【金版学案】高中数学 3.2.3 一元二次不等式的解法(习题课)同步训练 必修5

3.2 一元二次不等式及其解法（二）[学习目标] 1.会解可化为一元二次不等式(组)的简单分式不等式.2.能够从实际生活和生产中抽象出一元二次不等式的模型，并加以解决.3.掌握与一元二次不等式有关的恒成立问题的解法．知识点一分式不等式的解法主导思想：化分式不等式为整式不等式知识点二简单的一元高次不等式的解法一元高次不等式f(x)＞0常用数轴穿根法(或称根轴法、区间法)求解，其步骤是：(1)将f(x)最高次项的系数化为正数；(2)将f(x)分解为若干个一次因式或二次不可分解因式的积；(3)将每一个根标在数轴上，从右上方依次通过每一点画曲线(注意重根情况，偶重根穿而不过，奇重根既穿又过)；(4)根据曲线显现出的f(x)值的符号变化规律，写出不等式的解集．思考 (x －1)(x －2)(x －3)2(x －4)＞0的解集为______________． 答案 {x |1＜x ＜2或x ＞4} 解析 利用数轴穿根法知识点三 一元二次不等式恒成立问题对一元二次不等式恒成立问题，可有以下两种思路：(1)转化为一元二次不等式解集为R 的情况，即ax 2＋bx ＋c >0(a ≠0)恒成立⇔⎩⎪⎨⎪⎧a ＞0，Δ＜0Ｗ.ax2＋bx ＋c <0(a ≠0)恒成立⇔⎩⎪⎨⎪⎧a ＜0，Δ＜0Ｗ.(2)分离参数，将恒成立问题转化为求最值问题，即：k ≥f (x )恒成立⇔k ≥f (x )max ；k ≤f (x )恒成立⇔k ≤f (x )min ．题型一 分式不等式的解法 例1 解下列不等式：(1)x ＋43－x ＜0；(2)x ＋1x －2≤2. 解 (1)由x ＋43－x ＜0，得x ＋4x －3＞0，此不等式等价于(x ＋4)(x －3)＞0， ∴原不等式的解集为{x |x ＜－4或x ＞3}． (2)方法一 移项得x ＋1x －2－2≤0， 左边通分并化简有－x ＋5x －2≤0，即x －5x －2≥0，同解不等式为⎩⎪⎨⎪⎧（x －2）（x －5）≥0，x －2≠0，∴x ＜2或x ≥5.∴原不等式的解集为{x |x ＜2或x ≥5}． 方法二 原不等式可化为x －5x －2≥0，此不等式等价于⎩⎪⎨⎪⎧x －5≥0，x －2＞0①或⎩⎪⎨⎪⎧x －5≤0，x －2＜0，②解①得x ≥5，解②得x ＜2，∴原不等式的解集为{x |x ＜2或x ≥5}．反思与感悟 分式不等式的解法：先通过移项、通分整理成标准型f （x ）g （x ）＞0(<0)或f （x ）g （x ）≥0(≤0)，再化成整式不等式来解．如果能判断出分母的正负，直接去分母也可，注意不等号的方向变化．跟踪训练1 不等式x 2－2x －2x 2＋x ＋1<2的解集为( )A ．{x |x ≠－2}B ．RC ．∅D ．{x |x <－2或x >2} 答案 A解析 ∵x 2＋x ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋122＋34＞0，∴原不等式⇔x 2－2x －2<2x 2＋2x ＋2⇔x 2＋4x ＋4>0⇔(x＋2)2>0，∴x ≠－2.∴不等式的解集为{x |x ≠－2}． 题型二 解一元高次不等式 例2 解下列不等式： (1)x 4－2x 3－3x 2＜0； (2)1＋x －x 3－x 4＞0；(3)(6x 2－17x ＋12)(2x 2－5x ＋2)＞0. 解 (1)原不等式可化为x 2(x －3)(x ＋1)＜0， 当x ≠0时，x 2＞0，由(x －3)(x ＋1)＜0，得－1＜x ＜3； 当x ＝0时，原不等式为0＜0，无解． ∴原不等式的解集为{x |－1＜x ＜3，且x ≠0}． (2)原不等式可化为(x ＋1)(x －1)(x 2＋x ＋1)＜0， 而对于任意x ∈R ，恒有x 2＋x ＋1＞0，∴原不等式等价于(x ＋1)(x －1)＜0， ∴原不等式的解集为{x |－1＜x ＜1}．