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幂函数及图象变换【学习目标】1．通过实例，了解幂函数的概念；结合幂函数的图象，了解它们的变化情况. 2．掌握幂函数的图象和性质，并能熟练运用图象和性质去解题。
3．掌握初等函数图象变换的常用方法． 【要点梳理】要点一、幂函数概念形如()y x R αα=∈的函数，叫做幂函数，其中α为常数. 要点诠释：幂函数必须是形如()y x R αα=∈的函数，幂函数底数为单一的自变量x ，系数为1，指数为常数.例如：()2423,1,2y x y x y x ==+=-等都不是幂函数.要点二、幂函数的图象及性质 1.作出下列函数的图象：(1)x y =；(2)21x y =；(3)2x y =；(4)1-=x y ；(5)3x y =．要点诠释：幂函数随着α的取值不同，它们的定义域、性质和图象也不尽相同，但它们有一些共同的性质：(1)所有的幂函数在(0，+∞)都有定义，并且图象都过点(1，1)；(2)0>α时，幂函数的图象通过原点，并且在区间),0[+∞上是增函数．特别地，当1>α时，幂函数的图象下凸；当10<<α时，幂函数的图象上凸；(3)0<α时，幂函数的图象在区间),0(+∞上是减函数．在第一象限内，当x 从右边趋向原点时，图象在y 轴右方无限地逼近y 轴正半轴，当x 趋于∞+时，图象在x 轴上方无限地逼近x 轴正半轴．2.作幂函数图象的步骤如下: (1)先作出第一象限内的图象；(2)若幂函数的定义域为(0，+∞)或[0，+∞)，作图已完成； 若在(-∞，0)或(-∞，0]上也有意义，则应先判断函数的奇偶性 如果为偶函数，则根据y 轴对称作出第二象限的图象； 如果为奇函数，则根据原点对称作出第三象限的图象. 3.幂函数解析式的确定(1)借助幂函数的定义，设幂函数或确定函数中相应量的值．(2)结合幂函数的性质，分析幂函数中指数的特征．(3)如函数()a f x k x =⋅是幂函数，求()f x 的表达式，就应由定义知必有1k =，即()a f x x =．4.幂函数值大小的比较(1)比较函数值的大小问题一般是利用函数的单调性，当不便于利用单调性时，可与0和1进行比较．常称为“搭桥”法．(2)比较幂函数值的大小，一般先构造幂函数并明确其单调性，然后由单调性判断值的大小．(3)常用的步骤是：①构造幂函数；②比较底的大小；③由单调性确定函数值的大小． 要点三、初等函数图象变换基本初等函数包含以下九种函数：正比例函数、反比例函数、一次函数、二次函数、幂函数、指数函数、对数函数．（三角函数、反三角函数待讲）由基本初等函数经过四则运算以及简单复合所得的函数叫初等函数． 如：2()f x x =的图象变换，22(1),1,y x y x =+=+222,||y x y x == （1）平移变换y =f (x )→y =f (x ＋a ) 图象左（0a >）、右（0a <）平移 y =f (x )→y =f (x )＋b 图象上（b 0>）、下（b 0<）平移（2）对称变换y =f (x ) →y =f (－x ), 图象关于y 轴对称 y =f (x ) →y =－f (x ) , 图象关于x 轴对称 y =f (x ) →y =－f (－x ) 图象关于原点对称y =f (x )→1()y f x -= 图象关于直线y =x 对称（3）翻折变换：y =f (x ) →y =f (|x |),把y 轴右边的图象保留，然后将y 轴左边部分 关于y 轴对称．（注意：它是一个偶函数）y =f (x ) →y =|f (x )| 把x 轴上方的图象保留，x 轴下方的图象 关于x 轴对称 要点诠释：（1）函数图象是由基本初等函数的图象经过以上变换变化而来。
第12讲幂函数的图象和性质【人教A版2019】·模块一幂函数的概念·模块二幂函数的图象与性质·模块三课后作业1．幂函数的概念(1)幂函数的概念：一般地，函数y＝xα叫做幂函数，其中x是自变量，α是常数．(2)幂函数的特征：①xα的系数为1；②xα的底数是自变量；③xα的指数为常数.只有同时满足这三个条件，才是幂函数.【考点1对幂函数的概念的理解】【例1.1】（2023·全国·高一假期作业）下列函数为幂函数的是（）A．=22B．=22−1C．=2D．J2【解题思路】根据幂函数的定义即可求解.【解答过程】由幂函数的定义可知：J2是幂函数，=22，=22−1和=2的系数不为1，故不是幂函数，故选：D.