导数结合洛必达法则巧解高考压轴题

第12讲 洛必达法则巧解 高考压轴题知识与方法数压轴题第2问中，如果是不等式恒成立来求参数的取值范围问题，我们可以用洛必达法则来处理．先给大家介绍一下什么是洛必达法则： 法则1：若函数()f x 和()g x 满足下列条件： （1）lim ()0x af x →=及lim ()0x ag x →=；（2）在点a 的去心邻域内，()f x 与()g x 可导且()0g x '≠； （3）()()limx af x lg x →'='，那么()()()()lim lim x a x a f x f x l g x g x →→'=='．法则2：若函数()f x 和()g x 满足下列条件： （1）lim ()x af x →=∞及lim ()x ag x →=∞；（2）在点a 的去心邻域内，()f x 与()g x 可导且()0g x '≠； （3）()()limx af x lg x →'='，那么()()()()lim lim x a x a f x f x l g x g x →→'=='．了解了什么是洛必达法则，那么，什么情况下可以使用它去解 决问题呢？ 首先，先逐条诠释一下洛必达法则需要满足的条件．对于（1），这样给大家解 释，我们用洛必达法则处理的式子形式为00或∞∞的形式，也是唯一判定标准．对于（2），我们在高中阶段几乎不研究不可导函数，所以大家不用担心． 对于（3），高中阶段，当出现00或∞∞的时候，对分子分母分别求导，若值存在，则值不变，洛必达法则可以在一个式子中多次使用，直到可以求出定值为止．典型例题【例1】 设函数2()1xf x e x ax =---． （1）若a =0，求()f x 的单调区间；（2）若当x ≥0时，()0f x ≥，求a 的取值范围．【解析】 (1)0a =时,()e 1,()e 1x x f x x f x =--'=-.当(,0)x ∈-∞时,()0f x '<，当(0,)x ∈+∞时,()0f x '>.故()f x 在(,0)-∞单调减少,在(0,)+∞单调增加.(2)【解法1】 ()e 12x f x ax '=--,由(1)知e 1x x +,当且仅当0x =时等号成立.故()f x x '-2(12)ax a x =-,从而当120a -,即12a 时,()0(0)f x x ',而(0)0f =,所以当0x 时,()0f x .由e 1(0)xx x >+≠可得e 1(0)x x x ->-≠.因此当12a >时,(()e 12e x x f x a -'<-+()()1)e e 1e 2x x x a --=--,故当(0,ln 2)x a ∈时,()0f x '<,而(0)0f =,所以当(0,ln 2)x a ∈时,()0f x <.综合得a 的取值范围为1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦.【解法2】 当0x =时,()0f x =,对任意实数a ,均在()0f x ；当0x >时,()0f x 等价于2e 1x x a x--, 令2e 1()(0)x x g x x x --=>,则3e 2e 2()x x x x g x x -++'=,令()e 2e 2(0)x x h x x x x =-++>,则()e e 1,()e 0x x x h x x h x x '=-+''=>,知()h x '在(0,)+∞上为增函数,()(0)0h x h '>'=;知()h x 在(0,)+∞上为增函数,()(0)0;()0,()h x h g x g x >=∴'>在(0,)+∞上为增函数.由洛必达法则知,2000e 1e 1e 1lim lim lim 222x x x x x x x x x +++→→→---===,故12a , 综上,知a 的取值范围为1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦.【例2】 已知函数ln ()=1a x f x x xb++，曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程为230x y +-=. (1)求,a b 的值；(2)当0x >,且1x ≠时,ln ()1x kf x x x>+-,求k 的取值范围.【解析】 (1)221ln ()(1)x x b x f x x x α+⎛⎫- ⎪⎝⎭'=-+. 由于直线230x y +-=的斜率为12-,且过.点(1,1),故(1)1,1(1),2f f =⎧⎪⎨'=-⎪⎩故1,122b a b =⎧⎪⎨-=-⎪⎩,解 得a 1,1b ==.