第二章 第七节 课时限时检测

(时间60分钟，满分80分)一、选择题(共6个小题，每小题5分，满分30分)1．已知直线y ＝kx ＋1与曲线y ＝x 3＋ax ＋b 切于点(1,3)，则b 的值为( )A ．3B ．－3C ．5D ．－5 解析：∵y ′＝3x 2＋a ，∴k ＝y ′|x ＝1＝3＋a .又点(1,3)为切点，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 3＝k ×1＋1，3＝13＋a ×1＋b ，k ＝3＋a ，解得b ＝3. 答案：A2．曲线y ＝x x ＋2在点(－1，－1)处的切线方程为( ) A ．y ＝2x ＋1B ．y ＝2x －1C ．y ＝－2x －3D ．y ＝－2x －2 解析：∵y ′＝x ′(x ＋2)－x (x ＋2)′(x ＋2)2＝2(x ＋2)2， ∴k ＝y ′|x ＝－1＝2(－1＋2)2＝2， ∴切线方程为：y ＋1＝2(x ＋1)，即y ＝2x ＋1.答案：A3．已知y ＝12sin2x ＋sin x ，则y ′是( ) A ．仅有最小值的奇函数B ．既有最大值又有最小值的偶函数C ．仅有最大值的偶函数D ．非奇非偶函数解析：∵y ′＝12cos2x ·2＋cos x ＝cos2x ＋cos x ＝2cos 2x －1＋cos x＝2(cos x ＋14)2－98. 又当x ∈R 时，cos x ∈[－1,1]，函数y ′＝2(cos x ＋14)2－98是既有最大值又有最小值的偶函数．答案：B4．设函数y ＝x sin x ＋cos x 的图象上的点(x ，y )处的切线斜率为k ，若k ＝g (x )，则函数k ＝g (x )的图象大致为( )解析：k ＝g (x )＝y ′＝sin x ＋x cos x －sin x ＝x cos x ，故函数k ＝g (x )为奇函数，排除A 、C ；又当x ∈(0，π2)时，g (x )>0. 答案：B5．若函数f (x )＝e xcos x ，则此函数图象在点(1，f (1))处的切线的倾斜角为( )A ．0B ．锐角C ．直角D ．钝角 解析：由已知得：f ′(x )＝e x cos x －e x sin x ＝e x (cos x －sin x )．∴f ′(1)＝e(cos1－sin1)．∵π2>1>π4. 而由正余弦函数性质可得cos1<sin1.∴f ′(1)<0.即f (x )在(1，f (1))处的切线的斜率k <0.∴切线倾斜角是钝角．答案：D6．f (x )与g (x )是定义在R 上的两个可导函数，若f (x )，g (x )满足f ′(x )＝g ′(x )，则f (x )与g (x )满足( )A ．f (x )＝g (x )B ．f (x )＝g (x )＝0C ．f (x )－g (x )为常数函数D ．f (x )＋g (x )为常数函数解析：由f ′(x )＝g ′(x )，得f ′(x )－g ′(x )＝0，即[f (x )－g (x )]′＝0，所以f (x )－g (x )＝C (C 为常数)．答案：C二、填空题(共3小题，每小题5分，满分15分)7．如图，函数F (x )＝f (x )＋15x 2的图象在点P 处的切线方程是y ＝－x ＋8，则f (5)＋f ′(5)＝______.解析：F ′(x )＝f ′(x )＋25x ， 由题意可知F ′(5)＝f ′(5)＋2＝－1，∴f ′(5)＝－3.又点(5,3)在F (x )上，∴f (5)＋5＝3，∴f (5)＝－2，∴f (5)＋f ′(5)＝－5.答案：－58．在平面直角坐标系xOy 中，点P 在曲线C ：y ＝x 3－10x ＋3上，且在第二象限内，已知曲线C 在点P 处的切线的斜率为2，则点P 的坐标为________．解析：∵y ＝x 3－10x ＋3，∴y ′＝3x 2－10.由题意，设切点P 的横坐标为x 0，且x 0<0，即3x 20－10＝2，∴x 20＝4，∴x 0＝－2，∴y 0＝x 30－10x 0＋3＝15.