有关排列组合的常用解题技巧

解题宝典排列组合问题主要考查同学们的逻辑推理能力、数学抽象能力、分析和解决问题的能力，是很多同学感觉比较困难的一类题目.本文对有关排列组合的几种常见问题及其解答技巧进行了总结归纳，以期能够帮助同学们清楚地了解到不同类型题目的特点以及解题的技巧.类型一：相邻问题相邻问题是指某些元素相邻的问题.解答相邻问题的常规方法是捆绑法，其解题步骤为：1.将相邻元素“捆绑”在一起，看成一个大元素和剩下的元素一起排列；2.考虑大元素内部各元素的排列顺序；3.利用分步计数原理求得总的排列数.例1.某公司有8辆车，要求在执行任务时A 车和B 车必须始终在一起.现8辆车同时出去执行任务，出行时排列的方式有多少种？解析：因为要求A 车和B 车相邻，因此可以把A 车和B 车看成一辆大元素，所以共有7辆元素，则有A 77种排列方式，再排列A 、B 车的出行顺序，共有A 22种方案.故共有A 77A 22=30240种排列方式.在使用捆绑法解题的时候，一定要注意“捆绑”起来的大元素内部的顺序.类型二：相间问题相间问题是指元素不相邻的问题.解答此类问题的基本方法是插空法，其解题步骤为：1.把没有位置要求、无条件限制的元素排列好；2.将有位置要求、有条件限制的元素插入到已经排列好的无条件限制元素的间隙或者两端；3.运用分步计数原理求得最后的结果.例2.某公司有8辆车，要求在执行任务时A 车和B 车不能在一起.现8辆车同时出去执行任务，出行时排列的方案有多少种？解析：题目中要求A 车和B 车不相邻，因此需考虑先把其他6辆车排好，有A 66种排列方案，这时中间和两端还有7辆位置可供A 、B 车选择，将A 和B 插入，有A 27种排列方案.故共有A 66A 27=30240种排列方案.处理相间问题的关键是把有位置要求、有条件限制的元素和无位置要求、无条件限制的元素区别开，分步进行处理.类型三：特殊元素问题对于有特殊要求的元素，我们一般采取以下两种方案：特殊元素法或特殊位置法.其基本思路是，优先处理有特殊要求的元素，再去考虑其他的元素.例3.某公司有8辆车，现需要派出4辆车去执行任务，要求A 车必需去.那么在出行时A 车排在最后的方案有多少种？解析：解答本题有两种思路：特殊元素法或特殊位置法.特殊元素法：要求A 车必须出去执行任务，所以还需要在剩下的7辆车中选择3辆车，有C 37种方案.又因为A 车必须是排在最后，所以4个位置中的最后一个已经被A 车占据，可将剩下的3个位置排列选择出来的3辆车，则排列方式有A 33种，故有C 37A 33=210种排列方案.特殊位置法：最后一个位置是A 车的，我们需优先把A 车安排在最后.那么可从7辆车中选择一辆车排在最前面，则有7种方案；从剩余的6辆车中选择一辆车排在第二个位置，则有6种方案；从剩余的5辆车中选择一辆车排在第三个位置，则有5种方案；根据分步计数原理可得，共有7×6×5=210种排列方案.类型四：定序问题定序问题是指要求某些元素的顺序始终不变的问题.对于定序问题，我们通常可以采用以下的思路：（1）先把没有要求的元素排好，然后将剩下的特殊定序元素插入即可.但运用该方法解题容易出现重复计算排列情况的问题.（2）可以将有要求、有条件限制的元素和其他无要求、无条件限制的元素一起排列，然后除以有要求元素的全排列数.（3)可以优先排列有定序要求的元素，再计算无要求元素的排序.例4.某公司派8辆车出去执行任务，要求出行时A 、B 、C 三辆车的顺序不变，共有多少种排列方式？解析：这里有三种解答思路.高娅孙海42思路1：我们可以优先考虑将无特殊要求的5辆车排序，则共A 55种排列方式，再安排A 、B 、C 三辆车的顺序.