2020年度北京朝阳初三(上)期末数学

2020北京朝阳区初三（上）期末数学备考训练概率一．选择题（共10小题）1．有一则笑话：妈妈正在给一对双胞胎洗澡，先洗哥哥，再洗弟弟，刚把两人洗完，就听到两个小家伙在床上笑，“你们笑什么？”妈妈问“妈妈!”老大回答，“您给弟弟洗了两回，可是还没给我洗呢!”此事件发生的概率为（）A．B．C．D．1【分析】根据概率是指某件事发生的可能性为多少解答即可．【解答】解：此事件发生的概率，故选：A．【点评】本题考查了概率的意义，正确理解概率的含义是解决本题的关键．2．下列事件中，随机事件是（）A．任意画一个圆的内接四边形，其对角互补B．现阶段人们乘高铁出行在购买车票时，采用网络购票方式C．从分别写有数字1，2，3的三个纸团中随机抽取一个，抽到的数字是0D．通常情况下，北京在大寒这一天的最低气温会在0℃以下【分析】根据事件发生的可能性大小判断相应事件的类型即可．【解答】解：A、是必然事件，故A不符合题意；B、是随机事件，故B符合题意；C、是不可能事件，故C不符合题意；D、是必然事件，故D不符合题意；故选：B．【点评】本题考查了随机事件，解决本题需要正确理解必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．3．下列事件中，是必然事件的是（）A．明天太阳从东方升起B．射击运动员射击一次，命中靶心C．随意翻到一本书的某页，这页的页码是奇数D．经过有交通信号灯的路口，遇到红灯【分析】根据必然事件、不可能事件、随机事件的概念，可得答案．【解答】解：A、明天太阳从东方升起是必然事件，故A正确；B、射击运动员射击一次，命中靶心是随机事件，故B错误；C、随意翻到一本书的某页，这页的页码是奇数是随机事件，故C错误；D、经过有交通信号灯的路口，遇到红灯是随机事件，故D错误；故选：A．【点评】本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．4．一个不透明的盒子中装有6个大小相同的乒乓球，其中4个是黄球，2个是白球．从该盒子中任意摸出一个球，摸到黄球的概率是（）A．B．C．D．【分析】直接利用概率公式求解．【解答】解：从该盒子中任意摸出一个球，摸到黄球的概率＝＝．故选：A．【点评】本题考查了概率公式：随机事件A的概率P（A）＝事件A可能出现的结果数除以所有可能出现的结果数．5．下列事件为必然事件的是（）A．任意掷一枚均匀的硬币，正面朝上B．篮球运动员投篮，投进篮筐C．一个星期有七天D．打开电视机，正在播放新闻【分析】必然事件就是一定发生的事件，根据定义即可判断．【解答】解：A、任意掷一枚均匀的硬币，正面朝上是随机事件，选项错误；B、篮球运动员投篮，投进篮筐是随机事假，选项错误；C、一个星期有7天，是必然事件，选项正确；D、打开电视机，正在播放新闻是随机事假．故选：C．【点评】本题考查了必然事件的定义，解决本题需要正确理解必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件．不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．6．下列事件是随机事件的是（）A．明天太阳从东方升起B．任意画一个三角形，其内角和是360°C．通常温度降到0℃以下，纯净的水结冰D．射击运动员射击一次，命中靶心【分析】根据必然事件、不可能事件、随机事件的概念，可得答案．【解答】解：A、明天太阳从东方升起是必然事件，故A错误；B、任意画一个三角形，其内角和是360°是不可能事件，故B错误；C、通常温度降到0℃以下，纯净的水结冰是必然事件，故C错误；D、射击运动员射击一次，命中靶心是随机事件，故D正确；故选：D．【点评】本题考查了随机事件，解决本题需要正确理解必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件．不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．7．下列说法正确的是（）A．“明天的降水概率为80%”，意味着明天有80%的时间降雨B．小明上次的体育测试成绩是“优秀”，这次测试成绩一定也是“优秀”C．“某彩票中奖概率是1%”，表示买100张这种彩票一定会中奖D．掷一枚质地均匀的骰子，“点数为奇数”的概率等于“点数为偶数”的概率【分析】根据概率的意义，概率是反映事件发生机会的大小的概念，只是表示发生的机会的大小，机会大也不一定发生．【解答】解；A、“明天的降水概率为80%”，意味着明天降雨的可能是80%，故此选项错误；B、小明上次的体育测试成绩是“优秀”，这次测试成绩不一定也是“优秀”，故此选项错误；C、“某彩票中奖概率是1%”，表示买100张这种彩票可能会中奖，故此选项错误；D、掷一枚质地均匀的骰子，“点数为奇数”的概率等于“点数为偶数”的概率，此选项正确．故选：D．【点评】此题主要考查了概率的意义，关键是弄清随机事件和必然事件的概念的区别．8．下列事件中，必然事件是（）A．把4个球放入3个抽屉中，其中至少有1个抽屉中有2个球B．明天是晴天C．若将一枚硬币抛掷10次，其中能有5次国徽向上D．随意购买一张体育彩票能够中奖【分析】必然事件就是一定发生的事件，即发生的概率是1的事件．【解答】解：A、把4个球放入3个抽屉中，其中至少有1个抽屉中有2个球是必然事件，故本选项正确；B、明天是晴天是随机事件，故本选项错误；C、若将一枚硬币抛掷10次，其中能有5次国徽向上是随机事件，故本选项错误；D、随意购买一张体育彩票能够中奖是随机事件，故本选项错误．故选：A．【点评】考查了随机事件，解决本题要正确理解必然事件、不可能事件、随机事件的概念，理解概念是解决基础题的主要方法．用到的知识点为：必然事件指在一定条件下一定发生的事件；不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．9．掷一枚质地均匀的正方体骰子，骰子的六个面上分别刻有1到6的点数，掷得朝上一面的点数为偶数的概率为（）A．B．C．D．【分析】根据概率公式知，6个数中有3个偶数，故掷一次骰子，向上一面的点数为偶数的概率是．【解答】解：根据题意可得：掷一次骰子，向上一面的点数有6种情况，其中有3种为向上一面的点数偶数；故其概率是＝．故选：D．【点评】本题考查的是概率的求法的运用．如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）＝．10．一个口袋中装有除颜色不同外其它都完全相同的小球，其中白球4个，红球3个，将它们搅匀后从袋中随机摸出1个球，则摸出白球的概率是（）A．B．C．D．【分析】让白球的个数除以球的总数即为摸到白球的概率．【解答】解：因为白球4个，红球3个一共7个，所以摸出白球的概率是．故选：C．【点评】本题考查概率的基本计算，用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．二．填空题（共6小题）11．“π的估计”有很多方法，下面这个随机模拟实验就是一种，其过程如下：如图，随机撒一把米到画有正方形及其内切圆的白纸上，统计落在圆内的米粒数m与正方形内的米粒数n，并计算频率；在相同条件下，大量重复以上试验，当显现出一定稳定性时，就可以估计出π的值为．请说出其中所蕴含的原理：用频率估计概率．【分析】根据几何概型的概率公式，即可以进行估计，得到结论．【解答】解：随机撒一把米到画有正方形及其内切圆的白纸上，统计落在圆内的米粒数m与正方形内的米粒数n，并计算频率；在相同条件下，大量重复以上试验，当显现出一定稳定性时，就可以估计出π的值为．其中所蕴含的原理是用频率估计概率．故答案为：用频率估计概率．【点评】本题主要考查用频率估计概率，根据几何概型的概率公式，进行估计是解决本题的关键，比较基础．12．某农科所在相同条件下做某种作物种子发芽率的试验，结果如表所示：种子个数n1000 1500 2500 4000 8000 15000 20000 30000发芽种子个数m899 1365 2245 3644 7272 13680 18160 27300发芽种子频率0.899 0.910 0.898 0.911 0.909 0.912 0.908 0.910则该作物种子发芽的概率约为0.910 ．【分析】选一个表格中发芽种子频率比较按近的数，如0.900、0.910等都可以．【解答】解：答案不唯一，如：0.910．故答案为：0.910．【点评】本题考查了利用频率估计概率，大量反复试验下频率稳定值即概率．13．在一个不透明的袋子中，装有2个红球和3个白球，它们除颜色外其余均相同．现随机从袋中摸出一个球，颜色是白色的概率是．【分析】根据概率的求法，找准两点：①全部情况的总数；②符合条件的情况数目；二者的比值就是其发生的概率．