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复变函数试卷

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模拟课程考试试卷1解答院(系)_________专业班级__________学号_______________姓名__________考试日期: 2008年11月24日 考试时间: 晚上7:00~9:30一、填空题 (每空2分，共20分)1．复数ii2332++-的主辐角为 ．2．函数)3(3)(2323y x y i y x x z f -+-=在何处可导？ ，何处解析？ ．3．)43(Ln i +-的值为 ．4．级数∑∞+=1n nni是否收敛？ ；是否绝对收敛？ ．5．函数1e)(-=z z z f 在0=z 点展开成泰勒(Taylor )级数的收敛半径为 ． 6．区域}0Im :{<<-=z z D π在映射zw e=下的像为．7．映射2332)(z z z f +=在i z =处的旋转角为． 8．函数t t t t f cos )2()1()(2--=δ的Fourier 变换为 ．评卷人解答内容不得超过装订2/π0)(0,点 处处不解析π)2k π3)/arctan(4-(ln5+++i 是 否1 下半平面 4/π3 ωj -e 1cos ⋅1．⎰=++3||342215d )1()1(z zz z z解：令342215)1()1()(++=z z zz f ， 则 34222)1()1(11)1(z z z zz f ++=，原式]),([Res 2∞-=z f i π]0,1)1([Res 22z z f i π=， (3分)iz z iz ππ2)1()1(1203422=++==． (5分)2．⎰=3||d 1cosz zzz解：0=z 为zz z f 1cos)(=的本性奇点，将)(z f 在0=z 的邻域内展开得)1!611!411!211(1cos642+⋅-⋅+⋅-=zzzz zz-⋅+⋅-=31!411!21zzz ， (3分)原式ii zz i πππ-=-==)!21(2]0,1c os[Res 2． (5分)3．)1(20>+⎰a a πcos d θθ解：令 θi e z =，则zz 21cos 2+=θ，zi z d d =θ，原式z z a z iz d 12121||2⎰=++=zz f iz d )(21||⎰==， (2分)函数)(z f 在1||=z 只有一个一阶极点121-+-=a a z ， (3分)原式]),([Res 221z z f i i⋅⋅=π122122z z az i i =+⋅⋅=π122-=a π． (5分)4．xxx d cos 0⎰∞++52解：令5)(2+=z ez f zi ，则)(z f 在上半平面只有一个一阶极点iz 51=，xxe I xi d ⎰∞+∞-+=52]),([Res 21z z f i ⋅=πiz zi zei 522=⋅=π55-=eπ， (3分)原式I Re 21⋅=525-=eπ． (5分)解答内容不得超过三、(14分)已知yx y a x y x u ++=22),(，求常数a以及二元函数),(y x v ，使得v i u z f +=)(为 解析函数且满足条件i i f +-=1)(．解：(1) 222=∂∂xu，ayu222=∂∂，由02222=∂∂+∂∂yu xu可得 1-=a ， (3分)即y x y x y x u +-=22),(．(2) 由 yv y x xu∂∂=+=∂∂2，⇒⎰+=y d y x v )2()(2122x y xy ϕ++=， (7分)由 )(22x y xv x y yuϕ'--=∂∂-=+-=∂∂，⇒x x -=')(ϕ， ⇒Cx x +-=221)(ϕ， (11分)⇒)22121()(2222C y x y x i y x y x z f +++-++-=，(3) 由i i f +-=1)(得21=C ， (13分)即)2122121()(2222+++-++-=y x y x i y x y x z f ． (14分)四、(14分)将函数211)(zz f +=分别在0=z 点和i z -=点展开为洛朗(Laurent )级数．解：(1) 在0=z 点展开① 当1||<z 时，)(11)(2z z f --=∑+∞=-=2)1(n nnz； (3分)② 当1||>z 时，2)21(2i zi +-=)1(111)(22zzz f --⋅=∑+∞=-=0221)1(1n nnzz ∑+∞=+-=221)1(n n nz． (6分)(2) 在i z -=点展开ii z iz i z i z z f 211)()(1)(-+⋅+=-+=，① 当2||0<+<i z 时，ii z i i z z f 211211)(+-⋅⋅+-=∑+∞=+⋅⋅+-=0)2()(211n nn i i z i i z∑+∞=+-+-=011)2()(n n n i i z ； (10分)② 当2||>+i z 时，iz i i z z f +-⋅+=211)(1)(2∑+∞=+⋅+=02)()2()(1n nn i z i i z∑+∞=++=2)()2(n n ni z i ． (14分)五、(6分)求区域}0Im ,0Re :{>>=z z z D 在映射iz i z w -+=22下的像．解：令 21z z =，则i z iz w -+=11，(3分) (6分)解答内) 21zz =iz iz w -+=11即像区域为单位圆的外部(如图)。

注：本题也可由21z z =，iz i z z +-=112，21z w =三步完成。

六、(10分)求把区域}23arg 0,1||:{π<<<=z z z D映射到上半平面的共形映射．解：(3分)(7分) (9分)(10分)七、(10分)利用Laplace 变换求解微分方程：0)(4)(2)(=-'-''t x t x t x ，1)0(,0)0(='=x x ．解：(1) 令=)(s X )]([t x ，对方程的两边作Laplace 变换得：)(4)(21)(2=---s X s X s s X s ， (3分)421)(2--=⇒s s s X)]51([)]51([1--+-=s s ， (5分)(2) ⎪⎪⎭⎫⎝⎛---+-=)51(1)51(1521)(s s s X ，(8分)1-23/23/211⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+-=z z w 11112-+-=z z z 22z w =23/23/211⎪⎪⎭⎫⎝⎛+--=z z w 或=)(t x)]([1s X -)(521)51()51(eett-+-=． (10分)八、( 6 分) 已知幂级数∑+∞=0n nn za 的系数满足：110==a a ，)2(,21≥+=--n a a a n n n ，该级数在251||+-<z 内收敛到函数)(z f ，证明：)(d )1()()(1216.0||2z f z f i=--+⎰=ξξξξξπξ，)6.0||(<z ．证明：(1) 由题意可知，)(ξf 在6.0||≤ξ上解析， (1分)ξξξ-+⇒1)(12f 在6.0||≤ξ上解析， (2分)当6.0||<z 时，由柯西积分公式有：ξξξξξπξd )1()()(1216.0||2⎰=--+z f izz f z -+=1)(12； (4分)(2)∑+∞==)(n nn za z f ∑+∞=--+++=221)(1n nn n za a z)()1)((12z f z z f z z +-++=)()(12z f z z f z ++=，)(1)(12z f zz f z =-+⇒； 即证。

