定义可得公差，从而得到所求的通项公式；（2）由1421n n n a b a n +=-+-，1421n n n b a b n +=--+，.两式相加，结合等比数列的定义可得n n a b +，从而可得数列(){}n n n a b c +的通项公式，再由数列的错位相减法求和即可【详解】解：（1）因为111a b ==，1421n n n a b a n +=-+-，*1421,n n n b a b n n N +=--+∈，可得21142114a b a =-+⨯-=，21142112b a b =--⨯+=，所以322422111b a b =--⨯+=，所以124,11c c ==，等差数列{}n c 的公差为7所以47(1)73n c n n =+-=-（2）因为1421n n n a b a n +=-+-，1421n n n b a b n +=--+，所以两式相加得，113()n n n n a b a b +++=+，所以数列{}n n a b +是以3为公比，2为首项的等比数列，所以123n n n a b -=⨯+，所以11)23(73)(1)3(46n n n n n c n n a b --=⨯⨯-=-⨯+，所以0122183223363(1420)3(146)3n n n n n S --=⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅+-⨯+-⨯，123183223363(1420)3(14633)n n n n S n -=⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅+-⨯+-⨯，两式相减得，123181431431431432(146)3n n n n S -=+⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅+⨯--⨯-1231814(3333)(146)3n n n -=++++⋅⋅⋅+--⨯13(1413)3n n =--- 所以(1413)3132n n n S -+= 【点睛】此题考查等差数列的通项公式和等比数列的定义和通项公式，求和公式的运用，考查数列的错位相减法求和，化简运算能力，属于中档题19.如图，已知在东西走向上有甲、乙两座小山，一辆测量车在甲山山底M 的正南方向的P 点处测得山顶A的仰角为30°，该测量车在水平面上向北偏西60︒方向行驶后到达点Q ，在点Q 处测得乙山山顶B 的仰角为θ，且BQA θ∠=，经计算，tan 2θ=，若甲、乙山高分别为100m 、200m ，求两山山顶,A B 之间的距离.【答案】【解析】【分析】先在Rt AMP ∆中，利用已知条件求得PM ，进而连接QM ，在PQM ∆中，60QPM ∠=︒，求得PQ ，可推断出PQM ∆为等边三角形，进而求出QM ，从而在Rt AMQ ∆中利用勾股定理求得AQ ，Rt BNQ ∆中，利用tan 2θ=，200BN =，求得BQ ，最后在BQA ∆中，利用余弦定理求得BA【详解】解：在Rt AMP ∆中，30,100APM AM ∠=︒=，所以PM =连接QM ，在PQM ∆中，60QPM ∠=︒，PQ =，所以PQM ∆为等边三角形，所以QM =在Rt AMQ ∆中，由222AQ AM QM =+，得200AQ =，在Rt BNQ ∆中，tan 2θ=，200BN =，得BQ =在BQA ∆中，22222cos BA BQ AQ BQ AQ θ=+=⋅=所以BA =【点睛】此题考查了解三角形的实际应用，考查了学生解决实际际问题的能力，属于中档题20.已知ABC V 的内角、、A B C 所对应的边分别为a b c 、、，(sin sin )1R A B +=（其中R 为ABC V 的外接圆的半径）且ABC V 的面积22()S c a b =--.（1）求tan C 的值；（2）求ABC V 的面积S 的最大值.【答案】（1）815，（2）417【解析】【分析】 （1）利用三角形面积计算公式、余弦定理、倍角公式可得，（2）利用正弦定理、三角形面积计算公式、基本不等式的性质即可得出【详解】解：（1）因为22()S c a b =--， 所以2221sin 222cos 2ab C c a b ab ab ab C =--+=-， 所以1sin 2(1cos )2C C =- 2sin cos 4sin 222C C C =， 因为sin 02C ≠，所以cos 4sin 22C C =， 所以1tan 24C =， 所以22tan 82tan 151tan 2CC C ==- （2）因为(sin sin )1R A B +=，所以由正弦定理得，2a b +=， 由8tan 15C =，得8sin 17C =， 所以21444sin 21717217a b S ab C ab +⎛⎫==≤= ⎪⎝⎭，当且仅当1a b ==时，取等号， 所以ABC V 的面积S 的最大值为417【点睛】此题考查了三角形面积计算公式、余弦定理、倍角公式、正弦定理、基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题21.如图，在△ABC 中，已知CA=1，CB=2，∠ACB=60°．（1）求|AB u u u v |；（2）已知点D 是AB 上一点，满足AD uuu v =λAB u u u v ，点E 是边CB 上一点，满足BE u u u v =λBC uuu v ．①当λ=12时，求AE u u u v •CD uuu v ； ②是否存在非零实数λ，使得AE u u u v ⊥CD uuu v ？若存在，求出的λ值；若不存在，请说明理由．【答案】（1（2）①14② 23 【解析】【分析】（1）利用余弦定理求出AB 的长即得|AB u u u v |；（2）①12λ= 时，D E 、分别是BC AB ，的中点，表示出AE u u u v ，CD uuu v ，利用向量的数量积计算即可； ②假设存在非零实数λ，使得AE u u u v ⊥CD uuu v ，利用 C B CA u u u v u u u v 、分别表示出CD uuu r 和 AE u u u v ，求出 0AE CD ⋅=u u u v u u u v 时的λ值即可．【详解】（1）AB CB CA =-u u u v u u u v Q u u u v 且22=4=1=21cos60=1CB CA CB CA ⋅⨯⨯o u u u v u u u v u u u v u u u v ，，AB CB CA ∴=-==u u u v u u u v u u u v （2）①λ=时， =， =， ⊥D 、E 分别是BC ，AB 的中点，⊥=+=+，=（+）， ⊥•=（+）•（+） =•+•+•+=﹣×12+×1×2×cos120°+×2×1×cos60°+×22 =； ②假设存在非零实数λ，使得⊥， 由=λ，得=λ（﹣），⊥=+=+λ（﹣）=λ+（1﹣λ）； 又=λ， ⊥=+=（﹣）+λ（﹣）=（1﹣λ）﹣； ⊥•=λ（1﹣λ）﹣λ•+（1﹣λ）2•﹣（1﹣λ）=4λ（1﹣λ）﹣λ+（1﹣λ）2﹣（1﹣λ）=﹣3λ2+2λ=0，解得λ=23或λ=0（不合题意，舍去）； 即存在非零实数λ=23，使得⊥． 【点睛】本题考查了平面向量的线性表示与数量积的应用问题，也考查了余弦定理的应用问题，是综合性题目．22.已知数列{}n a 满足1133n n n a a a +≤≤，*n N ∈，11a =.（1）若23a =，3a x =，46a =，求x 的取值范围；（2）若{}n a 是公比为q 的等比数列，12n n S a a a =+++L ，1133n n S S S +≤≤，*n N ∈，求q 的取值范围； （3）若12,,,k a a a L 成等差数列，且122020k a a a ++⋯+=，求正整数k 的最大值.【答案】（1）92x ≤≤，（2）123q ≤≤，（3）4039 【解析】【分析】（1）由题意得232133a a a ≤≤，又343133a a a ≤≤，将已知代入可求出x 的范围；（2）先求出通项1n n a q -=，由121133a a a ≤≤求出133q ≤≤，对q 分类讨论求出n S ，分别代入不等式1133n n n S S S +≤≤，得到关于q 的不等式组，解不等式组求出q 的范围；（3）由题意得到关于k 的不等式，得出k 的最大值，并得出k 取最大值时12,,,k a a a L 的公差【详解】解：（1）由题意得，232133a a a ≤≤，所以19x ≤≤， 又因为343133a a a ≤≤，所以1633x x ≤≤，得218x ≤≤， 综上所述，92x ≤≤（2）由已知得，1n n a q-=，121133a a a ≤≤ 所以133q ≤≤， 当1q =时，n S n =，1133n n n S S S +≤≤，即1133n n n ≤+≤，成立， 当13q <≤时，11n n q S q -=-，1133n n n S S S +≤≤，即1111133111n n n q q q q q q +---⋅≤≤⋅---， 111331n n q q +-≤≤-，得11320320n n n n q q q q ++⎧--≥⎨-+≤⎩， 因为1q >，故132(31)2220n n n n qq q q q +--=-->->， 对于不等式1320n n q q +-+≤，令1n =，得2320q q -+≤， 解得12q ≤≤，又当12q ≤≤，30q -<，所以132(3)2(3)2(1)(2)0n n n q q q q q q q q +-+=-+≤-+=--≤成立 所以12q <≤， 当113q ≤<时，11n n q S q -=-，1133n n n S S S +≤≤， 即1111133111n n nq q q q q q+---⋅≤≤⋅---， 所以11320320n n n n q q q q ++⎧--≤⎨-+≥⎩， 因为310,30q q ->-<，所以132(31)2220n n n n q q q q q +--=--<-<，132(3)2(3)2(1)(2)0n n n q q q q q q q q +-+=-+≥-+=-->， 所以当113q ≤<时，不等式恒成立， 综上所述，q 的取值范围为123q ≤≤ （3）设12,,,k a a a L 的公差为d ，由1133n n n a a a +≤≤，且11a =， 得1[1(1)]13[1(1)],1,2,3,,13n d nd n d n k +-≤+≤+-=⋅⋅⋅-， 即(21)2,1,2,,1(23)2n d n k n d +≥-⎧=⋅⋅⋅-⎨-≥-⎩， 当1n =时，223d -≤≤， 当2,,1n k =⋅⋅⋅-时，由222123n n -->+-，得221d n -≥+， 所以22213d k -≥≥--， 所以1(1)(1)220202221k k k k ka d k k ---=+≥+⋅-， 即2404020200k k -+≤，得4039k ≤，所以k 的最大值为4039【点睛】此题考查等比数列的通项公式及前n 项和的求法，考查不等式组的解法，属于难题。

湖北省华东师大附中2018-2019学年高一下学期期中考试数学试卷（理科）一、选择题：（本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．若a ＞b ，c ＞d ，则下列不等式成立的是（ ）A ．a+d ＞b+cB ．ac ＞bdC ．D ．d ﹣a ＜c ﹣b2．等差数列{a n }满足a n ＞0，，则其前10项之和为（ ）A ．﹣9B ．15C ．﹣15D ．±153．已知等比数列{a n }的前三项依次为a ﹣1，a+1，a+4，则a n =（ ）A ．B ．C ．D ．4．设f （x ）=x 2+bx+1，且f （﹣1）=f （3），则f （x ）＞0的解集是（ ） A ．（﹣∞，﹣1）∪（3，+∞）B ．RC ．{x ∈R|x ≠1}D ．{x ∈R|x=1}5．设S n 为数列{a n }的n 前项和，a n =2n ﹣49，则S n 取最小值时，n 的值为（ ） A ．12 B ．13 C ．24 D ．256．设x ，y 满足约束条件，则z=3x+y 的最大值为（ ）A ．5B ．3C ．7D ．﹣87．等比数列{a n }的前n 项和为S n ，且4a 1，2a 2，a 3成等差数列．若a 1=1，则S 4=（ ） A ．15 B ．7 C ．8 D ．168．若，则sin2θ=（ ）A ．B ．C ．D ．9．在△ABC 中，若，则△ABC 的形状是（ ）A ．直角三角形B ．等腰或直角三角形C ．不能确定D ．等腰三角形10．在△ABC 中，A=60°，AB=2，且△ABC 的面积S △ABC =，则边BC 的长为（ ）A ．B ．3C ．D ．711．已知数列{a n }中，a 1=1，前n 项和为S n ，且点P （a n ，a n+1）在直线y=x+1上，则=（ ）A ．B ．C ．D ．12．已知非零实数a ，b 满足关系式，则的值是（ ）A ．B ．C ．D ．二、填空题：已知x=1是不等式k 2x 2﹣6kx+8≥0的解，则k 的取值范围是 ．14．定义“等积数列”，在一个数列中，如果每一项与它的后一项的积都为同一个常数，那么这个数列叫做等积数列，这个常数叫做该数列的公积，已知数列{a n }是等积数列且a 1=2，公积为10，那么这个数列前21项和S 21的值为 ．15．在钝角△ABC 中，已知a=1，b=2，则最大边的取值范围是 ． 