这里需分步进行，首先将第一辆车插入其中的空隙，有6种方法，然后将第二辆车插入其中的7个空隙，有7种方式；再将第三辆插入其中的8个空隙，有8种方式.因此共A 55×8×7×6A 33=6720种排列方式.思路2：我们可以先将所有的元素一起排列，然后除以A 、B 、C 三辆车的全排列数，可得A 88A 33=6720种排列方式.思路3：可以先挑选出来3个位置给A 、B 、C 三辆车，则有C 38种方式，然后把剩下的5个位置安排给其他无条件限制的5辆车，则有A 55种排列方式.故共有C 38A 55=6720种排列方式.相对而言，后两种方案比较容易，计算量较小，同学们也容易掌握.类型五：多排问题对于多排问题，我们可以参考直排问题来进行求解.如果同时出现相间、相邻问题，同学们就要格外注意，有可能出现直排相邻的情况，而实际是不相邻的问题.例5.某公司有8辆车，现要将8辆车停到车库，车库有两排，每排4个位置，要求A 车和B 车必须在第一排，C 车和D 车必须在第二排，那么有多少种停车方案？解析：本题属于多排问题，我们可以把多排化为一排来处理.需优先安排A 、B 、C 、D 这四辆车，对于A 车和B 车有4个位置可以选择，则有A 24种排列方式，同理C 车和D 车也有A 24种排列方式，然后将剩下的4辆车安排在剩下的四个位置上，有A 44种排列方式，故共有A 24A 24A 44=3456种停车方案.类型六：平均分组问题平均分组问题是排列组合问题中的综合问题，解答这类问题的一个基本思想就是不管它的顺序是如何的，都看作一种情况，所以在分组后要除以A mm，这里的m 是指均匀分的组数.例6.某公司有8辆车，现在需要将这8辆车分成2辆、3辆、3辆三组，则有多少种分配方案？解析：我们需先从8辆车中选出2辆车为一组，则有C 28种方案，再从剩下的6辆中选出3辆车为一组，则有C 36种方案，那么剩下的3辆为一组.因为后面两组人数相同，因此不管顺序怎样都是一种情况，所以需要除以A 22.故共有C 28C 36C 33A 22=280种分配方案.类型七：平均分配问题解答平均分配问题一般有两种方法，一是隔板法，二是先平均分组再分配.隔板法是指把“|”看作是隔板，用它将所要分配的元素（物品、名额）分成若干个小组.在解这类题时需要在组合的基础上进行排列，通常是先分组后分配，即先组合后排列.例7.某公司有8辆车，现需要将其分配到5个地区去执行任务，每个地区至少一辆车，那么共有几种分配方案？解析：本题属于分配问题，因为每个地区至少有一辆车，所以可以采取隔板法来求解.将8辆分配到5个地区，所以需要4个隔板，在8辆车中间有7个空隙，可插入4个隔板，则有C 47=35种分配方案.此类分配问题实际上就是将n 个相同的元素分成若干组，宜用“隔板法”求解.采用此方法解题时需注意：（1）每组的数量至少是1；（2）每组的数量相等.例8.某公司有8辆车，现在需要派出4辆车去3个地区执行任务，每个地区至少有一辆车，则有多少种选派方案？解析：首先应该从8辆车中选择出4辆车，则有C 48种方案.4辆车被派去3个地区，那么肯定有一个地方有2辆车，则可以分为2辆、1辆，所以4辆车进行分组可以得到C 24C 12C 11A 22，再将其分配到3个地区就是排列的问题，则有A 33种分配方案.故有C48C 24C 12C 11A 22A 33=2520种分配方法.在解题时，我们要注意重复的次数是均匀分组的阶乘数，即若有m 组元素个数相等，则分组时应除以m ！除了上述提到这一些方法外，解答排列组合问题的方法还有构造模型法、转化法等.总之，解答排列组合问题，首先要认真审题，弄清楚题目所考查的是排列问题还是组合问题，其次要抓住问题的本质特征，采用合理恰当的方法来处理.（作者单位：西华师范大学数学与信息学院）解题宝典43。