【例1.2】（2023·全国·高一假期作业）下列函数中不是幂函数的是（）A．=B．=3C．=3D．=−1【解题思路】根据幂函数的定义逐个分析选项即可.【解答过程】对于选项A，==12，故它是幂函数．故A项正确；对于选项B，=3是幂函数，故B项正确；对于选项C，选项的系数为3，所以它不是幂函数．故C项不成立；对于选项D，=−1是幂函数，故D项正确.故选：C.【变式1.1】（2023·全国·高一假期作业）现有下列函数：①=3；②=；③=42；④=5+1；⑤=−12；⑥=；⑦=(>1)，其中幂函数的个数为（）A．1B．2C．3D．4【解题思路】根据幂函数的定义逐个辨析即可【解答过程】幂函数满足=形式，故=3，=满足条件，共2个故选：B.【变式1.2】（2023秋·云南德宏·高一统考期末）下列函数既是幂函数又是奇函数的是（）A．=3B．=12C．=22D．=+1【解题思路】利用幂函数及函数的奇偶性的定义，结合各选项进行判断即可.【解答过程】对于A，由幂函数的定义知=3=13是幂函数，由题意可知op的定义域为R,o−p= 3−=−3=−op，所以op是奇函数，符合题意；故A正确；对于B，由幂函数的定义知=12=−2是幂函数，由题意可知op的定义域为−∞,0∪0,+∞,o−p==12=op，所以op是偶函数，不符合题意；故B错误；对于C，由幂函数的定义知=22不是幂函数，不符合题意；故C错误；对于D，由幂函数的定义知=+1不是幂函数，不符合题意；故D错误；故选：A.【考点2求幂函数的函数值、解析式】【例2.1】（2023·全国·高一假期作业）已知幂函数f(x)＝xα(α为常数)的图象经过点(2,2)，则f(9)＝（）A．−3B．−13C．3D．13【解题思路】代点的坐标求出α的值，得到函数op的解析式，即得解.【解答过程】由题意f(2)＝2α＝2=212，所以α＝12，所以f(x)＝，所以f(9)＝9＝3.故选：C.【例2.2】（2023秋·山东临沂·高一校考期末）已知幂函数的图象过点4,=（）A．−12B．−2C．12D．2【解题思路】设幂函数=,将4,，即得答案.【解答过程】设幂函数=，由于的图象过点4,故4=12,∴=−12，即=−12，故选：A.【变式2.1】（2023秋·河北邯郸·高三统考期末）已知幂函数满足o6)o2)=4，则）A．2B．14C．−14D．−2【解题思路】设出幂函数的解析式，根据已知，求出参数的关系式，即可计算作答.【解答过程】依题意，设=，则o6)o2)=62=3=4，所以o13)=(13)=13=14.故选：B.【变式2.2】（2023春·湖北宜昌·高一校联考期中）已知点3,2在幂函数=−1的图象上，则（）A．=−1B．=212C．=3D．=13【解题思路】根据幂函数的定义求出a，将已知点的坐标代入解析式即可求解.【解答过程】∵函数=−1是幂函数，∴−1=1，即=2,∴点8,2在幂函数=的图象上，∴8=2，即=13，故=13.故选：D.1．常见幂函数的图象与性质幂函数图象定义域R R R 值域R R奇偶性奇函数偶函数奇函数非奇非偶函数奇函数单调性在R 上为增函数，增函数，减函数在R 上为增函数在上为增函数，减函数，增函数定点（1,1）温馨提示：幂函数在区间(0，＋∞)上，当a >0时，y ＝x α是增函数；当α<0时，y ＝x α是减函数．2．一般幂函数的图象与性质(1)一般幂函数的图象：①当α=1时，y =x 的图象是一条直线.②当α=0时，y ==1(x ≠0)的图象是一条不包括点(0,1)的直线.③当α为其他值时，相应幂函数的图象如下表：（p 、q 互质）p ，q 都是奇数p是偶数，q是奇数p是奇数，q是偶数(2)一般幂函数的性质：通过分析幂函数的图象特征，可以得到幂函数的以下性质：①所有的幂函数在(0,+)上都有定义，并且图象都过点(1,1).②α>0时，幂函数的图象过原点，并且在区间[0,+)上是增函数.③α<0时，幂函数在区间(0,+)上是减函数.在第一象限内，当x从右边趋向原点时，图象在y轴右方无限地逼近y轴正半轴，当x趋于+时，图象在x轴上方无限地逼近x轴正半轴.④任何幂函数的图象与坐标轴仅相交于原点，或不相交，任何幂函数的图象都不过第四象限.⑤任何两个幂函数的图象最多有三个公共点.除(1,1)，(0,0)，(-1,1)，(-1,-1)外，其他任何一点都不是两个幂函数的公共点.3．对勾函数的图象与性质参考幂函数的性质，探究函数的性质.(1)图象如图：与直线y=x，y轴无限接近.(2)(3)的值域为(-,-2]∪[2,+).