高一〔上〕第一次月考数学试卷一、选择题：本大题共12个小题，每题每题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.A={x∈Q|x>−1}，则〔〕A.⌀∉AB.√2∉AC.√2∈AD.{√2}⊆AA到B的映射f:x→y=2x+1，那么集合A中元素2在B中对应的元素是〔〕A.2B.5C.6D.8A={x|1<x<2}，B={x|x<a}，假设A⊆B，则a的范围是〔〕A.a≥2B.a≥1C.a≤1D.a≤2y=√2x−1的定义域是〔〕A.(12, +∞) B.[12, +∞) C.(−∞, 12) D.(−∞, 12]U={0, 1, 3, 5, 6, 8}，集合A={1, 5, 8 }，B={2}，则集合(∁U A)∪B=( ) A.{0, 2, 3, 6} B.{0, 3, 6}C.{2, 1, 5, 8}D.⌀A={x|−1≤x<3}，B={x|2<x≤5}，则A∪B=( )A.(2, 3)B.[−1, 5]C.(−1, 5)D.(−1, 5]7.以下函数是奇函数的是〔〕A.y =xB.y =2x 2−3C.y =√xD.y =x 2，x ∈[0, 1]8.化简：√(π−4)2+π=( )A.4B.2π−4C.2π−4或4D.4−2πM ={x|−2≤x ≤2}，N ={y|0≤y ≤2}，给出以下四个图形，其中能表示以M 为定义域，N 为值域的函数关系的是〔 〕A. B.C. D.f(x)=g(x)+2，且g(x)为奇函数，假设f(2)=3，则f(−2)=( )A.0B.−3C.1D.311.f(x)={x 2,x >0π0,x <0,x =0，则f{f[f(−3)]}等于〔 〕 A.0B.πC.π2D.9f(x)是 R 上的增函数，A(0, −1)，B(3, 1)是其图象上的两点，那么|f(x)|<1的解集是〔 〕A.(−3, 0)B.(0, 3)C.(−∞, −1]∪D.(−∞, 0]∪[3, +∞) [1, +∞)二、填空题〔每题5分，总分值20分，将答案填在答题纸上〕f(x)={x +5(x >1)2x 2+1(x ≤1)，则f[f(1)]=________．f(x −1)=x 2，则f(x)=________．R 上的奇函数f(x)，当x >0时，f(x)=2；则奇函数f(x)的值域是________．以下命题：①假设函数y =2x +1的定义域是{x|x ≤0}，则它的值域是{y|y ≤1}；②假设函数y =1x 的定义域是{x|x >2}，则它的值域是{y|y ≤12}；③假设函数y =x 2的值域是{y|0≤y ≤4}，则它的定义域一定是{x|−2≤x ≤2}； ④假设函数y =x +1x 的定义域是{x|x <0}，则它的值域是{y|y ≤−2}．其中不正确的命题的序号是________．〔注：把你认为不正确的命题的序号都填上〕三、解答题〔本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.〕U ={1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}，A ={x|x 2−3x +2=0}，B ={x|1≤x ≤5, x ∈Z}，C ={x|2<x <9, x ∈Z}(1)求A ∪(B ∩C)；(2)求(∁U B)∪(∁U C)A ={x|x 2−ax +a 2−19=0}，B ={x|x 2−5x +6=0}，C ={x|x 2+2x −8=0}．(1)假设A =B ，求实数a 的值；(2)假设⌀⊊A∩B，A∩C=⌀，求实数a的值．