《实变函数》中依测度收敛的定义(精)

复习(1)教材14P 频率与概率的关系：只要n 相当大，频率)(1ωn f 与概率)(1ωP 是会非常靠近的，频率是概率的一个近似；(2) 教材68P 普哇松定理：当np 很大时怎么办呢？；(3)教材115P ：一个变量如果受到大量微小的、独立的随机因素的影响，那么这个变量一般是一个正态变量，在下一章中我们将讨论这个问题；(4) 契贝晓夫不等式：2)|(|εξεξξD E P ≤≥-；(5)《实变函数》中依测度收敛的定义：对0>∀σ，有0]|[|lim =≥-σf f mE n n，则称函数列)}({x f n 依测度收敛于)(x f ，记作)()(x f x f n ⇒。

第四章大数定律与中心极限定理极限定理是概率论与数理统计学中最重要的理论结果。

本章简单地介绍两类极限定理---“大数定律”和“中心极限定理”。

通常，把叙述在什么条件下一随机变量序列的算术平均值（按某种意义）收敛于某数的定理称为“大数定律”；把叙述在什么条件下大量的随机变量之和近似服从正态分布的定理称为“中心极限定理”。

本教材只介绍极限定理的经典结果。

分布函数、矩和特征函数是解决经典极限定理的主要工具。

一、教学目的与要求1．掌握四个大数定律的条件、结论及数学意义；2．理解随机变量序列的两种收敛性的定义及其关系，了解特征函数的连续性定理；3．掌握独立同分布中心极限定理的条件、结论，并会用来解决一些实际问题。

二、教学重点和难点教学重点是讲清大数定律的条件、结论和中心极限定理的条件、结论。

教学难点是随机变量序列的两种收敛性及大数定律和中心极限定理的应用。

§4.1 大数定律一、大数定律的意义在第一章中引入事件与概率的概念时曾经指出，尽管随机事件A 在一次试验可能出现也可能不出现，但在大量的试验中则呈现出明显的统计规律性——频率的稳定性。

频率是概率的反映，随着观测次数n 的增加，频率将会逐渐稳定到概率。

这里说的“频率逐渐稳定于概率”实质上是频率依某种收敛意义趋于概率，这个稳定性就是“大数定律”研究的客观背景。

详细地说：设在一次观测中事件A 发生的概率()p A P =，如果观测了n 次（也就是一个n 重贝努里试验），A 发生了n μ次，则A 在n 次观测中发生的频率为nnμ，当n 充分大时，频率nnμ逐渐稳定到概率p 。

若用随机变量的语言表述，就是：设i ξ表示第i 次观测中事件A 发生次数，即⎩⎨⎧=不发生次试验中第发生次试验中第A i A i i ,0,1ξn i ,,2,1 =则n ξξξ,,,21 是n 个相互独立的随机变量，显然∑==ni i n 1ξμ。

从而有∑==ni i nn n 11ξμ 因此“nnμ稳定于p ”，又可表述为n 次观测结果的平均值稳定于p 。

现在的问题是：“稳定”的确切含义是什么？nnμ稳定于p 是否能写成p nnn =∞→μlim（1）亦即，是否对0>∀ε，εμ<->∃p nN n N n有时当,,（2） 对n 重贝努里试验的所有样本点都成立？实际上，我们发现事实并非如此，比如在n 次观测中事件A 发生n 次还是有可能的，此时1,==nn nn μμ，从而对p -<<10ε，不论N 多么大，也不可能得到εμ<->p nN n n有时当,成立。

也就是说，在个别场合下，事件（εμ≥-p nn）还是有可能发生的，不过当n 很大时，事件（εμ≥-p nn）发生的可能性很小。

例如，对上面的n n =μ，有 n n p n P =⎪⎭⎫⎝⎛=1μ。

显然，当∞→n 时， 01→=⎪⎭⎫⎝⎛=n n p n P μ，所以“n n μ稳定于p ”是意味着对0>∀ε，有0)(|lim =≥-∞→εμp nP nn （3）（概率上“nnμ稳定于p ”还有其他提法，如博雷尔建立了1)lim(==∞→p nP nn μ，从而开创了另一形式的极限定理---强大数定律的研究）沿用前面的记号，（3）式可写成0)1(lim 1=≥-∑=∞→εξp n P ni i n 一般地，设 ,,,,21n ξξξ是随机变量序列，a 为常数，如果对0>∀ε，有0)1(lim 1=≥-∑=∞→εξa n P ni i n （4） 即1)1(lim 1=<-∑=∞→εξa n P ni i n 则称∑=ni i n 11ξ稳定于a 。

概率论中，一切关于大量随机现象之平均结果稳定性的定理，统称为大数定律。

若将（4）式中的a 换成常数列 ,,,,21n a a a ，即得大数定律的一般定义。

定义4.1：若 ,,,,21n ξξξ是随机变量序列，如果存在常数列 ,,,,21n a a a ， 使对0>∀ε，有1)1(lim 1=<-∑=∞→εξn ni i n a n P 成立，则称随机变量序列{}n ξ服从大数定律。

若随机变量i ξ具有数学期望 ,2,1,=i E i ξ，则大数定律的经典形式是： 对0>∀ε，有1)11(lim 11=<-∑∑==∞→εξξn i i n i i n E n n P 这里常数列 ,2,1,11==∑=n E n a ni i n ξ二、四个大数定律本段介绍一组大数定律，设 ,,,,21n ξξξ是一随机变量序列，我们总假定,2,1,=i E i ξ存在。

首先看一课后题222P 的23.4T （马尔可夫大数定律）如果随机变量序列}{n ξ，当∞→n 时，有0112→⎪⎭⎫⎝⎛∑=n i i D n ξ（*）证明：{}n ξ服从大数定律。

