7现代数学(二)20世纪数学概观

第12章20世纪数学概观课时：4课时教学目标：理解20世纪纯粹数学（核心数学）、应用数学、数学与计算机等发展的重要特征及其主要成果。

教学方式：阅读史料、讨论思考、感悟总结主题：20世纪数学的发展概述：在16世纪之前形成了以代数和几何的初等数学体系，主要对象是现实世界的静态描述，表现为解释性和工具性功能。

17世纪伴随解析几何和微积分的创立和18世纪分析的开拓，数学的发展进入近代数学，其处理对象进入变量，形成了以函数概念为主体的分析领域，数学表现为科学的工具。

19世纪，传统领域的崛起和开拓，极大突破了分析一统天下的局面，形成了现代数学经典三大学科：代数、几何和分析。

这一世纪，人才辈出，经过众多数学家的努力极大拓展了数学的疆域和数学信念，数学本位特征加强。

20世纪，数学急剧膨胀，纯粹数学的扩张、应用数学的发展和计算机的应用为数学点缀了一个绚丽的天空，让人应接不暇。

我们不仅惊异于数学的伟大成就，而且也受益于数学创造带来的力量。

Ⅰ20世纪纯粹数学的发展线索问题：1 20世纪纯粹数学发展的主要特征或趋势是什么？2希尔伯特23个问题的重要意义是什么？3公理化方法和集合论在20世纪数学发展中的意义是什么？4 20世纪有哪些重要的学科的发展及其基本思想是什么？5 20世纪数学统一化的主要数学成果有哪些？6 三大学派的代表人物及其主要思想有哪些？主要内容：19世纪数学的变革与积累使数学建立了分支众多、知识庞大的体系，已经初步体现出了参天大树的雏形，20世纪的数学在此基础上急剧扩展，并广泛应用，为数学的发展展现了广阔的前景和提供了强大的动力。

20世纪的数学发展表现出了如下主要特征和趋势：（1）更高的抽象性；（2）更强的统一性（同时，数学也表现出了更大的分化性，呈现多元化发展）；（3）更深入的基础探讨。

一、新世纪数学序幕1900年8月，在巴黎举行的第二届国际数学家大会（1897年在瑞士举行第一次大会）上，德国数学家希尔伯特在大会上发表了题为《数学问题》的演说，高瞻远瞩地提出了著名的23个问题。

二、纯粹数学的研究领域 一方面，从更高的抽象上说，发展了 1、实变函数与泛函分析 2、抽象代数 3、拓扑学 4、公理化概率论
另一方面，从更高的统一化上说，发展了 1、微分拓扑与代数拓扑 2、整体微分几何 3、其他学科的融合
三、纯粹数学发展研究的序幕——希尔伯特问题
1900年8月，德国数学家希尔伯特在巴黎国际数学家 大会上作了题为《数学问题》的著名演讲。希尔伯特整 个演说的主体，是根据19世纪数学成果和发展趋势而提 出的23个数学问题，这些问题涉及现代数学的许多重要 领域。一个世纪以来，这些问题一直激发着数学家们浓 厚的研究兴趣。
2、集合论的发展 罗素悖论的争论
三大学派：
第一，罗素、怀特海为代表的逻辑主义学派
第二，以荷兰数学家布劳维为代表的直觉主义学派
第三，以德国数学家希尔伯特为代表的形式主义学 派
2、集合论的发展 罗素悖论的争论
三大学派进行了激烈的争论，分析了悖论产生 的根源，人们希望能够通过对康托尔的集合论进行 改造，通过对集合定义加以限制来排除悖论，这就 需要建立新的原则。
四、集合论的发展史
1、集合论概念
所谓集合论，是研究集合（由一堆抽象物件构 成的整体）的数学理论，包含了集合、元素和成员 关系等最基本的数学概念。在大多数现代数学的公 式化中，集合论提供了要如何描述数学物件的语言。
四、集合论的发展史 1、集合论概念
集合论是从一个物件o和集合A之间的二元关系 开始：若o是A的元素，可表示为o ∈ A。由于集合 也是一个物件，因此上述关系也可以用在集合和集 合的关系。
2、集合论的发展 理发师悖论与罗素悖论是等价的：
如果把每个人看成一个集合，这个集合的元素 被定义成这个人刮脸的对象。那么，理发师宣称， 他的元素，都是城里不属于自身的那些集合，并且 城里所有不属于自身的集合都属于他。那么他是否 属于他自己？这样就由理发师悖论得到了罗素悖论。 反过来的变换也是成立的。