(4)奇偶性：函数为奇函数.(5)单调性：由函数在(-,-1)，(1,+)上单调递增，在(-1,0)，(0,1)上单调递减.【考点1幂函数的定义域、值域】【例1.1】（2023·全国·高一假期作业）给出5个幂函数：①=−2；②=45；③=14；④=23；⑤=−45，其中定义域为R的是（）A．①②B．②③C．②④D．③④【解题思路】根据幂函数的定义域求得正确答案.【解答过程】①=−2=12的定义域为U≠0，不符合.②=45=54的定义域为R，符合.③=14=4的定义域为U≥0，不符合.④=23=32的定义域为R，符合.⑤=−45=的定义域为U≠0，不符合.所以符合的是②④.故选：C.【例1.2】（2023·全国·高三专题练习）已知幂函数op=的图像过点(8,4)，则op=的值域是（）A．−∞,0B．−∞,0∪0,+∞C．0,+∞D．0,+∞【解题思路】先求出幂函数解析式，根据解析式即可求出值域.【解答过程】∵幂函数op=的图像过点(8,4)，∴8=4，解得=23，∴op=23=32≥0，∴op的值域是0,+∞.故选：D.【变式1.1】（2023·全国·高一假期作业）函数=−1+12的定义域为（）A．−∞,+∞B．−∞,0∪0,+∞C．0,+∞D．0,+∞【解题思路】化简函数解析式，根据函数解析式有意义可得出关于的不等式组，由此可解得原函数的定义域.【解答过程】因为=−1+12=1+，则≠0≥0，可得>0，故函数的定义域为0,+∞.故选：D.【变式1.2】（2023秋·北京·高一校考期末）下列函数中，其定义域和值域不同的函数是（）A．=13B．=−12C．=53D．=23【解题思路】由幂函数性质可得解.【解答过程】A中定义域和值域都是；,定义域和值域都是(0，+∞)；B中=−12=C中定义域和值域都是；D中=23=(13)2定义域为R，值域为[0，+∞)故选：D.【考点2幂函数的图象】【例2.1】（2023·全国·高一假期作业）如图，下列3个幂函数的图象，则其图象对应的函数可能是（）A．①=−1，②=12，③=13B．①=−1，②=13，③=12C．①=13，②=12，③=−1D．①=13，②=−1，③=12【解题思路】根据幂函数的图象与性质，逐个判定，即可求解.【解答过程】由函数=−1=1是反比例函数，其对应图象为①；函数=12=的定义域为(0,+∞)，应为图②；因为=13的定义域为R且为奇函数，故应为图③.故选：A.【例2.2】（2023秋·黑龙江哈尔滨·高一统考期末）若点4,2在幂函数的图象上，则的图象大致是（）A．B．C．D．【解题思路】利用待定系数法求出幂函数的解析式，再进行判断即可得出答案．【解答过程】设幂函数op=，将点4,2代入，得4=2，解得=12，所以op=12，定义域为[0,+∞)，且在定义域内单调递增，大致图像为B，故选：B．【变式2.1】（2023·全国·高三对口高考）已知幂函数=（s∈且p与q互质）的图像如图所示，则（）A．p、q均为奇数且<0B．p为奇数，q为偶数且<0C．p为奇数，q为偶数且>0D．p为偶数，q为奇数且<0【解题思路】根据图像的对称性及形状结合幂函数的图像特征可直接解答.【解答过程】由图像知函数为偶函数，所以p为偶数，且由图像的形状判定<0，又因为p与q互质，所以q为奇数，故选：D.【变式2.2】（2023·全国·高一假期作业）如图所示，图中的曲线是幂函数=在第一象限的图象，已知取±2，±12四个值，则相应于1，2，3，4的依次为（）A．−2，−12，12，2B．2，12，−12，−2C．−12，−2，2，12D．2，12，−2，−12【解题思路】根据幂函数的图象在第一象限内的特征即可得答案.【解答过程】解：根据幂函数=的性质，在第一象限内的图象:当>0时，越大，=递增速度越快，故1的=2，2的=12；当<0时，越大，曲线越陡峭，所以曲线3的=−12，曲线4的=−2.故选:B.【考点3由幂函数的图象与性质求参数】【例3.1】（2023·全国·高一假期作业）幂函数=2−3在第一象限内是减函数，则=（）A．2B．2C．−2D．−2【解题思路】先根据幂函数定义求出m的可能值，再结合函数的单调性即可得解.【解答过程】由幂函数的定义可知2−3=1，解得=±2，由幂函数的单调性可知<0，所以=−2．故选:D．【例3.2】（2023秋·陕西榆林·高一统考期末）已知幂函数op=2−2−2K2的图象经过原点，则=（）A．－1B．1C．3D．2【解题思路】令2−2−2=1求解，再根据函数图象经过原点判断.【解答过程】解：令2−2−2=1，解得=−1或=3.