2018-2019学年数学高考一轮复习：第七章不等式7.3基本不等式及其应用

§7.3 基本不等式及其应用考纲解读常考题型 5分析解读 基本不等式是求函数最值的重要工具,在实际应用题中也经常用到,是高考的热点,复习这部分内容要注意基本不等式的灵活运用.五年高考考点 基本不等式及其应用1.(2017江苏,10,5分)某公司一年购买某种货物600吨,每次购买x吨,运费为6万元/次,一年的总存储费用为4x 万元.要使一年的总运费与总存储费用之和最小,则x 的值是 . 答案 302.(2017山东文,12,5分)若直线+=1(a>0,b>0)过点(1,2),则2a+b 的最小值为 . 答案 83.(2017天津理改编,8,5分)已知函数f(x)=设a∈R,若关于x 的不等式f(x)≥在R 上恒成立,则a 的取值范围是 .答案4.(2013山东理改编,12,5分)设正实数x,y,z 满足x 2-3xy+4y 2-z=0,则当取得最大值时,+-的最大值为 . 答案 15.(2016山东理,16,12分)在△ABC 中,角A,B,C 的对边分别为a,b,c.已知2(tan A+tan B)=+.(1)证明:a+b=2c;(2)求cos C 的最小值.解析 (1)证明:由题意知2=+,化简得2(sin Acos B+sin Bcos A)=sin A+sin B, 即2sin(A+B)=sin A+sin B. 因为A+B+C=π,所以sin(A+B)=sin(π-C)=sin C. 从而sin A+sin B=2sin C.由正弦定理得a+b=2c.(2)由(1)知c=,所以cos C===-≥,当且仅当a=b时,等号成立.故cos C的最小值为.三年模拟A组2016—2018年模拟·基础题组考点基本不等式及其应用1.(2018江苏盐城时杨中学高三月考)已知x>0,y>0,2x+y=2,则+的最大值为.答案-2.(2017江苏南京溧水中学质检,10)已知x,y为正实数,且2x+y=1,则+的最小值是.答案93.(2017江苏南京师范大学附中期中,11)等比数列{a n}的首项为2,公比为3,前n项和为S n,若log3=9,则+的最小值是.答案 2.54.(苏教必5,三,3,变式)若实数x,y满足x>y>0,且log2x+log2y=1,则的最小值为.答案 45.(2017江苏南通、扬州、泰州第三次模拟考试,11)若正实数x,y满足x+y=1,则+的最小值是.答案86.(2017江苏无锡期中,9)已知正实数a,b满足a+3b=7,则+的最小值为.答案7.(2016江苏苏州一模,13)已知ab=,a,b∈(0,1),则+的最小值为.答案4+8.(2017江苏徐州沛县中学质检,19)已知函数f(x)=|x-2|.(1)解不等式f(x)+f(2x+1)≥6;(2)已知a+b=1(a,b>0),且∀x∈R,f(x-m)-f(-x)≤+恒成立,求实数m的取值范围.解析(1)f(x)+f(2x+1)=|x-2|+|2x-1|=当x<时,由3-3x≥6,解得x≤-1;当≤x≤2时,x+1≥6无解;当x>2时,由3x-3≥6,解得x≥3.所以不等式f(x)+f(2x+1)≥6的解集为(-∞,-1]∪[3,+∞).(2)∵a+b=1(a,b>0),∴+=(a+b)=5++≥5+2=9,∴∀x∈R,f(x-m)-f(-x)≤+恒成立等价于∀x∈R,|x-2-m|-|-x-2|≤9恒成立,即(|x-2-m|-|-x-2|)max≤9,∵|x-2-m|-|-x-2|≤|(x-2-m)-(x+2)|=|-4-m|,∴-9≤m+4≤9,∴-13≤m≤5.9.(2017江苏苏州期中,18)如图,有一块平行四边形绿地ABCD,经测量BC=2百米,CD=1百米,∠BCD=120°,拟过线段BC上一点E设计一条直路EF(点F在四边形ABCD的边上,不计路的宽度),将绿地分为面积之比为1∶3的左、右两部分,分别种植不同的花卉,设EC=x百米,EF=y百米.(1)当点F与点D重合时,试确定点E的位置;(2)试求x的值,使路EF的长度最短.