f(x)=x+1 x(1)判断函数的奇偶性，并加以证明；(2)用定义证明f(x)在(0, 1)上是减函数；(3)函数f(x)在(−1, 0)上是单调增函数还是单调减函数？〔直接写出答案，不要求写证明过程〕．f(x)是定义在R上的偶函数，且当x≤0时，f(x)=x2+2x．(1)现已画出函数f(x)在y轴左侧的图象，如下图，请补出完整函数f(x)的图象，并根据图象写出函数f(x)的增区间；(2)写出函数f(x)的解析式和值域．f(x)=ax2+bx+1(a≠0, b∈R)，假设f(−1)=0，且对任意实数x(x∈R)不等式f(x)≥0恒成立．(1)求实数a、b的值；(2)当x∈[−2, 2]时，g(x)=f(x)−kx是增函数，求实数k的取值范围．f(x)是定义在R上的函数，假设对于任意的x，y∈R，都有f(x+y)=f(x)+f(y)，且x> 0，有f(x)>0．(1)求证：f(0)=0；(2)判断函数的奇偶性；(3)判断函数f(x)在R上的单调性，并证明你的结论．答案1.【答案】B【解析】根据题意，易得集合A的元素为全体大于−1的有理数，据此分析选项，综合可得答案．【解答】解：∵集合A={x∈Q|x>−1}，∴集合A中的元素是大于−1的有理数，对于A，“∈”只用于元素与集合间的关系，故A错；对于B，√2不是有理数，故B正确，C错，D错；故选：B．2.【答案】B【解析】由已知集合A到B的映射f:x→y=2x+1中的x与2x+1的对应关系，可得到答案．【解答】解：∵集合A到B的映射f:x→y=2x+1，∴2→y=2×2+1=5．∴集合A中元素2在B中对应的元素是5．故选：B．3.【答案】A【解析】根据两个集合间的包含关系，考查端点值的大小可得2≤a．【解答】解：∵集合A={x|1<x<2}，B={x|x<a}，A⊆B，∴2≤a，故选：A．4.【答案】B【解析】原函数只含一个根式，只需根式内部的代数式大于等于0即可．【解答】解：要使函数有意义，则需2x−1≥0，即x≥12，所以原函数的定义域为[12, +∞)．故选：B．5.【答案】A【解析】利用补集的定义求出(C U A)，再利用并集的定义求出(C U A)∪B．【解答】解：∵U={0, 1, 3, 5, 6, 8}，A={ 1, 5, 8 }，∴(C U A)={0, 3, 6}∵B={2}，∴(C U A)∪B={0, 2, 3, 6}故选：A6.【答案】B【解析】分别把两集合的解集表示在数轴上，根据数轴求出两集合的并集即可．【解答】解：把集合A={x|−1≤x<3}，B={x|2<x≤5}，表示在数轴上：则A∪B=[−1, 5]．故选B7.【答案】A【解析】由条件利用函数的奇偶性的定义，得出结论．【解答】解：∵函数y=f(x)=x的定义域为R，且满足f(−x)=−x=−f(x)，故函数f(x)是奇函数；∵函数y=f(x)=2x2−3的定义域为R，且满足f(−x)=2(−x)2−3=2x2−3=f(x)，故函数f(x)是偶函数；∵函数y=√x的定义域为[0, +∞)，不关于原点对称，故函数为非奇非偶函数；∵函数y=x2，x∈[0, 1]的定义域不关于原点对称，故函数为非奇非偶函数，故选：A．8.【答案】A【解析】由π<4，得√(π−4)2=4−π，由此能求出原式的值．【解答】解：√(π−4)2+π=4−π+π=4．故选：A．9.【答案】B【解析】此题考查的是函数的概念和图象问题．在解答时首先要对函数的概念从两个方面进行理解：一是对于定义域内的任意一个自变量在值域当中都有唯一确定的元素与之对应，二是满足一对一、多对一的标准，绝不能出现一对多的现象．【解答】解：由题意可知：M={x|−2≤x≤2}，N={y|0≤y≤2}，对在集合M中(0, 2]内的元素没有像，所以不对；对不符合一对一或多对一的原则，故不对；对在值域当中有的元素没有原像，所以不对；而符合函数的定义．