【精编】2015-2016年广东省湛江一中高二(上)数学期中试卷和参考答案(文科)

2023-2024学年广东省湛江市高二（上）期中数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．英文单词peach 所有字母组成的集合记为A ，英文单词apple 所有字母组成的集合记为B ，则A ∩B ＝（ ） A ．{p } B ．{p ，e }C ．{p ，e ，a }D ．{p ，e ，a ，c }2．设z =1+i1−i+i 2，则z +z =（ ） A ．4B ．2C ．﹣2D ．﹣43．若直线a 2x +y ﹣1＝0的斜率大于﹣4，则a 的取值范围为（ ） A ．（﹣2，2） B ．（﹣2，0）∪（0，2）C ．（﹣∞，2）D ．（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞）4．在空间直角坐标系中，已知直线l 的一个方向向量为m →=(0，−1，−√3)，平面α的一个法向量为n →=(0，√3，1)，则直线l 与平面α所成的角为（ ） A ．30°B ．150°C ．60°D ．120°5．已知圆C 的圆心为抛物线y ＝x 2+2x +3的顶点，且圆C 经过点（1，6），则圆C 的方程为（ ） A ．（x ﹣1）2+（y +2）2＝20 B ．（x +1）2+（y ﹣2）2＝20 C ．（x ﹣1）2+（y +2）2＝16D ．（x +1）2+（y ﹣2）2＝166．在四面体OABC 中，D 为BC 的中点，E 为AD 的中点，则OE →=（ ） A ．12OA →+14AB →+14AC →B ．OA →+14AB →+14AC →C ．12OA →+12AB →+12AC →D ．OA →+12AB →+12AC →7．某地A ，B 两厂在平面直角坐标系上的坐标分别为A （0，0），B （﹣2，0），一条河所在直线的方程为x +2y ﹣5＝0．若在河上建一座供水站P ，则P 到A ，B 两点距离之和的最小值为（ ） A ．4√2B ．32C ．4√3D ．488．已知点G 为△ABC 的重心，D ，E 分别为AB ，AC 边上一点，D ，G ，E 三点共线，F 为BC 的中点，若AF →=λAD →+μAE →，则1λ+4μ的最小值为（ ）A ．272B ．7C ．92D ．6二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．若直线ax +2y ＝0与直线x +a （a +1）y +4＝0垂直，则a 的值可能是（ ） A ．−32B ．−23C ．0D ．110．广东省2017到2022年常住人口变化图如图所示：则（ ）A ．广东省2017到2022年这6年的常住人口逐年递增B ．广东省2017到2022年这6年的常住人口的极差为1515万C ．从这6年中任选1年，则这1年的常住人口大于12000万的概率为12D ．广东省2017到2022年这6年的常住人口的第70百分位数为12656.80万 11．圆C ：x 2+y 2﹣4x +6y +13＝r 2（r ＞0）与圆D ：x 2+y 2＝16的位置关系可能是（ ） A ．内含B ．相交C ．外切D ．内切12．在棱长为1的正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，AP →=tAD 1→+(1−t)AB →，t ∈[0，1]，则（ ） A ．当BD 1⊥平面ACP 时，t =13B ．AP →⋅CP →的最小值为−13C ．当点D 到平面ACP 的距离最大时，t =23D ．当三棱锥D ﹣ACP 外接球的半径最大时，t =23 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．若f （x ）是奇函数，且f （6）＝﹣4+f （﹣6），则f （6）＝ ．14．在空间直角坐标系中，已知A （5，2，1），B （4，2，﹣1），C （0，﹣1，0），D （1，0，1），则直线AB 与CD 所成角的余弦值为 ．15．直线x cos40°﹣y sin40°+1＝0的倾斜角为 ．16．若曲线(x +√3)(√3x −y −2)=0与圆x 2+（y ﹣m ）2＝m 2恰有4个公共点，则m 的取值范围是 ．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）已知直线l经过直线l1：x﹣y+1＝0与直线l2：2x+y﹣4＝0的交点．（1）若直线l经过点（3，3），求直线l在x轴上的截距；（2）若直线l与直线l3：4x+5y﹣12＝0平行，求直线l的一般式方桯．18．（12分）a，b，c分别为△ABC内角A，B，C的对边．已知√5a sin B＝b．（1）求cos2A；（2）若A为钝角，且b=√5，c＝3，求△ABC的周长．19．（12分）如图，在正三棱柱A1B1C1﹣ABC中，D，E，F分别为AC，CC1，BC的中点，A1A=2√3，AB＝2．（1）证明：DF∥平面A1B1E．（2）若B1F⊥平面α，求平面α与平面A1B1E夹角的余弦值．20．（12分）已知圆C与两坐标轴的正半轴都相切，且截直线x﹣y＝0所得弦长等于2．（1）求圆C的标准方程；（2）求圆C截直线3x﹣y＝0所得弦长；（3）若P（x，y）是圆C上的一个动点，求z＝x2+y2+4x+6y+18的最小值．21．（12分）如图，在底面为梯形的四棱锥E﹣ABCD中，BC∥AD，BE⊥底面ABCD，AB＝BC＝1，BE＝AD＝3，AC=√2．（1）证明：AD⊥平面ABE．（2）延长AB至点F，使得AB＝BF，求点F到平面CDE的距离．22．（12分）已知圆C：λx2﹣2x+λy2﹣4y+6﹣5λ＝0（λ＞0）．（1）证明：圆C恒过两个定点．（2）当λ＝1时，若过点A（﹣1，0）的直线l与圆C交于M（x1，y1），N（x2，y2）两点，且1y1+1y2等于直线l的斜率，求直线l的斜率．2023-2024学年广东省湛江市高二（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．英文单词peach 所有字母组成的集合记为A ，英文单词apple 所有字母组成的集合记为B ，则A ∩B ＝（ ） A ．{p }B ．{p ，e }C ．{p ，e ，a }D ．{p ，e ，a ，c }解：因为英文单词peach 所有字母组成的集合记为A ，英文单词apple 所有字母组成的集合记为B ， 所以A ＝{p ，e ，a ，c ，h }，B ＝{a ，p ，l ，e }， 所以A ∩B ＝{p ，e ，a }． 故选：C ． 2．设z =1+i1−i+i 2，则z +z =（ ） A ．4 B ．2C ．﹣2D ．﹣4解：∵z =1+i 1−i+i 2=1+i 1−i−1=1+i−i =−1+i ， ∴z +z =−1+i −1−i =−2． 故选：C ．3．若直线a 2x +y ﹣1＝0的斜率大于﹣4，则a 的取值范围为（ ） A ．（﹣2，2） B ．（﹣2，0）∪（0，2）C ．（﹣∞，2）D ．（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞）解：直线a 2x +y ﹣1＝0的斜率为﹣a 2，由题意﹣a 2＞﹣4，解得﹣2＜a ＜2． 故选：A ．4．在空间直角坐标系中，已知直线l 的一个方向向量为m →=(0，−1，−√3)，平面α的一个法向量为n →=(0，√3，1)，则直线l 与平面α所成的角为（ ） A ．30°B ．150°C ．60°D ．120°解：设直线l 与平面α所成的角为β，β∈[0，π2]，则sinβ=|cos〈m →，n →〉|=|m →⋅n →||m →||n →|=2√32×2=√32，则β＝60°．故选：C ．5．已知圆C 的圆心为抛物线y ＝x 2+2x +3的顶点，且圆C 经过点（1，6），则圆C 的方程为（ ）A ．（x ﹣1）2+（y +2）2＝20B ．（x +1）2+（y ﹣2）2＝20C ．（x ﹣1）2+（y +2）2＝16D ．（x +1）2+（y ﹣2）2＝16解：∵抛物线y ＝x 2+2x +3＝（x +1）2+2，∴顶点坐标为（﹣1，2），即圆C 的圆心坐标为（﹣1，2）， 又圆C 经过点（1，6），∴R =√(−1−1)2+(2−6)2=2√5， ∴圆C 的方程为（x +1）2+（y ﹣2）2＝20． 故选：B ．6．在四面体OABC 中，D 为BC 的中点，E 为AD 的中点，则OE →=（ ） A ．12OA →+14AB →+14AC →B ．OA →+14AB →+14AC →C ．12OA →+12AB →+12AC →D ．OA →+12AB →+12AC →解：因为D 为BC 的中点，所以AD →=12(AB →+AC →)．因为E 为AD 的中点，所以AE →=14(AB →+AC →)， 所以OE →=OA →+AE →=OA →+14AB →+14AC →． 故选：B ．7．某地A ，B 两厂在平面直角坐标系上的坐标分别为A （0，0），B （﹣2，0），一条河所在直线的方程为x +2y ﹣5＝0．若在河上建一座供水站P ，则P 到A ，B 两点距离之和的最小值为（ ） A ．4√2B ．32C ．4√3D ．48解：如图，设A 关于直线x +2y ﹣5＝0对称的点为A '（a ，b ），则{a 2+2⋅b2−5=0b a ⋅(−12)=−1，得{a =2b =4，即A '（2，4）， 易知|AP |＝|A 'P |，当A '，P ，B 三点共线时，|P A |+|PB |＝|P A '|+|PB |取得最小值，最小值为|A′B|=√(2+2)2+(4−0)2=4√2．故选：A ．8．已知点G 为△ABC 的重心，D ，E 分别为AB ，AC 边上一点，D ，G ，E 三点共线，F 为BC 的中点，若AF →=λAD →+μAE →，则1λ+4μ的最小值为（ ）A ．272B ．7C ．92D ．6解：因为点G 为△ABC 的重心，所以AG =23AF ，则AF →=32AG →，因为D ，G ，E 三点共线，AG →=23AF →=mAD →+(1−m)AE →，所以λ=32m ，μ=32(1−m)，所以λ+μ=32，λ，μ∈(0，1]， 所以1λ+4μ=(1λ+4μ)(λ+μ)⋅23=23(5+μλ+4λμ)≥23(5+2√4)=6，当且仅当μλ=4λμ，即μ=1，λ=12时，等号成立，故1λ+4μ的最小值为6．故选：D ．二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．若直线ax +2y ＝0与直线x +a （a +1）y +4＝0垂直，则a 的值可能是（ ） A ．−32B ．−23C ．0D ．1解：直线ax +2y ＝0与直线x +a （a +1）y +4＝0垂直， 则a +2a （a +1）＝0，解得a ＝0或a =−32． 故选：AC ．10．广东省2017到2022年常住人口变化图如图所示：则（ ）A ．广东省2017到2022年这6年的常住人口逐年递增B ．广东省2017到2022年这6年的常住人口的极差为1515万C ．从这6年中任选1年，则这1年的常住人口大于12000万的概率为12D ．广东省2017到2022年这6年的常住人口的第70百分位数为12656.80万 解：对于A ，由图可知，2021年到2022年常住人口在减少，故A 错误；对于B ，将广东省2017到2022年这6年的常住人口（单位：万）按照从小到大的顺序排列为： 11169.00，11346.00，11521.00，12601.25，12656.80，12684.00， 则极差为12684.00﹣11169.00＝1515万，故B 正确；对于C ，因为这6个数据中大于12000万的有3个，所以从这6年中任选1年，则这1年的常住人口大于12000万的概率为36=12，故C 正确；对于D ，因为6×70%＝4.2，所以第70百分位数为12656.80万，故D 正确． 故选：BCD ．11．圆C ：x 2+y 2﹣4x +6y +13＝r 2（r ＞0）与圆D ：x 2+y 2＝16的位置关系可能是（ ） A ．内含B ．相交C ．外切D ．内切解：圆C 的标准方程为（x ﹣2）2+（y +3）2＝r 2（r ＞0），圆D ：x 2+y 2＝16， 因为22+（﹣3）2＜16，所以圆C 的圆心在圆D 的内部， 所以两圆的位置关系可能是内含、相交、内切，不可能是外切． 故选：ABD ．12．在棱长为1的正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，AP →=tAD 1→+(1−t)AB →，t ∈[0，1]，则（ ） A ．当BD 1⊥平面ACP 时，t =13B ．AP →⋅CP →的最小值为−13C ．当点D 到平面ACP 的距离最大时，t =23D ．当三棱锥D ﹣ACP 外接球的半径最大时，t =23 解：以A 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则A （0，0，0），B （1，0，0），D 1（0，1，1），C （1，1，0），所以BD 1→=(−1，1，1)，AD 1→=（0，1，1），AB →=（1，0，0），CA →=（﹣1，﹣1，0）， 所以AP →=tAD 1→+(1−t)AB →=（1﹣t ，t ，t ），即P （1﹣t ，t ，t ）， 所以CP →=（﹣t ，t ﹣1，t ），对于选项A ，当BD 1⊥平面ACP 时，BD 1→⋅CP →=t +t −1+t =0，解得t =13，即选项A 正确； 对于选项B ，AP →⋅CP →=−t(1−t)+t(t −1)+t 2=3t 2−2t =3(t −13)2−13，当t =13时，AP →⋅CP →取得最小值−13，即选项B 正确；对于选项C ，当P 是BD 1的中点，即t =12时，平面ACP ⊥底面ABCD ， 此时点D 到平面ACP 的距离最大，即选项C 错误； 对于选项D ，因为AD ⊥CD ，所以过斜边AC 的中点作平面DAC 的垂线，则三棱锥D ﹣ACP 外接球的球心必在该垂线上， 所以可设球心O 的坐标为(12，12，x)(0⩽x ⩽1)，球的半径为R ，因为|OP |＝|OA |＝R ，所以√(12−t)2+(t −12)2+(t −x)2=√12+x 2=R ，整理得t （3t ﹣2）＝2xt ， 在三棱锥D ﹣ACP 中，t ≠0，所以3t ﹣2＝2x ，即x =3t2−1， 所以R =√12+(32t −1)2⩾√22，当且仅当t =23时，等号成立，此时三棱锥D ﹣ACP 外接球的半径最小，即D 错误． 故选：AB ．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．若f （x ）是奇函数，且f （6）＝﹣4+f （﹣6），则f （6）＝ ﹣2 ． 解：因为f （x ）是奇函数，所以f （﹣6）＝﹣f （6）， 由f （6）＝﹣4+f （﹣6），即f （6）＝﹣4﹣f （6）， 所以2f （6）＝﹣4，则f （6）＝﹣2． 故答案为：﹣2．14．在空间直角坐标系中，已知A （5，2，1），B （4，2，﹣1），C （0，﹣1，0），D （1，0，1），则直线AB 与CD 所成角的余弦值为√155． 解：因为CD →=(1，1，1)，AB →=(−1，0，−2)，所以cos ＜AB →，CD →＞=AB →⋅CD→|AB →|⋅|CD →|=−35×3=−√155，所以直线AB 与CD 所成角的余弦值为√155． 15．直线x cos40°﹣y sin40°+1＝0的倾斜角为 50° ． 解：∵直线x cos40°﹣y sin40°+1＝0的斜率为k =cos40°sin40°=sin50°cos50°=tan50°，又倾斜角的范围是[0，π）， ∴直线的倾斜角为50°． 故答案为：50°．16．若曲线(x +√3)(√3x −y −2)=0与圆x 2+（y ﹣m ）2＝m 2恰有4个公共点，则m 的取值范围是 (−∞，−145)∪(−145，−√3)∪(2，+∞) ．