2019年山东省高考理科数学模拟试题与答案(一)

2019年山东省淄博市高考数学一模试卷（理科）副标题一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.设全集U=R，集合A={x|2x＞1}，B={x|-1≤x≤5}，则（∁U A）∩B等于（）A. B. C. D.2.若复数z满足zi=1+2i，则z的共轭复数的虚部为（）A. iB.C.D. 13.命题“∀x∈R，x3-x2+1≤0”的否定是（）A. 不存在∈，B. 存在∈，C. ∈，D. 对任意的∈，4.设S n为等差数列{a n}的前n项和，且4+a5=a6+a4，则S9=（）A. 72B. 36C. 18D. 95.已知直线l和两个不同的平面α，β，则下列结论正确的是（）A. 若，，则B. 若，，则C. 若，，则D. 若，，则6.在某项测量中，测得变量ξ-N（1，σ2）（σ＞0）．若ξ在（0，2）内取值的概率为0.8，则ξ在（1，2）内取值的概率为（）A. B. C. D.7.一个底面是正三角形，侧棱和底面垂直的三棱柱，其三视图如图所示.若该三棱柱的外接球的表面积为，则侧视图中的的值为A. B. 9 C. D. 38.已知直线y=kx（k≠0）与双曲线＞，＞交于A，B两点，以AB为直径的圆恰好经过双曲线的右焦点F，若△ABF的面积为4a2，则双曲线的离心率为（）A. B. C. 2 D.9.已知M（-4，0），N（0，4），点P（x，y）的坐标x，y满足，则的最小值为（）A. B. C. D.10.已知f（x）=（sinθ）x，θ∈（0，），设，b=f（log43），c=f（log165），则a，b，c的大小关系是（）A. B. C. D.11.已知直线l：y=-2x-m（m＞0）与圆C：x2+y2-2x-2y-23=0，直线l与圆C相交于不同两点M，N．若||，则m的取值范围是（）A. B. C. 5， D.12.函数f（x）=sin（2x+θ）+cos2x，若f（x）最大值为G（θ），最小值为g（θ），则（）A. ∈，使B. ∈，使C. ∈，使D. ∈，使二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.展开式的常数项是______．14.古代埃及数学中发现有一个独特现象：除用一个单独的符号表示以外，其它分数都要写成若干个单分数和的形式．例如，可以这样理解：假定有两个面包，要平均分给5个人，如果每人，不够，每人，余，再将这分成5份，每人得，这样每人分得+．形如（n=2，3，4，…）的分数的分解：，，，按此规律，=______（n=2，3，4，…）．15.如图所示，平面BCC1B1平面ABC，∠ABC=120°，四边形BCC1B1为正方形，且AB=BC=2，则异面直线BC1与AC所成角的余弦值为______．16.已知抛物线C：y2=x上一点M（1，-1），点A，B是抛物线C上的两动点，且=0，则点M到直线AB的距离的最大值是______．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足（2b-c）cos A=a cos C．（Ⅰ）求角A；（Ⅱ）若a=，△ABC的面积为3，求△ABC的周长．18.如图，在四棱锥P-ABCD中，AB∥CD，AB=1，CD=3，AP=2，DP=2，∠PAD=60°，AB平面PAD，点M在棱PC上．（Ⅰ）求证：平面PAB平面PCD；（Ⅱ）若直线PA∥平面MBD，求此时直线BP与平面MBD所成角的正弦值．19.已知点A，B的坐标分别为（-2，0），（2，0）．三角形ABM的两条边AM，BM所在直线的斜率之积是-．（Ⅰ）求点M的轨迹方程；（Ⅱ）设直线AM方程为x=my-2（m≠0），直线l方程为x=2，直线AM交l于P，点P，Q关于x轴对称，直线MQ与x轴相交于点D．若△APD面积为2，求m 的值．20.春节期间某商店出售某种海鲜礼盒，假设每天该礼盒的需求量在{11，12，…30}范围内等可能取值，该礼盒的进货量也在{11，12，…，30}范围内取值（每天进1次货），商店每销售1盒礼盒可获利50元；若供大于求，剩余的削价处理，每处理1盒礼盒亏损10元；若供不应求，可从其它商店调拨，销售1盒礼盒可获利30元．设该礼盒每天的需求量为x盒，进货量为a盒，商店的日利润为y元，（Ⅰ）求商店的日利润y关于需求量x的函数表达式（Ⅱ）试计算进货量a为多少时，商店日利润的期望值最大？并求出日利润期望值的最大值．21.已知函数f（x）=e x-a（x2+x+1）．（Ⅰ）若x=0是f（x）的极大值点，求a的值；（Ⅱ）若f（x）在（0，+∞）上只有一个零点，求a的取值范围．22.在平面直角坐标系中，直线l的参数方程为（t为参数，0≤α＜π）．以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ2-4=4ρcosθ-2ρsinθ．（Ⅰ）写出曲线C的直角坐标方程；（Ⅱ）若直线l与曲线C交于A，B两点，且AB的长度为2，求直线l的普通方程．23.已知f（x）=|x+1|+|2x+m|．（Ⅰ）当m=-3时，求不等式f（x）≤6的解集；（Ⅱ）设关于x的不等式f（x）≤|2x-4|的解集为M，且，，求实数m的取值范围．答案和解析1.【答案】C【解析】解：由A中的不等式变形得：2x＞1=20，得到x＞0，∴A=（0，+∞），∵全集U=R，∴∁U A=（-∞，0]，∵B=[-1，5]，∴（∁U A）∩B=[-1，0]．故选：C．求出A中不等式的解集确定出A，根据全集U=R求出A的补集，找出A补集与B的交集即可．此题考查了交、并、补集的混合运算，熟练掌握各自的定义是解本题的关键．2.【答案】D【解析】解：iz=1+2i，∴-i•iz=-i（1+2i），z=-i+2则z的共轭复数=2+i的虚部为1．故选：D．利用复数的运算法则、共轭复数的定义、虚部的定义即可得出．本题考查了复数的运算法则、共轭复数的定义、虚部的定义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．3.【答案】C【解析】解：因为全称命题的否定是特称命题，所以命题“对任意的x∈R，x3-x2+1≤0”的否定是：存在x0∈R，-+1＞0．故选：C．利用全称命题的否定是特称命题写出结果判断即可．本题考查命题的否定，全称命题和特称命题，属基本知识的考查．4.【答案】B【解析】解：S n为等差数列{a n}的前n项和，且4+a5=a6+a4，∴4+a5=2a5，解得a5=4，∴S9=（a1+a9）=9a5=36．故选：B．推导出4+a5=2a5，从而a5=4，再由S9=（a1+a9），能求出结果．本题考查等差数列的前9项和的求法，考查等差数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．5.【答案】A【解析】解：设m⊂α，且m∥l，由lβ，则mβ，由面面垂直的判定定理可得：αβ，即选项A正确，故选：A．由线线、线面平行及面面垂直的判定定理可得：设m⊂α，且m∥l，由lβ，则mβ，则αβ，得解．本题考查了线线平行及面面垂直的判定定理，属中档题．6.【答案】D【解析】解：变量ξ-N（1，σ2），则对称轴为X=μ=1，∵ξ在（0，2）内取值的概率为0.8，∴ξ在（1，2）内取值的概率为．故选：D．由已知结合正态分布曲线的对称性得答案．本题考查正态分布的对称性，是基础的计算题．7.【答案】A【解析】解：一个正三棱柱的三视图如图所示，若该三棱柱的外接球的表面积为124π，4πr2=124π，可得球的半径r为：棱锥的底面三角形的高为：x，可得（）2+22=31，解得x=．故选：A．求出球的半径，然后通过棱柱的高，转化求解棱柱的底面边长即可．本题考查三视图求解几何体的外接球的表面积，判断球的球心的位置是解题的关键．8.【答案】D【解析】解：∵以AB为直径的圆恰好经过双曲线的右焦点F，∴以AB为直径的圆的方程为x2+y2=c2，由对称性知△ABF的面积S=2S△OBF=2×h=ch=4a2，即h=，即B点的纵坐标为y=，则由x2+（）2=c2，得x2=c2-（）2=c2-，B在双曲线上，则-=1，即--=1，即-（1+）=1，即-•=1，即-=1，即-1==，得16a4=（c2-a2）2，即4a2=c2-a2，得5a2=c2，得c=a，则离心率e===，故选：D．根据以AB为直径的圆恰好经过双曲线的右焦点F，得到以AB为直径的圆的方程为x2+y2=c2，根据三角形的面积求出B的坐标，代入双曲线方程进行整理即可．本题主要考查双曲线离心率的计算，根据条件求出B的坐标，代入双曲线方程是解决本题的关键．考查学生的运算能力，运算量较大．9.【答案】C【解析】解：由点P（x，y）的坐标x，y满足作出可行域如图，则=（x+2）2+（y-2）2-8的几何意义为A（-2，2）到直线3x+4y-12=0的距离的平方再减8由d==，可得（x-2）2+（y-2）2-8最小值为：．故选：C．由约束条件作出可行域，再由的几何意义，即A（-2，2）到直线3x+4y-12=0的距离的平方求得答案．本题考查简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，考查数学转化思想方法，是中档题．10.【答案】A【解析】解：根据题意，f（x）=（sinθ）x，θ∈（0，），则0＜sinθ＜1，则函数f（x）=（sinθ）x为减函数，又由log2=log4=log167，log43=log169，则有log165＜log2＜log43，则c＞a＞b，故选：A．根据题意，分析可得f（x）=（sinθ）x为减函数，由对数的运算性质分析可得log165＜log2＜log43，结合函数的单调性分析可得答案．本题考查函数单调性的判断以及应用，涉及指数函数的性质，注意分析函数f （x）=（sinθ）x，的单调性，属于基础题．11.【答案】B【解析】解：取MN的中点P，则2|（+）|=2×|2|=4||，∴||≤4||⇒||2≤16||2⇒4|PN|2≤16||2⇒25-||2≤4||2，∴5≤||2＜25，∴5≤（）2＜25，解得2≤m-3．故选：B．取MN的中点P后，将不等式化为5≤||2＜25，然后用点到直线的距离公式求出||代入不等式解得．本题考查了直线与圆的位置关系，属中档题．12.【答案】D【解析】解：f（x）=sin（2x+θ）+cos2x=cosθ•sin2x+（sin）•cos2x=sin（2x+φ）+，所以G（θ）=，g（θ）=-，①对于选项A，G（θ0）+g（θ0）=-=1，显然不满足题意，即A错误，②对于选项B，G（θ0）-g（θ0）=+-=2∈[1，3]，显然不满足题意，即B错误，③对于选项C，G（θ0）•g（θ0）=（）•（-）=1+sinθ∈[0，2]，显然不满足题意，即C错误，④对于选项D，||=||∈[2，+∞），即θ0∈R，使=π，故D正确，故选：D．由三角函数的辅助角公式得：f（x）=sin（2x+θ）+cos2x=cosθ•sin2x+（sin）•cos2x=sin（2x+φ）+，所以G（θ）=，g（θ）=-，由方程有解问题，分别求四个选项的值域判断即可得解．本题考查了三角函数的辅助角公式及方程有解问题，属难度较大的题型13.【答案】-8【解析】解：=（x2-2）•（-+-+-1）的展开式的常数项为-10+2=-8，故答案为：8．