小学奥数 五年级奥数竞赛班 讲义 [第12讲]多次相遇与追及(一)

多人多次的相遇与追及【知识导学】本讲我们要学习多个对象之间的行程问题．在本讲的学习中，大家一定要重视线段图的作用．本讲行程问题最大的特点就是“繁”——人多、车多、过程多．怎么解决这样复杂的问题呢？首先，必须有勇气，只要有勇气，你就敢面对这样的问题，积极开动脑筋去想；其次，必须有耐心，只要有耐心，你就能动手去画图，细致地分析每一组数量关系，再花上些时间，题目自然能够搞定．一、从不同的角度想问题，同一段路程通过不同的角度去分析，会有不同的发现．二、两人的运动时间相同时，他们的路程倍数关系就等于速度倍数关系．【例题精讲】【例1】叮叮、咚咚两人从A地，铛铛从B地同时出发，相向而行．叮叮的速度为每小时7千米，铛铛的速度为每小时5千米．出发3小时后，叮叮与铛铛相遇．又过了1小时，咚咚也与铛铛相遇．请问：咚咚的速度是多少？【及时巩固】叮叮、咚咚两人从A地，铛铛从B地同时出发，相向而行．叮叮的速度为每小时6千米，铛铛的速度为每小时4千米．出发3小时后，叮叮与铛铛相遇．又过了1小时，咚咚也与铛铛相遇．请问：咚咚的速度是多少？【例2】甲、乙两辆汽车的速度分别为每小时52千米和每小时40千米，两车同时从A地出发到B地去．出发6小时后，甲车遇到一辆迎面开来的卡车．又过了1小时，乙车也遇到了这辆卡车．请问：这辆卡车的速度是多少？【及时巩固】叮叮、咚咚两人从A地，铛铛从B地同时出发，相向而行．铛铛出发5小时后遇到叮叮，6小时后遇到咚咚．已知叮叮每小时行2千米，咚咚每小时行1.6千米，请问：铛铛每小时能行多少千米？【例3】A、B两城相距48千米，甲、乙两人从A城，丙从B城同时出发，相向而行．甲、乙、丙三人的速度分别是每小时4千米、2千米、2千米．请问：出发多长时间后，甲正好在乙和丙的中点？【及时巩固】老贺、老刘和老郭同时出发，其中老刘从A出发往B走，另外两人从B出发往A走．已知A、B两地相距28千米，老贺、老刘和老郭分别以每小时1千米、2千米、3千米的速度前进．那么在出发后多久，老郭正好在老贺与老刘的中点？【例4】A、B 两城相距 48 千米，甲、乙两人从A 城，丙从B 城同时出发，相向而行．甲、乙、丙三人的速度分别是每小时 4 千米、2 千米、 2 千米．请问：出发多长时间后，丙正好在甲和乙的中点？【及时巩固】老贺、老刘和老郭同时出发，其中老刘从A 出发往B 走，另外两人从B 出发往A 走．已知A、B 两地相距 28 千米，老贺、老刘和老郭分别以每小时 1 千米、2 千米、3 千米的速度前进．那么在出发后多久，老刘正好在老郭与老贺的中点？【例5】甲、乙、丙三人步行的速度相同，骑车的速度也相同，骑车的速度是步行速度的 3 倍．现在甲从A 地向B 地行进，乙、丙两人从B 地向A 地前行．三人同时出发，出发时，甲、乙步行，丙骑车．甲走了 6 千米时遇到丙，丙将车给甲骑，自己改为步行，三人仍按原来的方向继续前进．试问：甲骑车行多少千米后遇到乙？甲、乙相遇时，甲将车给乙骑，两人仍按原来的方向继续前进．试问：乙骑车到达A地时，甲离B地有多远？【及时巩固】甲、乙、丙三人步行的速度相同，骑车的速度也相同，骑车的速度是步行速度的 2 倍．现在甲从A 地向B 地行进，乙、丙两人从B 地向A 地前行．三人同时出发，出发时甲、乙步行，丙骑车．甲走了 6 千米时遇到丙，丙将车给甲骑，自己改为步行，三人仍按原来的方向继续前进．试问：甲骑车行多少千米后遇到乙？甲、乙相遇时，甲将车给乙骑，两人仍按原来的方向继续前进．试问：乙骑车到达A 地时，甲离B 地有多远？【课后作业】1. 北京和唐山之间的铁路长 210 千米，甲、乙两辆列车分别从北京和唐山同时出发，甲车的速度是每小时 57 千米，乙车的速度是每小时 90 千米．在甲车出发时，同时有一辆列车丙也从北京开出，车速为每小时 120 千米，那么当乙、丙相遇时，列车甲距离唐山多少千米？2. 甲、乙两人同时从A 骑车出发前往B 地，其中甲的速度为 12 米/ 秒，乙的速度为8 米/ 秒．出发后 10 分钟，甲遇到了迎面走来的丙，又过了 2 分 40 秒，乙也遇到了丙．那么丙的速度等于多少？3. 老贺、老郭和老刘同时出发，分别以每小时 1 千米、3 千米、1 千米的速度前进．其中老贺从A 出发往B 走，另外两人则从B 出发往A 走．已知A、B 两地相距 36 千米，那么在出发后多久，老郭正好在老贺与老刘的中点？4. 老贺、老郭和老刘同时出发，分别以每小时 1 千米、3 千米、1 千米的速度前进．其中老贺从A 出发往B 走，另外两人则从B 出发往A 走．已知A、B 两地相距 36 千米，那么在出发后多久，老贺正好在老郭与老刘的中点？5. 甲、乙两人从A 出发，丙从B 出发，三人出发时间相同，且相向而行．在出发时，甲和丙的速度相同，而乙是他们的 4 倍．当甲前进了 5 千米时，乙、丙两人相遇，而且两人相遇之后速度大小相互交换但方向保持不变．当甲、丙相遇时，两人也相互交换速度，但方向保持不变，那么当乙到达B 点时，甲在距离B 点多少千米的地方？。

