第一节 全等三角形的基本模型
全等三角形是初中数学中非常重要的几何部分，它在几何证明、平面直角坐标系中的计算和函数动点探究题中都是常客。既然全等三角形在初中几何中有如此重要的地位，那么我们就必须熟悉全等三角形的常见模型，掌握一些构造全等三角形的辅助线方法。这一专题，我们将抓住全等三角形的几何证明部分，逐步认识“一线三等角”模型、“手拉手”模型、对角互补模型和半角模型，熟能生巧 ．
【例1】已知：如图，点A 、B 、C 、D 在一条直线上，//EA FB ，EA FB =，AB CD =．
（1）求证：E F ∠=∠；
（2）若40A ∠=︒，80D ∠=︒，求E ∠的度数．
【例2】如图，AB AD =，25BAC DAC ∠=∠=︒，80D ∠=︒．求BCA ∠的度数．
【例3】如图，在ABC ∆中，点D 是边BC 的中点，连结AD 并延长到点E ，使DE AD =，连结CE ．
（1）求证：ABD ECD ∆≅∆；
（2）若ABD ∆的面积为5，求ACE ∆的面积．
【例4】如图，ABC
∆，使∆中，D为BC边上的一点，AD AC
=，以线段AD为边作ADE
得AE AB
=，BAE CAD
=．
∠=∠．求证：DE CB
【例5】如图，AB AE
=，//
∠=︒．
∠=︒，40
E
AB DE，70
DAB
（1）求DAE
∠的度数；
（2）若30
=．
B
∠=︒，求证：AD BC
【同步训练】
1．如图，点O是线段AB的中点，//
OD BC且OD BC
=．
（1）求证：AOD OBC
∆≅∆；
（2）若35
∠的度数．
∠=︒，求DOC
ADO
2．如图，AC平分BAD
∠，AB AD
=．求证：BC DC
=．
3．如图，已知AD BC =，BD AC =．求证：ADB BCA ∠=∠．
4．如图，AB AC =，AB AC ⊥，AD AE ⊥，且ABD ACE ∠=∠．
求证：BD CE =．
5．如图，点C 、E 、F 、B 在同一直线上，点A 、D 在BC 异侧，//AB CD ，AE DF =，A D ∠=∠．
（1）求证：AB CD =；
（2）若AB CF =，40B ∠=︒，求D ∠的度数．
6．如图，已知//AB CD ，AB CD =，BE CF =．
求证：（1）ABF DCE ∆≅∆；
（2）//AF DE ．
7．如图，在ABC ∆中，点D 是BC 中点，DE AB ⊥，DF AC ⊥，且DE DF =．求证：ABC ∆是等腰三角形．
8．已知，如图：AC 与BD 相交于点O ，OBC OCB ∠=∠，A D ∠=∠，求证：AO DO =．
9．如图，点A 、B 、C 、D 在一条直线上，AB CD =，A FBD ∠=∠，//CE DF ，求证：CE DF =．
10．如图，AC 是BAE ∠的平分线，点D 是线段AC 上的一点，C E ∠=∠，AB AD =．求证：BC DE =．
第二节一线三等角构造全等三角形
上一讲我们介绍了全等三角形的几个常见模型，但是我们在平常的练习和模拟中遇到的题有的并非如此简单，那么我们就需要去总结其中的题型和对应的解题策略，找出一套做辅助线的法则去解题。这讲我们将介绍“一线三等角”模型来构造全等三角形，我们将重点介绍特殊的等腰直角三角形和等边三角形．
【例1】【感知】如图①，ABC
∆是等边三角形，D是边BC上一点（点D不与点B、C重合），作60
⊥，
=．若DE BC EDF
∠=︒，使角的两边分别交边AB、AC于点E、F，且BD CF 则DFC
∠的大小是度；
【探究】如图②，ABC
∆是等边三角形，D是边BC上一点（点D不与点B、C重合），作
=；
60
=．求证：BE CD ∠=︒，使角的两边分别交边AB、AC于点E、F，且BD CF
EDF
【应用】在图③中，若D是边BC的中点，且2
AB=，其它条件不变，如图③所示，则四边形AEDF的周长为．
【例2】如图1，ABC
=，BC DC
=．
∠=∠，点D在AC上，点E在BC上，AD CE
∆中，A C
（1）求证：DB DE
=；
（2）如图2，若90
∠的度数．
ABC
∠=︒，求BED
【例3】如图①，在ABC
=，直线l经过点A，且BD l
⊥于的D，
BAC
∠=︒，AB AC
∆中，90
⊥于的E．
CE l
（1）求证：BD CE DE
+=；
（2）当变换到如图②所示的位置时，试探究BD、CE、DE的数量关系，请说明理由．
【例4】综合与实践
（1）观察理解：如图1，ABC
=，直线l过点C，点A，B在
∠=︒，AC BC
∆中，90
ACB
直线l同侧，BD l
⊥，AE l
AEC CDB
∠=∠=︒，所
⊥，垂足分别为D，E，由此可得：90
以90
BCD ACE
∠+∠=︒，所以
∠=︒，所以90∠+∠=︒，又因为90
ACB
CAE ACE
=，所以AEC CDB
∆≅∆；（请填写全等判定的方法）∠=∠，又因为AC BC
CAE BCD
（2）理解应用：如图2，AE AB
⊥，且AE AB
=，BC CD
=，利用（1）中
⊥，且BC CD
的结论，请按照图中所标注的数据计算图中实线所围成的图形的面积S=；
（3）类比探究：如图3，Rt ABC
AC=，将斜边AB绕点A逆时针旋
∠=︒，4
∆中，90
ACB
转90︒至AB'，连接B C'，求△AB C'的面积．
（4）拓展提升：如图4，点B，C在MAN
∠内部
∠的边AM、AN上，点E，F在MAN
的射线AD上，1
∠、2
∆、CAF
∠分别是ABE
∠=∠=∠．求
∆的外角．已知AB AC
=，12BAC
