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用圆锥曲线的定义求一类最值问题

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收稿日期:2009-08-25
用圆锥曲线的定义求一类最值问题
安永宏
1 石永福2
1.西北师范大学实验中学,甘肃兰州 730070;
2.西北师范大学实验室与设备管理处,甘肃兰州 730070

摘 要:数学定义是揭示数学概念内涵的逻辑方法.用数学定义解题,就是抓住数学概念的内涵,运
用清楚确切的数学语言进行逻辑推理、演算、变形,直接得出所要的结论,熟练掌握并灵活运用数学
定义解题,常可获得简捷合理的解题途径,本文剖析几例运用圆锥曲线的定义求一类最值问题,以期
强调数学定义在解题中的作用.
关键词:数学定义;圆锥曲线;最值
中图分类号:O123.3

定义是分析、解决问题的重要依据,巧妙
简捷的解题常常来源于对定义的恰当合理的应用,只有熟练掌握定义的本质属性,把握其内涵与外延,才能灵活地应用定义解题.利用代数的方法研究几何问题是解析几何的基本特点,因此,在解题的过程中计算量比较大,对运算能力有较高的要求,但计算要根据题目中曲线的特点和相互之间的关系进行,所以曲线的定义和性质是解题的基础.椭圆、双曲线、抛物线除了有各自的定义外,同时,这3种曲线均为平面截圆锥面所得的截线,其本质是统一的,只是由于平面与圆锥轴线交角的不同而产生这3种曲线的差异.即:¹当截面与圆锥底面的夹角小于圆锥母线与圆锥底面的夹角时,截线是椭圆;º当截面与圆锥底面的夹角等于圆锥母线与圆锥底面的夹角时,截线是抛物线;»当截面与圆锥底面的夹角大于圆锥母线与圆锥底面的夹角时,截线是双曲线,为了同时得到双曲线的两支,可以用平面去截对顶圆锥(把圆锥的每一条母线向两方无限延长得到,有两叶,有共同的锥顶).希腊数学家帕普斯在他的著作5汇篇6中,完善了欧几里得关于圆锥曲线的统一定义,并对这一定理进行了证明.他指出,平面内一定点F和一定直线AB,从平面内的动点M向AB引垂线,垂足为C,若
|MF|B|MC|的值一定,则当|MF|B|MC|
的值小于1时,动点M的轨迹是椭圆,等于1
时是抛物线,大于1时是双曲线,该定义一直
沿用至今.
以圆锥曲线为载体的最值问题的求解,
是解析几何中的一类重要问题.既然圆锥曲
线有统一的定义,那么,当已知定点在某类圆
锥曲线的内部时,求与曲线上动点有关的这
类最值问题,若能灵活运用圆锥曲线定义,从
两种定义出发,将问题转化为平面几何中的
问题,通过数形结合可得出解决问题的方案,
往往会化难为易,化繁为简,有快捷准确、简
洁明了之效.下面举例说明用圆锥曲线的定
义求一类最值问题.

例1 已知点M和F分别是椭圆x225+
y
2
9
=1上的动点和右焦点,椭圆内有一定点

B(2,2).求:
(Ñ)|MF|+|MB|的最大值及最小值;

(Ò)54|MF|+|MB|的最小值.
解 (Ñ)设Fc为椭圆的左焦点,由椭圆

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第28卷第10期 2009年10月 数学教学研究
第一定义得|MFc|+|MF|=2a=10,即 |MF|=10-|MFc|,|MF|+|MB|=10-|MFc|+|MB|=10-(|MFc|-|MB|),在vMFcB中,||MFc|-|MB||[|FcB|=210,即 -210[|MFc|-|MB|[210,当且仅当M,Fc,B三点共线时取等号.图1如图1可知当M处于M1位置时,|MFc|-|MB|取最大值210,此时|MF|+|MB|的最小值为10-210;当M处于M2位置时,|MFc|-|MB|取最小值10-210,此时|MF|+|MB|的最大值为10+210.(Ò)作MH垂直右准线x=254于H,由椭圆第二定义得|MF||MH|=e=45.即 |MF|=45|MH|.则 54|MF|+|MB|=|MH|+|MB|.作BH1垂直右准线x=254于H1,交椭圆于M1,由直线外一点和直线上各点的连线图2中,垂线段最短可知|MH|+|MB|\|BH1|=174.如图2可知,当M处于M1位置时,54|MF|+|MB|取最小值为174.例2 已知双曲线x216-y29=1内有一点A(6,3),F为其右焦点,P为双曲线右支上一
动点,求|PF|+|PA|的最小值.
解 设Fc为双曲线的左焦点,由双曲线
第一定义得
|PFc|-|PF|=2a=8,
即 |PF|=|PFc|-8,
则 |PF|+|PA|=|PFc|+|PA|-8.
在vPFcA中,
|PFc|+|PA|\|FcA|=130,
当且仅当P,Fc,A三点共线时取等号.