运筹学的发展
线性规划：康托洛维奇在1939年发表 《生产组织与计划中的数学方法》。 1947年美国的丹齐格又独立地发展了 线性规划理论。1984年，美国数学家 卡玛卡发明了一种多项式时间的线性 规划算法。
非线性规划：1951年库恩和塔克尔对一 般的约束非线性规划问题得到了局部极 值点的“库恩-塔克尔条件”，他们的 论文标题为《非线性规划》。 动态规划：贝尔曼1957年发表的专著 《动态规划》，标志着动态规划学科的 建立
第十二章：20世纪数学概观
----空前发展的应用数学 第三节：独立的应用学科 第四节：计算机与现代数学
12· 3 独立的应用学科
数理统计的先驱 贝叶斯(1702-1763) Thomas Bayes， 英国数学家.1702年出生于伦敦，做过 神甫。1742年成为英国皇家学会会员。 1763年4月7日逝世。贝叶斯在数学方 面主要研究概率论。他首先将归纳推理 法用于概率论基础理论，并创立了贝叶 斯统计理论，对于统计决策函数、统计 推断、统计的估算等做出了贡献.1763 年发表了这方面的论著，对于现代概率 论和数理统计都有很重要的作用。贝叶 斯的另一著作《机会的学说概论》发表 于1758年。贝叶斯所采用的许多术语 被沿用至今。
数运 学筹 规学 划中 论庞 大 的 领 域 ：
控制论
经典控制论主要研究单输入和单输出的线性 控制系统的一般规律，它建立了系统、信息、调 节、控制、反馈、稳定性等控制论的基本概念和 分析方法，为现代控制理论的发展奠定了基础。 它研究的重点是反馈控制，核心装置是自动调节 器，主要应用于单机自动化。现代控制论的研究 对象是多输入和多输出系统的非线性控制系统， 其中重点研究的是最优控制、随机控制和自适应 控制，主要应用于机组自动化和生物系统。而大 系统理论的主要研究对象是众多因素复杂的控制 系统(如宏观经济系统、资源分配系统、生态和环 境系统、能源系统等)，研究的重点是大系统的多 级递阶控制、分解-协调原理、分散最优控制和大 系统模型降阶

历史开始．Euc1id几何是数学理论中最 早的一个例子，直到Descartes在我们现在称 为的笛卡儿平面中引入代数坐标之前，它一 直是纯几何的．Descartes的做法是一种将几 何思考化为代数运算的尝试．从代数学家们 的角度来讲，这当然是对几何学的一个重大 突破或者说一次重大的冲击，如果我们来比 较Newton和Leibniz在分析方面的工作，我们 会发现他们属于不同的传统，Newton基本上 是一个几何学家而Le1bniz基本土是一个代数 学家，这其中有着很深刻的道理．
从交换到非交换
所有这些都是以不同的方式形成了把 非交换乘法引入代数理论的基石，我形象 地把它们说成是二十世纪代数机器赖以生 存的“面包和黄油”．我们现在可以不去 思考这些，但在十九世纪，以上所有例子 都以各自不同的方式取得了重大的突破， 当然，这些思想在不同的领域内得到了惊 人的发展．矩阵和非交换乘法在物理中的 应用产生了量子理论．Heisenberg对易关 系是非交换代数在物理中的一个最重要的 应用例子，以至后来被von Neumann推广 到他的算子代数理论中．
在十九世纪末期，也就是一百年前， Poincaré 和Hilbert是两个主要人物．我在 前面已经提到过他们了，并且可以粗略地 讲，他们分别是Newton和Leibniz的传 人．Poincaré的思想更多的是几何和拓扑 的精神，他用这些思想作为他的基本洞察 工具．Hilbert更多的是一个形式主义者， 他要的是公理化，形式化，并且要给出严 格的，形式的描述．虽然任何一个伟大的 数学家都不能轻易地被归到哪一类中去， 但是，很清楚地，他们属于不同的传统．
在物理学，Maxwell方程（电磁学的基 本方程）是线性偏微分方程．与之对应的 是著名的Yang-Mills方程，它们是非线性方 程并被假定用来调控与物质结构有关的 力．这些方程之所以是非线性的，是因为 Yang-Mills方程本质上是Maxwell方程的矩 阵体现，并且由矩阵不可交换这一事实导 致方程中出现非线性项．于是在这里我们 看到了一个非线性性与非交换性之间的有 趣的联系．非交换性产生一类特殊的非线 性性，这的确是很有意思和很重要的．