解：因为曲线(x +√3)(√3x −y −2)=0与圆x 2+（y ﹣m ）2＝m 2恰有4个公共点，所以直线x +√3=0，√3x −y −2=0均与圆x 2+（y ﹣m ）2＝m 2相交，且两直线的交点(−√3，−5)不在该圆上，则有{√3＜|m||√3×0−m−2|3+1|m|(−√3)2+(−5−m)2≠m 2，解得m ∈(−∞，−145)∪(−145，−√3)∪(2，+∞)． 故答案为：(−∞，−145)∪(−145，−√3)∪(2，+∞)． 四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（10分）已知直线l 经过直线l 1：x ﹣y +1＝0与直线l 2：2x +y ﹣4＝0的交点． （1）若直线l 经过点（3，3），求直线l 在x 轴上的截距；（2）若直线l 与直线l 3：4x +5y ﹣12＝0平行，求直线l 的一般式方桯． 解：（1）由{x −y +1=02x +y −4=0解得{x =1y =2，即l 1和l 2的交点坐标为（1，2），因为直线l 经过点（3，3），所以直线l 的斜率为3−23−1=12，所以直线l 的方程为y −2=12(x −1)，令y ＝0，得x ＝﹣3，所以直线l 在x 轴上的截距为﹣3； （2）因为直线l 与直线l 3：4x +5y ﹣12＝0平行，可得直线l 的斜率为−45，所以直线l 的方程为y ﹣2=−45（x ﹣1），即直线l的一般式方程为4x+5y﹣14＝0．18．（12分）a，b，c分别为△ABC内角A，B，C的对边．已知√5a sin B＝b．（1）求cos2A；（2）若A为钝角，且b=√5，c＝3，求△ABC的周长．解：（1）因为√5asinB=b，所以由正弦定理，可得√5sinAsinB=sinB，因为sin B＞0，所以sinA=√55，所以cos2A=1−2sin2A=3 5；（2）因为A为钝角，且sinA=√55，所以cosA=−√1−(√55)2=−2√55，由余弦定理得a2＝b2+c2﹣2bc cos A，即a2=5+9−6√5×(−2√55)=26，所以a=√26，故△ABC的周长为3+√5+√26．19．（12分）如图，在正三棱柱A1B1C1﹣ABC中，D，E，F分别为AC，CC1，BC的中点，A1A=2√3，AB＝2．（1）证明：DF∥平面A1B1E．（2）若B1F⊥平面α，求平面α与平面A1B1E夹角的余弦值．（1）证明：因为D，F分别为AC，BC的中点，所以DF∥AB，在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB∥A1B1，所以DF∥A1B1，又因为DF⊄平面A1B1E，A1B1⊂平面A1B1E，所以DF∥平面A1B1E；（2）解：取AB的中点O，连接OC，以O 为坐标原点，OB ，OC 所在直线分别为x ，y 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则A 1(−1，0，2√3)，B 1(1，0，2√3)，E(0，√3，√3)，F(12，√32，0)， 所以A 1E →=(1，√3，−√3)，A 1B 1→=(2，0，0)，设平面A 1B 1E 的法向量为n →=(x ，y ，z)，所以n →⊥A 1B 1→，n →⊥A 1E →，则{n →⋅A 1B 1→=2x =0，n →⋅A 1E →=x +√3y −√3z =0，取y ＝1，得x ＝0，z ＝1，所以平面A 1B 1E 的一个法向量为n →=(0，1，1)，因为B 1F ⊥平面α，所有B 1F →=(−12，√32，−2√3)是平面α的一个法向量，所以|cos〈n →，B 1F →〉|=|n →⋅B 1F →||n →||B 1F →|=3√3226=3√7852． 故平面α与平面A 1B 1E 夹角的余弦值为3√7852． 20．（12分）已知圆C 与两坐标轴的正半轴都相切，且截直线x ﹣y ＝0所得弦长等于2．（1）求圆C 的标准方程；（2）求圆C 截直线3x ﹣y ＝0所得弦长；（3）若P （x ，y ）是圆C 上的一个动点，求z ＝x 2+y 2+4x +6y +18的最小值．解：（1）∵圆C 与两坐标轴的正半轴都相切，得圆C 的圆心在直线x ﹣y ＝0上，圆截直线x ﹣y ＝0所得弦长等于2，∴圆C 的直径为2r ＝2，即r ＝1．设圆心C 的坐标为（a ，a ）（a ＞0），则a ＝r ＝1，∴圆C 的标准方程为（x ﹣1）2+（y ﹣1）2＝1．（2）∵圆C 的标准方程为（x ﹣1）2+（y ﹣1）2＝1．∴圆的半径为r ＝1，圆心C （1，1）到3x ﹣y ＝0的距离d =10， ∴圆C 截直线3x ﹣y ＝0所得弦长为2√1−d 2=2√155．（3）z ＝x 2+y 2+4x +6y +18＝（x +2）2+（y +3）2+5=[√(x +2)2+(y +3)2]2+5，∵√(x +2)2+(y +3)2表示点P （x ，y ）与点A （﹣2，﹣3）之间的距离|P A |，又点P （x ，y ）在圆C 上，∴|P A |的最小值为|AC|−r =√(−2−1)2+(−3−1)2−1=4，∴z 的最小值为42+5＝21．21．（12分）如图，在底面为梯形的四棱锥E ﹣ABCD 中，BC ∥AD ，BE ⊥底面ABCD ，AB ＝BC ＝1，BE ＝AD ＝3，AC =√2．（1）证明：AD ⊥平面ABE ．（2）延长AB 至点F ，使得AB ＝BF ，求点F 到平面CDE 的距离．解：（1）证明：∵AB ＝BC ＝1，BE ＝AD ＝3，AC =√2，∴AB 2+BC 2＝AC 2，∴AB ⊥BC ，又BE ⊥底面ABCD ，BC ⊂底面ABCD ，∴BE ⊥BC ，又AB ∩BE ＝B ，∴BC ⊥平面ABE ，又BC ∥AD ，∴AD ⊥平面ABE ；（2）以B 为坐标原点，BE →，BA →，BC →的方向分别为x 轴，y 轴，z 轴的正方向，建系如图，则E （3，0，0），C （0，0，1），D （0，1，3），F （0，﹣1，0），∴CE →=(3，0，−1)，CD →=(0，1，2)，设平面CDE 的法向量为n →=(x ，y ，z)，则{n →⋅CE →=3x −z =0n →⋅CD →=y +2z =0，取n →=(1，−6，3)，又FE →=(3，1，0)，∴点F 到平面CDE 的距离d =|n →⋅FE →||n →|=3√46=3√4646． 22．（12分）已知圆C ：λx 2﹣2x +λy 2﹣4y +6﹣5λ＝0（λ＞0）．（1）证明：圆C 恒过两个定点．（2）当λ＝1时，若过点A （﹣1，0）的直线l 与圆C 交于M （x 1，y 1），N （x 2，y 2）两点，且1y 1+1y 2等于直线l 的斜率，求直线l 的斜率．（1）证明：圆C 的方程可化为λ（x 2+y 2﹣5）﹣2x ﹣4y +6＝0．令{x 2+y 2=5−2x −4y +6=0，得 {x =−1y =2，或{x =115y =25， 故圆C 恒过两个定点，且这两个定点的坐标为（﹣1，2）和(115，25)； （2）解：当λ＝1时，圆C 的方程可化为x 2+y 2﹣2x ﹣4y +1＝0．由题知直线l 的斜率k 存在且不为0，设直线l 的方程为y ＝k （x +1），联立{y =k(x +1)x 2+y 2−2x −4y +1=0，消去x 得（1+k 2）y 2﹣4k （1+k ）y +4k 2＝0， 所以{ y 1+y 2=4k(1+k)1+k 2y 1y 2=4k21+k 2，Δ＝16k 2（1+k ）2﹣16k 2（1+k 2）＞0，解得k ＞0． 因为1y 1+1y 2=y 1+y 2y 1y 2=1+k k ，所以1+kk =k ，解得k =1±√52，又k ＞0， 所以k =1+√52．。

广东省湛江一中2015届高考数学“临门一脚”试卷（文科）一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合A={x|x2﹣4＞0}，B={x|x﹣2＜0}，则（∁R A）∩B等于( ) A．（﹣∞，2）B． C．（﹣2，2）D．①f（x）的图象关于直线对称②f（x）的图象关于点对称③f（x）的图象向左平移个单位，得到一个偶函数的图象④f（x）的最小正周期为π，且在上为增函数．A．③B．①③C．②④D．①③④8．函数f（x）=xsinx的图象大致是( )A．B．C．D．9．某几何体的三视图如图所示，且正视图、侧视图都是矩形，则该几何体的体积是( )A．16 B．12 C．8 D．610．称d（）=|﹣|为两个向量、间的“距离”．若向量、满足：①||=1；②≠；③对任意的t∈R，恒有d（，t）≥d（，），则( )A．B．⊥（）C．⊥（）D．（）⊥（二、填空题：本大题共3小题，考生作答4小题，每小题5分，满分15分．（一）必做题（11-13题）11．不等式x2﹣3x﹣10＜0的解集为__________．12．圆心在x轴上，半径长是4，且与直线x=5相切的圆的方程是__________．13．书架上有语文、数学、英语书若干本，它们的数量比依次是2：4：5，现用分层抽样的方法从书架上抽取一个样本，若抽出的语文书为10本，则应抽出的英语书__________本．（二）选做题（14、15题，考生只能从中选做一题）（坐标系与参数方程选做题）14．在极坐标系中，直线ρsin（θ+）=2的倾斜角为__________．（几何证明选讲选做题）15．如图，O是半圆的圆心，直径AB=2，PB是圆的一条切线，割线PA与半圆交于点C，AC=4，则PB=__________．三、解答题（本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）16．在△ABC中，内角A、B、C的对边分别为a，b，c，且a＞c，已知•=2，cosB=，b=3，求：（Ⅰ）a和c的值；（Ⅱ）cos（B﹣C）的值．17．空气污染，又称为大气污染，是指由于人类活动或自然过程引起某些物质进入大气中，呈现出足够的浓度，达到足够的时间，并因此危害了人体的舒适、健康和福利或环境的现象．全世界也越来越关注环境保护问题．当空气污染指数（单位：μg/m3）为0～50时，空气质量级别为一级，空气质量状况属于优；当空气污染指数为50～100时，空气质量级别为二级，空气质量状况属于良；当空气污染指数为100～150时，空气质量级别为三级，空气质量状况属于轻度污染；当空气污染指数为150～200时，空气质量级别为四级，空气质量状况属于中度污染；当空气污染指数为200～300时，空气质量级别为五级，空气质量状况属于重度污染；当空气污染指数为300以上时，空气质量级别为六级，空气质量状况属于严重污染．1月某日某省x个监测点数据统计如下：空气污染指数（单位：μg/m3）（50，100] （100，150] （150，200]监测点个数15 40 y 10（Ⅰ）根据所给统计表和频率分布直方图中的信息求出x，y的值，并完成频率分布直方图；（Ⅱ）若A市共有5个监测点，其中有3个监测点为轻度污染，2个监测点为良．从中任意选取2个监测点，事件A“其中至少有一个为良”发生的概率是多少？18．如图5，已知△BCD中，∠BCD=90°，BC=CD=1，AB=，AB⊥平面BCD，E、F分别是AC、AD的中点．（1）求证：平面BEF⊥平面ABC；（2）设平面BEF∩平面BCD=l，求证CD∥l；（3）求四棱锥B﹣CDFE的体积V．19．设S n为数列{a n}的前n项和，对任意的n∈N*，都有S n=（m+1）﹣ma n（m为正常数）（1）求证：数列{a n}是等比数列；（2）数列{b n}满足：b1=2a1，b n=（n≥2，n∈N+），求数列{b n}的通项公式；（3）在满足（2）的条件下，求数列{}的前n项和T n．20．已知抛物线C：x2=2py（p＞0），抛物线上一点Q（m，）到焦点的距离为1．（Ⅰ）求抛物线C的方程（Ⅱ）设过点M（0，2）的直线l与抛物线C交于A，B两点，且A点的横坐标为n（n∈N*）（ⅰ）记△AOB的面积为f（n），求f（n）的表达式（ⅱ）探究是否存在不同的点A，使对应不同的△AOB的面积相等？若存在，求点A点的坐标；若不存在，请说明理由．21．已知函数f（x）=lnx+x2﹣ax，a∈R．（Ⅰ）若a=3，求f（x）的单调区间；（Ⅱ）若f（x）有两个极值点x1、x2，记过点A（x1，f（x1）），B（x2，f（x2））的直线的斜率为k，问是否存在a，使k=﹣？若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由．广东省湛江一中2015届高考数学“临门一脚”试卷（文科）一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合A={x|x2﹣4＞0}，B={x|x﹣2＜0}，则（∁R A）∩B等于( ) A．（﹣∞，2）B． C．（﹣2，2）D．，∴（∁U A）∩B=故选：B．点评：本题考查复数的模的求法，复数的代数形式的混合运算，考查计算能力．4．在各项均为正数的等比数列{a n}中，已知a1a5=25，则a3等于( )A．5 B．25 C．﹣25 D．﹣5或5考点：等比数列的通项公式．专题：等差数列与等比数列．分析：直接由已知结合等差数列的性质求得a3．解答：解：在等比数列{a n}中，由a1a5=25，得，即a3=±5．∵a n＞0，∴a3=5．故选：A．点评：本题考查了等差数列的通项公式，考查等差数列的性质，是基础题．5．若幂函数f（x）=mxα的图象经过点A（，），则它在点A处的切线方程是( ) A．2x﹣y=0 B．2x+y=0 C．4x﹣4y+1=0 D．4x+4y+1=0考点：利用导数研究曲线上某点切线方程；幂函数的概念、解析式、定义域、值域．专题：计算题；导数的概念及应用；直线与圆．分析：由幂函数的定义，可得m=1，运用代入法，可得f（x）的解析式，再求导数，和切线的斜率，运用点斜式方程，即可得到切线方程．解答：解：因为f（x）=mxα为幂函数，故m=1，又图象经过点A（，），则有=，则α=，即有f（x）=．则f′（x）=，则f（x）在点A处的切线斜率为•=1，则有切线方程为y﹣=x﹣，即为4x﹣4y+1=0．故选：C．点评：本题考查幂函数的定义，主要考查导数的运用：求切线方程，正确求导和运用点斜式方程是解题的关键．6．由直线x﹣y+1=0，x+y﹣5=0和x﹣1=0所围成的三角形区域（包括边界）用不等式组可表示为( )A．B．C．D．考点：简单线性规划．专题：不等式的解法及应用．分析：作出对应的平面区域，根据二元一次不等式组与平面之间的关系即可得到结论．解答：解：作出对应的平面区域，则三角形区域在直线x=1的右侧，∴x≥1，在x﹣y+1=0的上方，则x﹣y+1≤0，在x+y﹣5=0的下方，则x+y﹣5≤0，则用不等式组表示为，故选：A．点评：本题主要考查二元一次不等式组表示平面区域，利用数形结合是解决本题的关键．7．设函数，则下列结论正确的是( )①f（x）的图象关于直线对称②f（x）的图象关于点对称③f（x）的图象向左平移个单位，得到一个偶函数的图象④f（x）的最小正周期为π，且在上为增函数．A．③B．①③C．②④D．①③④考点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换；三角函数的周期性及其求法；正弦函数的单调性；正弦函数的对称性．专题：计算题．分析：研究函数的性质，可利用代入法，将2x+看做整体，若它的取值为正弦函数的对称轴或对称中心横坐标，则其对应的x值即为所研究函数的对称轴或对称中心横坐标，同理2x+所在区间为正弦函数的单调增区间，则其对应的x所在区间为所研究函数的单调增区间，由此判断①②④的正误，利用函数图象的平移变换理论和诱导公式、偶函数的定义可证明③正确解答：解：①∵2×+=π，x=π不是正弦函数的对称轴，故①错误；②∵2×+=，（，0）不是正弦函数的对称中心，故②错误；③f（x）的图象向左平移个单位，得到y=sin=sin（2x+）=cos2x，y=cos2x为偶函数，故③正确；④由x∈，得2x+∈，∵不是正弦函数的单调递增区间，故④错误；故选A点评：本题主要考查了y=Asin（ωx+φ）型函数的图象和性质，函数的对称轴、对称中心、单调区间的求法，函数图象的平移变换和函数奇偶性的定义，整体代入的思想方法8．函数f（x）=xsinx的图象大致是( )A．B．C．D．考点：函数的图象．专题：函数的性质及应用．分析：利用函数的奇偶性排除选项，然后利用特殊值判断即可．解答：解：函数f（x）=xsinx满足f（﹣x）=﹣xsin（﹣x）=xsinx=f（x），函数的偶函数，排除B、C，因为x∈（π，2π）时，sinx＜0，此时f（x）＜0，所以排除D，故选：A．