把按照二项式定理展开，可得展开式的常数项．本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于基础题．14.【答案】+【解析】解：由==+，==+==+，故=+，故答案为：+由前面有限项规律可归纳推理出：=+，即可求出本题考查了归纳推理能力及分式的运算，属简单题．15.【答案】【解析】解：平面BCC1B1平面ABC，∠ABC=120°，四边形BCC1B1为正方形，且AB=BC=2，以B为原点，BC为x轴，在平面ABC内过B作BC的垂线为y轴，以BB1为z轴，建立空间直角坐标系，则B（0，0，0），C1（0，2，2），A（-1，，0），C（2，0，0），=（0，2，2），=（3，-，0），设异面直线BC1与AC所成角为θ，则cosθ===．∴异面直线BC1与AC所成角的余弦值为．故答案为：．以B为原点，BC为x轴，在平面ABC内过B作BC的垂线为y轴，以BB1为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线BC1与AC所成角的余弦值．本题考查异面直线所成角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．16.【答案】【解析】解：设直线AB的方程为设A（y12，y1），B（y22，y2），设直线方程为x=my+n，将直线方程代入抛物线方程，消x得y2-my-n=0，由△＞0，得m2+4n＞0，y1+y2=m，y1•y2=-n，∵M （1，-1），∴•=（y 12-1）（y22-1）+（y1+1）（y2+1）=0，∴（y1+1）（y2+1）[（y1-1）（y2-1）+1]=0，∴（y1+1）（y2+1）=0或（y1-1）（y2-1）+1=0，∴y1y2+y1+y2+1=0或y1y2-y1-y2+2=0∴m-n+1=0或m+n=2，∵△＞0恒成立，∴n=-m+2，∴直线AB的方程为x-2=m（y-1），∴直线AB过定点C（2，1），当MC垂直于直线AB时，点M到直线AB距离取得最大值，且为=．故答案为：设直线AB的方程与抛物线方程联立，利用•=0，结合韦达定理，即可证明直线AB过定点，并可求出定点的坐标，再由当MC垂直于直线AB时，点M到直线AB距离取得最大值，求出即可本题主要考查直线与抛物线的综合问题．解决的巧妙之处在于直线方程的设法．当直线的斜率不确定存在时，为避免讨论，常设直线方程为x=my+n的形式，同时考查点到直线的距离的最值的求法，属于中档题．17.【答案】解：（Ⅰ）在三角形ABC中，∵（2b-c）cos A=a cos C，∴由正弦定理得：（2sin B-sin C）cos A=sin A cos C，∴可得：2sin B cos A=sin C cos A+sin A cos C=sin（A+C）=sin B，∵sin B≠0，∴解得：cos A=．∵A∈（0，π）．∴可得：A=．（Ⅱ）∵A=，a=，∴由余弦定理：a2=b2+c2-2bc cos A，可得：13=b2+c2-bc=（b+c）2-3bc，又∵△ABC的面积为3=bc sin A=bc，解得：bc=12，∴13=（b+c）2-36，解得：b+c=7，∴△ABC的周长a+b+c=7+．【解析】（Ⅰ）（2b-c）cosA=acosC，由正弦定理得：（2sinB-sinC）cosA=sinAcosC，再利用和差公式、三角形内角和定理、诱导公式可得cosA，结合范围A∈（0，π）．解得A．（Ⅱ）利用余弦定理，三角形的面积公式可求b+c的值，即可计算得解三角形的周长．本题主要考查了正弦定理，余弦定理，三角函数恒等变换的应用，考查了转化思想，考查了计算能力，属于基础题．18.【答案】证明：（Ⅰ）∵AB平面PAD，∴AB DP，∵DP=2，AP=2，∠PAD=60°，由，可得sin，∴∠PDA=30°，∴∠APD=90°，∴DP AP，∵AB∩AP=A，∴DP平面PAB，∵DP⊂平面PCD，∴平面PAB平面PCD．解：（Ⅱ）以A为原点，在平面APD中过A作AD的垂线为x轴，AD为y轴，AB为z 轴，建立空间直角坐标系，则A（0，0，0），C（0，4，3），D（0，4，0），P（2，1，0），B（0，0，1），连结AC，与BD交于点N，连结MN，∵PA∥平面MBD，MN为平面PAC与平面MBD的交线，∴PA∥MN，∴，在四边形ABCD中，∵AB∥CD，∴△ABN∽△CDN，∴=3，，PM=，∴M（，，），=（2，1，-1），=（0，4，-1），=（，，-），设平面MBD的法向量=（x，y，z），则，取y=1，得=（-，1，4），设直线BP与平面MBD所成角为θ，则sinθ===．∴直线BP与平面MBD所成角的正弦值为．【解析】（Ⅰ）推导出AB DP，DP AP，从而DP平面PAB，由此能证明平面PAB平面PCD．（Ⅱ）以A为原点，在平面APD中过A作AD的垂线为x轴，AD为y轴，AB 为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出直线BP与平面MBD所成角的正弦值．本题考查面面垂直的证明，考查线面角的正弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系，考查运算求解能力，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题．19.【答案】解：（Ⅰ）设M（x，y），点A，B的坐标分别为（-2，0），（2，0）．由题意得：k AM•k BM=•=-（x≠±2），化简，得点M的轨迹的方程为+=1，（x≠±2）．（Ⅱ）直线AM的方程为x=my-2，（m≠0），直线直线l方程为x=2，联立可得点P（2，），∴Q（2，-），由消x可得（3m2+4）y2-12my=0，解得y=0或y=，由题设可得点M（，），可得直线MQ的方程为（+）（x-2）-（-2）（y+）=0，令y=0，可得x=，故D（，0），∴|AD|=2+=，∴△APD 面积S = ××==2 ，解得m =．【解析】（Ⅰ）设M （x ，y ），由题意得k AM •k BM =•=-（x≠±2），由此能求出点M 的轨迹的方程．（Ⅱ）先求出点Q 的坐标，再求出点M 的坐标，求出直线MQ 的方程，即可求出点D 的坐标，可得|AD|，即可表示出面积，再根据△APD 面积为2，即可求出m 的值本题考查点的轨迹方程的求法，考查直线方程、椭圆、三角形的面积公式等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想，是中档题． 20.【答案】解：（Ⅰ）当日需求量x ≥a 时，利润为y =50a +（x -a ）×30=30x +20a ；当需求量x ＜a 时，利润y =50×x -（a -x ）×10=60x -10a ． 所以利润y 与日需求量x 的函数关系式为：y = ∈ ∈，（Ⅱ）因为需求量x ～φ（x ）=，，其它，所以期望利润为E （y ）=ydx = [（60x -10a ）dx +（30x +20a ）dx ]=[（30x 2-10ax ）|+（15x 2+20ax ）|）=- a 2+ a +， 其对称轴为a ==23，故当a =24时，商店日利润的期望值最大，其最大值为913.5元【解析】（Ⅰ）根据题意分段求解得出当11≤x ＜a 时，y 利润，当a≤x≤30时，y 利润， （Ⅱ）期望利润是根据概率论中的期望求出，根据需求量的概率密度即可求出，即可得到期望利润为E （y ）=ydx ，整理化简，结合二次函数的性质即可求出．本题考查了函数在实际生活中的应用，数学期望在实际生活中的应用，考查了分析问题，解决问题的能力，属于中档题21.【答案】解：（Ⅰ）f’（x）=e X-a（2x+1）．因为x=0是f（x）的极大值点，所以f’（0）=1-a=0，解得a=1．当a=1时，f’（x）=e X-（2x+1），f“（x）=e x-2．令f’’（x）=0，解得x=ln2．当x=（-∞，ln2）时，f“（x）＜0，f’（x）在（-∞，ln2）上单调递减，又f'（0）=0，所以当x=（-∞，0）时，f'（x）＞f'（0）=0，当x=（0，ln2）时，f'（x）＜f'（0）=0，故x=0是f（x）的极大值点．（Ⅱ）令，f（x）在（0，+∞）上只有一个零点当且仅当g（x）在（0，+∞）上只有一个零点.，当x∈（0，1）时，g’（x）＜0，g（x）单调递减；当x=（1，+∞）时，g’（x）＞0，g（x）单调递增，所以g（x）的最小值为．（1）当g（x）的最小值为g（1）=0，即时，g（x）在（0，+∞）上只有一个零点，即f（x）在（0，+∞）上只有一个零点．（2）当g（x）的最小值g（1）＜0，即＞时．取x=n（n∈N，n＞18a＞1），＞＞＞＞．①若g（0）=1-a＞0，即a＜1时，g（x）在（0，1）和（1，n）上各有一个零点，即f（x）在（0，+∞）上有2个零点，不符合题意；②当g（0）=1-a≤0即a≥1时，g（x）只有在（1，+∞）上有一个零点，即f（x）在（0，+∞）上只有一个零点．综上得，当∈，时，f（x）在（0，+∞）上只有一个零点．【解析】（Ⅰ）首先求得导函数，然后由f’（0）=0求得实数a的值，最后验证所得的结果符合题意即可；（Ⅱ）令，原问题等价于g（x）在（0，+∞）上只有一个零点，据此分类讨论确定a的取值范围即可．本题主要考查导函数研究函数的极值，导函数研究函数的零点，分类讨论的数学思想等知识，属于中等题．22.【答案】解：（Ⅰ）曲线C的极坐标方程为ρ2-4=4ρcosθ-2ρsinθ．转换为直角坐标方程为：（x-2）2+（y+1）2=9．（Ⅱ）把直线l的参数方程为（t为参数，0≤α＜π）．代入（x-2）2+（y+1）2=9，得到：t2-4t cosα+2t sinα-4=0，（t1和t2为A、B对应的参数）故：t1+t2=4cosα-2sinα，t1•t2=-4，所以：|AB|=|t1-t2|==2，解得：3cos2α=4sinαcosα，所以：或，故直线的方程为：x=0或y=x．【解析】（Ⅰ）直接利用转换关系，把参数方程直角坐标方程和极坐标方程之间进行转换．（Ⅱ）利用直线和曲线的位置关系，利用一元二次方程根和系数关系的应用求出三角函数的关系式，进一步求出直线的方程．本题考查的知识要点：参数方程直角坐标方程和极坐标方程之间的转换，一元二次方程根和系数关系的应用，三角函数关系式的恒等变变换，直线方程的求法及应用，主要考查学生的运算能力和转化能力．属于基础题型．23.【答案】解：（Ⅰ）当m=-3时，f（x）=|x+1|+|2x-3|，原不等式等价于|x+1|+|2x-3|≤6，故或＜＜或，解得：-≤x≤-1或-1＜x＜或≤x≤，综上，原不等式的解集是{x|-≤x≤}；（2）由题意知f（x）≤|2x-4|在[-1，]上恒成立，故x+1+|2x+m|≤4-2x，即|2x+m|≤3-3x想[-1，]上恒成立，故3x-3≤2x+m≤3-3x，则x-3≤m≤3-5x在[-1，]上恒成立，由于-4≤x-3≤-，≤3-5x≤8，故-≤m≤，即m的范围是[-，]．【解析】（Ⅰ）代入m的值，通过讨论x的范围，求出不等式的解集即可；（Ⅱ）问题转化为x-3≤m≤3-5x在[-1，]上恒成立，结合x的范围，求出m的范围即可．本题考查了解绝对值不等式问题，考查分类讨论思想以及转化思想，是一道综合题．。