(3)原不等式可化为(2x －3)(3x －4)(2x －1)(x －2)＞0，进一步化为⎝ ⎛⎭⎪⎫x －32⎝ ⎛⎭⎪⎫x －43⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12(x －2)＞0， 如图所示，得原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ＜12或43＜x ＜32或x ＞2.反思与感悟 解高次不等式时，主导思想是降次，即因式分解后，能确定符号的因式应先考虑约分，然后可以转化为一元二次不等式，当然也可考虑数轴穿根法．跟踪训练2 若不等式x 2＋px ＋q ＜0的解集是{x |1＜x ＜2}，则不等式x 2＋px ＋q x 2－5x －6＞0的解集是( ) A ．(1，2)B ．(－∞，－1)∪(6，＋∞)C ．(－1，1)∪(2，6)D ．(－∞，－1)∪(1，2)∪(6，＋∞) 答案 D解析 由题意知x 2＋px ＋q ＝(x －1)(x －2)，则待解不等式等价于(x －1)(x －2)(x 2－5x －6)＞0⇒(x －1)(x －2)(x －6)(x ＋1)＞0⇒x ＜－1或1＜x ＜2或x ＞6. 题型三 不等式恒成立问题例3 对任意的x ∈R ，函数f (x )＝x 2＋(a －4)x ＋(5－2a )的值恒大于0，则a 的取值范围为________． 答案 (－2，2)解析 由题意知，f (x )开口向上，故要使f (x )＞0恒成立， 只需Δ＜0即可， 即(a －4)2－4(5－2a )＜0， 解得－2＜a ＜2.反思与感悟 有关不等式恒成立求参数的取值范围的问题，通常处理方法有两种： (1)考虑能否进行参变量分离，若能，则构造关于变量的函数，转化为求函数的最大(小)值，从而建立参数的不等式；(2)若参变量不能分离，则应构造关于变量的函数(如一元一次、一元二次函数)，并结合图象建立关于参数的不等式求解．跟踪训练3 对任意a ∈[－1，1]，函数f (x )＝x 2＋(a －4)x ＋4－2a 的值恒大于零，则x 的取值范围是( )A ．1＜x ＜3B ．x ＜1或x ＞3C ．1＜x ＜2D ．x ＜1或x ＞2 答案 B解析 f (x )＞0，∴x 2＋(a －4)x ＋4－2a ＞0， 即(x －2)a ＋(x 2＋4－4x )＞0， 设g (a )＝(x －2)a ＋(x 2－4x ＋4) 由题意知，⎩⎪⎨⎪⎧g （1）＞0，g （－1）＞0，即⎩⎪⎨⎪⎧x －2＋x 2－4x ＋4＝x 2－3x ＋2＞0，－x ＋2＋x 2＋4－4x ＝x 2－5x ＋6＞0， ∴x ＜1或x ＞3.题型四 一元二次不等式在生活中的应用例4 某人计划收购某种农产品，如果按每吨200元收购某农产品，并按每100元纳税10元(又称征税率为10个百分点)，计划可收购a 万吨，政府为了鼓励个体多收购这种农产品，决定将征税率降低x (x ≠0)个百分点，预测收购量可增加2x 个百分点． (1)写出税收y (万元)与x 的函数关系式；(2)要使此项税收在征税率调节后，不少于原计划税收的83.2%，试确定x 的取值范围． 解 (1)降低后的征税率为(10－x )%，农产品的收购量为a (1＋2x %)万吨，收购总金额为200a (1＋2x %)．依题意得，y ＝200a (1＋2x %)(10－x )% ＝150a (100＋2x )(10－x )(0＜x ＜10)． (2)原计划税收为200a ·10%＝20a (万元)． 依题意得，150a (100＋2x )(10－x )≥20a ×83.2%，化简得x 2＋40x －84≤0，∴－42≤x ≤2. 又∵0＜x ＜10， ∴0＜x ≤2.∴x 的取值范围是{x |0＜x ≤2}．反思与感悟 不等式应用题常以函数、数列为背景出现，多是解决现实生活、生产中的最优化问题，在解题中主要涉及到不等式的解法等问题，构造数学模型是解不等式应用题的关键． 