点评：本题考查函数的图象的判断，函数的奇偶性以及函数值的应用，考查分析问题解决问题的能力．9．某几何体的三视图如图所示，且正视图、侧视图都是矩形，则该几何体的体积是( )A．16 B．12 C．8 D．6考点：由三视图求面积、体积．专题：空间位置关系与距离．分析：由已知中的三视图，可知该几何体是一个以俯视图为底面的五棱柱（或看成两个三棱柱的组合体），求出底面面积，代入柱体体积公式，可得答案．解答：解：由已知中的三视图，可知该几何体是一个以俯视图为底面的五棱柱，（或看成两个三棱柱的组合体），柱体的底面面积S=×3×2=3，柱体的高h=4，故柱体的体积V=Sh=12，故选：B点评：本题考查的知识点是由三视图求体积和表面积，解决本题的关键是得到该几何体的形状．10．称d（）=|﹣|为两个向量、间的“距离”．若向量、满足：①||=1；②≠；③对任意的t∈R，恒有d（，t）≥d（，），则( )A．B．⊥（） C．⊥（） D．（）⊥（考点：平面向量数量积的运算．专题：平面向量及应用．分析：先作向量，从而，容易判断向量t的终点在直线OB上，并设，连接AC，则有．从而根据向量距离的定义，可说明AB⊥OB，从而得到．解答：解：如图，作，则，t∥，∴向量t的终点在直线OB上，设其终点为C，则：根据向量距离的定义，对任意t都有d（）=；∴AB⊥OB；∴．故选：C．点评：考查有向线段可表示向量，以及对向量距离的理解，向量减法的几何意义，共线向量基本定理．二、填空题：本大题共3小题，考生作答4小题，每小题5分，满分15分．（一）必做题（11-13题）11．不等式x2﹣3x﹣10＜0的解集为{x|﹣2＜x＜5}．考点：一元二次不等式的解法．专题：不等式的解法及应用．分析：把不等式x2﹣3x﹣10＜0化为（x﹣5）（x+2）＜0，求出解集即可．解答：解：不等式x2﹣3x﹣10＜0可化为（x﹣5）（x+2）＜0，解得﹣2＜x＜5；∴该不等式的解集为{x|﹣2＜x＜5}．故答案为：{x|﹣2＜x＜5}．点评：本题考查了一元二次不等式的解法与应用问题，是基础题目．12．圆心在x轴上，半径长是4，且与直线x=5相切的圆的方程是（x﹣1）2+y2=16和（x﹣9）2+y2=16．考点：圆的标准方程．专题：直线与圆．分析：设圆心的坐标为（a，0），则圆心到直线x=5的距离等于半径，即|a﹣5|=4，求得a的值，可得所求的圆的方程．解答：解：设圆心的坐标为（a，0），则圆心到直线x=5的距离等于半径，即|a﹣5|=4，求得a=1，或 a=9，故所求的圆的方程为（x﹣1）2+y2=16和（x﹣9）2+y2=16，故答案为：（x﹣1）2+y2=16和（x﹣9）2+y2=16．点评：本题主要考查直线和圆的位置关系，求圆的标准方程，属于中档题．13．书架上有语文、数学、英语书若干本，它们的数量比依次是2：4：5，现用分层抽样的方法从书架上抽取一个样本，若抽出的语文书为10本，则应抽出的英语书25本．考点：分层抽样方法．专题：概率与统计．分析：直接利用抽样比，统筹兼顾即可．解答：解：书架上有语文、数学、英语书若干本，它们的数量比依次是2：4：5，现用分层抽样的方法从书架上抽取一个样本，若抽出的语文书为10本，应抽出的英语书x本．可得，x=25．故答案为：25．点评：本题考查分层抽样的应用，利用抽样比求解是解题的关键．（二）选做题（14、15题，考生只能从中选做一题）（坐标系与参数方程选做题）14．在极坐标系中，直线ρsin（θ+）=2的倾斜角为．考点：简单曲线的极坐标方程．专题：坐标系和参数方程．分析：化直线的极坐标方程为直角坐标方程，求出直线的斜率，则倾斜角可求．解答：解：由ρsin（θ+）=2，得，即，∴直线ρsin（θ+）=2的斜率为﹣1，倾斜角为．故答案为：．点评：本题考查简单曲线的极坐标方程，考查了极坐标与直角坐标的互化，是基础题．（几何证明选讲选做题）15．如图，O是半圆的圆心，直径AB=2，PB是圆的一条切线，割线PA与半圆交于点C，AC=4，则PB=2．考点：圆的切线的性质定理的证明．专题：计算题；压轴题．分析：根据直径所对的圆周角是直角，得到∠ACB=90°，根据勾股定理做出BC的长，根据两个三角形相似，得到对应边成比例，代入已知的量，得到要求的线段的长．解答：解：连接BC，则∠ACB=90°，∠ABP=90°，∴BC==2△ABC∽△APB，∴，∴故答案为：2点评：本题考查三角形相似的性质，考查直径所对的圆周角是直角，考查勾股定理，考查圆的切线的性质，考查利用几何知识解决实际问题，是一个比较简单的综合题目．三、解答题（本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）16．在△ABC中，内角A、B、C的对边分别为a，b，c，且a＞c，已知•=2，cosB=，b=3，求：（Ⅰ）a和c的值；（Ⅱ）cos（B﹣C）的值．考点：余弦定理；平面向量数量积的运算；两角和与差的余弦函数．专题：三角函数的求值．分析：（Ⅰ）利用平面向量的数量积运算法则化简•=2，将cosB的值代入求出ac=6，再利用余弦定理列出关系式，将b，cosB以及ac的值代入得到a2+c2=13，联立即可求出ac的值；（Ⅱ）由cosB的值，利用同角三角函数间基本关系求出sinB的值，由c，b，sinB，利用正弦定理求出sinC的值，进而求出cosC的值，原式利用两角和与差的余弦函数公式化简后，将各自的值代入计算即可求出值．解答：解：（Ⅰ）∵•=2，cosB=，∴c•acosB=2，即ac=6①，∵b=3，∴由余弦定理得：b2=a2+c2﹣2accosB，即9=a2+c2﹣4，∴a2+c2=13②，联立①②得：a=3，c=2；（Ⅱ）在△ABC中，sinB===，由正弦定理=得：sinC=sinB=×=，∵a=b＞c，∴C为锐角，∴cosC===，则cos（B﹣C）=cosBcosC+sinBsinC=×+×=．点评：此题考查了正弦、余弦定理，平面向量的数量积运算，以及同角三角函数间的基本关系，熟练掌握定理是解本题的关键．17．空气污染，又称为大气污染，是指由于人类活动或自然过程引起某些物质进入大气中，呈现出足够的浓度，达到足够的时间，并因此危害了人体的舒适、健康和福利或环境的现象．全世界也越来越关注环境保护问题．当空气污染指数（单位：μg/m3）为0～50时，空气质量级别为一级，空气质量状况属于优；当空气污染指数为50～100时，空气质量级别为二级，空气质量状况属于良；当空气污染指数为100～150时，空气质量级别为三级，空气质量状况属于轻度污染；当空气污染指数为150～200时，空气质量级别为四级，空气质量状况属于中度污染；当空气污染指数为200～300时，空气质量级别为五级，空气质量状况属于重度污染；当空气污染指数为300以上时，空气质量级别为六级，空气质量状况属于严重污染．1月某日某省x个监测点数据统计如下：空气污染指数（单位：μg/m3）（50，100] （100，150] （150，200]监测点个数15 40 y 10（Ⅰ）根据所给统计表和频率分布直方图中的信息求出x，y的值，并完成频率分布直方图；（Ⅱ）若A市共有5个监测点，其中有3个监测点为轻度污染，2个监测点为良．从中任意选取2个监测点，事件A“其中至少有一个为良”发生的概率是多少？考点：频率分布直方图；列举法计算基本事件数及事件发生的概率．专题：概率与统计．分析：（Ⅰ）根据频率分布直方图，利用频率=，求出x、y的值，计算直方图中各小进行对应的高，补全频率分布直方图；（Ⅱ）利用列举法求出基本事件数，计算对应的概率即可．解答：解：（Ⅰ）根据频率分布直方图，得；0.003×50=，∴x=100；又∵15+40+y+10=100，∴y=35；…∴直方图中（50，100]对应矩形的高为=0.008，（100，150]对应矩形的高为=0.007，（150，200]对应矩形的高为=0.002；补全频率分布直方图，如图所示；…（Ⅱ）设A市空气质量状况属于轻度污染3个监测点为1，2，3，空气质量状况属于良的2个监测点为4，5，从中任取2个的基本事件分别为（1，2），（1，3），（1，4），（1，5），（2，3），（2，4），（2，5），（3，4），（3，5），（4，5）共10种，…其中事件A“其中至少有一个为良”包含的基本事件为（1，4），（1，5），（2，4），（2，5），（3，4），（3，5），（4，5）共7种，…所以事件A“其中至少有一个为良”发生的概率是P（A）=．…点评：本题考查了频率分布直方图的应用问题，也考查了用列举法求古典概型的概率问题，是基础题目．18．如图5，已知△BCD中，∠BCD=90°，BC=CD=1，AB=，AB⊥平面BCD，E、F分别是AC、AD的中点．（1）求证：平面BEF⊥平面ABC；（2）设平面BEF∩平面BCD=l，求证CD∥l；（3）求四棱锥B﹣CDFE的体积V．考点：棱柱、棱锥、棱台的体积；平面与平面垂直的判定．专题：空间位置关系与距离．分析：（1）利用线面垂直的判定与性质定理可证：CD⊥平面ABC，再利用三角形的中位线定理可得：EF∥CD．再利用线面垂直的判定、面面垂直的判定即可证明；（2）由CD∥EF，利用线面平行的判定定理可得：CD∥平面BEF，再利用线面平行的性质定理即可证明；（3）解法1：由（1）知EF∥CD，利用三角形相似的性质可得：，得到，求出V B﹣ACD即可得出．解法2：取BD中点G，连接FC和FG，则FG∥AB，利用线面垂直的性质可得：FG⊥平面BCD，由（1）知EF⊥平面ABC，利用V=V F﹣EBC+V F﹣BCD即可得出；解答：（1）证明：∵AB⊥平面BCD，CD⊂平面BCD，∴AB⊥CD，又BC⊥CD，AB∩BC=B，∴CD⊥平面ABC，又E、F分别是AC、AD的中点，∴EF∥CD．∴EF⊥平面ABC又EF⊂平面BEF，∴平面BEF⊥平面ABC．（2）证明：∵CD∥EF，CD⊄平面BEF，EF⊂平面BEF，∴CD∥平面BEF，又CD⊂平面BCD，且平面BEF∩平面BCD=l，∴CD∥l．（2）解法1：由（1）知EF∥CD，∴△AEF～△ACD．∴，∴，∴=．解法2：取BD中点G，连接FC和FG，则FG∥AB，∵AB⊥平面BCD，∴FG⊥平面BCD，由（1）知EF⊥平面ABC，∴V=V F﹣EBC+V F﹣BCD==．点评：本题考查了线面面面垂直与平行的判定与性质定理、三角形的中位线定理、三角形相似的性质三棱锥的体积计算公式，考查了推理能力与计算能力，考查了空间想象能力，属于中档题．19．设S n为数列{a n}的前n项和，对任意的n∈N*，都有S n=（m+1）﹣ma n（m为正常数）（1）求证：数列{a n}是等比数列；（2）数列{b n}满足：b1=2a1，b n=（n≥2，n∈N+），求数列{b n}的通项公式；（3）在满足（2）的条件下，求数列{}的前n项和T n．考点：数列的求和；数列递推式．专题：等差数列与等比数列．分析：（1）由已知得a1=1，（1+m）a n=ma n﹣1，从而=，（n≥2），由此能证明数列{a n}是首项为1，公比为的等比数列．（2）由b1=2a1=2，b n=（n≥2，n∈N+），得=1，（n≥2），从而{}是首项为，公差为1的等差数列，由此能求出b n=，（n∈N*）．（3）由b n=，得=2n（2n﹣1），由此利用错位相减法能求出数列{}的前n项和T n．解答：（1）证明：当n=1时，a1=S1=（m+1）﹣ma1，解得a1=1，当n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1=ma n﹣1﹣ma n，即（1+m）a n=ma n﹣1，∵m为常数，且m＞0，∴=，（n≥2），∴数列{a n}是首项为1，公比为的等比数列．（2）解：由（1）得，b1=2a1=2，b n=（n≥2，n∈N+），∴，即=1，（n≥2），∴{}是首项为，公差为1的等差数列，∴=，∴b n=，（n∈N*）．（3）解：由（2）知，b n=，则=2n（2n﹣1），∴T n=2×1+22×3+23×5+…+2n×（2n﹣1），①则2T n=22×1+23×3+24×5+…+2n+1×（2n﹣1），②②﹣①得，T n=2n+1×（2n﹣1）﹣2﹣23﹣24﹣…﹣2n+1，故T n=2n+1×=2n+1×（2n﹣3）+6．点评：本题考查等比数列的证明，考查数列的通项公式的求法，考查数列的前n项和的求法，解题时要认真审题，注意错位相减法的合理运用．20．已知抛物线C：x2=2py（p＞0），抛物线上一点Q（m，）到焦点的距离为1．（Ⅰ）求抛物线C的方程（Ⅱ）设过点M（0，2）的直线l与抛物线C交于A，B两点，且A点的横坐标为n（n∈N*）（ⅰ）记△AOB的面积为f（n），求f（n）的表达式（ⅱ）探究是否存在不同的点A，使对应不同的△AOB的面积相等？若存在，求点A点的坐标；若不存在，请说明理由．考点：直线与圆锥曲线的综合问题；抛物线的标准方程．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（Ⅰ）利用Q（m，）到焦点的距离为1，计算即得结论；（Ⅱ）（ⅰ）通过A点横坐标及直线过点M可得直线l斜率的表达式，将其代入S△AOB，计算即可；（ⅱ）设存在不同的点A m（m，），A n（n，）（m≠n，m、n∈N*），利用f（m）=f（n），计算即可．解答：解：（Ⅰ）依题意得|QF|=y Q+=+=1，解得p=1，∴抛物线C的方程为x2=2y；（Ⅱ）（ⅰ）∵直线l与抛物线C交于A、B两点，∴直线l的斜率存在，设A（x1，y1），B（x2，y2），直线l的方程为：y=kx+2，联立方程组，化简得：x2﹣2kx﹣4=0，此时△=（﹣2k）2﹣4×1×（﹣4）=4（k2+4）＞0，由韦达定理，得：x1+x2=2k，x1x2=﹣4，∴S△AOB=|OM|•|x1﹣x2|=×2==2（*）又∵A点横坐标为n，∴点A坐标为A（n，），又直线过点M（0，2），故k==﹣，将上式代入（*）式，可得：f（n）=2=2=2=n+（n∈N*）；（ⅱ）结论：当A点坐标为（1，）或（4，8）时，对应不同的△AOB的面积相等．理由如下：设存在不同的点A m（m，），A n（n，）（m≠n，m、n∈N*），使对应不同的△AOB的面积相等，则f（m）=f（n），即m+=n+，化简得：m﹣n=﹣=，又∵m≠n，即m﹣n≠0，∴1=，即mn=4，解得m=1，n=4或m=4，n=1，此时A点坐标为（1，），（4，8）．点评：本题考查抛物线的定义及其标准方程、直线与抛物线的位置关系、函数的性质等基础知识，考查运算求解能力、抽象概括能力、推理论证能力，考查函数与方程的思想、数形结合思想、化归与转化思想，注意解题方法的积累，属于中档题．21．已知函数f（x）=lnx+x2﹣ax，a∈R．（Ⅰ）若a=3，求f（x）的单调区间；（Ⅱ）若f（x）有两个极值点x1、x2，记过点A（x1，f（x1）），B（x2，f（x2））的直线的斜率为k，问是否存在a，使k=﹣？若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由．考点：导数在最大值、最小值问题中的应用．专题：导数的综合应用．分析：（Ⅰ）f（x）的定义域为（0，+∞），当a=3时，，由此利用导数性质能求出f（x）的单调区间．（Ⅱ）令u（x）=2x2﹣ax+1，则△=a2﹣8，由此利用分类讨论思想和导数性质能求出是否存在a，使k=﹣．解答：解：（Ⅰ）f（x）的定义域为（0，+∞），当a=3时，当或x＞1，时，f'（x）＞0，…当时，f'（x）＜0，∴f（x）的单调递增区间为，单调递减区间为…（Ⅱ）令u（x）=2x2﹣ax+1，则△=a2﹣8，1°当△＜0，即时，f'（x）＞0，∴f（x）在（0，+∞）上单调递增，此时f（x）无极值；…2°当△=0，即时，f'（x）≥0，∴f（x）在（0，+∞）上单调递增，此时f（x）无极值…3°当△＞0，即或时，方程u（x）=0有两个实数根若，两个根x1＜x2＜0，此时，则当x∈（0，+∞）时，f'（x）＞0，∴f（x）在（0，+∞）上单调递增，此时f（x）无极值…若，u（x）=0的两个根x1＞0，x2＞0，不妨设x1＜x2，则当x∈（0，x1）和（x2，+∞）时，f'（x）＞0，f（x）在区间（0，x1）和（x2，+∞）单调递增，当x∈（x1，x2）时，f'（x）＜0，f（x）在区间（x1，x2）上单调递减，则f（x）在x=x1处取得极大值，在x=x2处取得极小值，且，==即…（*）…即令，则上式等价于：令g（t）=（t+1）lnt﹣t+1则令，∴m（t）在区间（0，1）上单调递减，且m（t）＞m（1）=1＞0，即g'（t）＞0在区间（0，1）恒成立，∴g（t）在区间（0，1）上单调递增，且g（t）＜g（1）=0，∴对∀t∈（0，1），函数g（t）没有零点，即方程在t∈（0，1）上没有实根，…即（*）式无解，∴不存在实数a，使得…点评：本题重点考查利用导数研究函数的性质，利用函数的性质解决不等式、方程问题．重点考查学生的代数推理论证能力，分类讨论等综合解题能力，解题时要认真审题，注意导数性质的合理运用．。