16．下表是一个有i 行j 列的表格．已知每行每列都成等差数列，其中a i ，j 表示表格中第i 行第j 列的数，则a 4，5= ，a i ，j = ．三、解答题：（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（10分）若不等式ax 2+5x ﹣2＞0的解集是，（1）求实数a 的值；（2）求不等式ax 2﹣5x+a 2﹣1＞0的解集．18．（12分）△ABC 的面积是30，内角A ，B ，C 所对边长分别为a ，b ，c ，cosA=．（Ⅰ）求•；（Ⅱ）若c ﹣b=1，求a 的值．19．（12分）数列{a n } 中，a 1=2，a n+1=a n +cn （c 是不为零的常数，n=1，2，3，…），且a 1，a 2，a 3成等比数列． （Ⅰ） 求c 的值；（Ⅱ）求{a n } 的通项公式；（Ⅲ）证明数列是等差数列．20．（12分）已知函数f （x ）=sin 2（）+sin （）cos （）﹣．（Ⅰ）求f （x ）的值域；（Ⅱ）若f （x ）（x ＞0）的图象与直线y=交点的横坐标由小到大依次是x 1，x 2…，x n ，求数列{x n }的前2n 项的和．21．（12分）7月份，有一款新服装投入某市场销售．7月1日该款服装仅销售出3件，7月2日售出6件，7月3日售出9件，7月4日售出12件，尔后，每天售出的件数分别递增3件直到日销售量达到最大（只有1天）后，每天销售的件数开始下降，分别递减2件，到7月31日刚好售出3件．（1）问7月几号该款服装销售件数最多？其最大值是多少？（2）按规律，当该商场销售此服装达到200件时，社会上就开始流行，而日销售量连续下降并低于20件时，则不再流行，问该款服装在社会上流行几天？说明理由．22．（12分）已知单调递增的等比数列{a n }满足：a 2+a 3+a 4=28，且a 3+2是a 2，a 4的等差中项．（Ⅰ）求数列{a n }的通项公式；（Ⅱ）若b n =a n log a n ，S n =b 1+b 2+b 3+…+b n ，对任意正整数n ，S n +（n+m ）a n+1＜0恒成立，试求m 的取值范围．湖北省华东师大附中2018-2019学年高一下学期期中考试数学试卷（理科）参考答案一、选择题：（本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．若a ＞b ，c ＞d ，则下列不等式成立的是（ ）A ．a+d ＞b+cB ．ac ＞bdC ．D ．d ﹣a ＜c ﹣b【考点】71：不等关系与不等式；72：不等式比较大小．【分析】本题是选择题，可采用逐一检验，利用特殊值法进行检验，很快问题得以解决． 【解答】解：∵a ＞b ，c ＞d ∴设a=1，b=﹣1，c=﹣2，d=﹣5选项A ，1+（﹣5）＞﹣1+（﹣2），不成立 选项B ，1×（﹣2）＞（﹣1）×（﹣5），不成立取选项C ，，不成立故选D【点评】本题主要考查了基本不等式，基本不等式在考纲中是C 级要求，本题属于基础题．2．等差数列{a n }满足a n ＞0，，则其前10项之和为（ ）A ．﹣9B ．15C ．﹣15D ．±15【考点】85：等差数列的前n 项和．【分析】等差数列{a n }满足a n ＞0，，∴=9，解得a 4+a 7=3=a 1+a 10．再利用求和公式即可得出．【解答】解：∵等差数列{a n }满足a n ＞0，，∴=9，解得a 4+a 7=3=a 1+a 10．则其前10项之和==5×3=15．故选：B ．【点评】本题考查了等差数列的求和公式与通项公式及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．3．已知等比数列{an }的前三项依次为a﹣1，a+1，a+4，则an=（）A．B．C．D．【考点】8G：等比数列的性质．【分析】由题意可得（a+1）2=（a﹣1）（a+4），解得 a=5，由此可得首项和公比，从而得到通项公式．【解答】解：∵已知等比数列{an}的前三项依次为a﹣1，a+1，a+4，则（a+1）2=（a﹣1）（a+4），解得 a=5，故此等比数列的首项为4，公比为=，故通项公式为，故选C．【点评】本题主要考查等比数列的定义和性质，等比数列的通项公式的应用，属于中档题．4．设f（x）=x2+bx+1，且f（﹣1）=f（3），则f（x）＞0的解集是（）A．（﹣∞，﹣1）∪（3，+∞）B．R C．{x∈R|x≠1} D．{x∈R|x=1}【考点】74：一元二次不等式的解法；3W：二次函数的性质．【分析】由f（x）=x2+bx+1，且f（﹣1）=f（3），解得b=﹣2．故f（x）=x2﹣2x+1=（x﹣1）2，由此能求出f（x）＞0的解集．【解答】解：∵f（x）=x2+bx+1，且f（﹣1）=f（3），∴，解得b=﹣2．∴f（x）=x2﹣2x+1=（x﹣1）2，∴f（x）＞0的解集为{x|x≠1}．故选C．【点评】本题考查一元二次不等式的解法，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答．5．设Sn 为数列{an}的n前项和，an=2n﹣49，则Sn取最小值时，n的值为（）A．12 B．13 C．24 D．25【考点】85：等差数列的前n项和；82：数列的函数特性．【分析】由an =2n﹣49可得数列{an}为等差数列，然后根据等差数列的求和公式求出Sn，最后结合二次函数的性质求出最值时的n即可．【解答】解：由an =2n﹣49可得数列{an}为等差数列∴a1=2﹣49=﹣47=（n﹣24）2﹣242结合二次函数的性质可得当n=24时和有最小值故选C．【点评】本题主要考查了等差数列的求和公式的应用，以及利用二次函数的性质求解数列的和的最值，属于中档题．6．设x，y满足约束条件，则z=3x+y的最大值为（）A．5 B．3 C．7 D．﹣8【考点】7C：简单线性规划．【分析】首先作出可行域，再作出直线l0：y=﹣3x，将l平移与可行域有公共点，直线y=﹣3x+z在y轴上的截距最大时，z有最大值，求出此时直线y=﹣3x+z经过的可行域内的点A的坐标，代入z=3x+y中即可．【解答】解：如图，作出可行域，作出直线l0：y=﹣3x，将l平移至过点A（3，﹣2）处时，函数z=3x+y有最大值7．故选C．【点评】本题考查线性规划问题，考查数形结合思想．解答的步骤是有两种方法：一种是：画出可行域画法，标明函数几何意义，得出最优解．另一种方法是：由约束条件画出可行域，求出可行域各个角点的坐标，将坐标逐一代入目标函数，验证，求出最优解．7．等比数列{an }的前n项和为Sn，且4a1，2a2，a3成等差数列．若a1=1，则S4=（）A．15 B．7 C．8 D．16【考点】89：等比数列的前n项和．【分析】利用4a1，2a2，a3成等差数列求出公比即可得到结论．【解答】解：∵4a1，2a2，a3成等差数列．a1=1，∴4a1+a3=2×2a2，即4+q2﹣4q=0，即q2﹣4q+4=0，（q﹣2）2=0，解得q=2，∴a1=1，a2=2，a3=4，a4=8，∴S4=1+2+4+8=15．故选：A【点评】本题考查等比数列的前n项和的计算，根据条件求出公比是解决本题的关键．8．若，则sin2θ=（）A． B． C． D．【考点】GS：二倍角的正弦．【分析】根据﹣θ++θ=，利用两角和的余弦函数公式以特殊角的三角函数值得到sin（﹣θ）sin（+θ）和cos（﹣θ）cos（+θ）相等都等于，然后利用正弦函数为奇函数，余弦函数为偶函数求出sin（θ﹣）sin（+θ）和cos（θ﹣）cos（+θ）的值，然后根据2θ=[（θ﹣）+（θ+）]，利用两角和的余弦函数公式化简后将相应的值代入即可求出cos2θ的值，然后根据角的范围，利用同角三角函数间的基本关系即可求出sin2θ的值．【解答】解：由于cos（﹣θ）•cos（+θ）﹣sin（﹣θ）sin（+θ）=cos（﹣θ+θ）=cos=0则sin（﹣θ）sin（+θ）=cos（﹣θ）•cos（+θ）=所以sin（θ﹣）sin（+θ）=﹣， =cos（θ﹣）cos（）=则cos2θ=cos[（θ﹣）+（θ+）]=cos（θ﹣）cos（θ）﹣sin（θ﹣）sin（θ+）=所以sin2θ===故选B．【点评】此题要求学生灵活运用两角和与差的余弦函数公式、同角三角函数间的基本关系化简求值，会利用三角函数的奇偶性解决实际问题，是一道中档题．做题时注意灵活变换角度．9．在△ABC中，若，则△ABC的形状是（）A．直角三角形 B．等腰或直角三角形C．不能确定D．等腰三角形【考点】GZ：三角形的形状判断．【分析】把已知等式的左边利用同角三角函数间的基本关系切化弦，右边利用正弦定理变形，然后根据二倍角的正弦函数公式化简，由A和B为三角形的内角，根据正弦函数图象与性质得到A与B角度之间的关系，根据角度之间的关系即可得到三角形ABC的形状．【解答】解：由正弦定理得： ==2R，（R为三角形外接圆的半径）∴a=2RsinA，b=2RsinB，∴变形为： =，化简得：2sinBcosB=2sinAcosA，即sin2B=sin2A，由A 和B 为三角形的内角，得到2A=2B 或2A+2B=180°， 即A=B 或A+B=90°，则△ABC 的形状是等腰三角形或直角三角形． 故选B【点评】此题考查了正弦定理，三角函数的恒等变换及正弦函数图象与性质．根据正弦定理及同角三角函数公式化简已知的等式是本题的突破点．10．在△ABC 中，A=60°，AB=2，且△ABC 的面积S △ABC =，则边BC 的长为（ ）A ．B ．3C ．D ．7【考点】HT ：三角形中的几何计算．【分析】由△ABC 的面积，求出AC=1，由余弦定理可得BC=，计算可得答案．【解答】解：∵ =sin60°=，∴AC=1，△ABC 中，由余弦定理可得BC==，故选A ．【点评】本题考查三角形的面积公式，余弦定理的应用，求出 AC=1，是解题的关键．11．已知数列{a n }中，a 1=1，前n 项和为S n ，且点P （a n ，a n+1）在直线y=x+1上，则=（ ）A ．B ．C ．D ．【考点】8E ：数列的求和．【分析】通过将点P （a n ，a n+1）代入直线y=x+1，进而可知数列{a n }是首项、公差均为1的等差数列，从而裂项可知=2（﹣），进而并项相加即得结论．【解答】解：因为点P （a n ，a n+1）在直线y=x+1上， 所以a n+1=a n +1， 又因为a 1=1，所以数列{a}是首项、公差均为1的等差数列，n=， ==2（﹣），所以Sn所以=2（1﹣+﹣+…+﹣）=2（1﹣）=，故选：A．【点评】本题考查数列的通项及前n项和，考查裂项相消法，注意解题方法的积累，属于中档题．12．已知非零实数a，b满足关系式，则的值是（）A． B．C．D．【考点】GR：两角和与差的正切函数．【分析】已知等式左边分子分母利用辅助角公式变形，再利用同角三角函数间的基本关系化简，右边角度变形，确定出θ，所求式子即为tanθ，即可求出解．【解答】解： =tan（+θ）=tan=tan（+）（其中sinθ=，cosθ=），∴θ=kπ+，k∈Z，∴=tanθ=tan（kπ+）=tan=．故选：C．【点评】此题考查了两角和与差的正切函数公式，以及同角三角函数间的基本关系，熟练掌握公式是解本题的关键．二、填空题：（2017春•黄梅县校级期中）已知x=1是不等式k2x2﹣6kx+8≥0的解，则k的取值范围是k≥4或k≤2 ．【考点】74：一元二次不等式的解法．【分析】根据题意，把x=1代入不等式k2x2﹣6kx+8≥0中，求关于x的不等式解集即可．【解答】解：x=1是不等式k2x2﹣6kx+8≥0的解，∴k2•12﹣6k•1+8≥0，即k2﹣6k+8≥0，解得k≥4或k≤2，∴k的取值范围是k≥4或k≤2．故答案为：k≥4或k≤2．【点评】本题考查了一元二次不等式的解集问题，是基础题．14．定义“等积数列”，在一个数列中，如果每一项与它的后一项的积都为同一个常数，那么这个数列叫做等积数列，这个常数叫做该数列的公积，已知数列{an }是等积数列且a1=2，公积为10，那么这个数列前21项和S21的值为72 ．【考点】8E：数列的求和．【分析】由等积数列的定义，可得a1=2，a2=5，a3=2，a4=5，…，即为周期为2的数列，即可得到数列前21项和．【解答】解：数列{an }是等积数列且a1=2，公积为10，可得a2=5，a3=2，a4=5，…，则前21项和S21=2+5+2+5+…+2=7×10+2=72．故答案为：72．【点评】本题考查新定义的理解和运用，考查数列的求和，注意运用周期性，考查运算能力，属于基础题．15．在钝角△ABC中，已知a=1，b=2，则最大边的取值范围是＜x＜3 ．【考点】HR：余弦定理．【分析】根据三角形三边关系求出c的范围，当∠C为直角时，利用勾股定理确定c的值，故当∠C为钝角时，确定出c的范围即可．【解答】解：根据三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，得到c的范围为1＜c ＜3，当∠C为直角时，c==，当∠C为钝角时，得到c＞，当∠C为锐角时，B为钝角，此时b为最大边，1＜b＜3，则最大边的范围为＜x＜3．故答案为：＜x＜3【点评】此题考查了余弦定理，以及三角形的边角关系，熟练掌握余弦定理是解本题的关键．16．下表是一个有i行j列的表格．已知每行每列都成等差数列，其中ai，j 表示表格中第i行第j列的数，则a4，5= 49 ，ai，j= 2ij+i+j ．【考点】84：等差数列的通项公式．