(6分)《复变函数与积分变换》模拟课程考试试卷2院(系)___________专业班级_____________学号_______________姓名__________考试日期: 年 月 日 考试时间: : ~ :tt 5sh 51e =一、填空题 (每空2分，共30分)1、复数i)31(+-的模为 ，辐角主值为 .2、38的所有值分别为 .3、已知4arg π=z ，则点z 的轨迹曲线是 .4、i)31Ln(+的值为 .5、函数22i )(y x z f +=在何处可导 ，何处解析 .6、设)3i(3)(3223y y x xyx z f -+-=，则)(z f '= .7、函数11)(-=z z f 在i =z 处展开成泰勒级数的收敛半径为 .8、0=z 为函数z z sin 1-的何种类型的奇点 .9、积分zz z z d )3)(2(11||⎰=+-的值为 .10、映射1)(2+=z z f 在i =z 处的伸缩率为 ，旋转角为 .11、已知)(t f 的傅氏变换为)]()([)(00ωωδωωδπω-++=F ，则)(t f = .12、函数aat t f 2sin )(=的拉氏变换为=)(s F .二、计算题 (每题5分，共20分)1、⎰+2πcos 2d 03θθ2、⎰=-2||2d11zzz3、⎰=-2||1de11zz zz4、xxxd 02⎰∞++14解答内容不得超过装订三、(10分) 已知xy x y x u 2),(22+-=，证明),(y x u为调和函数，并求一满足条件0)2(=-f 的解析函数v u z f i )(+=.四、(10分)将函数)2)(1(1)(--=z z z f在1=z 点展开为洛朗 (Laurent) 级数．五、(10分)求曲线1)1(22=+-y x 在映射zw i =下的像曲线.六、(10分)求把区域}Im 0,0Re :{D π<<<=z z z映射到单位圆内部的共形映射．解答内容不得超过装订七、(10分)利用Laplace 变换求解微分方程组：⎩⎨⎧=-='-'='==+''.0)0(,)()(,0)0()0(,)()(y e t y t x x x e t y t x t t《复变函数与积分变换》模拟课程考试试卷3院(系)_________专业班级__________学号_______________姓名__________考试日期: 2007年11月26日 考试时间: 晚上7:00~9:30一、填空题 (每空2分，共22分)1．复数i i+-12的模为 ，辐角主值为 ．2．函数22)(x i y z f -=在何处可导？ ，何处解析？ ．3．2)3(Ln i +的值为 ．4．函数iz i z z f ++-=)1(1)(2在0=z 点展开成泰勒(Taylor)级数的收敛半径为 ．5．0=z 为函数2zzz f cos 1e)(-=的何种类型的奇点？ ．6．积分zz z z z d )2(sin 11||⎰=--的值为 ．7．映射z z z f 2)(2+=在i z -=处的伸缩率为 ，旋转角为 ．8．函数t t f 2cos 21)(+=的Fourier 变换为 ．二、计算题 (每题5分，共20分)1．⎰=--2||2d )1(1e z zzz z2．⎰=2||12d 1sinez zzzz3．⎰-2π2cos d 05θθ4．xxx x d 2sin 0⎰∞++12三、(10分)已知y x a y x y x u 334),(+=，求常数a以及二元函数),(y x v ，使得v i u z f +=)(为解析函数且满足条件0)1(=f ．四、(12分)将函数i z i z iz f ++--=)1(1)(2分别在=z 和1=z 处展开为洛朗(Laurent)级数．五、(8分)求区域}0Re ,2πIm 2π:{<<<-=z z z D在映射ii w zz+-=e e 下的像．六、(10分)求把区域}0Re ,1|1|:{>>-=z z z D映射到单位圆内部的保形映射．七、(12分)利用Laplace 变换求解微分方程组：⎪⎩⎪⎨⎧='='-=-'-'===-''-''.1)0()0(,sin )()()(,0)0()0(,e )()()(y x t t x t y t x y x t t y t y t x t八、( 6 分)设函数)(z f 在2||<z 内解析，且满足2|2)(|<-z f ，证明：d )(4)()(4)(1||2=-'-''⎰=z z f z f z f z f z ．《复变函数与积分变换》模拟课程考试试卷4解答院(系)_________专业班级__________学号_______________姓名__________考试日期: 年 月 日 考试时间: 0:00~0:00一、选择题 (每题2分，共20分)1、复数 23412i i ⎛⎫+ ⎪+⎝⎭的模为 ( C ) A.B. ；C. 5．2、复数 i 31-- 的主辐角为 ( C )A. 3arctan ；B. π+3arctan ；C. π-3arctan ． 3、||||z i z i +>-所表示的平面区域为 ( A )A. 上半平面；B. 下半平面；C. 单位圆的内部． 4、Ln (1)-的值为 ( A )A. (21)k i π+；B. 2k i π；C. 无意义．5、方程 220z i -= 的根为 ( A )A. 121,1z i z i =+=--；B. 121,1z i z i =+=-+；C. 121,1z i z i =+=-．6、函数 2()2f z x y i x =- ( B )A. 处处可导；B. 仅在0y =上可导；C. 处处不可导．7、设 22()2()f z x y i y x =+-，则 ()f z '= ( B )A. 22x y i +；B. 22y x i -；C. 22x y i -．8、级数∑+∞=-1)1(n nni ( B )A. 绝对收敛；B. 条件收敛；C. 发散．9、0z =是函数2sin )(zz z f =的( C )A. 可去奇点；B. 二阶极点；C. 一阶极点．10、区域 {:0Im }D z z π=<< 在映射 zw e = 下的像为 ( C )A. 单位圆的内部；B. 下半平面；C. 上半平面．二、填空题 (每题2分，共10分)1、函数1()(1)(2)f z z z =-- 在 z i = 点展开成泰勒 (Taylor) 级数的2、积分=-⎰=z z zz d )(sin 4||2π ．3、映射 z z z f 4)(2+= 在 i z +-=1 处的旋转角为 .iπ2- 4π))2()2((-++ωδωδπ4、函数t t f 2cos )(=的Fourier 变换为()F ω= .5、函数1()(1)F s s s =- 的Laplace 逆变换为()f t = .三、计算题 (每题5分，共20分)1、zz z zz d )1(sin2||22⎰=-解：令)1(sin)(22-=z z zz f ，在2||=z 内，函数)(z f 有两个奇点．=z 为可去奇点，0]0),([Res =z f ，1=z 为一阶极点，)()1(lim ]1),([Res 1z f z z f z -=→1sin sin 2122===z zz，原式1sin 2])1),([Res ]0),([Res (22i z f z f i ππ=+=．2、zzz z d 1cos2||3⎰=解：令zz z f 1cos)(3=，在2||=z 内，0=z 为)(z f 的本性奇点，zz 1cos3)!61!41!211(6423+-+-=zzzz+⋅+=z1!41，原式12!42]0),([Res 2ii z f i πππ===．3、⎰∞+∞-+xx x d 4cos 2解：令42+=z z f zi e)(，它在上半平面只有一个简单极点i z 2=，iz zi zi z f 22e]2),([Res ==i 4e2-=，1e -t原式22e22e)]2),([Res 2(Re πππ===-i z f i ．