故点P 的坐标为(－2,15)．答案：(－2,15)9．已知f 1(x )＝sin x ＋cos x ，记f 2(x )＝f 1′(x )，f 3(x )＝f 2′(x )，…，f n (x )＝f n －1′(x )(n ∈N *，n ≥2)，则f 1(π2)＋f 2(π2)＋…＋f 2 012(π2)＝________. 解析：f 2(x )＝f 1′(x )＝cos x －sin x ，f 3(x )＝(cos x －sin x )′＝－sin x －cos x ，f 4(x )＝－cos x ＋sin x ，f 5(x )＝sin x ＋cos x ，以此类推，可得出f n (x )＝f n ＋4(x )又∵f 1(x )＋f 2(x )＋f 3(x )＋f 4(x )＝0，∴f 1(π2)＋f 2(π2)＋…＋f 2012(π2)＝f 1(π2)＋f 2(π2)＋f 3(π2)＋f 4(π2＝0. 答案：0三、解答题(共3小题，满分35分)10．求下列函数的导数．(1)y ＝x 2sin x ；(2)y ＝e x ＋1e x －1； (3) y ＝log 2(2x 2＋3x ＋1)．解：(1)y ′＝(x 2)′sin x ＋x 2(sin x )′＝2x sin x ＋x 2cos x .(2)法一：y ′＝(e x ＋1)′(e x －1)－(e x ＋1)(e x－1)′(e x －1)2 ＝e x (e x －1)－(e x ＋1)e x (e x －1)2＝－2e x(e x －1)2. 法二：∵y ＝e x －1＋2e x －1＝1＋2e x －1， ∴y ′＝1′＋⎝⎛⎭⎫2e x －1′，即y ′＝－2e x(e x －1)2. (3)法一：设y ＝log 2u ，u ＝2x 2＋3x ＋1，则y ′x ＝y ′u ·u ′x ＝1u ·ln2(4x ＋3)＝4x ＋3(2x 2＋3x ＋1)ln2. 法二：y ′＝[log 2(2x 2＋3x ＋1)]′＝1(2x 2＋3x ＋1)ln2·(2x 2＋3x ＋1)′＝4x ＋3(2x 2＋3x ＋1)ln211．已知曲线y ＝16x 2－1与y ＝1＋x 3在x ＝x 0处的切线互相垂直，求x 0的值． 解：对于y ＝16x 2－1，有y ′＝13x ，k 1＝y ′|x ＝x 0＝13x 0； 对于y ＝1＋x 3，有y ′＝3x 2，k 2＝y ′|x ＝x 0＝3x 20.又k 1k 2＝－1，则x 30＝－1，x 0＝－1.12．设有抛物线C ：y ＝－x 2＋92x －4，过原点O 作C 的切线y ＝kx ，使切点P 在第一象限．(1)求k 的值；(2)过点P 作切线的垂线，求它与抛物线的另一个交点Q 的坐标．解：(1)设点P 的坐标为(x 1，y 1)，则y 1＝kx 1①y 1＝－x 21＋92x 1－4② ①代入②得x 21＋(k －92x 1＋4＝0. ∵P 为切点，∴Δ＝(k －922－16＝0得k ＝172或k ＝12. 当k ＝172时，x 1＝－2，y 1＝－17. 当k ＝12x 1＝2，y 1＝1. ∵P 在第一象限，∴所求的斜率k ＝12. (2)过P 点作切线的垂线，其方程为y ＝－2x ＋5③将③代入抛物线方程得x 2－132x ＋9＝0. 设Q 点的坐标为(x 2，y 2)， 即2x 2＝9，∴x 2＝92，y 2＝－4. ∴Q 点的坐标为(92，－4)．。

章末检测[选题细目表]考查学问点基础题中档题较难题1.物质的性质及分类1、2 82.离子反应与离子方程式3、103.离子共存问题5、94.氧化还原反应 4 6 75.氧化还原反应的计算和方程式书写11一、选择题(本题包括7个小题，每小题6分，共42分，每小题仅有一个选项符合题意)1．分类方法在化学学科的进展中起到了格外重要的作用。

