2018届江苏省南京师范大学附属中学、天一、海门、淮阴四校高三联考数学调研测试试题(解析版)

6. 导数的综合1．对于R上可导的任意函数f(x)，若满足(x－1)f′(x)≥0，比较f(0)＋f(2)与2f(1)的大小．2．求与曲线y＝x3＋3x2－5相切，且与直线x－3y＝0垂直的直线方程．3．已知函数f(x)＝x ln x．（1）求f(x)的最小值；（2）若对所有x≥1都有f(x)≥ax－1，求实数a的取值范围．4．设函数f(x)＝2x3－3(a－1)x2＋1，其中a≥1（1）求f(x)的单调区间；（2）求f(x)的极值．5．一艘轮船在航行中的燃料费和它的速度的立方成正比，已知在速度为每小时10公里时的燃料费是每小时6元，而其他与速度无关的费用是每小时96元，问此轮船以何种速度航行时，能使行驶每公里的费用总和最小？6.如图，已知曲线C1：y＝x3（x≥0）与曲线C2：y＝－2x3＋3x（x≥0）交于点O,A，直线x ＝t（0＜t＜1）与曲线C1、C2交于点B，D．（1）写出四边形ABOD的面积S与t的函数关系S＝f(t)；7．已知函数f(x)＝x(x－1)(x－a)有互为相反数的极大值和极小值，试确定常数a的值．8．已知曲线C：y＝x3及其上一点P1(1,1)，过P1作C的切线l1，l1与C的另一公共点为P2（不同于P1），过P2作C的切线l2，l2与C的另一公共点为P3（不同于P2），…，得到C的一列切线l1，l2，…，l n，…，相应的切点分别为P1，P2，…P n，…．求P n的坐标．9．已知f(x)＝ax3＋bx2＋cx＋d是定义在R上的函数，其图象交x轴于A，B，C三点，若点B的坐标为（2，0），且f(x)在[－1，0]和[4，5]上有相同的单调性，在[0，2]和[4，5]上有相反的单调性．（1）求c的值；（2）在函数f(x)的图象上是否存在一点M（x0，y0），使得f(x)在点M的切线斜率为3b？若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由；（3）求|AC|的取值范围．6. 导数的综合1． f (0)＋f (2)≥2f (1) ． 2． 360x y ++=． 3．（1）f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝1＋ln x ，令f ′(x )＝0，解得x ＝1e ．当x ＞1e ，f ′(x )＞0；当0＜x ＜1e ，f ′(x )＜0，从而f (x )在(0，1e )单调递减，在(1e ，＋∞)单调递增．所以，当x ＝1e 时，f (x )取得最小值－1e ．（2）方法一：令g (x )＝f (x )－(ax －1)．则g ′(x )＝f ′(x )－a ＝1－a ＋ln x ．① 若a ≤1，当x ≥1时，g ′(x )＝1－a ＋ln x ≥1－a ≥0，故g (x )在[1，＋∞)上为增函数， 所以，x ≥1时，g (x )≥g (1)min ＝1－a ≥0，即f (x )≥ax －1．② 若a ＞1，方程g ′(x )＝0的根为 x 0＝e a －1，此时，若x ∈[1，x 0)，则g ′(x )＜0， 故g (x )在该区间为减函数．所以，当x ∈[1，x 0)时，g (x )＜g (1)＝1－a ＜0，即f (x )＜ax －1， 与题设f (x )≥ax －1相矛盾.综上，满足条件的a 的取值范围是(－∞，1 ]．方法二：依题意，得f (x )≥ax －1在[1，＋∞)上恒成立，即不等式a ≤ln x ＋1x 对于x ∈[1，＋∞)恒成立．令g (x )＝ln x ＋1x ，则g ′(x )＝1x (1－1x )． 当x ＞1时，因为g ′(x )＝1x (1－1x )＞0，故g (x )在[1，＋∞)上单调递增， 所以g (x )的最小值是g (1)＝1．所以，a 的取值范围是(－∞，1 ]． 4．由已知得[]'()6(1)f x x x a =--，令'()0f x =，解得120,1x x a ==-．