一、由简单行程问题拓展出的多次相遇问题所有行程问题都是围绕“=⨯路程速度时间”这一条基本关系式展开的，多人相遇与追及问题虽然较复杂，但只要抓住这个公式，逐步表征题目中所涉及的数量，问题即可迎刃而解．二、多次相遇与全程的关系1. 两地相向出发：第1次相遇，共走1个全程；第2次相遇，共走3个全程；第3次相遇，共走5个全程；…………， ………………；第N 次相遇，共走2N-1个全程；注意：除了第1次，剩下的次与次之间都是2个全程。

即甲第1次如果走了N 米，以后每次都走2N 米。

2. 同地同向出发：第1次相遇，共走2个全程；第2次相遇，共走4个全程；第3次相遇，共走6个全程；…………， ………………；第N 次相遇，共走2N 个全程；3、多人多次相遇追及的解题关键多次相遇追及的解题关键 几个全程多人相遇追及的解题关键 路程差三、解多次相遇问题的工具——柳卡柳卡图，不用基本公式解决，快速的解法是直接画时间-距离图，再画上密密麻麻的交叉线，按要求知识框架多次相遇与追及问题数交点个数即可完成。

折线示意图往往能够清晰的体现运动过程中“相遇的次数”，“相遇的地点”，以及“由相遇的地点求出全程”，使用折线示意图法一般需要我们知道每个物体走完一个全程时所用的时间是多少。

如果不画图，单凭想象似乎对于像我这样的一般人儿来说不容易。

【例 1】甲、乙两车同时从A 地出发，不停的往返行驶于A ，B 两地之间。

已知甲车的速度比乙车快，并且两车出发后第一次和第二次相遇都在途中C 地。

问：甲车的速度是乙车的多少倍？【巩固】 甲、乙二人从相距 60千米的两地同时相向而行，6时后相遇。

如果二人的速度各增加1千米／时，那么相遇地点距前一次相遇地点1千米。

问：甲、乙二人的速度各是多少？例题精讲【例 2】如图，甲和乙两人分别从一圆形场地的直径两端点同时开始以匀速按相反的方向绕此圆形路线运动，当乙走了100米以后，他们第一次相遇，在甲走完一周前60米处又第二次相遇.求此圆形场地的周长．【巩固】A、B是圆的直径的两端，甲在A点，乙在B点同时出发反向而行，两人在C点第一次相遇，在D 点第二次相遇．已知C离A有75米，D离B有55米，求这个圆的周长是多少米？【例 3】甲、乙两车分别同时从A、B两地相对开出，第一次在离A地95千米处相遇．相遇后继续前进到达目的地后又立刻返回，第二次在离B地25千米处相遇．求A、B两地间的距离是多少千米？【巩固】甲、乙二人以均匀的速度分别从A、B两地同时出发，相向而行，他们第一次相遇地点离A地4千米，相遇后二人继续前进，走到对方出发点后立即返回，在距B地3千米处第二次相遇，求两次相遇地点之间的距离.【例 4】A、B两地相距2400米，甲从A地、乙从B地同时出发，在A、B间往返长跑。