【分析】根据图象和每行、每列都是等差数列，该等差数阵的第一行是首项为4，公差为3的等差数列：a1j =4+3（j﹣1），第二行是首项为7，公差为5的等差数列：a2j=7+5（j﹣1），第i行是首项为4+3（i﹣1），公差为2i+1的等差数列，即可得出．【解答】解：根据图象和每行、每列都是等差数列，该等差数阵的第一行是首项为4，公差为3的等差数列：a1j=4+3（j﹣1），第二行是首项为7，公差为5的等差数列：a2j=7+5（j﹣1），第i行是首项为4+3（i﹣1），公差为2i+1的等差数列，因此aij=4+3（i﹣1）+（2i+1）（j﹣1），=2ij+i+j=i（2j+1）+j=2ij+i+j．可得a4，5=2×4×5+4+5=49．故答案为：49，2ij+i+j．【点评】本题考查了等差数列的通项公式及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．三、解答题：（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（10分）（2013•宁阳县校级模拟）若不等式ax2+5x﹣2＞0的解集是，（1）求实数a的值；（2）求不等式ax2﹣5x+a2﹣1＞0的解集．【考点】77：一元二次不等式与一元二次方程；74：一元二次不等式的解法．【分析】（1）由二次不等式的解集形式，判断出，2是相应方程的两个根，利用韦达定理求出a的值．（2）由（1）我们易得a的值，代入不等式ax2﹣5x+a2﹣1＞0易解出其解集．【解答】解：（1）∵ax2+5x﹣2＞0的解集是，∴a＜0，，2是ax2+5x﹣2=0的两根解得 a=﹣2；（2）则不等式ax2﹣5x+a2﹣1＞0可化为﹣2x2﹣5x+3＞0解得故不等式ax2﹣5x+a2﹣1＞0的解集．【点评】本题考查的知识点是一元二次不等式的解法，及三个二次之间的关系，其中根据三个二次之间的关系求出a的值，是解答本题的关键．18．（12分）（2010•安徽）△ABC的面积是30，内角A，B，C所对边长分别为a，b，c，cosA=．（Ⅰ）求•；（Ⅱ）若c﹣b=1，求a的值．【考点】HS：余弦定理的应用；9R：平面向量数量积的运算；GG：同角三角函数间的基本关系．【分析】根据本题所给的条件及所要求的结论可知，需求bc的值，考虑已知△ABC的面积是30，cosA=，所以先求sinA的值，然后根据三角形面积公式得bc的值．第二问中求a的值，根据第一问中的结论可知，直接利用余弦定理即可．根据同角三角函数关系，由cosA=得sinA的值，再根据△ABC面积公式得bc=156；直接求数量积•．由余弦定理a2=b2+c2﹣2bccosA，代入已知条件c﹣b=1，及bc=156求a的值．【解答】解：由cosA=，得sinA==．又sinA=30，∴bc=156．（Ⅰ）•=bccosA=156×=144．（Ⅱ）a2=b2+c2﹣2bccosA=（c﹣b）2+2bc（1﹣cosA）=1+2•156•（1﹣）=25，∴a=5．【点评】本题考查同角三角函数的基本关系，三角形面积公式，向量的数量积，利用余弦定理解三角形以及运算求解能力．19．（12分）（2009•杭州一模）数列{an } 中，a1=2，an+1=an+cn（c是不为零的常数，n=1，2，3，…），且a1，a2，a3成等比数列．（Ⅰ）求c的值；（Ⅱ）求{an} 的通项公式；（Ⅲ）证明数列是等差数列．【考点】8H：数列递推式；8C：等差关系的确定；8G：等比数列的性质．【分析】（Ⅰ）先利用递推关系式求出a1，a2，a3关于c的表达式，再结合a1，a2，a3成等比数列即可求c的值；（Ⅱ）先利用递推关系式求出an ﹣an﹣1=（n﹣1）c，再利用叠加法得；把（Ⅰ）的结论代入整理后即可求得{an} 的通项公式；（Ⅲ）把前两问的结论相结合求出数列的表达式，再利用等差数列的定义证明即可．【解答】解：（Ⅰ）a1=2，a2=2+c，a3=2+3c，因为a1，a2，a3成等比数列，所以（2+c）2=2（2+3c），解得c=0（舍）或c=2．故c=2；（II）当n≥2时，由于a2﹣a1=c，a3﹣a2=2c，an﹣an﹣1=（n﹣1）c，所以．又a1=2，c=2，故an=2+n（n﹣1）=n2﹣n+2（n=2，3，）．当n=1时，上式也成立，所以an=n2﹣n+2（n=1，2，）；（Ⅲ）；bn+1=n．bn+1﹣bn=1，∴数列是等差数列．【点评】本题主要考查数列递推式以及等差关系的确定问题．是对等差数列和等比数列知识的综合考查，属于中档题目．解决第二问的关键在于求数列通项中叠加法的应用．20．（12分）（2011•广东校级模拟）已知函数f （x ）=sin 2（）+sin （）cos（）﹣．（Ⅰ）求f （x ）的值域；（Ⅱ）若f （x ）（x ＞0）的图象与直线y=交点的横坐标由小到大依次是x 1，x 2…，x n ，求数列{x n }的前2n 项的和．【考点】H4：正弦函数的定义域和值域；8N ：数列与三角函数的综合．【分析】（I ）利用辅助角公式对函数化简可得f （x ）=sinx ，结合正弦函数的性质可求．（II ）由正弦曲线的对称性、周期性可知，，，代入等差数列的前n 项和公式可求．【解答】解：（Ⅰ） ==sinx所以f （x ）的值域为[﹣1，1]（Ⅱ）由正弦曲线的对称性、周期性可知，，∴x 1+x 2+…+x 2n ﹣1+x 2n =π+5π+…（4n ﹣3）π =（2n 2﹣n ）π【点评】本题主要考查了辅助角公式的应用，正弦函数的值域的求解，正弦函数的对称性及周期性的应用，还考查了数列的求和公式的运用．21．（12分）（2017春•黄梅县校级期中）7月份，有一款新服装投入某市场销售．7月1日该款服装仅销售出3件，7月2日售出6件，7月3日售出9件，7月4日售出12件，尔后，每天售出的件数分别递增3件直到日销售量达到最大（只有1天）后，每天销售的件数开始下降，分别递减2件，到7月31日刚好售出3件．（1）问7月几号该款服装销售件数最多？其最大值是多少？（2）按规律，当该商场销售此服装达到200件时，社会上就开始流行，而日销售量连续下降并低于20件时，则不再流行，问该款服装在社会上流行几天？说明理由． 【考点】8I ：数列与函数的综合；8E ：数列的求和．【分析】（1）设7月n 日售出的服装件数为，利用最大项求出K ，然后求出最大值．（2）求出数列的通项公式，数列的前n 项和，推出不等关系式，得到结果即可．【解答】解：（1）设7月n 日售出的服装件数为，为最大．，∴k=13，a k =39，∴7月13日该款服装销售件数最多，最大值为39件．…（6分）（2）设S n 是数列{a n }的前n 项和，∵，（n ∈N *）∴∵S 13=273＞200，∴由1≤n ≤13时，S n ＞200得n ≥12， 由14≤n ≤31时，a n ＜20得n ≥23，∴从7月12日到7月22日共11天该款服装在社会上流行．…（13分）【点评】本题考查数列与函数结合问题，数列前n 项和的应用，数列的函数特征，考查分析问题解决问题的能力．22．（12分）（2014•合肥校级模拟）已知单调递增的等比数列{a n }满足：a 2+a 3+a 4=28，且a 3+2是a 2，a 4的等差中项．（Ⅰ）求数列{a n }的通项公式；（Ⅱ）若b n =a n log a n ，S n =b 1+b 2+b 3+…+b n ，对任意正整数n ，S n +（n+m ）a n+1＜0恒成立，试求m 的取值范围．【考点】8G ：等比数列的性质；8B ：数列的应用；8H ：数列递推式．【分析】（1）设等比数列{an }的首项为a1，公比为q，根据2（a3+2）=a2+a4，可求得a3．进而求得a2+a4=20．两式联立方程即可求得a1和q的值，最后根据等比数列的通项公式求得an．（2）把（1）中的an 代入bn，再利用错位相减法求得Sn，再由Sn+（n+m）an+1＜0恒成立进而求得m的范围．【解答】解：（1）设等比数列{an }的首项为a1，公比为q．依题意，有2（a3+2）=a2+a4，代入a2+a3+a4=28，得a3=8．∴a2+a4=20．∴解之得，或又{an}单调递增，∴q=2，a1=2，∴an=2n，（2）bn=2n•log2n=﹣n•2n，∴﹣Sn=1×2+2×22+3×23++n×2n①﹣2Sn=1×22+2×23++（n﹣1）2n+n•2n+1②①﹣②得，Sn=2+22+23++2n﹣n•2n+1=﹣n•2n+1=2n+1﹣2﹣n•2n+1由Sn +（n+m）an+1＜0，即2n+1﹣2﹣n•2n+1+n•2n+1+m•2n+1＜0对任意正整数n恒成立，∴m•2n+1＜2﹣2n+1．对任意正整数n，m＜﹣1恒成立．∵﹣1＞﹣1，∴m≤﹣1．即m的取值范围是（﹣∞，﹣1]．【点评】本题主要考查等比数列的性质．本题考查了学生综合运算的能力．。

华中师大一附中 2014—2015 学年度第二学期期中检测高一年级数学试题考试限时： 120 分钟卷面满分： 150 分命题人：黄倩审题人：黄进林一、 ：本大 共 12 小 ，每小 5 分，共 60 分。

在每小 出的四个 中，只有一 是 足 目要求的1．数列 3，5 ， 7 ， 9，⋯的一个通 公式2 4 8 16A ． a n( 1) n 2nn 1B ． a n ( 1) n2n n122C ． a n ( 1) n 12n 1 D ． a n ( 1) n 12n 12n2na 8 =16， { a n } 的前 9 和2．等差数列 { a n } 中， a 2 +A ． 56B ． 96C ． 80D ． 723．下列命 中正确的是A ．两两相交的三条直 共面B ．两条相交直 上的三个点可以确定一个平面C ．梯形是平面 形D ．一条直 和一个点可以确定一个平面4．数列 { a n } 足 a 1=0， an 1a n 2， a52015a n24A ． 0B ．4C ． 1D ． 235．下列命 中正确的个数是（ 1）空 中如果两个角的两 分 平行，那么 两个角相等 （ 2）若直 l 与平面 平行， 直 l 与平面 内的直 平行或异面 （ 3） 在两个平行平面 的平行 段相等 （ 4）垂直于同一条 直 的两条直 平行A ． 0B ． 1C ． 2D ． 36．已知 a0 ，不等式 42x 2ax a 20 的解集A ． ( a, a ) B ． ( a , a )C ． ( a, 2a ) D ．7 6 6 77 77．如右 是正方体的平面展开 ， 在 个正方体中N① BM 与 ED 平行② CN 与 BE 是异面直CM ③ CN 与 BM 成 60 角 ④ DM 与 BN 是异面直D以上四个 中，正确 的序号是A ．①②③B ．②④C ．③④ E AD ．①③④16的最小B 8．已知 x0 ， yx 2FxA ． 12B ． 16C ． 20D ． 109．关于 x 的不等式 | x1 | | x 3 | a 23a 的解集 非空数集， 数a 的取 范 是A ． 1 a 2B ． 3 17a3 1722C ． a 1 或 a 2D ． a 1 或 a 210． 1 (1 1 ) (1 1 1 ) (1 1 11) 的2 2 4 2 4 210A ． 18 1B ． 20 1C ． 221D ． 1812 9 21021121011．正 数列 { n } ， 1=1，前 和n 足，aA ． 72B ． 80C ． 90D ． 8212．已知正数 x ,y , z 满足 x2y2z21 ，则 s1 z的最小值为2xyzA ． 3B ． 3( 3 1)C ． 4D ． 2( 2 1)2二、填空题：本大题共4 小题，每小题5 分，共 20 分13．已知实数 x , y 满足 1 x y 4 且 2 x y 3 ，则 2 x 3y 的取值范围是． 14．等差数列 { a } 中， | a 3 | | a 9 | ，公差 dn n 的值是n．15．已知 m a1(a 2) ， n2 b 20) ，则 m , n 之间的大小关系为 ．a 2 (b216．定义“等和数列”：在一个数列中，如果每一项与它的后一项的和都为同一个常数，那么这个数列叫做 等和数列，这个常数叫做该数列的公和。