（1）当1a =时，'2()6f x x =，()f x 在(,)-∞+∞上单调递增；当1a >时，()'()61f x x x a =--⎡⎤，'(),()f x f x 随x 的变化情况如下表：单调递增．（2）由（1）知，当1a =时，函数()f x 没有极值；当1a >时，函数()f x 在0x =处取得极大值1，在1x a =-处取得极小值31(1)a --．5．设船速度为(0)x x >时，燃料费用为Q 元，则3Q kx =，由3610k =⨯可得3500k =，∴33500Q x =， ∴总费用3231396(96)500500y x x x x=+⋅=+， 2696500y x x'=-，令0y '=得20x =，当(0,20)x ∈时，0y '<，此时函数单调递减， 当(20,)x ∈+∞时，0y '>，此时函数单调递增， ∴当20x =时，y 取得最小值，∴此轮船以20公里/小时的速度使行驶每公里的费用总和最小．6.（1）由3223y xy x x⎧=⎪⎨=-+⎪⎩得交点,O A 坐标分别是(0,0)，(1,1)， 3111()|||1||||0|(33)222ABD OBDf t S S BD t BD t t t ∆∆=+=⋅⋅-+⋅⋅-=-+，∴33()()2f t t t =--(01)t <<． （2）293()22f t t '=-+，令293()022f t t '=-+=，得t =，当0t <<()0f t '>，此时函数在单调递增； 当13t <<时，()0f t '<，此时函数在(3单调递减． 所以，当t =时，()f t ． 7． 32()(1)()(1)f x x x x a x a x ax =--=-++，∴2()32(1)f x x a x a '=-++，令()0f x '=，得232(1)0x a x a -++=，由题意，该方程必定有不相等两实根，可分别设为,m n ， 则2(1)3m n a +=+，3a mn =， ∴3322()()(1)()()f m f n m n a m n a m n +=+-++++32()3()(1)[()2]()m n mn m n a m n mn a m n =+-+-++-++2(1)(2)(21)027a a a =-+--= ∴1a =-或2a =或12a =．8．设),(3n n n a a P ，过n P 作C 的切线．C 在n P 处的切线n l 的方程为：32)(3nn n a a x a y +-=，代入3x y =，并整理得0)2()(2=+-n n a x a x ．即n a x =（舍去）或n a x 2-=．由题意11=a ，n n a a 21-=+，从而1)2(--=n n a ，（n ∈N *）即))2(,)2(()1(31----n n n P ．9．⑴ ∵()x f 在[]0,1-和[]2,0上有相反单调性，∴ x =0是()x f 的一个极值点，故()0'=x f ，即0232=++c bx ax 有一个解为x =0，∴c=0 ⑵ ∵()x f 交x 轴于点B （2，0）∴()a b d d b a 24,048+-==++即令()0'=x f ，则ab x x bx ax 32,0,023212-===+ ∵()x f 在[]2,0和[]5,4上有相反的单调性∴4322≤-≤a b ， ∴36-≤≤-ab假设存在点M （x 0，y 0），使得()x f 在点M 的切线斜率为3b ，则()b x f 30'=即 0323020=-+b bx ax∵ △=()()⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+=-⨯⨯-94364334222a b ab ab b b a b又36-≤≤-ab， ∴△＜0∴不存在点M （x 0，y 0），使得()x f 在点M 的切线斜率为3b ．