第Ⅰ卷（共50分）一、选择题：本大题共10个小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的.1.已知集合2{2,0,2},{|20}A B x x x =-=--=,则AB =（ ）A. ∅B. {}2C. {0}D. {2}- 【答案】B考点：集合的交集2.“1-<x ”是“02>+x x ”的（ ） Ａ．充分而不必要条件 Ｂ．必要而不充分条件 Ｃ．充分必要条件Ｄ．既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】试题分析：2001x x x x +>∴><-或，所以“1-<x ”是“02>+x x ”的充分而不必要条件 考点：充分条件与必要条件 3.131ii+=-（ ） A 12i + B. 12i -+ C. 12i - D. 12i -- 【答案】B 【解析】试题分析：()()()()1311324121112i i i ii i i i +++-+===-+--+考点：复数运算4.设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和,8374,2S a a ==-,则9a =（ ）A ．6-B ．4-C ．2-D ．2【答案】A 【解析】试题分析：()18833183684402a a S a a a a a a +=∴=∴+=∴=722a d =-∴=-9636a a d ∴=+=-考点：等差数列求和公式通项公式5.已知某几何体的三视图(单位:cm)如图所示,则该几何体的体积是（ ）A ．108cm 3B ．100 cm 3C ．92cm 3D ．84cm 3【答案】B考点：三视图及几何体体积6.若变量y x ,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥≥≤+012y x y x ,则y x z +=2的最大值和最小值分别为（ ）A ．4和3B ．4和2C ．3和2D ．2和0【答案】B 【解析】试题分析：不等式对应的可行域为直线2,1,0x y x y +===围成的三角形及其内部，三角形顶点为()()()1,0,2,0,1,1，当2z x y =+过点()1,0时取得最小值2，过点()2,0时取得最大值4考点：线性规划问题7.若直线y kx k =-交抛物线2y 4x =于A,B 两点，且线段AB 中点到y 轴的距离为3，则AB =( )A 、12B 、10C 、8D 、 6 【答案】C考点：直线与抛物线相交的关系8.阅读如图所示的程序框图,运行相应的程序,如果输入某个正整数n 后,输出的)20,10(∈S ,那么n 的值为（ ） A ．3B ．4C ．5D ．6【答案】B 【解析】试题分析：程序执行中的数据变化如下：0,1,4,1,2,24,3,s k n s k s =====>= 3,34,k =>7,4,44,15,5,54s k s k ==>==>成立，输出()1510,20s =∈考点：程序框图9.设函数()sin(2)6f x x π=+，则下列结论正确的是（ ）A 、()f x 的图象关于直线x 3π=对称B 、()f x 的图象关于点(,0)6π对称C 、()f x 的最小正周期为π，且在[0,]12π上为增函数D 、把()f x 的图象向右平移12π个单位，得到一个偶函数的图象【答案】C 【解析】 试题分析：A 中2sin 1336f πππ⎛⎫⎛⎫=+≠±⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以x 3π=不是对称轴；B 中sin 1636f πππ⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以(,0)6π不是对称点；C 中()f x 周期22T ππ==，[0,]2,12663x x ππππ⎡⎤∈∴+∈⎢⎥⎣⎦，函数是增函数；D 中把()f x 的图象向右平移12π个单位得sin 2sin 212126y f x x x πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=-+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭为偶函数 考点：三角函数对称性周期性及图像平移10.设()f x 与g()x 是定义在同一区间[,]a b 上的两个函数，若函数()g(x)y f x =-在x [,]a b ∈上有两个不同的零点，则称()f x 与g()x 在区间[,]a b 上是“关联函数” ，区间[,]a b 成为“关联区间”。

2015-2016学年广东省揭阳市普宁一中高二（上）期中数学试卷（文科）一、选择题：（本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个备选项中，有且只有一项是符合要求的．）1．已知集合A={﹣2，0，2}，B={x|x2﹣x﹣2=0}，则A∩B=（）A．∅B．{2} C．{0} D．{﹣2}2．“x＜﹣1”是“x2+x＞0”的（）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件3．=（）A．1+2i B．﹣1+2i C．1﹣2i D．﹣1﹣2i4．设s n为等差数列{a n}的前n项和，S8=4a3，a7=﹣2，则a9=（）A．﹣6 B．﹣4 C．﹣2 D．25．已知某几何体的三视图（单位：cm）如图所示，则该几何体的体积是（）A．108cm3B．100cm3C．92cm3D．84cm36．若变量x，y满足约束条件，则z=2x+y的最大值和最小值分别为（）A．4和3 B．4和2 C．3和2 D．2和07．若直线y=kx﹣k交抛物线y2=4x于A，B两点，且线段AB中点到y轴的距离为3，则|AB|=（）A．12 B．10 C．8 D．68．阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，如果输入某个正整数n后，输出的S∈（10，20），那么n的值为（）A．3 B．4 C．5 D．69．设函数f（x）=sin（2x+），则下列结论正确的是（）A．f（x）的图象关于直线x=对称B．f（x）的图象关于点（，0）对称C．f（x）的最小正周期为π，且在[0，]上为增函数D．把f（x）的图象向右平移个单位，得到一个偶函数的图象10．设f（x）与g（x）是定义在同一区间[a，b]上的两个函数，若函数y=f（x）﹣g（x）在x∈[a，b]上有两个不同的零点，则称f（x）和g（x）在[a，b]上是“关联函数”，区间[a，b]称为“关联区间”．若f（x）=x2﹣3x+4与g（x）=2x+m在[0，3]上是“关联函数”，则m的取值范围为（）A．（﹣，﹣2]B．[﹣1，0]C．（﹣∞，﹣2]D．（﹣，+∞）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．11．在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，，则λ=．12．在吸烟与患肺病这两个分类变量的计算中，“若Χ2的观测值为6.635，我们有99%的把握认为吸烟与患肺病有关系”这句话的意思：①是指“在100个吸烟的人中，必有99个人患肺病②是指“有1%的可能性认为推理出现错误”；③是指“某人吸烟，那么他有99%的可能性患有肺病”；④是指“某人吸烟，如果他患有肺病，那么99%是因为吸烟”．其中正确的解释是．13．已知f（x）=mx2+nx﹣2（n＞0，m＞0）的图象与x轴交与（2，0），则的最小值为．14．给出下列四个结论：①命题“∃x∈R，x2﹣x＞0”的否定是“∀x∈R，x2﹣x≤0”；②“若am2＜bm2，则a＜b”的逆命题为真；③函数f（x）=x﹣sinx（x∈R）有3个零点；④对于任意实数x，有f（﹣x）=﹣f（x），g（﹣x）=g（x），且x＞0时，f′（x）＞0，g′（x）＞0，则x＜0时，f′（x）＞g′（x）．其中正确结论的序号是（填上所有正确结论的序号）三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（12分）（2012春•蚌埠期中）已知a∈（，π），且sin+cos=．（Ⅰ）求cosa的值；（Ⅱ）若sin（α+β）=﹣，β∈（0，），求sinβ的值．16．（12分）（2009•湛江二模）某人有3枚钥匙，其中只有一枚房门钥匙，但忘记了开房门的是哪一枚，于是，他逐枚不重复地试开，问：（Ⅰ）恰好第三次打开房门锁的概率是多少？（Ⅱ）两次内打开房门的概率是多少？17．（14分）（2011•西安校级模拟）长方体ABCD﹣A 1B1C1D1中，，AB=BC=2，O是底面对角线的交点．（Ⅰ）求证：B1D1∥平面BC1D；（Ⅱ）求证：A1O⊥平面BC1D；（Ⅲ）求三棱锥A1﹣DBC1的体积．18．（14分）（2013•陕西）设S n表示数列{a n}的前n项和．（Ⅰ）若{a n}为等差数列，推导S n的计算公式；（Ⅱ）若a1=1，q≠0，且对所有正整数n，有S n=．判断{a n}是否为等比数列，并证明你的结论．19．（14分）（2012•湖南一模）已知椭圆C：（a＞b＞0）的离心率，左、右焦点分别为F1、F2，点满足：F2在线段PF1的中垂线上．（1）求椭圆C的方程；（2）若斜率为k（k≠0）的直线l与x轴、椭圆C顺次相交于点A（2，0）、M、N，且∠NF2F1=∠MF2A，求k的取值范围．20．（14分）（2011•甘肃模拟）已知函数f（x）=x3+ax2+bx+c图象上一点M（1，m）处的切线方程为y﹣2=0，其中a，b，c为常数．（Ⅰ）函数f（x）是否存在单调减区间？若存在，则求出单调减区间（用a表示）；（Ⅱ）若x=1不是函数f（x）的极值点，求证：函数f（x）的图象关于点M对称．2015-2016学年广东省揭阳市普宁一中高二（上）期中数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：（本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个备选项中，有且只有一项是符合要求的．）1．已知集合A={﹣2，0，2}，B={x|x2﹣x﹣2=0}，则A∩B=（）A．∅B．{2} C．{0} D．{﹣2}【考点】交集及其运算．【专题】集合．【分析】先解出集合B，再求两集合的交集即可得出正确选项．【解答】解：∵A={﹣2，0，2}，B={x|x2﹣x﹣2=0}={﹣1，2}，∴A∩B={2}．故选B【点评】本题考查交的运算，理解好交的定义是解答的关键．2．“x＜﹣1”是“x2+x＞0”的（）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【专题】计算题．【分析】首先对命题进行整理，得到x范围，把两个条件对应的范围进行比较，得到前者的范围小于后者的范围，即属于前者一定属于后者，但是属于后者不一定属于前者，得到结论．【解答】解：∵x2+x＞0，∴x（x+1）＞0，∴x＞0或x＜﹣1，∴属于前者一定属于后者，属于后者不一定属于前者，∴前者是后者的充分不必要条件，故选A．【点评】本题考查必要条件，充分条件与充要条件的判断，本题解题的关键是对于所给的条件进行整理，得到两个条件对应的集合的范围的大小，本题是一个基础题．3．=（）A．1+2i B．﹣1+2i C．1﹣2i D．﹣1﹣2i【考点】复数代数形式的乘除运算．【专题】数系的扩充和复数．【分析】分子分母同乘以分母的共轭复数1+i化简即可．【解答】解：化简可得====﹣1+2i故选：B【点评】本题考查复数代数形式的化简，分子分母同乘以分母的共轭复数是解决问题的关键，属基础题．4．设s n为等差数列{a n}的前n项和，S8=4a3，a7=﹣2，则a9=（）A．﹣6 B．﹣4 C．﹣2 D．2【考点】等差数列的通项公式．【专题】等差数列与等比数列．【分析】由题意可得，解此方程组，求得首项和公差d的值，即可求得a9的值．【解答】解：∵s n为等差数列{a n}的前n项和，s8=4a3，a7=﹣2，即．解得a1=10，且d=﹣2，∴a9=a1+8d=﹣6，故选A．【点评】本题主要考查等差数列的通项公式、前n项和公式的应用，属于基础题．5．已知某几何体的三视图（单位：cm）如图所示，则该几何体的体积是（）A．108cm3B．100cm3C．92cm3D．84cm3【考点】由三视图求面积、体积．【专题】立体几何．【分析】由三视图可知：该几何体是一个棱长分别为6，6，3，砍去一个三条侧棱长分别为4，4，3的一个三棱锥（长方体的一个角）．据此即可得出体积．【解答】解：由三视图可知：该几何体是一个棱长分别为6，6，3，砍去一个三条侧棱长分别为4，4，3的一个三棱锥（长方体的一个角）．∴该几何体的体积V=6×6×3﹣=100．故选B．【点评】由三视图正确恢复原几何体是解题的关键．6．若变量x，y满足约束条件，则z=2x+y的最大值和最小值分别为（）A．4和3 B．4和2 C．3和2 D．2和0【考点】简单线性规划．【专题】计算题；不等式的解法及应用．【分析】先根据条件画出可行域，设z=2x+y，再利用几何意义求最值，将最小值转化为y轴上的截距最大，只需求出直线，过可行域内的点N（1，0）时的最小值，过点M（2，0）时，2x+y最大，从而得到选项．【解答】解：满足约束条件的可行域如下图所示在坐标系中画出可行域平移直线2x+y=0，经过点N（1，0）时，2x+y最小，最小值为：2，则目标函数z=2x+y的最小值为2．经过点M（2，0）时，2x+y最大，最大值为：4，则目标函数z=2x+y的最大值为：4．故选B．【点评】借助于平面区域特性，用几何方法处理代数问题，体现了数形结合思想、化归思想．线性规划中的最优解，通常是利用平移直线法确定．7．若直线y=kx﹣k交抛物线y2=4x于A，B两点，且线段AB中点到y轴的距离为3，则|AB|=（）A．12 B．10 C．8 D．6【考点】直线与圆锥曲线的关系．【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】根据抛物线的方程求出准线方程，利用抛物线的定义抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离，列出方程求出A，B的中点横坐标，求出线段AB的中点到y轴的距离．【解答】解：直线y=kx﹣k恒过（1，0），恰好是抛物线y2=4x的焦点坐标，设A（x1，y1）B（x2，y2）抛物y2=4x的线准线x=﹣1，线段AB中点到y轴的距离为3，x1+x2=6，∴|AB|=|AF|+|BF|=x1+x2+2=8，故选：C．【点评】本题的考点是函数的最值及其几何意义，主要解决抛物线上的点到焦点的距离问题，利用抛物线的定义将到焦点的距离转化为到准线的距离．8．阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，如果输入某个正整数n后，输出的S∈（10，20），那么n的值为（）A．3 B．4 C．5 D．6【考点】循环结构．【专题】算法和程序框图．【分析】框图在输入n的值后，根据对S和k的赋值执行运算，S=1+2S，k=k+1，然后判断k 是否大于n，不满足继续执行循环，满足跳出循环，由题意，说明当算出的值S∈（10，20）后进行判断时判断框中的条件满足，即可求出此时的n值．【解答】解：框图首先给累加变量S赋值0，给循环变量k赋值1，输入n的值后，执行S=1+2×0=1，k=1+1=2；判断2＞n不成立，执行S=1+2×1=3，k=2+1=3；判断3＞n不成立，执行S=1+2×3=7，k=3+1=4；判断4＞n不成立，执行S=1+2×7=15，k=4+1=5．此时S=15∈（10，20），是输出的值，说明下一步执行判断时判断框中的条件应该满足，即5＞n满足，所以正整数n的值应为4．故选：B．