跟踪训练4 在一个限速40 km/h 以内的弯道上，甲，乙两辆汽车相向而行，发现情况不对，同时刹车，但还是相碰了．事发后现场测得甲车的刹车距离略超过12 m ，乙车的刹车距离略超过10 m ．又知甲、乙两种车型的刹车距离S m 与车速x km/h 之间分别有如下关系：S 甲＝0.1x ＋0.01x 2，S 乙＝0.05x ＋0.005x 2. 问超速行驶谁应负主要责任？解 由题意列出不等式S 甲＝0.1x ＋0.01x 2>12，S 乙＝0.05x ＋0.005x 2>10.分别求解，得x <－40或x >30. x <－50或x >40.由于x >0，从而得x 甲>30 km/h ，x 乙>40 km/h. 经比较知乙车超过限速，应负主要责任．1．若集合A ＝{x |－1≤2x ＋1≤3}，B ＝{x |x －2x≤0}，则A ∩B 等于( ) A ．{x |－1≤x ＜0} B ．{x |0＜x ≤1} C ．{x |0≤x ＜2} D ．{x |0≤x ≤1} 答案 B解析 ∵A ＝{x |－1≤x ≤1}，B ＝{x |0＜x ≤2}， ∴A ∩B ＝{x |0＜x ≤1}．2．若集合A ＝{x |ax 2－ax ＋1<0}＝∅，则实数a 的值的集合是( ) A ．{a |0<a <4} B ．{a |0≤a <4} C ．{a |0<a ≤4} D ．{a |0≤a ≤4}答案 D解析 a ＝0时符合题意．a >0时，相应二次方程中的Δ＝a 2－4a ≤0，得{a |0<a ≤4}，综上，得{a |0≤a ≤4}，故选D.3．不等式（x ＋1）（x ＋2）2（x ＋3）x ＋4＞0的解集为______________________．答案 {x |－4＜x ＜－3或x ＞－1} 解析 原式可转化为(x ＋1)(x ＋2)2(x ＋3)(x ＋4)＞0，根据数轴穿根法，解集为－4＜x ＜－3或x ＞－1.4．设x 2－2x ＋a －8≤0对于任意x ∈(1，3)恒成立，求a 的取值范围．解 原不等式x 2－2x ＋a －8≤0转化为a ≤－x 2＋2x ＋8对任意x ∈(1，3)恒成立， 设f (x )＝－x 2＋2x ＋8，易知f (x )在 [1，3]上的最小值为f (3)＝5. ∴a ∈(－∞，5]．5．某文具店购进一批新型台灯，若按每盏台灯15元的价格销售，每天能卖出30盏；若售价每提高1元，日销售量将减少2盏．为了使这批台灯每天能获得400元以上的销售收入，应怎样制定这批台灯的销售价格？解 设每盏台灯售价x 元，则x ≥15，并且日销售收入为x [30－2(x －15)]，由题意知，当x ≥15时，有x [30－2(x －15)]＞400，解得：15≤x ＜20.所以为了使这批台灯每天获得400元以上的销售收入，应当制定这批台灯的销售价格为x ∈[15，20)．1.解分式不等式时，一定要等价变形为一边为零的形式，再化归为一元二次不等式(组)求解．若不等式含有等号时，一定要考虑分母不为零．2．对于有的恒成立问题，分离参数是一种行之有效的方法．这是因为将参数予以分离后，问题往往会转化为函数问题，从而得以迅速解决．当然这必须以参数容易分离作为前提．分离参数时，经常要用到下述简单结论：(1)a >f (x )恒成立⇔a >f (x )max ；(2)a <f (x )恒成立⇔a <f (x )min .3．解一元二次不等式应用题的关键在于构造一元二次不等式模型，选择其中起关键作用的未知量为x，用x来表示其他未知量，根据题意，列出不等关系再求解．。

．已知集合＝{－－≤}，＝{－－>}，则∩为( )
．{－≤<－或<≤}
．{－<≤－或≤<}
．{≤－或>}
．{<－或≥}
解析：＝{－－≤}＝{－≤≤}，
＝{－－>}＝{<－或>}，
∴∩＝{－≤<－或<≤}．
答案：
．(·兖州高二检测)不等式－－＋≤的解集为( )
．{≥或≤－} ．{－≤≤}
．{－≤≤} ．{≤－或≥}
解析：由－－＋≤，得＋－≥，
即(－)(＋)≥，∴≥或≤－.