⑶ 依题意可令()()()()()()[]αβαββαβαβα2222223-+++++-=---=x x x a x x x a x f ()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=--=+∴⎩⎨⎧-=++-=a d ab a d a b 2222αββααββα则 ()162224222-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=+⎪⎭⎫ ⎝⎛--=-+=-=a b a d a b AC αββαβα∵36-≤≤-a b ，∴当6-=ab时，34max =AC ； 当3-=ab时，3min =AC 故343≤≤AC。

2018届江苏省天一中学高三数学单元练习卷（4）三角函数一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1、如果θ是第二象限角，且cossin22θθ-=，那么2θ是 （ ） A 、第一象限角 B 、第二象限角 C 、第一或第三象限角 D 、第三象限角 2、若0,sin cos ,sin cos ,4a b παβααββ<<<+=+=则 （ ）A 、a b <B 、a b >C 、1ab <D 、2ab >3、2tan151tan 165-的值是 （ ） A、3 B、2 C、6 D4、已知20,3πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，且11cos 314πα⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，则cos α= （ ） A 、17 B 、－17 C 、－1314 D 、13145、要得到cos()24x y π=-的图象只需将sin 2xy =的图象 （ ）A 、向左平移2π个单位 B 、向右平移2π个单位 C 、向左平移4π个单位 D 、向右平移4π个单位6、下列函数中，最小正周期是π的函数是 （ ）A 、()sin cos f x x x =+B 、()|tan|2xf x = C 、()|sin 2|f x x = D 、()sin()cos 3f x x x π=+7、已知3sin cos 8x x =，且42x ππ<<，则cos sin x x -= （ ）A 、12 B 、－12 C 、－14 D 、12± 8、在ABC ∆中，若sin 2sin 2A B =，则ABC ∆一定是 （ ）A 、等腰三角形B 、直角三角形C 、等腰直角三角形D 、等腰或直角三角形 9、函数2(sin )1y x a =-+在sin 1x =时取得最大值，在sin x a =时取得最小值，则a 必满足 （ ）A 、01a ≤≤B 、10a -≤≤C 、1a ≤-D 、1a ≥10、若2αβπ+=，则cos 6sin y βα=-的最大值和最小值分别是 （ ）A 、7、5B 、7、－112 C 、5、－112D 、7、－5 11、定义在R 上的偶函数()f x 在区间[]1,0-上是减函数，若A 、B 是锐角三角形的两个内角，则 （ ） A 、(sin )(cos )f A f B > B 、(sin )(cos )f A f B < C 、(sin )(sin )f A f B >D 、(cos )(cos )f A f B <12、给出下列五个命题：（1）函数sin()()y k x k Z π=-+∈是奇函数；（2）函数()tan f x x =的图象关于点(,0)()2k k Z ππ+∈对称；（3）函数()sin ||f x x =是最小正周期为π的周期函数；（4）设θ是第二象限角，则t a n c o t 22θθ>，且s i n c o s 22θθ>；（5）函数2cos sin y x x =+的最小值是－1。

