高考导数洛必达法则

导数结合洛必达法则巧解高考压轴题2010年和2011年高考中的全国新课标卷中的第21题中的第错误!步,由不等式恒成立来求参数的取值范围问题,分析难度大,但用洛必达法则来处理却可达到事半功倍的效果;洛必达法则简介：法则1 若函数fx 和gx 满足下列条件：1 ()lim 0x af x →= 及()lim 0x ag x →=；2在点a 的去心内,fx 与gx 可导且g 'x≠0； 3()()limx af x lg x →'=', 那么 ()()lim x a f x g x →=()()limx a f x l g x →'='; 法则2 若函数fx 和gx 满足下列条件：1()lim 0x f x →∞= 及()lim 0x g x →∞=；20A∃,fx 和gx 在(),A -∞与(),A +∞上可导,且g 'x≠0；3()()limx f x l g x →∞'=', 那么 ()()limx f x g x →∞=()()limx f x l g x →∞'='; 法则3 若函数fx 和gx 满足下列条件：1 ()lim x af x →=∞及()lim x ag x →=∞； 2在点a 的去心内,fx 与gx 可导且g 'x≠0；3()()limx a f x l g x →'=', 那么 ()()lim x a f x g x →=()()limx a f x l g x →'='; 利用洛必达法则求未定式的极限是微分学中的重点之一,在解题中应注意： 错误!将上面公式中的x→a ,x→∞换成x→+∞,x→-∞,x a +→,x a -→洛必达法则也成立;错误!洛必达法则可处理00,∞∞,0⋅∞,1∞,0∞,00,∞-∞型;错误!在着手求极限以前,首先要检查是否满足00,∞∞,0⋅∞,1∞,0∞,00,∞-∞型定式,否则滥用洛必达法则会出错;当不满足三个前提条件时,就不能用洛必达法则,这时称洛必达法则不适用,应从另外途径求极限;错误!若条件符合,洛必达法则可连续多次使用,直到求出极限为止; 二．高考题处理1.2010年全国新课标理设函数2()1x f x e x ax =---;（1） 若0a =,求()f x 的单调区间； （2） 若当0x ≥时()0f x ≥,求a 的取值范围 原解：10a =时,()1x f x e x =--,'()1x f x e =-.当(,0)x ∈-∞时,'()0f x <；当(0,)x ∈+∞时,'()0f x >.故()f x 在(,0)-∞单调减少,在(0,)+∞单调增加II '()12x f x e ax =--由I 知1x e x ≥+,当且仅当0x =时等号成立.故'()2(12)f x x ax a x ≥-=-,从而当120a -≥,即12a ≤时,'()0 (0)f x x ≥≥,而(0)0f =, 于是当0x ≥时,()0f x ≥. 由1(0)x e x x >+≠可得1(0)x e x x ->-≠.从而当12a >时,'()12(1)(1)(2)x x x x x f x e a e e e e a --<-+-=--,故当(0,ln 2)x a ∈时,'()0f x <,而(0)0f =,于是当(0,ln 2)x a ∈时,()0f x <.综合得a 的取值范围为1,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭原解在处理第II 时较难想到,现利用洛必达法则处理如下： 另解:II 当0x =时,()0f x =,对任意实数a,均在()0f x ≥； 当0x >时,()0f x ≥等价于21xx a ex--≤令()21xx g x ex--=x>0,则322()xxx x g x e e x-++'=,令()()220x xh x x x x e e =-++>,则()1xxh x x e e '=-+,()0xh x x e ''=>,知()h x '在()0,+∞上为增函数,()()00h x h ''>=；知()h x 在()0,+∞上为增函数,()()00h x h >=；()0g x '∴>,gx 在()0,+∞上为增函数; 由洛必达法则知,200011222lim lim lim xx xx x x x x ee e x+++→→→--===,故12a ≤综上,知a 的取值范围为1,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭;2．