对数的运算法则及公式例题
对数的运算法则主要包括以下几个方面：
1. 对数的乘法法则：
logₐ(MN) = logₐM + logₐN
2. 对数的除法法则：
logₐ(M/N) = logₐM - logₐN
3. 对数的幂法法则：
logₐMᵇ= b * logₐM
4. 对数的换底法则：
logₐM = logᵦM / logᵦa
公式例题：
1. 求log₃(9)的值。
解：根据对数的定义，3的多少次方等于9，很明显3的2次方等于9，即log₃(9) = 2。
2. 求log₄(16)的值。
解：同样根据对数的定义，4的多少次方等于16，显然4的2次方等于16，因此log₄(16) = 2。
3. 求log₂(8)的值。
解：根据对数的定义，2的多少次方等于8，很明显2的3次方等于8，即log₂(8) = 3。
4. 求log₈(2)的值。
解：根据对数的定义，8的多少次方等于2，很明显8的-1次方等于2，因此log₈(2) = -1。
5. 求log₅(25)的值。
解：根据对数的定义，5的多少次方等于25，很明显5的2次方等于25，因此log₅(25) = 2。
3.12对数一、选择题1．使对数log a (－2a ＋1)有意义的a 的取值范围为( ) A ．0＜a ＜12且a ≠1B ．0＜a ＜12C ．a ＞0且a ≠1D ．a ＜12[答案] B[解析] 由对数的性质，得⎩⎪⎨⎪⎧－2a ＋1＞0a ＞0a ≠1，解得0＜a ＜12.2．已知log 7[log 3(log 2x )]＝0，那么x －12等于( ) A.13 B ．123C.122 D ．133 [答案] C[解析] ∵log 7[log 3(log 2x )]＝0， ∴log 3(log 2x )＝1，∴log 2x ＝3， ∴x ＝8，∴x －12＝8－12＝122.3．若f (10x )＝x ，则f (3)的值为( ) A ．log 310 B ．lg3 C ．103 D ．310[答案] B[解析] ∵f (10x )＝x ，令10x ＝t ，∴x ＝lg t ， ∴f (t )＝lg t ，∴f (3)＝lg3.4．的值为( )A ．2＋ 5B ．2 5C ．2＋52D ．1＋52[答案] B5．若log 3[log 4(log 5a )]＝log 4[log 3(log 5b )]＝0，则ab 等于( )A ．4B ．5C ．3D ．15[答案] B[解析] ∵log 3[log 4(log 5a )]＝log 4[log 3(log 5b )]＝0， ∴log 4(log 5a )＝1，log 3(log 5b )＝1，∴log 5a ＝4，log 5b ＝3， ∴a ＝54，b ＝53，∴ab ＝5.6．方程2log 3x ＝14的解是( )A.33B ．3C ．19D ．9 [答案] C[解析] ∵2 log 3x ＝14＝2－2，∴log 3x ＝－2，∴x ＝3－2＝19.7． (lg5)2＋lg2·lg5＋lg20的值是( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．3[答案] C[解析] (lg5)2＋lg2·lg5＋lg20 ＝lg5(lg5＋lg2)＋lg20 ＝lg5＋lg20＝lg100＝2. 8．log (2＋1)(3－22)的值为( )A ．2B ．－2C ．3D ．－3[答案] B [解析] log (2＋1)(3－22)＝log (2＋1)1(2＋1)2＝log (2＋1)(2＋1)－2＝－2.9.2lg2＋lg31＋12lg0.36＋13lg8＝( )A ．－1B ．1C ．2D ．3[答案] B [解析]2lg2＋lg31＋12lg0.36＋13lg8＝lg4＋lg3lg10＋lg0.6＋lg2＝lg12lg12＝1.10．log 52·log 425等于( ) A ．－1 B ．12C ．1D ．2[答案] C[解析] log 52·log 425＝lg2lg5·lg52lg22＝lg2lg5·2lg52lg2＝1.11．