2019年高考数学模拟试题（理科）注意事项：1. 本试卷分第I 卷（选择题）和第□卷（非选择题）两部分。

答卷前，考生务必将自 己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2. 回答第I 卷时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

写在本试卷上无效。

3•回答第□卷时，将答案写在答题卡上。

写在本试卷上无效。

4•考试结束后，将本试卷和答题卡一并收回。

每小题 5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的uur umr•选择题：本大题共 12个小题, 1•已知集合A {x2x 3 0},B {2,3,4}，则（C R A ）A. {2,3} B . {2,3,4}C {2}D.2 .已知 i 是虚数单位,A.B . ,10C.丄10D.3 •执行如图所示的程序框图, 若输入的点为P （1,1）,则输出的n 值为A. 3B . 4C. 5D.4 •如图，ABCD 是边长为8的正方形，若DE且F为BC的中点，贝U EA EFA. 10B . 12 C. 16D. 20x y 25 .若实数x, y 满足 y x 1,则z 2x 8y 的最大值是y 0A. 4B . 8 C. 16 D. 326. 一个棱锥的三视图如右图，则该棱锥的表面积为上的数字之和大于 5的概率是 11 3 4 A .B.- C .-D .1051058 .设S n 是数列｛ a n ｝的前n 项和， 且a 11 , a n 1S n S n 1，则 a 5 =人1 B .1 1 1 A .C.-D.30302029•函数f x In x 的大致图像为10.底面为矩形的四棱锥 P ABCD 的体积为8,若PA 平面ABCD ,且PA 3，则四棱锥P ABCD 的外接球体积最小值是A . 16 5 8.2 B. 32 5 32 C. 16 2 32 D . 16.516.27. 5张卡片上分别写有 0，1，2，3，4，若从这 5张卡片中随机取出张，则取出的2张卡片 33A. 25 B • 125 C . I?5 D . 256 611.已知抛物线y22px p 0 ,过焦点且倾斜角为30°的直线交抛物线于A,B两点，以AB为直径的圆与抛物线的准线相切，切点的纵坐标是3,则抛物线的准线方程为A. x 1B• x C . x D.x ^32312.已知函数f(x)x2 ln x ( x),函数g(x)1x —，直线y t分别与两函数交于22A, B两点，则AB的最小值为A. 1B. 1C.3D.222二•填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13. 设样本数据为，X2，…，X20!8的方差是5,若y 3X i 1( i 1.2.....2018 )，则％H，…,y2018的方差是 _________14. 已知函数f(x) sin x J3cos x ( 0)，若3，则方程f(x) 1在(0,)的实数根个数是______15. 我国的《洛书》中记载着世界上最古老的一个幻方：将1, 2, ... , 9填入3 3的方格内，使三行、三列、两对角线的三个数之和都等于15 (如图).一般地，将连续的正整数1, 2, 3, …，n2填入n n的方格内，使得每行、每列、每条对角线上的数的和相等，这个正方形就叫做n阶幻方.记n阶幻方的一条对角线上数的和为N n(女口：在3阶幻方中,N3 15)，则N5= _______16. 已知ABC中，内角A B, C所对的边分别为a , b , c,且c 1 , C n.3若si nC sin (A B) sin2B，贝y ABC 的面积为______________三、解答题：本大题共6小题，其中17-21小题为必考题，每小题12分，第22—23题为选考题，考生根据要求做答，每题10分.17. (本小题满分12分)设数列｛a n｝是公差为d的等差数列.(I )推导数列｛a n｝的通项公式；(n)设d 0,证明数列｛a n 1｝不是等比数列.18. (本小题满分12分)某中学为了解全校学生的上网情况，在全校随机抽取了40名学生(其中男、女生各占一半)进行问卷调查，并进行了统计，按男、女分为两组，再将每组学生的月上网次数分为5组：[0, 5) , [5 , 10) , [10, 15) , [15 , 20) , [20, 25]，得到如图所示的频率分布直方图.(I)写出女生组频率分布直方图中a的值；(n )在抽取的40名学生中从月上网次数不少于20的学生中随机抽取2人，并用X表示随机抽取的2人中男生的人数，求X的分布列和数学期望.19. (本小题满分12分)在直三棱柱ABC A1B1C1中，AB AC AA 2 , BA CA。