2011年全国新课标理已知函数,曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程为230x y +-=; Ⅰ求a 、b 的值；Ⅱ如果当0x >,且1x ≠时,ln ()1x kf x x x>+-,求k 的取值范围; 原解：Ⅰ221(ln )'()(1)x x b x f x x x α+-=-+由于直线230x y +-=的斜率为12-,且过点(1,1),故(1)1,1'(1),2f f =⎧⎪⎨=-⎪⎩即1,1,22b a b =⎧⎪⎨-=-⎪⎩ 解得1a =,1b =;Ⅱ由Ⅰ知ln 1f ()1x x x x=++,所以22ln 1(1)(1)()()(2ln )11x k k x f x x x x x x---+=+--; 考虑函数()2ln h x x =+2(1)(1)k x x --(0)x >,则22(1)(1)2'()k x xh x x-++=; i 设0k ≤,由222(1)(1)'()k x x h x x +--=知,当1x ≠时,'()0h x <,hx 递减;而(1)0h =故当(0,1)x ∈时, ()0h x >,可得21()01h x x >-； 当x ∈1,+∞时,hx<0,可得211x- hx>0 从而当x>0,且x ≠1时,fx-1ln -x x +x k >0,即fx>1ln -x x +xk. ii 设0<k<1.由于2(1)(1)2k x x -++=2(1)21k x x k -++-的图像开口向下,且244(1)0k ∆=-->,对称轴x=111k >-.当x ∈1,k -11时,k-1x 2 +1+2x>0,故'h x>0,而h1=0,故当x ∈1,k -11时,hx>0,可得211x -hx<0,与题设矛盾; iii 设k ≥1.此时212x x +≥,2(1)(1)20k x x -++>⇒'h x>0,而h1=0,故当x ∈1,+∞时,hx>0,可得211x - hx<0,与题设矛盾;综合得,k 的取值范围为-∞,0原解在处理第II 时非常难想到,现利用洛必达法则处理如下：另解：II 由题设可得,当0,1x x >≠时,k<22ln 11x xx+-恒成立; 令g x= 22ln 11x xx +-0,1x x >≠,则()()()22221ln 121x x x g x x +-+'=⋅-, 再令()()221ln 1h x x x x =+-+0,1x x >≠,则()12ln h x x x x x '=+-,()212ln 1h x x x ''=+-,易知()212ln 1h x x x''=+-在()0,+∞上为增函数,且()10h ''=；故当(0,1)x ∈时,()0h x ''<,当x ∈1,+∞时,()0h x ''>；∴()h x '在()0,1上为减函数,在()1,+∞上为增函数；故()h x '>()1h '=0∴()h x 在()0,+∞上为增函数()1h =0∴当(0,1)x ∈时,()0h x <,当x ∈1,+∞时,()0h x > ∴当(0,1)x ∈时,()0g x '<,当x ∈1,+∞时,()0g x '>∴()g x 在()0,1上为减函数,在()1,+∞上为增函数由洛必达法则知()2111ln 1ln 12121210221lim limlim x x x x x x g x x x →→→+⎛⎫=+=+=⨯-+= ⎪--⎝⎭ ∴0k ≤,即k 的取值范围为-∞,0规律总结：对恒成立问题中的求参数取值范围,参数与变量分离较易理解,但有些题中的求分离出来的函数式的最值有点麻烦,利用洛必达法则可以较好的处理它的最值,是一种值得借鉴的方法;自编：若不等式3sin x x ax >-对于(0,)2x π∈恒成立，求a 的取值范围.解：应用洛必达法则和导数当(0,)2x π∈时，原不等式等价于3sin x xa x ->. 记3sin ()x x f x x -=，则43sin cos 2'()x x x xf x x --=.记()3sin cos 2g x x x x x =--，则'()2cos sin 2g x x x x =+-. 因为''()cos sin cos (tan )g x x x x x x x =-=-，'''()sin 0g x x x =-<，所以''()g x 在(0,)2π上单调递减，且''()0g x <，所以'()g x 在(0,)2π上单调递减，且'()0g x <.因此()g x 在(0,)2π上单调递减，且()0g x <，故4()'()0g x f x x =<，因此3sin ()x x f x x -=在(0,)2π上单调递减. 由洛必达法则有320000sin 1cos sin cos 1lim ()limlim lim lim 3666x x x x x x x x x x f x x x x →→→→→--=====， 即当0x →时，1()6g x →，即有1()6f x <.故16a ≥时，不等式3sin x x ax >-对于(0,)2x π∈恒成立. 通过以上例题的分析，我们不难发现应用洛必达法则解决的试题应满足：① 可以分离变量；②用导数可以确定分离变量后一端新函数的单调性； ③出现“”型式子.。