化简log 1a b －log a 1b 的值为( )A ．0B ．1C ．2log a bD ．－2log a b[答案] A[解析] log 1ab －log a 1b ＝lg b lg 1a－lg1b lg a ＝－lg b lg a ＋lg blg a ＝0.12．若x log 34＝1，则4x ＋4－x 的值为( )A. 83 B ．103C ．2D ．1[答案] B[解析] ∵x log 34＝1，∴x ＝1log 34＝log 43， ∴4x ＝4log 43＝3,4－x ＝14x ＝13，∴4x ＋4－x ＝3＋13＝103.13．若log 513·log 36·log 6x ＝2，则x ＝( )A ．9B ．19C ．25D ．125[答案] D[解析] ∵log 513·log 36·log 6x ＝2，∴lg13lg5·lg6lg3·lg x lg6＝2，∴lg x ＝－2lg5＝lg5－2，∴x ＝125.14．1log 1419＋1log 1513等于( )A ．lg3B ．－lg3 C.1lg3 D ．－1lg3[答案] C[解析] 1log 1419＋1log 1513＝lg14lg 19＋lg 15lg13＝－2lg2－2lg3＋－lg5－lg3＝lg2lg3＋lg5lg3＝lg10lg3＝1lg3. 15．已知log a x ＝2，log b x ＝1，log c x ＝4，则log x (abc )等于( ) A.47 B ．27 C.72 D ．74 [答案] D[解析] 由题意得x ＝a 2，x ＝b ，x ＝c 4，∴(abc )4＝x 7， ∴abc ＝x 74，∴log x (abc )＝74.16．设2a ＝5b ＝m ，且1a ＋1b ＝2，则m ＝( )A.10 B ．10 C ．20 D ．100[答案] A[解析] ∵2a ＝5b ＝m ，∴a ＝log 2m ，b ＝log 5m ， ∴1a ＋1b ＝1log 2m ＋1log 5m ＝log m 2＋log m 5＝log m 10＝2， ∴m ＝10.故选A. 二、填空题17．设a ＝log 310，b ＝log 37，则3a －2b＝________.[答案]104918．若log (1－x )(1＋x )2＝1，则x ＝________. [答案] －3[解析] 由对数的性质，得⎩⎪⎨⎪⎧1－x ＞01－x ≠1(1＋x )2≠0(1＋x )2＝1－x，解得x ＝－3.19．若log x (2＋3)＝－1，则x ＝________. [答案] 2－ 3[解析] ∵log x (2＋3)＝－1，∴x －1＝2＋3，∴1x ＝2＋3，∴x ＝12＋3＝2－ 3. 20．log 63＝0.6131，log 6x ＝0.3869，则x ＝________. [答案] 2[解析] log 6x ＝0.3869＝1－0.6131＝1－log 63 ＝log 66－log 63＝log 663＝log 62，∴x ＝2.21．已知log 32＝a ，则2log 36＋log 30.5＝________. [答案] 2＋a[解析] 2log 36＋log 30.5＝log 336＋log 30.5＝log 3(36×0.5)＝log 318＝log 39＋log 32＝log 332＋log 32＝2＋a . 22．方程lg x 2－lg(x ＋2)＝0的解集是________． [答案] {－1,2}[解析] ∵lg x 2－lg(x ＋2)＝0， ∴⎩⎪⎨⎪⎧x ≠0x ＋2＞0x 2＝x ＋2，解得x ＝－1或x ＝2. ∴方程lg x 2－lg(x ＋2)＝0的解集为{－1,2}．23．已知f (3x )＝2x ·log 23，则f (21 005)的值等于________． [答案] 2 010[解析] 令3x ＝t ，∴x ＝log 3t ， ∴f (t )＝2log 3t ·log 23＝2·lg t lg3·lg3lg2＝2log 2t ，∴f (21 005)＝2log 221 005＝2×1 005＝2 010. 