微专题10
例题 答案：2.
解法1以A 为坐标原点，AC 为x 轴，建立直角坐标系，
则C ⎝⎛⎭⎫2a ，0，B ()－a ，3a ，用几何方法，可得
O ⎝⎛⎭⎫1a ，33⎝⎛⎭⎫2a ＋1a .由AO →＝xAB →＋yAC →，
得
⎝⎛⎭⎫1a ，33⎝
⎛⎭⎫2a ＋1a ＝(－ax ，3ax)＋
⎝⎛⎭⎫2a y ，0，∴x ＝23＋13·1a 2，y ＝23＋13a 2，则x ＋y ≥43＋
2
3
a 2·1
a
2＝2.当a ＝1时，x ＋y 取
得最小值为2.
解法2因为AB →·AC →＝|AB →||AC →
|cos 120°＝2a·2a ·⎝⎛⎭⎫
－12＝－2，设AB 的中点为D ，则OD ⊥AB ，又AO →·AB →＝(AD →＋DO →)·AB →
＝AD →·AB →＋DO →·AB →＝AD →·AB →＝
12
AB →2
＝2a 2，同理， AO →·AC →＝12AC →2＝2a
2.
∴⎩⎪⎨⎪⎧AO →·
AB →＝xAB →2＋yAB →·AC →，AO →·AC →＝xAB →·AC →＋yAC →2.
即⎩
⎪⎨⎪⎧4a 2
x －2y ＝2a 2
，－2x ＋4y a 2＝2a 2.
解得⎩⎨⎧x ＝2a 2＋13a 2
，
y ＝a 2
＋2
3.
所以，x ＋y ＝
2a 2＋1
3a 2
＋a 2＋23＝43＋13⎝⎛⎭⎫a 2＋1a 2≥43
＋
23
a 2·1
a
2＝2.当且仅当a ＝1时，上式
等号成立，此时△ABC 是等腰三角形．
变式联想
变式1
答案：7.
解法1因为O 是三角形外心，M 是BC 边的中点.AO →·AM →＝12AO →·()
AB →＋AC →＝14
AB →2＋14AC →2＝14AB →2＋94＝4，所以AB →
2＝7.即
AB ＝7.
解法2延长AO 交圆O 于D ，连接BD ，DC ，则BD ⊥AB ，CD ⊥AC.AO →·AM →＝12AD →·
12(AB →＋AC →
)＝
14(AD →·AB →＋AD →·AC →)＝14(AB →＋BD →)·AB →＋
14(AC →＋CD →)·AC →＝14AB →2＋14AC →2＝14AB →2＋94
＝4，AB →
2＝7.即AB ＝7. 解法3建系：以BC 为x 轴，OM 为y 轴，建立平面直角坐标系，设B(－a ，0)，C(a ，0)，O(0，b)，A(c ，d)．由题意得
⎩⎨⎧
a 2＋
b 2＝
c 2＋（
d －b ）2，
（c －a ）2
＋d 2
＝
9，c 2
＋d 2
－db ＝4，
⎩⎪⎨⎪
⎧a 2
＝4－bd ，2ac ＝－1，c 2＋d 2＝4＋db.
AB 2＝(a ＋c)2＋d 2＝a 2＋2ac ＋c
2＋d 2＝7，AB ＝7.
变式2
答案：2＋1.
解法1不妨设a ＝(1，0)，b ＝(0，1)，c ＝(x ，y )，则a －c ＝(1－x ，－y )，3b －c ＝(－x ，3－y )，由题意得－x (1－x )－y (3－y )＝1，整理得x 2＋y 2－x －3y －1＝0，即
⎝⎛⎭⎫x －122＋⎝⎛⎭⎫y －322
＝2，它表示以⎝⎛⎭
⎫12，32为圆心，以2为半径的圆，则|c |表示该圆上的点到原点(0，0)的距离，
从而|c |max ＝2＋⎝⎛⎭⎫122＋⎝⎛⎭
⎫322
＝2＋1.
解法2由解法1得⎝⎛⎭⎫x －122
＋⎝⎛⎭⎫y －322
＝2，令
⎩⎨⎧x ＝1
2＋2cos α，
y ＝3
2＋2sin α，
(α为参数)则 |c |2
＝⎝⎛⎭⎫12＋2cos α2＋
⎝⎛⎭
⎫32＋2sin α2
＝3＋2cos α＋6sin α＝3＋22cos(α－θ)(其中tan θ＝3)，所以|c |max 2＝3＋22，于是|c |max ＝1＋ 2.
串讲激活
串讲1 答案：4.
解法1记AB →，AC →
方向上的单位向量分别为a ，b ，则a 2＝b 2＝1，a ·b ＝12，AB →
＝4a ，
AC →＝6b .从而AD →＝2a ，AE →＝2b ，AF →＝12(AD →＋
AE →)＝a ＋b ，BF →＝AF →－AB →＝b －3a ，DE →＝AE →－AD →＝2b －2a .所以BF →·DE →＝(b －3a )·(2b －2a )＝2b 2＋6a 2－8a ·b ＝2＋6－4＝4.
解法2取CE 的中点G ，连接BG ，设BG 的中点为M ，连接FM ，则BM →＝DE →
，且
FM ⊥BM ，所以BF →·BM →＝BM →
2＝BM 2＝DE 2＝22＝4.
解法3若对坐标法情有独钟，也可以以A 为原点，AB →
方向为x 轴正方向，建立平面直角坐标系，则A (0，0)，B (4，0)，C (3，33)，从而D (2，0)，E (1，3)，F ⎝⎛⎭⎫32，3
2，
所以BF →＝⎝⎛⎭⎫－52，32，DE →
＝(－1，3)，所
以BF →·DE →＝52＋32
＝4.
串讲2 答案：214
.
解法1(AB →＋AC →)2＝(AB →－AC →
)2＋4AB →·AC →AB →·AC →＝14(25－CB →
2)≤14(25－22)
＝21
4
. 解法2如图所示，建立直角坐标系，
则A(0，3)，设B(x 1，2)，C(x 2，0)，则AB →＝(x 1，－1)，AC →＝(x 2，－3)，因为|AB →＋AC →
|＝5，所以(x 1＋x 2)2＋(－4)2＝25，即(x 1＋x 2)2
＝9，而AB →·AC →＝x 1x 2＋3≤
⎝⎛⎭⎫x 1＋x 222＋
3＝94＋3＝21
4
(当且仅当x 1＝x 2时取等号)． 新题在线
答案：14
.
解法1由题意可知，BM ⊥
BN ，∠AMB ＝90°，所以AM ∥BN ，因为AC ＝2，B
