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东北大学《复变函数与积分变换》试卷

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东北大学考试试卷
（一）
课程名称：复变函数与积分变换
┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄一、填空题（本题15分, 每小题3分）
1．如果
1
32
z i
=+，
2
1
z i
=-，则
12
z z⋅=________________
2．函数3
()2
f z z iz
=+的导数'()
f z=____________
3．
11
1
z
z
dx
z
-=
=
-
⎰_________________.
4．级数
2
n
n
n
n
z
∞
=
∑的收敛半径为___________.
5. 设
52
()
(1)
z
f z
z z
-
=
-
，则Re(,0)
s f=___________________.
二、选择题（15分）
1．复数1
z i
=+的辐角为( ) ),
6
A
π39
),),)
344
B C D
πππ
2．0
z=是
2
1
()
z
e
f z
z
-
=的( )
, )
C二级极点, )
D本性奇点.
3．设
1
),
2
z=则下面哪个不是z的四次方根( )
)B
77
cos sin
1616
i
ππ
+
)
D
2525
cos sin
1616
i
ππ
+
4．设幂级数
n
n
n
a z
∞
=
∑的收敛半径0
R>，则它( )
在z R
≤上收敛. )B在
2
R
z>上绝对收敛
在z R
<上绝对收敛)
D在z R
≤上绝对收敛
5．设cos(5)
z i
π
=+，则Re z等于( )
A)
55
2
e e
-+
-B)
55
2
e e
-+
C)
55
2
e e
--
D)0
三、解答题（30分）
1．求积分
23
C
z
I dz
z
-
=⎰的值，其中C为从-2到2的上半圆周.
2．若4
1
()sin
f z z
z
=，求Re[(),0].
s f z
3.设(,)sin
px
u x y e y
=，求p的值使(,)
u x y为调和函数，并求解析函数
(,)(,)(,).
f x y u x y iv x y
=+
四、解答题（10分）
1．设
2
1
()
()
f z
z z i
=
-
，分别求()
f z在圆环域01
z i
<-<和1z i
<-<+∞内的洛朗展开式。

五、解答题( 30分).
1．求方程''2'3t
y y y e-
+-=满足初始条件(0)0,'(0)0
y y
==的解。

2．求函数1,0
()0,0t u t t ≥⎧=⎨<⎩的傅立叶变换。

3．将函数1
z
z
e -在0z =处展开为幂级数。

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奥鹏地大《复变函数与积分变换》在线作业一标准答案

奥鹏地大《复变函数与积分变换》在线作业一标准答案

T对
F错
【答案】：A
29.若函数f(z)在区域D内解析且f′(z)=0，则f(z)在D内恒为常数。
【选项】：
T对
F错
【答案】：A
30.若函数f(z)是单连通区域D内的每一点均可导，则它在D内有任意阶导数.
【选项】：
T对
F错
【答案】：A
31.若函数f(z)在z0解析，则f(z)在z0的某个邻域内可导。
【选项】：
A z不等于0
B z不等于±i
C z不等于±1
D任意复数
【答案】：B
15.设|z-a|+|z+a|=b，其中a,b为正常数，则点z的轨迹曲线是（ ）
【选项】：
A圆
B椭圆
C双曲线
D抛物线
【答案】：B
16. (3+i)/(2-i)的结果为（）
【选项】：
A 1+i
B 1-i
C 2+i
D 2+3i
【选项】：
T对
F错
【答案】：A
23.若函数f(z)=u(x,y)+iv(x,y)在区域D内连续，则二元函数u(x,y)，v(x,y)都在D内连续
【选项】：
T对
F错
【答案】：A
24.设z=a为f(z)的可去奇点，则f(z)在a有有限极限。
【选项】：
T对
F错
【答案】：A
25.若函数f(z)是区域D内解析且在D内的某个圆内恒为常数，则数f(z)在区域D内为常数。
A 0
B 1
C -1
D 1/2
【答案】：A
9.设f(z)=zsinz，则z=0是f(z)的（ ）阶零点．
【选项】：
复变函数积分变换复习卷及答案

复变函数积分变换复习卷及答案

复变函数复习卷及参考答案一、填空题1、复数1z i =+的三角表示式=2(cossin )44i pp+；复指数表示式=42ie p 。

2、复数()13z i =+的z =2；23Argz k pp =+；arg 3z p=；13z i =-。

3、62111i i i -æö==-ç÷+èø。

10125212131i i i i i +-=+-=-。

4、()()31123513253x y i x i y i x y +=ì++-=-Þí-=-î，求解方程组可得，45,1111x y -==。

5、()()231,f z z z =-+则()61f i i ¢-=--。

6、()n3L i -ln 226i k i pp =-+；ln()ie 12i p=+。

7、()(2)1321,(13)2ik i iiee i p p p -++==+。

8、32282(cossin)33k k i p pp p++-=+；0,1,2k =。

1224(4)2i i -==±。

9、1sin 2e e i i --=；221cos ()22i e e pp p -=+；10 、21024z dzz z ==++ò ；1212z dz i z p ==-ò 。

11、设31cos ()zf z z -=，则0z =是（一级极点）；31cos 1Re [,0]2z s z -=。

1()s i n f z z=，0z =是本性奇点。

二、判断下列函数在何处可导？何处解析？在可导处求出导数。

（1）()22f z x iy=+；解：22,,2,0,0,2u u v v u x v y x y xyxy¶¶¶¶======¶¶¶¶，一阶偏导连续，因此当,x y y x u v u v ==-时，即x y =时可导，在z 平面处处不解析。

(整理)复变函数与积分变换试题及答案26.