下列分类标准合理的是()①依据分散系的稳定性将分散系分为溶液、胶体和浊液②依据酸分子中含有的氢原子个数将酸分为一元酸、二元酸等③依据化合物在熔融状态下能否完全电离将化合物分为强电解质和弱电解质④依据氧化物的元素组成将氧化物分为酸性氧化物、碱性氧化物、两性氧化物⑤依据反应中是否有电子的转移将化学反应分为氧化还原反应和非氧化还原反应⑥依据反应的热效应将化学反应分为放热反应和吸热反应A．①②⑤B．②④C．①③⑥D．⑤⑥解析：依据分散质粒子的直径大小将分散系分为溶液、胶体和浊液；依据酸分子中能电离出氢离子的个数将酸分为一元酸、二元酸等；依据电解质在水溶液中能否完全电离将电解质分为强电解质和弱电解质；依据氧化物的性质将氧化物分为酸性氧化物、碱性氧化物、两性氧化物。

答案：D2．(2022·绍兴一中高三检验)通过复习总结，下列归纳正确的是()A．Na2O、NaOH、Na2CO3、NaCl、Na2SO4、Na2O2都属于钠的含氧化合物B．简洁非金属阴离子只有还原性，而金属阳离子不肯定只有氧化性C．一种元素可能有多种氧化物，但一种化合价只对应一种氧化物D．物质发生化学变化肯定有化学键断裂与生成，并伴有能量变化，而发生物理变化就肯定没有化学键断裂与生成，也没有能量变化解析：氯化钠中没有氧元素，不属于钠的含氧化合物，A项错误；金属阳离子不肯定只有氧化性，如Fe2＋既具有氧化性又具有还原性，B项正确；一种元素可能有多种氧化物，同一化合价也可以对应几种氧化物，如NO2、N2O4等，C项错误；物理变化也可能有化学键断裂与生成，有能量变化，如氯化铵溶于水，有离子键的断裂，同时吸热，D项错误。

2.2.2反证法课时目标 1.了解间接证明的一种基本方法——反证法.2.了解反证法的思考过程、特点.3.结合已经学过的数学实例，理解反证法的推理过程，证明步骤，体会直接证明与间接证明的区别与联系．1．一般地，假设原命题不成立(即在原命题的条件下，结论不成立)，经过____________，最后得出________，因此说明假设________，从而证明了原命题________，这样的证明方法叫做反证法．反证法是间接证明的一种基本方法．2．反证法的关键是在正确的推理下得出矛盾，这个矛盾可以是与________________________________________________等矛盾．一、选择题1．应用反证法推出矛盾的推导过程中要把下列哪些作为条件使用()①结论相反判断，即假设；②原命题的条件；③公理、定理、定义等；④原结论．A．①②B．①②④C．①②③D．②③2．反证法的关键是在正确的推理下得出矛盾．这个矛盾可以是()①与已知条件矛盾；②与假设矛盾；③与定义、公理、定理矛盾；④与事实矛盾．A．①②B．①③C．①③④D．①②③④3．用反证法证明命题：若整系数一元二次方程ax2＋bx＋c＝0 (a≠0)有有理数根，那么a、b、c中至少有一个是偶数时，下列假设中正确的是()A．假设a、b、c都是偶数B．假设a、b、c都不是偶数C．假设a、b、c至多有一个偶数D．假设a、b、c至多有两个偶数4．命题“三角形中最多只有一个内角是直角”的结论的否定是()A．有两个内角是直角B．有三个内角是直角C．至少有两个内角是直角D．没有一个内角是直角5．否定“自然数a、b、c中恰有一个偶数”时正确的反设为()A．a、b、c都是奇数B．a、b、c都是偶数C．a、b、c中至少有两个偶数D．a、b、c中都是奇数或至少有两个偶数6．已知a，b，c，d为实数，且c>d，则“a>b”是“a－c>b－d”的()A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件二、填空题7．用反证法证明：“△ABC中，若∠A>∠B，则a>b”的结论的否定为________．8．将“函数f(x)＝4x2－2(p－2)x－2p2－p＋1在区间[－1,1]上至少存在一个实数c，使f(c)>0”反设，所得命题为“__________________________”．9．