一、由简单行程问题拓展出的多次相遇问题所有行程问题都是围绕“=⨯路程速度时间”这一条基本关系式展开的，多人相遇与追及问题虽然较复杂，但只要抓住这个公式，逐步表征题目中所涉及的数量，问题即可迎刃而解．二、多次相遇与全程的关系1. 两地相向出发：第1次相遇，共走1个全程；第2次相遇，共走3个全程；第3次相遇，共走5个全程；…………， ………………；第N 次相遇，共走2N-1个全程；注意：除了第1次，剩下的次与次之间都是2个全程。

即甲第1次如果走了N 米，以后每次都走2N 米。

2. 同地同向出发：第1次相遇，共走2个全程；第2次相遇，共走4个全程；第3次相遇，共走6个全程；…………， ………………；第N 次相遇，共走2N 个全程；3、多人多次相遇追及的解题关键知识框架多次相遇与追及问题多次相遇追及的解题关键几个全程多人相遇追及的解题关键路程差三、解多次相遇问题的工具——柳卡柳卡图，不用基本公式解决，快速的解法是直接画时间-距离图，再画上密密麻麻的交叉线，按要求数交点个数即可完成。

折线示意图往往能够清晰的体现运动过程中“相遇的次数”，“相遇的地点”，以及“由相遇的地点求出全程”，使用折线示意图法一般需要我们知道每个物体走完一个全程时所用的时间是多少。

如果不画图，单凭想象似乎对于像我这样的一般人儿来说不容易。

例题精讲【例 1】甲、乙两名同学在周长为300米圆形跑道上从同一地点同时背向练习跑步，甲每秒钟跑3.5米，乙每秒钟跑4米，问：他们第十次相遇时，甲还需跑多少米才能回到出发点？【巩固】甲乙两人在相距90米的直路上来回跑步，甲的速度是每秒3米，乙的速度是每秒2米．如果他们同时分别从直路两端出发，10分钟内共相遇几次？【例 2】甲、乙两车同时从A地出发，不停的往返行驶于A，B两地之间。

已知甲车的速度比乙车快，并且两车出发后第一次和第二次相遇都在途中C地。

问：甲车的速度是乙车的多少倍？【巩固】甲、乙二人从相距 60千米的两地同时相向而行，6时后相遇。

一、由简单行程问题拓展出的多次相遇问题所有行程问题都是围绕“=⨯路程速度时间”这一条基本关系式展开的，多人相遇与追及问题虽然较复杂，但只要抓住这个公式，逐步表征题目中所涉及的数量，问题即可迎刃而解．二、多次相遇与全程的关系1. 两地相向出发：第1次相遇，共走1个全程；第2次相遇，共走3个全程；第3次相遇，共走5个全程；…………， ………………；第N 次相遇，共走2N-1个全程；注意：除了第1次，剩下的次与次之间都是2个全程。

即甲第1次如果走了N 米，以后每次都走2N 米。

2. 同地同向出发：第1次相遇，共走2个全程；第2次相遇，共走4个全程；第3次相遇，共走6个全程；…………， ………………；第N 次相遇，共走2N 个全程；3、多人多次相遇追及的解题关键多次相遇追及的解题关键 几个全程多人相遇追及的解题关键 路程差三、解多次相遇问题的工具——柳卡柳卡图，不用基本公式解决，快速的解法是直接画时间-距离图，再画上密密麻麻的交叉线，按要求数交点个数即可完成。

折线示意图往往能够清晰的体现运动过程中“相遇的次数”，“相遇的地点”，以及“由相遇的地点求出全程”，使用折线示意图法一般需要我们知道每个物体走完一个全程时所用的时间知识框架多次相遇与追及问题是多少。

如果不画图，单凭想象似乎对于像我这样的一般人儿来说不容易。

【例 1】甲、乙两名同学在周长为300米圆形跑道上从同一地点同时背向练习跑步，甲每秒钟跑3.5米，乙每秒钟跑4米，问：他们第十次相遇时，甲还需跑多少米才能回到出发点【巩固】 甲乙两人在相距90米的直路上来回跑步，甲的速度是每秒3米，乙的速度是每秒2米．如果他们同时分别从直路两端出发，10分钟内共相遇几次【例 2】甲、乙两车同时从A 地出发，不停的往返行驶于A ，B 两地之间。

已知甲车的速度比乙车快，并且两车出发后第一次和第二次相遇都在途中C 地。

问：甲车的速度是乙车的多少倍【巩固】 甲、乙二人从相距 60千米的两地同时相向而行，6时后相遇。