故选：B．10.【答案】C【解析】由已知可知f(2)=g(2)+2=3，可求g(2)，然后把x=−2代入f(−2)=g(−2)+2=−g(2)+2可求【解答】解：∵f(x)=g(x)+2，f(2)=3，∴f(2)=g(2)+2=3∴g(2)=1∵g(x)为奇函数则f(−2)=g(−2)+2=−g(2)+2=1故选：C11.【答案】C【解析】应从内到外逐层求解，计算时要充分考虑自变量的范围．根据不同的范围代不同的解析式．【解答】解：由题可知：∵−3<0，∴f(−3)=0，∴f[f(−3)]=f(0)=π>0，∴f{f[f(−3)]}=f(π)=π2故选C12.【答案】B【解析】|f(x)|<1等价于−1<f(x)<1，根据A(0, −1)，B(3, 1)是其图象上的两点，可得f(0)<f(x)<f(3)，利用函数f(x)是R上的增函数，可得结论．【解答】解：|f(x)|<1等价于−1<f(x)<1，∵A(0, −1)，B(3, 1)是其图象上的两点，∴f(0)<f(x)<f(3)∵函数f(x)是R上的增函数，∴0<x<3∴|f(x)|<1的解集是(0, 3)故选：B．13.【答案】8【解析】先求f(1)的值，判断出将1代入解析式2x2+1；再求f(3)，判断出将3代入解析式x+5即可．【解答】解：∵f(1)=2+1=3∴f[f(1)]=f(3)=3+5=8故答案为：814. 【答案】(x +1)2【解析】可用换元法求解该类函数的解析式，令x −1=t ，则x =t +1代入f(x −1)=x 2可得到f(t)=(t +1)2即f(x)=(x +1)2【解答】解：由f(x −1)=x 2，令x −1=t ，则x =t +1代入f(x −1)=x 2可得到f(t)=(t +1)2∴f(x)=(x +1)2故答案为：(x +1)2．15. 【答案】{−2, 0, 2}【解析】根据函数是在R 上的奇函数f(x)，求出f(0)；再根据x >0时的解析式，求出x <0的解析式，从而求出函数在R 上的解析式，即可求出奇函数f(x)的值域．【解答】解：∵定义在R 上的奇函数f(x)，∴f(−x)=−f(x)，f(0)=0设x <0，则−x >0时，f(−x)=−f(x)=−2∴f(x)={2x >00x =0−2x <0∴奇函数f(x)的值域是：{−2, 0, 2}故答案为：{−2, 0, 2}16. 【答案】②③【解析】逐项分析．①根据一次函数的单调性易得；②根据反比例函数的图象和性质易知其值域应为(0, 12)；③可举反例说明；④利用均值不等式可得．【解答】解：①当x ≤0时，2x +1≤1，故①正确；②由反比例函数的图象和性质知，当x >2时，0<1x <12，故②错误；③当函数定义域为[0, 2]时，函数值域也为[0, 4]，故③错误；④当x <0时，y =x +1x =−[(−x)+1−x ]．因为(−x)+1−x ≥2√(−x)⋅1−x =2，所以y ≤−2，故④正确．综上可知：②③错误．故答案为：②③．17. 【答案】解：(1)依题意有：A ={1, 2}，B ={1, 2, 3, 4, 5}，C ={3, 4, 5, 6, 7, 8}， ∴B ∩C ={3, 4, 5}，故有A ∪(B ∩C)={1, 2}∪{3, 4, 5}={1, 2, 3, 4, 5}．; (2)由∁U B ={6, 7, 8}，∁U C ={1, 2}；故有(∁U B)∪(∁U C)={6, 7, 8}∪{1, 2}={1, 2, 6, 7, 8}．【解析】(1)先用列举法表示A 、B 、C 三个集合，利用交集和并集的定义求出B ∩C ，进而求出A ∪(B ∩C)．