高考数学总复习------排列组合与概率统计【重点知识回顾】1.排列与组合⑴ 分类计数原理与分步计数原理是关于计数的两个基本原理，两者的区别在于分步计 数原理和分步有关，分类计数原理与分类有关.⑵ 排列与组合主要研究从一些不同元素中，任取部分或全部元素进行排列或组合，求共有多少种方法的问题.区别排列问题与组合问题要看是否与顺序有关，与顺序有关的属于排列问题，与顺序无关的属于组合问题.⑶排列与组合的主要公式①排列数公式：An m(n n! n(n1) (nm1) (m ≤n)m)!A n n=n!=n(n―1)(n ―...2)21.·②组合数公式：Cn mn! n(n 1) (n m 1) (m ≤n).m!(n m)! m (m 1) 2 1③组合数性质：①C n mC n nm(m ≤n). ②C n 0C n 1C n 2C n n2n③Cn 0C n 2C n 4C n 1C n 32n12.二项式定理⑴二项式定理(a+b)n=C n 0a n+C 1n a n －1b+⋯+C n ra n －rb r+⋯＋C n n b n，其中各项系数就是组合数C n r，展开r － r b r . 式共有n+1项，第r+1项是T r+1=C n a n⑵二项展开式的通项公式二项展开式的第r+1 项Tr+1=C n r a n －r b r(r=0,1, ⋯叫n)做二项展开式的通项公式。