答案：
．(·海淀高二检测)函数()＝的定义域为( )
．() ．[)
．(－∞，)∪(，＋∞) ．(－∞，]∪(，＋∞)
解析：由函数有意义知>，即(－)(－)>.
解得：<<.
答案：
．函数＝－－的判别式Δ，该图象与轴有个交点，其交点横坐标为．不等式－－>的解集是，不等式－－<的解集是．
答案：> 两－、{<－或>}
{－<<}
．不等式(＋)(－)≤的解集为．
解析：方程(＋)(－)＝的两根为＝－，＝，函数＝(＋)(－)＝－＋＋.
由图象可知不等式(＋)(－)≤的解集为
{≤－或≥}．
答案：{≤－或≥}
．解关于的不等式－－(－)>.
解：原不等式可以化为：(＋－)(－)>，
∴当>－(－)即>时，原不等式的解集为
{>或<－}；
当＝－(－)即＝时，
由(－)>，得原不等式的解集为{≠}．
当<－(－)即<时，原不等式的解集为{<或>－}．。

C．{x|x≥1 或 x＝－2}
D．{x|x≤－2 或 x＝1}
答案 C
解析 当 x＝－2 时，0≥0 成立．当 x>－2 时，原不等式变为 x－1≥0，即 x≥1.
∴不等式的解集为{x|x≥1 或 x＝－2}． x2－2x－2
3．不等式 x2＋x＋1 <2 的解集为( )
A．{x|x≠－2}
B．R
11．某省每年损失耕地 20 万亩，每亩耕地价值 24 000 元，为了减小耕地损失，决定 5
按耕地价格的 t%征收耕地占用税，这样每年的耕地损失可减少 2t 万亩，为了既减少耕地 的损失又保证此项税收一年不少于 9 000 万元，t%应在什么范围内变动？
解 由题意可列ห้องสมุดไป่ตู้等式如下：
( )5
20－ t 2 ·24 000·t%≥9 000⇔3≤t≤5.
得－1<x<6，∴集合 A 为{x|－1<x<6}，
∴A∩Z 的元素有 0,1,2,3,4,5，共 6 个元素．
6．对任意 a∈[－1,1]，函数 f(x)＝x2＋(a－4)x＋4－2a 的值恒大于零，则 x 的取值范围
是( )
A．1<x<3
B．x<1 或 x>3
C．1<x<2
D．x<1 或 x>2
所以 g(x)<0 的解集为∁IQ， 因此Error!的解集为 P∩∁IQ. 10．如果 A＝{x|ax2－ax＋1<0}＝∅，则实数 a 的取值范围为________． 答案 0≤a≤4 解析 a＝0 时，A＝∅；当 a≠0 时，A＝∅⇔ax2－ax＋1≥0 恒成立⇔Error!⇔0<a≤4， 综上所述，实数 a 的取值范围为 0≤a≤4. 三、解答题

3.2一元二次不等式及其解法第1课时一元二次不等式及其解法学习目标核心素养1.掌握一元二次不等式的解法．(重点)2.能根据“三个二次”之间的关系解决简单问题．(难点) 通过一元二次不等式解法的学习，培养数学运算素养．1．一元二次不等式的概念只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式．2．一元二次不等式的一般形式(1)ax2＋bx＋c＞0(a≠0).(2)ax2＋bx＋c≥0(a≠0).(3)ax2＋bx＋c＜0(a≠0).(4)ax2＋bx＋c≤0(a≠0).思考：不等式x2－y2>0是一元二次不等式吗？[提示]此不等式含有两个变量，根据一元二次不等式的定义，可知不是一元二次不等式．3．一元二次不等式的解与解集使一元二次不等式成立的未知数的值，叫做这个一元二次不等式的解，其解的集合，称为这个一元二次不等式的解集．思考：类比“方程x2＝1的解集是{1，－1}，解集中的每一个元素均可使等式成立”．不等式x2>1的解集及其含义是什么？[提示]不等式x2>1的解集为{x|x<－1或x>1}，该集合中每一个元素都是不等式的解，即不等式的每一个解均使不等式成立．4．三个“二次”的关系设f(x)＝ax2＋bx＋c(a＞0)，方程ax2＋bx＋c＝0的判别式Δ＝b2－4ac 判别式Δ＞0Δ＝0Δ＜0解不等式f(x)＞0或f(x)＜0的步骤求方程f(x)＝0的解有两个不等的实数解x1，x2有两个相等的实数解x1＝x2没有实数解画函数y＝f(x)的示意图得等的集不式解f(x)＞0{x|x＜x1或x＞x2}⎩⎨⎧x⎪⎪⎪⎭⎬⎫x≠－b2a Rf(x)＜0{x|x1＜x＜x2}∅∅思考：若一元二次不等式ax2＋x－1>0的解集为R，则实数a应满足什么条件？