当=−1时，=−3的图象不经过原点.当=3时，=的图象经过原点.故选：C.【变式3.1】（2023秋·浙江杭州·高一校考期末）已知幂函数=2+2−2⋅2−2在0,+∞上是减函数，则n的值为（）A．−3B．1C．3D．1或−3【解题思路】先由函数是幂函数，得到=−3或=1，再分别讨论，是否符合在0,+∞上是减函数的条件.【解答过程】因为函数是幂函数，则2+2−2=1，所以=−3或=1.当=−3时，=15在0,+∞上是增函数，不合题意.当=1时=−1在0,+∞上是减函数，成立.故选：B.【变式3.2】（2023秋·广西贵港·高一统考期末）若幂函数=−2+2r259的图象关于y轴对称，解析式的幂的指数为整数,在−∞,0上单调递减，则=（）A．19B．19或499C．−13D．−13或73【解题思路】由题意知是偶函数，在−∞,0上单调递减,可得−2+2+259为正偶数，再根据−2+2+259的范围可得答案.【解答过程】由题意知是偶函数，因为在−∞,0上单调递减,所以−2+2+259为正偶数，又−2+2+259=−(−1)2+349≤349，∴−(−1)2+349=2，解得=73或−13．故选：D．【考点4比较幂值的大小】【例4.1】（2023春·浙江·高一校联考期中）记=0.20.1,=0.10.2,=(2)−0.5，则（）A．>>B．>>C．>>D．>>。
新人教a 版高中数学高一必修一2.3《幂函数》精讲精析学习目标展示（1）了解幂函数的概念 （2）结合函数的图像，了解它们的变化情况。
衔接性知识1. 请画出y x =、2y x =、1y x=的图象 2. 请画出2x y =的图象3. 比较函数()2x f x =与2()g x x =在解析式形式上的不同，并说明哪个是指数函数例1. 比较下面大小： （1） 2.43.14、 2.4π与 2.13.14 （2） 2.64()5、 3.82()3-与 3.83()4-【解析】（1） 2.4y x = 在(0,)+∞上是增函数，且 3.14π>， 2.4 2.43.14π∴> 又 3.14x y = 在(,)-∞+∞上是增函数，且2.4 2.1>， 2.4 2.13.14 3.14∴> 从而 2.4 2.4 2.13.14 3.14π>>（2）由指数函数的性质，得 2.60440()()155<<=， 3.8022()()133->=， 3.8033()()144->= 又 3.8y x -= 在(0,)+∞上减函数，且2334<， 3.8 3.823()()34--∴> 从而有 3.8 3.8 2.6234()()()345-->> 例2. 幂函数221()(33)m m f x m m x--=-+的图像不经过原点，求实数m 的值。
【解析】 因为函数是幂函数，所以2331m m -+=，2320m m ∴-+=，12m m ∴==或当1=m 时，11()f x x x-==，数的图像都不经过原点；当2=m 时，()f x x =，数的图像都经过原点，所以1=m例3. 已知幂函数()f x 的图象过1(8,)4点， 试求：（1）()f x 的定义域（2）()f x 的奇偶性（3）()f x 的单调区间． [解析]设()f x x α=，则 ∵()f x x α=的图象过1(8,)4点，∴184α=， 即2322α－＝，∴23α=-，∴23()f x x -=，即()f x =(1)欲使()f x0≠，∴0x ≠，∴()f x 的定义域为{|0}x x ∈≠R ． (2)对任意x ∈R 且0x ≠，有()()f x f x -===，∴()f x 为偶函数．(3)0α< ，∴()f x 在(0)∞，＋上是减函数，又()f x 为偶函数，∴()f x 在(0)∞－，上为增函数，故单调增区间为(0)∞－，，单调减区间为(0)∞，＋．例4. 已知函数2222)()(--+=m m x m m x f ，当m 取什么值时，（1）)(x f 是正比例函数；（2）)(x f 是反比例函数；（3）)(x f 在第一象限它的图像是上升的曲线。