⑶二项式系数的性质①在二项式展开式中，与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等， r n r (r=0,1,2, ⋯,n). 即C n =C n②若n 是偶数，则中间项 (第n n项)的二项公式系数最大，其值为 C n 2；若n 是奇数， 12则中间两项(第n 1项和第n3 n1 n1项)的二项式系数相等，并且最大，其值为C n 2 =C n 2. 2 2③所有二项式系数和等于 2n，即C 0n +C 1n ＋C 2n +⋯+C nn =2n.④奇数项的二项式系数和等于偶数项的二项式系数和，10213n ―1 即C n +C n +⋯=C n +C n +⋯=2 . 3.概率（1）事件与基本事件：随机事件: 在条件下, 可能发生也可能不发生的事件S事件不可能事件:在条件下,一定不会发生的事件 确定事件 S必然事件:在条件下,一定会发生的事件 S基本事件：试验中不能再分的最简单的 “单位”随机事件；一次试验等可能的产生一个基本事件；任意两个基本事件都是互斥的； 试验中的任意事件都可以用基本事件或其和的形式来表示．（ 2）频率与概率：随机事件的频率是指此事件发生的次数与试验总次数的比值．频率往往在概率附近摆动，且随着试验次数的不断增加而变化，摆动幅度会越来越小．随机事件 的概率是一个常数，不随具体的实验次数的变化而变化．（3）互斥事件与对立事件：事件定义集合角度理解 关系事件 A 与B 不可能同时两事件交集为空事件A 与B 对立，则A互斥事件与B 必为互斥事件；发生事件 A 与B 不可能同时两事件互补 事件A 与B 互斥，但不对立事件一是对立事件 发生，且必有一个发生（4）古典概型与几何概型：古典概型：具有“等可能发生的有限个基本事件 ”的概率模型．几何概型：每个事件发生的概率只与构成事件区域的长度（面积或体积）成比例．两种概型中每个基本事件出现的可能性都是相等的， 但古典概型问题中所有可能出现的 基本事件只有有限个，而几何概型问题中所有可能出现的基本事件有无限个．（5）古典概型与几何概型的概率计算公式：古典概型的概率计算公式：P(A)A 包含的基本事件的个数 ．基本事件的总数构成事件A 的区域长度(面积或体积) 几何概型的概率计算公式： P (A )．试验全部结果构成的区域长度(面积或体积)两种概型概率的求法都是 “求比例”，但具体公式中的分子、分母不同．（6）概率基本性质与公式①事件A 的概率P(A)的X 围为：0≤P(A)≤1．②互斥事件A 与B 的概率加法公式： P(AB)P(A) P(B)．③对立事件A与B的概率加法公式：P(A) P(B) 1．（7）如果事件A在一次试验中发生的概率是p，则它在n次独立重复试验中恰好发生k次的概率是p kkn―kn的展开式的第k+1 项.n (1 ―p).实际上，它就是二项式[(1 ―p)+p] (k)=C n p2（8）独立重复试验与二项分布①．一般地，在相同条件下重复做的n次试验称为n次独立重复试验．注意这里强调了三点：（1）相同条件；（2）多次重复；（3）各次之间相互独立；②．二项分布的概念：一般地，在n次独立重复试验中，设事件A发生的次数为X，在每次试验中事件A发生的概率为p，那么在n次独立重复试验中，事件A恰好发生k次的概率为( X k )k k (1)nk(012 )P Cp p，k ，，，，nn．此时称随机变量X服从二项分布，记作X~B(n，p)，并称p为成功概率．4、统计（1）三种抽样方法①简单随机抽样简单随机抽样是一种最简单、最基本的抽样方法．抽样中选取个体的方法有两种：放回和不放回．我们在抽样调查中用的是不放回抽取．简单随机抽样的特点：被抽取样本的总体个数有限．从总体中逐个进行抽取，使抽样便于在实践中操作．它是不放回抽取，这使其具有广泛应用性．每一次抽样时，每个个体等可能的被抽到，保证了抽样方法的公平性．实施抽样的方法：抽签法：方法简单，易于理解．随机数表法：要理解好随机数表，即表中每个位置上等可能出现0，1，2，⋯，9这十个数字的数表．随机数表中各个位置上出现各个数字的等可能性，决定了利用随机数表进行抽样时抽取到总体中各个个体序号的等可能性．②系统抽样系统抽样适用于总体中的个体数较多的情况．系统抽样与简单随机抽样之间存在着密切联系，即在将总体中的个体均分后的每一段中进行抽样时，采用的是简单随机抽样．