[提示]结合二次函数图象可知，若一元二次不等式ax2＋x－1>0的解集为R，则⎩⎨⎧a>0，1＋4a<0，解得a∈∅，所以不存在a使不等式ax2＋x－1>0的解集为R.1．不等式3＋5x－2x2≤0的解集为()A．⎩⎨⎧⎭⎬⎫x⎪⎪⎪x＞3或x＜－12B．⎩⎨⎧⎭⎬⎫x⎪⎪⎪－12≤x≤3C．⎩⎨⎧⎭⎬⎫x⎪⎪⎪x≥3或x≤－12D．RC[3＋5x－2x2≤0⇒2x2－5x－3≥0⇒(x－3)(2x＋1)≥0⇒x≥3或x≤－12.]2．不等式3x2－2x＋1＞0的解集为()A．⎩⎨⎧⎭⎬⎫x⎪⎪⎪－1＜x＜13B．⎩⎨⎧⎭⎬⎫x⎪⎪⎪13＜x＜1C．∅D．RD[因为Δ＝(－2)2－4×3×1＝4－12＝－8＜0，所以不等式3x2－2x＋1＞0的解集为R.]3．不等式x2－2x－5>2x的解集是．{x|x>5或x<－1}[由x2－2x－5>2x，得x2－4x－5>0，因为x2－4x－5＝0的两根为－1，5，故x 2－4x －5>0的解集为{x |x <－1或x >5}．] 4．不等式－3x 2＋5x －4>0的解集为 ． ∅ [原不等式变形为3x 2－5x ＋4<0.因为Δ＝(－5)2－4×3×4＝－23<0，所以3x 2－5x ＋4＝0无解． 由函数y ＝3x 2－5x ＋4的图象可知，3x 2－5x ＋4<0的解集为∅.]一元二次不等式的解法 【例1】 解下列不等式： (1)2x 2＋7x ＋3>0； (2)－4x 2＋18x －814≥0；(3)－2x 2＋3x －2<0.[解] (1)因为Δ＝72－4×2×3＝25>0，所以方程2x 2＋7x ＋3＝0有两个不等实根x 1＝－3，x 2＝－12.又二次函数y ＝2x 2＋7x ＋3的图象开口向上，所以原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x >－12或x <－3.(2)原不等式可化为⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －922≤0，所以原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ＝94.(3)原不等式可化为2x 2－3x ＋2>0，因为Δ＝9－4×2×2＝－7<0，所以方程2x 2－3x ＋2＝0无实根，又二次函数y ＝2x 2－3x ＋2的图象开口向上，所以原不等式的解集为R .解一元二次不等式的一般步骤(1)通过对不等式变形，使二次项系数大于零； (2)计算对应方程的判别式；(3)求出相应的一元二次方程的根，或根据判别式说明方程没有实根； (4)根据函数图象与x 轴的相关位置写出不等式的解集．[跟进训练] 1．解下列不等式 (1)2x 2－3x －2>0； (2)x 2－4x ＋4>0； (3)－x 2＋2x －3<0； (4)－3x 2＋5x －2>0.[解] (1)∵Δ>0，方程2x 2－3x －2＝0的根是x 1＝ －12，x 2＝2，∴不等式2x 2－3x －2>0的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x <－12或x >2.(2)∵Δ＝0，方程x 2－4x ＋4＝0的根是x 1＝x 2＝2， ∴不等式x 2－4x ＋4>0的解集为{}x |x ≠2. (3)原不等式可化为x 2－2x ＋3>0， 由于Δ<0，方程x 2－2x ＋3＝0无解， ∴不等式－x 2＋2x －3<0的解集为R . (4)原不等式可化为3x 2－5x ＋2<0，由于Δ>0，方程3x 2－5x ＋2＝0的两根为x 1＝23，x 2＝1， ∴不等式－3x 2＋5x －2>0的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪23<x <1.含参数的一元二次不等式的解法【例2】 解关于x 的不等式ax 2－(a ＋1)x ＋1<0.思路探究：①对于二次项的系数a 是否分a ＝0，a <0，a >0三类进行讨论？②当a ≠0时，是否还要比较两根的大小？[解] 当a ＝0时，原不等式可化为x >1. 当a ≠0时，原不等式可化为(ax －1)(x －1)<0. 当a <0时，不等式可化为⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1a (x －1)>0，∵1a <1，∴x <1a 或x >1.