若下列两个方程x2＋(a－1)x＋a2＝0，x2＋2ax－2a＝0中至少有一个方程有实根，则实数a的取值范围是______________．三、解答题10．已知a是整数，a2是偶数，求证：a也是偶数．11.若a 、b 、c 均为实数，且a ＝x 2－2y ＋π2，b ＝y 2－2z ＋π3，c ＝z 2－2x ＋π6，求证：a 、b 、c 中至少有一个大于0. 能力提升12．求证：不论x ，y 取何非零实数，等式1x ＋1y ＝1x ＋y 总不成立．13．等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1＋2，S 3＝9＋3 2. (1)求数列{a n }的通项a n 与前n 项和S n ；(2)设b n ＝S nn (n ∈N *)，求证：数列{b n }中任意不同的三项都不可能成为等比数列．1．对于否定性命题或结论中出现“至多”、“至少”、“不可能”等字样时，常用反证法．2．反证法的基本步骤是：(1)反设——假设命题的结论不成立，即假设原结论的反面为真；(2)归谬——从反设和已知条件出发，经过一系列正确的逻辑推理，得出矛盾的结果；(3)存真——由矛盾结果，断定反设不真，从而肯定结论成立．答案知识梳理1．正确的推理矛盾错误成立2．已知条件或与假设或与定义、公理、定理、事实作业设计1．C 2.D 3.B 4.C5．D[恰有一个偶数的否定有两种情况，其一是无偶数(全为奇数)，其二是至少有两个偶数．]6．B[∵c>d，∴－c<－d，a>b，∴a－c与b－d的大小无法比较．可采用反证法，当a －c >b －d 成立时，假设a ≤b ，∵－c <－d ， ∴a －c <b －d ，与题设矛盾，∴a >b .综上可知，“a >b ”是“a －c >b －d ”的必要不充分条件．] 7．a ≤b8．函数f (x )＝4x 2－2(p －2)x －2p 2－p ＋1在区间[－1,1]上恒小于等于0 9．a ≤－2或a ≥－1解析 若方程x 2＋(a －1)x ＋a 2＝0有实根， 则(a －1)2－4a 2≥0，∴－1≤a ≤13.若方程x 2＋2ax －2a ＝0有实根． 则4a 2＋8a ≥0，∴a ≤－2或a ≥0， ∴当两个方程至少有一个实根时， －1≤a ≤13或a ≤－2或a ≥0.即a ≤－2或a ≥－1.10．证明 假设a 不是偶数，则a 为奇数． 设a ＝2m ＋1(m 为整数)，则a 2＝4m 2＋4m ＋1.因为4(m 2＋m )是偶数，所以4m 2＋4m ＋1为奇数，所以a 2为奇数，与已知矛盾，所以假设错误，所以原命题成立，即a 是偶数．11．证明 设a 、b 、c 都不大于0，即a ≤0，b ≤0，c ≤0， ∴a ＋b ＋c ≤0.而a ＋b ＋c ＝⎝⎛⎭⎫x 2－2y ＋π2＋⎝⎛⎭⎫y 2－2z ＋π3＋⎝⎛⎭⎫z 2－2x ＋π6 ＝(x 2－2x )＋(y 2－2y )＋(z 2－2z )＋π ＝(x －1)2＋(y －1)2＋(z －1)2＋π－3. ∴a ＋b ＋c >0，这与a ＋b ＋c ≤0矛盾， 故a 、b 、c 中至少有一个大于0.12．证明 假设存在非零实数x ，y 使得等式1x ＋1y ＝1x ＋y 成立．于是有y (x ＋y )＋x (x ＋y )＝xy ， 即x 2＋y 2＋xy ＝0， 即(x ＋y 2)2＋34y 2＝0.由y ≠0，得34y 2>0.又(x ＋y 2)2≥0，所以(x ＋y 2)2＋34y 2>0.与x 2＋y 2＋xy ＝0矛盾，故原命题成立． 13．(1)解 设公差为d ，由已知得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝2＋1，3a 1＋3d ＝9＋32， ∴d ＝2，故a n ＝2n －1＋2，S n ＝n (n ＋2)． (2)证明 由(1)得b n ＝S nn＝n ＋ 2.假设数列{b n }中存在三项b p 、b q 、b r (p 、q 、r 互不相等)成等比数列，则b 2q ＝b p b r ，即(q ＋2)2＝(p ＋2)(r ＋2)， ∴(q 2－pr )＋(2q －p －r )2＝0. ∵p ，q ，r ∈N *，∴⎩⎪⎨⎪⎧q 2－pr ＝0，2q －p －r ＝0，∴⎝⎛⎭⎪⎫p ＋r 22＝pr ，(p －r )2＝0， ∴p ＝r ，这与p ≠r 矛盾．所以数列{b n }中任意不同的三项都不可能成为等比数列．。