【点评】本题考查了程序框图中的循环结构，是直到型循环，即先执行后判断，不满足条件继续执行循环，直到条件满足跳出循环，算法结束，是基础题．9．设函数f（x）=sin（2x+），则下列结论正确的是（）A．f（x）的图象关于直线x=对称B．f（x）的图象关于点（，0）对称C．f（x）的最小正周期为π，且在[0，]上为增函数D．把f（x）的图象向右平移个单位，得到一个偶函数的图象【考点】命题的真假判断与应用；函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【专题】计算题；三角函数的图像与性质．【分析】通过x=函数是否取得最值判断A的正误；通过x=，函数值是否为0，判断B 的正误；利用函数的周期与单调性判断C的正误；利用函数的图象的平移判断D的正误．【解答】解：对于A，当x=时，函数f（x）=sin（2×+）=，不是函数的最值，判断A的错误；对于B，当x=，函数f（x）=sin（2×+）=1≠0，判断B的错误；对于C，f（x）的最小正周期为π，由，可得，k∈Z，在[0，]上为增函数，∴选项C的正确；对于D，把f（x）的图象向右平移个单位，得到函数f（x）=sin（2x+），函数不是偶函数，∴选项D不正确．故选：C．【点评】本题考查三角函数的基本性质的应用，函数的单调性、奇偶性、周期性，基本知识的考查．10．设f（x）与g（x）是定义在同一区间[a，b]上的两个函数，若函数y=f（x）﹣g（x）在x∈[a，b]上有两个不同的零点，则称f（x）和g（x）在[a，b]上是“关联函数”，区间[a，b]称为“关联区间”．若f（x）=x2﹣3x+4与g（x）=2x+m在[0，3]上是“关联函数”，则m的取值范围为（）A．（﹣，﹣2]B．[﹣1，0]C．（﹣∞，﹣2]D．（﹣，+∞）【考点】函数零点的判定定理．【专题】压轴题；新定义．【分析】由题意可得h（x）=f（x）﹣g（x）=x2﹣5x+4﹣m 在[0，3]上有两个不同的零点，故有，由此求得m的取值范围．【解答】解：∵f（x）=x2﹣3x+4与g（x）=2x+m在[0，3]上是“关联函数”，故函数y=h（x）=f（x）﹣g（x）=x2﹣5x+4﹣m在[0，3]上有两个不同的零点，故有，即，解得﹣＜m≤﹣2，故选A．【点评】本题考查函数零点的判定定理，“关联函数”的定义，二次函数的性质，体现了转化的数学思想，属于基础题．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．11．在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，，则λ=2．【考点】平面向量的基本定理及其意义．【专题】计算题；平面向量及应用．【分析】依题意，+=，而=2，从而可得答案．【解答】解：∵四边形ABCD为平行四边形，对角线AC与BD交于点O，∴+=，又O为AC的中点，∴=2，∴+=2，∵+=λ，∴λ=2．故答案为：2．【点评】本题考查平面向量的基本定理及其意义，属于基础题．12．在吸烟与患肺病这两个分类变量的计算中，“若Χ2的观测值为6.635，我们有99%的把握认为吸烟与患肺病有关系”这句话的意思：①是指“在100个吸烟的人中，必有99个人患肺病②是指“有1%的可能性认为推理出现错误”；③是指“某人吸烟，那么他有99%的可能性患有肺病”；④是指“某人吸烟，如果他患有肺病，那么99%是因为吸烟”．其中正确的解释是②．【考点】命题的真假判断与应用．【专题】概率与统计；简易逻辑．【分析】利用“独立性检验的基本思想方法”即可判断出．【解答】解：“若Χ2的观测值为6.635，我们有99%的把握认为吸烟与患肺病有关系”这句话的意思：是指“有1%的可能性认为推理出现错误”，因此只有②正确，而其余不正确．故答案为：②．【点评】本题考查了“独立性检验的基本思想方法”、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．13．已知f（x）=mx2+nx﹣2（n＞0，m＞0）的图象与x轴交与（2，0），则的最小值为8．【考点】基本不等式．【专题】不等式的解法及应用．【分析】由题意可得正数m、n满足2m+n=1，代入可得=（）（2m+n）=4++，由基本不等式可得．【解答】解：∵f（x）=mx2+nx﹣2的图象与x轴交与（2，0），∴4m+2n﹣2=0，∴正数m、n满足2m+n=1，∴=（）（2m+n）=4++≥4+2=8，当且仅当=即m=且n=时取等号．故答案为：8．【点评】本题考查基本不等式求最值，“1”的整体代换是解决问题的关键，属基础题．14．给出下列四个结论：①命题“∃x∈R，x2﹣x＞0”的否定是“∀x∈R，x2﹣x≤0”；②“若am2＜bm2，则a＜b”的逆命题为真；③函数f（x）=x﹣sinx（x∈R）有3个零点；④对于任意实数x，有f（﹣x）=﹣f（x），g（﹣x）=g（x），且x＞0时，f′（x）＞0，g′（x）＞0，则x＜0时，f′（x）＞g′（x）．其中正确结论的序号是①④（填上所有正确结论的序号）【考点】命题的否定；奇偶性与单调性的综合．【专题】压轴题；阅读型．【分析】①命题“∃x∈R，x2﹣x＞0”的否定是“∀x∈R，x2﹣x≤0”，可由命题的否定的书写规则进行判断；②“若am2＜bm2，则a＜b”的逆命题为真，可由不等式的运算规则进行判断；③函数f（x）=x﹣sinx（x∈R）有3个零点，可由函数的图象进行判断；④对于任意实数x，有f（﹣x）=﹣f（x），g（﹣x）=g（x），且x＞0时，f′（x）＞0，g′（x）＞0，则x＜0时，f′（x）＞g′（x），可由函数单调性与导数的关系进行判断．【解答】解：①命题“∃x∈R，x2﹣x＞0”的否定是“∀x∈R，x2﹣x≤0”，此是一个正确命题；②“若am2＜bm2，则a＜b”的逆命题为真，由于其逆命题是“若a＜b，则am2＜bm2”，当m=0时不成立，故逆命题为真不正确；③函数f（x）=x﹣sinx（x∈R）有3个零点，由函数的图象知，此函数仅有一个零点，故命题不正解；④对于任意实数x，有f（﹣x）=﹣f（x），g（﹣x）=g（x），且x＞0时，f′（x）＞0，g′（x）＞0，则x＜0时，f′（x）＞g′（x），由于两个函数是一奇一偶，且在x＞0时，f′（x）＞0，g′（x）＞0，故当x＜0，，f′（x）＞g′（x），成立，此命题是真命题．综上①④是正解命题故答案为①④【点评】本题考查命题的否定，函数的单调性与导数的关系，及不等式关系的运算，涉及到的知识点较多，解题的关键是对每个命题涉及的知识熟练掌握，且能灵活运用它们作出判断．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（12分）（2012春•蚌埠期中）已知a∈（，π），且sin+cos=．（Ⅰ）求cosa的值；（Ⅱ）若sin（α+β）=﹣，β∈（0，），求sinβ的值．【考点】两角和与差的正弦函数；二倍角的余弦．【分析】（1）把已知条件两边平方，移项整理，得到要求的α的正弦值．（2）角的变换是本题的中心，把β变换为（α+β）﹣α，应用两角差的正弦公式，在应用公式同时，注意角的范围．【解答】解：（Ⅰ）∵，∴，∴∵∴．（Ⅱ）∵，∴∵∴∴sinβ=sin[（α+β）﹣α=sin（α+β）cosα﹣cos（α+β）sinα=【点评】角的变换是本题的重点，见到以整体形式出现的角一般整体处理，不会把角展开，几种公式在一个题目中出现，使题目的难度增大，解类似题目时，注意抓住条件和结论的内在联系．16．（12分）（2009•湛江二模）某人有3枚钥匙，其中只有一枚房门钥匙，但忘记了开房门的是哪一枚，于是，他逐枚不重复地试开，问：（Ⅰ）恰好第三次打开房门锁的概率是多少？（Ⅱ）两次内打开房门的概率是多少？【考点】古典概型及其概率计算公式；列举法计算基本事件数及事件发生的概率．【专题】计算题；应用题．【分析】根据题意，设用a、b、c分别表示3枚钥匙，其中a是房门钥匙，分析可得这个随机事件包含：abc、acb、bac、cab、bca、cba共6个基本事件；（Ⅰ）设用A表示事件“恰好第三次打开房门锁”，事件A包括bca、cba共两个基本事件，由古典概型计算公式，计算可得答案，（Ⅱ）用B表示事件“两次内打开房门锁”，分析可得事件B包含的基本事件数目，由古典概型计算公式，计算可得答案．【解答】解：设用a、b、c分别表示3枚钥匙，其中a是房门钥匙，则这个随机事件可看作是三枚钥匙的一个排序，它包含了：abc、acb、bac、cab、bca、cba共6个基本事件；（Ⅰ）设：用A表示事件“恰好第三次打开房门锁”，则事件A包括bca、cba共两个基本事件：；（Ⅱ）设：用B表示事件“两次内打开房门锁”，则事件B包含：abc、acb、bac、cab共4个基本事件：；答：恰好第三次打开房门锁的概率是，两次内打开的概率是．【点评】本题考查古典概型的计算，涉及列举法分析表示事件的基本事件，注意使用列举法时，要全面分析，按一定的顺序，做到不重不漏．17．（14分）（2011•西安校级模拟）长方体ABCD﹣A 1B1C1D1中，，AB=BC=2，O是底面对角线的交点．（Ⅰ）求证：B1D1∥平面BC1D；（Ⅱ）求证：A1O⊥平面BC1D；（Ⅲ）求三棱锥A1﹣DBC1的体积．【考点】直线与平面平行的判定；棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面垂直的判定．【专题】计算题；证明题．【分析】（Ⅰ）直接根据B1D1∥BD，以及B1D1在平面BC1D外，即可得到结论；（Ⅱ）先根据条件得到BD⊥平面ACC1A1⇒A1O⊥BD；再通过求先线段的长度推出A1O⊥OC1，即可证明A1O⊥平面BC1D；（Ⅲ）结合上面的结论，直接代入体积计算公式即可．【解答】解：（Ⅰ）证明：依题意：B1D1∥BD，且B1D1在平面BC1D外．（2分）∴B1D1∥平面BC1D（3分）（Ⅱ）证明：连接OC1∵BD⊥AC，AA1⊥BD∴BD⊥平面ACC1A1（4分）又∵O在AC上，∴A1O在平面ACC1A1上∴A1O⊥BD（5分）∵AB=BC=2∴∴∴Rt△AA1O中，（6分）同理：OC1=2∵△A1OC1中，A1O2+OC12=A1C12∴A1O⊥OC1（7分）∴A1O⊥平面BC1D（8分）（Ⅲ）解：∵A1O⊥平面BC1D∴所求体积（10分）=（12分）【点评】本题主要考查线面垂直与线面平行的证明以及三棱锥体积的计算．是对立体几何知识的综合考查，难度不大，属于中档题．18．（14分）（2013•陕西）设S n表示数列{a n}的前n项和．（Ⅰ）若{a n}为等差数列，推导S n的计算公式；（Ⅱ）若a1=1，q≠0，且对所有正整数n，有S n=．判断{a n}是否为等比数列，并证明你的结论．【考点】等差数列的前n项和；等比关系的确定．【专题】等差数列与等比数列．【分析】（I）设等差数列的公差为d，则a n=a1+（n﹣1）d，可得a1+a n=a2+a n﹣1=…，利用“倒序相加”即可得出；（II）利用a n+1=S n+1﹣S n即可得出a n+1，进而得到a n，利用等比数列的通项公式即可证明其为等比数列．【解答】证明：（Ⅰ）设等差数列的公差为d，则a n=a1+（n﹣1）d，可得a1+a n=a2+a n﹣1=…，由S n=a1+a2+…+a n，S n=a n+a n﹣1+…+a1．两等式相加可得2S n=（a1+a n）+（a2+a n﹣1）+…+（a n+a1），∴．（II）∵a1=1，q≠0，且对所有正整数n，有S n=．∴a n+1=S n+1﹣S n==q n．∴，可得（n∈N*），∴数列{a n}是以a1=1为首项，q≠1为公比的等比数列．【点评】熟练掌握等差数列的通项公式及“倒序相加”法、等比数列的定义及通项公式、通项公式与前n项和的公式是解题的关键．19．（14分）（2012•湖南一模）已知椭圆C：（a＞b＞0）的离心率，左、右焦点分别为F1、F2，点满足：F2在线段PF1的中垂线上．（1）求椭圆C的方程；（2）若斜率为k（k≠0）的直线l与x轴、椭圆C顺次相交于点A（2，0）、M、N，且∠NF2F1=∠MF2A，求k的取值范围．【考点】直线与圆锥曲线的综合问题．【专题】计算题；综合题；压轴题．【分析】（1）解法一：由椭圆C的离心率和点F2在线段PF1的中垂线上知|F1F2|=|PF2|，由此推出，从而可求出椭圆C的方程．解法二：椭圆C的离心率，得，先求得线段PF1的中点为D的坐标，根据线段PF 1的中垂线过点F2，利用，得出关于c的方程求出c值，最后求得a，b写出椭圆方程即可；（2）设直线l的方程为y=k（x﹣2），，将直线的方程代入椭圆的方程，消去y得到关于x的一元二次方程，再结合根系数的关系利用∠NF2F1=∠MF2A得出的斜率关系即可求得k的取值范围．【解答】解：（1）解法一：椭圆C的离心率，得，其中椭圆C的左、右焦点分别为F1（﹣c，0），、F2（c，0），又点F2在线段PF1的中垂线上，∴F1F2=PF2，∴解得c=1，a2=2，b2=1，∴椭圆C的方程为．…（6分）解法二：椭圆C的离心率，得，其中椭圆C的左、右焦点分别为F1（﹣c，0），、F2（c，0），设线段PF1的中点为D，∵F1（﹣c，0），，∴，又线段PF 1的中垂线过点F2，∴，即c=1，a2=2，b2=1，∴椭圆方程为（2）由题意，直线l的方程为y=k（x﹣2），且k≠0，联立，得（1+2k2）x2﹣8k2x+8k2﹣2=0，由△=8（1﹣2k2）＞0，得，且k≠0设M（x1，y1），N（x2，y2），则有，，（*）∵∠NF 2F1=∠MF2A，且由题意∠NF2A≠90°，∴，又F2（1，0），∴，即，∴，整理得2x1x2﹣3（x1+x2）+4=0，将（*）代入得，，知上式恒成立，故直线l的斜率k的取值范围是．…（12分）【点评】本小题主要考查椭圆的方程及几何性质、直线与圆锥曲线的综合问题、不等式的解法等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想．20．（14分）（2011•甘肃模拟）已知函数f（x）=x3+ax2+bx+c图象上一点M（1，m）处的切线方程为y﹣2=0，其中a，b，c为常数．（Ⅰ）函数f（x）是否存在单调减区间？若存在，则求出单调减区间（用a表示）；（Ⅱ）若x=1不是函数f（x）的极值点，求证：函数f（x）的图象关于点M对称．【考点】利用导数研究函数的单调性；函数在某点取得极值的条件；利用导数研究曲线上某点切线方程． 【专题】计算题．【分析】（Ⅰ）f （x ）=x 3+ax 2+bx+c ，f ′（x ）=3x 2+2ax+b ，由题意，知m=2，b=﹣2a ﹣3，c=a+4，，由此进行分类讨论能求出单调减区间．（Ⅱ）由x=1不是函数f （x ）的极值点，a=﹣3，b=3，c=1，f （x ）=x 3﹣3x 2+3x+1=（x ﹣1）3+2，设点P （x 0，y 0）是函数f （x ）的图象上任一点，则y 0=f （x 0）=（x 0﹣1）3+2，点p （x 0，y 0）关于点M （1，2）的对称点为Q （2﹣x 0，4﹣y 0），再由点P 的任意性知函数f （x ）的图象关于点M 对称．【解答】解：（Ⅰ）f （x ）=x 3+ax 2+bx+c ，f ′（x ）=3x 2+2ax+b ，（1分） 由题意，知m=2，f （1）=1+a+b+c=2，f ′（1）=3+2a+b=0， 即b=﹣2a ﹣3，c=a+4（2分），（3分）1当a=﹣3时，f ′（x ）=3（x ﹣1）2≥0，函数f （x ）在区间（﹣∞，+∞）上单调增加，不存在单调减区间；（5分） 2当a ＞﹣3时，﹣1﹣＜1，有x （﹣） （﹣1﹣，1） （1，+∞）f ′（x ） + ﹣ + f （x ）↑↓↑∴当a ＞﹣3时，函数f （x ）存在单调减区间，为[﹣1﹣，1]（7分）3当a ＜﹣3时，﹣1﹣＞1，有x （﹣∞，1） （1，﹣1﹣） （﹣1﹣，+∞）f ′（x ） + ﹣ + f （x ）↑↓↑∴当a ＜﹣3时，函数f （x ）存在单调减区间，为[1，﹣1﹣]（9分）（Ⅱ）由（Ⅰ）知：x=1不是函数f （x ）的极值点，则a=﹣3，b=3，c=1，f （x ）=x 3﹣3x 2+3x+1=（x ﹣1）3+2（10分）设点P （x 0，y 0）是函数f （x ）的图象上任意一点，则y 0=f （x 0）=（x 0﹣1）3+2， 点p （x 0，y 0）关于点M （1，2）的对称点为Q （2﹣x 0，4﹣y 0），∵f （2﹣x 0）=（2﹣x 0﹣1）3+2=﹣（x 0﹣1）3+2=2﹣y 0+2=4﹣y 0 ∴点Q （2﹣x 0，4﹣y 0）在函数f （x ）的图象上． 由点P 的任意性知函数f （x ）的图象关于点M 对称．（14分）【点评】本题考查函数的单调性，具有一定的难度，解题时要结合导数的性质，合理地进行解答．。