; (2)先利用补集的定义求出(∁U B)和(∁U C)，再利用并集的定义求出(∁U B)∪(∁U C)．【解答】解：(1)依题意有：A ={1, 2}，B ={1, 2, 3, 4, 5}，C ={3, 4, 5, 6, 7, 8}， ∴B ∩C ={3, 4, 5}，故有A ∪(B ∩C)={1, 2}∪{3, 4, 5}={1, 2, 3, 4, 5}．; (2)由∁U B ={6, 7, 8}，∁U C ={1, 2}；故有(∁U B)∪(∁U C)={6, 7, 8}∪{1, 2}={1, 2, 6, 7, 8}．18. 【答案】解：(1)由题意知：B ={2, 3}∵A =B∴2和3是方程x 2−ax +a 2−19=0的两根．由{4−2a +a 2−19=09−3a +a 2−19=0得a =5．; (2)由题意知：C ={−4, 2}∵⌀⊂A ∩B ，A ∩C =⌀∴3∈A∴3是方程x 2−ax +a 2−19=0的根．∴9−3a +a 2−19=0∴a =−2或5当a =5时，A =B ={2, 3}，A ∩C ≠⌀；当a =−2时，符合题意故a =−2．【解析】(1)先根据A =B ，化简集合B ，根据集合相等的定义，结合二次方程根的定义建立等量关系，解之即可；; (2)先求出集合B 和集合C ，然后根据A ∩B ≠⌀，A ∩C =⌀，则只有3∈A ，代入方程x 2−ax +a 2−19=0求出a 的值，最后分别验证a 的值是否符合题意，从而求出a 的值．【解答】解：(1)由题意知：B ={2, 3}∵A =B∴2和3是方程x 2−ax +a 2−19=0的两根．由{4−2a +a 2−19=09−3a +a 2−19=0得a =5．; (2)由题意知：C ={−4, 2}∵⌀⊂A ∩B ，A ∩C =⌀∴3∈A∴3是方程x 2−ax +a 2−19=0的根．∴9−3a +a 2−19=0∴a =−2或5当a =5时，A =B ={2, 3}，A ∩C ≠⌀；当a =−2时，符合题意故a =−2．19. 【答案】证明：(1)函数为奇函数f(−x)=−x −1x =−(x +1x )=−f(x); (2)设x 1，x 2∈(0, 1)且x 1<x 2f(x 2)−f(x 1)=x 2+1x 2−x 1−1x 1=(x 2−x 1)(1−1x 1x 2)=(x 2−x 1)(x 1x 2−1)x 1x 2∵0<x 1<x 2<1，∴x 1x 2<1，x 1x 2−1<0，∵x 2>x 1∴x 2−x 1>0．∴f(x 2)−f(x 1)<0，f(x 2)<f(x 1)因此函数f(x)在(0, 1)上是减函数; (3)f(x)在(−1, 0)上是减函数．【解析】(1)用函数奇偶性定义证明，要注意定义域．; (2)先任取两个变量，且界定大小，再作差变形看符号，; (3)由函数图象判断即可．【解答】证明：(1)函数为奇函数f(−x)=−x −1x =−(x +1x )=−f(x); (2)设x 1，x 2∈(0, 1)且x 1<x 2f(x 2)−f(x 1)=x 2+1x 2−x 1−1x 1=(x 2−x 1)(1−1x 1x 2)=(x 2−x 1)(x 1x 2−1)x 1x 2∵0<x 1<x 2<1，∴x 1x 2<1，x 1x 2−1<0，∵x 2>x 1∴x 2−x 1>0．∴f(x 2)−f(x 1)<0，f(x 2)<f(x 1)因此函数f(x)在(0, 1)上是减函数; (3)f(x)在(−1, 0)上是减函数．20. 【答案】解：(1)因为函数为偶函数，故图象关于y 轴对称，补出完整函数图象如有图：所以f(x)的递增区间是(−1, 0)，(1, +∞)．