水污染净化问题论文

水污染物颗粒净化问题【摘要】通过建立污染物扩散模型，求解水中某污染物颗粒粒径与时间函数关系，并与实际函数进行比较分析，再通过对所求解的函数关系进行拟合优化，进而建立新型模型对这类污染进行测定与处理。

问题一，分析附件一中所给的离散数据选择指数函数和多项式函数模拟反应所给数据的变化趋势，通过最小二乘法，利用matlab对给定的离散数据进行曲线拟合并求解拟合函数，再求拟合函数y=r（t）在t时刻的解与附件一中t时刻所对应的数值均方误差，并取均方误差最小者为所求曲线，且通过模型的建立，理论上阐述了拟合曲线更接近指数函数曲线，故在问题一中进行指数函数拟合；再通过引入扩散系数，求出粒径与时间的函数关系式，并作误差分析比较。

若对样品中某单一污染物微粒进行粒径测量，测量结果更精确，有较强的理论科学依据，此方法更接近理论的实验数据结果。

问题二，通过路径与速率、时间的函数关系模型，求解粒径与时间的近似函数关系，利用matlab分析粒径随时间变化的曲线特征，以此得到粒径误差与时间的曲线关系，此运动模型可以求解污染物中任何粒子因相互碰撞引起的粒径随时间变化的函数关系，具有计算对象的普遍性。

问题三，通过对参数的讨论，建立相关性模型，求出在单一变量下，某一变量对颗粒粒径大小变化的影响程度，此外，通过现代科学理论，借鉴相关性科学研究，建立理论模型，更好的对水污染物颗粒净化，确定粒径取最大值时，即除污效果最好时所对应变量的取值；关键词：粒径时间扩散速率相关性最小二乘法1.问题重述众所周知，水是世界上所有生命赖以生存的基础。

没有水，一切生命创造的精彩都不复存在。

因此，要实现人类的可持续发展，首先要解决水污染问题。

由有害物质造成的水的使用价值降低或丧失称之为水污染。

水的污染有两类：一类是自然污染；另一类是人为污染。

而后者是主要的。

水污染可根据污染杂质的不同而主要分化学性污染，物理性污染和生物性污染三大类。

水中杂质按尺寸分，可分为溶解物，胶体颗粒和悬浮物三种。

有些杂质可以用基于高浓度﹑外加计量反应试剂为基础的传统的物化方法以及生化技术等进行处理。

而对于天然水体和饮用中低浓度、高毒性、难降解污染物则很难用前述的传统方法进行处理，迫切需要提出新型的高效选择性检测和消除的原理和方法。

（1）就给定的数据一拟合出粒径随时间变化的曲线和分布。

（2）就给定的数据评价该测量方法的优缺点。

（3）试建立模型说明如何对这类的污染物进行处理，达到净化污水的目的。

2.模型假设假设待测水样本中该污染物浓度一定。

假设待测样本污染物在扩散过程中接触的同类颗粒会发生聚集现象。

假设该污染物颗粒为质量均匀分布、形状规则的球体。

（具体相关的假设条件见各问题中的模型假设）3.符号说明3.1问题一的符号说明符号λρV(t)r物理含义聚集比例系数污染物在样本中体积比率t时刻的颗粒的平均体积粒子直径（粒径）表示的意义在单位体积内发生聚集的颗粒所占的比例该污染物在样本中体积比率该时刻的颗粒的平均体积粒子近似球体的直径3.2问题二的符号说明符号t∆N ri∆r表示的含义颗粒连续两次碰撞的时间间隔周边分散的粒子与研究的粒子相互碰撞总次数每次该粒子被碰撞后其位移(粒径)的改变量粒子直径（粒径）3.3问题三的符号说明（见模型中的具体符号说明）4．问题一的模型建立与分布4.1模型的假设（1）水污染样本中只存在某种单一粒子α，且粒子数目足够多，即忽略浓度对粒径测量的影响；（2）粒子α近似看成是质量均匀，规则的球形几何体；（3）各粒子相互碰撞的概率均等；4.2 模型的建立4.2.1问题的分析分析附件一中所给的离散数据选择指数函数和多项式函数模拟反应所给数据的变化趋势，通过最小二乘法，利用matlab对给定的离散数据进行曲线拟合并求解拟合函数，再求拟合函数y=r （t ）在t 时刻的解与附件一中t 时刻所测量的数值均方误差，并取均方误差最小者为所求曲线。