幂函数及图象变换【学习目标】1．通过实例，了解幂函数的概念；结合幂函数的图象，了解它们的变化情况. 2．掌握幂函数的图象和性质，并能熟练运用图象和性质去解题． 3．掌握初等函数图象变换的常用方法． 【要点梳理】要点一、幂函数概念形如()y x R αα=∈的函数，叫做幂函数，其中α为常数. 要点诠释：幂函数必须是形如()y x R αα=∈的函数，幂函数底数为单一的自变量x ，系数为1，指数为常数.例如：()2423,1,2y x y x y x ==+=-等都不是幂函数.要点二、幂函数的图象及性质 1.作出下列函数的图象：(1)x y =；(2)21x y =；(3)2x y =；(4)1-=x y ；(5)3x y =．要点诠释：幂函数随着α的取值不同，它们的定义域、性质和图象也不尽相同，但它们有一些共同的性质：(1)所有的幂函数在(0，+∞)都有定义，并且图象都过点(1，1)；(2)0>α时，幂函数的图象通过原点，并且在区间),0[+∞上是增函数．特别地，当1>α时，幂函数的图象下凸；当10<<α时，幂函数的图象上凸；(3)0<α时，幂函数的图象在区间),0(+∞上是减函数．在第一象限内，当x 从右边趋向原点时，图象在y 轴右方无限地逼近y 轴正半轴，当x 趋于∞+时，图象在x 轴上方无限地逼近x 轴正半轴．2.作幂函数图象的步骤如下: (1)先作出第一象限内的图象；(2)若幂函数的定义域为(0，+∞)或[0，+∞)，作图已完成； 若在(-∞，0)或(-∞，0]上也有意义，则应先判断函数的奇偶性 如果为偶函数，则根据y 轴对称作出第二象限的图象； 如果为奇函数，则根据原点对称作出第三象限的图象. 3.幂函数解析式的确定(1)借助幂函数的定义，设幂函数或确定函数中相应量的值． (2)结合幂函数的性质，分析幂函数中指数的特征．(3)如函数()a f x k x =⋅是幂函数，求()f x 的表达式，就应由定义知必有1k =，即()a f x x =．4.幂函数值大小的比较(1)比较函数值的大小问题一般是利用函数的单调性，当不便于利用单调性时，可与0和1进行比较．常称为“搭桥”法．(2)比较幂函数值的大小，一般先构造幂函数并明确其单调性，然后由单调性判断值的大小．(3)常用的步骤是：①构造幂函数；②比较底的大小；③由单调性确定函数值的大小． 要点三、初等函数图象变换基本初等函数包含以下九种函数：正比例函数、反比例函数、一次函数、二次函数、幂函数、指数函数、对数函数．（三角函数、反三角函数待讲）由基本初等函数经过四则运算以及简单复合所得的函数叫初等函数． 如：2()f x x =的图象变换，22(1),1,y x y x =+=+222,||y x y x == （1）平移变换y =f (x )→y =f (x ＋a ) 图象左（0a >）、右（0a <）平移 y =f (x )→y =f (x )＋b 图象上（b 0>）、下（b 0<）平移（2）对称变换y =f (x ) →y =f (－x ), 图象关于y 轴对称 y =f (x ) →y =－f (x ) , 图象关于x 轴对称 y =f (x ) →y =－f (－x ) 图象关于原点对称y =f (x )→1()y f x -= 图象关于直线y =x 对称（3）翻折变换：y =f (x ) →y =f (|x |),把y 轴右边的图象保留，然后将y 轴左边部分 关于y 轴对称．（注意：它是一个偶函数）y =f (x ) →y =|f (x )| 把x 轴上方的图象保留，x 轴下方的图象 关于x 轴对称 要点诠释：（1）函数图象是由基本初等函数的图象经过以上变换变化而来。
（2）若f (a －x )＝f (a ＋x )，则函数y =f (x )的图象关于直线x =a 对称。
【典型例题】类型一、求函数解析式例1.已知()21212223m y m m x n -=+-⋅+-是幂函数，求m 、n 的值．【答案】33,2m n =-=【解析】由幂函数的概念易得关于m 、n 的方程组．由题意得22221,10,230,m m m n ⎧+-=⎪-≠⎨⎪-=⎩解得3,3.2m n =-⎧⎪⎨=⎪⎩33,2m n ∴=-=即为所求．【总结升华】幂函数的定义同指数函数、对数函数一样，是一种形式定义，对表现形式要求非常严格．判定一个函数是否为幂函数，关键看它是否具有幂函数的三个特征：①指数为常数α，且α为任意常数；②底数为自变量；③系数为1．举一反三：【变式1】已知幂函数()y f x =的图象过点⎛ ⎝⎭，则()f x = ． 【答案】12x-【解析】设()f x x α=，则由图象过点⎛ ⎝⎭2α=，即1222α-= ，所以12α=-，即12()f x x -=．类型二、幂函数的图象例2.给定一组函数的解析式：①34y x =；②23y x =；③32y x -=；④23y x-=；⑤32y x =；⑥13y x -=；⑦13y x =，如右图的一组函数图象．