系统抽样的操作步骤：第一步，利用随机的方式将总体中的个体编号；第二步，将总体的编号分段，要确定分段间隔k，当N（Ｎ为总体中的个体数，n为样本容量）是整数时，nk N；当N不是整数时，通过从总体中剔除一些个体使剩下的个体个数Ｎ能被n整除，n n这时k N；第三步，在第一段用简单随机抽样确定起始个体编号l，再按事先确定的规则n抽取样本．通常是将l加上间隔 k得到第2个编号(l k)，将(l k)加上k，得到第3个编号(l 2k)，这样继续下去，直到获取整个样本．③分层抽样当总体由明显差别的几部分组成时，为了使抽样更好地反映总体情况，将总体中各个个体按某种特征分成若干个互不重叠的部分，每一部分叫层；在各层中按层在总体中所占比例进行简单随机抽样．分层抽样的过程可分为四步：第一步，确定样本容量与总体个数的比；第二步，计算出各层需抽取的个体数；第三步，采用简单随机抽样或系统抽样在各层中抽取个体；第四步，将各层中抽取的个体合在一起，就是所要抽取的样本．（2）用样本估计总体样本分布反映了样本在各个X围内取值的概率，我们常常使用频率分布直方图来表示相应样本的频率分布，有时也利用茎叶图来描述其分布，然后用样本的频率分布去估计总体分布，总体一定时，样本容量越大，这种估计也就越精确．3①用样本频率分布估计总体频率分布时， 通常要对给定一组数据进行列表、作图处理．作 频率分布表与频率分布直方图时要注意方法步骤． 画样本频率分布直方图的步骤： 求全距→决定组距与组数→分组→列频率分布表→画频率分布直方图．②茎叶图刻画数据有两个优点： 一是所有的信息都可以从图中得到； 二是茎叶图便于记录和表示，但数据位数较多时不够方便．③平均数反映了样本数据的平均水平，而标准差反映了样本数据相对平均数的波动程1 n 2．有时也用标准差的平方———方差来代替标准差，度，其计算公式为s(x i x)ni1两者实质上是一样的．（3）两个变量之间的关系变量与变量之间的关系，除了确定性的函数关系外，还存在大量因变量的取值带有一定随机性的相关关系．在本章中，我们学习了一元线性相关关系，通过建立回归直线方程就可以根据其部分观测值， 获得对这两个变量之间的整体关系的了解． 分析两个变量的相关关系 时 ,我们可根据样本数据散点图确定两个变量之间是否存在相关关系，还可利用最小二乘估 计求出回归直线方程．通常我们使用散点图，首先把样本数据表示的点在直角坐标系中作出，形成散点图．然后从散点图上，我们可以分析出两个变量是否存在相关关系： 如果这些点大致分布在通过散点图中心的一条直线附近， 那么就说这两个变量之间具有线性相关关系， 这 条直线叫做回归直线， 其对应的方程叫做回归直线方程． 在本节要经常与数据打交道， 计算量大，因此同学们要学会应用科学计算器． （4）求回归直线方程的步骤：n n 2；第一步：先把数据制成表，从表中计算出 ，， x i y i ， xy x ii1 i1 第二步：计算回归系数的 a ，b ，公式为n n nn x i y i ( x i )( y i ) b i 1 i1 i 1 ， n 2 n x i )2n x i (i 1 i 1a y ；bx第三步：写出回归直线方程y bxa ． （4）独立性检验①22 列联表：列出的两个分类变量 X 和Y ，它们的取值分别为{x 1,x 2}和{y 1,y 2}的 样本频数表称为 2 2列联表1分类y1 y2 总计x1 a b a bx2cdc d总计 a c b da bcd构造随机变量K2(an(ad bc)2d)（其中n ab cd）b)(c d)(a c)b4得到K2的观察值k常与以下几个临界值加以比较：如果k 2.706，就有9000的把握因为两分类变量X和Y是有关系；如果k 3.841 就有9500的把握因为两分类变量如果k 6.635 就有9900的把握因为两分类变量如果低于k 2.706，就认为没有充分的证据说明变量【典型例题】考点一：排列组合【方法解读】1、解排列组合题的基本思路：X和Y是有关系；X和Y是有关系；X和Y是有关系．①将具体问题抽象为排列组合问题，是解排列组合应用题的关键一步②对“组合数”恰当的分类计算是解组合题的常用方法；③是用“直接法”还是用“间接法”解组合题，其前提是“正难则反”；2、解排列组合题的基本方法：①优限法：元素分析法：先考虑有限制条件的元素的要求，再考虑其他元素；位置优先法：先考虑有限制条件的位置的要求，再考虑其他位置；②排异法：对有限制条件的问题，先从总体考虑，再把不符合条件的所有情况去掉。