解析(1)S平行四边形AB CD=2××1×2sin 120°=,当点F与点D重合时,S△CDE=S平行四边形ABCD=,又∵S△CDE=CE·CD·sin 120°=x,∴x=1,即E是BC的中点.(2)①当点F在CD上时,易知CF=,1≤x≤2,再由余弦定理可得y=≥,当且仅当x=1时取等号.②当点F在DA上(不包含点D)时,易知DF=1-x,0≤x<1,(i)当CE<DF时,过E作EG∥CD交DA于G,在△EGF中,EG=1,GF=1-2x,∠EGF=60°,利用余弦定理得y=.(ii)当CE≥DF时,过E作EG∥CD交DA于G,在△EGF中,EG=1,GF=2x-1,∠EGF=120°,利用余弦定理得y=,由(i)、(ii)可得y=,0≤x<1,∴y==,∵0≤x<1,∴y min=,当且仅当x=时取等号.由①②可知当x=时,路EF的长度最短.10.(2016江苏扬州中学期中,18)有一块三角形边角地,如图中△ABC,其中AB=8百米,AC=6百米,∠A=60°.某市为迎接250年城庆,欲利用这块地修一个三角形形状的草坪(图中△AEF)供市民休闲,其中点E在边AB上,点F在边AC上.规划部门要求△AEF的面积占△ABC的面积的一半,设AE=x百米,△AEF的周长为l(百米).(1)如果要对草坪进行灌溉,需沿△AEF的三边安装水管,求水管总长度的最小值;(2)如果沿△AEF的三边修建休闲长廊,求长廊总长度的最大值,并确定此时E、F的位置.解析(1)∵S△AEF=S△ABC,∴AE·AF·sin A=×AB·AC·sin A.∵AB=8,AC=6,∴AF=.∵∴4≤x≤8.∵△AEF中,EF2=x2+-2x·cos 60°=x2+-24,∴l=x++,x∈[4,8].∵l=x++≥2+=6,当且仅当x=2时取“=”,∴l min=6.故水管总长度的最小值为6百米.(2)由(1)知:l=x++,x∈[4,8].令t=x+,x∈[4,8],∴t'=1-==.(4,2) 2,8)且x=4时,t=10;x=8时,t=11,故t∈[4,11].l=t+在[4,11]上单调递增,∴当t=11时,l max=18,此时x=8,=3.故当点E在B处,点F是线段AC的中点时,长廊总长度的最大值为18百米.B组2016—2018年模拟·提升题组(满分:60分时间:30分钟)一、填空题(每小题5分,共45分)1.(2018江苏姜堰中学高三期中)已知函数f(x)=x2-mx+1,x1,x2是f(x)的两个零点,且x1>x2,则的最小值为.答案22.(2018江苏无锡高三期中)已知正项数列{a n}的首项为1,前n项和为S n,对任意正整数m,n,当n>m时,S n-S m=2m·S n-m总成立,若正整数p,q满足p+q=6,则+的最小值为.答案3.(2018江苏淮安、宿迁期中)在锐角三角形ABC中,9tan Atan B+tan Btan C+tan Ctan A的最小值为.答案254.(2017江苏泰州中学模拟,12)已知|AB|=3,C是线段AB上异于A,B的一点,△ADC,△BCE均为等边三角形,则△CDE的外接圆的半径的最小值是.答案5.(2017江苏苏州暑期调研,14)已知a+b=2,b>0,当+取最小值时,实数a的值是.答案-26.(2017江苏海头高级中学质检,13)已知关于x的一元二次不等式ax2+2x+b>0的解集为{x|x≠c},则(其中a+c≠0)的取值范围为.答案(-∞,-6]∪[6,+∞)7.(苏教必5,三,3,变式)函数y=的最大值为.答案8.(2017江苏苏北四市联考,11)若实数x,y满足xy+3x=3,则+的最小值为.答案89.(2017江苏仪征中学第二学期期初检测,13)已知正数x,y满足=4xy,那么y的最大值为.答案二、解答题(共15分)10.(2016江苏宿迁三校调研,19)如图,公路AM,AN围成的是一块顶角为α的角形耕地,其中tan α=-2.在该块土地中P处有一小型建筑,经测量,它到公路AM,AN的距离分别为3 km, km.现要过点P修建一条公路BC,将三条公路围成的区域ABC建成一个工业园.为尽量减少耕地占用,试确定B点的位置,使得该工业园区的面积最小,并求最小面积.解析如图,过点P作PE⊥AM,PF⊥AN,垂足分别为E,F,连结PA.