【解答】解：根据题意可得：一个不透明的袋中装有除颜色外其余均相同的2个红球和3个白球，共5个，现随机从袋中摸出一个球，颜色是白色的概率是．故答案为．【点评】此题考查概率的求法：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）＝．14．一枚质地均匀的骰子，六个面分别刻有1到6的点数，掷这个骰子一次，则向上一面的点数大3的概率是．【分析】由一枚质地均匀的骰子，六个面分别刻有1到6的点数，直接利用概率公式求解即可求得答案．【解答】解：∵一枚质地均匀的骰子，六个面分别刻有1到6的点数，∴掷这个骰子一次，则向上一面的点数大3的概率是：＝．故答案为：．【点评】此题考查了概率公式的应用．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．15．一个盒子中装有30个完全相同的小球，其中有16个小球中装有奖卷，一等奖2个，二等奖5个，三等奖9个，从盒子中随意摸出一个小球，可获得一等奖的概率是．【分析】让一等奖的个数除以球的总数即为所求的概率．【解答】解：因为盒子中装有30个完全相同的小球，一等奖有2个，根据概率公式，可获得一等奖的概率是＝．【点评】明确概率的意义是解答的关键，用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．16．一个质地均匀的小正方体的六个面上分别标有数字1，2，3，4，5，6，如果任意抛掷小正方体一次，请根据该试验写出一个随机事件：抛掷骰子数字2的一面朝上（答案不唯一）．【分析】填写一个可能发生，也可能不发生的事件即可．【解答】解：答案不唯一，随机事件符合实际即可：抛掷骰子数字2的一面朝上．【点评】随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．三．解答题（共7小题）17．某商场有一个可以自由转动的圆形转盘（如图）．规定：顾客购物100元以上可以获得一次转动转盘的机会，当转盘停止时，指针落在哪一个区域就获得相应的奖品（指针指向两个扇形的交线时，当作指向右边的扇形）．下表是活动进行中的一组统计数据动转盘的次100 150 200 500 800 1000数n落在“铅68 111 136 345 546 701笔”的次数m落在“铅0.68 0.74 0.68 0.69 0.68 0.70笔”的频率（结果保留小数点后两位）（1）转动该转盘一次，获得铅笔的概率约为0.7 ；（结果保留小数点后一位）（2）铅笔每支0.5元，饮料每瓶3元，经统计该商场每天约有4000名顾客参加抽奖活动，请计算该商场每天大致需要支出的奖品费用；（3）在（2）的条件下，该商场想把每天支出的奖品费用控制在3000元左右，则转盘上“一瓶饮料”区域的圆心角应调整为36 度．【分析】（1）利用频率估计概率求解；（2）利用（1）得到获得铅笔的概率为0.7和获得饮料的概率为0.3，然后计算4000×0.5×0.7+4000×3×0.3即可；（3）设转盘上“一瓶饮料”区域的圆心角应调整为n度，则4000×3×+4000×0.5（1﹣）＝3000，然后解方程即可．【解答】解：（1）转动该转盘一次，获得铅笔的概率约为0.7；（2）4000×0.5×0.7+4000×3×0.3＝5000，所以该商场每天大致需要支出的奖品费用为5000元；（3）设转盘上“一瓶饮料”区域的圆心角应调整为n度，则4000×3×+4000×0.5（1﹣）＝3000，解得n＝36，所以转盘上“一瓶饮料”区域的圆心角应调整为36度．故答案为36．【点评】本题考查了利用频率估计概率：大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．用频率估计概率得到的是近似值，随实验次数的增多，值越来越精确．也考查了扇形统计图．18．有两盏节能灯，每一盏能通电发亮的概率都是50%，按照图中所示的并联方式连接电路，观察这两盏灯发亮的情况．（1）列举出所有可能的情况；（2）求出至少有一盏灯可以发亮的概率．【分析】（1）设两盏节能灯分别记为灯1，灯2，通过列表即可得到所有可能情况；（2）由（1）可知所有可能的结果，即可求出至少有一盏灯可以发亮的概率．【解答】解：（1）列表如下：亮不亮灯1灯2亮（亮，亮）（亮，不亮）不亮（亮，不亮）（不亮，不亮）（2）由（1）可知：所有可能出现的情况共有4种，它们出现的可能性相等，至少有一盏灯可以发亮的情况有3种，所有P（至少有一盏灯可以发亮）＝．【点评】此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件，用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．19．党的十八大提出，倡导富强、民主、文明、和谐，倡导自由、平等、公正、法治，倡导爱国、敬业、诚信、友善，积极培育和践行社会主义核心价值观，这24个字是社会主义核心价值观的基本内容．其中：“富强、民主、文明、和谐”是国家层面的价值目标；“自由、平等、公正、法治”是社会层面的价值取向；“爱国、敬业、诚信、友善”是公民个人层面的价值准则．小光同学将其中的“文明”、“和谐”、“自由”、“平等”的文字分别贴在4张硬纸板上，制成如图所示的卡片．将这4张卡片背面朝上洗匀后放在桌子上，从中随机抽取一张卡片，不放回，再随机抽取一张卡片．（1）小光第一次抽取的卡片上的文字是国家层面价值目标的概率是；（2）请你用列表法或画树状图法，帮助小光求出两次抽取卡片上的文字一次是国家层面价值目标、一次是社会层面价值取向的概率（卡片名称可用字母表示）．【分析】（1）直接根据概率公式求解；（2）先画树状图展示所有12种等可能的结果数，再找出两次抽取卡片上的文字一次是国家层面价值目标、一次是社会层面价值取向的结果数，然后根据概率公式求解．【解答】解：（1）小光第一次抽取的卡片上的文字是国家层面价值目标的概率＝＝；故答案为；（2）画树状图为：共有12种等可能的结果数，其中两次抽取卡片上的文字一次是国家层面价值目标、一次是社会层面价值取向的结果数为8，所以两次抽取卡片上的文字一次是国家层面价值目标、一次是社会层面价值取向的概率＝＝．【点评】本题考查了列表法或树状图法：通过列表法或树状图法展示所有等可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后根据概率公式求出事件A或B的概率．20．在三个不透明的袋子中分别装有一些除颜色外完全相同的球．甲袋中装有1个红球和2个白球，乙袋中装有1个黄球和1个白球，丙袋中装有1个红球和1个白球．从每个袋子中随机摸出一个球，用树形图法求“摸出三个白球”的概率．【分析】画树状图得出所有等可能的情况数，找出摸出三个白球的情况数，即可求出所求概率．【解答】解：根据题意画出树状图，如图所示：得到所有等可能的情况有12种，其中摸出三个白球的情况有2种，则P＝＝．【点评】此题考查了列表法与树状图法，用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．21．某班新年联欢会设计了即兴表演节目的游戏，在两个不透明的袋子中分别装入一些牌，甲袋内的4张牌分别标记数字1、2、3、4；乙袋内的3张牌分别标记数字2、3、4，这些牌除了标数外其余都相同．游戏规则是：参加游戏的同学从甲、乙两个袋子里分别随机摸出一张牌，若两张牌上的标数相同，就要给大家即兴表演一个节目．用列表法或树形图法求出联欢会上参加该游戏的某位同学即兴表演节目的概率．【分析】首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与联欢会上参加该游戏的某位同学即兴表演节目的情况，然后利用概率公式求解即可求得答案．【解答】解：画树状图得：∵共有12种等可能的结果，联欢会上参加该游戏的某位同学即兴表演节目的有3种情况，∴P（即兴表演节目）＝＝．【点评】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件；注意概率＝所求情况数与总情况数之比．22．九（1）班召开联欢会，采用抽签方式表演节目．在一个不透明的盒子里装有大小、质地均相同的红、黄、蓝、白色乒乓球各一个．先从盒子中随机摸出一个乒乓球（记下颜色后放回盒中），再从盒子中随机摸出一个乒乓球，如果两次摸出球的颜色相同，就要表演一个节目．请你用树形图或列表法求出小玲同学抽签结果为表演节目的概率．【分析】列举出所有情况，看所求的情况占总情况的多少即可．【解答】解：共有16种情况，两次摸出球的颜色相同的有4种，所以概率P＝．【点评】如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）＝．注意本题是放回实验．23．某次晚会的组织者为了使晚会的气氛热烈，策划时计划将参加晚会的人员分成甲、乙两方，整场晚会以转盘游戏的方式进行，每个节目开始时，两方各派一人先进行转盘游戏，胜者获得一件奖品，负者表演一个节目．甲方人员利用分别标有数字1，2，3和4，5，6，7的两个转盘（如图，转盘1被三等分，转盘2被四等分）设计了一种游戏方案：两人同时各转动一个转盘一次，将转到的数字相加，和为偶数时，甲方代表胜；和为奇数时，乙方代表胜．你认为该方案对双方是否公平？请借助列表法或树形图法说明理由．【分析】游戏是否公平，关键要看是否游戏双方赢的机会相等，本题中即甲方代表胜与乙方代表胜的概率是否相等，求出概率比较，即可得出结论．【解答】解：列表如下：4 5 6 71 （1，4）（1，5）（1，6）（1，7）2 （2，4）（2，5）（2，6）（2，7）3 （3，4）（3，5）（3，6）（3，7）（3分）由列表可知，可能出现的结果有12个，满足和为偶数的结果有6个，即（1，5），（l，7），（2，4），（2，6），（3，5），（3，7），所以P（甲方胜）＝＝，（4分）两方获胜的概率相等，该方案对双方是公平的（5分）．【点评】本题考查的是游戏公平性的判断．判断游戏公平性就要计算每个事件的概率，概率相等就公平，否则就不公平．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．。