2019年山东省高考数学试卷（理科）（全国新课标Ⅰ）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1. 已知集合M ={x |-4＜x ＜2}，N ={x |x 2-x -6＜0}，则M ∩N =（ ）A. {x|−4<x <3}B. {x|−4<x <−2}C. {x|−2<x <2}D. {x|2<x <3}2. 设复数z 满足|z －i |＝1，z 在复平面内对应的点为（x ，y ），则( )A. (x +1)2+y 2=1B. (x −1)2+y 2=1C. x 2+(y −1)2=1D. x 2+(y +1)2=1 3. 已知a =log 20.2，b =20.2，c =0.20.3，则（ ）A. a <b <cB. a <c <bC. c <a <bD. b <c <a4. 古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是√5−12（√5−12≈0.618，称为黄金分割比例)，著名的“断臂维纳斯”便是如此．此外，最美人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比也是√5−12．若某人满足上述两个黄金分割比例，且腿长为105cm ，头顶至脖子下端的长度为26 cm ，则其身高可能是A. 165 cmB. 175 cmC. 185 cmD. 190 cm5. 函数f （x ）=sinx+xcosx+x 2在[-π，π]的图象大致为（ ）A.B.C.D.6. 我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化．每一“重卦”由从下到上排列的6个爻组成，爻分为阳爻“”和阴爻“”，如图就是一重卦．在所有重卦中随机取一重卦，则该重卦恰有3个阳爻的概率是（ ）A. 516 B. 1132 C. 2132 D. 1116 7. 已知非零向量a ⃗ ，b ⃗ 满足|a ⃗ |=2|b ⃗ |，且（a ⃗ -b ⃗ ）⊥b ⃗ ，则a ⃗ 与b ⃗ 的夹角为（ ）A. π6B. π3C. 2π3D. 5π68. 如图是求12+12+12的程序框图，图中空白框中应填入（）A. A =12+A B. A =2+1A C. A =11+2A D. A =1+12A9. 记S n 为等差数列{a n }的前n 项和．已知S 4＝0，a 5＝5，则（ ） A. a n =2n −5 B. a n =3n −10 C. S n =2n 2−8nD. S n =12n 2−2n10. 已知椭圆C 的焦点为F 1(−1,0),F 2(1,0)，过F 2的直线与C 交于A ，B 两点.若|AF 2|=2|F 2B|，|AB|=|BF 1|，则C 的方程为（）A.x 22+y 2=1B.x 23+y 22=1 C.x 24+y 23=1 D.x 25+y 24=111. 关于函数f （x ）＝sin|x |＋|sin x |，有下述四个结论：①f （x ）是偶函数②f （x ）在区间（π2，π）上单调递增③f （x ）在[－π，π]上有4个零点④f （x ）的最大值是2 其中所有正确结论的编号是A. ①②④B. ②④C. ①④D. ①③12. 已知三棱锥P －ABC 的四个顶点在球O 的球面上，PA ＝PB ＝PC ，△ABC 是边长为2的正三角形，E ，F 分别是PA ，AB 的中点，∠CEF ＝90°，则球O 的体积为（） A. 8√6π B. 4√6π C. 2√6π D. √6π 二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 曲线y ＝3（x 2＋x ）e x 在点（0，0）处的切线方程为________．14. 记S n 为等比数列{a n }的前n 项和，若a 1=13，a 42=a 6，则S 5＝________．15. 甲、乙两队进行篮球决赛，采取七场四胜制（当一队赢得四场胜利时，该队获胜，决赛结束）．根据前期比赛成绩，甲队的主客场安排依次为“主主客客主客主”．设甲队主场取胜的概率为0.6，客场取胜的概率为0.5，且各场比赛结果相互独立，则甲队以4：1获胜的概率是______．16. 已知双曲线C ：x 2a 2-y 2b 2=1（a ＞0，b ＞0）的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 1的直线与C 的两条渐近线分别交于A ，B 两点．若F 1A ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，F 1B ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ •F 2B ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0，则C 的离心率为______．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17. △ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．设（sin B -sin C ）2=sin 2A -sin B sin C ．（1）求A ；（2）若√2a +b =2c ，求sin C ．18. 如图，直四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1的底面是菱形，AA 1＝4，AB ＝2，∠BAD ＝60°，E ，M ，N 分别是BC ，BB 1，A 1D 的中点．（1）证明：MN ∥平面C 1DE ； （2）求二面角A －MA 1－N 的正弦值．19. 已知抛物线C ：y 2=3x 的焦点为F ，斜率为32的直线l 与C 的交点为A ，B ，与x 轴的交点为P ．（1）若|AF |+|BF |=4，求l 的方程；（2）若AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =3PB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，求|AB |．20. 已知函数f （x ）=sin x -ln （1+x ），f ′（x ）为f （x ）的导数．证明：（1）f ′（x ）在区间（-1，π2）存在唯一极大值点； （2）f （x ）有且仅有2个零点．21. 为治疗某种疾病，研制了甲、乙两种新药，希望知道哪种新药更有效，为此进行动物试验．试验方案如下：每一轮选取两只白鼠对药效进行对比试验．对于两只白鼠，随机选一只施以甲药，另一只施以乙药．一轮的治疗结果得出后，再安排下一轮试验．当其中一种药治愈的白鼠比另一种药治愈的白鼠多4只时，就停止试验，并认为治愈只数多的药更有效．为了方便描述问题，约定：对于每轮试验，若施以甲药的白鼠治愈且施以乙药的白鼠未治愈则甲药得1分，乙药得-1分；若施以乙药的白鼠治愈且施以甲药的白鼠未治愈则乙药得1分，甲药得-1分；若都治愈或都未治愈则两种药均得0分．甲、乙两种药的治愈率分别记为α和β，一轮试验中甲药的得分记为X ． （1）求X 的分布列；（2）若甲药、乙药在试验开始时都赋予4分，p i （i =0，1，…，8）表示“甲药的累计得分为i 时，最终认为甲药比乙药更有效”的概率，则p 0=0，p 8=1，p i =ap i -1+bp i +cp i +1（i =1，2，…，7），其中a =P （X =-1），b =P （X =0），c =P （X =1）．假设α=0.5，β=0.8．（i ）证明：{p i +1-p i }（i =0，1，2，…，7）为等比数列； （ii ）求p 4，并根据p 4的值解释这种试验方案的合理性．22. 在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为{x =1−t 21+t 2，y =4t1+t 2（t 为参数）．以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为2ρcosθ+√3ρsinθ+11=0．（1）求C 和l 的直角坐标方程； （2）求C 上的点到l 距离的最小值．23.已知a，b，c为正数，且满足abc=1．证明：（1）1a +1b+1c≤a2+b2+c2；（2）（a+b）3+（b+c）3+（c+a）3≥24．答案和解析1.【答案】C【解析】解：∵M={x|-4＜x＜2}，N={x|x2-x-6＜0}={x|-2＜x＜3}，∴M∩N={x|-2＜x＜2}．故选：C．利用一元二次不等式的解法和交集的运算即可得出．本题考查了一元二次不等式的解法和交集的运算，属基础题．2.【答案】C【解析】【分析】本题考查复数的模、复数的几何意义，正确理解复数的几何意义是解题关键，属基础题．由z在复平面内对应的点为（x，y），可得z=x+yi，然后根据|z-i|=1即可得解．【解答】解：∵z在复平面内对应的点为（x，y），∴z=x+yi，∴z-i=x+（y-1）i，∴|z-i|=，∴x2+（y-1）2=1，故选：C．3.【答案】B【解析】解：a=log20.2＜log21=0，b=20.2＞20=1，∵0＜0.20.3＜0.20=1，∴c=0.20.3∈（0，1），∴a＜c＜b，故选：B．由指数函数和对数函数的单调性易得log20.2＜0，20.2＞1，0＜0.20.3＜1，从而得出a，b，c的大小关系．本题考查了指数函数和对数函数的单调性，增函数和减函数的定义，属基础题．4.【答案】B【解析】解：头顶至脖子下端的长度为26cm，说明头顶到咽喉的长度小于26cm，由头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比是≈0.618，可得咽喉至肚脐的长度小于≈42cm，由头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是，可得肚脐至足底的长度小于=110，即有该人的身高小于110+68=178cm，又肚脐至足底的长度大于105cm，可得头顶至肚脐的长度大于105×0.618≈65cm，即该人的身高大于65+105=170cm，故选：B．充分运用黄金分割比例，结合图形，计算可估计身高．本题考查简单的推理和估算，考查运算能力和推理能力，属于中档题．5.【答案】D【解析】解：∵f（x）=，x∈[-π，π]，∴f（-x）==-=-f（x），∴f（x）为[-π，π]上的奇函数，因此排除A；又f （）=，因此排除B，C；故选：D．