14种策略7大模型“绝杀”排列组合排列组合问题是高考的必考题，它联系实际生动有趣，但题型多样，思路灵活，不易掌握，实践证明，掌握模型和解题方法，识别并化归到模式，熟练运用，是解决排列组合应用题的有效途径。

第一部分——组合的常见技巧策略一：合理分类与准确分步策略分类相加:每类方法都能独立地完成这件事 ；分步相乘:只有各个步骤都完成了，才能完成这件事。

【例1】有11名外语翻译人员，其中5名是英语译员，4名是法语译员，另外两名是英、法语均精通，从中找出8人，使他们可以组成翻译小组，其中4人翻译英语，另4人翻译法语，这两个小组能同时工作，问这样的8人名单可以开出几张？【解析】：按只会英语的有4名、3名、2名分类4431422456525524C C C C C C C C ++【例2】见后面【例19】【特别提醒】 在解排列组合问题时，一定要以两个原理为核心。

按元素的性质分类，按事情发生的过程分步。

综合题通常是整体分类再局部分步。

【类题演练】1、360的正约数（包括1和360）共有 个。

（答案24）2、工厂实验生产中需依次投入2种化工原料，现有5种原料可用，但甲、乙两种原料不能同时使用，且依次投料时，若使用甲原料，则甲必须先投放. 那么不同的实验方案共有____种 （答案15）；3、公司招聘进8名员工，平均分给下属的甲、乙两个部门.其中两名英语翻译人员不能同给一个部门；另三名电脑编程人员也不能同给一个部门，则不同的分配方案有______种 （答案36）；4、f 是集合{}4,5,6M =到集合{}1,0,1N =-的映射。

（答案①7；②9） ①若(4)(5)f f +(6)f =，则映射共有 个 ； ②若()3xf x +为奇数，则映射共有 个。

5、（2010湖南卷理科7)在某种信息传输过程中，用4个数字的一个排列（数字也许重复）表示一个信息，不同排列表示不同信息，若所用数字只有0和1，则与信息0110至多有两个对应位置上的数字相同的信息个数为（ ） （答案B ）（A ）10 （B ） 11 （C ）12 （D ）156、（2010浙江卷17）有4位同学在同一天的上、下午参加“身高与体重”、“立定跳远”、“肺活量”、“握力”、“台阶”五个项目的测试，每位同学上、下午各测试一个项目，且不重复。

排列组合的知识点（一）排列和排列数(1)排列：从n个不同元素中，任取m(m≤n)个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列。

从排列的意义可知，如果两个排列相同，不仅这两个排列的元素必须完全相同，而且排列的顺序必须完全相同，这就告诉了我们如何判断两个排列是否相同的方法。

(2)排列数公式：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有排列当m＝n时，为全排列Pnn=n(n－1)(n－1)…3·2·1＝n！（二）组合和组合数(1)组合：从n个不同元素中，任取m(m≤n)个元素并成一组，叫做从 n个不同元素中取出m 个元素的一个组合。

从组合的定义知，如果两个组合中的元素完全相同，不管元素的顺序如何，都是相同的组合；只有当两个组合中的元素不完全相同时，才是不同的组合。

(2)组合数：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有组合的个数这里要注意排列和组合的区别和联系，从n个不同元素中，任取m(m≤n)个元素，“按照一定的顺序排成一列”与“不管怎样的顺序并成一组”这是有本质区别的。

[反思] 排列与组合的共同点是从n个不同的元素中，任取m（m≤n）个元素，而不同点是排列是按照一定的顺序排成一列，组合是无论怎样的顺序并成一组，因此“有序”与“无序”是区别排列与组合的重要标志。

简单举例：1、2、3挑两个组成一个数字和1、2、3挑两个数字是完全不一样的！1、2、3挑两个组成一个数字那是排列；1、2、3挑两个数字那是组合。

例如我选1和2，排列里面12和21是两个数字！但是组合的话挑1和2就和挑2和1没有分别！！！《排列组合》教案教学目标：一.知识与技能目标：使学生通过观察，猜测，试验等活动，找出简单事物的排列规律，培养学生初步观察，分析，推理能力，以及有规律的全面思考问题。

二.过程与方法：引导学生使用数学方法解决实际生活中的问题，学会表达解决问题的大致过程。

三.情感态度目标：感受数学与生活的联系，激发学习数学，探索数学的浓厚兴趣，使学生在数学活动中养成与人合作的良好习惯。