第二章综合训练一、选择题(在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合要求的)1.2 024的倒数是()A.12024B.-12024C.2 024D.-2 0242.某水库4月份的最高水位超过标准水位5 cm,记为+5 cm,最低水位低于标准水位3 cm,记为-3 cm,则4月份该水库的水位差是()A.8 cmB.3 cmC.5 cmD.-8 cm3.将数据3 395 000用科学记数法表示为()A.33.95×105B.3.395×105C.3.395×106D.0.339 5×1074.计算(-1)÷3×(-13)的结果是()A.-1B.1C.19D.95.下列说法正确的是()A.近似数0.015 8精确到0.001B.近似数304.35精确到百分位C.近似数1.804精确到万分位D.近似数6.237×106精确到0.0016.运用分配律计算1357×716时,下列变形最简便的是()A.(13+57)×716B.(14-27)×716C.(10+357)×716D.(16-227)×7167.下列算式中可运用分配律带来简便的是()A.60÷(13−14+112) B.(13−14+112)÷60C.(13−14+112)÷160D.(13−14+112)×1608.小丽利用业余时间练字,以每天写30个字为数量标准,超过30的个数记作正数,不足的个数记作负数.根据周一到周五的统计表,计算小丽这五天共写了多少个字()A.28个B.185个C.178个D.198个9.根据下面的运算程序,若输入x的值为-1,则输出y的值为()A.1B.3C.6D.2410.我们常用的数是十进制数,计算机程序使用的是二进制数(只有数码0和1),二进制是逢2进1的计数制,两者之间可以互相换算,如将(101)2,(1011)2换算成十进制数为: (101)2=1×22+0×21+1×20=4+0+1=5,(1011)2=1×23+0×22+1×21+1×20=8+0+2+1=11按此方式,则(1111)2=()A.8B.4C.16D.15二、填空题(将结果填在题中横线上)11.计算:-3+|-5|=.12.一辆公交车上原有14人,经过3个站点时乘客上、下车情况如下(上车人数记为正,下车人数记为负,单位:人此时公交车上有人.13.计算:-30×(12−23+45)=.14.用四舍五入法把3.141 592 6精确到千分位是;近似数3.0×106精确到位.15.计算:(-81)÷214×49÷=-15.16.已知a是有理数,[a]表示不超过a的最大整数,如[3.2]=3,[-1.5]=-2,[0.8]=0,[2]=2等,那么[3.14]÷[3]×[-512]=.三、解答题(解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17.计算:(1)12-16+(-5)-9;(2)(-3)×2+|-4|-(-1)2 024.18.在横线上填写每一步的运算依据:22+(-4)+(-2)+4.解:原式=22+4+(-4)+(-2) , =(22+4)+[(-4)+(-2)] , =26+(-6) , =20.19.计算:(-2 02156)+(-2 02023)+4 04223+(-112).20.已知|x|=2,|y|=3,且xy>0,求x-y 的值.21.定义一种新运算:a △b=(a+1)÷b ,求2△(-3△4)的值.22.数学老师布置了一道思考题:“计算(-160)÷(13−310+112−15)”,小红和小明两位同学经过仔细思考,用不同的方法解答了这个问题.