一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1．“至多有三个”的否定为（ ）A ．至少有三个B ．至少有四个C ． 有三个D ．有四个 【答案】B 【解析】试题分析：根据命题否定的概念可知，“至多有三个”的否定为“至少有四个”，故选B ． 考点：命题否定的概念．2．如果命题“()p q ⌝∨ ”是假命题，则下列说法正确的是（ ） A ．p q 、 均为真命题 B ．p q 、中至少有一个为真命题 C ．p q 、均为假命题 D ．p q 、至少有一个为假命题 【答案】B考点：复合命题的真假及应用． 3．“1x > ”是“2x x > ”的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】试题分析：由2x x >，解得0x <或1x >，所以“1x > ”是“2x x > ”的充分而不必要条件，故选A ． 考点：充分不必要条件的判定．4．已知椭圆的焦点是12,F F ，P 是椭圆上的一个动点，如果延长1F P 到Q ，使得2PQ PF =，那 么动点Q 的轨迹是（ ）A ．圆B ． 椭圆C ．双曲线的一支D ． 抛物线【答案】A 【解析】试题分析：根据椭圆的定义可知，122PF PF a +=，因为2PQ PF =，所以12PF PQ a +=，即12QF a =，根据圆的定义，点Q 的轨迹是以1F 为圆心，半径为2a 的圆，故选A ．考点：椭圆的定义以及圆的方程．5．“14t <<” 是“方程22141x y t t +=-- 表示的曲线为焦点在x 轴上的椭圆”的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 【答案】B考点：椭圆的标准方程及必要不充分条件的判定．6．已知F 是抛物线2y x ＝的焦点，,A B 是该抛物线上的两点，3AF BF ＋＝，则线段AB 的中 点到y 轴的距离为（ ） A ．34B ．1C ．54D ．74【答案】C 【解析】试题分析：因为F 是抛物线2y x ＝的焦点，所以1(,0)4F ，准线方程14x =，设1122(,),(,)A x y B x y ，根据抛物线的定义可知抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离，即1211,44AF x BF x =+=+，所以1211344AF BF x x +=+++=，解得1252x x +=，所以线段AB 的中点横坐标为54，即线段AB 的中点到y 的距离为54． 考点：抛物线简单的几何性质．7．已知双曲线2222C:=1x y a b -的焦距为10，点1(2)P ，在C 的渐近线上，则C 的方程为（ ）A ．22=1 205x y -B ．22=1520x y -C ．22=18020x y -D ．22=12080x y -【答案】A考点：双曲线的标准方程及简单的几何性质．8．若圆心在x C 位于y 轴左侧，且被直线20x y ＋＝截得的弦长为4，则圆C 的方程是（ ）A ．22 (5x y +=B ．22 (5x y ++=C ．22(5)5x y -+= D ．22(5)5x y ++=【答案】B 【解析】试题分析：设圆的圆心坐标为(,0)(0)a a <20x y ＋＝截得的弦长为4，所以弦心距为11a ⇒=，所以圆的方程为22 (5x y ++=．考点：直线与圆的位置关系． 9．已知1()2(0)f x x x x=+-< ，则()f x 有（ ） A ．最大值为0 B ．最小值为0 C ．最大值为4－ D ．最小值为4－【答案】C试题分析：由题意得，22211()1(0)x f x x x x-'=-=<，当(,1)x ∈-∞-时，()0f x '>，即函数在(,1)-∞-单调递增；当(1,0)x ∈-时，()0f x '<，即函数在(1,0)-单调递减，所以函数()f x 有最大值(1)4f -=-． 考点：导数的应用．10．在以O 为中心，12F F 、 为焦点的椭圆上存在一点M ，满足1222MF MO MF ==，则该椭 圆的离心率为（ ）A B C ． 【答案】考点：椭圆的简单几何性质．11．已知P 为椭圆22=12516x y +上的一点，M N 、分别为圆2231()x y ＋＋＝和圆2()3x －＋24y ＝上的点，则PM PN ＋的最小值为（ ）A ．5B ．7C ．13D ．15【解析】试题分析：依据题意可得，椭圆22=12516x y +的焦点分别是圆2231()x y ＋＋＝和圆2()3x －＋24y ＝的圆心，所以根据椭圆的定义可得：min ()25127PM PN +=⨯--=，故选B ． 考点：椭圆的性质及圆锥曲线综合应用．【方法点晴】本题考查与圆的性质及其应用，以及椭圆的定义，解题时认真审题，仔细解答，注意公式的合理运用，本题的解答中，利用椭圆22=12516x y +的焦点分别是两圆2231()x y ＋＋＝和圆2()3x －＋24y ＝的圆心，再结合椭圆的定义与圆的性质可求解出PM PN ＋的最小值，其中确定椭圆的焦点恰好是两圆的圆心是解答本题的关键．12．点P 在直线:1l y x =-上，若存在过点P 的直线交抛物线2y x =于,A B 两点，且||||PA AB =， 则称点P 为“ 点”，那么下列结论中正确的是（ ）A ．直线l 上的所有点都是“ 点” B．直线l 上仅有有限个点是“ 点”C ．直线l 上的所有点都不是“ 点”D ．直线l 上有无穷多个点（不是所有的点）是“ 点” 【答案】A考点：两点间的距离公式和一元二次方程的应用．【方法点晴】本题主要考察了直线与圆锥曲线的位置关系及其应用，此类问题一般是把直线方程与圆锥曲线方程联立，解决直线与圆锥曲线的交点个数时，利用一元二次方程的判别式来判断．本题的解答中根据题设方程分别设出点,A P 的坐标，进而表示点B 的坐标，把,A B 点的坐标代入抛物线的方程，联立消去y ，求得关于x 的一元二次方程，利用判别式大于0恒成立，可推断方程有解，进而可推断出直线上的所有的点都符合新定义，此类问题正确把握题设中的新定义是解答此类问题的关键．第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题（本大题共4小题，每题5分，满分20分．）13．设,x y 满足约束条件x y 1x y 3x 0y 0-≥-⎧⎪+≤⎪⎨≥⎪⎪≥⎩，则2z x y =-的取值范围为______.【答案】3,3-［］考点：简单的线性规划及其应用．14. 已知双曲线2219x y a-=的右焦点的坐标为 ，则该双曲线的渐近线方程为_________. 【答案】230x y ±= 【解析】试题分析：由题意得，双曲线2219x y a-=的右焦点的坐标为，即c =，所以29a += 4a ⇒=，所以该双曲线的渐近线方程为230x y ±=．考点：双曲线的标准方程及几何性质．15．过焦点为F 的抛物线24y x =上一点P 向其准线作垂线，垂足为Q ，若Q F 120∠P =，则【答案】43考点：抛物线的简单的几何性质及其应用．【方法点晴】本题主要考查了抛物线的方程及简单的几何性质的应用，同时以抛物线为载体，着重考查了线段长度、抛物线的定义的转化等知识的综合应用，注意解题方法的积累和总结，属于中档试题，本题的解答中通过(,)P m n （不妨令,m n 均为正数），利用QPF ∆为等腰三角形及三角形的1sin 602PQ PF =计算即可得到结论，其中本题的运算和化简也是本题的一个易错点．16. 若关于x 的不等式211022nx x ⎛⎫+-≥ ⎪⎝⎭对任意*n ∈N 在(]x λ∈∞－， 上恒成立，则实常数λ的取值范围是________． 【答案】(]1∞－，－ 【解析】试题分析：当*n ∈N 时，1()2n 的最大值为12，则关于x 的不等式211022nx x ⎛⎫+-≥ ⎪⎝⎭对任意*n ∈N 在(]x λ∈∞－， 上恒成立，即211022x x +-≥对(]x λ∈∞－， 上恒成立，因为()21122f x x x =+-的图象开口向上，且以14x =-为对称轴的抛物线，则当14λ≤时，()21122f x x x =+-在(]x λ∈∞－， 上单调递减，若()0f x ≥，即()0f λ≥，解得1λ≤-，当14λ>-时，()21122f x x x =+-在1(,]4-∞-上单调递减，在1[,]4λ-单调递增，若()0f x ≥，即1()04f -≥，不符合题意，所以1λ≤-．考点：函数的恒成立及二次函数性质的应用．【方法点晴】本题主要考查了了二次函数的图象与性质及函数的恒成立问题的求解，属于难度较大的试题，其中熟练掌握指数函数的性质及二次函数的图象与性质是解答的关键，本题的解答中根据指数函数的性质，可得当*n ∈N 时，1()2n 的最大值为12，则可将问题转化为211022x x +-≥对任意*n ∈N 在(]x λ∈∞－，上恒成立，结合二次函数的图象与性质，可求得实常数λ的取值范围．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．(本小题满分10分) 已知命题:p “[]21,20x x a ∀∈≥，－”，命题:q “x R ∃∈，2220x ax a ＋＋－＝”．若命题“p q ∧ ”是真命题，求实数a 的取值范围． 【答案】(]{},21a ∈-∞-⋃．考点：复合命题的真假判定及应用．18．(本小题满分12分) 在∆ABC 中，()sin 1-=C A ,1sin 3=B . （1）求sin A 的值；（2）设=AC ，求∆ABC 的面积【答案】（1）sin A =；（2） 【解析】试题分析：（1）由已知()sin 1C A -=，得2C A π-=和三角形的内角和定理得到A 与B 的关系式及A 的范围，然后两边取余弦，并把sin B 的值代入，利用二倍角的余弦函数公式化简得到一个关于sin A 的方程，求出方程的解即可得到sin A 的值；（2）要求三角形的面积，根据公式求解三角形的面积，AC 已知，BC 和sin C 未知，所以要求出BC 和sin C ，由AC 和sin A 和sin B 的值根据正弦定理求出BC ，先根据同角三角形间的关系，由sin A 求出cos A ，然后由C 和A 的关系式表示出C ，两边取正弦得到sin C 与cos A 相等，即可求出sin C ，根据面积公式，求出即可．考点：正弦定理和诱导公式的应用．19．(本小题满分12分) 已知双曲线的中心在原点，焦点12F F ， ，且过点(4,-．点()3M m ， 在双曲线上． （1）求双曲线方程； （2）求证：12MF MF ⊥； （3）求12∆F MF 的面积．【答案】(1)226x y -=；（2）证明见解析；（3）6． 【解析】(3)由(2)知12⊥MF MF ，∴12∆MF F 为直角三角形．又12(-F F ，=mM 或(3,M ，由两点间距离公式得1||==MF ，121212∆F MF S MF MF ＝ ＝1112622=⨯=．即12∆F MF 的面积为6. ………………………12分 考点：双曲线的标准方程；圆与圆锥曲线的综合．20．(本小题满分12分) 设数列{}n a 的前n 项和n S ，数列{}n S 的前n 项和为{}n T ，满足2*2,n n T S n n N =-∈．（1）求1a 的值；（2）求数列{}n a 的通项公式．【答案】（1）11=a ；（2）1322n n a -=⨯-．∴{}2n a +是以3为首项，公比为2的等比数列…………11分1232-⨯=+∴n n a 2231-⨯=∴-n n a ……………………12分考点：等差数列与等比数列及数列的递推公式．【方法点晴】本题主要考查了的首项和数列的通项的求法，属于中档试题，解题时要认真审题，注意迭代的合理运用，本题的第2问的解答中，当2n ≥时，12221n n n S S S n -=--+，得1221n n S S n -=+-，1221n n S S n +=++，故122n n a a +=+，所以122(2)2n n a n a ++=≥+，得数列{}2n a +为公比为2的等比数列，利用等比数列的通项公式，可求解数列{}n a 的通项公式．21. (本小题满分12分) 如图, 直线12y x =与抛物线2418y x =-交于A 、B 两点, 线段AB 的垂 直平分线与直线5y =-交于Q 点.（1）求点Q 的坐标；（2）当P 为抛物线上位于线段AB 下方(含A 、B) 的动点时, 求OPQ ∆面积的最大值.【答案】（1）5(5,)Q －；（2）30．第21题图考点：抛物线的应用；直线与圆锥曲线的综合问题．【方法点晴】本题主要考查了抛物线的标准方程及其应用及直线与圆锥曲线的综合应用和点直线的距离公式，着重考查了解析几何基础知识的灵活运用．本题解答中，设出P 的坐标，利用P 到直线OQ 的距离求得三角形的高，利用两点间的距离公式求得OQ 的长，最后利用三角形面积公式表示出三角形OPQ ，利用x 的范围和二次函数的单调性求得三角形面积的最大值．22. （本小题满分10分）如图,在平面直角坐标系xoy 中，椭圆C 的标准方程为22162x y +=，直 线l 与x 轴交于点E ，与椭圆C 交于,A B 两点．（1）若点E 的坐标为,02⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，点A 连结点A 与原点O 的直线交椭圆C 于另一点P ，求PAB ∆的面积；（2）是否存在点E ，使得2211EA EB +为定值？若存在，请指出点E 的坐标，并求出该定值；若不存在， 请说明理由．【答案】（1；（2）存在，点E的坐标为()．第22题图又222222111111(1)EA m y y m y ===++， 所以212122222222221212()21111(1)(1)(1)y y y y EA EB m y m y m y y +-+=+=+++， ------------11分 将上述关系代入，化简可得22112EA EB +=．综上所述，存在点(E ，使得2211EA EB+为定值2．-------12分 考点：直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程．【方法点晴】本题主要考查了椭圆的标准方程及其简单的几何性质、直线与椭圆相交问题转化为方程联立可得根与系数的关系、弦长公式，考查了分类讨论的数学思想方法及学生的探究能力、推理能力和计算能力，属于难度较大的试题，本题第2问解答中当直线AB 与x 轴重合时，由2211EA EB +20220122(6)x x +=-，当直线AB 与x 轴垂直时，可得22201166EA EB x +=-，利用20222001226(6)6x x x +=--，解得20x 的值，若存在点E ，此时(0)E ，则2211EA EB +为定值2；本题也可以设1122(,),(,)A x y B x y ，又设直线AB的方程为x my =C 联立方程组，利用根与系数的关系即可得出．高考一轮复习：。