华中师大一附中2014—2015学年度第二学期期中检测高一年级数学试题考试限时：120分钟 卷面满分：150分 命题人：黄倩 审题人：黄进林一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是满足题目要求的1．数列23，45-，87，169-，…的一个通项公式为A ．n nn n a 212)1(+⋅-= B ．n n n n a 212)1(+⋅-=C ．n nn n a 212)1(1+⋅-=+ D ．n n n n a 212)1(1+⋅-=+2．等差数列{a n }中，a 2 + a 8 =16，则{a n }的前9项和为A ．56B ．96C ．80D ．72 3．下列命题中正确的是A ．两两相交的三条直线共面B ．两条相交直线上的三个点可以确定一个平面C ．梯形是平面图形D ．一条直线和一个点可以确定一个平面4．数列{a n }满足a 1=0，24521--=+n n n a a a ，则=2015aA ．0B ．34C ．1D ．25．下列命题中正确的个数是（1）空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等（2）若直线l 与平面α平行，则直线l 与平面α内的直线平行或异面 （3）夹在两个平行平面间的平行线段相等 （4）垂直于同一条直线的两条直线平行A ．0B ．1C ．2D ．3 6．已知0<a ，不等式04222<-+a ax x 的解集为A ．)6,7(aa - B ．)7,6(a a - C ．)72,7(a a - D ．∅7．如右图是正方体的平面展开图，则在这个正方体中 ①BM 与ED 平行 ②CN 与BE 是异面直线③CN 与BM 成︒60角 ④DM 与BN 是异面直线以上四个结论中，正确结论的序号是A ．①②③B ．②④C ．③④D ．①③④ 8．已知0>x ，则xx y 162+=的最小值为 A ．12 B ．16 C ．20 D ．10 9．关于x 的不等式a a x x 3|3||1|2->---的解集为非空数集，则实数a 的取值范围是 A ．21<<a B ．21732173+<<-a C ．1<a 或2>a D ．1≤a 或2≥a10．)2141211()41211()211(110+++++++++++ΛΛ的值为N M FE D C BAA ．92118+B ．102120+C ．112122+D ．102118+ 11．正项数列{a n }，a 1=1，前n 项和S n 满足)2(2111≥⋅=⋅-⋅---n S S S S S S n n n n n n ，则=10a A ．72 B ．80C ．90D ．8212．已知正数x , y , z 满足1222=++z y x ，则xyz zs 21+=的最小值为A ．3B ．2)13(3+ C ．4 D ．)12(2+ 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分13．已知实数x , y 满足41≤+≤-y x 且32≤-≤y x ，则y x 32-的取值范围是 ．14．等差数列{a n }中，||||93a a =，公差0<d ，则使前n 项和S n 取得最大值的正整数n 的值是 ．15．已知)2(21>-+=a a a m ，)0(222≠=-b n b ，则m , n 之间的大小关系为 ．16．定义“等和数列”：在一个数列中，如果每一项与它的后一项的和都为同一个常数，那么这个数列叫做等和数列，这个常数叫做该数列的公和。

湖北省武汉市华中师范大学第一附属中学2015-2016学年高一下学期期中考试数学1．已知是等差数列,,则的公差A.-B.-C.-D.-2．若为实数,下列结论正确的是A.若,则B.若则C.若则D.若则3．关于的方程有两个不等的实根,则的取值范围是A.(,＋)B.(,)C.[,＋)D.(,0)∪(0,＋)4．在Δ中,角的对边分别是,若,则Δ解的情况是A.无解 B.有一解 C.有两解 D.有无数个解5．设等比数列的前项和为,若则=A. B. C. D.6．若某几何体的三视图(单位:cm)如图所示,则此几何体的体积是A.cm3B.cm3C.cm3D.cm37．已知圆锥的底面直径为且它的侧面展开图是一个半圆,则圆锥的表面积为A.1B.2C.3D.48．在Δ中,的角平分线,则A.2B.C.D.9．设, 对于使成立的所有常数M中，我们把M的最小值1叫做的上确界. 若，且，则的上确界为A. B. C. D.10．某旅行社租用两种型号的客车安排900名客人旅行,两种车辆的载客量分别为36人和60人,租金分别为1200元/辆和1800元/辆,旅行社要求租车总数不超过21辆,且型车不多于型车7辆．则租金最少为A.23400元B.27000元C.27600元D.28800元11．关于的不等式的解集为,这三个数可适当排序后成等差数列,也可适当排序后成等比数列,则的值等于A.6B.7C.8D.912．在Δ中,,边上的中线长为9,当Δ的面积最大时,的长为A. B. C. D.13．锐角中,角的对边分别是,,,的面积为, 则边．14．Rhind Papyrus是世界上最古老的数学著作之一,书中有一道这样的题目:把10磅面包分给5个人,使每人所得成等差数列,且使较大的三份之和的是较小的两份之和,则最小1份为磅．15．实数满足如果目标函数的最小值为,则实数的值为______. 16．已知数列中,,),记,若,则.17．已知是由正数组成的等比数列,,且成等差数列．(1)求数列的通项公式;(2)数列的前项和为,若,求实数的值．18．如图,旅客从某旅游区的景点A处下山至C处有两种路径．一种是从A沿直线步行到C,另一种从A沿索道乘缆车到B,然后从B沿直线步行到C.现有甲、乙两位游客从A处下山,甲沿AC匀速步行,速度为50米/分钟,在甲出发2分钟后,乙从A乘缆车到B,再从B匀速步行到C.假设缆车匀速直线运动的速度为130米/分钟,山路AC长1260米,经测量,．(1)求索道AB的长;(2)问乙出发多少分钟后,乙在缆车上与甲的距离最短?19．(1)已知,求的最小值．(2)已知,比较与的大小,并说明理由．20．已知是由正数组成的数列,其前项和与之间满足:．(1)求数列的通项;(2)设,求数列的前项和．21．如图,在△中,点在边上,.(1)求的长;(2)求△的面积．22．已知数列中,,数列的前项和为．(1)若,求;(2)是否存在等比数列,使对任意恒成立?若存在,求出所有满足条件的数列的通项公式;若不存在,说明理由;(3)若求证:．参考答案1.C【解析】本题考查等差数列的通项公式.因为,所以,.选C. 【备注】要牢记公式.2.B【解析】本题考查不等关系与不等式.对A,,但,排除A;对B, 若则,B正确；对C, 若则,排除C;对D, 若则,排除D.所以选B.【备注】逐个验证,一一排除.3.D【解析】本题考查一元二次不等式.由题意知,,解得,，且.所以的取值范围是(,0)∪(0,＋).选D.4.A【解析】本题考查解三角形.因为，所以，所以构不成Δ的两边,所以Δ解的情况是无解.选A.5.B【解析】本题考查等比数列的性质.由得,，所以,所以.选B. 【备注】等比数列中，.6.D【解析】本题考查简单几何体的三视图,空间几何体的体积.由图知,该简单几何体是由上面圆台和下面半圆球组成.圆台体积：,半圆球体积：,所以此几何体的体积是.选D.【备注】三视图问题要会看会算.7.A【解析】本题考查圆锥的侧面积和表面积公式.由题意知,圆锥的底面周长为,因为圆锥的侧面展开图是一个半圆,所以圆锥的母线长为,所以圆锥的表面积为.选A.8.C【解析】本题考查正弦定理的应用.由正弦定理知,,因为，所以,所以，所以,所以,所以.选C.【备注】正弦定理：.9.D【解析】本题主要考查基本不等式的应用.∵，且，∴，(当且仅当，∴的上确界为，故选D.10.C【解析】本题考查线性规划问题.设分别租用两种型号的客车辆，租金为z元；由题意得，目标函数；画出可行域(如图三角形ABC所示)，,；当过点时,z取得最小值27600.选C.【备注】体会数形结合思想.11.D【解析】本题主要考查等差中项、等比中项及三个一元二次的关系等基础知识,意在考查考生对基本概念的灵活运用能力及运算求解能力.根据三个一元二次的关系知:为方程的两个实根;由韦达定理得:;由于三个数互不相等,而公差不为0的等差数列必有单调性,所以:;而异号的两个数没有等比中项,所以:;将以上两个式子联立可得:;所以:.故选D.12.D【解析】本题考查解三角形.如图,取的中点D,连接,Z则;令,,则;在Δ中,由余弦定理得=,可得;所以==,当时,取得最大值,此时.选D.【备注】余弦定理:.三角形的面积公式:.13.【解析】本题考查余弦定理,三角形的面积公式.由题意得==,所以=,=;由余弦定理得=,所以边. 【备注】余弦定理:,三角形的面积公式.14.【解析】本题考查数列的通项与求和.令等差数列为;由题意得,即,即,即;,即; 联立解得.即最小1份为磅.【备注】等差数列中,.15.【解析】本题考查简单的线性规划问题.画出可行域(如图三角形ABC所示),,,;当过点时,取得最小值,即,解得.【备注】体会数形结合思想.16.【解析】本题考查数列的通项与求和.当时,,,,,,所以,解得;当时,,,,,,,,所以,解得.所以若,则.【备注】体会分类讨论思想,找出规律是关键.17.(1)成等差数列,,;(2)=【解析】本题考查等差、等比数列,分组求和. (1)由等差、等比数列的性质列出等式,可求得; (2)分组求和可得.【备注】等差数列中，；等比数列中，.18.(1)在Δ中,,,由正弦定理米.所以索道AB的长为1040m．(2)假设乙出发t分钟后,甲、乙两游客距离为d,此时,甲行走了(100+50t)m,乙距离A处130t m,.当分时,甲乙的距离最短.【解析】本题考查解三角形. (1)在中,由正弦定理得米.(2),由二次函数的性质可得当分时,甲乙的距离最短.【备注】理解题意,列出表达式是关键.19.(1)等号成立.的最小值为(2)；.【解析】本题考查基本不等式.套用基本不等式可得.【备注】注意等号成立的条件.20.(1),,两式相减有,化简有,,(2),,,.【解析】本题考查数列的通项与求和. (1)由求得; (2)采用错位相减法可得.【备注】掌握数列求和的两种方法：“裂项相消法”、“错位相减法”.21.(1) 在Δ中,∵,设,则．在△中,∵,．在Δ中,由余弦定理有．,,解得．所以的长为.(2)由(1)得．．．【解析】本题考查正余弦定理,三角形的面积公式. (1)由余弦定理有,解得，所以的长为.(2).【备注】正弦定理:;余弦定理:.22.(1),.(2)满足条件的数列有且只有两个,其通项公式为或令设,,当时,,满足条件或(3)因,,于是,,.【解析】本题考查数列的通项与求和.(1)套用等比数列的通项公式可得.(2)满足条件的数列有两个,其通项公式为或(3)放缩可得,≤=,【备注】牢记数列公式,灵活运用放缩法.。

华中师大一附中2018—2019学年度下学期高一期中检测数 学 试 题第I 卷（选择题，共60分)一、选择题：(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．如果0a b <<，那么下列不等式中正确的是A ．22a b > B ．2ab a > C ．2b ab > D ．||||a b < 【答案】A【详解】对于A 选项，，A 选项正确．令．对于C 选项，所以C 选项错误．对于B 选项，，故B 选项错误．对于D 选项，，故D 选项错误．综上所述，本小题选A ． 2．若函数()sin(2)f x x φ=+为R 上的偶函数，则φ的值可以是 A ．4π-B ．4π C ．2πD ．π 【答案】C3．若||2cos75,||4cos15a b ==，a 与b 的夹角为30，则a b ⋅的值是 A ．23 B ．3 C ．12 D ．32【答案】B【解析】由题意可得：||•||•cos，2sin15°4cos15°cos30°＝2sin60°，故选：B ．4．已知等比数列{}n a 的公比2q =，且123,1,a a a +成等差数列，则其前5项和为 A ．32 B ．30 C ．64 D ．62 【答案】D【解析】a 1，a 2+1，a 3成等差数列，∴2（a 2+1）＝a 1+a 3， ∴2（2a 1+1）＝a 1（1+22），解得a 1＝2；则其前5项和S 562；故选：D ．5．现存入银行a 万元，年利率为2.50%，若采用1年期自动转存业务，则恰好满5年后的本金和利息共有( )万元A ．31.025a ⨯ B ．41.025a ⨯ C ．51.025a ⨯ D ．61.025a ⨯ 【答案】C【解析】存入银行a 万元，年利率为2．50%，若采用1年期自动转存业务，第一年末的本利和为 1.025a ⨯万元，第二年末的本利和为21.025a ⨯万元，第三年末的本利和为31.025a ⨯万元，依次下去，第5年末的本利和为51.025a ⨯万元，答案选C6．已知向量,a b 满足()2a b a ⋅+=，且(1,2)a =，则向量b 在a 方向上的投影为A ．3- BC． D． 【答案】D【解析】由(1,2)a =，可得5a =，()2a b a ⋅+=，可得22a b a ⋅+=，∴3a b ⋅=-，∴向量b 在a 方向上的投影为35a b ⋅=-D ．7．数列{}n a 为等差数列，n S 是其前n *()n N ∈项的和，若7143S π=，则4sin()2a π+=A ．12 B ．12-CD ．．8lg 2C =，则ABC ∆的形状是A ．直角三角形B ．等边三角形C ．不能确定D ．等腰三角形 【答案】D 【解析】sin sin lglg 2,2,sin 2cos sin cos sin cos sin A AA B C B C B C===，sin()2cos sin ,sin cos cos sin 0,B C B C B C B C +=-=sin()0,B C B C -==，等腰三角形．9．已知数列{}n a 满足12211111(1)(1)(1)(1)n na a a a a -⋅-⋅-⋅⋅-=（*n N ∈），则数列{}n a 的通项公式为A ．1n a n =+B ．n a n =C ．21n a n =-D 【答案】1)(1)n a -=111)(1)(1)n a --=-11)(1)n a -11(n n -=≥1的等差数列．于是10.,，数列数列{}n b 前n 项的和为n S ，若关于t 的不等式23n S t t <-*()n N ∈恒成立，则实数t 的取值范围为A ．(,1][4,)-∞-+∞B ．(,1)(4,)-∞-+∞C ．(1,4)-D ．[1,4]-12n n ++= 11n n ++-+11的最小值是4；②若0,2a b >>且3a b +=，则③已知n S 是等差数列{}n a 的前，则数列{}n S 中的最大项为11S ；④在ABC ∆中，若2ab c >其中正确的个数是A ．1B ．2C ．3D ． 4123(,,,,,)n A a a a a =(n N ∈列2431,,,,)n n a a a a a +--(括号中的第(2,2,2,2,)，且1a C ．48【解析】设序列A 的首项为d ，则序列(,1,2,)A d d d =++，则它的第n 项为1d n +-，因此序列A 的第n 项12111()()=(2)(4)(22)n n n a a a a a a a d d d d n -=+-+-++++++++-=1(1)(2)(1)a n d n n +-+--，则n a 是关于n 的二次多项式，其中2n 的系数为1，因为151,15a a =-=，所以1d =，则81(1)(2)(1)1742=48a a n n n =+-+--=-++或逆推可以或解方程点睛：本题主要考查数列的概念和表示，属于中档题。