第3章 导数的应用本章介绍导数的一些应用，利用导数求未定式的极限，利用导数研究函数的性态：判断函数的单调性和凹凸性，求函数的极值、最大值、最小值，并解决实际工作中的一些简单最优化问题。

§3.1 洛必达法则如果当0x x →（或x →∞）时，函数()f x 与()g x 都趋于零或都趋于无穷大，则极限0()lim()x x f x g x →（或()lim ()x f x g x →∞）可能存在，也可能不存在，通常称这种极限为未定式，并分别记为00或∞∞。

例如，极限0sin lim x x x →是00型未定式，极限221lim 23x x x →∞-+是∞∞型未定式。

在第1章中，我们曾计算过这种极限，由于不能直接利用极限运算法则，通常需要经过适当的变形，转化成可利用极限运算法则的形式进行计算，这种变形没有一般方法，需视具体问题而定。

下面介绍利用导数计算未定式极限的一般方法——洛必达法则。

一、 00型与∞∞型未定式定理3.1 设函数()f x 、()g x 满足： （1）0lim ()0x x f x →=，0lim ()0x x g x →=；（2）在点0x 的某去心邻域内，()f x '及()g x '都存在，且()0g x '≠； （3）0()lim()x x f x g x →''存在（或为∞）； 则 ()()=→x g x f x x 0lim()()x g x f x x ''→0lim 。

证明从略.这种在一定条件下通过对分子分母分别求导再求极限来确定未定式的值的方法称 为洛必达法则。

注：（1）在定理3.1中,把“0x x →”换成“x →∞”（或其他情形）时，结论也成立。

（2）定理3.1中的条件(1)，若改为lim x x →)(x f ＝∞, 0lim x x →)(x g ＝∞，则定理仍成立.（3）如果0()lim'()x x f x g x →'仍是00型或∞∞型未定式，并且函数)(x f '、'()g x 满足定理3.1中的条件，则可以继续利用洛必达法则，即有()()limx x f x g x →=0()lim'()x x f x g x →'0''()lim ''()x x f x g x →== . 例1 求0ln(1sin )limx x x →+.解 这是0型未定式,应用洛必达法则,得000cos ln(1sin )cos cos01sin lim lim lim 111sin 1sin 0x x x xx x x x x →→→++====++. 注:上式中的0cos lim 1sin x xx→+已经不是未定式,不能再对它应用洛必达法则,否则会得出错误的结论；事实上，利用初等函数的连续性即可求出它的值。

导数分散洛必达规则巧解下考压轴题之阳早格格创做
一．洛必达规则： 规则1.
及
；
(2)
(3)
，那么
=
．
规则2.
；
(2)
利用洛必达规则供已定式的极限是微分教中的沉面之一，正
在
解
题
中应注意： ○1将上头公式中的
换
，
○2
○3
落．当没有谦脚三个前提条件时，便没有克没有及用洛必达规则，那时称洛必达规则没有适用，应从其余道路供极
限．○4若条件切合，洛必达规则可连绝多次使用，直到供出极限为行．
两．下考例题道解
1.
（Ⅰ
（Ⅱ
2.
（Ⅰ
（Ⅱ
畴．
（Ⅰ
（Ⅱ
畴．
5.
a的与值范畴．
式；
（Ⅱ
归纳：通过以上例题的分解，咱们没有易创造应用洛必达规则办理的问题应谦脚：
1．不妨分散变量；
2．用导数不妨决定分散变量后另一侧所得新函数的单调性；
3．.。

导数洛必达法则7种例题1、一次函数的导数洛必达法则：设y=f(x)为某函数，当x的变化量Δx趋近于零时，函数y的变化量Δy满足下式：$$\lim \limits_{\Delta x \to 0}\frac{\Delta y}{\Delta x}=f'(x)$$2、几何意义：对于一元函数f(x)，函数图像的斜率正好就是f'(x)，而且x位置上的斜率正好等于f(x)的导数。