由f（x）的解析式知f（x）为奇函数可排除A，然后计算f（π），判断正负即可排除B，C．本题考查了函数的图象与性质，解题关键是奇偶性和特殊值，属基础题．6.【答案】A【解析】解：在所有重卦中随机取一重卦，基本事件总数n=26=64，该重卦恰有3个阳爻包含的基本个数m==20，则该重卦恰有3个阳爻的概率p===．故选：A．基本事件总数n=26=64，该重卦恰有3个阳爻包含的基本个数m==20，由此能求出该重卦恰有3个阳爻的概率．本题考查概率的求法，考查古典概型、排列组合等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．7.【答案】B【解析】解：∵（-）⊥，∴=，∴==，∵，∴．故选：B．由（-）⊥，可得，进一步得到，然后求出夹角即可．本题考查了平面向量的数量积和向量的夹角，属基础题．8.【答案】A【解析】解：模拟程序的运行，可得：A=，k=1；满足条件k≤2，执行循环体，A=，k=2；满足条件k≤2，执行循环体，A=，k=3；此时，不满足条件k≤2，退出循环，输出A的值为，观察A的取值规律可知图中空白框中应填入A=．故选：A．模拟程序的运行，由题意，依次写出每次得到的A的值，观察规律即可得解．本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题．9.【答案】A【解析】【分析】根据题意，设等差数列{a n}的公差为d，则有，求出首项和公差，然后求出通项公式和前n项和即可．本题考查等差数列的通项公式以及前n项和公式，关键是求出等差数列的公差以及首项，属于基础题．【解答】解：设等差数列{a n}的公差为d，由S4=0，a5=5，得，∴，∴a n=2n-5，，故选：A．10.【答案】B【解析】解：∵|AF2|=2|BF2|，∴|AB|=3|BF2|，又|AB|=|BF1|，∴|BF1|=3|BF2|，又|BF1|+|BF2|=2a，∴|BF2|=，∴|AF2|=a，|BF1|=a，在Rt△AF2O中，cos∠AF2O=，在△BF1F2中，由余弦定理可得cos∠BF2F1=，根据cos∠AF2O+cos∠BF2F1=0，可得+=0，解得a2=3，∴a=．b2=a2-c2=3-1=2．所以椭圆C的方程为：+=1．故选：B．根据椭圆的定义以及余弦定理列方程可解得a=，b=，可得椭圆的方程．本题考查了椭圆的性质，属中档题．11.【答案】C【解析】解：f（-x）=sin|-x|+|sin（-x）|=sin|x|+|sinx|=f（x），则函数f（x）是偶函数，故①正确.当x∈（，π）时，sin|x|=sinx，|sinx|=sinx，则f（x）=sinx+sinx=2sinx为减函数，故②错误.当0≤x≤π时，f（x）=sin|x|+|sinx|=sinx+sinx=2sinx，由f（x）=0得2sinx=0,得x=0或x=π，由f（x）是偶函数，得在[-π，π）上还有一个零点x=-π，即函数f（x）在[-π，π]上有3个零点，故③错误.当sin|x|=1，|sinx|=1时，f（x）取得最大值2，故④正确，故正确的结论是①④，故选C．根据绝对值的应用，结合三角函数的图象和性质分别进行判断即可．本题主要考查与三角函数有关的命题的真假判断，结合绝对值的应用以及利用三角函数的性质是解决本题的关键．12.【答案】D【解析】解：如图，由PA=PB=PC ，ABC是边长为2的正三角形可知，三棱锥P-ABC为正三棱锥，则顶点P在底面的射影O为底面三角形的中心.连接BO并延长，交AC于G，则AC⊥BG，又PO⊥AC，PO∩BG=O，可得AC⊥平面PBG，则PB⊥AC.∵E，F分别是PA，AB的中点，∴EF∥PB.又∠CEF=90°，即EF⊥CE，∴PB⊥CE，得PB⊥平面PAC，∴正三棱锥P-ABC的三条侧棱两两互相垂直.把三棱锥补形为正方体，则正方体外接球即为三棱锥的外接球，其直径为D=,半径为，则球O的体积为．故选D．由题意画出图形，证明三棱锥P-ABC为正三棱锥，且三条侧棱两两互相垂直，再由补形法求外接球球O的体积．本题考查多面体外接球体积的求法，考查空间想象能力与思维能力，考查计算能力，是中档题．13.【答案】y=3x【解析】【分析】本题考查了利用导数研究函数上某点的切线方程，切点处的导数值为斜率是解题关键，属基础题．对y=3（x2+x）e x求导，可将x=0代入导函数，求得斜率，即可得到切线方程．【解答】解：∵y=3（x2+x）e x，∴y'=3e x（x2+3x+1），∴当x=0时，y'=3，∴y=3（x2+x）e x在点（0，0）处的切线斜率k=3，∴切线方程为：y=3x．故答案为：y=3x．14.【答案】1213【解析】【分析】本题主要考查等比数列前n项和的计算，结合条件建立方程组求出q是解决本题的关键．根据等比数列的通项公式，建立方程求出q的值，结合等比数列的前n项和公式进行计算即可．【解答】解：在等比数列中，由a42=a6，得q6a12=q5a1＞0，即q＞0，q=3，则S5==，故答案为：. 15.【答案】0.18【解析】解：甲队的主客场安排依次为“主主客客主客主”．设甲队主场取胜的概率为0.6，客场取胜的概率为0.5，且各场比赛结果相互独立，甲队以4：1获胜包含的情况有：①前5场比赛中，第一场负，另外4场全胜，其概率为：p1=0.4×0.6×0.5×0.5×0.6=0.036，②前5场比赛中，第二场负，另外4场全胜，其概率为：p2=0.6×0.4×0.5×0.5×0.6=0.036，③前5场比赛中，第三场负，另外4场全胜，其概率为：p3=0.6×0.6×0.5×0.5×0.6=0.054，④前5场比赛中，第四场负，另外4场全胜，其概率为：p3=0.6×0.6×0.5×0.5×0.6=0.054，则甲队以4：1获胜的概率为：p=p1+p2+p3+p4=0.036+0.036+0.054+0.054=0.18．故答案为：0.18．甲队以4：1获胜包含的情况有：①前5场比赛中，第一场负，另外4场全胜，②前5场比赛中，第二场负，另外4场全胜，③前5场比赛中，第三场负，另外4场全胜，④前5场比赛中，第四场负，另外4场全胜，由此能求出甲队以4：1获胜的概率．本题考查概率的求法，考查相互独立事件概率乘法公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．16.【答案】2【解析】解：如图，∵=，且•=0，∴OA⊥F1B，则F1B：y=，联立，解得B （，），则，，∴=4c2，整理得：b2=3a2，∴c2-a2=3a2，即4a2=c2，∴，e=．故答案为：2．由题意画出图形，结合已知可得F1B⊥OA，写出F1B的方程，与y=联立求得B点坐标，再由勾股定理求解．本题考查双曲线的简单性质，考查数形结合的解题思想方法，考查计算能力，是中档题．17.【答案】解：（1）∵△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．设（sin B-sin C）2=sin2A-sin B sin C．则sin2B+sin2C-2sin B sin C=sin2A-sin B sin C，∴由正弦定理得：b2+c2-a2=bc，∴cos A =b2+c2−a22bc =bc2bc=12，∵0＜A＜π，∴A=π3．（2）∵√2a+b=2c，A=π3，∴由正弦定理得√2sinA+sinB=2sinC，∴√6 2+sin(2π3−C)=2sinC解得sin（C-π6）=√22，∴C-π6=π4，C=π4+π6，∴sin C=sin（π4+π6）=sinπ4cosπ6+cosπ4sinπ6=√22×√32+√22×12=√6+√24．【解析】（1）由正弦定理得：b2+c2-a2=bc，再由余弦定理能求出A．（2）由已知及正弦定理可得：sin（C-）=，可解得C的值，由两角和的正弦函数公式即可得解．本题考查了正弦定理、余弦定理、三角函数性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．18.【答案】（1）证明：如图，过N作NH⊥AD，则NH∥AA1，且NH=12AA1，又MB∥AA1，MB=12AA1，∴四边形NMBH为平行四边形，则NM∥BH，由NH∥AA1，N为A1D中点，得H为AD中点，而E为BC中点，∴BE∥DH，BE=DH，则四边形BEDH为平行四边形，则BH∥DE，∴NM∥DE，∵NM⊄平面C1DE，DE⊂平面C1DE，∴MN∥平面C1DE；（2）解：以D为坐标原点，以垂直于DC得直线为x轴，以DC所在直线为y轴，以DD1所在直线为z轴建立空间直角坐标系，则N（√32，−12，2），M（√3，1，2），A1（√3，-1，4），NM⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(√32，32，0)，NA1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(√32，−12，2)，设平面A1MN的一个法向量为m⃗⃗⃗ =(x，y，z)，由{m⃗⃗ ⋅NM⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =√32x+32y=0m⃗⃗ ⋅NA1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =√32x−12y+2z=0，取x=√3，得m⃗⃗⃗ =(√3，−1，−1)，又平面MAA1的一个法向量为n⃗=(1，0，0)，∴cos＜m⃗⃗⃗ ，n⃗＞=m⃗⃗⃗ ⋅n⃗⃗|m⃗⃗⃗ |⋅|n⃗⃗ |=√3√5=√155．∴二面角A-MA1-N的正弦值为√105．【解析】本题考查直线与平面平行的判定，考查空间想象能力与思维能力，训练了利用空间向量求解空间角，是中档题．（1）过N作NH⊥AD，证明NM∥BH，再证明BH∥DE，可得NM∥DE，再由线面平行的判定可得MN∥平面C1DE；（2）以D为坐标原点，以垂直于DC得直线为x轴，以DC所在直线为y轴，以DD1所在直线为z轴建立空间直角坐标系，分别求出平面A1MN与平面MAA1的一个法向量，由两法向量所成角的余弦值可得二面角A-MA1-N的正弦值．19.【答案】解：（1）设直线l的方程为y=32（x-t），将其代入抛物线y2=3x得：94x2-（92t+3）x+94t2=0，设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2=92t+394=2t+43，①，x1x2=t2②，由抛物线的定义可得：|AF|+|BF|=x1+x2+p=2t+43+32=4，解得t=712，直线l 的方程为y =32x -78．