北京市朝阳区2019~2020学年度第一学期期末检测九年级数学试卷（选用） 2020.1（考试时间120分钟 满分100分）一、选择题（本题共16分，每小题2分）第1—8题均有四个选项，符合题意的选项只有．．一个． 1．下列事件中，随机事件是（A ）通常温度降到0℃以下，纯净的水结冰 （B ）随意翻到一本书的某页，这页的页码是偶数 （C ）明天太阳从东方升起 （D ）三角形的内角和是360° 2．抛物线2(2)+1y x =−的顶点坐标是（A ）(2，1) （B ）(-2，1) （C ）(-2，-1) （D ）(1，2) 3．只有1和它本身两个因数且大于1的自然数叫做素数， 我国数学家陈景润在有关素数的“哥德巴赫猜想”的研究中取得了世界领先的成果．从5，7，11这3个素数中随机抽取一个，则抽到的数是7的概率是 （A ）17 （B ）15 （C ）13（D ）1 4．把Rt △ABC 三边的长度都扩大为原来的3倍，则锐角A 的余弦值（A ）不变 （B ）缩小为原来的13（C ）扩大为原来的3倍 （D ）扩大为原来的9倍 5．如图，△ABC 中，点D ，E 分别在AB ，AC 上，DE ∥BC ． 若AD =1，BD =2，则△ADE 与△ABC 的面积之比为 （A ）1:2（B ）1:3（C ）1:4（D ）1:96．如图，在正方形网格中，△MPN 绕某一点旋转某一角度得到△M´P´N´，则旋转中心可能是（A ）点A（B ）点B （C ）点C（D ）点DCEBA D7．已知⊙O 1, ⊙O 2, ⊙O 3是等圆，△ABP 内接于⊙O 1,点C ， E 分别在⊙O 2, ⊙O 3上．如图，①以C 为圆心，AP 长为半径作弧交⊙O 2于点D ,连接CD ；②以E 为圆心，BP 长为半径作弧交⊙O 3于点F ,连接EF ； 下面有四个结论： ①CD EF AB += ②CD EF AB +=③∠CO 2D +∠EO 3F =∠AO 1B ④∠CDO 2+∠EFO 3 =∠P 所有正确结论的序号是（A ）①②③④ （B ）①②③ （C ）②④ （D ）②③④ 8．如图，抛物线2119y x =−与x 轴交于A ，B 两点，D 是以点C （0，4）为圆心，1为半径的圆上的动点，E 是线段 AD 的中点，连接OE ，BD ，则线段OE 的最小值是 （A ）2 （B ）322（C ）52（D ）3 二、填空题（本题共16分，每小题2分）9．点（-1，-3）关于原点的对称点的坐标为_____．10．如图，在平面直角坐标系xOy 中，射线l 的端点为（0，1），l ∥x 轴，请写出一个图象与射线l 有公共点的反比例函数的表达式：_____．11．如果一个矩形的宽与长的比等于黄金数512−（约为0.618），就称这个矩形为黄金矩形．如图，矩形ABCD 为黄金矩形，宽AD =51−，则长AB 为_____．12．如图，线段AB 经过⊙O 的圆心，AC ，BD 分别与⊙O 相切于点C ，D ．若AC ＝BD ＝1，∠A ＝45°，则CD 的长度为_____．第10题图第11题图第12题图第13题图13．如图，在正方形网格中，点A ，B ，C 在⊙O 上，并且都是小正方形的顶点，P 是ACB 上任意一点，则∠P 的正切值为_____．14．抛物线223y ax ax 与x 轴交于两点，分别是是（m ，0），（n ，0），则m +n 的值为_____．15．为了打赢脱贫攻坚战，某村计划将该村的特产柑橘运到A 地进行销售. 由于受道路条件的限制，需要先将柑橘由公路运到火车站，再由铁路运到A 地.村里负责销售的人员从该村运到火车站的所有柑橘中随机抽取若干柑橘，进行了“柑橘完好率”统计，获得的数据记录如下表： 柑橘总质量n /kg 100150 200 250 300 350 400 450 500完好柑橘质量m /kg 92.40138.45183.80229.50276.30322.70367.20414.45459.50柑橘完好的频率m n0.924 0.923 0.919 0.918 0.921 0.922 0.918 0.921 0.919①估计从该村运到火车站柑橘完好的概率为 （结果保留小数点后三位）； ②若从该村运到A 地柑橘完好的概率为0.880，估计从火车站运到A 地柑橘完好的概率为 .16．如图，分别过第二象限内的点P 作x ，y 轴的平行线，与y ，x 轴分别交于点A ，B ，与双曲线6y x=分别交于点C ，D . 下面三个结论，①存在无数个点P 使AOC BOD S S =△△； ②存在无数个点P 使POA POB S S =△△； ③存在无数个点P 使ACD OAPB S S =△四边形. 所有正确结论的序号是 .三、解答题（本题共68分，第17-22题，每小题5分，第23-26题，每小题6分，第27，28题，每小题7分） 17．计算：sin60cos30tan45−+.18．如图，在△ABC 中，∠B =30°，tan C =43，AD ⊥BC 于点D . 若AB =8，求BC 的长．19. 如图，△ABC 为等边三角形，将BC 边绕点B 顺时针旋转30°，得到线段BD ，连接AD ，CD ，求∠ADC 的度数.20.已知一次函数1(0)y kx m k ≠和二次函数22(0)y ax bx c a ≠部分自变量和对应的函数值如下表：（1）求2y 的表达式；（2）关于x 的不等式2ax bx c ＞kx m 的解集是 ．21. 筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，彰显了我国古代劳动人民的智慧，图1，点P 表示筒车的一个盛水桶．如图2，当筒车工作时，盛水桶的运行路径是以轴心O 为圆心，5 m 为半径的圆，且圆心在水面上方．若圆被水面截得的弦AB 长为8m ，求筒车工作时，盛水桶在水面以下的最大深度．x … -2 -1 0 1 2 … y 1 … 0 1 2 3 4 … y 2…-138…图1图222．在平面内， O 为线段AB 的中点，所有到点O 的距离等于OA 的点组成图形W .取OA的中点C ，过点C 作CD ⊥AB 交图形W 于的点D ，D 在直线AB 的上方，连接AD ，BD . （1）求∠ABD 的度数；（2）若点E 在线段CA 的延长线上，且∠ADE =∠ABD ，求直线DE 与图形W 的公共点个数.23．阅读下面材料：小军遇到这样一个问题：如图1，在△ABC 中，AB =AC ， P 是△ABC 内一点， ∠P AC =∠PCB =∠PBA .若∠ACB =45°，AP =1，求BP 的长.小军的思路是：根据已知条件可以证明△ACP ∽△CBP ，进一步推理可得BP 的长. 请回答：∵AB =AC ， ∴∠ABC =∠ACB . ∵∠PCB =∠PBA ， ∴∠PCA = . ∵∠P AC =∠PCB ， ∴△ACP ∽△CBP .∴AP PC ACPC PB CB==. ∵∠ACB =45°， ∴∠BAC =90°. ∴=AC CB.∵AP =1， ∴PC =2. ∴PB = .参考小军的思路，解决问题：如图1，在△ABC 中，AB =AC ，P 是△ABC 内一点，∠P AC =∠PCB =∠PBA .若∠ACB =30°，求APBP的值； 图1 备用图 图1图224．点A是反比例函数1(0)y xx=＞的图象l1上一点，直线AB∥x轴，交反比例函数3(0)y xx=＞的图象l2于点B，直线AC∥y轴，交l2于点C，直线CD∥x轴，交l1于点D．(1)若点A(1，1)，求线段AB和CD的长度；(2)对于任意的点A(a，b)，判断线段AB和CD的大小关系，并证明．