(整理)复变函数与积分变换试题及答案26.

复变函数与积分变换试题与答案一、填空（3分×10）1．)31ln(i --的模 ，幅角。

2．-8i 的三个单根分别为： ， ， 。

3．Ln z 在 的区域内连续。

4．z z f =)(的解极域为：。

5．xyi y x z f 2)(22+-=的导数=')(z f 。

6．=⎥⎦⎤⎢⎣⎡0,sin Re 3z z s 。

7．指数函数的映照特点是：。

8．幂函数的映照特点是：。

9．若)(ωF =F [f (t )]，则)(t f = F)][(1ω-f 。

10．若f （t ）满足拉氏积分存在条件，则L [f (t )]=。

二、判断题（每题2分，共20分，请在正确的题打“√”，错误的题后打“×”）1．区域Im(z)＞0是无界的单连通的闭区域。

（ ）2．初等函数在其定义域内解析，可导。

（ ）3．解析函数f (z )=u (x ,y )+iv (x ,y )的u(x ,y )与v (x ,y )互为共扼调和函数。

（ ）4．如果f (z )在z o 解析，那么f (z )在z o 连续。

（ ） 5．如果)(o z f '存在，那么f (z )在z o 解析。

（ ） 6．如果z o 是f (z )的奇点，那么f (z )在z o 不可导。

（ ） 7．如果u (x ,y )，v (x ,y )的偏导数存在，那么f (z )=u +iv 可导。

（ ） 8．每一个幂级数在它的收敛圆周上处处收敛。

（ ） 9．幂级数的和函数在收敛圆内可能有奇点。

（ ）10．在z o 处可导的函数，一定可以在z o 的邻域内展开成泰勒级数。

（ ）二、计算题(6分×4)1．求p ，m ，n 的值使得函数)()(2323pxy x i y nx my z f +++=为解析函数。

2．求u (x ，y )=y 3－3x 2y 与它的共扼调和函数v (x ，y )构成的解析函数)()()(y x iv y x u z f ，，+=3.⎰=⎪⎭⎫⎝⎛-++4||3211z dz z z （积分沿正向圆周进行）4．dz z ze z z⎰=-2||21（积分沿正向圆周进行）四、（5分）将下面函数在指定圆环内展为罗朗级数)1(1)(z z z f -=（1<|z |<+∞）五、（5分）求把上半平面保形照为单位圆的分式线性函数。

复变函数与积分变换试题及答案23解读

复变函数与积分变换试题及答案23解读

复变函数与积分变换试题与答案一、填空题：(每空3分)1. 1(•、2 i.2)的三角表达式 _________________________________________________________2. i =-bo4.幕级数a n! z n 的和函数的解析域 _____________________________________________________n z05 •分式线性函数、指数函数的映照特点分别是:6•若 L [f (t)]二 F(s),则 L [f (at b)]二二、简答题：(每题6分)1 •叙述函数f(z)在区域D 内解析的几种等价定义。

2.若Z )分别为f ⑺及g(z)的m 阶及n 阶零点，贝U g(z)在z 0具有什么性质。

f (z)3.叙述将上半平面lm(z)保形映照为单位圆盘|w 卜：1且将Z )(Im(z 0) 0)映照为w = 0的分式线性函数 w=产生的关键步骤。

Z —%三、计算题：(每题7分) 1•求f(z) =zRe(z)的解析点；z -12.求f(z)Z丄 在2”：|z|：：：3时的罗朗级数；(z-2)(z + 3)3 •求积分I =,|z|d z, C 为沿单位圆(|z|=1)的左半圆从T 到i 的曲线。

C|Z| = 1,则Z -Z o 1 -Z o Z2的拉普拉斯逆变换。

s 45s 24四、证明及解方程(每题 6分) 1.证明：J 幅dt=2感(⑷)。

'-O0t2•解方程：y'(t)°y( )d =1 , y (o )=o 。

4. 求积分砒 Z 2(z 2—9)dz。

5. 求积分sin dz,叱 z-16、求函数 (t-2)f(-2t)的傅里叶变换. 7. 求函数标准答案一、填空题： (每题3分共21分)1.丄(、2 i 、、2)的三角表达式 cos(— 2k 二)isi n( — 2k二)(k =0, _1, _2,|l()244i-(2k 5)-2. i^ e 2 3 (k =0,_1,_2川)2 若f(z)的实部、虚部均为 D 内的可微函数，且柯西一黎曼方程成立，则称f (z)为在D内的解析函数。