（2）若AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =3PB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，则y 1=-3y 2，∴32（x 1-t ）=-3×32（x 2-t ），化简得x 1=-3x 2+4t ，③ 由①②③解得t =1，x 1=3，x 2=13， ∴|AB |=√1+94√(3+13)2−4=4√133． 【解析】（1）很具韦达定理以及抛物线的定义可得． （2）若=3，则y 1=-3y 2，⇒x 1=-3x 2+4t ，再结合韦达定理可解得t=1，x 1=3，x 2=，再用弦长公式可得．本题考查了抛物线的性质，属中档题．20.【答案】证明：（1）f （x ）的定义域为（-1，+∞），f ′（x ）=cos x −11+x ，f ″（x ）=-sin x +1(1+x)2，令g （x ）=-sin x +1(1+x)2，则g ′（x ）=-cos x −2(1+x)3＜0在（-1，π2）恒成立， ∴f ″（x ）在（-1，π2）上为减函数，又∵f ″（0）=1，f ″（π2）=-1+1(1+π2)2＜-1+1=0，由零点存在定理可知，函数f ″（x ）在（-1，π2）上存在唯一的零点x 0，结合单调性可得，f ′（x ）在（-1，x 0）上单调递增， 在（x 0，π2）上单调递减，可得f ′（x ）在区间（-1，π2）存在唯一极大值点；（2）由（1）知，当x ∈（-1，0）时，f ′（x ）单调递增，f ′（x ）＜f ′（0）=0，f （x ）单调递减； 当x ∈（0，x 0）时，f ′（x ）单调递增，f ′（x ）＞f ′（0）=0，f （x ）单调递增；由于f ′（x ）在（x 0，π2）上单调递减，且f ′（x 0）＞0，f ′（π2）=−11+π2＜0，由零点存在定理可知，函数f ′（x ）在（x 0，π2）上存在唯一零点x 1，结合单调性可知， 当x ∈（x 0，x 1）时，f ′（x ）单调递减，f ′（x ）＞f ′（x 1）=0，f （x ）单调递增； 当x ∈（x 1，π2）时，f ′（x ）单调递减，f ′（x ）＜f ′（x 1）=0，f （x ）单调递减． 当x ∈（π2，π）时，cos x ＜0，-11+x ＜0，于是f ′（x ）=cos x -11+x ＜0，f （x ）单调递减， 其中f （π2）=1-ln （1+π2）＞1-ln （1+3.22）=1-ln2.6＞1-ln e =0， f （π）=-ln （1+π）＜-ln3＜0． 于是可得下表：x （-1，0） 0 （0，x 1） x 1（x 1，π2） π2 （π2，π） π f ′（x ） - 0 + 0---- f （x ）减函数0 增函数大于0 减函数大于0 减函数小于0结合单调性可知，函数f （x ）在（-1，π2]上有且只有一个零点0， 由函数零点存在性定理可知，f （x ）在（π2，π）上有且只有一个零点x 2，当x ∈[π，+∞）时，f （x ）=sin x -ln （1+x ）＜1-ln （1+π）＜1-ln3＜0，因此函数f （x ）在[π，+∞）上无零点． 综上，f （x ）有且仅有2个零点． 【解析】（1）f （x ）的定义域为（-1，+∞），求出原函数的导函数，进一步求导，得到f″（x ）在（-1，）上为减函数，结合f″（0）=1，f″（）=-1+＜-1+1=0，由零点存在定理可知，函数f″（x ）在（-1，）上存在唯一得零点x 0，结合单调性可得，f′（x ）在（-1，x 0）上单调递增，在（x 0，）上单调递减，可得f′（x ）在区间（-1，）存在唯一极大值点；（2）由（1）知，当x ∈（-1，0）时，f′（x ）＜0，f （x ）单调递减；当x ∈（0，x 0）时，f′（x ）＞0，f （x ）单调递增；由于f′（x ）在（x 0，）上单调递减，且f′（x 0）＞0，f′（）＜0，可得函数f′（x ）在（x 0，）上存在唯一零点x 1，结合单调性可知，当x ∈（x 0，x 1）时，f （x ）单调递增；当x ∈（）时，f （x ）单调递减．当x ∈（，π）时，f （x ）单调递减，再由f （）＞0，f （π）＜0．然后列x ，f′（x ）与f （x ）的变化情况表得答案．本题考查利用导数求函数的极值，考查函数零点的判定，考查数学转化思想方法，考查函数与方程思想，考查逻辑思维能力与推理运算能力，难度较大． 21.【答案】（1）解：X 的所有可能取值为-1，0，1．P （X =-1）=（1-α）β，P （X =0）=αβ+（1-α）（1-β），P （X =1）=α（1-β）， X -11P （1-α）β αβ+（1-α）（1-β） α（1-β）（）（）证明：∵，， ∴由（1）得，a =0.4，b =0.5，c =0.1．因此p i =0.4p i -1+0.5p i +0.1p i +1（i =1，2，…，7），故0.1（p i +1-p i ）=0.4（p i -p i -1），即（p i +1-p i ）=4（p i -p i -1），又∵p 1-p 0=p 1≠0，∴{p i +1-p i }（i =0，1，2，…，7）为公比为4，首项为p 1的等比数列； （ii ）解：由（i ）可得，p 8=（p 8-p 7）+（p 7-p 6）+…+（p 1-p 0）+p 0=p 1(1−48)1−4=48−13P 1，∵p 8=1，∴p 1=348−1，∴P 4=（p 4-p 3）+（p 3-p 2）+（p 2-p 1）+（p 1-p 0）+p 0=44−13p 1=1257．P 4表示最终认为甲药更有效的概率．由计算结果可以看出，在甲药治愈率为0.5，乙药治愈率为0.8时，认为甲药更有效的概率为P 4=1257≈0.0039，此时得出错误结论的概率非常小，说明这种试验方案合理． 【解析】（1）由题意可得X 的所有可能取值为-1，0，1，再由相互独立试验的概率求P （X=-1），P （X=0），P （X=1）的值，则X 的分布列可求；（2）（i ）由α=0.5，β=0.8结合（1）求得a ，b ，c 的值，代入p i =ap i-1+bp i +cp i+1，得到（p i+1-p i ）=4（p i -p i-1），由p 1-p 0=p 1≠0，可得{p i+1-p i }（i=0，1，2，…，7）为公比为4，首项为p 1的等比数列； （ii ）由（i ）可得，p 8=（p 8-p 7）+（p 7-p 6）+…+（p 1-p 0）+p 0，利用等比数列的前n 项和与p 8=1，得p 1=，进一步求得p 4=．P 4表示最终认为甲药更有效的概率，结合α=0.5，β=0.8，可得在甲药治愈率为0.5，乙药治愈率为0.8时，认为甲药更有效的概率为，此时得出错误结论的概率非常小，说明这种试验方案合理．本题是函数与数列的综合题，主要考查数列和函数的应用，考查离散型随机变量的分布列，根据条件推出数列的递推关系是解决本题的关键．综合性较强，有一定的难度． 22.【答案】解：（1）由{x =1−t 21+t 2，y =4t 1+t 2（t 为参数），得{x =1−t 21+t 2y 2=2t1+t 2， 两式平方相加，得x 2+y 24=1（x ≠-1），∴C 的直角坐标方程为x 2+y 24=1（x ≠-1），由2ρcosθ+√3ρsinθ+11=0，得2x +√3y +11=0． 即直线l 的直角坐标方程为得2x +√3y +11=0；（2）设与直线2x +√3y +11=0平行的直线方程为2x +√3y +m =0， 联立{2x +√3y +m =04x 2+y 2−4=0，得16x 2+4mx +m 2-12=0． 由△=16m 2-64（m 2-12）=0，得m =±4． ∴当m =4时，直线2x +√3y +4=0与曲线C 的切点到直线2x +√3y +11=0的距离最小，为|11−4|√22+3=√7． 【解析】（1）把曲线C 的参数方程变形，平方相加可得普通方程，把x=ρcosθ，y=ρsinθ代入2ρcosθ+ρsinθ+11=0，可得直线l 的直角坐标方程； （2）写出与直线l 平行的直线方程为，与曲线C 联立，化为关于x 的一元二次方程，利用判别式大于0求得m ，转化为两平行线间的距离求C 上的点到l 距离的最小值． 本题考查间单曲线的极坐标方程，考查参数方程化普通方程，考查直线与椭圆位置关系的应用，训练了两平行线间的距离公式的应用，是中档题．23.【答案】证明：（1）分析法：已知a ，b ，c 为正数，且满足abc =1．要证（1）1a +1b +1c ≤a 2+b 2+c 2；因为abc =1． 就要证：abc a +abc b+abc c≤a 2+b 2+c 2；即证：bc +ac +ab ≤a 2+b 2+c 2； 即：2bc +2ac +2ab ≤2a 2+2b 2+2c 2； 2a 2+2b 2+2c 2-2bc -2ac -2ab ≥0（a -b ）2+（a -c ）2+（b -c ）2≥0； ∵a ，b ，c 为正数，且满足abc =1．∴（a -b ）2≥0；（a -c ）2≥0；（b -c ）2≥0恒成立；当且仅当：a =b =c =1时取等号． 即（a -b ）2+（a -c ）2+（b -c ）2≥0得证． 故1a +1b +1c ≤a 2+b 2+c 2得证．（2）证（a +b ）3+（b +c ）3+（c +a ）3≥24成立； 即：已知a ，b ，c 为正数，且满足abc =1．（a +b ）为正数；（b +c ）为正数；（c +a ）为正数；（a +b ）3+（b +c ）3+（c +a ）3≥3（a +b ）•（b +c ）•（c +a ）；当且仅当（a +b ）=（b +c ）=（c +a ）时取等号；即：a =b =c =1时取等号； ∵a ，b ，c 为正数，且满足abc =1．（a +b ）≥2√ab ；（b +c ）≥2√bc ；（c +a ）≥2√ac ；当且仅当a =b ，b =c ；c =a 时取等号；即：a =b =c =1时取等号；∴（a +b ）3+（b +c ）3+（c +a ）3≥3（a +b ）•（b +c ）•（c +a ）≥3×8√ab •√bc •√ac =24abc =24； 当且仅当a =b =c =1时取等号；故（a +b ）3+（b +c ）3+（c +a ）3≥24．得证． 故得证． 【解析】（1）利用基本不等式和1的运用可证，（2）分析法和综合法的证明方法可证． 本题考查重要不等式和基本不等式的运用，分析法和综合法的证明方法．。