25．如图，在矩形ABCD中，E是BA延长线上的定点，M为BC边上的一个动点，连接ME，将射线ME绕点M顺时针旋转76，交射线CD于点F，连接MD．小东根据学习函数的经验，对线段BM，DF，DM的长度之间的关系进行了探究.下面是小东探究的过程，请补充完整：（1）对于点M在BC上的不同位置，画图、测量，得到了线段BM，DF，DM的长度的几组值，如下表：位置1 位置2 位置3 位置4 位置5 位置6 位置7 位置8 位置9 BM/cm 0.00 0.53 1.00 1.69 2.17 2.96 3.46 3.79. 4.00 DF/cm 0.00 1.00 1.74 2.49 2.69 2.21 1.14 0.00 1.00 DM/cm 4.12 3.61 3.16 2.52 2.09 1.44 1.14 1.02 1.00 在BM，DF，DM的长度这三个量中，确定的长度是自变量，的长度和的长度都是这个自变量的函数；（2）在同一平面直角坐标系xOy中，画出（1）中所确定的函数的图象；（3）结合画出的函数图象，解决问题：当DF=2cm时，DM的长度约为cm．26．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线2y ax bx =+经过点(3，3) .(1)用含a 的式子表示b ；(2)直线4+4y x a =+与直线4y =交于点B ，求点B 的坐标（用含a 的式子表示）； (3)在(2)的条件下，已知点A (1，4)，若抛物线与线段AB 恰有一个公共点，直接写出 a (a ＜0)的取值范围.27．已知∠MON =120°，点A ，B 分别在ON ，OM 边上，且OA =OB ，点C 在线段OB 上（不与点O ，B 重合），连接CA . 将射线CA 绕点C 逆时针旋转120°得到射线CA´，将射线BO 绕点B 逆时针旋转150°与射线CA´交于点D . (1)根据题意补全图1； (2)求证：①∠OAC =∠DCB ；②CD =CA （提示：可以在OA 上截取OE =OC ，连接CE ）；(3)点H 在线段AO 的延长线上，当线段OH ，OC ，OA 满足什么等量关系时，对于任意的点C 都有∠DCH =2∠DAH ，写出你的猜想并证明.备用图图128．在平面直角坐标系xOy 中，已知点A (0，2)，点B 在x 轴上，以AB 为直径作⊙C ，点P在y 轴上，且在点A 上方，过点P 作⊙C 的切线PQ ，Q 为切点，如果点Q 在第一象限，则称Q 为点P 的离点.例如，图1中的Q 为点P 的一个离点.(1)已知点P (0，3)，Q 为P 的离点.①如图2，若B (0，0)，则圆心C 的坐标为 ，线段PQ 的长为 ； ②若B (2，0)，求线段PQ 的长；(2)已知1≤P A ≤2, 直线l ：3y kx k =++（k ≠0）.①当k =1时，若直线l 上存在P 的离点Q ，则点Q 纵坐标t 的最大值为 ； ②记直线l ：3y kx k =++（k ≠0）在11x -≤≤的部分为图形G ，如果图形G 上存在P 的离点，直接写出k 的取值范围.图2图1北京市朝阳区2019～2020学年度第一学期期末检测九年级数学试卷参考答案及评分标准2020.1一、选择题（本题共16分，每小题2分）二、填空题（本题共16分，每小题2分）三、解答题（本题共68分，第17-22题，每小题5分，第23-26题，每小题6分，第27，28题，每小题7分） 17．解：原式=122−+ =1．18．解：∵AD ⊥BC ，∴∠ADB =∠ADC =90°． 在Rt △ADB 中，∵∠B =30°，AB =8，∴AD =4，BD =34． 在Rt △ADC 中， ∵tan C =43， ∴4tan CD C=． ∴CD =3．∴BC=334+．19．解：∵△ABC 为等边三角形，∴AB=BC ，∠ABC=60°．根据题意可知BD =BC ，∠DBC=30°． ∴AB=BD ．∴∠ABD=90°，∠BDC=75°．∴∠BDA=45°． ∴∠ADC=30°．20．解：（1）根据题意设y 2的表达式为:22(1)1y a x ．把（0，0）代入得a =1． ∴22+2y x x ． （2）x ＜-2或x ＞1．21．解：作OD ⊥AB 于E ，交⊙O 于点D ，∴AE =21AB ． ∵AB =8， ∴AE =4．在Rt △AEO 中，AO =5， ∴OE =22OA AE −=3．∴ED =2．∴筒车工作时，盛水桶在水面以下的最大深度为2m .22．解：（1）根据题意，图形W 为以O 为圆心，OA 为直径的圆.连接OD ， ∴OA =OD .∵点C 为OA 的中点，CD ⊥AB ， ∴AD =OD . ∴OA =OD =AD .∴△OAD 是等边三角形. ∴∠AOD =60°.∴∠ABD =30°.（2）∵∠ADE =∠ABD ，∴∠ADE =30°.∵∠ADO =60°.∴∠ODE =90°.∴OD ⊥DE .∴DE 是⊙O 的切线.∴直线DE 与图形W 的公共点个数为1.23．解： ∠PBC ；22；2． ∵AB =AC ， ∴∠ABC =∠ACB ．∵∠PCB =∠PBA ，∴∠PCA =∠PBC ．∵∠P AC =∠PCB ，∴△ACP ∽△CBP ．∴AP PC AC PC PB BC==． ∵∠ACB =30°，∴33AP PC AC PC PB BC ===． 设AP =a ，则PC =3a ，∴PB =3a ．∴13AP BP =．24．解：（1）∵AB ∥x 轴，A (1，1)，B 在反比例函数3(0)y x x =＞ 的图象上， ∴B (3，1) ．同理可求：C (1，3)，D (31，3) ．∴AB =2，CD =32． （2）AB ＞CD ．证明：∵A (a ，b )，A 在反比例函数1(0)y x x =＞ 的图象上， ∴A (a ，a1)． ∵AB ∥x 轴，B 在反比例函数3(0)y x x =＞ 的图象上， ∴B (3a ，a1)． 同理可求：C (a ，a 3)，D(3a ，a 3)． ∴AB =2a ，CD =a 32． ∵0＞a ，∴2a ＞a 32． ∴AB ＞CD ．25．解：答案不唯一．（1）BM ，DF ，DM ．（2）如图所示．（3）2.98，1.35．26．解：（1）将点（3，3）代入2+=y ax bx ，得9a +3b =3.∴3+1=-b a .（2）令4+4=4+x a ，得=4-x a .∴B 4,4)(-a .（3）312=-或＜-a a .27．（1）解：补全图形，如图.（2）证明：①根据题意∠ACD =120°.∴∠DCB +∠ACO =60°.∵∠MON =120°，∴∠OAC +∠ACO =60°.∴∠OAC =∠DCB .②在OA 上截取OE =OC ，连接CE .∴∠OEC =30°.∴∠AEC =150°.∴∠AEC =∠CBD .∵OA =OB ，∴AE =BC .∴△AEC ≌△CBD .∴CD =AC .(3) OH-OC= OA.证明：在OH上截取OF=OC，连接CF，∴△OFC 是等边三角形，FH=OA.∴CF=OC，∠CFH=∠COA=120°.∴△CFH≌△COA.∴∠H=∠OAC.∴∠BCH=60°+∠H =60°+∠OAC.∴∠DCH=60°+∠H +∠DCB=60°+2∠OAC.∵CA=CD，∠ACD=120°，∴∠CAD=30°.∴∠DCH=2∠DAH.28．解：（1）①（0，1）；3.②如图，过C作CM⊥y轴于点M，连接CP，CQ.∵A（0，2），B（2，0），∴C（1，1）.∴M（0，1）.在Rt△ACM中，由勾股定理可得CA=2.∴CQ=2.∵P（0，3），M（0，1），∴PM=2.在Rt△PCM中，由勾股定理可得PC=5.在Rt△PCQ中，由勾股定理可得PQ=22-PC CQ=3.（2）①6.②21222-＜≤-k或21222k≤＜+.说明：各解答题的其他正确解法请参照以上标准给分.祝各位老师寒假愉快！。

21. 如图， DE是⊙Ｏ的直径， CE与⊙Ｏ相切， E 为切点 . 连接 CD交⊙Ｏ于点 B，在 EC
上取一个点 F，使 EF=BF.
（ 1）求证 :BF 是⊙Ｏ的切线 ;
E
（ 2）若 cosC
4 , DE=9 ，求 BF的长．
O
5
D F
B
C
22．如图，矩形 ABCD中， AB=16cm，AD=4cm，点 P、Q分别从 A、 B 同时出发，点 P 在边 AB上沿 AB方向以 2cm/s 的速度匀速运动，点 Q在边 BC上沿 BC方向以 1cm/s
14. 已知二次函数 y=x2-6x+5. （1）解析式化为 y=a(x-h) 2+k 的形式；
（2）求出该函数图像与 x 轴、 y 轴的交点坐标 ..
15. 如图，在正方形 ABCD中，点 E 是 CD上一点（ DE>C）E，连接 AE，并过点 E 作
AE的垂线交 BC于点 F, 若 AB=9,BF=7,求 DE长.
