江苏省高一数学苏教版必修4教学案：第3章4两角和与差的正切(1)

两角和（差）的正切 课堂实录新课标倡导以学生为主体，教师应是学生的组织者、参与者、点评者、推进者，这样做不仅能调动学生的积极性、主动性，激发学生潜在的能力，而且能让学生在不知不觉间体会到探索的乐趣和成功的喜悦，感受到数学的美妙无穷。

一旦学生的情感被打开，思维火花被点燃，其进取之火就会燃烧得更旺，潜藏的智慧就可以释放巨大的能量。

一、创设情境，提出课题教师：同学们好！由于我们班的数学老师临时有事，所以这节课由我和大家一起学习，共同欣赏和探索数学的奥秘，首先简要的自我介绍一下：教师：寡人姓陈，学生：笑 教师：身高略大于3米，性别男学生：大笑教师：我做事喜欢平淡，因为老师信奉平平淡淡才是真，也只有真才能到永 远，所以老师的名字叫陈平远，以后叫我陈sir 好了。

学生：大笑鼓掌。

（简短的几句话不仅提高了学生的兴致点，点燃了学生的激情，而且拉近了师生间的距离，为学好这节课做好了充分的准备。

）教师：同学们，今天的数学课，我们再来认识一位新的“男”性朋友——两角和（差）的正切（板书课题）。

学生：笑。

教师：为什么称()βα±tan 为“男”性朋友呢？因为老师把正弦函数αsin 、正切函数αtan 为“男”性朋友，把余弦函数αcos 、余切函数αcot 为“女”性朋友。

注意，这只是我们师生之间的内部约定，不得外泄噢！学生：大笑，情绪明显高昂。

教师：大家看，1cos sin 22=+αα，这个等式是多么的对称！我发现等式中蕴含的意义是“妇女能顶半边天”。

学生：“万岁”，耶！教师：希望在座的女同学们能够抛弃世俗的偏见，扬起希望的风帆，乘风破浪，取得更多、更好、更大的成绩。

学生：掌声再次响起！（相信此时全班学生尤其是女生的情感已被打开，思维火花也被点燃，对新的知识充满渴望）教师：介绍“()βα±tan ”中符合和字母的起源，然后总结道：一个式子中 融入了几个国家的智慧的结晶，不学好能行吗？（再次激发学生的求知欲和积极性）教师：结识新朋友。

3.1.3 两角和与差的正切公式【学习目标】1.掌握两角和与差的正切公式及其推导方式。

2.通过正式的推导，了解它们的内在联系，培育逻辑推理能力。

3.能正确运用三角公式，进行简单的三角函数式的化简、求值和恒等变形。

【学习重点难点】能按照两角和与差的正、余弦公式推导出两角和与差的正切公式进行简单的三角函数式的化简、求值和恒等变形【学习进程】（一）预习指导：1.两角和与差的正、余弦公式cos(α+β)= cos(α-β)=sin(α+β)=sin(α-β)=2.新知tan(α+β)的公式的推导(α+β)≠0tan(α+β)注意：1°必需在概念域范围内利用上述公式tan α，tan β,tan(α+β)只要有一个不存在就不能利用那个公式，只能用诱导公式。

2°注意公式的结构，尤其是符号。

（二）典型例题选讲：例1：已知tan α= ,tan β=-2 求tan(α+β),tan(α-β), α+β的值，其中0°＜α＜90°，90°＜β＜180° 31例2：求下列各式的值：（1） （2）tan17°+tan28°+tan17°tan28°（3）tan20°tan30°+tan30°tan40°+tan40°tan20°例3：已知sin(2α+β)+2sin β=0 求证tan α=3tan(α+β)例4：已知tan θ和tan( -θ)是方程χ2+p χ+q=0的两个根，证明：p-q+1=0.例5：已知tan α=3(1+m),tan(-β)3(tan αtan β+m),又α，β都是钝角，求α+β的值.︒-︒+75tan 175tan 14π【课堂练习】1.若tan A tan B =tan A +tab B +1，则cos(A +B )的值为 .2.在△ABC 中，若0＜tanA ·tabB ＜1则△ABC 必然是 .3.在△ABC 中，tanA+tanB+tanC=33,tan 2B=tanAtanC,则∠B 等于 . 4. = .5.已知sin(α+β)= ,sin(α-β)= ,求 的值.【课堂小结】︒︒︒+︒+︒40tan 20tan 120tan 40tan 20tan 2131)tan(tan tan tan )tan(2βαββαβα+--+。