绝密 ★ 启用前 2019年普通高等学校招生统一考试仿真模拟卷 理 科 数 学（一） 注意事项： 1、本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。

答题前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在答题卡上。

2、回答第Ⅰ卷时，选出每小题的答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

写在试卷上无效。

3、回答第Ⅱ卷时，将答案填写在答题卡上，写在试卷上无效。

4、考试结束，将本试卷和答题卡一并交回。

第Ⅰ卷 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的． 1．已知集合{}2log 2M x x =<，{}1,0,1,2N =-，则M N =（ ） A ．{}1,0,1,2- B ．{}1,1,2- C ．{}0,1,2 D ．{}1,2 2．设1i 2i 1i z +=+-，则z =（ ） A ．2 B ．3 C ．4 D ．5 3．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若44a =，972S =，则10a =（ ） A ．20 B ．23 C ．24 D ．28 4．我国古代数学名著《数学九章》有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来米1534石，验得米夹谷，抽样取米一把，数得254粒夹谷28粒，则这批米中，谷约为（ ） A ．134石 B ．169石 C ．338石 D ．454石 5．“1m >”是“方程22115y x m m +=--表示焦点在y 轴上的双曲线”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 6．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积等于（ ）A ．19π6B ．17π6C ．23π6D ．10π3 7．函数()()2sin ππ1x f x x x =-≤≤+的图象可能是（ ） A ． B ． C ． D ． 8．若01a b <<<，b x a =，a y b =，log b z a =，则x ，y ，z 大小关系正确的 是（ ） A ．y x z << B ．x y z << C ．z x y << D ．z y x << 9．执行如图所示程序框图，若输出的S 值为20-，在条件框内应填写（ ）A ．3?i >B ．4?i <C ．4?i >D ．5?i < 10．已知抛物线2:8C y x =的焦点为F，直线)2y x =-与C 交于A ，B （A 在x 轴上方）两点，若AF mFB =，则实数m 的值为（ ） 此卷只装订不密封 班级姓名准考证号考场号座位号AB ．3C ．2D ．3211．某几何体的三视图如图所示，该几何体表面上的点P 与点Q 在正视图与侧视图上的对应点分别为A ，B ，则在该几何体表面上，从点P 到点Q 的路径中，最短路径的长度为（ ）ABC．D12．设函数()()sin f x x ωϕ=+，()()(){}0000,A x f x f x '==，()22,162x y B x y ⎧⎫⎪⎪=+≤⎨⎬⎪⎪⎩⎭，若存在实数ϕ，使得集合A B 中恰好有5个元素，则()0ωω>的取值范围是（ ）A．⎫⎪⎪⎣⎭ B．⎫⎪⎪⎣⎭C．⎫⎪⎪⎣⎭D．⎫⎪⎪⎣⎭第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知向量()3,0=a，(2+=a b ，则a 与b 的夹角等于_________．14．若二项式621x ⎫+⎪⎪⎝⎭的展开式中的常数项为m ，则213d mx x =⎰______．15．数列{}n a 且21,2πsin ,4n n n n a n n ⎧⎪⎪+=⎨⎪⎪⎩为奇数为偶数，若n S为数列{}n a 的前n 项和，则2018S =______．16．长沙市为了支援边远山区的教育事业，组织了一支由13名教师组成的队伍下乡支教，记者采访队长时询问这个团队的构成情况，队长回答：“（1）有中学高级教师；（2）中学教师不多于小学教师；（3）小学高级教师少于中学中级教师；（4）小学中级教师少于小学高级教师；（5）支教队伍的职称只有小学中级、小学高级、中学中级、中学高级；（6）无论是否把我计算在内，以上条件都成立．”由队长的叙述可以推测出他的学段及职称分别是____． 三、解答题：本大题共6个大题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（12分）在ABC △中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，()2cos π3B -=，1c =，sin sin a B A =． （1）求边a 的值； （2）求cos 23πB ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值． 18．（12分）如图，四棱锥中P ABCD -，四边形ABCD 为菱形，60BAD ∠=︒，PA PD AD ==，平面PAD ⊥平面ABCD ． （1）求证：AD PB ⊥； （2）求二面角A PC D --的余弦值．19．（12分）“回文数”是指从左到右与从右到左读都一样的正整数，如22，121，3553等．显然2位“回文数”共9个：11，22，33，，99．现从9个不同2位“回文数”中任取1个乘以4，其结果记为X ；从9个不同2位“回文数”中任取2个相加，其结果记为Y ． （1）求X 为“回文数”的概率； （2）设随机变量ξ表示X ，Y 两数中“回文数”的个数，求ξ的概率分布和数学期望()E ξ．20．（12分）已知椭圆()2222:10x y E a b a b +=>>经过点12P ⎛⎫⎪⎝⎭，且右焦点)2F ．（1）求椭圆E 的方程；（2）若直线:l y kx =+E 交于A ，B 两点，当AB 最大时，求直线l 的方程．21．（12分）已知()()2e x f x ax a =-∈R ．（1）求函数()f x '的极值；（2）设()()e x g x x f x =-，若()g x 有两个零点，求a 的取值范围．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分． 22．（10分）【选修4-4：坐标系与参数方程】 在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为22cos 2sin x y ϕϕ=+=⎧⎨⎩，（ϕ为参数）．以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为4sin ρθ=． （1）求曲线1C 的普通方程和2C 的直角坐标方程； （2）已知曲线3C 的极坐标方程为()0π,θααρ=<<∈R ，点A 是曲线3C 与1C 的交点，点B 是 曲线3C 与2C 的交点，且A ，B 均异于极点O，且AB =a 的值． 23．（10分）【选修4-5：不等式选讲】 已知函数()241f x x x =-++． （1）解不等式()9f x ≤； （2）若对于任意()0,3x ∈，不等式()2f x x a <+恒成立，求实数a 的取值范围．绝密 ★ 启用前2019年普通高等学校招生统一考试仿真模拟卷理科数学答案（一）一、选择题．1．【答案】D【解析】由题知{}04M x x =<<，故{}1,2M N =．故选D ．2．【答案】B【解析】()()()()1i 1i 1i 2ii 1i 1i 1i 2+++===--+，则3i z =，故3z =，故选B ．3．【答案】D【解析】由于数列是等差数列，故41913493672a a d S a d =+==+=⎧⎨⎩，解得18a =-，4d =，故101983628a a d =+=-+=．故选D ．4．【答案】B【解析】由题意可知：这批米内夹谷约为281534169254⨯≈石，故选B ．5．【答案】B【解析】22115y x m m +=--表示焦点在y 轴上的双曲线1050m m ->⎧⇔⎨-<⎩，解得15m <<，故选B ．6．【答案】A【解析】由三视图可以看出，该几何体上半部是半个圆锥，下半部是一个圆柱， 从而体积2211119ππ1π13236V =⨯⨯⨯+⨯⨯=⨯，故选A ．7．【答案】A【解析】因为()()()()()22sin sin ππ11x xf x f x x x x --==-=--≤≤+-+，可得()f x 是奇函数．排除C ； 当π3x =时，0π3f ⎛⎫> ⎪⎝⎭，点在x 轴的上方，排除D ； 当3πx =-时，π103f ⎛⎫-<-< ⎪⎝⎭，排除B ；故选A ．8．【答案】B【解析】取特殊值，令14a =，12b =， 则121142b x a ⎛⎫=== ⎪⎝⎭，141122a y b ⎛⎫==> ⎪⎝⎭，121log log 24b z a ===， 则1411222⎛⎫<< ⎪⎝⎭，即x y z <<，可排除A 、C 、D 选项，故答案为B ． 9．【答案】D 【解析】模拟执行程序，可得：1i =，10S =， 满足判断框内的条件，第1次执行循环体，11028S =-=，2i =， 满足判断框内的条件，第2次执行循环体，2824S =-=，3i =， 满足判断框内的条件，第3次执行循环体，3424S =-=-，4i =， 满足判断框内的条件，第4次执行循环体，44220S =--=-，5i =， 此时，应该不满足判断框内的条件，退出循环，输出的S 值为20-， 则条件框内应填写5?i <，故选D ． 10．【答案】B 【解析】设A 、B 在l 上的射影分别是1A 、1B ，过B 作1BM AA ⊥于M ．由抛物线的定义可得出Rt ABM △中，得60BAE ∠=︒， 1111cos6012AA BB AM AF BF m AB AF BF AF BF m ---︒=====+++，解得3m =，故选B ．11．【答案】C 【解析】由题，几何体如图所示（1）前面和右面组成一面此时PQ =（2）前面和上面在一个平面此时PQ，C ．12．【答案】A【解析】()()sin f x x ωϕ=+的最大值或最小值，一定在直线1y =±上，又在集合B 中． 当1y =±时，22162x y +≤，得x ≤23T T ⎧≤⎪∴⎨>⎪⎩2π22π3ωω⎧⋅≤⎪⎪∴⎨⎪⋅>⎪⎩，ω≤<，故选A ．二、填空题．13．【答案】120︒【解析】已知向量()3,0=a，(2+=a b ，令(1,=c ，则()()(1110122=-=-=-b c a ，设向量a 、b 的夹角是θ，于是31031cos 62θ⨯-+⋅-====-a b a b ，故120θ=︒．14．