4、⎰+πθθ20d sin 451解：令θi z e =，则zi z 21sin 2-=θ，zi z d d =θ，原式⎰=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=1||2d 2)1(451z z i zz i z ⎰=-+=1||2d 2521z zz i z ．令2521)(2-+=z i z z f ，可知它在1||=z 内只有一个简单极点20i z -=，原式0542]),([Res 20z z iz i z z f i =+==ππ32π=．四、(12分)已知调和函数 y x y x y x u 2),(22+-=，求函数 (,)v x y ，使函数 ()f z u i v =+ 解析且满足 i i f +-=1)(．解：(1) 由 yv y x xu∂∂=+=∂∂22，有)(2d )22(2x y y x y y x v ϕ++=+=⎰，由 )(222x y xv x y yuϕ'--=∂∂-=+-=∂∂，有 x x 2)(-='ϕ，⇒cxx x x +-=-=⎰2d )2()(ϕ，即得cx y xy y x v +-+=222),(，)2(2)(2222c x y y x i y x y x z f +-+++-=；(2) 由 i i f +-=1)( ⇒ 0=c ，故 )2(2)(2222x y y x i y x y x z f -+++-=2)1(zi -=．五、(12分)将函数)2()1(1)(--=z z z f在0z =点展开为洛朗 (Laurent) 级数．解：)2()1(1)(--=z z z f 2111-+--=z z zz---=2111，在复平面上以原点为中心分为三个解析环：1||0<≤z ， 2||1<<z ，+∞<<||2z ．(1) 在 1||0<≤z 内，⎪⎭⎫ ⎝⎛---=212111)(z zz f ∑∑+∞=+∞=-=221n nn n nz z ∑+∞=+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=1211n nn z．(2) 在 2||1<<z 内，⎪⎪⎭⎫⎝⎛--⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=2121111)(z z z z f∑∑+∞=+∞=--=022111n nn n nz zz∑∑+∞=++∞=+--=01121n n nn n z z．(3) 在 +∞<<||2z 内，⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=z z z z z f 211111)(∑∑+∞=+∞=+-=02111n nn n nzzzz∑+∞=+-=11)12(n n nz．六、(14分)求把区域 {:||1,Im 0}D z z z =>>映射到单位圆内部的共形映射．七、(12分)利用Laplace变换求解微分方程组：()()1,(0)0,()(),(0) 1.x t y t xx t y t t y'+==⎧⎪⎨'-==⎪⎩解：对方程两边取拉氏变换并代入初值得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=--=+.1)1)(()(,1)()(2sssYsXssYsXs求解得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=.1)(,)1(1)(222sssYsssX求拉氏逆变换得⎩⎨⎧=-=.cos)(,sin)(ttytttx复变函数与积分变换模拟课程考试试卷5解答系别___________班级__________学号__________姓名___________zz11=12zz-=izizw+-=44234zz=izzizzw+⎪⎪⎭⎫⎝⎛--+--⎪⎪⎭⎫⎝⎛--+-=221)/1(1)/1(1)/1(1)/1(izzizz+⎪⎭⎫⎝⎛+--⎪⎭⎫⎝⎛+-=221111一、填空（每题3分，共24分）1．10)3131(ii-+的实部是21-，虚部是23，辐角主值是32π.2．满足5|2||2|≤-++z z 的点集所形成的平面图形为， 以±2为焦点 ，长半轴为25的椭圆，该图形是否为区域 否 .3．)(z f 在0z 处可展成Taylor 级数与)(z f 在0z 处解析是否等价？ 是 .4．ii -+1)1(的值为,1,0)],2ln 4sin()2ln 4[cos(224±=-+-+k i e k ππππ；主值为)]2ln 4sin()2ln 4[cos(24-+-πππi e .5．积分⎰=1||z zdzze的值为i π2，⎰==-2||2)2(sin z dz z zπ0 .6．函数311)(--=z e iz z f 在0=z 处Taylor 展开式的收敛半径是 1 .7．设)()]([),()]([2211ωωF t f F t f ==F F , 则=*)]()([21t f t f F )]([)]([21t f t f F F ⋅其中)()(21t f t f *定义为⎰∞+∞--τττd t f f )()(21.zz z f sin )(=的有限弧立奇点=0z 0 ，0z 是何种类型的奇点？ 可去 . 二、（6分）设iy x y x z f 22332)(+-=，问)(z f 在何处可导？何处解析？并在可导处求出导数值.解：22332),(,),(y x y x v y x y x u =-=yx yv xy x vy y ux xu22224,4,3,3=∂∂=∂∂-=∂∂=∂∂ （2分）均连续，要满足R C -条件，必须要222234,43yxyy x x==成立即仅当0==y x 和43==y x 时才成立，所以函数)(z f 处处不解析； （2分）,0)))0(0,0(0,0(=∂∂+∂∂='xv i xu f)1(1627)4343()43,43()43,43(i xv ixu i f +=∂∂+∂∂=+' （2分）三、（8分）设,sin y e v px=求p 的值使v 为调和函数，并求出解析函数iv u z f +=)(.解：因y ev y ev y ep v y pev pxyy pxy pxxx pxx sin ,cos ,sin ,sin 2-====，要使),(y x v 为调和函数，则有0=+=∆yy xx v v v即 0s i n s i n 2=-y e y e p pxpx（4分）所以 1±=p 时，v 为调和函数，要使)(z f 解析，则有 y x v u =， x y v u -=⎰⎰+===)(c o s 1c o s ),(y y epy d x edx u y x u pxpxx ψype y y epu pxpxy sin )(sin 1-='+-=ψ（2分）所以cy ep py y ep py pxpx+--=-='cos )1()(,sin )1()(ψψ即 c y pe y x u px+=cos ),(，故⎪⎩⎪⎨⎧-=+-=+--=+=++=--1,)sin (cos 1,)sin (cos )(p c e c y i y e p c e c y i y e z f zx z x（2分）四、（10分）将函数13232)(2+--=z z z z f 在有限孤立奇点处展开为Laurent 级数.