3.1.2 两角和与差的正切一．学习目标:1.、能由正余弦的和差角公式推导出正切的和差角公式，并从推导过程中体 会到化归思想的作用。

2、能用正切的和差角公式进行简单三角函数式的化简、求值及恒等式证明。

二．课堂活动：活动一、利用两角和与差的正余弦公式推出两角和与差的正切公式：()()T T αβαβ+-观察上面的正切公式在结构上有什么特点？公式对一切角都适用吗？__________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________ 例1、（1）已知tan 2α=-，tan 5β=，求tan()αβ+。

（2）已知tan α，tan β是方程2230x x +-=的两根，求tan()αβ+的值。

思考感悟____________________________________________________________________________________________________________________________________________________ 活动二 公式的运用例2．（1）1tan 751tan 75-︒+︒（2）已知2-γtan ,4βtan ,2αtan ===，求)γ-βαtan(+的值。

（3）tan65tan70tan65tan70︒+︒-︒︒思考感悟____________________________________________________________________________________________________________________________________________________例3、 在斜三角形ABC 中，求证：tan tan tan tan tan tan A B C A B C ++=。

3.1.3两角和与差的正切学习目标1.能利用两角和与差的正弦、余弦公式推导出两角和与差的正切公式.2.能利用两角和与差的正切公式进行化简、求值、证明.3.熟悉两角和与差的正切公式的常见变形，并能灵活应用．知识点一两角和与差的正切公式思考1怎样由两角和的正弦、余弦公式得到两角和的正切公式？思考2由两角和的正切公式如何得到两角差的正切公式？梳理知识点二两角和与差的正切公式的变形1．T(α＋β)的变形tanα＋tanβ＝________________________.tanα＋tanβ＋tanαtanβtan(α＋β)＝____________.tanαtanβ＝________________________.2．T (α－β)的变形tan α－tan β＝________________________.tan α－tan β－tan αtan βtan(α－β)＝____________.tan αtan β＝____________________.类型一正切公式的正用例1(1)已知tan α＝－2，tan(α＋β)＝17，则tan β的值为________． (2)已知α，β均为锐角，tan α＝12，tan β＝13，则α＋β＝______. 反思与感悟(1)注意用已知角来表示未知角．(2)利用公式T (α＋β)求角的步骤：①计算待求角的正切值．②缩小待求角的范围，特别注意隐含的信息．③根据角的范围及三角函数值确定角．跟踪训练1已知θ是第四象限角，且sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝35，则tan ⎝⎛⎭⎫θ－π4＝________. 类型二 正切公式的逆用例2(1)1＋tan15°1－tan15°＝________； (2)1－3tan75°3＋tan75°＝________. 反思与感悟注意正切公式的结构特征，遇到两角正切的和与差，构造成与公式一致的形式，当式子出现12，1，3这些特殊角的三角函数值时，往往是“由值变角”的提示． 跟踪训练2求下列各式的值：(1)cos75°－sin75°cos75°＋sin75°； (2)1－tan27°tan33°tan27°＋tan33°.类型三 正切公式的变形使用例3(1)化简：tan23°＋tan37°＋3tan23°tan37°；(2)若锐角α，β满足(1＋3tan α)(1＋3tan β)＝4，求α＋β的值．反思与感悟两角和与差的正切公式有两种变形形式：①tan α±tan β＝tan(α±β)(1∓tan αtan β)或②1∓tan α·tan β＝tan α±tan βtan (α±β).当α±β为特殊角时，常考虑使用变形形式①，遇到1与正切的乘积的和(或差)时常用变形形式②.合理选用公式解题能起到快速、简捷的效果．跟踪训练3在△ABC 中，A ＋B ≠π2，且tan A ＋tan B ＋3＝3tan A tan B ，则角C 的值为________．1．若tan α＝3，tan β＝43，则tan(α－β)＝________. 2．已知cos α＝－45，且α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，则tan ⎝⎛⎭⎫π4－α＝________. 3．已知tan α＝12，则tan ⎝⎛⎭⎫π4＋α－11＋tan ⎝⎛⎭⎫π4＋α＝________. 4．已知A ，B 都是锐角，且tan A ＝13，sin B ＝55，则A ＋B ＝________. 5．已知sin α＋cos αsin α－cos α＝3，tan(α－β)＝2，则tan(β－2α)＝________.1．公式T (α±β)的结构特征和符号规律(1)公式T (α±β)的右侧为分式形式，其中分子为tan α与tan β的和或差，分母为1与tan αtan β的差或和．(2)符号变化规律可简记为“分子同，分母反”．2．应用公式T (α±β)时要注意的问题(1)公式的适用范围由正切函数的定义可知，α、β、α＋β(或α－β)的终边不能落在y 轴上，即不为k π＋π2(k ∈Z )． (2)公式的逆用一方面要熟记公式的结构，另一方面要注意常值代换如tan π4＝1，tan π6＝33，tan π3＝3等． 特别要注意tan(π4＋α)＝1＋tan α1－tan α， tan(π4－α)＝1－tan α1＋tan α. (3)公式的变形用只要用到tan α±tan β，tan αtan β时，有灵活应用公式T (α±β)的意识，就不难想到解题思路． 特别提醒：tan α＋tan β，tan αtan β，容易与根与系数的关系联系，应注意此类题型．答案精析问题导学知识点一思考1tan(α＋β)＝sin (α＋β)cos (α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin βcos αcos β－sin αsin β， 分子分母同除以cos αcos β，便可得到．思考2用－β替换tan(α＋β)中的β即可得到．知识点二1．tan(α＋β)(1－tan αtan β)tan(α＋β)1－tan α＋tan βtan (α＋β)2．tan(α－β)(1＋tan αtan β)tan(α－β)tan α－tan βtan (α－β)－1 题型探究例1(1)3(2)π4跟踪训练1－43例2(1)3(2)－1跟踪训练2解(1)原式＝1－tan75°1＋tan75°＝tan45°－tan75°1＋tan45°tan75°＝tan(45°－75°)＝tan(－30°)＝－tan30°＝－33.(2)原式＝1tan (27°＋33°)＝1tan60°＝33. 例3解(1)tan23°＋tan37°＋3tan23°tan37°＝tan(23°＋37°)(1－tan23°tan37°)＋3tan23°tan37° ＝tan60°(1－tan23°tan37°)＋3tan23°tan37°＝ 3.(2)∵(1＋3tan α)(1＋3tan β)＝1＋3(tan α＋tan β)＋3tan αtan β＝4，∴tan α＋tan β＝3(1－tan αtan β)，∴tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝ 3. 又∵α，β均为锐角，∴0°<α＋β<180°， ∴α＋β＝60°.跟踪训练3π3当堂训练 1.132.73.124.π45.43。