设AB=x,AC=y,则x>0,y>0.因为P到AM,AN的距离分别为3,,所以PE=3,PF=.S△ABC=S△ABP+S△APC=×x×3+×y×=(3x+y).①因为tan α=-2,所以sin α=.所以S△ABC=×x×y×.②由①②可得×x×y×=(3x+y).即3x+5y=2xy.③因为3x+5y≥2,所以2xy≥2.解得xy≥15.当且仅当3x=5y时取“=”,结合③解得x=5,y=3.此时S△ABC=×x×y×取得最小值15.答:当AB=5 km时,该工业园区的面积最小,最小面积为15 km2.C组2016—2018年模拟·方法题组方法1 利用基本不等式求最值问题1.(2017盐城第三次模拟考试,12)若a,b均为非负实数,且a+b=1,则+的最小值为.答案 32.(2017苏锡常镇四市高三教学情况调研(二))已知a,b均为正数,且ab-a-2b=0,则-+b2-的最小值为.答案73.(2017江苏无锡期末,14)已知a>0,b>0,c>2,且a+b=2,则+-+的最小值为.答案+方法2 基本不等式的实际应用4.(2016江苏三校联考,18)北京、张家口2022年冬奥会申办委员会在俄罗斯索契举办了发布会,某公司为了竞标配套活动的相关代言,决定对旗下的某商品进行一次评估.该商品原来每件售价为25元,年销售8万件. (1)据市场调查,若价格每提高1元,销售量将相应减少2 000件,要使销售的总收入不低于原收入,该商品每件售价最高为多少元?(2)为了抓住申奥契机,扩大该商品的影响力,提高年销售量,公司决定立即对该商品进行技术革新和营销策略改革,并提高售价到x元.公司拟投入(x2-600)万元作为技改费用,投入50万元作为固定宣传费用,投入万元作为浮动宣传费用.试问:当该商品改革后的销售量a至少达到多少万件时,才可能使改革后的销售收入不低于原收入与总投入之和?并求出此时商品的每件售价.解析(1)设每件售价为t(t≥25)元,依题意得t≥25×8,整理得t2-65t+1 000≤0,解得25≤t≤40.所以要使销售的总收入不低于原收入,该商品每件售价最高为40元.(2)依题意知,x>25,且ax≥25×8+50+(x2-600)+x,等价于a≥+x+(x>25).由于+x≥2=10,当且仅当=,即x=30时等号成立,所以a≥10.2.当该商品改革后的销售量a至少达到10.2万件时,才可能使改革后的销售收入不低于原收入与总投入之和,此时该商品的每件售价为30元.5.(2016江苏南通中学检测,18)如图,将一矩形花坛ABCD扩建成一个更大的矩形花园AMPN,要求B在AM上,D 在AN上,且对角线MN过C点,已知AB=3米,AD=2米.设AN=x米.(1)要使矩形AMPN的面积大于32平方米,则x应在什么范围内?(2)当x是多少时,矩形AMPN的面积最小?并求出最小面积;(3)若x≥6,则当x是多少时,矩形AMPN的面积最小?并求出最小面积.解析(1)易知x>2,且ND=x-2,由题意得=,∴=,∴AM=,∴·x>32,∴3x2-32x+64>0,∴(3x-8)(x-8)>0,∴2<x<或x>8.(2)S矩形AMPN===3(x-2)++12≥2+12=24(当且仅当x=4时取等号).故当x=4时,矩形AMPN的面积最小,最小面积为24平方米.(3)S矩形AMPN=3(x-2)++12(x≥6),令x-2=t(t≥4),f(t)=3t++12,∵f(t)=3t++12在[4,+∞)上递增,∴f(t)min=f(4)=27,此时x=6.故当x=6时,矩形AMPN的面积最小,最小面积为27平方米.方法3 不等式恒成立问题6.(2018江苏盐城高三(上)期中)设函数f(x)=|x-a|+(a∈R),若当x∈(0,+∞)时,不等式f(x)≥4恒成立,则a的取值范围是.答案(-∞,2]7.(2018江苏金陵中学高三月考)已知当0≤x≤2时,不等式-1≤tx2-2x≤1恒成立,则t的取值范围是.答案1≤t≤8.当x∈(1,2)时,不等式x2+mx+4<0恒成立,则m的取值范围是.答案(-∞,-5]9.设0<m<,若+≥k恒成立,则实数k的最大值为.答案8。