解：)(z f 的有限孤立奇点为210=z 及11=zzzz z z z f -+-=+--=1121113232)(2（2分）1）当21210<-<z 时)21(21221121)(--+--=z z z f∑∞=-+--=0)21(22)21(21n nnz z（2分）2）当+∞<-<2121z))21(211)(21(1)21(21)(------=z z z z f∑∞=-------=0)21(2211)21(21n n nz z z（2分）3）当2110<-<z)1(2111111211)(-+--=---=z z z zz f∑∞=----=)1(2)1(11n nnnz z（2分）4）当+∞<-<121z))1(211)(1(111)(-+----=z z z z z f∑∞=--------=0)1(2)1()1(2111n nnnz z z（2分）五、计算下列各题（每小题6分，共24分）1．⎰=-++=32173)(ξξξξξd zz f ，求).1(i f +'解：因173)(2++=ξξξϕ在复平面上处处解析由柯西积分公式知，在3<z 内，⎰=++==-=32)173(2)(2)()(ξπϕπξξξϕz z i z i d zz f （3分） 所以 )76(2)(+='z i z f π（2分）而点 i +1在3<z 内，故)136(2]7)1(6[2)1(i i i i f +-=++=+'ππ （1分）2．求出zz ez f 1)(+=在所有孤立奇点处的留数解：函数 zz ez f 1)(+=有孤立奇点0与∞，而且在+∞<<z 0内有如下Laurent 展开式：)1!311!2111)(!31!211(323211 ++++++++=⋅=+zzz z z z e e ez zzz++++++=z 1)!41!31!31!21!211(（3分） 故 ∑∞=+-+==011)1(!1]0,[Re k zz k k es c （2分） ∑∞=++-=∞01)1(!1],[Re k zz k k es（1分）3．)0()(2222>+⎰∞+∞-a dx a x x解：2222)()(a z zz f +=，它共有两个二阶极点，且)(22a z +在实轴上无奇点，在上半平面仅有二阶极点ai ，所以 （2分）]),([Re 2)(2222ai z f s i dx a x xπ=+⎰∞+∞（1分） a ai z zai i aiz zi aiz aiz 2)(2lim2])[(lim 232πππ=+='+=→→（3分）4．dxx⎰+202sin11π解：由三角函数公式⎰⎰-=-+===========ππ020c o s 32)2c o s 1(211tdt xt x dxI（1分） ⎰⎰-=-=-πππ20cos 321cos 321t dt tdt（2分）令itez =，则zz t izdz dt 21cos ,2+==，于是⎰⎰==+-=+-=1212161213121z Z dzz z i iz dzzz I （1分） 被积函数161)(2+-=z z z f 在1=z 内只有一阶极点830-=z ，由公式241]16[1lim]),([Re 200-='+-=→z z z z f s z z故由留数定理222412ππ=-=ii I（2分）六、（6分）求上半单位圆域}0Im ,1||:{><z z z 在映射2z w =下的象.解：令θi re z =，则πθ<<<0,1rϕθρi i e e r z ==222，πθϕρ220,12<=<<=r（3分）故2z w =将上半单位圆域映射为1||<w 且沿0到1的半径有割痕.（3分）七、（8分）求一映射，将半带形域0,22><<-y x ππ映射为单位圆域.2z w =x 11zez=x3134+=zzizizw+-=552iieieiieieizzizzwiziziziz+-+--+=+-+--+=22233233)11()11()11()11(故（2分）（1分）（2分）（2分）（1分）八、（6分）设)(z f 在1||<z 内解析，在闭圆1||≤z 上连续，且1)0(=f ，证明：⎰='±=+±1||2))0(2()()]1(2[z i f zdz z f z z π证：由于⎰=+±1||)()]1(2[z zdz z f z z⎰=+±=1||22])()1()(2[z dzzz f z z z f⎰⎰==+±=1||1||22)()1()(2z z dzzz f z dz zz f（2分） ))0(2(2}])()1[()0(2{202f i z f z f i z '±='+±==ππ （4分）九、（8分）用Laplace 变换求解常微分方程： ⎩⎨⎧=='=''-=-'+''-'''2)0(,1)0()0(133y y y y y y y解：在方程两边取拉氏变换，并用初始条件得 ))0()0()((3)0()0()0()(223y Sy S Y S y y S y S S Y S '---''-'-- S S Y y S SY 1)())0()((3-=--+（4分）)3()33(211)()133(223-++-+-=-+-S S SSS Y S SS)1452(123-+-=S S S S2)1)(12(1--=S S S即 111)1(12)(-+=--=S SS S S S Y（2分） 故 1)]([)(1+==-te S Y t y L（2分）复变函数与积分变换模拟课程考试试卷6系别___________ 班级__________ 学号__________________ 姓名___________一、填空（每题3分，共24分）1．复数()ii z --=1132的模为_________，辐角为____________.2．曲线()2z i t =+在映射2w z =下的象曲线为____________.3．ii =____________.4．0z =为函数()81cos zfz z-=的_____级极点；在该点处的留数为_____.5．函数()Im Re f z z z z=-仅在z =____________处可导.6．设()2sin2fz d zξπξξξ==-⎰ ，其中2z ≠，则()1f '=_______.7. 在映射2w z iz =-下，z i =处的旋转角为_______，伸缩率为______.8．已知()()()()12,,tf t e u t f t t u t ==则它们的卷积()()12f t f t *=____________.二、（10分）验证()22,22v x y x y x=-+是一调和函数，并构造解析函数()f z u iv=+满足条件()2fi i=-.三、计算下列各题（每小题5分，共25分）：1．41cos z d zz=⎰ . 2．211z z ze d z z π+=+⎰ .3.211sin d πθθ+⎰ .4.()2224xd xx+∞-∞+⎰.5. 用留数计算()22cos (0,0)bx I b dx a b xa+∞=>>+⎰，由此求出()221F aωω=+的傅里叶(Fourier)逆变换.四、（12分）把函数()211fz z=+在复平面上展开为z i -的洛朗级数.五、（6分）试求Z 平面上如图所示区域在映射z iw iz i π+=--下的象区域.8分）求一保形映射，把区域30Im 2R e 0z z π⎧<<⎪⎨⎪<⎩映射为区域1w <.七、（8分）用拉普拉斯(Laplace)变换求解微分方程2ty y e ''''+=满足初始条件()()()0000y y y '''===的解.八、证明题：（7分）1．设函数()f z在区域()z z R R r-<>>内除二阶极点z外处处解析，证明：()()04z z r f zdz i f zπ-='=-⎰.（4分）2．求积分1zzedzz=⎰，从而证明：()coscos sine dπθθθπ=⎰.（3分）复变函数与积分变换模拟课程考试试卷6解答一、填空1．, 5/12π- 2． 43v u=3．22k eππ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭4． 6, 0 5．（0，-1）6．07. 2π, 18．1tt e--+二、0,4,4=+-==yy xx yy xx v v v v ，故),(y x v 为调和函数。