2016-2017学年湖北省华中师大一附中高一（下）期中数学试卷一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知等比数列{a n}满足：a3•a7=，则cosa5=（）A．B．C．± D．±2．△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，a=，b=，B=45°，则角C的大小为（）A．15° B．75° C．15°或75°D．60°或120°3．已知向量=（﹣1，2），=（3，1），=（k，4），且（﹣）⊥，则•（+）=（）A．（2，12） B．（﹣2，12）C．14 D．104．已知数列{a n}的通项为a n=，则满足a n+1＜a n的n的最大值为（）A．3 B．4 C．5 D．65．△ABC的三内角A，B，C所对边的长分别为a，b，c．设向量=（a+c，b），=（b﹣a，c﹣a），若向量∥，则角C的大小是（）A．B．C．D．6．等差数列{a n}的前n项和为S n，已知a5=8，S3=6，则S10﹣S7的值是（）A．24 B．48 C．60 D．727．已知=（1，﹣1），=﹣， =+，若△OAB是以点O为直角顶点的等腰直角三角形，则△OAB的面积为（）A．2 B．4 C．2 D．8．一个正整数数表如表所示（表中下一行中数的个数是上一行中数的个数的2倍），则第9行中的第6个数是（）A．132 B．261 C．262 D．5179．在△ABC中，三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知2acosB=c，且满足 sinAsinB（2﹣cosC）=sin2+，则△ABC为（）A．锐角非等边三角形 B．等边三角形C．等腰直角三角形D．钝角三角形10．在△ABC中，AB=2，BC=3，∠ABC=60°，AD为BC边上的高，O为AD的中点，若，则λ+μ=（）A．1 B．C．D．11．设数列{a n}满足a1=2，a n+1=1﹣，记数列{a n}的前n项之积为T n，则T2018=（）A．1 B．2 C．D．12．已知△ABC周长为6，a，b，c分别为角A，B，C的对边，且a，b，c成等比数列，则•的取值范围为（）A． C．（2﹣cosC）=1﹣cosC，∴﹣（﹣cosC﹣1）（2﹣cosC）=1﹣cosC，即（cosC+1）（2﹣cosC）=2﹣cosC，整理得：cos2C﹣2cosC=0，即cosC（cosC﹣2）=0，∴cosC=0或cosC=2（舍去），∴C=90°，则△ABC为等腰直角三角形．故选：C．10．在△ABC中，AB=2，BC=3，∠ABC=60°，AD为BC边上的高，O为AD的中点，若，则λ+μ=（）A．1 B．C．D．【考点】97：相等向量与相反向量．【分析】通过解直角三角形得到BD=BC，利用向量的三角形法则及向量共线的充要条件表示出利用向量共线的充要条件表示出，根据平面向量就不定理求出λ，μ值．【解答】解：在△ABD中，BD==1又BC=3所以BD=∴∵O为AD的中点∴∵∴∴故选D11．设数列{a n}满足a1=2，a n+1=1﹣，记数列{a n}的前n项之积为T n，则T2018=（）A．1 B．2 C．D．【考点】8H：数列递推式．【分析】依题意，数列{a n}是以4为周期的函数数列，可求得a1•a2•a3•a4=a5•a6•a7•a8=…=a2013•a2014•a2015•a2016=1，从而可得答案．【解答】解：∵a1=2，a n+1=1﹣，∴a2==，a3==﹣，a4==﹣3，a5==2，…即a n+4=a n，∴数列{a n}是以4为周期的函数，又a1•a2•a3•a4=a5•a6•a7•a8=…=a2005•a2006•a2007•a2008=1，T n为数列{a n}的前n项之积，∴T2018=（a1•a2•a3•a4）•（a5•a6•a7•a8）…（a2013•a2014•a2015•a2016）•a2017•a2018=a1•a2==，故选：D．12．已知△ABC周长为6，a，b，c分别为角A，B，C的对边，且a，b，c成等比数列，则•的取值范围为（）A． C．上单调递减，从而…．（2）∵，∴与夹角为0或π，…又∵k＞0，∴…20．如图，某小区准备将闲置的一直角三角形地块开发成公共绿地，图中．设计时要求绿地部分（如图中阴影部分所示）有公共绿地走道MN，且两边是两个关于走道MN对称的三角形（△AMN和△A'MN）．现考虑方便和绿地最大化原则，要求点M与点A，B均不重合，A'落在边BC上且不与端点B，C 重合，设∠AMN=θ．（1）若，求此时公共绿地的面积；（2）为方便小区居民的行走，设计时要求AN，A'N的长度最短，求此时绿地公共走道MN的长度．【考点】HU：解三角形的实际应用．【分析】（1）由题意可知A=，故△AMN为等边三角形，根据BM与AM的关系得出AM，代入面积公式计算；（2）用θ表示出AM，利用正弦定理得出AN关于θ的函数，利用三角恒等变换求出AN取得最小值对应的θ值，再计算MN的长．【解答】解：（1）∵△AMN≌△A'MN，∴∠AMN=∠A′MN=，∴∠BMA′=，∴BM=A′M=AM．∴AM==，∵AB=a，BC=，∠B=，∴∠A=，∴△AMN是等边三角形，∴S=2S△AMN=2×=．（2）∵∠BMA′=π﹣2θ，AM=A′M，∴BM=A′Mcos∠BMA′=﹣AMcos2θ．∵AM+BM=a，即AM（1﹣cos2θ）=a，∴AM==．在△AMN中，由正弦定理可得：，∴，令f（θ）=2sinθsin（﹣θ）=2sinθ（cosθ+sinθ）=sin2θ+=sin（2θ﹣）+．∵，∴当即时f（θ）取最大值，∴当θ=时AN最短，此时△AMN是等边三角形，．21．已知数列{a n}满足（n∈N*），a1=1．（1）证明：数列为等差数列，并求数列{a n}的通项公式；（2）若记b n为满足不等式的正整数k的个数，数列{}的前n项和为S n，求关于n的不等式S n＜4032的最大正整数解．【考点】8E：数列的求和；8H：数列递推式．【分析】（1）对条件式取倒数，移项即可得出﹣=，故而数列为等差数列，利用等差数列的通项公式求出即可得出a n；（2）根据不等式得出b n，利用错位相减法求出S n，从而得出S n＜4032的最大正整数解．【解答】解：（1）∵，∴﹣=1，即﹣=，又=1，∴{}是以1为首项，以为公差的等差数列，∴=1+（n﹣1）=n+，∴a n=．（2）∵（）n＜a k≤（）n﹣1，即（）n＜≤（）n﹣1，∴2n﹣1＜k≤2n+1﹣1，∴b n=2n+1﹣1﹣（2n﹣1）=2n，∴=（n+1）2n﹣1，∴S n=2•20+3•21+4•22+…+（n+1）•2n﹣1，∴2S n=2•2+3•22+4•23+…+（n+1）•2n，两式相减得：﹣S n=2+2+22+…+2n﹣1﹣（n+1）•2n=2+﹣（n+1）•2n，=﹣n•2n，∴S n=n•2n．∵S n+1﹣S n=（n+1）•2n+1﹣n•2n=（n+2）•2n＞0，∴{S n}单调递增，又S8=2048＜4032，S9=4608＞4032，∴关于n的不等式S n＜4032的最大正整数解为8．22．已知数列{a n}满足a1=1，点（a n，a n+1）在直线y=2x+1上．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）若数列{b n}满足b1=a1， =+…+（n≥2且n∈N*），求b n+1a n﹣（b n+1）a n+1的值；（3）对于（2）中的数列{b n}，求证：（1+b1）（1+b2）…（1+b n）＜b1b2…b n（n∈N*）．【考点】8K：数列与不等式的综合；8H：数列递推式．【分析】（1）利用点（a n，a n+1）在直线y=2x+1上，可得a n+1+1=2（a n+1），从而可得{a n+1}是以2为首项，2为公比的等比数列，由此可求数列的通项公式；（2）确定=+，即可求b n+1a n﹣（b n+1）a n+1的值；（3）由（2）可知，（n≥2），b2=a2，证明…＜即可．【解答】（1）解：∵点（a n，a n+1）在直线y=2x+1上，∴a n+1+1=2（a n+1）∴{a n+1}是以2为首项，2为公比的等比数列∴a n=2n﹣1；（2）解：∴=+∴b n+1a n﹣（b n+1）a n+1=0n=1时，b2a1﹣（b1+1）a2=﹣3；（3）证明：由（2）可知，（n≥2），b2=a2∴…=…=••…=2=2（+…+）∵k≥2时，∴+…+=+…+＜1+2=1+2（）＜∴…＜∴．2017年7月4日。

华中师大一附中2014—2015学年度第二学期期中检测高一年级数学试题考试限时：120分钟 卷面满分：150分 命题人：黄倩 审题人：黄进林一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是满足题目要求的1．数列23，45-，87，169-，…的一个通项公式为A ．n nn n a 212)1(+⋅-= B ．n n n n a 212)1(+⋅-=C ．n nn n a 212)1(1+⋅-=+ D ．n n n n a 212)1(1+⋅-=+2．等差数列{a n }中，a 2 + a 8 =16，则{a n }的前9项和为A ．56B ．96C ．80D ．72 3．下列命题中正确的是A ．两两相交的三条直线共面B ．两条相交直线上的三个点可以确定一个平面C ．梯形是平面图形D ．一条直线和一个点可以确定一个平面4．数列{a n }满足a 1=0，24521--=+n n n a a a ，则=2015aA ．0B ．34C ．1D ．25．下列命题中正确的个数是（1）空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等（2）若直线l 与平面α平行，则直线l 与平面α内的直线平行或异面 （3）夹在两个平行平面间的平行线段相等 （4）垂直于同一条直线的两条直线平行A ．0B ．1C ．2D ．3 6．已知0<a ，不等式04222<-+a ax x 的解集为A ．)6,7(aa - B ．)7,6(a a - C ．)72,7(a a - D ．∅7．如右图是正方体的平面展开图，则在这个正方体中 ①BM 与ED 平行 ②CN 与BE 是异面直线③CN 与BM 成︒60角 ④DM 与BN 是异面直线 以上四个结论中，正确结论的序号是A ．①②③B ．②④C ．③④D ．①③④8．已知0>x ，则xx y 162+=的最小值为 A ．12 B ．16 C ．20 D ．10 9．关于x 的不等式a a x x 3|3||1|2->---的解集为非空数集，则实数a 的取值范围是 A ．21<<a B ．21732173+<<-a C ．1<a 或2>a D ．1≤a 或2≥a10．)2141211()41211()211(110+++++++++++ 的值为N M F E DC B AA ．92118+B ．102120+C ．112122+D ．102118+ 11．正项数列{a n }，a 1=1，前n 项和S n 满足)2(2111≥⋅=⋅-⋅---n S S S S S S n n n n n n ，则=10a A ．72 B ．80C ．90D ．8212．已知正数x , y , z 满足1222=++z y x ，则xyz zs 21+=的最小值为A ．3B ．2)13(3+ C ．4 D ．)12(2+ 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分13．已知实数x , y 满足41≤+≤-y x 且32≤-≤y x ，则y x 32-的取值范围是 ．14．等差数列{a n }中，||||93a a =，公差0<d ，则使前n 项和S n 取得最大值的正整数n 的值是．15．已知)2(21>-+=a a a m ，)0(222≠=-b n b ，则m , n 之间的大小关系为 ．16．定义“等和数列”：在一个数列中，如果每一项与它的后一项的和都为同一个常数，那么这个数列叫做等和数列，这个常数叫做该数列的公和。