广东实验中学2015—2016学年(上)高一级模块考试 数学 本试卷共4页．满分为150分考试用时120分钟．．注意事项： 1．答卷前，考生务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号填写在上． 2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号，不能答在试题卷上． 3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效． 第一部分 (共100分) 一、选择题：本大题共10小题，每小题分，共0分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． ．设，则等于（）A． B． C． D． 2．三个数之间的大小关系是（） A．. B． C．D． 3．设集合，，则下述对应法则中，不能构成A到B的映射的是（）A．B． C．D． 4．已知函数为奇函数，且当时，，则等于（）A．B．0 C．1 D．2 ．函数的零点所在的区间可能是（）A．B．C．D． ．若全集，则集合的真子集共有（）个A．8个B．7个C．4个D．3个 ．函数的图象的大致形状是（） 8．下列函数中既是偶函数又是（）A．B．C．D． ．是定义在上是减函数，则的取值范围是（）A．B．C．D． 10．若是R上的减函数，且的图象经过点（0，4）和点（3，－2），则当不等式的解集为（－1，2）时，的值为（）A．0 B．1 C．－1 D．2二、填空题：本大题共小题，每小题5分，共分． 11．已知，则= ． 12．函数（其中）的图象一定过定点P，则P点的坐标是． 1．若函数的定义域为（1，2]，则函数的定义域为． 1．函数＝的值域为 ．三、解答题：本大题共小题，共分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本题满分8分） 化简或求值：（1）（2）16．（本题满分10分）已知，，若，求的取值范围． 17．（本小题满分12分） （1）判断函数在上的单调性并证明你的结论； （2）猜想函数在定义域内的单调性（只需写出结论，不用证明）； （3）若不等式在上恒成立，利用题（2）的结论，求实数m的取值范围． 第部分 (共50分) 四、题：本大题共2小题，每小题分，共1分． 18．函数的值域为_________． 19．设偶函数在(0，＋∞)上单调递增，则f(b－2)与f(a＋1)的大小关系为____________.五、解答题：本大题共3小题，共40分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 20．（本小题满分13分） 已知函数对任意实数x、y都有=·，且，，当时，0≤＜1． （1）判断的奇偶性； （2）判断在[0，＋∞上的单调性，并给出证明； （3）若且≤，求的取值范围． 21．（本小题满分13分） 已知二次函数 （1）若函数在区间上存在零点，求实数的取值范围； （2）问：是否存在常数，当时，的值域为区间，且的长度为．，称为区间长度） 22．（本小题满分14分） 已知函数，当时，恒有. （1）求的表达式及定义域； （2）若方程有解，求实数的取值范围； （3）若方程的解集为，求实数的取值范围． D． －1 1 O y x C． －1 1 O y x A． －1 1 O y x B． －1 1 O y x。

揭阳一中2015-2016学年度高二级第一学期期中考试（文科）数学试卷一、选择题：(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)．1.已知ABC ∆中，c b a 、、分别是角C B A 、、的对边， 60,3,2===B b a ，则A =( )A.45 B.135 C.135或 45 D.902.不等式1213≥--xx 的解集是（ ） A ．⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤≤243|x x B ．⎭⎬⎫⎩⎨⎧<≤243|x x C ．⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤>432|x x x 或 D ．{}2|<x x3.下列结论正确的是（ ） A ．当0>x 且1≠x 时，x x lg 1lg +≥2； B ．当0>x 时，xx 1+≥2； C ．当x ≥2时，x x 1+的最小值为2； D ．当x <0≤2时，xx 1-无最大值。

4.在项数为2n+1的等差数列中，若所有奇数项的和为165，所有偶数项的和为150，则n= （ ）A.9B.10C.11D.125．函数f (x)的图象如右图所示，则不等式xf(x) >0的解集是( )A ．)1,0()0,1( -B ．),1()0,1(+∞-C ．),1()1,(+∞--∞D ． )1,0()1,( --∞6.△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若a 2－b 2＝3bc ，sin C ＝23sin B ，则A ＝( ) A.5π6 B.2π3 C.π3D.π67．设S n ，T n 分别是等差数列{a n }，{b n }的前n 项和，已知S n T n＝723n n ++，则220715a ab b ++等于（ ） A.94 B.378 C.7914 D.149248．若x ,y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥2，x ≤2，y ≤1.，则1222+-+x y x 的取值范围是( )A ．[12，2]B ．C ．D ．[22, 2]9．数列1,1＋2,1＋2＋22,1＋2＋22＋23，…，1＋2＋23＋…＋2n －1，…的前n 项和为( )A ．2n－1 B ．n ·2n－n C ．2n ＋1－n D ．2n ＋1－n －210．已知在正项等比数列{a n }中，a 1＝1，a 2a 4＝16，则|a 1－12|＋|a 2－12|＋…＋|a 8－12|＝( )．A ．224B ．225C ．226D ．256()*111008100911.{}2(,2),,=,,,n n n n a a a a n N n a a A B C O +-+=∈≥+2016在数列中，已知若平面上的三个不共线的向量OA 、OB 、OC 满足OC OA OB 三点共线，且直线不过点，则S 等于 A.1008 B.1009 C.2015 D.201612．若函数x a x f 2)(⋅-=与14)(++=a x g x的图象有交点，则a 的取值范围是（ ） A. 222-≤a 或 222+≥a B. 1-<a C. 2221-≤≤-a D. 222-≤a二、填空题:(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上).13.在△ABC 中，若CcB b A a cos cos cos ==，则△ABC 的形状是 _____． 14.已知f(x)221x x =+，则111(1)(2)(3)(4)()()()234f f f f f f f ++++++=________. 15．已知函数f (x )＝x 2＋2bx 过点(1，2)，若数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1f （n ）的前n 项和为S n ，则S 2 015的值是________．16.若不等式|x ＋1|＋|x －3|≥a ＋4a对任意的实数x 恒成立，则实数a 的取值范围是 .三、解答题: (本大题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)已知不等式2364ax x -+>的解集为{1}x x x b <>或. (1）求,a b 的值；(2）解不等式2()0ax ac b x bc -++<18．(本小题满分12分)已知x ，y 都是正数． (1)若3x ＋2y ＝12，求xy 的最大值； (2)若x ＋2y ＝3，求1x ＋1y 的最小值．19.(12,,m=cos sin n=cos ),|m+n|=2.12ABC A B C A A A A ABC ∆∆本小题满分分）在中，角的对边分别为a,b,c,向量（，A ），，若（）求角的大小；（）若，求的面积。

2015-2016学年广东省湛江市第一中学高二上学期第二次月考理科数学试卷一．选择题：共12小题，每小题5分，共60分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的一项．1．“至多有三个”的否定为（ ）A ．至少有三个B ．至少有四个C ． 有三个D ．有四个2．如果命题“()p q ⌝∨ ”是假命题，则下列说法正确的是( )A ．p q 、 均为真命题B ．p q 、中至少有一个为真命题C ．p q 、均为假命题D ．p q 、至少有一个为假命题 3．“1x > ”是“2x x > ”的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件4．已知椭圆的焦点是12,F F ，P 是椭圆上的一个动点，如果延长1F P 到Q ，使得2PQ PF =，那么动点Q 的轨迹是( )A ．圆B ． 椭圆C ．双曲线的一支D ． 抛物线5．“14t <<” 是“方程22141x y t t +=-- 表示的曲线为焦点在x 轴上的椭圆”的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 6．已知F 是抛物线2y x ＝的焦点，,A B 是该抛物线上的两点，3AF BF ＋＝，则线段AB 的中点到y 轴的距离为( ) A ．34B ．C ．54D ．747．已知双曲线2222C:=1x y a b -的焦距为10，点1(2)P ，在C 的渐近线上，则C 的方程为( )A ．22=1 205x y -B ．22=1520x y -C ．22=18020x y -D ．22=12080x y -8．若圆心在x 轴上，C 位于y 轴左侧，且被直线20x y ＋＝截得的弦长为4，则圆C 的方程是( )A ．22 (5x y +=B ．22 (5x y ++=C ．22 (5)5x y -+=D ．22(5)5x y ++=9．已知1()2(0)f x x x x=+-< ，则()f x 有( ) A ．最大值为0 B ．最小值为0 C ．最大值为4－D ．最小值为4－10．在以O 为中心，12F F 、 为焦点的椭圆上存在一点M ，满足1222MF MO MF ==，则该椭圆的离心率为( )ABC ．D11．已知P 为椭圆22=12516x y +上的一点，M N 、分别为圆2231()x y ＋＋＝和圆2()3x －＋24y ＝上的点，则PM PN ＋的最小值为( )A ．5B ．7C ．13D ．1512．点P 在直线:1l y x =-上，若存在过点P 的直线交抛物线2y x =于,A B 两点，且|||PA AB = ，则称点P 为“ 点”，那么下列结论中正确的是 （ ） A ．直线上的所有点都是“ 点” B ．直线上仅有有限个点是“ 点” C ．直线上的所有点都不是“ 点”D ．直线上有无穷多个点（不是所有的点）是“ 点”二．填空题：本大题共四小题，每小题5分,共20分．13．设,x y 满足约束条件x y 1x y 3x 0y 0-≥-⎧⎪+≤⎪⎨≥⎪⎪≥⎩，则2z x y =-的取值范围为______.14. 已知双曲线2219x y a-=的右焦点的坐标为 ，则该双曲线的渐近线方程为_________.15．过焦点为F 的抛物线24y x =上一点P 向其准线作垂线，垂足为Q ，若Q F 120∠P = ，16 . 若关于x 的不等式211022nx x ⎛⎫+-≥ ⎪⎝⎭对任意*n ∈N 在(]x λ∈∞－， 上恒成立，则实常数λ的取值范围是________．三.解答题：共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

2015-2016学年广东省湛江一中高二下第一次月考数学（文）试题一、选择题1．复数()2i i -=（ ）A. 1+2iB.1-2iC.-1+2iD.-1-2i 【答案】A【解析】试题分析：()22212i i i i i -=-=+【考点】复数运算 2．已知0x >，函数4y x x=+的最小值是（ ） A ．5 B ．4 C ．8 D ．6 【答案】B【解析】试题分析：44y x x =+≥=，当且仅当4x x =时等号成立，取得最小值4【考点】均值不等式求最值3．在ABC ∆中，sin :sin :sin 3:2:4A B C =，那么cos C =（ ） A.14 B.23 C.23- D.14- 【答案】D 【解析】试题分析：sin :sin :sin 3:2:4,::3:2:4A B C a b c =∴=2221cos 24a b c C ab +-∴==-【考点】正余弦定理解三角形4．已知数列{}n a 满足()11n n a a n N ++=-∈，且24618a a a ++=，则5a 的值为（ ） A.8 B.7 C.5 D.6【答案】C【解析】试题分析：{}1111n n n n n a a a a a ++=-∴-=-∴为等差数列，公差为1d =-，2464186a a a a ++=∴=55a ∴=【考点】等差数列5．下列说法正确的是（ ）A ．命题“若x 2＝1，则x ＝1”的否命题为“若x 2＝1，则x≠1”B ．命题“∀x≥0，x 2＋x －1＜0”的否定是“∃x 0＜0，x 20＋x 0－1≥0” C ．命题“若x ＝y ，则sin x ＝sin y”的逆否命题为假命题 D ．若“q p ∨”为真命题，则p ，q 中至少有一个为真命题【答案】D【解析】试题分析：对于A ：否命题为“若x 2≠1，则x ≠1”，故A 错误；对于B ：否定是“∃x 0≥0，x 20＋x 0－1≥0”，故B 错误；对于C ：逆否命题为：若“sin x ≠sin y ，则x ≠y ”，是真命题，故C 错误； A ，B ，C ，都错误，故D 正确，【考点】复合命题的真假；四种命题间的逆否关系；命题的否定 6．“12x -<成立”是x （3-x ）﹥0“成立”的（ ） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件 【答案】B【解析】试题分析：1213x x -<∴-<<，()3003x x x ->∴<<，所以“12x -<成立”是x （3-x ）﹥0“成立”的必要不充分条件 【考点】解不等式与充分条件必要条件 7．等比数列{}n a 的各项均为正数，且564718a a a a +=，则31323l o g l o g ...l o ga a a +++=（ ） A ．12 B ．10 C ．31log 5+ D ．32log 5+ 【答案】B【解析】试题分析：564756189a a a a a a +=∴=()()553132310312103563log log ...log log log log 910a a a a a a a a ∴+++====【考点】等比数列性质及对数运算8．下列各对双曲线中，既有相同的离心率，又有相同渐近线的是（ ） A ．2213x y -=与22193x y -= B ．2213x y -=与2213x y -=C ．2213x y -=与2213y x -= D ．2213x y -=与22139y x -=【答案】A【解析】试题分析：双曲线2213x y -=中a =，b=1，c=2. e =，渐近线y =A ：3e =，渐近线3y x =±，符合；B ：e=2，渐近线3y x =±，不符合C ：e=2，渐近线y =，不符合：D ：3e =，渐近线y =，不符合 【考点】双曲线的简单性质9．设函数f （x ）在定义域内可导，y=f （x ）的图象如右图，则导函数()y f x '=的图象可能为下图中的（ ）【答案】D【解析】试题分析：由f （x ）的图象判断出f （x ）在区间（-∞，0）上递增；在（0，+∞）上先增再减再增，∴在区间（-∞，0）上f ′（x ）＞0，在（0，+∞）上先有f ′（x ）＞0再有f ′（x ）＜0再有f ′（x ）＞0 【考点】函数的单调性与导数的关系10．由不等式组22024010x y x y x --≥⎧⎪-+≥⎨⎪-≤⎩确定的平面区域记为M ，若直线320x y a -+=与M 有公共点，则a 的最大值为（ ）A ．3-B ．4C ．2D ．1 【答案】C【解析】试题分析：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分）．由3x-2y+a=0得322a y x =+，平移直线322ay x =+， 由图象可知当直线322a y x =+经过点A 时，直线322ay x =+的截距最大，此时a 最大．由1220x x y =⎧⎨--=⎩得10x y =⎧⎨=⎩，即A （1，0），代入3x-2y+a=0得3+a=0．解得a=-3，【考点】简单线性规划11．在平面上，若两个正三角形的边长比为1∶2，则它们的面积比为1∶4，类似地，在空间中，若两个正四面体的棱长比为1∶2，则它们的体积比为（ ） A.1∶4 B .1∶6 C.1∶ 8 D.1∶9 【答案】C【解析】试题分析：平面上，若两个正三角形的边长的比为1：2，则它们的面积比为1：4，类似地，由平面图形面积类比立体图形的体积，得出：在空间内，若两个正四面体的棱长的比为1：2，则它们的底面积之比为1：4，对应高之比为1：2，所以体积比为 1：8 【考点】类比推理 12．