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复变函数考试试题与答案各种总结

复变函数考试试题与答案各种总结

《复变函数》考试试题与答案各种总结(总24页)-CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1-CAL-本页仅作为文档封面，使用请直接删除《复变函数》考试试题（一）一、 判断题（20分）：1.若f(z)在z 0的某个邻域内可导，则函数f(z)在z 0解析. ( )2.有界整函数必在整个复平面为常数. ( )3.若}{n z 收敛，则} {Re n z 与}{Im n z 都收敛. ( )4.若f(z)在区域D 内解析，且0)('≡z f ，则C z f ≡)(（常数）. ( )5.若函数f(z)在z 0处解析，则它在该点的某个邻域内可以展开为幂级数. ( )6.若z 0是)(z f 的m 阶零点，则z 0是1/)(z f 的m 阶极点. ( )7.若)(lim 0z f z z →存在且有限，则z 0是函数f(z)的可去奇点. ( )8.若函数f(z)在是区域D 内的单叶函数，则)(0)('D z z f ∈∀≠. ( ) 9. 若f (z )在区域D 内解析, 则对D 内任一简单闭曲线C 0)(=⎰Cdz z f .( )10.若函数f(z)在区域D 内的某个圆内恒等于常数，则f(z)在区域D 内恒等于常数.（ ）二.填空题（20分）1、=-⎰=-1||00)(z z n z z dz__________.（n 为自然数）2.=+z z 22cos sin _________. 3.函数z sin 的周期为___________.4.设11)(2+=z z f ，则)(z f 的孤立奇点有__________.5.幂级数0n n nz ∞=∑的收敛半径为__________.6.若函数f(z)在整个平面上处处解析，则称它是__________.7.若ξ=∞→n n z lim ，则=+++∞→n z z z nn (i)21______________.8.=)0,(Re n zz e s ________，其中n 为自然数.9. zz sin 的孤立奇点为________ .10.若0z 是)(z f 的极点，则___)(lim 0=→z f z z .三.计算题（40分）：1. 设)2)(1(1)(--=z z z f ，求)(z f 在}1||0:{<<=z z D 内的罗朗展式.2. .cos 11||⎰=z dz z3. 设⎰-++=C d z z f λλλλ173)(2，其中}3|:|{==z z C ，试求).1('i f +4. 求复数11+-=z z w 的实部与虚部.四. 证明题.(20分)1. 函数)(z f 在区域D 内解析. 证明：如果|)(|z f 在D 内为常数，那么它在D 内为常数.2. 试证: ()f z 0Re 1z ≤≤的z 平面内能分出两个单值解析分支, 并求出支割线0Re 1z ≤≤上岸取正值的那支在1z =-的值.《复变函数》考试试题（一）参考答案一． 判断题1．×2．√ ３．√ ４．√ ５．√ 6．√ ７．×８．×９．×10．× 二．填空题1. 2101i n n π=⎧⎨≠⎩ ；2. 1；3. 2k π，()k z ∈；4. z i =±；5. 16. 整函数；7. ξ；8. 1(1)!n -； 9. 0； 10. ∞. 三．计算题.1. 解 因为01,z << 所以01z <<111()(1)(2)12(1)2f z z z z z ==-----001()22nn n n z z ∞∞===-∑∑. 2. 解 因为22212Re ()limlim 1cos sin z z z z s f z z z ππππ→→=+===--, 22212Re ()limlim 1cos sin z z z z s f z z zππππ→-→-=--===-. 所以22212(Re ()Re ()0cos z z z dz i s f z s f z z πππ==-==+=⎰.3. 解 令2()371ϕλλλ=++, 则它在z 平面解析, 由柯西公式有在3z <内,()()2()c f z dz i z zϕλπϕλ==-⎰. 所以1(1)2()2(136)2(613)z i f i i z i i i πϕππ=+''+==+=-+. 4. 解 令z a bi =+, 则 222222122(1)2(1)211111(1)(1)(1)z a bi a bw z z a b a b a b -+-+==-=-=-+++++++++. 故 2212(1)Re()11(1)z a z a b -+=-+++, 2212Im()1(1)z bz a b -=+++. 四. 证明题.1. 证明 设在D 内()f z C =.令2222(),()f z u iv f z u v c =+=+=则.两边分别对,x y 求偏导数, 得 0(1)0(2)x x yy uu vv uu vv +=⎧⎨+=⎩因为函数在D 内解析, 所以,x y y x u v u v ==-. 代入 (2) 则上述方程组变为x x x x uu vv vu uv +=⎧⎨-=⎩. 消去x u 得, 22()0x u v v +=. 1) 若220u v +=, 则 ()0f z = 为常数.2) 若0x v =, 由方程 (1) (2) 及 ..C R -方程有0,x u = 0y u =, 0y v =.所以12,u c v c ==. (12,c c 为常数). 所以12()f z c ic =+为常数.2.证明()f z =0,1z =. 于是割去线段0Re 1z ≤≤的z 平面内变点就不可能单绕0或1转一周, 故能分出两个单值解析分支.由于当z 从支割线上岸一点出发,连续变动到0,1z = 时, 只有z 的幅角增加π. 所以()f z =2π. 由已知所取分支在支割线上岸取正值, 于是可认为该分支在上岸之幅角为0, 因而此分支在1z =-的幅角为2π, 故2(1)if eπ-==.《复变函数》考试试题（二）一. 判断题.（20分）1. 若函数),(),()(y x iv y x u z f +=在D 内连续，则u (x,y )与v (x,y )都在D 内连续.( )2. cos z 与sin z 在复平面内有界. ( )3. 若函数f (z )在z 0解析，则f (z )在z 0连续. ( )4. 有界整函数必为常数. ( )5. 如z 0是函数f (z )的本性奇点，则)(lim 0z f z z →一定不存在. ( )6. 若函数f (z )在z 0可导，则f (z )在z 0解析. ( )7. 若f (z )在区域D 内解析, 则对D 内任一简单闭曲线C 0)(=⎰Cdz z f .( )8. 若数列}{n z 收敛，则}{Re n z 与}{Im n z 都收敛. ( ) 9. 若f (z )在区域D 内解析，则|f (z )|也在D 内解析. ( ) 10. 存在一个在零点解析的函数f (z )使0)11(=+n f 且,...2,1,21)21(==n nn f . ( ) 二. 填空题. (20分)1. 