请把图象对应的解析式序号填在图象下面的括号内．【答案】⑥④③②⑦①⑤【解析】根据幂函数的图象特征确定相应的图象． 由第一、二、三个图象在第一象限的图象特征可知0α<，而第一个图象关于原点对称，即为奇函数；第二个图象关于y 轴对称，即为偶函数；第三个图象在y 轴左侧无图象，即在(),0-∞上无意义，因而这三个图象应分别填⑥④③．由第四、五、六个图象在第一象限的图象特征可知01α<<，而第四个图象关于y 轴对称，即为偶函数；第五个图象关于原点对称，即为奇函数；第六个图象在y 轴左侧无图象，即函数在(),0-∞上无意义，因而这三个图象应分别填②⑦①．最后一个图象对应的幂指数大于1，故填⑤．【总结升华】确定这类图象对应的函数解析式的顺序是：先根据幂函数在第一象限内的图象特征，确定幂指数α的取值区间；再根据图象在y 轴左侧有无图象确定函数的定义域，进而确定nmα=中分母“m ”的奇偶性；当图象在y 轴左侧有图象时，再研究其图象关于y 轴（或原点）的对称性，从而确定函数的奇偶性，进而确定幂指数nmα=中分子“n ”的奇偶性．类似地，可作出幂函数y x α=的图象，即先作出第一象限的图象，再研究定义域在y 轴左侧有无图象，有图象时，再利用奇偶性作出图象即可．举一反三：【变式1】幂函数y x α=在第一象限内的图象如图所示，已知α分别取-1，1,1,22四个值，则相应图象依次为： ．【答案】1432,,,C C C C【变式2】 已知幂函数*(,)p qy x p q N =∈的图象如图所示，则（ ）A.,p q 均为奇数，且0pq> B.q 为偶数，p 为奇数，且0pq< C. q 为奇数，p 为偶数，且0pq> D. q 为奇数，p 为偶数，且0pq< 【答案】D ．由函数图象关于y 轴对称知，函数为偶函数，故p 为偶数，q 为奇数．由函数图象在第一象限为减函数知0pq<． 类型三、幂函数的性质例3．有幂函数(0)y x αα=≠若干个，每个函数至少具有下面三条性质之一：（1）是奇函数；（2）是()-+，∞∞内的增函数；（3）函数的图象经过原点．又已知同时具有性质（1）的共有15个，具有性质（2）的共有12个，具有性质（3）的共有18个，试问，这些幂函数共有几个？其中幂指数小于零的有几个？【答案】21；3【解析】充分考虑幂函数的性质，合理运用几何的理论解题．由幂函数的性质知，在()-+，∞∞内的增函数一定是奇函数，且图象一定过原点．又若一个函数是奇函数，且其图象又经过原点，则这个函数一定是在()-+，∞∞上的增函数．设这些幂函数中分别具备（1）（2）（3）的函数分别构成集合A 、B 、C ，而幂函数小于零的构成集合D ，依题意得()card A =15，()card B =12, ()card C =18.又,B A B C ⊆⊆，A CB ⊆,B AC ⊆,所以A C =,则()()()()()card A B C card A C card A card C card A C ==+-=15+18-12=21，即共有幂函数21个．又幂指数小于零的幂函数一定不经过原点．反之亦然，故其中幂指数小于零的函数有21-18=3（个）．【总结升华】本题把幂函数知识与集合知识综合在一起，构思新颖，需充分考虑幂函数的性质，合理运用集合理论解题．幂函数的性质与α的不同取值相对应，本题中A C 的道理一定要体会清楚，幂函数中有些函数具备这三个性质中1个，有的具备2个，甚至3个，这与α的取值范围有关，因此一定要利用图象的位置、形状掌握这些性质．例4.比较下列各组数的大小.(1) 523.14-与52π-； (2)35(-与35(-，（3）2253,3.8-和35( 1.9)-.【答案】(1)>；(2)<；(3)< <． 【解析】(1) 由于幂函数52y x -=(0x >)单调递减且3.14π<，∴55223.14π-->.(2)由于35y x-=这个幂函数是奇函数. ∴f(-x)=-f(x)因此，3355(--=-，3355(--=-，而35y x-=(x>0)单调递减，且<∴ 33335555---->⇒-<-.即3355((--<.（3）22223553354.111,0 3.811,( 1.9)0-->=<<=-<，322535( 1.9) 3.8 4.1-∴-<<【总结升华】(1)各题中的两个数都是“同指数”的幂，因此可看作是同一个幂函数的两个不同的函数值，从而可根据幂函数的单调性做出判断.(2)题(2)中，我们是利用幂函数的奇偶性，先把底数化为正数的幂解决的问题.