5.12lg0.36＋13lg82lg2＋lg0.3＝________. [答案] 1[解析] 12lg0.36＋13lg82lg2＋lg0.3＝lg0.6＋lg2lg4＋lg0.3＝lg1.2lg1.2＝1.三、解答题24．解方程3lg x －2－3lg x ＋4＝0.[解析] 设3lg x －2＝a ≥0，则3lg x ＝a 2＋2， ∴原方程化为a －a 2＋2＝0， 解得a ＝－1或a ＝2.∵a ≥0，∴a ＝2.∴3lg x －2＝2， ∴3lg x －2＝4，∴lg x ＝2，x ＝100. 经检验知，x ＝100是原方程的根． 25．计算下列各式的值： (1)12lg 3249－43lg 8＋lg 245； (2)lg 2＋lg3－lg 10lg1.8.[解析] (1)原式＝12(5lg2－2lg7)－43×32lg2＋12(2lg7＋lg5)＝52lg2－lg7－2lg2＋lg7＋12lg5＝12(lg2＋lg5)＝12.(2)原式＝12(lg2＋lg9－lg10)lg1.8＝12lg1.8lg1.8＝12.26．计算：2723－2log 23×log 218＋2lg(3＋5＋3－5)．[解析] 2723－2 log 23×log 218＋2lg(3＋5＋3－5)＝(33) 23－3×log 22－3＋lg(3＋5＋3－5)2＝9＋9＋lg10＝19.27．(1)设log a 2＝m ，log a 3＝n ，求a 2m＋n的值；(2)设x ＝log 23，求22x ＋2－2x ＋22x ＋2－x的值． [解析] (1)∵log a 2＝m ，log a 3＝n ，∴a 2m ＋n ＝a 2m ·a n ＝(a m )2·a n ＝(a log a 2)2·a log a 3＝4×3＝12.(2)22x ＋2－2x ＋22x ＋2－x ＝(2x ＋2－x )22x ＋2－x＝2x ＋2－x＝2 log 23＋(2 log 23)－1＝3＋13＝103.28．计算下列各式的值： (1)log 2748＋log 212－12log 242；(2)lg52＋23lg8＋lg5·lg20＋(lg2)2. [解析] (1)原式＝log 2748＋log 212－log 242＝log 2⎝ ⎛⎭⎪⎫748×142×12＝log 2⎝ ⎛⎭⎪⎫16×8×16×12＝log 228＝log 22－12＝－12.(2)原式＝2lg5＋2lg2＋lg5·(1＋lg2)＋(lg2)2 ＝2(lg5＋lg2)＋lg5＋lg2(lg5＋lg2) ＝2＋lg5＋lg2＝2＋1＝3.29．若log 37·log 29·log 49m ＝log 412，求m 的值．[解析] ∵log 37·log 29·log 49m ＝log 412，∴lg7lg3·2lg3lg2·lg m 2lg7＝－lg22lg2＝－12， ∴lg m ＝－12lg2＝lg2－12 ，∴m ＝2－12 ＝22.30．已知x ，y ，z 均大于1，a ≠0，log z a ＝24，log y a ＝40，log (xyz )a ＝12，求log x a . [解析] 由log z a ＝24得log a z ＝124，由log y a ＝40得log a y ＝140，由log (xyz )a ＝12得log a (xyz )＝112， 即log a x ＋log a y ＋log a z ＝112.∴log a x ＋140＋124＝112，解得log a x ＝160，∴log x a ＝60.31．已知log a x ＋3log x a －log x y ＝3(a ＞1)． (1)若设x ＝a t ，试用a ，t 表示y ；(2)若当0＜t ≤2时，y 有最小值8，求a 和x 的值． [解析] (1)由换底公式，得 log a x ＋3log a x －log a ylog a x ＝3(a ＞1)，∴log a y ＝(log a x )2－3log a x ＋3，当x ＝a t 时，log a x ＝log a a t ＝t ，∴log a y ＝t 2－3t ＋3， 故y ＝a t2－3t ＋3(t ≠0)．(2)y ＝a (t －32)2＋34，∵0＜t ≤2，a ＞1，∴当t ＝32时，y min ＝a 34 ＝8，∴a ＝16，此时x ＝a 32＝64.。