设i z -=，则____,arg __,||===z z z2.设C iy x z y x i xy x z f ∈+=∀+-++=),sin(1()2()(222，则=+→)(lim 1z f iz ________.3. =-⎰=-1||00)(z z n z z dz_________.（n 为自然数） 4. 幂级数0n n nz ∞=∑的收敛半径为__________ .5. 若z 0是f (z )的m 阶零点且m >0，则z 0是)('z f 的_____零点.6. 函数e z 的周期为__________.7. 方程083235=++-z z z 在单位圆内的零点个数为________. 8. 设211)(z z f +=，则)(z f 的孤立奇点有_________. 9. 函数||)(z z f =的不解析点之集为________.10. ____)1,1(Res 4=-zz . 三. 计算题. (40分)1. 求函数)2sin(3z 的幂级数展开式. 2. 在复平面上取上半虚轴作割线. 试在所得的区域内取定函数z 在正实轴取正实值的一个解析分支，并求它在上半虚轴左沿的点及右沿的点i z=处的值.3. 计算积分：⎰-=iiz z Id ||，积分路径为（1）单位圆（1||=z ）的右半圆.4. 求dzz zz ⎰=-22)2(sin π.四. 证明题. (20分)1. 设函数f (z )在区域D 内解析，试证：f (z )在D 内为常数的充要条件是)(z f 在D 内解析.2. 试用儒歇定理证明代数基本定理.《复变函数》考试试题（二）参考答案一. 判断题.1．√ ２．×３．√ ４．√ ５．×6．×７．×８．√ ９．×10．×. 二. 填空题 1.1，2π-， i ； 2. 3(1sin 2)i +-； 3. 2101i n n π=⎧⎨≠⎩； 4. 1； 5. 1m -. 6. 2k i π，()k z ∈. 7. 0； 8. i ±； 9. R ； 10. 0. 三. 计算题1. 解 3212163300(1)(2)(1)2sin(2)(21)!(21)!n n n n n n n z z z n n +++∞∞==--==++∑∑.2. 解 令i z re θ=.则22(),(0,1)k if z k θπ+===.又因为在正实轴去正实值，所以0k =. 所以4()if i e π=.3. 单位圆的右半圆周为i z e θ=, 22ππθ-≤≤.所以22222ii i iz dz de ei ππθθππ---===⎰⎰.4. 解dz z zz ⎰=-22)2(sin π2)(sin 2ππ='=z z i 2cos 2ππ==z zi =0.四. 证明题.1. 证明 (必要性) 令12()f z c ic =+,则12()f z c ic =-. (12,c c 为实常数). 令12(,),(,)u x y c v x y c ==-. 则0x y y x u v u v ====. 即,u v 满足..C R -, 且,,,x y y x u v u v 连续, 故()f z 在D 内解析. (充分性) 令()f z u iv =+, 则 ()f z u iv =-,因为()f z 与()f z 在D 内解析, 所以,x y y x u v u v ==-, 且(),()x y y y x x u v v u v v =-=-=--=-.比较等式两边得 0x y y x u v u v ====. 从而在D 内,u v 均为常数,故()f z 在D 内为常数.2. 即要证“任一 n 次方程 101100(0)n n n n a z a z a z a a --++⋅⋅⋅++=≠ 有且只有 n个根”.证明 令1011()0nn n n f z a z a z a z a --=++⋅⋅⋅++=, 取10max ,1n a a R a ⎧⎫+⋅⋅⋅+⎪⎪>⎨⎬⎪⎪⎩⎭, 当z 在:C z R =上时, 有 111110()()n n n n n n z a R a R a a a R a R ϕ---≤+⋅⋅⋅++<+⋅⋅⋅+<.()f z =.由儒歇定理知在圆 z R < 内, 方程10110n n n n a z a z a z a --++⋅⋅⋅++= 与 00n a z = 有相同个数的根. 而 00n a z = 在 z R < 内有一个 n 重根 0z =. 因此n 次方程在z R < 内有n 个根.《复变函数》考试试题（三）一. 判断题. (20分).1. cos z 与sin z 的周期均为πk2. ( ) 2. 若f (z )在z 0处满足柯西-黎曼条件, 则f (z )在z 0解析. ( )3. 若函数f (z )在z 0处解析，则f (z )在z 0连续. ( )4. 若数列}{n z 收敛，则}{Re n z 与}{Im n z 都收敛. ( )5. 若函数f (z )是区域D 内解析且在D 内的某个圆内恒为常数，则数f (z )在区域D 内为常数. ( )6. 若函数f (z )在z 0解析，则f (z )在z 0的某个邻域内可导. ( )7. 如果函数f (z )在}1|:|{≤=z z D 上解析,且)1|(|1|)(|=≤z z f ,则)1|(|1|)(|≤≤z z f .（ ）8. 若函数f (z )在z 0处解析，则它在该点的某个邻域内可以展开为幂级数.( )9. 若z 0是)(z f 的m 阶零点, 则z 0是1/)(z f 的m 阶极点. ( ) 10. 若0z 是)(z f 的可去奇点，则0)),((Res 0=z z f . ( )二. 填空题. (20分) 1. 设11)(2+=z z f ，则f (z )的定义域为___________. 2. 函数e z 的周期为_________. 3. 若n n ni n n z )11(12++-+=，则=∞→n z n lim __________.4. =+z z 22cos sin ___________.5. =-⎰=-1||00)(z z n z z dz_________.（n 为自然数） 6. 幂级数∑∞=0n n nx 的收敛半径为__________.7. 设11)(2+=z z f ，则f (z )的孤立奇点有__________.8. 设1-=ze，则___=z .9. 若0z 是)(z f 的极点，则___)(lim 0=→z f z z .10. ____)0,(Res =n zze .三. 计算题. (40分)1. 将函数12()zf z z e =在圆环域0z <<∞内展为Laurent 级数.2. 试求幂级数nn n z nn ∑+∞=!的收敛半径.3. 算下列积分：⎰-C z z z ze )9(d 22，其中C 是1||=z .4. 求0282269=--+-z z z z在|z |<1内根的个数.四. 证明题. (20分) 1. 函数)(z f 在区域D 内解析. 证明：如果|)(|z f 在D 内为常数，那么它在D 内为常数. 2. 设)(z f 是一整函数，并且假定存在着一个正整数n ，以及两个正数R 及M ，使得当R z ≥||时n z M z f |||)(|≤，证明)(z f 是一个至多n 次的多项式或一常数。