当a >0时，原不等式可化为(x －1a )·(x －1)<0. 若1a <1，即a >1，则1a <x <1； 若1a ＝1，即a ＝1，则x ∈∅； 若1a >1，即0<a <1，则1<x <1a .综上所述，当a <0时，原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x <1a 或x >1；当a ＝0时，原不等式的解集为{x |x >1}；当0<a <1时，原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪1<x <1a ；当a ＝1时，原不等式的解集为∅；当a >1时，原不等式的解集为{x ⎪⎪⎪1a <x <1}．解含参数的一元二次不等式时的注意点(1)若二次项系数含有参数，则需对二次项系数大于0与小于0进行讨论； (2)若求对应一元二次方程的根需用公式，则应对判别式Δ进行讨论； (3)若求出的根中含有参数，则应对两根的大小进行讨论．[跟进训练]2．解关于x 的不等式：ax 2－2≥2x －ax (a <0). [解] 原不等式移项得ax 2＋(a －2)x －2≥0， 化简为(x ＋1)(ax －2)≥0.∵a <0，∴(x ＋1)⎝ ⎛⎭⎪⎫x －2a ≤0.当－2<a <0时，2a ≤x ≤－1； 当a ＝－2时，x ＝－1； 当a <－2时，－1≤x ≤2a . 综上所述， 当－2<a <0时，解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪2a ≤x ≤－1； 当a ＝－2时， 解集为{x |x ＝－1}； 当a <－2时，解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪－1≤x ≤2a .一元二次不等式、二次方程、二次函数的关系 [探究问题]1．利用函数y ＝x 2－2x －3的图象说明当y >0、y <0、y ＝0时x 的取值集合分别是什么？这说明二次函数与二次方程、二次不等式有何关系？[提示] y ＝x 2－2x －3的图象如图所示．函数y ＝x 2－2x －3的值满足y >0时自变量x 组成的集合，亦即二次函数y ＝x 2－2x －3的图象在x 轴上方时点的横坐标x 的集合{x |x <－1或x >3}；同理，满足y <0时x 的取值集合为{x |－1<x <3}，满足y ＝0时x 的取值集合，亦即y ＝x 2－2x －3图象与x 轴交点横坐标组成的集合{－1，3}．这说明：方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)和不等式ax 2＋bx ＋c >0(a >0)或ax 2＋bx ＋c <0(a >0)是函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的一种特殊情况，它们之间是一种包含关系，也就是当y＝0时，函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)就转化为方程，当y >0或y <0时，就转化为一元二次不等式．2．方程x 2－2x －3＝0与不等式x 2－2x －3>0的解集分别是什么？观察结果你发现什么问题？这又说明什么？[提示] 方程x 2－2x －3＝0的解集为{－1，3}．不等式x 2－2x －3>0的解集为{x |x <－1或x >3}，观察发现不等式x 2－2x －3>0解集的端点值恰好是方程x 2－2x －3＝0的根．3．设一元二次不等式ax 2＋bx ＋c >0(a >0)和ax 2＋bx ＋c <0(a >0)的解集分别为{x |x <x 1或x >x 2}，{x |x 1<x <x 2}(x 1<x 2)，则x 1＋x 2，x 1x 2为何值？[提示] 一元二次不等式ax 2＋bx ＋c >0(a >0)和ax 2＋bx ＋c <0(a >0)的解集分别为{x |x <x 1或x >x 2}，{x |x 1<x <x 2}(x 1<x 2)，则⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝－ba ，x 1x 2＝ca ，即不等式的解集的端点值是相应方程的根．【例3】 已知关于x 的不等式ax 2＋bx ＋c >0的解集为{x |2<x <3}，求关于x 的不等式cx 2＋bx ＋a <0的解集．