当然，若直接利用x<0上幂函数的单调性解决问题也是可以的.(3)题中，引进数“1”和“0”，三个数分别与“1”和“0”比较，得出结论． 举一反三：【变式1】比较0.50.8，0.50.9，0.50.9-的大小.【答案】0.50.50.50.80.90.9-<<【解析】先利用幂函数0.5y x =的增减性比较0.50.8与0.50.9的大小，再根据幂函数的图象比较0.50.9与0.50.9-的大小.0.5y x =在(0)+，∞上单调递增，且0.80.9<， 0.50.50.80.9∴<.作出函数0.5y x =与0.5y x-=在第一象限内的图象，易知0.50.50.90.9-<.故0.50.50.50.80.90.9-<<.类型四、求参数的范围 例5. 讨论函数2221()kk y k k x --=+在0x >时，随着x 的增大其函数值的变化情况．【解析】（1）当20k k +=即0k =或1k =-时，0y =为常数函数；（2）当2210k k --=，即1k = 1k =（3）当220,210,k k k k ⎧+>⎪⎨--<⎪⎩即01k <<x 的增大而减小；（4）当220,210,k k k k ⎧+>⎪⎨-->⎪⎩即1k >1k <-时，函数为增函数，函数值随x 的增大而增大；（5）当220,210,k k k k ⎧+<⎪⎨--<⎪⎩即10k <<时，函数为增函数，函数值随x 的增大而增大；（6）当220,210,k k k k ⎧+<⎪⎨-->⎪⎩即11k -<<时，函数为减函数，函数值随x 的增大而减小．【总结升华】当所研究的函数中含有参数时，要对参数进行讨论，此题中系数和指数上都含有参数，要分别进行讨论，除特殊情况外，要对参数和指数分为同号和异号讨论．【变式1】若()()22132a a --+>-，求实数a 的取值范围.解法1：∵()()22132a a --+>-， 考察2y x -=的图象，得以下四种可能情况:(1)⎪⎩⎪⎨⎧+>->+>-12301023a a a a (2)⎪⎩⎪⎨⎧+<-<+<-12301023a a a a (3)⎪⎩⎪⎨⎧+->-<+>-)1(2301023a a a a (4)⎪⎩⎪⎨⎧+>-->+<-1)23(01023a a a a分别解得:(1)213a -<<. (2)无解. (3)1a <-. (4)4a >. ∴a 的取值范围是()()21143⎛⎫-∞--+∞ ⎪⎝⎭，，，.解法2：画出2y x -=的图象，认真观察图象，可得:越接近y 轴，y 值越大，即|x|越小，y 值越大，∴要使()()22132a a --+>-， 即10320|1||32|a a a a +≠⎧⎪-≠⎨⎪+<-⎩， 解得:()()21143⎛⎫-∞--+∞ ⎪⎝⎭，，，. 【总结升华】以上两种方法都是运用函数的单调性，但显然第二种方法更好.而这种方法的应用，必须对图象的特征有深刻的认识.可见，能很好地运用数形结合是解决函数问题的重要途径.类型五、幂函数的应用高清课程：幂函数及图象变换 例3例6. 求出函数2245()44x x f x x x ++=++的单调区间，并比较()f π-与(f 的大小．【答案】在(),2-∞-上是增函数，在()2,-+∞上是减函数 ()f π->(f【解析】2245()44x x f x x x ++=++=21144x x +++=21(2)x -++，因此将幂函数2y x -=的图象向左平移2个单位，再向上平移1个单位，得带函数2()1(2)f x x -=++的图象，由此可知，()fx 在(),2-∞-上是增函数，在()2,-+∞上是减函数．()(),2,2,2π-∈-∞---+∞ 在()2,-+∞上找出点(),()f ππ--关于直线2x =-的对称点(),()a f a ． 由()2,42a a ππ+-=-=-得， ()()(4)f f a f ππ∴-==-．4(4)(22f f ππ-<∴->- ()f π∴->(2f -【总结升华】以内函数或外函数为幂函数构成的复合函数，来考查幂函数的图象和性质以及数形结合的思想方法，是考试命题的热点题型．解答这类问题的关键在于寻求相应的基本幂函数，再利用其图象与性质解决问题．当一个函数的图象有对称轴时，对于定义域内的任意两个值1x 、2x ，要比较1()f x 和2()f x 的大小，需要把1x 、2x 两个数值转化到同一个单调区间内．例7. 设m ∈N *，已知函数22234()(2)m m f x m m x +-=-⋅在(0,+∞)上是增函数．