引入扩散系数，求出粒径与时间的函数关系式，并作误差分析比较，通过建立微分方程模型，确定粒径与时间的理论的函数表达式，并通过其函数关系式大体确定拟合后的曲线形状和函数关系式。

4.2.2公式推导由于水污染样本中粒子α数目足够多，继而忽略实验过程中粒子浓度对粒径测量的影响，则由 物质的量守恒定律得：体积的增加=周围粒子与α粒子所接触聚集的粒子体积+在一定的时间dt 内通过面积S 的体积即 ()()()V t t V t U t dt λ+∆-= （4.1.1） 又由 ()()V t U t ρ=（4.1.2）当0t ∆→时得微分方程 ()dV V t dt λρ=- （4.1.3） 解得t V Ce λρ-= （4.1.4）粒子体积公式34 3V r π= （4.1.5）将式（4.2.5）代入（4.2.4）解得1333()4t C r e λρπ-=（C 为常数） （4.1.6） 其中C 可由r(0)=H 来确定；4.2.3模型分析求解：将附件一中的数据导入到matlab 数学软件中，所有离散点拟合后的曲线如图一所示，根据曲线的形状，分别对曲线进行指数函数拟合和八次多项式函数拟合，拟合后的粒径与时间的函数关系图分别为下图中图一，图二所示（编程见附件二）；由于两拟合曲线根据计算机编程后得出的方差结果较接近，但由上述模型的理论推导，粒径与时间的函数更接近指数函数，而且，从实际来考虑，水污染物的颗粒粒径（r ）不能随时间无限的增大，即有lim ()t r t c →∞= （c 为常数）若两边同时对t 的偏微分，则limt r t→∞∂∂=0 对数据进行指数拟合如图一：图一 指数拟合图拟合函数为f(x)= 541.710 5.610359.7282.7e e --⨯⨯-图二是对其进行八次项拟合图二 八次多项式拟合图拟合函数为f(x)=26822718614510473421.95510 5.13310 5.610 3.29910 1.1410 2.35710 2.955100.289860.97X X X X X X X X --------⨯+⨯-⨯+⨯-⨯+⨯-⨯++根据图一、二拟合曲线比较及上述理论依据所述，我们将其进行指数拟合；有附件一中数据，作如下图的粒径概率分布图：图三 颗粒粒径概率分布直方图注：横轴表示水污染物颗粒粒径纵轴表示在一定粒径范围内实际测量的污染物颗粒占总测量颗粒数的比例综上所述：由附件一中给定的数据拟合出粒径随时间变化的曲线取上图一的指数拟合图。

粒径的分布图如图三：颗粒粒径概率分布直方图所示4.3模型评价优点：（1）若对样本中某单一污染物微粒，此方法具有精确，有较好的理论性基础，更接近理论的实验数据结果；（2）模型结构简单，易于理解缺点：测量易受实验环境的影响，且测量数据较难，不易控制变量4.4模型推广此总量守恒模型适用于样本溶液中某单一粒子的粒径测量，且测量结果更精确，有较强的理论科学依据，适用于多数一定范围粒径的粒子的测量；5．问题二的模型建立与分析5.1模型的假设(１)在一定时间范围内，可以用近似理论公式（5.2.4）代替理论公式（4.2.6）对实际问题进行研究；(２)将某污染物粒子近似看成是近似球形的规则几何体； (３)在研究粒径与时间的函数关系时，由于污水中各种污染物颗粒均做无规则的布朗运动，那么将污染物中许多粒子取平均，即将研究对象基于某一平均后的粒子α，并研究其在Ｘ轴上的位移与时间的变化近似为粒径与时间的变化的函数关系；(４)样品中每个粒子相互碰撞的概率是均等的；5.2模型的建立5.2.1问题分析根据附件一中给定的数据评价利用光反射仪器测水中某污染物粒径随时间的变化，通过观察实际测量的粒径与时间的函数关系曲线易得其优点，但必然要利用建模求解粒径与时间的理论方程，并求解任意时刻所产生的误差，做出误差与时间的函数关系曲线，进而找出其测量方法的优点和缺点；5.2.2公式推导设任意一个水污染颗粒连续两次碰撞的时间间隔为t ∆ ,共经过N 次碰撞后是粒径达到最大值，每次某粒子被碰撞后粒径增加ri ∆，可以近似看作是该粒子延x 轴方向移动的距离为ri ∆（i 表示第i 次碰撞）这些ri ∆∆的值可正可负：随机分布，则经历t n t =∆时间后，该粒子在X 轴坐标每次碰撞后总位移改变量的平方平均值,如下求得：212+n ^2=i i i x =∆+∆+∆（……）^2i ∆∑+2i>jj i ∆∆∑ （5.2.1） 令^2i ∆代表^2i ∆的平均值，则^2i ∆∑=n ^2i ∆ （5.2.2）由于粒子a 被碰撞后的位移延X 轴移动方向不定,故粒子的粒径变化ri ∆可正可负，且机会均等，所以对各时间段ri ∆ 求平均值0ri rj ∆∆=（5.2.3） 将式（5.2.3）带入式 （5.2.1）得^2x =N ^2∆ （5.2.4）由于t N t =∆ 代入式 （5.2.4）得^2^2x t t∆=∆ （5.2.5）可见颗粒在X 轴移动的距离的平方平均值与时间t 成正比，即粒径在时间t 内的总变化量的平方平均值与时间成正比。