?两角和与差的正切? 课教学设计江苏省口岸中学叶阿平一、设计说明1设计意图从两角和与差的正余弦公式导入两角和与差的正切公式，培养学生的观察、分析、类比、联想的能力，从公式的内在联系及问题的解决过程中开展学生的正向、逆向思维和发散思维能力2实际操作第一步，创设问题情境先让学生口答两角和与差的正余弦公式，然后指出这两个公式是讨论复角与单角的正余弦的关系，且此关系对任意角都成立，那么能否用和来表示呢？第二步，提出问题，形成概念学生阅读教材“两角和与差的正切〞公式的推导，思考讨论：（1）公式是如何推导的？有什么限制条件？（2）公式有何特点〔结构，正负号〕？如何记忆？第三步，数学应用例1 “两角和与差的正切〞公式的直接使用例2 利用“1〞的代换，培养学生的逆向思维例3 给值求值问题例4 给值求角问题第四步，总结本节学习了两角和与差的正切公式，要熟记公式〔结构，符号〕，并能利用公式解决三角求值、求角问题二、详细内容两角和与差的正切教学目标：1.知识与技能：掌握公式及其推导过程，理解公式成立的条件；会用公式求值2.过程与方法培养学生的观察、分析、类比、联想的能力；间接推理能力；自学能力3.情感、态度与价值观从公式的内在联系及问题的解决过程中开展学生的正向、逆向思维和发散思维能力，构建良好的数学思维品质教学重点：两角和与差的正切公式的推导过程，公式的结构特点及其成立条件，运用公式求值教学难点：两角和与差的正切公式的灵活运用教学过程：（一）创设问题情景让学生默写两角和与差的正余弦公式，然后指出这两个公式是讨论复角与单角的正余弦的关系，且此关系对任意角都成立，那么能否用和来表示呢？设计意图：以久引新，通过设疑，引导学生积极思考〔二〕公式的推导与理解让学生阅读教材“两角和与差的正切〞公式的推导，思考讨论：1.公式是如何推导的？有什么限制条件？2.公式有何特点？〔结构，符号〕如何记忆？由学生答复上述问题，教师点评，结论如下：1 由两角和与差的正余弦公式可推导正切公式：由正切函数的定义可知，公式成立的条件是都不能取2 注意公式的符号和结构特征，理解记忆，比照记忆设计意图：通过对三个问题的分析讨论，使学生对公式有一个清晰完整的认识，为公式的灵活应用打下根底，同时培养学生的自学能力〔三〕数学应用例1 是方程的两根，求的值变式练习：假设，求设计意图：通过具体例子展示灵活应用公式的优越性，有利于学生进一步掌握公式的结构特征例2计算的值变式练习：计算〔1〕；〔2〕设计意图：使学生全面理解公式，既会正用也会逆用，培养学生的逆向思维能力以及思维的灵活性，注重特殊值的巧妙代换例3 ，，求的值变式练习：，，求的值设计意图：这是一道典型的给值求值问题，通过建立目标角与角的联系将问题化归，从而培养学生观察、转化的数学思想例4 ，，且，求的值变式练习：，，且，求的值设计意图：这是一道典型的给值求角问题，在给值求值问题的根底上，通过限定角的范围，进而求出角，通过此道题培养学生化归的数学思想〔四〕课堂小结本节我们学习了两角和与差的正切公式，要熟记公式，其中公式的结构和符号特征可用类比的方法理解记忆，这两个公式的作用在于用单角的正切来表示复角的正切，在解题过程中要善于发现规律，灵活应用公式〔五〕作业课堂作业：教材练习1,2,3,5,6课后作业：教材习题1,2,5,6三、教学后反思：学生能够熟练掌握两角和与差的正切公式，灵活应用公式求值，在公式的推导和解题过程中培养了学生的观察、分析、类比、联想的能力，开展了学生的正向、逆向思维和发散思维能力，构建了良好的数学思维品质。