证明 : 对0>∀ε，由契贝晓夫不等式，有)11(011εξξ≥-≤∑∑==n i i n i i E n n P ))1(1(11εξξ≥-=∑∑==ni i n i i n E n P⎪⎭⎫ ⎝⎛≤∑=n i i n D 1211ξε∞→→⎪⎭⎫⎝⎛=∑=n D n n i i ,01122ξε 因此0)11(lim 11=≥-∑∑==∞→εξξni i n i i n E n n P 即1)11(lim 11=<-∑∑==∞→εξξn i i n i i n E n n P 故{}n ξ服从大数定律。

＃ 此大数定律称为马尔可夫大数定律，（*）式称为马尔可夫条件。

定理4.2（契贝晓夫大数定律）设 ,,,,21n ξξξ是一列两两不相关的随机变量，又设它们的方差有界，即存在常数0>C ，使有,2,1,=≤i C D i ξ则随机变量序列{}n ξ服从大数定律，即对0>∀ε，有1)11(lim 11=<-∑∑==∞→εξξn i i n i i n E n n P 证明： 因为}{i ξ两两不相关，且由它们的方差有界即可得到nc D D ni i ni i ≤=≤∑∑==11)(0ξξ从而有∞→→⎪⎭⎫⎝⎛∑=n D n n i i ,0112ξ 满足马尔可夫条件，因此由马尔可夫大数定律，有1)11(lim 11=<-∑∑==∞→εξξni i n i i n E n n P ＃ 注：契贝晓夫大数定律是马尔可夫大数定律的特例。

例4.1 设 ,,21ξξ为独立同分布随机变量序列，均服从参数为λ的普哇松分布，则由独立一定不相关，且 ,2,1,,===i D E i i λξλξ，因而满足定理4.2的条件，因此有1)1(lim 1=<-∑=∞→ελξni i n n P 注：此例题也可直接验证满足马尔可夫条件。

定理4.1（贝努里定理或贝努里大数定律）:设n μ是n 重贝努里试验中事件A 出现的次数，又A 在每次试验中出现的概率为()10,<<p p ，则对0>∀ε，有1)(lim =<-∞→εμp nP nn证明：令⎩⎨⎧=不发生次试验中第发生次试验中第A i A i i ,0,1ξn i ,,2,1 =显然∑==ni i n 1ξμ由定理条件，()n i i ,,2,1 =ξ独立同分布（均服从二点分布）。

且()p p D p E i i -==1,ξξ都是常数，从而方差有界。

由契贝晓夫大数定律，有11lim )(lim 1=⎪⎪⎭⎫⎝⎛<-=<-∑=∞→∞→εξεμp n P p n P n i i n nn ＃ 贝努里大数定律的数学意义：贝努里大数定律阐述了频率稳定性的含义，当n 充分大时可以以接近1的概率断言，nnμ将落在以p 为中心的ε内。

贝努里大数定律为用频率估计概率（np nμ≈）提供了理论依据。

注1：此定理的证明也可直接验证满足马尔可夫条件。

注2：贝努里大数定律是契贝晓夫大数定律的特例。

它是1713年由贝努里提出的概率极限定理中的第一个大数定律。

以上大数定律的证明是以契贝晓夫不等式为基础的，所以要求随机变量的方差存在，通过进一步研究，我们发现方差存在这个条件并不是必要条件。

定理4.3（辛钦大数定律）设 ,,21ξξ是一列独立同分布的随机变量，且数学期望存在,2,1,==i a E i ξ,则对0>∀ε，有1)1(lim 1=<-∑=∞→εξa n P ni i n 成立。

此定理的证明将在§4.2随机变量序列的两种收敛性中给出。

注：贝努里大数定律是辛钦大数定律的特例。

辛钦大数定律的数学意义：辛钦大数定律为实际生活中经常采用的算术平均值法提供了理论依据。

它断言：如果诸i ξ是具有数学期望、相互独立、同分布的随机变量，则当n 充分大时，算术平均值nnξξξ+++ 21一定以接近1的概率落在真值a 的任意小的邻域内。

据此，如果要测量一个物体的某指标值a ，可以独立重复地测量n 次，得到一组数据：n x x x ,,,21 ，当n 充分大时，可以确信n x x x a n +++≈21，且把nx x x n+++ 21作为a 的近似值比一次测量作为a 的近似值要精确的多，因a E i =ξ，a n E n i i =⎪⎭⎫⎝⎛∑=11ξ；但2σξ=i D ，nn D n i i 211σξ=⎪⎭⎫ ⎝⎛∑=，即∑=n i i n 11ξ关于a 的偏差程度是一次测量的偏差程度的n 1，n 越大，偏差越小。

再比如要估计某地区小麦的平均亩产量，只要收割一部分有代表性的地块，计算它们的平均亩产量，这个平均亩产量就是∑=ni i n 11ξ，在n 比较大的情形下它可以作为全地区平均亩产量，即亩产量的期望a 的一个近似。

这种近似或“靠近”并不是我们数学分析中的极限关系，而是§4.2中的依概率收敛。

辛钦大数定律也是数理统计学中参数估计理论的基础，通过第六章的学习，我们对它会有更深入的认识。

作业：223222-P 31.4,30.4,24.4T§4.2随机变量序列的两种收敛性一、依概率收敛在上一节上，我们从频率的稳定性出发，得出下面的极限关系式：εη≥-∞→a P n n (lim )=0，其中∑==ni i n n 11ξη或等价于1)(lim =<-∞→εηa P n n 这与数学分析中通常的数列收敛的意义不同。