2017-2018学年 高一数学 必修一 对数运算 计算题练习1、计算：.2、计算：3、计算：.4、计算：．5、计算：6、计算：3log 2lg 27log 5.0lg 24log 232-+-+8、计算：2.1lg3.0lg)1000lg8lg27(lg19lg3lg2⋅-+⋅+-.9、计算：lg25＋lg2·lg 50＋lg22；10、计算：11、计算：12、计算：13、计算：14、计算：12lg )2(lg 5lg 2lg )2(lg 222+-+⋅+15、计算：.16、计算：17、计算： ；18、计算：20、计算：21、计算：22、计算：；23、计算：24、计算：25、计算：26、计算：27、计算：；28、计算．29、计算：.30、计算：．31、计算：32、计算：2log32－log3＋log38－；33、计算：.34、计算：35、计算：36、计算：lg +lg 70-lg 3-；37、计算：(lg5)2＋lg2·lg50＋21＋log25.38、计算：39、计算：参考答案1、答案为：1.5.2、答案为：4.75.3、答案为：6.5.4、答案为：4.5.5、答案为：-4.6、答案为：1.5.8、答案为：-1.5.9、答案为：2.10、答案为：1.25.11、答案为：212、答案为：513、答案为：1＋2.14、答案为：1.15、答案为：-7.16、答案为：5.17、答案为：0.18、答案为：320、答案为：0.5.21、答案为：4.22、答案为：a-2.23、答案为：1.24、答案为：1.5.25、答案为：0.5.26、答案为：7/6.27、答案为：6.28、答案为：1.29、答案为：3.5.30、答案为：1.31、答案为：3.5.32、答案为：-7.33、答案为：2.34、答案为：035、答案为：1.25.36、答案为：lg3.37、答案为：1＋2.38、答案为：11.39、答案为：2.注：资料可能无法思考和涵盖全面，最好仔细浏览后下载使用，感谢您的关注！。
等式两边取对数的例题摘要：1.题目要求2.等式两边取对数的概念3.例题解析4.结论正文：一、题目要求在数学中，等式两边取对数是一种常见的运算方法，它可以帮助我们简化复杂的数学问题。
当我们在解决这类问题时，通常需要遵循一定的步骤和规则。
本篇文章将为大家介绍等式两边取对数的相关知识，并通过一个具体的例题进行解析。
二、等式两边取对数的概念等式两边取对数，指的是将一个等式中的两边同时取自然对数或常用对数。
这种运算方法在数学中有着广泛的应用，尤其在概率论、统计学和微积分等学科中。
自然对数是指以自然常数e 为底的对数，常用对数是指以10 为底的对数。
在实际运算中，等式两边取对数通常指的是取自然对数。
三、例题解析现在，我们通过一个具体的例题来说明等式两边取对数的方法。
例题：已知等式x + 2 = 5，请求解该等式的自然对数。
解答过程如下：1.首先，根据等式x + 2 = 5，我们可以得到x = 5 - 2 = 3。
2.然后，将等式的两边同时取自然对数，即ln(x + 2) = ln(3)。
3.利用对数的性质，我们可以将等式化简为ln(x) + ln(2) = ln(3)。
4.再次利用对数的性质，将等式化简为ln(2x) = ln(3)。
5.最后，通过对数的反函数，我们可以得到x = e^(ln(3) / 2)。
因此，等式x + 2 = 5 的自然对数为ln(3)。
四、结论通过以上例题的解析，我们可以看出等式两边取对数是一种非常有用的数学方法。
它能够帮助我们简化复杂的问题，并为后续的计算提供便利。