1. 下列事件中，必然事件是 A. 把 4 个球放入 3 个抽屉中，其中至少有 1 个抽屉中有 2 个球 B. 明天是晴天 C. 若将一枚硬币抛掷 10 次，其中能有 5 次国徽向上
D. 随意购买一张体育彩票能够中奖
2. 下列水平放置的几何体中，主视图与俯视图都是矩形的是
3．掷一枚质地均匀的正方体骰子，骰子的六个面上分别刻有 1 到 6 的点数，掷得
A
D
E
B
FC
16. 在平面直角坐标系中，等腰 Rt△OAB斜边 OB在 y 轴上，且 OB=4．
（1）画出△ OAB绕原点 O顺时针旋转 90°后得到的三 角形△ OA’B’；
（2）求点 A 在旋转过程中经过的路径长．

2019-2020北京初三数学上学期期末汇编：圆综一．解答题（共27小题）1．（2019秋•北京期末）如图，AB 是O 的直径，点P 是AB 上一点，且点P 是弦CD 的中点．（1）依题意画出弦CD ，并说明画图的依据；（不写画法，保留画图痕迹）（2）若2AP =，8CD =，求O 的半径．2．（2019秋•北京期末）如图，Rt ABC ∆中，90ABC ∠=︒，以AB 为直径作O 交AC 于点D ，连接BD ．（1）求证：A CBD ∠=∠．（2）若10AB =，6AD =，M 为线段BC 上一点，请写出一个BM 的值，使得直线DM 与O 相切，并说明理由．3．如图，点O 为ABC ∠的边BC 上的一点，过点O 作OM AB ⊥于点M ，到点O 的距离等于线段OM 的长的所有点组成图形W ．图形W 与射线BC 交于E ，F 两点（点E 在点F 的左侧）．（1）过点M 作MH BC ⊥于点H ，如果2BE =，2sin 3ABC ∠=，求MH 的长； （2）将射线BC 绕点B 顺时针旋转得到射线BD ，使得90CBD MOB ∠+∠=︒，判断射线BD 与图形W 公共点的个数，并证明．4．如图，Rt ABC ∆中，90C ∠=︒．BE 平分ABC ∠交AC 于点D ，交ABC ∆的外接圆于点E ，过点E 作EF BC ⊥交BC 的延长线于点F ．请补全图形后完成下面的问题：（1）求证：EF 是ABC ∆外接圆的切线；（2）若5BC =，12sin 13ABC ∠=，求EF 的长．5．（2019秋•密云区期末）已知：如图，在O中，弦AB、CD交于点E，AD CB=．求证：AE CE=．6．（2019秋•密云区期末）已知：如图，O的直径AB与弦CD相交于点E，且E为CD中点，过点B作CD的平行线交弦AD的延长线于点F．（1）求证：BF是O的切线；（2）连结BC，若O的半径为2，3tan4BCD∠=，求线段AD的长．7．（2019秋•海淀区期末）如图，在O中，AC CB=，CD OA⊥于点D，CE OB⊥于点E．（1）求证：CD CE=；（2）若120AOB∠=︒，2OA=，求四边形DOEC的面积．8．（2019秋•海淀区期末）如图，AB是O的直径，直线MC与O相切于点C．过点A作MC的垂线，垂足为D，线段AD与O相交于点E．（1）求证：AC是DAB∠的平分线；（2）若10AB=，AC=AE的长．9．如图，在Rt ABC∆中，90C∠=︒，点O是斜边AB上一定点，到点O的距离等于OB的所有点组成图形W，图形W 与AB ，BC 分别交于点D ，E ，连接AE ，DE ，AED B ∠=∠．（1）判断图形W 与AE 所在直线的公共点个数，并证明．（2）若4BC =，1tan 2B =，求OB ．10．（2019秋•通州区期末）如图：在平面直角坐标系xOy 中，点(2,2)A −，(4,4)B ．（1）尺规作图：求作过A ，B ，O 三点的圆；（2）设过A ，B ，O 三点的圆的圆心为M ，利用网格，求点M 的坐标；（3）若直线x a =与M 相交，直接写出a 的取值范围．11．（2019秋•昌平区期末）如图，A ，B ，C 是O 上的点，4sin 5A =，半径为5，求BC 的长．12．如图，AB 是O 的直径，点C 是圆上一点，点D 是半圆的中点，连接CD 交OB 于点E ，点F 是AB 延长线上一点，CF EF =．（1）求证：FC 是O 的切线；（2）若5CF =，1tan 2A =，求O 半径的长．13．（2019秋•大兴区期末）如图，AB是O的直径，CD是O的一条弦，且CD AB⊥于E，连接AC、OC、BC．求证：ACO BCD∠=∠．14．如图，AB是O的直径，BC交O于点D，E是BD的中点，连接AE交BC于点F，2ACB EAB∠=∠．（1）求证：AC是O的切线；（2）若3cos4C=，8AC=，求BF的长．15．（2019秋•大兴区期末）已知：如图，B，C，D三点在A上，45BCD∠=︒，PA是钝角ABC∆的高线，PA的延长线与线段CD交于点E．（1）请在图中找出一个与CAP∠相等的角，这个角是；（2）用等式表示线段AC，EC，ED之间的数量关系，并证明．16．（2019秋•朝阳区期末）筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，彰显了我国古代劳动人民的智慧，图1，点P表示筒车的一个盛水桶．如图2，当筒车工作时，盛水桶的运行路径是以轴心O为圆心，5m为半径的圆，且圆心在水面上方．若圆被水面截得的弦AB长为8m，求筒车工作时，盛水桶在水面以下的最大深度．17．（2019秋•朝阳区期末）在平面内，O为线段AB的中点，所有到点O的距离等于OA的点组成图形W．取OA的中点C ，过点C 作CD AB ⊥交图形W 于点D ，D 在直线AB 的上方，连接AD ，BD ．（1）求ABD ∠的度数；（2）若点E 在线段CA 的延长线上，且ADE ABD ∠=∠，求直线DE 与图形W 的公共点个数．18．（2019秋•东城区期末）如图，AB 是O 的直径，弦CD AB ⊥于点H ，30A ∠=︒，CD =，求O 的半径的长．19．如图，在Rt ACB ∆中，90C ∠=︒，3AC =，4BC =，O 是BC 的中点，到点O 的距离等于12BC 的所有点组成的图形记为G ，图形G 与AB 交于点D ．（1）补全图形并求线段AD 的长；（2）点E 是线段AC 上的一点，当点E 在什么位置时，直线ED 与图形G 有且只有一个交点？请说明理由．20．（2019秋•西城区期末）如图，AB 是O 的直径，PB ，PC 是O 的两条切线，切点分别为B ，C ．连接PO交O 于点D ，交BC 于点E ，连接AC ．（1）求证：12OE AC =； （2）若O 的半径为5，6AC =，求PB 的长．21．（2019秋•西城区期末）如图，四边形ABCD 内接于O ，90BAD ∠=︒，AC 是对角线．点E 在BC 的延长线上，且CED BAC ∠=∠．（1）判断DE 与O 的位置关系，并说明理由；（2）BA 与CD 的延长线交于点F ，若//DE AC ，4AB =，2AD =，求AF 的长．22．（2019秋•石景山区期末）如图，B是O的半径OA上的一点（不与端点重合），过点B作OA的垂线交O于点C，D，连接OD．E是O上一点，CE CA=，过点C作O的切线l，连接OE并延长交直线l于点F．（1）①依题意补全图形；②求证：OFC ODC∠=∠；（2）连接FB，若B是OA的中点，O的半径是4，求FB的长．23．（2019秋•房山区期末）已知ABC∆如图所示，点O到A、B、C三点的距离均等于(m m为常数），到点O的距离等于m的所有点组成图形W．射线AO与射线AM关于AC对称，过C作CF AM⊥于F．（1）依题意补全图形（保留作图痕迹）；（2）判断直线FC与图形W的公共点个数并加以证明．24．（2019秋•房山区期末）如图，ABC∆内接于O，60∠=︒，高AD的延长线交O于点E，6BC=，BACAD=．5（1）求O的半径；（2）求DE的长．25．（2019秋•房山区期末）在ABC==B为圆心、1为半径作圆，设点M为∠=︒，AC BC∆中，90ACBB上一点，线段CM绕着点C顺时针旋转90︒，得到线段CN，连接BM、AN．（1）在图1中，补全图形，并证明BM AN=．（2）连接MN，若MN与B相切，则BMC∠的度数为．（3）连接BN，则BN的最小值为；BN的最大值为．26．（2019秋•平谷区期末）如图，O是ABC==，BC=，AB AC∆的外接圆，圆心O在ABC∆的外部，4求O的半径．27．如图，ABC∠，交O于点D，过点D作∆内接于O，AB是O的直径，过点A作AD平分BACDE BC交AC的延长线于点E．//（1）依据题意，补全图形（尺规作图，保留痕迹）；（2）判断并证明：直线DE与O的位置关系；（3）若10AB=，8BC=，求CE的长．2019-2020北京初三数学上学期期末汇编：圆综参考答案一．解答题（共27小题）1．【分析】（1）根据要求画出图形即可．（2）设O 的半径为r ，在Rt OPD ∆中，利用勾股定理构建方程即可解决问题．【解答】解：（1）画出弦CD ，如图．依据：垂直于弦的直径平分弦．（2）如图，连接OD ，OA CD ⊥于点P ，AB 是O 的直径，90OPD ∴∠=︒，12PD CD =， 8CD =，4PD ∴=．设O 的半径为r ，则OD r =，2OP OA AP r =−=−，在Rt ODP ∆中，90OPD ∠=︒，222OD OP PD ∴=+，即222(2)4r r =−+，解得5r =，即O 的半径为5．【点评】本题主要考查了垂径定理，勾股定理等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题．2．【分析】（1）利用圆周角定理得到90ADB ∠=︒，然后就利用等角的余角相等得到结论；（2）如图，连接OD ，DM ，先计算出8BD =，5OA =，再证明Rt CBD Rt BAD ∆∆∽，利用相似比得到403BC =，取BC 的中点M ，连接DM 、OD ，如图，证明24∠=∠得到90ODM ∠=︒，根据切线的判定定理可确定DM 为O 的切线，然后计算BM 的长即可．