2020-2021学年湖北省武汉市华中师大一附中高一（下）期中数学试卷一、单选题（本大题共8小题，共40.0分）1. 《九章算术》是中国古代的第一部自成体系的数学专著．其中卷五记载：“今有刍甍，下广三丈，表四丈，上袤二丈，无广，高一丈．问积几何？”问题即为：今有如图所示的屋脊状楔体PQ −ABCD ，下底面ABCD 是矩形，假设屋脊没有歪斜，即PQ 中点R 在底面ABCD 上的投影为矩形ABCD 的中心O ，PQ//AB ，AB =4，AD =3，PQ =2，OR =1(长度单位：丈).则楔体PQ −ABCD 的体积为( )(体积单位：立方丈)A. 10B. 8C. 6D. 52. 已知向量a ⃗ =(2,0)，b ⃗ =(1,1)，若向量a ⃗ 与向量a ⃗ −λb ⃗ 垂直，则实数λ=( )A. 12B. 1C. 2D. 33. 设△ABC 内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知b =4，c =3，A =π3，∠BAC 的平分线交边BC 于点D ，则线段AD 的长度为( )A. 9√37B. 12√37C. 6√37D. 5√3144. 若△ABC 内接于以O 为圆心，1为半径的圆，且3OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +4OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +5OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0⃗ ，则OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC⃗⃗⃗⃗⃗ =( )A. −85B. 85C. −45D. 455. 已知D ，E 分别为△ABC 的边AB ，AC 上的点，线段BE 和线段CD 相交于点P ，若AD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，且DP ⃗⃗⃗⃗⃗ =λPC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，CE ⃗⃗⃗⃗⃗ =μEA ⃗⃗⃗⃗⃗ ，其中λ>0，μ>0，则1λ+1μ的最小值为( ) A. 2√3 B. 4 C. 4√3 D. 66. 在劳动技术课上，某同学欲将一个底面半径为4，高为6的实心圆锥体工件切割成一个圆柱体，并使圆柱体的一个底面落在圆锥体的底面内，若不考虑损耗，则得到的圆柱体的最大体积是( )A.64π27B.128π27C.64π9D.128π97. 复数z =(1−i 1+i )3(i 为虚数单位)，则其共轭复数z −的虚部为( )A. −1B. −iC. 1D. i8. 《掷铁饼者》是希腊雕刻家米隆于约公元前450年雕刻的青铜雕像，它取材于现实生活中的体育竞技活动，刻画的是一名强健的男子在掷铁饼过程中最具有表现力的瞬间．现在把掷铁饼者张开的双臂近似看成一张拉满弦的“弓”，掷铁饼者的每只手臂长约π4m ，肩宽约为π8m ，“弓”所在圆的半径约为1.25m ，则如图掷铁饼者双手之间的距离约为( )A. π2mB. 5√24mC.5π8mD. 2m二、多选题（本大题共4小题，共20.0分）9. “阿基米德多面体”也称为半正多面体(semi −regularsolid)，是由边数不全相同的正多边形为面围成的多面体，它体现了数学的对称美．如图所示，将正方体沿交于一顶点的三条棱的中点截去一个三棱锥，共可截去八个三棱锥，得到八个面为正三角形、六个面为正方形的一种半正多面体．已知AB =√2，则关于如图半正多面体的下列说法中，正确的有( )A. 该半正多面体的体积为203B. 该半正多面体过A ，B ，C 三点的截面面积为3√32C. 该半正多面体外接球的表面积为8πD. 该半正多面体的顶点数V 、面数F 、棱数E 满足关系式V +F −E =210. 在复平面内，复数z 1，z 2对应的向量分别是OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ,OB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，其中O 是原点，i 为虚数单位，则下列判断中正确的有( ) A. 若z 1=z 2，则|OA ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ | B. 若|OA ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |，则z 1=z 2 C. 若z 1=z 2i ，则OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0 D. 若OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0，则z 1=z 2i11. 已知△ABC 的内角分别为A ，B ，C ，满足sinA ：sinB ：sinC =ln2：ln4：lnt(t >0)，且CA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CB ⃗⃗⃗⃗⃗ =m AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 2(m ∈R)，则以下说法中正确的有( )A. 若△ABC 为直角三角形，则t =2√5B. 若m =18，则△ABC 为等腰三角形C. 若t =4，则△ABC 的面积为√154ln 22D. 若C >π2，则−29<m <012. 已知向量a ⃗ =(sin(x −π6),√3sinx)，b ⃗ =(cos(x −π6),−sinx)，函数f(x)=a ⃗ ⋅b ⃗ +√32,x ∈R ，则下列结论正确的为( )A. f(π3−x)=−f(π3+x) B. f(x)的最小正周期为πC. f(x)的最大值为1+√32D. f(x)的图象关于直线x =π12对称三、单空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 轴截面是等边三角形的圆锥，即底面圆直径与母线相等的圆锥叫做等边圆锥(Equilateralcone)，它外观看着舒适，且具有稳定的性质，生活中应用广泛，例如冰激凌、沙漏等呈等边圆锥状．已知一等边圆锥的底面圆直径为6，在该圆锥内放置一个棱长为a 的正四面体，且正四面体在该圆锥内可以任意转动，则a 的最大值为______．14. 设复数z =r(cosθ+isinθ)(r >0,0≤θ<2π)，其中i 为虚数单位，若z 满足z 2+z +1=0，则tanθ=______．15. 已知|a⃗ |=3，e ⃗ =(1,0)，向量a ⃗ 与向量e ⃗ 的夹角为2π3，则向量a ⃗ 在向量e ⃗ 方向上的投影向量的坐标为______．16. 已知锐角△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若a 2+b 2=2c 2，则cosC的取值范围为______．四、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17. 如图，在正方形ABCD 中，AB =2，AE ⃗⃗⃗⃗⃗=12AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，P 为以A 为圆心、AB 为半径的圆弧BD ⏜上的任意一点(包括B ，D 两点)． (1)求AP ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PB ⃗⃗⃗⃗⃗ 的最大值；(2)设向量AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =λDE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +μAP ⃗⃗⃗⃗⃗ (λ>0,μ>0)，若λ+μ=2，求凸四边形PABC 的面积．18. 设z 1是虚数，z 2=z 1+1z 1是实数，且|z 2|≤1．(1)求|z 1|的值；(2)求z 1的实部的取值范围．19. “精准扶贫，修路先行”，为解决城市A 和山区B 的物流运输问题，方便B 地的农产品运输到城市A 交易，计划在铁路AD 间的某一点C 处修建一条笔直的公路到达B 地．示意图如图所示，AB =30√10千米，BD =30√2千米，∠BDA =45°．已知农产品的铁路运费为每千米1百元，公路运费为每千米2百元，农产品从B 到A 的总运费为y 百元．为了求总运费y 的最小值，现提供两种方案建立函数关系，方案1：设AC =x 千米；方案2：设∠BCD =θ．(1)试将y 分别表示为关于x 、θ的函数关系式y =f(x)和y =g(θ)； (2)请只选择一种方案，求出总运费y 的最小值以及此时AC 的长度．20. 在①acosC +√3asinC −b −c =0；②(sinB −sinC)2=sin 2A −sinBsinC ；③2cosA(ccosB +bcosC)=a 这三个条件中任选一个，补充在下面问题的横线上，并加以解答．问题：△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且满足______． (1)求A ；(2)若a =3，且向量m ⃗⃗⃗ =(1,sinB)与n ⃗ =(2,sinC)共线，求△ABC 的周长．21. 已知函数f(x)=sin(ωx +φ)(ω>0,|φ|<π2).(1)若f(x)满足f(π4−x)=−f(π4+x)，f(−π2−x)=f(x)，且f(x)在区间(0,π8)上为单调函数，试求ω的最大值；(2)若直线y =ω(0<ω<1)与f(x)的图象相交，将其中三个相邻的交点从左到右依次记为A ，B ，C ，且满足AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =n BC ⃗⃗⃗⃗⃗ .当φ=π8时，函数f(x)在区间[−πω+1,πω+1]上单调递增，试求ω的取值范围．22.已知长方体ABCD−A1B1C1D1全部棱长的和为28，其外接球的表面积为17π，过A1、C1、B三点的平面截去长方体的一个角后，得到如图所示的几何体ABCD−A1C1D1，且这个几何体的体积为10．(1)求棱AA1的长；(2)求几何体ABCD−A1C1D1的表面积．答案和解析1.【答案】D【解析】解：由题意，分别过点P，Q作平面ABCD的垂直平面，如图所示，则可以把楔体PQ−ABCD分成一个三棱柱GHQ−EFP和两个四棱锥P−AEFD，Q−GBCH，三棱柱GHQ−EFP的体积为V1=12×3×1×2=3，四棱锥P−AEFD和Q−GBCH的体积均为V2=13×1×32×2=1，故楔体PQ−ABCD的体积为V=V1+2V2=5．故选：D．由题意，把楔体PQ−ABCD分成一个三棱柱和两个四棱锥，求解即可．本题考查了空间几何体体积的求解，棱柱和棱锥体积公式的运用，属于中档题．2.【答案】C【解析】解：∵向量a⃗=(2,0)，b⃗ =(1,1)，∴a⃗−λb⃗ =(2−λ,−λ)，∵向量a⃗与向量a⃗−λb⃗ 垂直，∴a⃗⋅(a⃗−λb⃗ )=2(2−λ)=0，解得实数λ=2．故选：C．由向量坐标运算法则求出a⃗−λb⃗ ，再由向量a⃗与向量a⃗−λb⃗ 垂直，利用向量垂直的性质列出方程，能求出实数λ．本题考查实数值的求法，考查向量坐标运算法则、向量垂直的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．3.【答案】B【解析】解：由题意和余弦定理可得BC =√42+32−2×4×3×12=√13，由角平分线性质定理可得BD ：DC =3：4，∴BD =33+4BC =3√137， 由余弦定理知BD 2=AB 2+AD 2−2AB ⋅ADsin π6=9+AD 2−6AD ×√32，∴(3√137)2=9+AD 2−3√3AD ，整理可得AD 2−3√3AD +9×3649=0，解得AD =12√37或AD =9√37(舍去，不满足两边之和大于第三边)．故选：B ．由题意和余弦定理可得BC ，进而由角平分线性质定理可得BD ，然后由余弦定理可得关于AD 的一元二次方程，解方程验证可得． 本题主要考查余弦定理及其应用，属于基础题．4.【答案】A【解析】解：因为3OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +4OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +5OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0⃗ ， 所以3OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +5OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =−4OB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ， 所以(3OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +5OC ⃗⃗⃗⃗⃗ )2=(−4OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )2，即9+30OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OC ⃗⃗⃗⃗⃗ +25=16，所以OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =−35， 而OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC⃗⃗⃗⃗⃗ ， 所以OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅(OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ )=−35，即OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =−35−|OA ⃗⃗⃗⃗⃗ |2=−85． 