2018届江苏省天一中学高三数学单元练习卷（1）集合与逻辑一、选择题：1、设M={x|x 2+x+2=0}，a=lg(lg10)，则{a}与M 的关系是A 、{a}=MB 、M ⊂≠{a}C 、{a}≠⊃MD 、M ⊇{a} 2、已知全集U=R ，A={x|x-a|<2}，B={x|x-1|≥3}，且A ∩B=φ，则a 的取值范围是A 、 [0，2]B 、（-2，2）C 、（0，2]D 、（0，2） 3、已知集合M={x|x=a 2-3a+2，a ∈R}，N 、{x|x=b 2-b ，b ∈R}，则M ，N 的关系是A 、 M ⊂≠NB 、M ≠⊃NC 、M=ND 、不确定4、设集合A={x|x ∈Z 且-10≤x ≤-1}，B={x|x ∈Z ，且|x|≤5}，则A ∪B 中的元素个数是A 、11B 、10C 、16D 、155、集合M={1，2，3，4，5}的子集是A 、15B 、16C 、31D 、326、对于命题“正方形的四个内角相等”，下面判断正确的是A 、所给命题为假B 、它的逆否命题为真C 、它的逆命题为真D 、它的否命题为真7、“α≠β”是cos α≠cos β”的A 、充分不必要条件B 、必要不充分条件C 、充要条件D 、既不充分也不必要条件8、集合A={x|x=3k-2，k ∈Z}，B={y|y=3ｎ+1，ｎ∈Z}，S={y|y=6m+1，m ∈Z}之间的关系是A 、S ⊂≠B ⊂≠AB 、S=B ⊂≠AC 、S ⊂≠B=AD 、S ≠⊃B=A 9、方程mx 2+2x+1=0至少有一个负根的充要条件是A 、0<m ≤1或m<0B 、0<m ≤1C 、m<1D 、m ≤1 10、已知p ：方程x 2+ax+b=0有且仅有整数解，q ：a ，b 是整数，则p 是q 的A 、充分不必要条件B 、必要不充分条件C.充要条件 D 、既不充分又不必要条件11、已知:|34|2p x ->，21:02q x x >--，则p ⌝是q ⌝的 A 、充分不必要条件 B 、必要不充分条件C.充要条件 D 、既不充分又不必要条件12、对于直线,m n 和平面,,αβαβ⊥的一个充分条件是A 、,,m n m n αβ⊥B 、,,m n m n αβα⊂≠⊥=C 、,,m n n m βα⊂≠⊥D 、,,m n m n αβ⊥⊥二、填空题：13、已知M={Z 24m |m ∈-}，N={x|}N 23x ∈+，则M ∩N=__________。

天才出于勤奋（共 10 页）（共 10 页）江苏省四校（南师附中、天一中学、海门中学、淮阴中学）2019届高三数学下学期期初调研检测试题6. 从 3 个男生、2 个女生中随机抽取 2 人，则抽中的 2 人不全是男生的概率是 ▲ .7. 已知正四棱锥的体积为4，底面边长为 2，则该正四棱锥的侧棱长为 ▲ ．3注意事项8．若将函数 y ＝cos x － 3sin x 的图象向左平移 m (m ＞0)个单位后，所得图象关于 y 轴对称，则实考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求1．本试卷共 4 页，包含填空题(第 1 题～第 14 题，共 14 题)、解答题(第 15 题～第 20 9. 数 m 的最小值为 ▲ ． 函数 f (x )＝a ·e x －e －x 在 x ＝0 处的切线与直线 y ＝2x －3 平行，则不等式 f (x 2－1)＋f (1－x )＜0 题，共 6 题)两部分。

本次考试时间为 120 分钟。

考试结束后，只要将答题卡交回。

的解集为 ▲ ． 2．答题前，请您务必将自己的姓名、考试证号用书写黑色字迹的 0.5 毫米签字笔填写在10. 首项为7 的数列{a n }满足：(n ＋1)a n ＋1－(n ＋2)a n ＝0，则 a 2019－a 2018 的值为 ▲ ． 答题卡上，并用 2B 铅笔把答题卡上考试证号对应数字框涂黑，如需改动，请用橡皮 擦干净后，再正确涂写。

3．答题时，必须用书写黑色字迹的 0.5 毫米签字笔写在答题卡上的指定位置，在其它位 置作答一律无效。

4．如有作图需要，可用 2B 铅笔作答，并请加黑加粗，描写清楚。