【解答】（1）证明：AB 为O 直径，90ADB ∴∠=︒，90A ABD ∴∠+∠=︒．90ABC ∠=︒，90CBD ABD ∴∠+∠=︒，A CBD ∴∠=∠；（2）203 BM=．理由如下：如图，连接OD，DM，90ADB∠=︒，10AB=，6AD=，8BD∴==，5OA=，A CBD∠=∠，Rt CBD Rt BAD∆∆∽，∴BC BDAB AD=，即8106BC=，解得403BC=取BC的中点M，连接DM、OD，如图，DM为Rt BCD∆斜边BC的中线，DM BM∴=，24∠=∠，OB OD=，13∴∠=∠，123490∴∠+∠=∠+∠=︒，即90ODM∠=︒，OD DM∴⊥，DM∴为O的切线，此时12023 BM BC==．【点评】本题考查了切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．也考查了圆周角定理．3．【分析】（1）求出BO的长，MB的长，根据三角形BOM的面积可求出MH；（2）过点O作ON BD⊥于点N，证得OM ON=．则结论得证．【解答】（1）解：到点O的距离等于线段OM的长的所有点组成图形W，∴图形W是以O为圆心，OM的长为半径的圆．根据题意补全图形：OM AB ⊥于点M ， 90BMO ∴∠=︒． 在BMO ∆中，2sin 3OM ABC BO ∠==， 32BO MO ∴=．2BE =， ∴322BO OE OM =+=，解得：4OM OE ==． 6BO ∴=． 在Rt △BOM ∆中， 222BM OM BO +=，∴BM =． 1122BOM S MO MB MH BO ∆==∴46MH ⨯=⨯，解得：MH =（2）解：1个． 证明：过点O 作ON BD ⊥于点N ，90CBD MOB ∠+∠=︒， 且90ABC MOB ∠+∠=︒， CBD ABC ∴∠=∠．OM ON ∴=．BD ∴为O 的切线．∴射线BD 与图形W 的公共点个数为1个．【点评】本题主要考查切线的判定，三角形的面积，勾股定理等知识，解题的关键是掌握切线的判定与性质．4．【分析】（1）根据已知条件得到ABC ∆的外接圆圆心O 是斜边AB 的中点．连接OE ，根据等腰三角形的性质和角平分线的定义得到13∠=∠．求得//OE BF ．于是得到结论；（2）根据三角函数的定义得到1213AC AB =．根据勾股定理得到12AC =．根据矩形的性质即可得到结论． 【解答】（1）证明：补全图形如图所示，ABC ∆是直角三角形，ABC ∴∆的外接圆圆心O 是斜边AB 的中点．连接OE ，OE OB ∴=．23∴∠=∠， BE 平分ABC ∠，12∴∠=∠，13∴∠=∠．//OE BF ∴．EF BF ⊥，EF OE ∴⊥，EF ∴是ABC ∆外接圆的切线；（2）解：在Rt ABC ∆中，5BC =，12sin 13ABC ∠=， ∴1213AC AB =． 222AC BC AB +=，12AC ∴=．90ACF CFE FEH ∠=∠=∠=︒，∴四边形CFEH 是矩形．EF HC ∴=，90EHC ∠=︒．162EF HC AC ∴===．【点评】本题考查了三角形的外接圆与外心，圆周角定理，勾股定理，矩形的判定和性质，切线的判定，正确的画出图形是解题的关键．5．【分析】由圆周角定理可得ADE CBE ∠=∠，从而利用AAS 可证明ADE CBE ∆≅∆，继而可得出结论．【解答】解：由圆周角定理可得：ADE CBE ∠=∠，在ADE ∆和CBE ∆中，ADE CBE AED CEB AD CB ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()ADE CBE AAS ∴∆≅∆，AE CE ∴=．【点评】本题考查了圆周角定理及全等三角形的判定与性质，解答本题的关键是由圆周角定理得出ADE CBE ∠=∠．6．【分析】（1）根据垂径定理得到AB CD ⊥，90AED ∠=︒，根据平行线的性质得到90ABF AED ∠=∠=︒，于是得到结论；（2）连接BD ，根据圆周角定理得到90ADB ∠=︒，根据三角函数的定义得到34BD AD =，设3BD x =，4AD x =，求得5AB x =，于是得到结论．【解答】（1）证明：O 的直径AB 与弦CD 相交于点E ，且E 为CD 中点， AB CD ∴⊥，90AED ∠=︒，//CD BF ，90ABF AED ∴∠=∠=︒，AB BF ∴⊥， AB 是O 的直径，BF ∴是O 的切线；（2）解：连接BD ，BCD BAD ∴∠=∠， AB 是O 的直径，90ADB ∴∠=︒，3tan tan 4BCD BAD ∠=∠=， ∴34BD AD =， ∴设3BD x =，4AD x =，5AB x ∴=， O 的半径为2，4AB =，54x ∴=，45x =， 1645AD x ∴==．【点评】本题考查了切线的判定与性质，垂径定理，圆周角定理，解直角三角形的知识．关键是利用圆周角定理将已知角进行转化，利用直径证明直角三角形．7．【分析】（1）连接OC ，根据圆心角、弧、弦的关系定理得到AOC BOC ∠=∠，根据角平分线的性质定理证明结论；（2）根据直角三角形的性质求出OD ，根据勾股定理求出CD ，根据三角形的面积公式计算，得到答案．【解答】（1）证明：连接OC ，AC BC =，AOC BOC ∴∠=∠，又CD OA ⊥，CE OB ⊥，CD CE ∴=；（2）解：120AOB ∠=︒，60AOC BOC ∴∠=∠=︒，90CDO ∠=︒，30OCD ∴∠=︒，112OD OC ∴==，CD ∴===OCD ∴∆的面积12OD CD =⨯⨯=，同理可得，OCE ∆的面积12OE CE =⨯⨯=，∴四边形DOEC 的面积【点评】本题考查的是圆心角、弧、弦的关系定理、勾股定理、直角三角形的性质，在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．8．【分析】（1）连接OC ，根据切线的性质得到90OCM ∠=︒，得到//OC AD ，根据平行线的性质、等腰三角形的性质证明结论；（2）连接BC ，连接BE 交OC 于点F ，根据勾股定理求出BC ，证明CFB BCA ∆∆∽，根据相似三角形的性质求出CF ，得到OF 的长，根据三角形中位线定理解答即可．【解答】（1）证明：连接OC ，直线MC 与O 相切于点C ，90OCM ∴∠=︒，AD CD ⊥，90ADM ∴∠=︒，OCM ADM ∴∠=∠，//OC AD ∴，DAC ACO ∴∠=∠，OA OC =，ACO CAO ∴∠=∠，DAC CAB ∴∠=∠，即AC 是DAB ∠的平分线；（2）解：连接BC ，连接BE 交OC 于点F ， AB 是O 的直径，90ACB AEB ∴∠=∠=︒，10AB =，AC =BC ∴===，//OC AD ，90BFO AEB ∴∠=∠=︒，90CFB ∴∠=︒，F 为线段BE 中点，CBE EAC CAB ∠=∠=∠，CFB ACB ∠=∠，CFB BCA ∴∆∆∽．∴CF BCBC AB =，解得，2CF =，3OF OC CF ∴=−=． O 为直径AB 中点，F 为线段BE 中点，26AE OF ∴==．【点评】本题考查的是切线的性质、相似三角形的判定和性质、三角形中位线定理，掌握圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键．9．【分析】（1）证明AE 是切线即可判断．（2）利用系数是局限性的性质求出EC 即可解决问题．【解答】解：（1）图形W 与AE 所在直线的公共点个数为1．理由：连接OE ． BD 是O 是直径，90DEB ∴∠=︒，90ABC EDB ∴∠+∠=︒，OD OE =，ODE OED ∴∠=∠，AED ABC ∠=∠，90AED OED ∴∠+∠=︒，90AEO ∴∠=︒，OE AE ∴⊥，AE ∴是O 的切线，∴图形W 与AE 所在直线的公共点个数为1．（2）在Rt ACB ∆中，90C ∠=︒，4BC =，1tan 2AC B BC ∴==， 2AC ∴=，90ACB DEB ∠=∠=︒，//DE AC ∴，CAE AED ABC ∴∠=∠=∠，C C ∠=∠，CAE CBA ∴∆∆∽，2AC CE CA ∴=，2214CE ∴==， 3BE BC EC ∴=−=，1tan 2DE B EB ∴==， 32DE ∴=，2BD ∴===，12OB BD ∴==【点评】本题考查解直角三角形，切线的判定等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，属于中考常考题型．10．【分析】（1）作OA 和OB 的垂直平分线，交点即为圆心，据此作圆即可；（2）AB 的中点即为圆心M ，由此可得解；（3）求出半径，即可知直线x a =与M 相切时a 的值，由此可得相交时a 的取值范围．【解答】解：（1）如图即为所要求作的过A ，B ，O 三点的圆；作OA 和OB 的垂直平分线，交点即为圆心，作圆即可．（2）观察图形，由（1）可知点为M 的坐标为(1,3)；（3）(2,2)A −，(1,3)M ，r AM BM ∴===∴当1a =1+时，直线x a =与M 相切，∴当11a <<时，直线x a =与M 相交．【点评】本题是圆的综合问题，考查了网格作图，圆的有关性质，直线与圆的位置关系，掌握直线与圆相切时的有关计算是解题的关键．11．【分析】构造直径三角形，利用垂径定理，圆周角定理解决问题即可．【解答】证明：方法Ⅰ：连接OB ，OC ，过点O 作OD BC ⊥，如图1OB OC =，且OD BC ⊥，12BOD COD BOC ∴∠=∠=∠， 12A BOC ∠=∠， BOD A ∴∠=∠，4sin sin 5A BOD =∠=， 在Rt BOD ∆中，4sin 5BD BOD OB ∴∠==， 5OB =， ∴455BD =，4BD =， BD CD =，8BC ∴=．