图3
如图3可知动点P处于
P1位置时,|PFc|+|PA|取
最小值130,此时|PF|+|
PA|的最小值为130-8.
例3 抛物线y2=4x内
有一点A(3,2),F为其焦点,P为抛物线上
一动点,求|PF|+|PA|的最小值.
解 作PK垂直准线x=-1于K,由抛
物线的定义得|PF|=|PK|,即
|PF|+|PA|=|PK|+|PA|.

图4
作AK1垂直准线x=-1
于K1,交抛物线于P1,P由直
线外一点和直线上各点的连线
中,垂线段最短可知
|PK|+|PA|\|AK1|=4.
如图4可知,当P处于P
1

位置时,|PF|+|PA|取最小值为4.

参考文献
[1] 章幸辛.例析运用数学定义解题[J].中学数学
研究,2009,(5).
[2] 肖家洪.数学是什么[J].零陵学院学报,2004,
(8).
[3] 吴文俊.中国大百科全书#数学卷[M].北京:
中国大百科全书出版社,1995.
[4] 史仰峰.用线束作圆锥曲线的方法及其证明
[J].数学通报,1981,(7).

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数学教学研究 第28卷第10期 2009年10月

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求圆锥曲线最值问题的常用方法

求圆锥曲线最值问题的常用方法


Ａ＝ 一 ＝ （
１
＝
—
） （ 一
） ＝ １（
一
＋ 脚
）
３一）孚］ ∈～ （了。 。 （ａ ｐａ＋ Ｐ０３ ４ ３
解 （） １ 由题意知，： ６ ：。 一 ， ＋ 。√， ： ： ３由
ａ ａ — ｊ
：
当 ＝ ， 。又 ＜ ３ ｐ等 Ａ １，０ｐ ａ ＝ ２ ≤ ，
３
题 编）知 圆 ：＋ １ 改 已 椭 Ｅ 予＝ 。 等 。
直 线 ： （ ＞ ） 曲线 Ｅ交于 不 同 ｔｔ ０ 与
／ ，
＼
／ ＼
—
的两点 Ｍ， 以线段 Ｍ Ｎ， Ｎ为直径作圆 Ｃ， 圆心为 Ｃ 。若 圆 Ｃ与 Ｙ轴相交于 不同的两点 Ａ Ｂ求 ３ Ｂ ， ， Ａ Ｃ的面积的最大值。 解 依题意 ， 圆心为 Ｃ ｔ ） ０＜ ＜２ 。 （ ， （ ｔ ） ０
下 ：
由
融 字。
。
—
所 以 圆 ｃ的半 径 为 ， ：
１定 义 法 ．
因为圆 Ｃ与 ｙ轴相交于不 同的两点 Ａ， 且 圆心 Ｃ到 Ｂ，
，
， Ｖ￣ － ｔ Ｔ／ ￣－ 例ｒ（１ 南 市 模）知 圆 告＝，ｙ轴的距离 ｄ＝￡所 以 ０＜ｆ＜—／ 厂 ３２ 即 ０＜ｆ＜２， ２１ 阳 一 已 椭 ＋ １ ０年
最值 ， 在求 圆锥 曲线 的最值 问题 中 ， 圆锥 曲线 的定义 、 几何 性质也是解决某些简单最值问题的关键 。
２ 基 本 不 等 式 法 ．
例 ２ （０１ ２１ 年广州调研考试试
等号 能够成 立 。其 中正 确应 用 “ 号成 立” 等 的 条件 是这种方 法关键 。
例 ３ （０ １年四川省 绵阳市三模 ） 椭圆 ２１ 设
高中数学-圆锥曲线中的定点、定值与最值问题

高中数学-圆锥曲线中的定点、定值与最值问题


[例 2] 如图，在平面直角
坐标系 xOy 中，椭圆xa22＋by22＝1(a>b>0)的左、
右焦点分别为 F1(－c,0)，F2(c,0)．已知点(1，e)
和e，
23都在椭圆上，其中
e
为椭圆的离心率．
(1)求椭圆的方程；
(2)设 A，B 是椭圆上位于 x 轴上方的两点，且直线 AF1 与直
线 BF2 平行，AF2 与 BF1 交于点 P，
法二：同(2)法一假设前内容． 假设平面内存在定点M满足条件，由图形对称性知，点M 必在x轴上． 取k＝0，m＝ 3，此时P(0， 3)，Q(4， 3)， 以PQ为直径的圆为(x－2)2＋(y－ 3)2＝4， 交x轴于点M1(1,0)，M2(3,0)； 取k＝－12，m＝2，此时P1，32，Q(4,0)， 以PQ为直径的圆为x－522＋y－342＝4156， 交x轴于点M3(1,0)，M4(4,0)．
因为 MP ＝－4mk－x1，m3 ， MQ ＝(4－x1,4k＋m)， 由 MP ·MQ ＝0，得－1m6k＋4kmx1－4x1＋x12＋1m2k＋3＝0， 整理，得(4x1－4)mk ＋x12－4x1＋3＝0.(**) 由于(**)式对满足(*)式的m，k恒成立， 所以4x1x2－1－4x41＝＋03，＝0， 解得x1＝1. 故存在定点M(1,0)，使得以PQ为直径的圆恒过点M.
圆锥曲线中的最值问题
[例3] 如图，在直角坐标系xOy中，点 P1，12到抛物线C：y2＝2px(p>0)的准线的距 离为54.点M(t,1)是C上的定点，A，B是C上的 两动点，且线段AB被直线OM平分．
(1)求p，t的值； (2)求△ABP面积的最大值．
[思路点拨] (1)利用点M(t,1)在曲线上及点P 1，12 到准线的距 离为54求p与t的值；
专题23 圆锥曲线中的最值、范围问题 微点1 圆锥曲线中的最值问题试题及答案