→ → 11. 如图，在平行四边形 ABCD 中，已知 AB ＝2，AD ＝1， AB · AC ＝5，则 cos ∠CAB ＝ ▲ ．(第 11 题)参考公式：1．锥体的体积公式为：V ＝1Sh ，其中 S 是锥体的底面积，h 是锥体的高；3n － －2．一组数据 x 1，x 2，…，x n 的方差为： s 2 ＝1 n ∑ (x i － x )2，其中 x 是数据 x 1，x 2，…，x n 的 i ＝113. 在平面直角坐标系 xOy 中， M ，N 是两定点，点 P 是圆 O ：x 2＋y 2＝1 上任意一点，满足： 平均数． 一、填空题：本大题共 14 小题，每小题 5 分，共 70 分．请把答案填写在答．题．卡．相．应．位．置．上．．1．已知集合 A ＝{1，2，3}，B ＝{2，3，4，5}，则 A ∩B ＝ ▲ ．PM ＝2PN, 则 MN 的长为 ▲ ．2．已知复数 z 满足(1－i)z ＝3＋i(i 为虚数单位)，则 z ＝ ▲ ．3. 一组数据 96， 98， 100，102， 104 的方差为 ▲ .4. 一个算法的伪代码如下图所示，执行此算法，已知输出值 y 为 2，则输入值 x 为 ▲ ．Read xIf x ≤0 Theny ← e x二、解答题：本大题共 6 小题，共 90 分.请在答．题．卡．指．定．区．域．内作答，解答时应写出文字说明、 证明过程或演算步骤．Else y ← x 2＋1End IfPrinty天才出于勤奋(第 4 题)5．已知双曲线x 2－y 2＝1(a ＞0)的一个焦点坐标为(2，0)，则它的离心率为 ▲ ．做题破万卷，下笔如有神（共 10 页） （共 10 页）n 16．（本小题满分 14 分）如图，在直四棱柱 ABCD －A 1B 1C 1D 1 中，已知点 M 为棱 BC 上异于 B ，C 的一点. （1）若 M 为 BC 中点，求证：A 1C //平面 AB 1M ；（2）若平面 AB 1M ⊥平面 BB 1C 1C, 求证：AM ⊥BC ．18．（本小题满分 16 分）在平面直角坐标系 xOy 中，已知椭圆 C ：x 2＋y 2＝1(a ＞b ＞0)，过左焦点 F (－ 3，0)的直线 l 与椭a 2b 2 圆交于 A ，B 两点．当直线 l ⊥x 轴时，AB ＝1． （1）求椭圆 C 的标准方程；（2）若点 P 在 y 轴上，且ΔPAB 是以点 P 为直角顶点的等腰直角三角形，求直线 AB 的方程．（第16 题）17.（本小题满分 14 分）如图，l 1 是经过城市 O 与城郊小镇 A 的东西方向公路，城市 O 与小镇 A 相距 8 3km ，l 2 是经过 城市 O 的南北方向的公路．现准备在城市 O 的西北区域内选址 P ，建造开发区管委会，并开发19．（本小题满分 16 分）已知函数 f (x )＝ln x ＋m （m ∈R ）的极大值为 1．x （第 18 题）三角形区域 PAO 与 PBO ．其中，AB 为计划修建的经过小镇 A 和管委会 P 的绕城公路(B 在 l 2 上，且位于城市 O 的正北方向)，PO 为计划修建的管委会 P 到城市 O 的公路，要求公路 PO 与公路PA 的总长为 16km(即 PO ＋PA ＝16)．设∠BAO ＝θ．（1）记 PA ＝f (θ)，求 f (θ)的函数解析式，并确定θ的取值范围； （2）当开发的三角形区域 PAO 的面积最大时，求绕城公路 AB 的长．（1）求 m 的值；（2）设函数 g (x )＝x ＋1，当 x 0＞1 时，试比较 f (x 0)与 g (x 0)的大小，并说明理由；e x（3）若 b ≥ 2 ，证明：对于任意 k ＜0，直线 y ＝kx ＋b 与曲线 y ＝f (x )有唯一公共点．e20．（本小题满分 16 分）已知 q 为常数，正．项．数列{a n }的前 n 项和 S n 满足：S n ＋(a n －S n )q ＝1，n ∈N *．（1）求证：数列{a n }为等比数列；（）若 ∈ ，且存在 ∈ ，使得 － 为数列 中的项． 2 q N * tN * 3a t ＋2 4a t ＋1{a n } （第 17 题）① 求 q 的值； ② 记 b ＝log a n ＋1列．