固体物理第二章第四节 倒格子
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中文名称:倒格子英文名称:Reciprocal lattice术语来源:固体物理学倒格子,亦称倒易格子(点阵),它在固体物理学中,特别是在晶格动力学理论、晶体电子论以及晶体衍射方面有着较为广泛的应用。
1定义假定晶格点阵基矢a1、a2、a3(1、2、3表示 a 的下标,粗体字表示a1 是矢量,以下类同)定义一个空间点阵,我们称之为正点阵或正格子,若定义b1 = 2 π ( a2× a3) /νb2 = 2 π ( a3× a1) /νb3 = 2 π ( a1× a2) /ν其中 v = a1· ( a2× a3 ) 为正点阵原胞的体积,新的点阵的基矢b1、b2、b3是不共面的,因而由b1、b2、b3也可以构成一个新的点阵,我们称之为倒格子,而b1、b2、b3 称为倒格子基矢。
2性质1. 倒格子的一个矢量是和晶格原胞中一组晶面相对应的,它的方向是该晶面的法线方向,而它的大小则为该晶面族面间距倒数的2π倍。
2. 由倒格子的定义,不难得到下面的关系a i ·b j = 2 πδij3. 设倒格子与正点阵(格子)中的位置矢量分别为G = αb1+ βb2 + γb3R = ηa1 + θa2 + λa3 (α,η,β,θ,γ,λ皆为整数)不难证明G·R = 2π ( αη + βθ +γλ ) = 2π n,其中n为整数。
4. 设倒格子原胞体积为ψ,正格子原胞体积为 v ,根据倒格子基矢的定义,并利用矢量乘法运算知识,则可得到ψ v = ( 2 π )^3.5. 正格子晶面族(αβγ)与倒格子矢量G = αb1+ βb2 + γb3 正交(具体的内容及证明过程,请参考文献[1])3倒格子引入的意义这里简单的说一点,如上面的性质1,倒格子中的一个基矢对应于正格子中的一族晶面,也就是说,晶格中的一族晶面可以转化为倒格子中的一个点,这在处理晶格的问题上有很大的意义。
第⼆章++X射线衍射和倒格⼦第⼆章 X 射线衍射和倒格⼦⼤多数探测晶体中原⼦结构的⽅法都是以辐射的散射概念为基础的。
早在1895年伦琴发现X 射线不久,劳厄在1912年就意识到X 射线的波长量级与晶体中原⼦的间距相同,⼤约是0.1nm 量级,晶体必然可以成为X 射线的衍射光栅。
随后布拉格⽤X 射线衍射证明了NaCl 等晶体具有⾯⼼⽴⽅结构,从⽽奠定了⽤X 射线衍射测定晶体中的原⼦周期性长程有序结构的地位。
随着科学技术的不断发展,电⼦、中⼦衍射有为⼈类认识晶体提供了有效的探测⽅法。
但到⽬前为⽌,X 射线衍射仍然是确定晶体结构、甚⾄是只具有短程有序的⽆定形材料结构的重要⼯具。
本章以X 射线衍射为例介绍晶体的衍射理论,引⼊倒格⼦的概念,在此基础上介绍原⼦形状因⼦和⼏何结构因⼦,并介绍⼏种确定晶格结构的实验⽅法。
§2.1 晶体衍射理论⼀、布拉格定律(Bragg ’s Law )X 射线是⼀种可以⽤来探测晶体结构的辐射,其波长可以⽤下式来估算012.4()()hcE h A E KeV νλλ==?= (2.1.1)能量为2~10KeV 的X 射线适⽤于晶体结构的研究。
在固体中,X 射线与原⼦的电⼦壳层相互作⽤,电⼦吸收并重新发射X 射线,重新发射的X 射线可以探测得到,⽽原⼦核的质量相对较⼤,对这个过程没有响应。
X 射线的反射率⼤约是10-3~10-5量级,在固体中穿透⽐较深,所以X 射线可以作为固体探针。
1912年劳厄(/doc/eb1ccaba1a37f111f1855b71.html ul )等发现了X 射线通过晶体的衍射现象之后,布拉格(W.L.Bragg )⽗⼦测定了NaCl 、KCl 的晶体结构,⾸次给出了晶体中原⼦规则排列的实验数据,发现了晶态固体反射X 射线特征图像,推导出了⽤X 射线与晶体结构关系的第⼀个公式,著名的布拉格定律(Bragg ’s Law )。
布拉格对于来⾃晶体的衍射提出了⼀个简单的解释。
倒格子题目:试论倒格子、倒格子空间的基本概念、与正格子的关系以及在固体物理研究中的意义和作用。
1.倒格子的基本概念:假定晶格点阵基矢1a 、2a 、3a(1、2、3表示 a 的下标)定义一个空间点阵,我们称之为正点阵或正格子,若定义: v a a b )(2321 ⨯=π v a a b )(2232 ⨯=π v a a b )(2213 ⨯=π其中)(321a a a v ⨯⋅= 为正点阵原胞的体积,新的点阵的基矢1b 、2b 、3b 是不共面的,因而由 1b 、2b 、3b 也可以构成一个新的点阵,我们称之为倒格子 ,而1b 、2b 、3b 称为倒格子基矢。
2.倒格子与正格子之间的关系:①基矢间关系:3,2,1,)(0)(2=⎩⎨⎧≠==*j i j i j i b a j i π ②位矢之间关系:正格子位矢:332211a l a l a l R l ++=倒格子位矢:332211b n b n b n G n ++=二者关系:m R G l n π2=⋅ (m 为整数)表明:若两矢量点积为π2的整数倍,则其中一个矢量为正格子位矢, 另一个必为倒格子位矢。
③原胞体积的关系:倒格子原胞的体积v *与正格子原胞体积v 的关系 为:)()2()2()(32133321*a a a vb b b v ⨯⋅==⨯⋅=ππ ④倒格矢332211b h b h b h G ++=与正格子中密勒指数为)(321h h h 的晶面族正交。
即332211b h b h b h G ++=沿晶面族)(321h h h 的法线方向。
3.固体物理研究中的意义和作用:①:倒格子中的一个基矢对应于正格子中的一族晶面,也就是说,晶格中的一族晶面可以转化为倒格子中的一个点,这在处理晶格的问题上有很大的意义。
例如,晶体的衍射是由于某种波和晶格互相作用,与一族晶面发生干涉的结果,并在照片上得出一点,所以,利用倒格子来描述晶格衍射的问题是极为直观和简便的。