函数axx x f 1)(+=在)1,(--∞上单调递增，则实数a 的取值范围是（ ） A.（－∞，-1]∪[1，+∞） B.（－∞，0）∪（0,1] C.]1,0( D. （－∞,0）∪[1，+∞） 【答案】D【解析】试题分析：()1a f x x x=+，当0a <时由一次函数和反比例函数性质可知函数单调递增，当0a >时函数增区间为,⎛-∞ ⎝，所以11a ≥-∴≥，所以实数a 的取值范围是（－∞,0）∪[1，+∞）【考点】函数单调性二、填空题13．已知x 与y 之间的几组数据如右表：则由表数据所得线性回归直线必过点【答案】（4.5，3.5）【解析】试题分析：由表格数据可知3456 2.534 4.54.5, 3.544x y ++++++====，回归直线过中线点（4.5，3.5）【考点】回归方程14．抛物线y = 4x 2的焦点坐标为____________． 【答案】10,16⎛⎫⎪⎝⎭【解析】试题分析：抛物线方程变形为2111244216p x y p =∴=∴=，焦点为10,16⎛⎫ ⎪⎝⎭【考点】抛物线性质15．将全体正整数排成一个三角形数阵: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 …根据以上规律,数阵中第n （n≥3）行的从左至右的第3个数是__________【答案】262n n -+【解析】试题分析：由排列的规律可得，第n-1行结束的时候排了()()112312n n n -++++-=个数．所以n 行从左向右的第3个数()216322n n n n --++=【考点】归纳推理16．如图，已知抛物线y 2＝2px （p ＞0）的焦点恰好是椭圆（a ＞b ＞0）的右焦 点F ，且两条曲线的交点连线也过焦点F ，则该椭圆的离心率为 ．1【解析】试题分析：设椭圆的左焦点为F'，抛物线与椭圆在第一象限的交点为A ，连接AF'，∴F （2p ，0），F'（- 2p ，0），可得焦距FF'=p=2c ， 对抛物线方程22y px =令2p x =，得22y p =，所以AF=|A y |=p∴Rt △AFF'中，AF=FF'=p ，可得再根据椭圆的定义，可得AF+AF'=2a=（p ，∴该椭圆的离心率为212c c e a a ==== 【考点】抛物线的简单性质；椭圆的简单性质三、解答题17．在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，已知()222332b c a bc +=+（1）求sinA ；（2）若32a =，△ABC 的面积S ＝2，且b>c ，求b ，c ．【答案】（1）2）3,12b c ==【解析】试题分析：（1）将已知条件变形结合余弦定理可得到cosA,进而可求得sinA ；（2）由余弦定理可得到关于b,c 的关系式，由三角形面积得到关于b,c 的又一关系式，解方程组可求得其值试题解析：（1） ∵()222332b c a bc +=+，∴222123b c a bc +-= ∴ cosA＝13又 ∴ ∠A 是三角形内角 ∴ sinA＝（2，∴12bcsinA，∴bc＝32①∵ 32a = ，∴由余弦定理可得 22231223b c bc ⎛⎫=+-⨯ ⎪⎝⎭∴222312b c ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭②∵b>c>0，∴联立①②可得3,12b c ==. 【考点】余弦定理解三角形及三角形面积求解18．在数列{}n a 中，c c a a a n n (,111+==+为常数，)*∈N n ，且521,,a a a 成公比不等于1的等比数列． （Ⅰ）求c 的值； （Ⅱ）设11+=n n n a a b ，求证：若数列{}n b 的前n 项和为n S ，则1132n S ≤<【答案】（Ⅰ）2（Ⅱ）详见解析【解析】试题分析：（Ⅰ）由111,n n a a a c +==+可得到数列通项公式，借助于521,,a a a 成等比数列可求得c 值；（Ⅱ）整理数列{}n b 的通项公式111()22121n b n n =--+，利用裂项相消法可求其和，从而证明不等式试题解析：（Ⅰ）∵1,1,n n a a c a c +=+=为常数，∴1(1)n a n c =+- ∴251,14a c a c =+=+.又125,,a a a 成等比数列，∴2(1)14c c +=+，解得0c =或2c = 当0c =时，1n n a a +=不合题意，舍去. ∴2c = （Ⅱ）由（Ⅰ）知，21n a n =-∴111111()(21)(21)22121n n n b a a n n n n +===--+-+ ∴12111111(1)()()23352121n n S b b b n n ⎡⎤=+++=-+-++-⎢⎥-+⎣⎦11(1)22121nn n =-=++ ∴ 121n +＞0, n S 11(1)22121n n n =-=++＜21由单调性可知，当n=1是时n S 有最小值31∴1132n S ≤< 【考点】等差数列及数列求和19．某学校的课题组为了研究学生的数学成绩与物理成绩之间的关系,随机抽取高二年级20名学生某次考试成绩，若单科成绩在85分以上（含85分），则该科成绩为优秀．（1）请完成下面的 2×2 列联表（单位：人）有关系?【答案】（1）详见解析（2） 有99%的把握认为:学生的数学成绩与物理成绩之间有关系【解析】试题分析：（1）根据科成绩在85分以上（含85分），则该科成绩为优秀，结合表格中的数据，即可得2×2列联表；（2）利用列联表中的数据，利用公式求得2K ，再与提供的临界值比较，即可得结论（2）根据列联表可以求得 ()2220512128.802 6.635614713k ⨯⨯-⨯==>⨯⨯⨯所以,我们有99%的把握认为:学生的数学成绩与物理成绩之间有关系 【考点】独立性检验20．如图，椭圆C:22221x y a b+=（a ＞b ＞0）经过点P （2,3），离心率e=12，直线l 的方程为y=4．（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）AB 是经过（0,3）的任一弦（不经过点P ）．设直线AB 与直线l 相交于点M ，记PA ，PB ，PM 的斜率分别为k 1，k 2，k 3．问：是否存在常数λ，使得12311k k k λ+=？若存在，求λ的值．【答案】（Ⅰ） 216x +212y =1（Ⅱ） 2【解析】试题分析：（Ⅰ）通过将点P （2，3）代入椭圆方程，结合离心率计算即得结论；（Ⅱ）分AB 斜率存在、不存在两种情况讨论，结合韦达定理计算即得结论试题解析：（Ⅰ）由已知得22222491,1,2a b a b c c a ⎧+=⎪⎪⎪-=⎨⎪⎪=⎪⎩， 解得a=4，．所以椭圆C 的方程为216x +212y =1．（Ⅱ）当直线AB 不存在斜率时，A （，B （，M （0,4）， 此时k，k 1k 3=4302--=-12， 11k +21k =-4，可得λ=2． 当直线AB 存在斜率时，可设为k （k≠0），则直线AB 的方程为y=kx+3． 设A （x 1,y 1），B （x 2,y 2），联立直线AB 与椭圆的方程，得 221,16123,x y y kx ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩消去y ，化简整理得，（4k 2+3）x 2+24kx-12=0， 所以x 1+x 2=22443k k -+，x 1x 2=21243k -+， 而11k +21k =1123x y --+2223x y --=112x kx -+222x kx -=12121222()x x x x kx x -+=24k k-．又M 点坐标为（1k ,4），所以31k =1243k --=12kk-．故可得λ=2． 因此，存在常数2，使得11k +21k =3k λ恒成立． 【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的简单性质21．已知函数21()ln ,()2f x xg x ax bx ==-，设()()()h x f x g x =-． （1）求函数F （x ）=f （x ）-x 的极值；（2）若g （2）＝2，若0<a ，讨论函数h （x ）的单调性；（3）若函数g （x ）是关于x 的一次函数，且函数h （x ）有两个不同的零点12,x x ，求b 的取值范围．【答案】（1）极大值1-；（2）1-<a 时增区间（ 0,1a -）和（1,+∞）；减区间（1a-,1），1-=a 时增区间（0，+∞），01<<-a 时，增区间（0,1）和（1a -,+∞）减区间（1,1a-）；（3）（e1-，0）.【解析】试题分析：（1）由已知整理得F （x ）的函数式，利用导数求得函数极值；（2）根据g （2）=2，求出h （x ）的表达式，求函数的导数，即可讨论函数h （x ）的单调性；（3）根据函数g （x ）是关于x 的一次函数，确定a=0，根据函数h （x ）由两个不同的零点，即可得到结论 试题解析：（1）∵ )(x F '=x1-1,令)(x F '=0,即x=1， 又(0,1)()0,(1,)()0,x F x x F x ''∈>∈+∞<1()(1)1x F x F ∴==-时有极大值（2）()()()h x f x g x =-∴ x a ax x ln x h )1(21)(2-+-=，其定义域为（0，+∞）.21(1)1(1)(1)()(1)=ax a x ax x h x ax a x x x-+-+-+-'=-+-=，又0<a ,令()0h x '=,得121,1x x a=-=. .1 当1-<a 时，则101a<-<，所以函数)(x h 在区间（ 0,1a -）和（1,+∞）上单调递增；在区间（1a-,1）上单调递减..2 当1-=a 时，0)(/>x h ,数)(x h 在区间（0，+∞）单调递增 .3 当01<<-a 时，则11a ->，所以函数)(x h 在区间（0,1）和（1a-,+∞）上单调递增；在区间（1,1a-）上单调递减. （综上所述略）（3）∵函数)(x g 是关于x 的一次函数 ，∴ bx x x h +=ln )(，其定义域为（0，+∞）. ∵h（x ） 有两个不同的零点12,x x ,∴b＜0)1(,)1(1,0)(,),1(,0)()1,0(1,0)(,11)( b h b h b x x h b x x h b x b x x h x bx b x x h -∴-∴-=∴'+∞-∈'-∈∴-=='+=+='是最大值是极大值点，时时令 ∴b 的取值范围是（e1-，0）.【考点】利用导数研究函数的单调性极值；函数零点的判定定理 22．选修4－1：几何证明选讲如图，已知点C 在圆O 直径BE 的延长线上，CA 切圆O 于A 点，DC 是∠ACB 的平分线并交AE 于点F ，交AB 于D 点，（1）求∠ADF 的度数； （2）若AB=AC ，求AC:BC ． 【答案】（1）45 （2【解析】试题分析：（I ）确定∠DAE=90°，即可求∠ADF 的度数；（II ）利用∠B=∠EAC ，∠ACB=∠ACB ，可得△ACE ∽△ABC ，从而可求相似比AC:BC 的值 试题解析：(1),AC O B EAC DC ACD ACD DCB ∴∠=∠∠∴∠=∠ 为圆的切线，，又是的平分线,,90,B DCB EAC AC ADF AFD BE DAE ∴∠+∠=∠+∠∠=∠∴∠=︒ 即又为圆的直径，1(180)452ADF DAE ∠=︒-∠=︒ 2,AC AEB EAC ACB ACB AEC BAC OA AB AC BC AB∠=∠∠=∠∴∆∝∴== （），连接，又,,30,3AC AE OA OB B BAO ACB B ABE BC AB =∴∠=∠=∠∠=︒∆==在直角中【考点】相似三角形的性质；圆的切线的性质定理的证明23．选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xoy 中，过点p （1，-2）的直线 L 倾斜角为45.以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极坐标建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρsin 2θ=2cos θ，直线L 和曲线C 的交点为A,B.（1）求直线L 的参数方程；第 11 页 共 11 页 （2）求|PA||PB|．【答案】（1）12.22x y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩（2）4 【解析】试题分析：（1）求出直线的普通方程，令x=t ，从而求出直线的参数方程；（2）求出曲线C 的普通方程，联立方程组，求出A 、B 的坐标，根据两点间的距离公式求出|PA|•|PB|的值即可试题解析：（Ⅰ）由条件知，直线l 的倾斜角45α=︒，cos sin 2αα==设点(,)M x y 是直线l 上的任意一点，点P 到点M 的有向距离为t ，则12.22x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩ （Ⅱ）曲线C 的直角坐标方程为22y x =,由此得2(2)2(1)22-+=+, 即 ,04262=+-t t 设12,t t 为此方程的两个根，t 1t 2=4因为l 和C 的交点为,A B ，所以12,t t 分别是点,A B 所对应的参数，由韦达定理得 PA PB ⋅=4【考点】简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程。

泰和七中高二年级2015—2016上学期期中考试数学试卷命题人： 审题人：一、选择题。

（每小题5分，12小题，共60分）1.在直角坐标系中，直线033=-+y x 的倾斜角是（ ）A .6πB .3π C .65π D .32π 2.若直线03=++a y x 平分圆04222=-++y x y x 的周长，则实数的值为（ ）A .1-B .1C .3D .3-3.两圆04816622=-+-+y x y x 与0448422=--++y x y x 的公切线条数为（ ） A .4条 B .3条 C .2条 D .1条4.已知m ，n 为不同的直线，α，β为不同的平面，则下列说法正确的是（ ） A .m ⊂α，n //m ⇒n //αB .m ⊂α，n ⊥m ⇒n ⊥αC .m ⊂α，n ⊂β，n //m ⇒n //αD .n ⊂β，n ⊥α⇒α⊥β5. 如果两直线b a //,且//a 平面α，则直线b 与平面α的位置关系是 （ ） A .相交 B .α//b C . b ⊂α D .α//b 或b ⊂α6.如图，若一个空间几何体的三视图中，直角三角形的直角边长均为1，则该几何体的体积为（ ）A .61B .31 C .21D .17.下列命题中正确的是 （ ）A .一直线与一平面平行,这个平面内有无数条直线与它平行B .平行于同一直线的两个平面平行C .与两相交平面的交线平行的直线必平行于这两个相交平面D .两条平行直线中的一条与一个平面平行,则另一条也与该平面平行8.已知坐标原点O 在圆x 2+y 2-x+y+m=0外，则m 的取值范围是 （ ） A .210<<m B .21<m C .21≤m D .0>m 9.在空间点A 是y 轴上一点，点B 3(，0，5-)， ||AB =25,则A 的坐标（ ） A .(0,4,0) B .(0,4-, 0) C .(0,4,0)或(0,4-,0) D .0(，5，0)10.点P 在直线04=-+y x 上，O 为原点，则||OP 的最小值是（ ） A .2 B .6 C .22 D .1011.过点（22，0）引直线l 与曲线x y 24-=交于A ,B 两点 ，O 为坐标原点，当△AOB 的面积取最大值时，直线l 的斜率等于 （ ） A .1- B .33- C .2- D .3- 12.中心角为︒135的扇形，其面积为B ，其围成的圆锥的全面积为A ，则B A :为（ ）A .8:11B .3:8C .3:8D .13:8二、填空题。