做题破万卷，下笔如有神a n＋2，求证：存在无穷多组正整数数组(r，s，k)，使得b r，b s，b k 成等比数（共 4 页）（共 4 页）2019 届期初数学学科调研测试试卷数学 II （附加题）【必做题】第 22 题、第 23 题，每题 10 分，共计 20 分．请在答．题．卡．指．定．区．域．内．作．答．，解答时应 写出文字说明、证明过程或演算步骤． 22．（本小题满分 10 分）在平面直角坐标系 xOy 中，抛物线 C 的方程为 x 2＝2py (p ＞0)，过点 P (m ，0)(m ≠0)的直线 l 与抛→ → → →物线 C 交于 A ，B 两点，与 y 轴交于点 Q ，设 PA ＝λ QA ， PB ＝μ QB (λ，μ∈R )．（1）当 Q 为抛物线 C 的焦点时，直线 l 的方程为 y ＝1x ＋1，求抛物线 C 的标准方程；3（2）求证：λ＋μ为定值．21．【选做题】本题包括 A 、B 、C 共 3 小题，请．选．定．其．中．两．小．题．，并．在．相．应．的．答．题．区．域．内．作．答．． 若多做，则按作答的前两小题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．A ．[选修 4-2：矩阵与变换] （本小题满分 10 分）－1 123．（本小题满分 10 分）（第 22 题）已知 m ∈R ，矩阵 A ＝（1）求实数 m ；的一个特征值为－2． m 0 设集合 M ＝{1，2，3，…，m }，集合 A ，B 是 M 的两个不同子集，记|A ∩B |表示集合 A ∩B 的元 素个数．若|A ∩B |＝n ，其中 1≤n ≤m －1，则称(A , B )是 M 的一组 n 阶关联子集对(（A ，B ）与（B ，（2）求矩阵 A 的逆矩阵 A －1．B ．[选修 4-4：坐标系与参数方程] （本小题满分 10 分）在平面直角坐标系 xOy 中，已知点 P 是曲线 E : {x ＝cos θ， y ＝2＋2cos θ（θ为参数）上的一 点．以原点 O 为极点，x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，以 C 为圆心的圆的极坐标方程为ρ＝ 2cos θ，求线段 PC 长的最大值．C ．[选修 4-5：不等式选讲] （本小题满分 10 分）已知 x ＞0，求证：x 3＋y 2＋3≥3x ＋2y ．A ）看作同一组关联子集对)，并记集合 M 的所有 n 阶关联子集对的组数为 a n ．（1）当 m ＝3 时，求 a 1，a 2；（2）当 m ＝2019 时，求{a n }的通项公式，并求数列{a n }的最大项．江苏省海门中学2019 年期初数学学科调研测试试卷一、填空题数学I参考答案（2）过B 作BP ⊥B1M ,垂足为P平面AB1M ⊥平面B1BCC1平面AB1M 平面B1BCC1 =B1MBP ⊂平面BB1C1C∴BP ⊥平面AB1M1. {2，3}2.1+2i3.84.15.2336.7107. 38.2π39.(0，1) 10.7211. 5714AM ⊂平面AB1M12. (－∞，－e]∪[e，＋∞) 13.3 14. 2＋ 3∴BP ⊥AM直四棱柱ABCD -A B C D 中,BB ⊥平面ABCDe e 2 5二、解答题1 1 1 1 1AM ⊂平面ABCD15.（1）因为cos B＝－5，B∈(0，π)，∴BB1 ⊥AM5所以sin B＝1－cos2B＝1－(－5)2＝2 5．5 5在三角形ABC 中，sin A＝sin(π－(B＋C))＝sin(B＋C)＝sin(B＋π)＝sin B cosπ＋cos B sinπ．4 4 4故sin A＝2 5× 2＋(－5)× 2＝10．又BP BB1 =BBP, BB1 ⊂平面BB1C1C∴AM ⊥平面BB1C1C又BC ⊂平面BB1C1C∴AM ⊥BC ．…………………14 分5 2 5 2 108×1017.