小红的解法:原式的倒数为(13−310+112−15)÷(-160)=(13−310+112−15)×(-60)=-20+18-5+12=5,所以(-160)÷(13−310+112−15)=15.小明的解法:原式=(-160)÷[(13+112)-(310+15)]=(-160)÷(512−12)=-160×(-12)=15. 请你分别用小红和小明的方法计算:(-124)÷(16−512+38−23).23.小明有5张写着不同数字的卡片,请你按要求抽出卡片,完成下列问题:(1)从中取出2张卡片,使这2张卡片上数字的乘积最小,乘积的最小值为 ; (2)从中取出4张卡片,用学过的运算方法,使结果为24.写出运算式子.(写出一种即可) 计算结果为24的式子为 .第二章综合训练1.A2.A3.C4.C5.B6.D7.C 解析:A 项中,60÷(13-14+112),除法不具有分配律,不符合题意; B 项中,(13-14+112)÷60=(13-14+112)×160,可以使用分配律,但运算没有更简便,不符合题意; C 项中,(13-14+112)÷160=(13-14+112)×60=13×60-14×60+112×60=20-15+5=10,可以使用分配律,且运算更简便,符合题意; D 项中,(13-14+112)×160,可以使用分配律,但运算没有更简便,不符合题意. 故选C . 8.C9.D 解析:根据题意,得(-1)2×3-3=0,02×3-3=-3<0,(-3)2×3-3=24>0,输出y 的值为24,故选D . 10.D 解析:(1111)2=1×23+1×22+1×21+1×20=15,故选D . 11.2 12.1113.-19 解析:-30×(12-23+45) =-30×12+(-30)×(-23)+(-30)×45 =-15+20-24 =-19.14.3.142 十万15.1615 解析:(-81)÷214×49=(-81)×49×49=-16,得-16÷ =-15. 根据“除数=被除数÷商”,得(-16)÷(-15)=1615. 16.-6 解析:因为[a ]表示不超过a 的最大整数, 所以[3.14]÷[3]×[-512]=3÷3×(-6)=-6. 17.解:(1)12-16+(-5)-9 =-4-5-9 =-18.(2)(-3)×2+|-4|-(-1)2 024 =(-3)×2+4-1 =-6+4-1 =-3.18.加法交换律 加法结合律 有理数加法法则19.解:原式=[(-2 021)+(-56)]+[(-2 020)+(-23)]+(4 042+23)+[(-1)+(-12)]=(-2 021-2 020+4 042-1)+(-56-23+23-12)=0+(-43)=-43. 20.解:因为|x|=2,|y|=3, 所以x=±2,y=±3. 因为xy>0, 所以x ,y 同号.当x=2,y=3时,x-y=2-3=-1; 当x=-2,y=-3时,x-y=-2-(-3)=1. 综上所述,x-y 的值为-1或1. 21.解:因为-3△4=(-3+1)÷4=-0.5,所以2△(-3△4)=2△(-0.5)=(2+1)÷(-0.5)=3÷(-0.5)=-6.22.解:法1:原式的倒数为(16-512+38-23)÷(-124)=(16-512+38-23)×(-24)=-4+10-9+16=13, 所以(-124)÷(16-512+38-23)的值为113. 法2:原式=(-124)÷[(16+38)-(512+23)] =(-124)÷(1324-1312)=(-124)÷(-1324) =-124×(-2413)=113.23.(1)-20 (2)[-3-(-5)]×[(+3)×(+4)]=24(答案不唯一) 解析:(1)(+4)×(-5)=-20,所以乘积的最小值是-20.(2)[-3-(-5)]×[(+3)×(+4)]=(-3+5)×12=24.。