3、函数的连续性的应用：若二元函数F(x，y)满足一定的条件，关于x 的变量中存在某函数f(x)，且f（x）的可导性有保证，则f（x）具有极限函数f'(x)，由此可得：$$F(x, y) ~ \underset {y \to f(x)} \toL f'(x)$$4、极限符号的应用：在求出某函数f（x）.f'（x）的极限值时，由于x变化量趋近于零，因此可将其表示为极限符号：$$f'(x)=\lim_{\Deltax\to 0}\frac{f\left(x+\Delta x\right)-f\left(x\right)}{\Delta x}$$5、二元函数的导数：F（x，y）为定义在⊿内的连续的二元函数，它满足有限差分式，对于常数C，则有：$$\frac{\partial F}{\partialx}=\lim_{\Delta x\to 0}\frac{F(x+\Delta x,y)-F(x-\Delta x,y)}{2\Deltax}=C$$6、定义极限的应用：假设F（x，y）为可导函数，其极限能够有意义：$$\frac{\partial F}{\partial x}=\lim_{\Delta x\to 0}\frac{F(x+\Delta x，y)-F(x-\Delta x, y)}{2\Delta x}=F'(x,y)$$7、其他函数求导数：若函数f（x）为多元函数，只要逐步求导就能求出任意次偏导数，对f（x）如此：$$\frac {\partial^2 f}{\partialx^2}=\lim_{\Delta x\to 0}\frac{f\left(x+\Delta x\right)+f\left(x-\Deltax\right)-2f\left(x\right)}{\Delta x^2}$$。

洛必达法则在高考解答题中的应用(高二下)-CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN导数结合洛必达法则巧解高考压轴题一．洛必达法则：法则1.若函数)(x f 和)(x g 满足下列条件：(1) ()lim 0x a f x →= 及()lim 0x ag x →=； (2)在点a 的去心邻域内，)(x f 与)(x g 可导且0)('≠x g ；(3)()()lim x a f x l g x →'='，那么 ()()lim x a f x g x →=()()lim x a f x l g x →'='． 法则2.若函数)(x f 和)(x g 满足下列条件：(1) ()lim x a f x →=∞及()lim x a g x →=∞；(2)在点a 的去心邻域内，)(x f 与)(x g 可导且0)('≠x g ；(3)()()lim x a f x l g x →'='，那么 ()()lim x a f x g x →=()()lim x a f x l g x →'='． 利用洛必达法则求未定式的极限是微分学中的重点之一，在解题中应注意： ○1将上面公式中的a x →，∞→x 换成+∞→x ，-∞→x ，+→a x ，-→a x 洛必达法则也成立．○2洛必达法则可处理00，∞∞，0⋅∞，∞1，0∞，00，∞-∞型． ○3在着手求极限以前，首先要检查是否满足00，∞∞，0⋅∞，∞1，0∞，00，∞-∞型定式，否则滥用洛必达法则会出错．当不满足三个前提条件时，就不能用洛必达法则，这时称洛必达法则不适用，应从另外途径求极限． ○4若条件符合，洛必达法则可连续多次使用，直到求出极限为止． 二．高考例题讲解1. 函数2()1x f x e x ax =---．（Ⅰ）若0a =，求()f x 的单调区间；（Ⅱ）若当0x ≥时()0f x ≥，求实数a 的取值范围．2. 已知函数xb x x a x f ++=1ln )(，曲线()y f x =在点))1(,1(f 处的切线方程为230x y +-=．（Ⅰ）求a 、b 的值；（Ⅱ）如果当0x >，且1x ≠时，ln ()1x k f x x x>+-，求k 的取值范围． 3.若不等式3sin ax x x ->对于)2,0(π∈x 恒成立，求实数a 的取值范围． 4.设函数xx x f cos 2sin )(+=。

洛必达法则求导是高等数学中一种常见的求导方法，其可以解决一些特殊函数的导数计算问题。

在本文中，我们将向读者详细介绍洛必达法则的概念及其应用。

一、洛必达法则的含义洛必达法则又称为洛必达-夹逼定理，它是对不定型（即在求极限时出现 $\frac{0}{0}, \frac{\infty}{\infty}$ 等形式）极限的一种求法。

当 $\frac{0}{0}, \frac{\infty}{\infty}$ 等形式出现时，我们可以利用洛必达法则将其转化为可求得的极限。

二、洛必达法则的公式在理解洛必达法则的基本思想后，我们可以了解其公式：假设 $f(x)$ 和 $g(x)$ 连续，且当$x→a$ 时，$f(x)$ 和$g(x)$ 同时趋于 $0$ 或$±∞$，则：$$\lim_{x→a}\frac{f(x)}{g(x)}=\lim_{x→a}\frac{f'(x)}{g'(x)}$$其中，$f'(x)$ 和 $g'(x)$ 分别表示 $f(x)$ 和 $g(x)$ 的导函数。