其中两次连续碰撞的时间间隔t ∆为一常数(max min)r r n-∆= 其中 0ti t n t-=∆ 由题中附件一所给数据m ax r =430.7nm min r =50.72t ∆=21s ti =6300s 0t =0由于利用了实际所测量的数据，所以可近似求得理论水中某污染物颗粒粒径随时间的函数关系22 1.2r t 21=∙（） （5.2.6） 由式（5.2.6）某颗粒粒径的平方与时间的函数关系，作图如下所示：Matlab 拟图：图四 某颗粒粒径的平方与时间的函数关系注：横轴x 表示时间t （s ）纵轴y 表示某颗粒粒径的平方（r^2）而由实际测量的数据拟合图如图一所示，且由误差公式：ε=（r t）-（t r'）（5.2.6）（）表示t时刻粒子α的其中，ε表示实验误差，r t表示t时刻粒子α的实际测量的粒径，t r'理论粒径。

所以，由式（5.2.6）可求出粒子α在任意时刻的粒径误差，并由所有求得的离散数据作出误差与时间的函数关系曲线，如图五所示：Matlab拟图图五误差与时间的函数关系注：横轴x表示时间t纵轴S表示误差ε由Matlab拟出误差与时间函数关系图易知，利用动态光反射仪器测量水中某污染粒径随时间的变化值的方法的优缺点，如下所述：优点：（1）样品制备简单，不需要特殊处理，测量过程不干扰样品本身的性质，所以能够反应样品分子的真实状况；（2）准确，快速，可重复性好；（3）能够实时检测样品的动态变化；（4）测量过程迅速，而且样品易回收利用；（5）可以清楚的观察到在某段时间内污染物颗粒的粒径变化情况；缺点：（1）由粒径分布图（图中折线部分）观察得，等时间间隔，其数据增长变化异常，且在误差分析图中，误差变化在某一范围内变化较大，因此得此测量方法测量水污染物粒径过程易受实验环境的影响，如光强，室温，液体的ph等；（2）由测量的数据可以看出，对于粒径r<50.72的污染物粒径很难用此方法检测到，即测量粒径范围有限；（3）随时间的延长，粒径误差值逐渐增大，即粒径真实值偏离理论值更严重；模型评价优点：（1）模型简单清晰，易懂；（2）此运动模型可以求解适合污染物中的任何粒子相互碰撞引起的粒径随时间的变化，具有计算的普遍性（3）在一定时间范围内，近似理论公式可以代替理论公式对相关问题进行求解，如粒子碰撞粒径随时间的变化问题等；缺点：对于公式中的不变平均量（t ∆、∆）的求解具有近似性，降低了公式的理论性；6．问题三的模型建立及其曲线分析6.1模型的假设：（1）假设将水中污染颗粒看成是质量均匀、形状规则的球形几何体（2）温度随时间均匀变化，即△T=k △t （ｋ为常数）（3）假设水中某污染颗粒的粘滞系数是一定值，即粘滞系数只与污染物本身性质有关（4）假设温度控制在２０～７０度（5）样本中污染物颗粒的总量不随其他因素变化而改变，即体积守恒 6.2符号说明：符号 △T △t λ V(t)表示含义 温度的变化量 时间的变化量 聚集比例系数 某时刻颗粒的平均体积 6.3模型的建立问题分析：通过建立模型找到在最适合的环境条件（温度、光强、pH 等），找出粒径随这些影响条件变化的规律，并最短时间及最佳条件下是粒子粒径达到最大值，最终达到净化污水的目的。