复变函数考试试题及参考答案

复变函数考试试题及参考答案

复变函数考试试题及参考答案下面是十道复变函数考试试题(一)的参考试题及答案：1.计算下列复数的幂函数：$z=1+i$,$n=3$。

答案：$(1+i)^3=-2+2i$。

2.计算下列复数的幂函数：$z=-2+i$,$n=4$。

答案：$(-2+i)^4=7-24i$。

3.求解方程：$z^2+4z+5=0$。

答案：可以使用求根公式求解，$(z+2)^2+1=0$，得到两个解：$z_1=-2+i$和$z_2=-2-i$。

4. 计算下列复数的极坐标形式：$z = 3e^{i \pi/6}$。

答案：$z = 3\cos(\pi/6) + 3i\sin(\pi/6) = \frac{3}{2} + \frac{3\sqrt{3}}{2}i$。

5.计算下列复数的共轭复数：$z=2-i$。

答案：$z^*=2+i$。

6. 将下列复数表示为共轭形式：$z = 4e^{i \pi/3}$。

答案：$z = 4\cos(\pi/3) + 4i\sin(\pi/3) = 4(\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}i) = 2 + 2\sqrt{3}i$。

7.计算下列复数的实部和虚部：$z=3+2i$。

答案：实部为3，虚部为28.计算下列复数的模长：$z=-4+3i$。

答案：$，z， = \sqrt{(-4)^2 + 3^2} = \sqrt{16 + 9} = \sqrt{25} = 5$。

9.求复数的幂函数：$z=-1-i$,$n=2$。

答案：$(-1-i)^2=1-2i-1=-2i$。

10. 求复数的幂函数：$z = \sqrt{3} + i$, $n = 3$。

答案：$(\sqrt{3} + i)^3 = -2\sqrt{3} + 2i$。

复变函数

复变函数

《复变函数》试题（十）一、 判断题（4x10=40分）：1、若函数f (z )在z 0解析，则f (z )在z 0的某个邻域内可导。

（ ）2、如果z 0是f (z )的本性奇点，则)(lim 0z f z z →一定不存在。

（ ） 3、若函数),(),()(y x iv y x u z f +=在D 内连续，则u (x,y )与v (x,y )都在D 内连续。

( )4、cos z 与sin z 在复平面内有界。

（ ）5、若z 0是)(z f 的m 阶零点，则z 0是1/)(z f 的m 阶极点。

（ ）6、若f (z )在z 0处满足柯西-黎曼条件，则f (z )在z 0解析。

（ ）7、若)(lim 0z f z z →存在且有限，则z 0是函数的可去奇点。

（ ） 8、若f (z )在单连通区域D 内解析，则对D 内任一简单闭曲线C 都有0)(=⎰Cdz z f 。

（ ）9、若函数f (z )是单连通区域D 内的解析函数，则它在D 内有任意阶导数。

（ ）二、填空题（4x5=20分）1、函数e z 的周期为__________。

2、幂级数∑+∞=0n n nz 的和函数为__________。

3、设11)(2+=z z f ，则f (z )的定义域为___________。

4、∑+∞=0n n nz 的收敛半径为_________。

5、=)0,(Res n zze _____________。

三、计算题（8x5=40分）：1、.))(9(2||2⎰=+-z dz i z z z 2、求).,1(Res 2i z e iz-+3、nn i i ⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛+2121。