思路探究：由给定不等式的解集形式→确定a <0及关于a ，b ，c 的方程组→用a 表示b ，c →代入所求不等式→求解cx 2＋bx ＋a <0的解集[解] 法一：由不等式ax 2＋bx ＋c >0的解集为{x |2<x <3}可知，a <0，且2和3是方程ax 2＋bx ＋c ＝0的两根，由根与系数的关系可知b a ＝－5，ca ＝6.由a <0知c <0，bc ＝－56，故不等式cx 2＋bx ＋a <0，即x 2＋b c x ＋a c >0，即x 2－56x ＋16>0，解得x <13或x >12，所以不等式cx 2＋bx ＋a <0的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ＜13或x ＞12. 法二：由不等式ax 2＋bx ＋c >0的解集为{x |2<x <3}可知，a <0，且2和3是方程ax 2＋bx ＋c ＝0的两根，所以ax 2＋bx ＋c ＝a (x －2)(x －3)＝ax 2－5ax ＋6a ⇒b ＝－5a ，c ＝6a ，故不等式cx 2＋bx ＋a <0，即6ax 2－5ax ＋a <0⇒6a ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －13⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12<0，故原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ＜13或x ＞12.1．(变结论)本例中的条件不变，求关于x 的不等式cx 2－bx ＋a >0的解集． [解] 由根与系数的关系知b a ＝－5，ca ＝6且a <0. ∴c <0，bc ＝－56，故不等式cx 2－bx ＋a >0， 即x 2－b c x ＋ac <0，即x 2＋56x ＋16<0.解之得⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪－12<x <－13. 2．(变条件)若将本例中的条件“关于x 的不等式ax 2＋bx ＋c >0的解集为{x |2<x <3}变为“关于x 的不等式ax 2＋bx ＋c ≥0的解集是⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪－13≤x ≤2.求不等式cx 2＋bx ＋a <0的解集．[解] 法一：由ax 2＋bx ＋c ≥0的解集为⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫－13≤x ≤2知a ＜0.又⎝ ⎛⎭⎪⎫－13×2＝c a ＜0，则c ＞0. 又－13，2为方程ax 2＋bx ＋c ＝0的两个根，∴－b a ＝53，∴b a ＝－53. 又c a ＝－23，∴b ＝－53a ，c ＝－23a ，∴所求不等式变为⎝ ⎛⎭⎪⎫－23a x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－53a x ＋a ＜0，即2ax 2＋5ax －3a ＞0.又∵a ＜0，∴2x 2＋5x －3＜0， 所求不等式的解集为{x ⎪⎪⎪－3＜x ＜12}．法二：由已知得a ＜0 且⎝ ⎛⎭⎪⎫－13＋2＝－b a ，⎝ ⎛⎭⎪⎫－13×2＝c a 知c ＞0，设方程cx 2＋bx ＋a ＝0的两根分别为x 1，x 2， 则x 1＋x 2＝－b c ，x 1·x 2＝ac ， 其中a c＝1⎝⎛⎭⎪⎫－13×2＝－32， －b c ＝－b ac a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－13＋2⎝ ⎛⎭⎪⎫－13×2＝1⎝ ⎛⎭⎪⎫－13＋12＝－52，∴x 1＝1⎝ ⎛⎭⎪⎫－13＝－3，x 2＝12. ∴不等式cx 2＋bx ＋a ＜0(c ＞0)的解集为⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫－3＜x ＜12.已知以a ，b ，c 为参数的不等式(如ax 2＋bx ＋c ＞0)的解集，求解其他不等式的解集时，一般遵循：(1)根据解集来判断二次项系数的符号；(2)根据根与系数的关系把b ，c 用a 表示出来并代入所要解的不等式； (3)约去 a, 将不等式化为具体的一元二次不等式求解．