方法Ⅱ：作射线BO ，交O 于点D ，连接DC ，如图2．BD 为O 的直径，90BCD ∴∠=︒，BDC A ∠=∠，4sin sin 5A BDC ∴=∠=， 在Rt BDC ∆中，4sin 5BC BDC BD ∴∠==． 5OB =，10BD =，∴4105BC =， 8BC ∴=．【点评】本题考查圆周角定理，垂径定理，解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题．12．【分析】（1）如图，连接OD ．根据已知条件得到90AOD BOD ∠=∠=︒，根据等腰三角形的性质得到ODC OCD ∠=∠．推出FC OC ⊥，于是得到结论；（2）根据三角函数的定义得到12BC AC =，根据相似三角形的性质即可得到结论． 【解答】（1）证明：如图，连接OD ，OC ．点D 是半圆的中点，90AOD BOD ∴∠=∠=︒，90ODC OED ∴∠+∠=︒，OD OC =，ODC OCD ∴∠=∠．又CF EF =，FCE FEC ∴∠=∠．FEC OED ∠=∠，FCE OED ∴∠=∠．90FCE OCD OED ODC ∴∠+∠=∠+∠=︒，即FC OC ⊥，FC ∴是O 的切线；（2）解：1tan 2A =， ∴在Rt ABC ∆中，12BC AC =， 90ACB OCF ∠=∠=︒，ACO BCF A ∴∠=∠=∠，ACF CBF ∆∆∽， ∴12BF CF BC CF AF AC ===． 10AF ∴=，2CF BF AF ∴=．52BF ∴=． 1524AF BF AO −∴==．【点评】本题考查切线的判定和性质、相似三角形的判定和性质、勾股定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会添加常用辅助线，属于中考常考题型．13．【分析】先根据垂径定理得到BC BD =，再根据圆周角定理得到A BCD ∠=∠，加上ACO A ∠=∠．然后利用等量代换得到结论．【解答】证明：AB 是O 的直径，CD AB ⊥，∴BC BD =，A BCD ∴∠=∠， 又OA OC =，ACO A ∴∠=∠．ACO BCD ∴∠=∠．【点评】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．14．【分析】（1）如图①，连接AD ．根据直径所对的圆周角为直角及同圆中等弧所对的圆周角相等，及2ACB EAB ∠=∠．求得90BAD CAD ∠+∠=︒，则BA AC ⊥，根据切线的判定定理可得证；（2）如图②，过点F 做FH AB ⊥于点H ，先在Rt ADC ∆和Rt BAC ∆中，分别求得CD 、BC 、BD ．再在Rt BFH ∆中，由三角函数可求得FH 及DF ，则可用BD 的值减去DF 的值，求得BF ．【解答】（1）证明：如图①，连接AD ．图① E 是BD 的中点，∴BE DE =DAE EAB ∴∠=∠．2C EAB ∠=∠，C BAD ∴∠=∠． AB 是O 的直径，90ADB ADC ∴∠=∠=︒90C CAD ∴∠+∠=︒90BAD CAD ∴∠+∠=︒即BA AC ⊥．AC ∴是O 的切线．（2）解：如图②，过点F 做FH AB ⊥于点H ．图②AD BD ⊥，DAE EAB ∠=∠，FH FD ∴=，且//FH AC ．在Rt ADC ∆中，3cos 4C =，8AC =， 6CD ∴=．同理，在Rt BAC ∆中，可求得323BC = 143BD ∴= 设DF x =，则FH x =，143BF x =− //FH AC ，BFH C ∴∠=∠． 3cos 4FH BFH BF ∴∠== 即31443xx =− 解得2x =．83BF ∴=． 【点评】本题考查了圆的切线的判定定理及三角函数在线段求值中的应用，熟练掌握相关定理及相似或三角函数的计算技巧，是解题的关键．15．【分析】（1）根据垂径定理和同弧所对的圆周角和圆心角的关系，可以得到与CAP ∠相等的角，注意本题答案不唯一；（2）先写出线段AC ，EC ，ED 之间的数量关系，然后根据题意和图形，可以证明线段AC ，EC ，ED 之间的数量关系成立．【解答】解：（1）AC AB =，AP BC ⊥，AP ∴平分CAB ∠，CAP BAP ∴∠=∠，2CAB CDB ∠=∠，CAP BAP CDB ∴∠=∠=∠， 故答案为：CDB ∠（或)BAP ∠；（2）AC ，EC ，ED 满足的数量关系：2222EC ED AC +=，证明：连接EB ，与AD 交于点F ，点B ，C 两点在A 上，AC AB ∴=，ACP ABP ∴∠=∠， PA 是钝角ABC ∆的高线，PA ∴是CAB ∆的垂直平分线， PA 的延长线与线段CD 交于点E ，EC EB ∴=，ECP EBP ∴∠=∠，ECP ACP EBP ABP ∴∠−∠=∠−∠，即ECA EBA ∠=∠，AC AD =，ECA EDA ∴∠=∠，EBA EDA ∴∠=∠，AFB EFD ∠=∠，45BCD ∠=︒，90AFB EBA EFD EDA ∴∠+∠=∠+∠=︒，即90BAD BED ∠=∠=︒，222EB ED BD ∴+=，222BD AB =，2222EB ED AB ∴+=，2222EC ED AC ∴+=．【点评】本题考查勾股定理、圆周角定理，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．16．【分析】过O 点作半径OD AB ⊥于E ，如图，利用垂径定理得到4AE BE ==，再利用勾股定理计算出OE ，然后计算出DE 的长即可．【解答】解：过O 点作半径OD AB ⊥于E ，如图，118422AE BE AB ∴===⨯=，在Rt AEO ∆中，3OE ===，532ED OD OE ∴=−=−=，答：筒车工作时，盛水桶在水面以下的最大深度为2m．【点评】本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．17．【分析】（1）根据题意，图形W为以O为圆心，OA为直径的圆．如图1，连接OD，根据等边三角形的判定与性质即可求解；（2）根据切线的判定即可求解．【解答】解：（1）根据题意，图形W为以O为圆心，OA为直径的圆．如图1，连接OD，∴=．OA OD点C为OA的中点，CD AB⊥，∴=．AD OD∴==．OA OD AD∴∆是等边三角形．OADAOD∴∠=︒．60∴∠=︒．ABD30（2）如图2，∠=∠，ADE ABD∴∠=︒．ADE30∠=︒．60ADO∴∠=︒．ODE90∴⊥．OD DEDE∴是O的切线．∴直线DE与图形W的公共点个数为1．【点评】考查了圆的认识，切线的判定，切线必须满足两个条件：a 、经过半径的外端；b 、垂直于这条半径，否则就不是圆的切线．18．【分析】连接BC ，由圆周角定理和垂径定理得出90ACB ∠=︒，12CH DH CD ===得出2AC CH ==，AC ==，2AB BC =，得出2BC =，4AB =，求出2OA =即可．【解答】解：连接BC ，如图所示： AB 是O 的直径，弦CD AB ⊥于H ，90ACB ∴∠=︒，12CH DH CD === 30A ∠=︒，2AC CH ∴==在Rt ABC ∆中，30A ∠=︒，AC ∴==，2AB BC =，2BC ∴=，4AB =，2OA ∴=，即O 的半径是2；【点评】本题考查的是垂径定理、圆周角定理、含30︒角的直角三角形的性质、勾股定理等知识；熟练掌握圆周角定理和垂径定理是解题的关键．19．【分析】（1）由勾股定理易求得AB 的长；可连接CD ，由圆周角定理知CD AB ⊥，易知ACD ABC ∆∆∽，可得关于AC 、AD 、AB 的比例关系式，即可求出AD 的长．（2）当ED 与O 相切时，由切线长定理知EC ED =，则ECD EDC ∠=∠，那么A ∠和DEC ∠就是等角的余角，由此可证得AE DE =，即E 是AC 的中点．在证明时，可连接OD ，证OD DE ⊥即可．【解答】解：（1）如图所示，在Rt ACB ∆中，3AC cm =，4BC cm =，90ACB ∠=︒，5AB cm ∴=；连接CD ，BC 为直径， 90ADC BDC ∴∠=∠=︒；A A ∠=∠，ADC ACB ∠=∠，Rt ADC Rt ACB ∴∆∆∽； ∴AC AD AB AC=， 23955AD ∴==；（2）当点E 是AC 的中点时，ED 与O 相切；证明：连接OD ， DE 是Rt ADC ∆的中线；ED EC ∴=，EDC ECD ∴∠=∠；OC OD =，ODC OCD ∴∠=∠；90EDO EDC ODC ECD OCD ACB ∴∠=∠+∠=∠+∠=∠=︒；ED OD ∴⊥，ED ∴与O 相切．【点评】本题考查的是直线与圆的位置关系，相似三角形的判定和性质，掌握经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线是解题的关键．20．【分析】（1）根据切线的性质得到PB PC =，BPO CPO ∠=∠．根据等腰三角形的性质即可得到结论；（2）由切线的性质得到90OBP ∠=︒，根据三角函数的定义即可得到结论．【解答】证明：（1）PB ，PC 是O 的两条切线，切点分别为B ，CPB PC ∴=，BPO CPO ∠=∠．PO BC ∴⊥，BE CE =．OB OA =，12OE AC ∴=； （2）PB 是O 的切线，90OBP ∴∠=︒．由（1）可得90BEO ∠=︒，132OE AC ==． 90OBP BEO ∴∠=∠=︒． tan BE PB BOE OE OB∴∠==， 在Rt BEO ∆中，3OE =，5OB =，4BE ∴=．203PB ∴=． 