【答案】124【解析】由题意，二项展开式的通项为6621231661C C r r r r r r r T x x ---+⎫⎛⎫=⋅⋅=⋅⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 由1230r -=，得4r =，所以246C 5m =⋅=⎝⎭，则52235331113d 3d |51124m x x x x x ===-=⎰⎰． 15．【答案】30282019 【解析】数列{}n a 且21,2πsin ,4n n n n a n n ⎧⎪⎪+=⎨⎪⎪⎩为奇数为偶数， ①当n 为奇数时，21111222n a n n n n ⎛⎫==- ⎪++⎝⎭； ②当n 为偶数时，πsin 4n n a =， 所以()()201813520172462018S a a a a a a a a =+++++++++， ()1111111009302811010123352017201920192019⎛⎫=-+-++-++-++=+= ⎪⎝⎭． 故答案为30282019． 16．【答案】小学中级 【解析】设小学中级、小学高级、中学中级、中学高级人数分别为a ，b ，c ，d ， 则13a b c d +++=，1d ≥，c d a b +≤+，b c <，a b <， 所以()13a b a b -+≤+，7a b ∴+≥，6c d +≤， 若7a b +=，则6c d +=，a b <，3a ∴=，4b =，5c =，1d =， 若8a b +≥，则5c d +≤，1d ≥，4c ∴≤，b c <，3b ∴≤，5a b ≥>，矛盾， 队长为小学中级时，去掉队长则2a =，4b =，5c =，1d =， 满足11d =≥，64c d a b +=≤+=，45b c =<=，24a b =<=； 队长为小学高级时，去掉队长则3a =，3b =，5c =，1d =，不满足a b <； 队长为中学中级时，去掉队长则3a =，4b =，4c =，1d =，不满足b c <； 队长为中学高级时，去掉队长则3a =，3b =，5c =，0d =，不满足1d ≥； 综上可得队长为小学中级． 三、解答题． 17．【答案】（1）53；（2．【解析】（1）由()2cos π3B -=，得2cos 3B =-，因为1c =，由sin sin a B A，得ab =，∴b =，由余弦定理2222cos b a c ac B =+-，得234150a a +-=， 解得53a =或3a =-（舍），∴53a =．（2）由2cos 3B =-，得sin B，∴sin2B =，1cos29B =-，∴cos 2cos 2cos sin 2sin 333πππB B B ⎛⎫+=-= ⎪⎝⎭．18．【答案】（1）见解析；（2【解析】（1）证明：取AD 中点O 连结PO ，BO ，PA PD =，PO AD ∴⊥．又四边形ABCD 为菱形，60BAD ∠=︒，故ABD △是正三角形， 又点O 是AD 的中点，BO AD ∴⊥．又PO BO O =，PO 、BO ⊂平面BOP ，AD ∴⊥平面BOP ， 又PB ⊂平面BOP ，AD PB ∴⊥．（2）PA PD =，点O 是AD 的中点，PO AD ∴⊥．又平面PAD ⊥平面ABCD ，平面PAD 平面ABCD AD =，PO ⊂平面PAD ， PO ∴⊥平面ABCD ，又AO ，BO ⊂平面ABCD ，PO AO ∴⊥，PO BO ⊥．又AO BO ⊥， 所以OA ，OB ，OP 两两垂直．以O 为原点，分别以OA ，OB ，OP 的方向为x 轴，y 轴，z 轴的正方向建立空间直角坐标系O xyz -．设2AB =，则各点的坐标分别为()1,0,0A，()B，()C -，()1,0,0D -，()0,0,1P ．故()AC =-，()1,0,1AP =-，()1PC =--，()1,0,1PD =--， 设()1111,,x y z =n ，()2222,,x y z =n 分别为平面PAC ，平面PCD 的一个法向量， 由1100AC AP ⎧⋅⎪⎨⋅==⎪⎩n n，可得1111300x x z -⎧=-+=⎪⎨⎪⎩，令11z =，则11x =，1y =()1=n ． 由2200PC PD ⋅=⋅⎧⎪⎨⎪⎩=n n，可得22222200x z x z --=--=⎧⎪⎨⎪⎩，令21z =，则21x =-，2y =故21,⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭n ．()121,cos ,⎛⎫⋅- ⎪ ⎪===n n ． 又由图易知二面角A PC D --是锐二面角， 所以二面角A PC D --． 19．【答案】（1）29；（2）随机变量ξ的概率分布为随机变量ξ的数学期望为()79E ξ=． 【解析】（1）记“X 是‘回文数’”为事件A ． 9个不同2位“回文数”乘以4的值依次为44，88，132，176，220，264，308， 352，396．其中“回文数”有44，88．所以，事件A 的概率()29P A =． （2）根据条件知，随机变量ξ的所有可能取值为0，1，2． 由（1）得()29P A =． 设“Y 是‘回文数’”为事件B ，则事件A ，B 相互独立． 根据已知条件得，()29C 2059P B ==． ()()()25280119981P P A P B ξ⎛⎫⎛⎫===--= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭；()()()()()252543111999981P P A P B P A P B ξ⎛⎫⎛⎫==+=-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；()()()251029981P P A P B ξ===⋅=．所以，随机变量ξ的概率分布为所以，随机变量ξ的数学期望为()28431070128181819E ξ=⨯+⨯+⨯=．20．【答案】（1）2214x y +=；（2）y =【解析】（1）设椭圆E 的左焦点()1F ，则12242a PF PF a =+=⇒=， 又2221c b a c ==-=，所以椭圆E 的方程为2214x y +=．（2）由()2222144044y kx k x x y ⎧⎪⎨⎪=⇒+++=+=⎩，设()11,A x y ，()22,B x y， 由()2221128161404Δk kk =-+>⇒>，且12x x +=，122414x x k =+，AB=设2114t k =+，则10,2t ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，AB=，当112t =，即k =AB ，此时:l y =+21．【答案】（1）0a ≤时，()f x '没有极值，0a >时，()f x '有极小值22ln2a a a -；（2）()0,+∞．【解析】（1）()e 2x f x ax ='-，()e 2x f x a '-'=．①若0a ≤，显然()0f x ''>，所以()f x '在R 上递增，所以()f x '没有极值． ②若0a >，则()0ln2f x x a <⇔<''，()0ln2f x x a >⇔>''， 所以()f x '在(),ln2a -∞上是减函数，在()ln2,a +∞上是增函数． 所以()f x '在ln2x a =处取极小值，极小值为()()ln221ln2f a a a =-'．（2）()()()2e 1e x x g x x f x x ax =-=-+．函数()g x 的定义域为R ， 且()()2e e 2x x g x x ax x a ='=++． ①若0a >，则()00g x x <'⇔<；()00g x x >'⇔>．所以()g x 在(),0-∞上是减函数， 在()0,+∞上是增函数．所以()()min 01g x g ==-． 令()()1e x h xx =-，则()e x h x x '=．显然()00h x x <'⇔<， 所以()()1e x h x x =-在(),0-∞上是减函数． 又函数2y ax =在(),0-∞上是减函数，取实数0<， 则()20110g h a ⎛⎛>+⋅=-+= ⎝⎝． 又()010g =-<，()10g a =>，()g x 在(),0-∞上是减函数，在()0,+∞上是增函数． 由零点存在性定理，()g x 在⎛⎫ ⎪⎝⎭，()0,1上各有一个唯一的零点．所以0a >符合题意． ②若0a =，则()()1e x g x x =-，显然()g x 仅有一个零点1．所以0a =不符合题意． ③若0a <，则()()ln 2e e a x g x x -'⎡⎤=-⎣⎦． （i ）若()ln 20a -=，则12a =-．此时()0g x '≥，即()g x 在R 上递增，至多只有一个零点，所以12a =-不符合题意． （ii ）若()ln 20a -<，则102a -<<，函数()g x 在()(),ln 2a -∞-上是增函数， 在()()ln 2,0a -上是减函数，在()0,+∞上是增函数， 所以()g x 在()ln 2x a =-处取得极大值，且极大值()()(){}2ln 2ln 2110g a a a -=--+<⎡⎤⎣⎦， 所以()g x 最多有一个零点，所以102a -<<不符合题意． （iii ）若()ln 20a ->，则12a <-，函数()g x 在(),0-∞和()()ln 2,a -+∞上递增， 在()()0,ln 2a -上递减，所以()g x 在0x =处取得极大值，且极大值为()010g =-<， 所以()g x 最多有一个零点，所以12a <-不符合题意．综上所述，a 的取值范围是()0,+∞． 请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．22．【答案】（1）()221:24C x y -+=，()222:24C x y +-=；（2）7π12α=或11π12． 【解析】（1）()221:24C x y -+=，()222:24C x y +-=． （2）1:4cos C ρθ=，联立极坐标方程θα=，得4cos A ρα=，4sin B ρα=，π4A B ρρα⎛⎫∴-=-= ⎪⎝⎭sin 4πα⎛⎫∴- ⎪⎝⎭ 0πα<<，∴7π12α=或11π12． 23．【答案】（1）[]2,4-；（2）5a ≥．【解析】（1）()9f x ≤，可化为2419x x -++≤，即2339x x >-≤⎧⎨⎩或1259x x -≤≤-≤⎧⎨⎩或1339x x <--+≤⎧⎨⎩， 解得24x <≤或12x -≤≤或21x -≤<-；不等式的解集为[]2,4-．（2）2412x x x a -++<+在()0,3x ∈恒成立，52412124133a x x x a x a x x a x a -⇒-++<+⇒--+<-<+-⇒<<+， 由题意得，()50,3,33a a -⎛⎫⊆+ ⎪⎝⎭，所以5005335a a a a a -≤≥⎧⇒⇒≥⎨+≥≥⎩⎧⎨⎩．。