解：（1）如图，在∆PAO 中，设PA =x ，l则因为PO +PA = 16 ，所以PO = 16 -x，由正弦定理知AC ＝BC ，所以BC＝AC·si n A＝ 10 ＝2 2. …………………6 分又因为AO = 8 3 ，∠BAO =θ，sin B sin A sin B 255所以由余弦定理得：x2 3)2⨯8 3x cosθ= (16 -x)2 ，……（2）在三角形ABC 中，cos A＝cos(π－(B＋C))＝－cos(B＋π)＝－cos B cosπ＋sin B sinπ，解得x ………4 分l ∙∙4 4 4 2 -3cosθ1 A O故cos A＝5× 2＋2 5× 2＝310．当∠POA =π时，(8 3)2 + (16 -x)2 =x2 ，解得x = 14 ，（第17 题）5 2 5 2 10 2因为cos2A＝2cos2A－1＝2(3 10)2－1＝4,此时，cosθ=．105sin2A＝2sin A cos A＝2×3 10× 10＝3，14 7π10105设0 <α<，且cosα=2，则结合P 位于城市O 的西北区域内，B 在l2 上，7因此cos(2A＋π)＝cos2A cosπ－sin2A sinπ＝4×2－3× 2＝2．…………………14 分π4 4 45 2 5 2 10 且位于O 北，得α<θ<，216．证明：（1）连接A1B 交AB1 于N做题破万卷，下笔如有神（共 10 页）（共 10 页）∵直四棱柱 ABCD - A 1B 1C 1D 1 中， AA 1B 1B 为平行四边形综上，公路 PA 段长关于θ 的函数解析式为 PA = 4 ，θ 的取值范围为 (α, π) ，2∴ N 为 A 1B 的中点 π其中， 0 < α< ，且 cos α = ………………………6 分又 M 为 BC 中点∴ MN // A 1C 又 A 1C ⊄ 平面 AB 1M 2 （2）由（1） PA = 7，α < θ < π ，结合 AO 3 ， ∠BAO = θ ， 2MN ⊂ 平面 AB 1M ∴ A 1C //平面 AB 1M .…………………6 分得开发的三角形区域 PAO 面积： S (θ) = 1AO ⋅ PA sin θ2 = 1 4sin θ 2做题破万卷，下笔如有神4e1 m2（2） ∆PAB 为P 为直角顶点的等腰直角三角形，设AB 中点为M ，∴AB = 2PM （2）f(x0)－g(x0)＝ln x0＋1－x0＋1＝1(ln x0＋1－x0（ⅰ）直线AB 与x 轴垂直，AB =1，OF = 3 ,x0不合题意，舍.2⎨22=，α<θ<π．⎧2 3cosθ2⎪∆≥0⎪所以S'(θ)=θ-θ)] 则⎪x +x-k2=⎪1 21+4k2=，α<θ<π．⎪ 12k 2- 4x x(2 cosθ)2 2⎪1⋅⎩=21+4k2由S'(θ) = 0 ，得θ=π，因为cosπ=<3，所以π>α，∴AB =| x -2x6 6 27 61 2 1 2 1 2) 4(1+k2 )=1+4kAB 中点为M 的横坐标为1+4k-k21+4k2所以，当θ=π时，[S(θ)]=S(π3 ，PM =-2| |6 max 61+4k2 2此时，AB =AO==)|=4(1+k)cosπ6 2即开发的三角形区域PAO 面积最大时，绕城公路AB 的长为16km ．…………14 分k∴k =11+ 4k21+ 4k 2⎧c⎪11直线AB 的方程为y =(11或y =(3)⎪ b218．解：（1）由已知，得⎨2⋅ =1综上：直线AB 的方程为y = 1 (或y = 1 (或y =0. (16)⎪ a⎪⎧a2 =4解得⎨⎪⎩b2 =1⎪a2 =b2+c2⎩19.解：（1）f '(x)＝1－m－ln x, 令f'(x)＝0 得：x＝e1－m,x2所以f(x)在(0，e1－m)单调增，在(e1－m，＋∞)单调减.2 1－m 1∴椭圆E 的标准方程为：x+y2 = 1．…………………4 分所以f(x)＝f(e)＝＝1, 得m＝1. ……………3 分－＋x0)做题破万卷，下笔如有神（共 10 页）（共 10 页）e x 0 x 0 e x 0(ⅱ)直线 AB 与 y 轴垂直， AB = 4 ， P 为 或 (0, -2) ，适合题意。