1．解一元二次不等式的常见方法(1)图象法：由一元二次方程、一元二次不等式及二次函数的关系，可以得到解一元二次不等式的一般步骤：①化不等式为标准形式：ax 2＋bx ＋c ＞0(a ＞0)或ax 2＋bx ＋c ＜0(a ＞0)； ②求方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ＞0)的根，并画出对应函数y ＝ax 2＋bx ＋c 图象的简图；③由图象得出不等式的解集．(2)代数法：将所给不等式化为一般式后借助分解因式或配方求解． 当m <n 时，若(x －m )(x －n )＞0，则可得{x |x ＞n 或x ＜m }； 若(x －m )(x －n )＜0，则可得{x |m ＜x ＜n }． 有口诀如下：大于取两边，小于取中间． 2．含参数的一元二次型的不等式在解含参数的一元二次型的不等式时，往往要对参数进行分类讨论，为了做到分类“不重不漏”，讨论需从如下三个方面进行考虑：(1)关于不等式类型的讨论：二次项系数a ＞0，a ＜0，a ＝0.(2)关于不等式对应的方程根的讨论：两根(Δ>0)，一根(Δ＝0)，无根(Δ<0). (3)关于不等式对应的方程根的大小的讨论：x 1＞x 2， x 1＝x 2，x 1＜x 2.3．由一元二次不等式的解集可以逆推二次函数图象的开口及与x 轴的交点坐标．1．判断正误(1)mx 2－5x <0是一元二次不等式．( ) (2)若a >0，则一元二次不等式ax 2＋1>0无解．( )(3)若一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0的两根为x 1，x 2(x 1<x 2)，则一元二次不等式ax 2＋bx ＋c <0的解集为{x |x 1<x <x 2}．( ) (4)不等式x 2－2x ＋3>0的解集为R . ( )[答案] (1)× (2)× (3)× (4)√[提示] (1)错误．当m ＝0时，是一元一次不等式；当m ≠0时，是一元二次不等式．(2)错误．因为a >0，所以不等式ax 2＋1>0恒成立，即原不等式的解集为R .(3)错误．当a >0时，ax 2＋bx ＋c <0的解集为{x |x 1<x <x 2}，否则不成立．(4)正确．因为Δ＝(－2)2－12<0，所以不等式x 2－2x ＋3>0的解集为R . 2．设a <－1，则关于x 的不等式a (x －a )⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1a <0的解集为 ．⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x <a 或x >1a[因为a <－1，所以a (x －a )·⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1a <0⇔(x －a )·⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1a >0.又a <－- 11 - 1，所以1a >a ，所以x >1a 或x <a .]3．若不等式ax 2＋bx ＋2>0的解集是⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪－12<x <13，则a ＋b 的值为 ．－14 [由已知得，ax 2＋bx ＋2＝0的解为－12，13，且a <0.∴⎩⎪⎨⎪⎧－b a ＝－12＋13，2a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12×13，解得⎩⎨⎧a ＝－12，b ＝－2， ∴a ＋b ＝－14.]4．解下列不等式：(1)x (7－x )≥12；(2)x 2>2(x －1).[解] (1)原不等式可化为x 2－7x ＋12≤0，因为方程x 2－7x ＋12＝0的两根为x 1＝3，x 2＝4，所以原不等式的解集为{x |3≤x ≤4}．(2)原不等式可以化为x 2－2x ＋2>0，因为判别式Δ＝4－8＝－4<0，方程x 2－2x ＋2＝0无实根，而抛物线y ＝x 2－2x ＋2的图象开口向上，所以原不等式的解集为R .。