故选：A ．易知3OA⃗⃗⃗⃗⃗ +5OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =−4OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，将其两边平方，再结合平面向量数量积的运算法则，展开运算，即可得解．本题考查平面向量在几何中的应用，熟练掌握平面向量的线性和数量积的运算法则是解题的关键，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．5.【答案】A【解析】解：由AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，得AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =23AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ， 由DP ⃗⃗⃗⃗⃗ =λPC⃗⃗⃗⃗⃗ ，得DP ⃗⃗⃗⃗⃗ =λλ+1DC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，由CE ⃗⃗⃗⃗⃗ =μEA ⃗⃗⃗⃗⃗ ，得AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(μ+1)AE ⃗⃗⃗⃗⃗ ， AP⃗⃗⃗⃗⃗ =AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +DP ⃗⃗⃗⃗⃗ =23AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +λλ+1DC⃗⃗⃗⃗⃗ =23AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +λλ+1(AC⃗⃗⃗⃗⃗ −AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ) =23AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +λλ+1[(μ+1)AE ⃗⃗⃗⃗⃗ −23AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ]=23×1λ+1AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +λ(μ+1)λ+1AE ⃗⃗⃗⃗⃗ ，因为B ，P ，E 三点共线，所以23×1λ+1+λ(μ+1)λ+1=1，所以λμ=13，所以1λ+1μ=λ+μλμ=3(λ+μ)≥3×2√λμ=2√3，当且仅当λ=μ=√33时取等号．故选：A ．由AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，由DP ⃗⃗⃗⃗⃗ =λPC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，由CE ⃗⃗⃗⃗⃗ =μEA ⃗⃗⃗⃗⃗ ，AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =23×1λ+1AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +λ(μ+1)λ+1AE ⃗⃗⃗⃗⃗ ，利用共线可得23×1λ+1+λ(μ+1)λ+1=1，进而可求结果．本题考查平面向量的运算，及三点共线问题和基本不等式的运用，属中档题．6.【答案】D【解析】解：设圆柱的半径为r ，高为x ，体积为V ，由题意可得，PS =6，PB =4，OA =r ，OP =x ， 则r4=6−x 6，则x =6−32r ，所以圆柱体的体积为V(x)=πr 2(6−32r)(0<r <4)，则V(r)=169π⋅34r ⋅34r(6−32r)≤16π9⋅(34r+34r+6−32r3)3=128π9，当且仅当34r =6−32r ，即r =83时取等号， 所以圆柱的最大体积为128π9．故选：D ．根据条件求出圆柱的体积，利用基本不等式研究函数的最值即可．本题考查了空间几何体体积最值的求解，主要考查了圆柱体积的求解，涉及了柯西不等式求解最值的应用，属于中档题．7.【答案】A【解析】解：z=(1−i1+i )3=[(1−i)2(1−i)(1+i)]3=[−2i2]3=−i，所以虚部为−1，故选：A．将复数分母实数化，可得z=−i，求出复数的虚部．本题考查复数的运算性质的应用，属于基础题．8.【答案】B【解析】解：由题得：弓所在的弧长为：l=π4+π4+π8=5π8(其中弧EF为肩宽)，所以其所对的圆心角α=5π854=π2，∴两手之间的距离d=2Rsinπ4=2×54×√22=5√24m.故选：B．由题分析出这段弓所在弧长，结合弧长公式求出其所对圆心角，双手之间的距离为其所对弦长．本题主要考查圆心角，弧长以及半径之间的基本关系，关键在于读懂题目，能提取出有效信息，是基础题．9.【答案】ACD【解析】【分析】本题主要考查多面体的性质，空间想象能力的培养，欧拉公式及其应用等知识，属于中等题．根据几何体的体积公式判断A，作出截面即可判断B，根据外接球为正四棱柱可以判断C，证明欧拉定理来说明D正确．【解答】解：该半多面体，是由棱长为2的正方体沿正方体各棱的中点截去8个三棱锥所得，对于A：因为由正方体沿正方体各棱的中点截去8个三棱锥，所以该几何体的体积V=2×2×2−8×13×12×1×1=203，故A 正确；过A ，B ，C 三点的截面为正六边形ABCFED ，所以S =6×√34×(√2)2=3√3，故B 错误；由已知根据该几何体的对称性可知，该几何体的外接球即为底面棱长为√2，侧棱长为2的正四棱柱的外接球，∴(2R)2=(√2)2+(√2)2+22， ∴R =√2，∴该半正多面体的外接球的表面积S =4πR 2=4π×(√2)2=8π，故C 正确； 我们来证明：对于任意简单多面体，设V 为多面体定点数，F 为多面体面数，E 为多面体边数，则有公式：V +F −E =2．证明：任何多面体若有一个面不是三角形，增加一对角线，即加一面、一边，F +V −E 的值不变，一直重复，最后可令每一个面都是三角形．考虑每一个面都是三角形时，取走一面，即要证明F +V −E =1．減少一个三角形，可以取去一面、一点、兩边或一面、一边，F +V −E 的值均不变，最后剩下一个三角形，可知F +V −E =1+3−3=1． 所以对于任何多面体，F +V −E =2． 选项D 正确． 故选：ACD ．10.【答案】AC【解析】解：对于A ，∵z 1=z 2， ∴OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =OB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ， ∴|OA ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|OB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |，故A 正确，对于B ，令OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,0)，OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−2,0)，满足|OA ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |，但OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ≠OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，即z 1≠z 2，故B 错误，对于C ，令z 2=a +bi ，a ，b ∈R ， ∵z 1=z 2i ，∴z 1=(a +bi)i =−b +ai ， ∴OA⃗⃗⃗⃗⃗ =(−b,a)，OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(a,b)， ∴OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =−ab +ab =0，故C 正确， 对于D ，令z 2=a +bi ，a ，b ∈R ， 则z 1=−ai −bi 2=b −ai ， ∴OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(b,−a)，OB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(a,b)， 满足OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0，但z 1≠z 2i ，故D 错误． 故选：AC ．根据已知条件，结合特殊值法，以及向量的乘积公式，即可求解．本题主要考查复数与向量的综合运算，需要学生较强的综合能力，属于中档题．11.【答案】BD【解析】解：对于A ，根据题意，若sinA ：sinB ：sinC =ln2：ln4：lnt ， 则a ：b ：c =ln2：ln4：lnt ，故可设a =kln2 ,b =kln4=2kln2． 则有b ⋅a <c <b +a ，则kln2<c <3kln2，变形可得2<t <8， 当4<t <8时，c 最大，若△ABC 为直角三角形， 则a 2+c 2−b 2=0，即5k 2ln 22−k 2ln 2t =0， 解得t =2√5；当2<t ≤8 时；若△ABC 为直角三角形，则a 2+c 2−b 2=0， 即3k 2ln 22−k 2ln 2t =0， 解得t =2√3，综上：t =2√5或t =2√3， 故 A 错；由题意，CA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CB ⃗⃗⃗⃗⃗ =abcosC =ab ⋅a 2+b 2−c 22ab =a 2+b 2−c 22=5k 2ln 22−c 22=mc 2，∴m =CA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CB ⃗⃗⃗⃗⃗ c 2=5k 2ln 22−c 22c 2=5k 2ln 222c 2−12．若m =18，则5k 2ln 222c 2−12=18，解得t =4，故b =c ，△ABC 为等腰三角形；故B 正确； 对于C ，当t =4，a =kln2时，则b =kln4，c =klnt =kln4，则有b =c =2a ，此时等腰△ABC 底边上的高为ℎ=√b 2−a 24=√152kln2，三角形面积为12aℎ=√154k 2ln 22，故C 错；对于D ，当C >π2，则有a 2+b 2−c 2<0，即5k 2ln 22−c 2<0，解得0<k2ln 22c 2<15，由选项 A ，B 的解析知kln2<c <3kln2， 综合两式得19<k 2ln 22c 2<15，故m =5k 2ln 22−c 22c 2=5k 2ln 222c 2−12∈(−29,0)，选项D 正确； 综合可得BD 正确； 故选：BD ．利用正弦定理边角互化设a =kln2 ,b =kln4=2kln2，c =klnt 结合两边和大于第三边求得2<t <8，讨论t.判断选项A ，利用余弦定理得m 的式子判断BD ；利用面积公式判断C ，根据题意，依次分析4个结论：本题考查平面向量的数量积，考查学生的运算能力，属于中档题．12.【答案】ABD【解析】解：f(x)=a ⃗ ⋅b ⃗ +√32=sin(x −π6)⋅cos(x −π6)−√3sin 2x +√32=12sin(2x −π3)−√3⋅1−cos2x2+√32=12sin(2x −π3)+√32cos2x =12(sin2x ⋅cos π3−cos2x ⋅sin π3)+√32cos2x =12(12sin2x +√32cos2x)=12sin(2x +π3)，对于A ，因为f(π3−x)+f(π3+x)=12(sin(π−2x)+sin(π+2x))=sinπcos2x =0，所以A 对；对于B ，因为f(x)的最小正周期为2π2=π，所以B 对； 对于C ，因为f(x)的最大值为12，所以C 错；对于D ，因为f(π12)=12sin(2⋅π12+π3)=12sin π2=12，是f(x)最大值，所以D 对． 故选：ABD ．A用三角函数恒等变换判断；B求解正弦函数最小正周期判断；C求正弦函数最大值判断；D用特值法判断．本题考查了平面向量数量积性质及其运算，考查了正弦函数的性质，属于中档题．13.【答案】2√2【解析】解：设O为该等边圆锥的底面圆心，则其的高为SO=√62−32=3√3，则该等边圆锥的内切球的圆心在等边圆锥的高SO上，设为O1，设半径为r，设该等边圆锥的内切球与等边圆锥的母线SA相切与点H，连接O1H，则在直角△O1HS中，∠OSA=30°，则sin∠OSA=HO1O1S =r3√3−r=12，解得r=√3，由题意正四面体在该圆锥内可以任意转动，当a最大值时，正四面体为该球的内接正四面体，将该球的内接正四面体补成正方体，则该正方体的外接球也是该球，设正方体的棱长为a，则正方体的对角线长等于球的直径，即√3a=2√3，所以a=2，则该正四面体的棱长为正方体的面对角线，即该正四面体的棱长为2√2，故答案为：2√2．