三、洛必达法则的应用下面，我们就来看一下几个应用洛必达法则的例子。

例1：计算 $\lim_{x→∞}\frac{e^x}{x^2}$由于 $\frac{\infty}{\infty}$ 的形式，我们可以利用洛必达法则将其转化为：$$\lim_{x→∞}\frac{e^x}{2x}$$继续利用洛必达法则，得到其极限为：$$\lim_{x→∞}\frac{e^x}{2}=∞$$例2：计算 $\lim_{x→0}\frac{x-\sin{x}}{x^3}$在这个例子中，当$x→0$ 时，$\frac{0}{0}$ 的形式出现，因此我们可以使用洛必达法则。

将其分子分母求导，得：$$\lim_{x→0}\frac{1-\cos{x}}{3x^2}=\frac{1}{6}$$例3：计算 $\lim_{x→∞}\frac{\ln{x}}{x}$当$x→∞$ 时，$\frac{\infty}{\infty}$ 的形式出现，因此我们可以使用洛必达法则。

导数利器——洛必达法则一、问题指引“洛必达法则”是高等数学中的一个重要定理，用分离参数法（避免分类讨论）解决成立、或恒成立命题时，经常需要求在区间端点处的函数（最）值，若出现00型或∞∞型可以考虑使用洛必达法则。

二、方法详解法则1 若函数f(x) 和g(x)满足下列条件：(1) ()lim 0x af x →= 及()lim 0x ag x →=；(2)在点a 的去心邻域内，f(x) 与g(x) 可导且g'(x)≠0；(3)()()lim x a f x l g x →'='， 那么 ()()limx af xg x →=()()limx af x lg x →'='。

法则2 若函数f(x) 和g(x)满足下列条件：(1)()lim 0x f x →∞=及()lim 0x g x →∞=；(2)0A∃，f(x)和g(x)在(),A -∞与(),A +∞上可导，且 g'(x)≠0；(3)()()lim x f x l g x →∞'='， 那么 ()()lim x f x g x →∞=()()limx f x l g x →∞'='。

法则3 若函数f(x) 和g(x)满足下列条件：(1) ()lim x af x →=∞及()lim x ag x →=∞；(2)在点a 的去心邻域内，f(x) 与g(x) 可导且g'(x)≠0； (3)()()limx af x lg x →'='， 那么 ()()lim x a f x g x →=()()lim x a f x l g x →'='。

利用洛必达法则求未定式的极限是微分学中的重点之一，在解题中应注意：1.将上面公式中的x→a ，x→∞换成x→+∞，x→-∞，x a +→，x a -→洛必达法则也成立。

2.洛必达法则可处理00x a -→，∞∞，0⋅∞，1∞，0∞，00，∞-∞型。

高数洛必达法则当涉及到极限的求解时，洛必达法则是一种常用且有效的方法。

它适用于求解某些特定形式的不定型极限，包括0/0型和∞/∞型。

下面将更详细地解释洛必达法则的应用步骤。

假设我们需要求解的极限是lim(x→a) [f(x)/g(x)]，其中 a 为特定的数值。

首先，检查函数f(x) 和g(x) 在点 a 的邻域内是否满足以下条件：f(x) 和g(x) 在x=a 处的函数值都为0。

f(x) 和g(x) 在点a 的邻域内可导。

这两个条件是应用洛必达法则的前提。

如果不满足这些条件，洛必达法则不能直接应用。

在这种情况下，您可以尝试其他求极限的方法。

如果满足上述条件，我们需要计算函数f’(x) 和g’(x) 在x=a 处的极限。

也就是说，我们需要分别求解下面两个极限：lim(x→a) f’(x)lim(x→a) g’(x)这些极限的求解可能需要使用导数的各种规则，例如求导法则、链式法则或乘积法则等。

求出这些极限的结果，进行下一步的计算。

然后，我们可以利用洛必达法则的核心思想。

根据洛必达法则，这两个极限的商等于原始函数f(x)/g(x) 的极限。

也就是说，我们有：lim(x→a) [f(x)/g(x)] = lim(x→a) [f’(x)/g’(x)]这个等式可以使我们将原始问题转化为计算两个极限的商的形式。

接下来，我们继续计算这个极限。

最后，求解极限lim(x→a) [f’(x)/g’(x)]。

这个极限可能仍然是某个不定型极限。

如果仍然满足洛必达法则的条件，我们可以再次应用洛必达法则来求解这个极限。

重复上述步骤，直到得到一个确定的值或者确定该极限不存在。

需要注意的是，洛必达法则仅适用于特定的不定型极限，且在应用时需要满足一定的条件。

这个方法的使用需要一定的技巧和经验，并不是所有极限都适用洛必达法则。