4 设22(,)ln()u x y x y =+。

求),(y x v ，使得),(),()(y x iv y x u z f +=为解析函数，且满足(1)ln 2f i +=。

其中D z ∈（D 为复平面内的区域）。

5、求0154=+-z z ，在|z|<1内根的个数《复变函数》试题（十一）一、判断题。

《复变函数》考试试题与答案各种总结.docx

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---《复变函数》考试试题（一）一、判断题（ 20 分）：1. 若 f(z) 在 z 0 的某个邻域内可导，则函数f(z) 在 z 0 解析 .2. 有界整函数必在整个复平面为常数.3. 若{ z n }收敛，则{Re z n } 与{Im z n }都收敛 .4. 若 f(z) 在区域 D 内解析，且f '( z)，则f ( z) C（常数） 5. 若函数 f(z) 在 z 0 处解析，则它在该点的某个邻域内可以展开为幂级数6. 若 z 0 是 f ( z)的 m 阶零点，则 z 0 是 1/f (z)的 m 阶极点 .lim f ( z)7. 若 zz 0存在且有限，则 z 0 是函数 f(z) 的可去奇点 .( ) ( ) ( ). ( ).( )()()8. 若函数 f(z) 在是区域 D 内的单叶函数，则f ' (z) 0( zD ).()9. 若 f(z)在区域 D 内解析 , 则对 D 内任一简单闭曲线Cf z dz.( )C( )10. 若函数 f(z) 在区域 D 内的某个圆内恒等于常数，则 f(z)在区域 D 内恒等于常数 . （）二. 填空题（ 20 分）1、|z z 0 |dz__________. （ n 为自然数）1 ( z z )n2.sin 2zcos 2z_________.3. 函数sin z的周期为 ___________.f (z)z 2 11，则f ( z)的孤立奇点有 __________.4.设5. 幂级数nz n 的收敛半径为 __________.n 06. 若函数 f(z) 在整个平面上处处解析，则称它是__________.lim z nlimz 1z 2 ...z n7. 若 n，则 nn______________.Res(e z8.n,0)________，其中 n 为自然数 .z---9.sin z的孤立奇点为 ________ .z若z 0 是 f (z)lim f (z)___10. 的极点，则z z.三. 计算题（ 40 分）：f (z)11. 设(z 1)( z 2) ，求 f ( z) 在 D { z : 0 | z | 1} 内的罗朗展式 .1dz.|z| 1cos z2.3. 设f ( z)3 271d{ z :| z | 3} ，试求 f ' (1 i ).Cz，其中 Cz 1w1 的实部与虚部 .4.求复数z四 . 证明题 .(20 分 )1. 函数f (z)在区域 D 内解析 . 证明：如果 | f ( z) |在 D 内为常数，那么它在D 内为常数 .2. 试证 : f ( z) z(1 z) 在割去线段 0Re z 1 的 z 平面内能分出两个单值解析分支,并求出支割线0 Re z 1上岸取正值的那支在 z 1的值 .《复变函数》考试试题（一）参考答案一． 判断题1．× 2．√ ３．√ ４．√５．√6．√ ７．×８．×９．× 10．×二．填空题2 in1 2.1 ；3. 2k ， ( k z) ；4.z i ； 5.11.n；16. 整函数；7. ； 1 ； 9. 0； 10..8.(n 1)!三．计算题 .1. 解因为 0 z 1, 所以 0 z 1f ( z)1 1 1 z zn1 ( z )n.( z 1)(z 2) 1 z 2(1 )n 02 n 0 22---2.解因为z21Re s f (z)lim lim,cosz sin z1 z z z222Re s f (z)lim z2lim1 1 . cosz sin zz z z2 22所以1dz2i(Re s f (z)Re s f (z)0. z2 cosz z2z23.解令 ()3271,则它在 z 平面解析,由柯西公式有在z 3内,f (z)c ()dz2i(z) . z所以 f (1i )2i( z) z 1 i2i (136i )2(613i ) .4.解令 z a bi ,则w z 11212( a1bi )12( a1)2b2. z 1z 1222b22b( a 1) b( a 1)(a 1)z12(a1)z12bb2 .故 Re( z1)1( a1)2b2,Im(z1)(a1)2四. 证明题 .1.证明设在 D 内 f (z) C .令 f ( z) u iv ,2u2v2c2.则 f ( z)两边分别对 x, y 求偏导数,得uu x vv x0(1) uu y vv y0(2)因为函数在 D 内解析,所以 u x v y ,u y v x.代入 (2)则上述方程组变为uu x vv x0 .消去 u x得,(u2v2 )v x0 .vu x uv x01)若 u2v20 ,则 f (z)0 为常数.2)若 v x0,由方程(1) (2) 及C.R.方程有u x0,u y0 , v y0 .所以 u c1, v c2. ( c1 ,c2为常数).---所以 f ( z) c 1 ic 2 为常数 .2. 证明 f ( z)z(1 z) 的支点为 z 0,1 . 于是割去线段 0 Re z 1 的 z 平面内变点就不可能单绕 0 或 1 转一周 , 故能分出两个单值解析分支 .由于当 z 从支割线上岸一点出发 ,连续变动到 z0,1 时 , 只有 z 的幅角增加. 所以f ( z)z(1 z) 的幅角共增加. 由已知所取分支在支割线上岸取正值 , 于是可认为该分2z1的幅角为, 故 f ( 1)i2i .支在上岸之幅角为 0,因而此分支在2e22《复变函数》考试试题（二）一. 判断题 . （20 分）1. 若函数 f ( z)u( x, y) iv ( x, y) 在 D 内连续，则 u(x,y)与 v(x,y)都在 D 内连续 .( ) 2. cos z 与 sin z 在复平面内有界 .()3.若函数 f(z)在 z 解析，则 f(z)在 z 连续 .()0 04. 有界整函数必为常数 .一定不存在 .()5. 如 0是函数f(z)的本性奇点，则 lim f ( z) ()zz z 06. 若函数 f(z)在 z 0 可导，则 f(z)在 z 0 解析 .()7.若 f(z)在区域 D 内解析 , 则对 D 内任一简单闭曲线 Cf (z)dz0 .C( ) 8. 若数列 { z n } 收敛，则 {Re z n } 与 {Im z n } 都收敛 .() 9. 若 f(z)在区域 D 内解析，则 |f(z)|也在 D 内解析 .()10. 存在一个在零点解析的函数1 ) 0 1 1 1,2,... .f(z) 使 f (且 f ( ) ,nn 1 2n 2n( )二 . 填空题 . (20 分)1. 设 zi ，则 | z | __,arg z__, z __2.设 f (z) ( x 22xy) i(1 sin( x 2y 2 ), z x iy C ，则 limf ( z) ________.z 1i3.|z z 0| 1(zdz_________.z )n（ n 为自然数）---4.幂级数 nz n的收敛半径为__________ .n05.若 z0是 f(z)的 m 阶零点且 m>0，则 z0是f '( z)的 _____零点 .6.函数 e z的周期为 __________.7.方程 2z5z33z 8 0 在单位圆内的零点个数为________.8.设 f ( z)1，则 f (z) 的孤立奇点有_________.21z9.函数 f ( z) | z | 的不解析点之集为________.10. Res(z41,1) ____ . z三. 计算题 . (40 分)1.求函数sin( 2z3)的幂级数展开式 .2.在复平面上取上半虚轴作割线 . 试在所得的区域内取定函数z在正实轴取正实值的一个解析分支，并求它在上半虚轴左沿的点及右沿的点 z i 处的值.i3.计算积分： I| z | dz，积分路径为（1）单位圆（ | z | 1）i的右半圆 .sin z dzz 2(z) 24.求2.四. 证明题 . (20 分)1. 设函数 f(z)在区域 D 内解析，试证： f(z)在 D 内为常数的充要条件是 f (z) 在D内解析 .2.试用儒歇定理证明代数基本定理 .《复变函数》考试试题（二）参考答案一.判断题 .1．√２．×３．√４．√ ５．× 6．×７．×８．√９．× 10．× .二.填空题---1.1 ，， i ；2. 3(1sin 2)i ；3.2 i n14. 1；5. m 1 . 0n；216.2k i ，( k z) .7. 0；8. i；9.R ；10. 0.三.计算题1.解 sin(2 z3 )( 1)n (2 z3 )2 n 1(1)n 22n 1 z6n3.n 0(2 n1)!n 0(2n1)!2.解令 z re i.2 ki则 f ( z)z re2,(k0,1).又因为在正实轴去正实值，所以k0 .所以 f (i)ie 4.3.单位圆的右半圆周为z e i,ide i e i 所以 zdz22i22 4.解.2 2 2i .即 u, v 满足 C.R.,且u x , v y , u y ,v x连续 , 故f ( z)在D内解析 .( 充分性 ) 令f ( z)u iv, 则 f ( z)u iv ,因为 f ( z) 与 f ( z) 在D内解析,所以u x v y , u y v x,且 u x ( v) y v y , u y( v x )v x.比较等式两边得u x v y u y v x0 .从而在 D 内 u, v 均为常数,故f ( z)在 D 内为常数.2. 即要证“任一n次方程a0 z n a1z n1a n 1z a n0(a00) 有且只有n 个根”.证明令 f (z)a0 z n a1z n 1a n1za n0 ,取 R max a1a n,1 ,当 za0在 C : z R 上时,有(z)a1 R n 1an 1R a n( a1a n )R n 1a0R n.f ( z) .由儒歇定理知在圆z R 内,方程 a0 z n a1z n 1a n 1z a n0与 a0 z n0有相---同个数的根 . 而 a 0 z n 0 在 z R 内有一个 n 重根 z 0 . 因此 n 次方程在 z R 内有 n 个根 .《复变函数》考试试题（三）一 . 判断题 . (20 分).1. cos z 与 sin z 的周期均为 2k .( )2. 若 f ( z) 在 z 0 处满足柯西 - 黎曼条件 , 则 f ( z) 在 z 0 解析 . ( )3. 若函数 f ( z) 在 z 0 处解析，则 f ( z) 在 z 0 连续 . ( )4. 若数列 { z n } 收敛，则 {Re z n } 与 {Im z n } 都收敛 .( )5.若函数 f ( z) 是区域 D 内解析且在 D 内的某个圆内恒为常数，则数 f ( z) 在区域 D 内为常数 . ( )6. 若函数 f ( z) 在 z 0 解析，则 f ( z) 在 z 0 的某个邻域内可导 . ()7.如果函数 f ( z) 在 D{ z :| z | 1} 上解析 , 且 | f (z) | 1(| z | 1) , 则| f ( z) | 1(| z | 1) .（ ）8.若函数 f ( z) 在 z 0处解析，则它在该点的某个邻域内可以展开为幂级数.( ) 9. 若 z 0 是 f ( z) 的 m 阶零点 , 则 z 0 是 1/ f ( z) 的 m 阶极点 . ( )10.若z 0 是 f (z)的可去奇点，则 Res( f ( z), z 0 ) 0. ( )二 . 填空题 . (20 分)1. 设 f ( z)1 ，则 f ( z) 的定义域为 ___________.2 z 12. 函数 e z 的周期为 _________.3. 若 z nn 2 i (1 1) n ，则 lim z n__________.1 nnn4. sin 2 z cos 2 z___________.dz5.|z z 0 | 1(z z )n（ n 为自然数）_________.6. 幂级数nx n 的收敛半径为 __________.n设 f (z) 1f z 的孤立奇点有z 2 1，则7.( ) __________.ez---9.若 z 是 f (z)的极点，则 lim f (z) ___ .z z 0z10.Res(en ,0) ____ .z三 . 计算题 . (40 分)11. 将函数 f ( z) z 2e z 在圆环域 0 z内展为 Laurent 级数 .2. 试求幂级数n!z n的收敛半径 .n nn3. 算下列积分：e zdz，其中 C是| z |1.Cz 2 (z29)4. 求 z92z6z 28z 2 0 在| z|<1内根的个数 .四 . 证明题 . (20 分)1.函数 f (z) 在区域 D 内解析 . 证明：如果 | f ( z) |在 D 内为常数，那么它在D 内为常数 .2.设 f (z) 是一整函数，并且假定存在着一个正整数 n ，以及两个正数 R 及 M ，使得当 | z|R 时| f ( z) |M | z |n，证明 f (z) 是一个至多 n 次的多项式或一常数。