（1）求函数f(x)的解析式；（2）设22[()]()(0)()f xg x f x λλ+=≠是常数，试讨论g(x)在(-∞,0)上的单调性，并求g(x)在区间(-∞,0)上的最值．【答案】（1）()f x x =；（2）[]max ()2||g x λ=-．【解析】（1）依题意，2220,2340.m m m m ⎧->⎪⎨+->⎪⎩或2220,2340.m m m m ⎧-<⎪⎨+-<⎪⎩解得：324m -+<<或304m --<< 再由m ∈N * ，1m =，即()f x x =．（2）任取12,(,0)x x ∈-∞且12x x <，则212121211()()()g x g x x x x x λ-=-+-=2121212()x x x x x x λ--⨯…（*） 当212x x λ>，即12||x x λ<≤-时，由于120x x -<，120x x >，得（*）<0，即12()()g x g x < 故()g x 在(),||λ-∞-上单调递增．当212x x λ<，即12||x x λ-≤<时，得（*）>0，即12()()g x g x > 故()g x 在()||,0λ-上单调递增．综上，在(),0-∞上，[]max ()(||)2||g x g λλ=-=-． 举一反三：【变式1】已知幂函数21*()()mmf x x m N +=∈（1）试确定该函数的定义域，并指明该函数在其定义域上的单调性；（2）若该函数还经过点(，试确定m 的值，并求满足条件(2)(1)f a f a ->-的实数a 的取值范围．【答案】（1）定义域[)0,+∞，单调递增；（2）31,2⎡⎫⎪⎢⎣⎭．【解析】解决此题的突破口就在于挖掘出隐含条件：2m m +为偶数． （1）2*(1),m m m m m N +=+∈，m ∴与1m +中必定有一个为偶数，2m m ∴+为偶数，∴函数1*()()mmf x x m N +=∈的定义域为[)0,+∞，并且函数()f x 在其定义域上为增函数．（2）函数()f x经过点(，∴212mm+=，即211222mm+=，∴22m m +=，即220m m +-=．12m m ∴==-或*,1m N m ∈∴=．由(2)(1)f a f a ->-，得20,10,21,a a a a -≥⎧⎪-≥⎨⎪->-⎩解得312a ≤<．故m 的值为1，满足条件(2)(1)f a f a ->-的实数a 的取值范围为31,2⎡⎫⎪⎢⎣⎭． 类型六：基本初等函数图象变换 例8．作出下列函数的图象：(1) y=lgx ， y=lg(-x)， y=-lgx ； (2) y=lg|x|； (3) y=-1+lgx. 【解析】(1)如图(1)； (2)如图(2)； (3)如图(3).【总结升华】要作出由对数函数组成的复合函数的图象，仍应注意变换作图法的灵活性，即先作出基本函数（对数函数）图象，再用平移、对称、旋转、伸缩等变换作图法来作出函数图象即可．一般地，函数()y f x a b =-+（,a b 为实数）的图象是由函数()y f x =的图象沿x 轴向右（或向左）平移||a 个单位（此时为()f x a -的图象），再沿y 轴向上（或向下）平移||b 个单位而得．含有绝对值的函数的图象是一种对称变换，一般地，(||)y f x a =-的图象是关于直线x a =对称的轴对称图形；函数|()|y f x =的图象与()y f x =的图象，在()0f x ≥时相同，而在()0f x <时，关于x 轴对称．举一反三：高清课程：幂函数及图象变换 例4（1）【变式1】作出211x y x -=+的图象． 【解析】2(1)332()11x y x x +-==+-++ 先画出3y x =-的图象，然后3y x=-如下图：【变式2】作函数2|log (1)|2y x =++的图象．【解析】作复合函数的图象时，可先作它的基本函数的图象，然后适当地变换，分步骤完成．第一步：作2log y x =的图象甲．第二步：将2log y x =的图象沿x 轴向左平移1个单位，得2log (1)y x =+的图象乙． 第三步：将2log (1)y x =+的图象在x 轴下方的部分作关于x 轴的对称变换，得2|log (1)|y x =+的图象丙．第四步：将2|log (1)|y x =+的图象沿y 轴向上平移2个单位，便得到所求函数的图象丁．向上平移2个单位向左平移1个单位 31y x =+32()1y x =+-+。