由题意正四面体在该圆锥内可以任意转动，当a最大值时，正四面体为该球的内接正四面体．先求出该外接球的半径，将该球的内接正四面体补成正方体，则该正方体的外接球也是该球．先求出正方体的棱长，从而可得出答案．本题主要考查立体几何在实际问题中的应用，属于中等题．14.【答案】±√3【解析】解：∵z 2+z +1=0， ∴(z +12)2=−34，∴z =−12±√32i ， ∵z =r(cosθ+isinθ)(r >0,0≤θ<2π)， ∴tanθ=sinθcosθ=±√32−12=±√3．故答案为：±√3．由z 2+z +1=0，解得z =−12±√32i ，再结合复数z =r(cosθ+isinθ)(r >0,0≤θ<2π)，即可求解．本题主要考查复数与三角函数的综合，属于基础题．15.【答案】(−32,0)【解析】解：∵a −⋅e⃗ =|a −|⋅|e ⃗ |cos 2π3=3×1×(−12)=−32，∴a −在向量e ⃗ 方向上的投影向量为a −⋅e−|e −|×e −=−32e −=(−32,0)． 故答案为：(−32,0)．利用a −在向量e −方向上的投影向量a −⋅e−|e −|×e −即可得出． 本题考查了数量积运算性质、投影向量，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．16.【答案】[12,√33)【解析】解：不妨将c 看作定值，以AB 的中点为坐标原点，AB 所在直线为x 轴，建立直角坐标系，则A(−c2,0)，B(c2,0)，设C(x,y)， 则(x +c2)2+y 2+(x −c 2)2+y 2=2c 2，∴x 2+y 2=34c 2，∴点C 在以(0,0)为圆心，√32c 为半径的圆上，又△ABC 是锐角三角形，当C 在y 轴上时，AC 2=BC 2=(c 2)2+(√32c)2=c 2， ∴cosC =2c 2−c 22×c 2=12为最小值；当CB ⊥AB 时，代入B(c2,0)， ∴C(c 2,√2c2)，∴BC =√22c ， AC 2=c 2+12c 2=32c 2，即AC =√62c ，∴cosC =BC AC=√33(取不到)， 则cosC 的取值范围为[12,√33).故答案为：[12,√33).不妨将c 看作定值，以AB 的中点为坐标原点，AB 所在直线为x 轴，建立直角坐标系，求得A ，B 的坐标，设C(x,y)，由条件可得C 的轨迹，讨论C 在y 轴上和当CB ⊥AB 时，运用余弦定理和余弦函数的定义，可得范围．本题考查余弦定理的应用，注意运用坐标法，考查运算求解能力，是基础题．17.【答案】解：以A 为坐标原点，直线AB ，AD 分别为x 轴，y 轴建立平面直角坐标系．(1)设P(2cosθ,2sinθ)，θ∈[0,π2]，AP⃗⃗⃗⃗⃗ =(2cosθ,2sinθ)，PB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2−2cosθ,−2sinθ)，AP ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PB ⃗⃗⃗⃗⃗ =4cosθ−4cos 2θ−4sin 2θ=4cosθ−4．∵0≤θ≤π2，∴0≤cosθ≤1，∴AP⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PB ⃗⃗⃗⃗⃗ 的最大值为0． (2)由AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =λDE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +μAP ⃗⃗⃗⃗⃗ ，得(2,2)=λ(1,−2)+μ(2cosθ,2sinθ)， ∴{λ+2μcosθ=2−2λ+2μsinθ=2，∴{λ=2sinθ−2cosθsinθ+2cosθμ=3sinθ+2cosθ，则λ+μ=2(sinθ−cosθ)+3sinθ+2cosθ=2． ∴cosθ=12，又0≤θ≤π2，∴sinθ=√32，则P(1,√3)，S △PAB =√34×4=√3，S △PBC =1， ∴四边形PABC 的面积为1+√3，【解析】(1)用向量数量积及余弦函数性质求解；(2)根据向量运算列方程求解即可． 本题考查了平面向量数量积的性质及其运算，属于中档题．18.【答案】(1)设z1=a+bi(a,b∈R,b≠0)，则z2=z1+1z1=a+bi+1a+bi=(a+aa2+b2)+(b−ba2+b2)i，∵z2是实数，且b≠0，∴b−ba2+b2=0，得a2+b2=1，∴|z1|=1．(2)由(1)知z2=2a，则−1≤2a≤1，即−12≤a≤12，∴z1的实部取值范围为[−12,12 ]．【解析】(1)根据已知条件，结合复数的运算法则，以及复数的模公式，即可求解．(2)由(1)知z2=2a，则−1≤2a≤1，即−12≤a≤12，即可求解．本题考查了复数代数形式的乘除法运算，以及复数模的公式，需要学生熟练掌握公式，属于基础题．19.【答案】解：(1)在△ABD中，由余弦定理得，(30√10)2=(30√2)2+AD2−2×30√2×AD×cos45°，得AD2−60AD−900×8=0，AD=120或−60(舍去)，方案①：在△ABD中，由正弦定理得30√10sin45°=30√2sinA，得sinA=√10，A∈(0,π2)，cosA=√10，在△ABC中，设AC=x，由余弦定理得BC2=x2+(30√10)2−2×30√10⋅x⋅cosA= x2−180x+9000，∴f(x)=AC+2BC=x+2√x2−180x+9000(0<x<120)，方案②：在△BCD中，由正弦定理得BCsin45∘=30√2sinθ，所以BC=30sinθ，又BCsin45∘=CDsin(135∘−θ)，得CD=30(sinθ+cosθ)sinθ，AC=120−CD=90−30cosθsinθ，∴g(θ)=AC+2BC=90+60−30cosθsinθ(0°<θ<135°)．(2)若选择方案①，令y=x+2√x2−180x+9000，得(y−x)2=4(x2−180x+9000)，整理得，3x2+2(y−360)x+4×9000−y2=0，由Δ≥0得，y2−180y+90×60≥0，得y≥90+30√3或y≤90−30√3(舍)，∴y min =90+30√3，此时x =360−y 3=90−10√3，即AC =90−10√3千米时，总运费的最小值为90+30√3百元， 若选择方案②，令y =2−cosθsinθ，则ysinθ+cosθ=2，得√y 2+1sin(θ+φ)=2，sin(θ+φ)=√y 2+1≤1，得y 2≥3，又y >0，∴y ≥√3，令2−cosθsinθ=√3，得sin(θ+30°)=1，0°<θ<135°，θ=60°时，y min =√3，此时g(θ)min =90+30√3，AC =90−10√3千米， 总运费的最小值为90+30√3百元．【解析】(1)在△ABD 中，由余弦定理得，(30√10)2=(30√2)2+AD 2−2×30√2×AD ×cos45°，得AD 2−60AD −900×8=0，AD =120或−60(舍去)，方案①，再结合正弦定理与余弦定理，即可求解，方案②，结合正弦定理，即可求解．(2)选择方案①3x 2+2(y −360)x +4×9000−y 2=0，由Δ≥0可得y 的最小值；若选择方案②，令y =2−cosθsinθ，可得sin(θ+φ)=√y 2+1≤1，根据三角函数的性质，即可求解．本题主要考查函数的实际应用，以及余弦定理和正弦定理的应用，属于中档题．20.【答案】(1)选择①，由正弦定理，得sinAcosC +√3sinAsinC =sinB +sinC ，∴√3sinAsinC =cosAsinC +sinC ，又sinC ≠0，∴√3sinA −cosA =1， ∴sin(A −π6)=12，又0<A <π，∴A −π6=π6，得A =π3， 选择②，由正弦定理，得(b −c)2=a 2−bc ，整理得，b 2+c 2−a 2=bc ， 又cosA =b 2+c 2−a 22bc =12，0<A <π，∴A =π3；选择③，由正弦定理，得2cosA(sinCcosB +cosCsinB)=sinA ， ∴2cosAsin(B +C)=sinA ，又sinA ≠0，∴cosA =12，0<A <π，∴A =π3；……………………(6分) (2)∵m ⃗⃗⃗ //c ⃗ ，∴sinC =2sinB ，由正弦定理得，c =2b ， 由余弦定理，cosA =b 2+c 2−a 22bc =12，得b 2+c 2−a 2=bc ，又a =3，∴b 2=3，b =√3，c =2√3， ∴△ABC 周长为3+3√3.……………………(12分)【解析】(1)选择①，利用正弦定理将已知关系式化简，得√3sinA −cosA =1，再利用辅助角公式化简，结合A ∈(0,π)，可得答案；选择②，利用正弦定理与余弦定理，可求得cosA =12，继而可求得A =π3； 选择③，利用正弦定理，化简已知关系式，得cosA =12，继而可求得A =π3； (2)利用向量的坐标运算结合余弦定理，可求得△ABC 的周长．本题考查正弦定理与余弦定理的综合运用，考查两角和与差的三角函数及运算求解能力，属于中档题．21.【答案】解：(1)依题意，f(x)关于点(π4,0)对称且关于直线x =−π4对称，则f(x)的周期T =2πω满足π2=T 4+m ⋅T2,m ∈Z ， ∴ω=2m +1，m ∈Z ，① 又f(x)在(0,π8)上为单调函数，则12⋅2πω≥π8，∴ω≤8，②由①②知，当ω=7时，f(x)=sin(7x +φ)，当x =−π4时，−7π4+φ=kπ+π2,k ∈Z ，又|φ|<π2，得φ=π4(k =−2)，此时，f(x)=sin(7x +π4)， 当0<x <π8时，π4<7x +π4<9π8，此时f(x)不单调，不满足题意；当ω=5时，f(x)=sin(5x +φ)，当x =−π4时，−5π4+φ=kπ+π2,k ∈Z ，又|φ|<π2，得φ=−π4(k =−2)，此时，f(x)=sin(5x −π4)； 当0<x <π8时，−π4<5x −π4<3π8，满足条件，∴ω的最大值为5；………………………(6分)(2)不妨设A(x 1,ω)，B(x 2,ω)，C(x 3,ω)，且线段AB 的中点为M(x 0,ω)， 显然有x 3−x 1=2πω，x 0=x 1+x 22，且f(x)的图象关于直线x =x 0对称，∵AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =n BC ⃗⃗⃗⃗⃗ (n ∈N ∗)，∴|AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗||AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=n−1n(n ∈N ∗)， ∴x 2−x 1=2(n−1)πnω，即ωx 2−ωx 1=2(n−1)πn，①∵0<ω<1，且n ∈N ∗，∴由正弦曲线的图像可知，ωx 0+φ=2kπ−π2(k ∈Z)， ∴ω⋅x 1+x 22+φ=2kπ−π2(k ∈Z)，即ωx 2+ωx 1=4kπ−π−2φ，②由①②可得ωx1+φ=2kπ−3π2+πn，∴sin(2kπ−3π2+πn)=ω，即ω=cosπn，∵ω=cosπn ∈(0,1)，且n∈N∗，∴n≥3，且ω∈[12,1),当φ=π8时，且f(x)在区间[−πω+1,πω+1]上单调递增，∴{ω⋅πω+1+π8≤π2ω⋅(−πω+1)+π8≥−π2，解得ω≤35，又∵ω∈[12,1),∴12≤ω≤35，即ω∈[12,35].…………(12分)【解析】(1)利用三角函数的对称性可得ω=2m+1，m∈Z①，结合f(x)在(0,π8)上的单调函性得12⋅2πω≥π8，可得ω≤8②，联立①②分析，可求得ω的最大值；(2)设出A、B、C的坐标，结合f(x)的对称性，与单调递增性，列式可求得答案．本题考查由y=Asin(ωx+φ)的部分图象确定其解析式，考查正弦函数的图象与性质，考查逻辑推理能力与综合运算能力，属于难题．22.【答案】解：(1)设AB=a，BC=b，AA1=c，则4(a+b+c)=28，∴a+b+c①又a2+b2+c2=4R2(R为长方体外接球半径)，∴a2+b2+c2=17②又V ABCD−A1B1C1D1=56abc=10，∴abc=12③由①②③，解得{a=2b=2c=3或{a=2b=3c=2或{a=3b=2c=2∴棱长AA1为2或3………………(6分)(2)由(1)知，S ABCD−A1C1D1=2(ab+bc+ca)−12(ab+bc+ca)+S△A1BC1=32×16+S△A1BC1，若a=b=2，c=3，则S△A1BC1=12×2√2×√11=√22，其他情况，同理；∴S ABCD−A1C1D1=32×16+√22=24+√22………………(12分)【解析】(1)设AB=a，BC=b，AA1=c，利用已知条件列出方程组求解a，b，c即可．(2)求出S ABCD−A1C1D1=2(ab+bc+ca)−12(ab+bc+ca)+S△A1BC1=32×16+S△A1BC1，然后求解表面积即可．本题考查几何体的外接球的体积，表面积的求法，考查分析问题解决问题的能力，是中档题．第21页，共21页。