江苏省泰兴中学高一数学教学案(64)必修4_03 两角和与差的正弦（1）班级 姓名目标要求：掌握两角和与差的正弦公式的推导，能利用两角和与差公式解决某些求值问题.重点难点重点：通过公式推导及运用，培养学生掌握运用在获得数学知识中的数学思想方法. 难点：两角和与差的正弦公式的导出.典例剖析例1、用正弦公式求︒105sin ，)125sin(π-的值.例2、已知2sin 3α=，33(,),cos ,(,)252ππαπββπ∈=-∈，求sin()αβ+的值例3、①已知54cos(),cos ,,135αββαβ+==均为锐角，求sin α的值②已知2sin(),4342πππαα-=-<<，求sin α的值.例4、求函数sin y x x =的最大、最小值.并求相应的x 的值.学习反思1、cos()αβ+= cos()αβ-=sin()αβ+= sin()αβ-=2、sin cos (0,0)y a x b x a b =+>>用一个三角函数可表示为___________________或_____________________.3、三角求值时，需特别注意已知角与所求角之间的关系，并注意角的范围的限制.课堂练习1、下列等式中一定正确的序号是___________（1）βαβαsin sin )sin(+=+ （2）βαβαsin sin )sin(-=-（3）ααπsin )2cos(=+ （4）ααπcos )2sin(=-2、计算：177sin cos 212212ππ-= _____________3.计算：0000sin 200cos140cos160sin 40-＝_________4、=+-++-︒︒︒︒)19sin()41cos()19cos()41sin(x x x x ___________5、在ABC ∆中，若135cos ,53cos ==B A 则)sin(B A +的值为_________ 6、已知3sin(),(,)652ππθθπ+=∈则sin θ=_____________ 7、求()sin cos f x x x =+的最大值，并指出取最大值时x 的值江苏省泰兴中学高一数学作业(64)班级 姓名 得分1、在ABC ∆中，若B A B A sin cos 1cos sin +=则这个三角形一定是_________三角形2、已知122cos ,(,),133θθππ=-∈则sin()4πθ+的值为_________3、函数y x x =+的图像的对称轴是_________4、已知5cos(2),313123x x πππ+=-<<，则sin 2x =________ 5设=+=︒︒︒︒b a ),14cos 45sin 14sin 45(cos 2︒︒16cos 45(sin 2+cos 45sin16)︒︒，c =，则a 、b 、c 的大小关系是_______________ 6、已知23sin ,cos ,34αβ==-且,αβ都是第二象限角，求sin()αβ-的值.7、已知31)sin(,21)sin(=-=+βαβα，求tan tan αβ的值8、化简:]sin )2[sin(21cos )sin(ββααβα-+-+9、求函数cos x x -的最值及取得最值时x 的取值，求出单调区间，并说明经过怎样的变换可得到y ＝sin x 的图像10、在ABC ∆中，sin cos sin ,A B C =⋅且()()AC BC AC BC +⊥-，试判断三角形的形状.。