专题23 圆锥曲线中的最值、范围问题 微点1 圆锥曲线中的最值问题试题及答案

题型四、与面积有关的最值问题
例7．
7．已知点A(−2,0)，B(2,0)，动点M(x,y)满足直线AM与BM的斜率之积为− .记M的轨迹为曲线C.
（1）求C的方程，并说明C是什么曲线；
（2）过坐标原点的直线交C于P，Q两点，点P在第一象限，PE⊥x轴，垂足为E，连结QE并延长交C于点G.
（i）证明： 是直角三角形；
最值问题不仅解答题中分量较大，而且客观题中也时常出现．
一、常用方法
解决圆锥曲线中的最值问题，常见的方法有：
（1）函数法：一般需要找出所求几量的函数解析式，要注意自变量的取值范围．求函数的最值时，一般会用到配方法、均值不等式或者函数单调性．
（2）方程法：根据题目中的等量关系建立方程，根据方程的解的条件得出目标量的不等关系，再求出目标量的最值．
题型三、与向量有关的最值问题
例6．
6．如图，已知椭圆C1： ＋ ＝1(a>b>0)的右焦点为F，上顶点为A，P为椭圆C1上任一点，MN是圆C2：x2＋(y－3)2＝1的一条直径，在y轴上截距为3－ 的直线l与AF平行且与圆C2相切．
(1)求椭圆C1的离心率；
(2)若椭圆C1的短轴长为8，求 · 的最大值．
题型二、与角度有关的最值问题
例5．
5．在平面直角坐标系 中，椭圆 ： 的离心率为 ，焦距为 .
（Ⅰ）求椭圆 的方程；
（Ⅱ）如图，动直线 ： 交椭圆 于 两点， 是椭圆 上一点，直线 的斜率为 ，且 ， 是线段 延长线上一点，且 ， 的半径为 ， 是 的两条切线，切点分别为 .求 的最大值，并求取得最大值时直线 的斜率.
专题23 圆锥曲线中的最值、范围问题 微点1 圆锥曲线中的最值问题
专题23圆锥曲线中的最值、范围问题
有关圆锥曲线的三类最值问题

有关圆锥曲线的三类最值问题

圆锥曲线中的三类最值问题在选修1-1圆锥曲线中求有关距离最值问题主要有一下三个类型：一、圆锥曲线上一动点到一定点与到一焦点的距离和求最值方法：利用圆锥曲线的定义转化求最值法.根据圆锥曲线的定义，把所求的最值转化为平面上两点之间的距离、点线之间的距离等.例1：已知点F 1 、F 2是椭圆122x +32y =1的左右焦点，定点A （1，1），P 是椭圆上动点，则|PA|+|PF 2|的最小值、最大值分别为分析：根据椭圆定义：|PF 1|+|PF 2|=2a,∴|PF 2|=2a-|PF 1|,∴|PA|+|PF 2|=|PA|-|PF 1|+2a ，这样求|PA|+|PF 2|最值问题就转化为求|PA|-|PF 1|的最值问题.画出图知道当点P 、A 、F 1三点共线时取得最值.|PA|-|PF 1|的最小值为-|AF 1|，最大值为|AF 1|，∴|PA|+|PF 2|的最小值 为2a -|AF 1|、最大值为2a +|AF 1|.解：由椭圆定义知：|PA|+|PF 2|=|PA|-|PF 1|+2a 而-|AF 1|≤|PA|-|PF 1|≤|AF 1|，又由椭圆方程122x +32y =1，∴a=32,c=3,∴F 1(-3,0),∴|AF 1|=17,∴34―17≤|PA|+|PF 2|≤34+17 【点评】此类问题一般先利用圆锥曲线的定义转化，再结合三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边易知在共线处取得最值.请同学们动手做做一下几个题：1、已知点F 1 F 2是双曲线4x 2―122y =1的左右焦点，定点A （3，2），P 是双曲线上动点，则|PA|+|PF 2|的最小值为 .（提示：由题意可知点P 在双曲线右支，根据定义可知|PF 1|-|PF 2|=2a,∴|PF 2|=|PF 1|-2a,∴|PA|+|PF 2|=|PA|+|PF 1|-2a,∴求|PA|+|PF 2|最小值转化为求|PA|+|PF 1|的最小值。