【点评】本题考查了切线的性质，圆周角定理，解直角三角形，正确的识别图形是解题的关键．21．【分析】（1）先根据圆周角定理证明BD 是O 的直径，得90BCD ∠=︒，再由三角形外角的性质和圆周角定理可得90BDE ∠=︒，可得DE 是O 的切线；（2）先根据平行线的性质得：90BHC BDE ∠=∠=︒．由垂径定理得AH CH =，AD CD =，由垂直平分线的性质得4BC AB ==，2CD AD ==．证明FAD FCB ∆∆∽，列比例式得2CF AF =，设AF x =，则22DF CF CD x =−=−，根据勾股定理列方程可解答．【解答】解：（1）相切．理由是：连接BD ，如图1．四边形ABCD 内接于O ，90BAD ∠=︒，BD ∴是O 的直径，即点O 在BD 上．90BCD ∴∠=︒．90CED CDE ∴∠+∠=︒．CED BAC ∠=∠．又BAC BDC ∠=∠，90BDC CDE ∴∠+∠=︒，即90BDE ∠=︒．DE OD ∴⊥于点D ．DE ∴是O 的切线．（2）如图2，BD 与AC 交于点H ，//DE AC ，90BHC BDE ∴∠=∠=︒．BD AC ∴⊥．AH CH ∴=．4BC AB ∴==，2CD AD ==．90FAD FCB ∠=∠=︒，F F ∠=∠，FAD FCB ∴∆∆∽． ∴AD AF CB CF=． 2CF AF ∴=．设AF x =，则22DF CF CD x =−=−．在Rt ADF ∆中，222DF AD AF =+，222(22)2x x ∴−=+． 解得：183x =，20x =（舍)． 83AF ∴=． 【点评】此题主要考查了圆周角定理，垂径定理，相似三角形的判定和性质，切线的判定和性质，勾股定理，求出4BC =是解本题的关键．22．【分析】（1）①正确画图；②连接OC ，如图1，根据垂径定理得：90OBD ∠=︒，AC AD =，由已知可得CE AD =，则圆心角相等，即COE AOD ∠=∠，由CF 是O 的切线，则90OCF ∠=︒，由三角形内角和定理可得OFC ODC ∠=∠；（2）根据直角三角形的性质得：30ODB ∠=︒，再证明点D ，O ，E 在同一条直线上，最后根据勾股定理可得FB 的长．【解答】解：（1）①依题意补全图形，如图1；②证明：连接OC ，如图1，半径OA CD ⊥，90OBD ∴∠=︒，AC AD =，AC CE =，∴CE AD =，COE AOD ∴∠=∠， CF 是O 的切线，OC 是半径，90OCF ∴∠=︒，OFC ODC ∴∠=∠；（2）过点B 作BG OD ⊥于点G ，如图2．B 是OA 的中点，4OA =，2OB ∴=．∴在Rt BOD ∆中，30ODB ∠=︒，60DOB ∴∠=︒，AD AC CE ==，60EOC AOC DOA ∴∠=∠=∠=︒，180EOD ∴∠=︒．即点D ，O ，E 在同一条直线上，在Rt OCF ∆中，4OC =，可得8OF =，在Rt OGB ∆中，2OB =，可得1OG =，BG =，9FG OF OG ∴=+=，在Rt BGF ∆中，由勾股定理可得FB ===【点评】本题考查垂径定理、切线的性质，勾股定理，圆周角定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型．23．【分析】（1）根据圆的定义补全图形即可得；（2）连接OC ，由射线AO 与射线AM 关于AC 对称知12∠=∠，由13∠=∠知32∠=∠，从而得//OC AE ，再由CF AM ⊥知CF OC ⊥，从而证得FC 与O 相切，据此可得答案．【解答】解：（1）依题意补全图形如下图所示，（2）如图，直线FC 与图形W 有一个公共点，证明：连接OC ，射线AO 与射线AM 关于AC 对称，12∴∠=∠，OC OA =，13∴∠=∠，32∴∠=∠，//OC AE ∴，CF AM ⊥于F ，CF OC ∴⊥，图形W 即O ，OC 为半径，FC ∴与O 相切，即FC 与图形W 有一个公共点．【点评】本题主要考查作图−基本作图，解题的关键是掌握线段中垂线的尺规作图和性质、圆的定义、切线的判定与性质等知识点．24．【分析】（1）作直径BF ，连接CF ，求得90BCF ∠=︒，根据三角函数的定义即可得到结论；（2）如图，过O 作OG AD ⊥于G ，OH BC ⊥于H ，得到GE GA =，四边形OHDG 是矩形，求得OH DG =，于是得到结论．【解答】解：（1）如图，作直径BF ，连接CF ，90BCF ∴∠=︒，60F BAC ∠=∠=︒，sin BC BF F ∴===O ∴的半径为；（2）如图，过O 作OG AD ⊥于G ，OH BC ⊥于H ，GE GA ∴=，四边形OHDG 是矩形，OH DG ∴=， 2OB =，30FBC ∠=︒，OH ∴=，DG ∴=5AG AD GD ∴=−=，5EG ∴=，55DE EG GD ∴=−==−【点评】本题考查了三角形的外接圆与外心，矩形的性质，解直角三角形，正确的作出辅助线是解题的关键．25．【分析】（1）补全图形，证明()MCB NCA SAS ∆≅∆，即可得出结论；（2）分两种情况：①由旋转的性质得90MCN ∠=︒，CM CN =，得出45CMN ∠=︒，由切线的性质得出90BMN ∠=︒，即可得出答案；②如图3所示：由旋转的性质得90MCN ∠=︒，CM CN =，得出45CMN ∠=︒，由切线的性质得出90BMN ∠=︒，即可得出答案；（3）当CM 与B 相切时，BN 有最小值为1；证明四边形BMCN 是正方形，得出BN CN ⊥，1BN BM ==，CN 与B 相切，点N 是切点，即BN 的最小值为1；当点N 在BA 延长线时，BN 有最大值为3；同（1）得()MCB NCA SAS ≅∆，得出1BM AN ==，求出2AB ==，得出3BN AB BN =+=，即BN 的最大值为3．【解答】（1）补全图形如图1所示：证明：由旋转的性质得：90MCN ∠=︒，CM CN =，90ACB MCN ∴∠=∠=︒，MCB NCA ∴∠=∠，在MCB ∆和NCA ∆中，BC AC MCB NCA CM CN =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()MCB NCA SAS ∴∆≅∆，BM AN ∴=；（2）解：分两种情况：①如图2所示：由旋转的性质得：90MCN ∠=︒，CM CN =， CMN ∴∆是等腰直角三角形，45CMN ∴∠=︒， MN 与B 相切，90BMN ∴∠=︒，45BMC BMN CMN ∴∠=∠−∠=︒；②如图3所示：由旋转的性质得：90MCN ∠=︒，CM CN =， CMN ∴∆是等腰直角三角形，45CMN ∴∠=︒， MN 与B 相切，90BMN ∴∠=︒，135BMC BMN CMN ∴∠=∠+∠=︒； 综上所述，MN 与B 相切，则BMC ∠的度数为45︒或135︒； 故答案为：45︒或135︒；（3）解：当CM 与B 相切时，BN 有最小值为1；理由如下：如图4所示：CM 与B 相切，90BMC ∴∠=︒，由旋转的性质得：90MCN ∠=︒，CM CN =，180BMC MCN ∴∠+∠=︒，//BM CN ∴，1CM =，BM CM CN ∴==，∴四边形BMCN 是平行四边形，∴四边形BMCN 是正方形，BN CN ∴⊥，1BN BM ==，CN ∴与B 相切，点N 是切点，即BN 的最小值为1；当点N 在BA 延长线时，BN 有最大值为3，理由如下：如图5所示：同（1）得：()MCB NCA SAS ≅∆，1BM AN ∴==，90ACB ∠=︒，AC BC ==2AB ∴==，3BN AB BN ∴=+=，即BN 的最大值为3； 故答案为：1；3．【点评】本题是圆的综合题目，考查了切线的判定与性质、旋转的性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、正方形的判定与性质、勾股定理等知识；本题综合性强，有一定难度．26．【分析】连接AO ，交BC 于点D ，连接BO ，由垂径可求AO BC ⊥，BD CD =，即可求BD =，由勾股定理可求AD 的长，圆的半径．【解答】解：连结AO ，交BC 于点D ，练结BO ．AB AC =，∴AB AC =．1又AO 是半径，AO BC ∴⊥，BD CD =．2BC =，∴BD =．3在Rt ABD ∆中，90ADB ∠=︒，222BD AD AB +=，4AB =，2.4AD ∴=设O 半径为r ．在Rt BDO ∆中，222BD DO BO +=，∴222(2)r r +−=，4r ∴=O ∴的半径为4．【点评】本题考查了三角形的外接圆与外心，等腰三角形的性质，勾股定理，熟练运用勾股定理求线段的长是本题的关键．27．【分析】（1）依据题意，即可补全图形；（2）根据切线的判定定理判断并证明：直线DE 与O 的位置关系即可；（3）根据10AB =，8BC =，圆的半径即可求CE 的长．【解答】解：（1）如图即为补全的图形．（2）直线DE 是O 的切线． 理由如下：证明：连结OD ，交BC 于F ． AD 平分BAC ∠，BAD CAD ∴∠=∠．∴CD BD =．OD BC ∴⊥于F ．//DE BC ，OD DE ∴⊥于D ．∴直线DE 是O 的切线．（3）AB 是O 的直径， 90ACB ∴∠=︒．10AB =，8BC =，6AC ∴=．90BOF ACB ∠=∠=︒， //OD AC ∴． O 是AB 中点，132OF AC ∴==． 152OD AB ==， 2DF ∴=．//DE BC ，//OD AC ， ∴四边形CFDE 是平行四边形． 90ODE ∠=︒，∴平行四边形CFDE 是矩形． 2CE DF ∴==．答：CE 的长为2．【点评】本题考查了作图−复杂作图、圆周角定理、直线和圆的位置关系、三角形外接圆与外心，解决本题的关键是根据语句准确画图并注明．。