; (2)设x >0，则−x <0，所以f(−x)=x 2−2x ，因为f(x)是定义在R 上的偶函数，所以f(−x)=f(x)，所以x >0时，f(x)=x 2−2x ，故f(x)的解析式为f(x)={x 2+2x,x ≤0x 2−2x,x >0值域为{y|y ≥−1}【解析】(1)因为函数为偶函数，故图象关于y 轴对称，由此补出完整函数f(x)的图象即可，再由图象直接可写出f(x)的增区间．; (2)可由图象利用待定系数法求出x >0时的解析式，也可利用偶函数求解析式，值域可从图形直接观察得到．【解答】解：(1)因为函数为偶函数，故图象关于y 轴对称，补出完整函数图象如有图：所以f(x)的递增区间是(−1, 0)，(1, +∞)．; (2)设x >0，则−x <0，所以f(−x)=x 2−2x ，因为f(x)是定义在R 上的偶函数，所以f(−x)=f(x)，所以x >0时，f(x)=x 2−2x ，故f(x)的解析式为f(x)={x 2+2x,x ≤0x 2−2x,x >0值域为{y|y ≥−1}21. 【答案】解：(1)∵f(−1)=0，∴a −b +1=0．…∵任意实数x 均有f(x)≥0成立，∴{a >0△=b 2−4a ≤0． 解得a =1，b =2．…; (2)由(1)知f(x)=x 2+2x +1，∴g(x)=f(x)−kx =x 2+(2−k)x +1的对称轴为x =k−22．… ∵当x ∈[−2, 2]时，g(x)是增函数，∴k−22≤−2，…∴实数k 的取值范围是(−∞, −2]．…【解析】(1)利用f(−1)=0，且对任意实数x(x ∈R)不等式f(x)≥0恒成立，列出方程组，求解即可．; (2)求出函数的对称轴，利用函数的单调性列出不等式，求解即可．【解答】解：(1)∵f(−1)=0，∴a −b +1=0．…∵任意实数x 均有f(x)≥0成立，∴{a >0△=b 2−4a ≤0． 解得a =1，b =2．…; (2)由(1)知f(x)=x 2+2x +1，∴g(x)=f(x)−kx =x 2+(2−k)x +1的对称轴为x =k−22．… ∵当x ∈[−2, 2]时，g(x)是增函数，∴k−22≤−2，…∴实数k 的取值范围是(−∞, −2]．…22. 【答案】解：(1)由f(x +y)=f(x)+f(y)，令x =y =0，∴f(0)=2f(0)，∴f(0)=0．; (2)由f(x+y)=f(x)+f(y)，令x=−y，∴f(0)=f(x)+f(−x)，即f(−x)=−f(x)，且f(0)=0，∴f(x)是奇函数．; (3)f(x)在R上是增函数．证明：在R上任取x1，x2，并且x1>x2，∴f(x1−x2)=f(x1)−f(x2)．∵x1>x2，即x1−x2>0，∴f(x1−x2)=f(x1)−f(x2)>0，∴f(x)在R上是增函数．【解析】(1)直接令x=y=0，代入f(x+y)=f(x)+f(y)即可；; (2)令x=−y，所以有f(0)=f(x)+f(−x)，即证明为奇函数；; (3)直接利用函数的单调性定义证明即可；【解答】解：(1)由f(x+y)=f(x)+f(y)，令x=y=0，∴f(0)=2f(0)，∴f(0)=0．; (2)由f(x+y)=f(x)+f(y)，令x=−y，∴f(0)=f(x)+f(−x)，即f(−x)=−f(x)，且f(0)=0，∴f(x)是奇函数．; (3)f(x)在R上是增函数．证明：在R上任取x1，x2，并且x1>x2，∴f(x1−x2)=f(x1)−f(x2)．∵x1>x2，即x1−x2>0，∴f(x1−x2)=f(x1)−f(x2)>0，∴f(x)在R上是增函数．。