(2)【解法1】 由(1)知ln 1()1x f x x x =++,所以2ln 1()(2ln 11x k f x x x x x ⎛⎫-+=+ ⎪--⎝⎭()2(1)1k x x⎫--⎪⎪⎭，考虑函数()2(1)1()2ln (0)k x h x x x x--=+>,则()22(1)12()k xxh x x -++'=.①设0k ,由()2221(1)()k x x h x x +--'=知,当1x ≠时,()0,()h x h x '<递减.而(1)0h =,故当(0,1)x ∈时,()0h x >,可得21()01h x x >-； 当(1,)x ∈+∞时,()0h x <,可得21()01h x x>-, 从而当0x >,且1x ≠时,ln ()01x k f x x x ⎛⎫-+> ⎪-⎝⎭,即ln ()1x k f x x x >+-.②设01k <<.由于()22(1)12(1)2k x k k x x -++=-+1k +-的图象开口向下,且244(1)0k ∆=-->,对称轴111x k =>-.当11,1x k ⎛⎫∈ ⎪-⎝⎭时,()2(1)120k x x -++>,故()0h x '>,而(1)0h =,所以当11,1x k ⎛⎫∈ ⎪-⎝⎭时,()0h x >， 可得21()01h x x <-,与题设矛盾.③设1k .此时()2212,(1)120()0x x k x x h x +-++>⇒'>,而(1)0h =,故当(1,)x ∈+∞时,()0h x >,可得21()01h x x <-,与题设矛盾. 综合得,k 的取值范围为(,0]-∞.【解法2】由题设可得,当0,1x x >≠时,22ln 11x xk x <+-恒成立.令22ln ()1(0,1)1x xg x x x x =+>≠-,则()()22221ln 1()21x x x g x x +-+'=⋅-, 再令()22()1ln 1(0,1)h x x x x x x =+-+>≠,则1()2ln ,()2ln 1h x x x x h x x x '=+-''=+-21x,易知21()2ln 1h x x x ''=+-在(0,)+∞上为增函数,且(1)0h ''=;故当(0,1)x ∈时,()h x ''<0,当(1,)x ∈+∞时,()0h x ''>;∴()h x '在(0,1)上为减函数,在(1,)+∞上为增函数;故()(1)0,()h x h h x '>'=∴在(0,)+∞上为增函数.∵(1)0,h =∴当(0,1)x ∈时,()0h x <,当(1,)x ∈+∞时,()0,h x >∴当(0x ∈,1)时,()0g x '<,当(1,)x ∈+∞时,()0,()g x g x '>∴在(0,1)上为减函数,在(1,)+∞上为增函数. ∵由洛必达法则法2111ln 1ln 1lim ()2lim 12lim 1210,122x x x x x x g x k x x →→→+⎛⎫=+=+=⨯-+=∴ ⎪--⎝⎭0,即k 的取值范围为(,0]-∞.【例3】设函数sin ()=2cos xf x x+.(1)求()f x 的单调区间;(2)如果对任何0x ,都有()f x ax ,求a 的取值范围. 【解析】(1)22(2cos )cos sin (sin )2cos 1()(2cos )(2cos )x x x x x f x x x +--+'==++. 当2222()33k x k k ππππ-<<+∈Z 时,1cos 2x >-,即()0f x '>;当2422()33k x k k ππππ+<<+∈Z 时,1cos 2x <-,即()0f x '<.因此()f x 在每一个区间222,2()33k k k ππππ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭Z 内是增函数, ()f x 在每一个区间(2k π+24,2()33k k πππ⎫+∈⎪⎭Z 内是减函数. (2)应用洛必达法则和导数sin ()2cos xf x ax x=+,若0x =,则a ∈R ;若0x >,则sin 2cos xax x+等价于sin (2cos )x ax x +.即sin ()(2cos )x g x x x =+, 则222cos 2sin sin cos ()(2cos )x x x x x xg x x x --+'=+. 记()2cos 2sin sin cos h x x x x x x x =--+,2()2cos 2sin 2cos cos 212sin cos 212sin 2sin 2sin h x x x x x x x x x x x x x '=---+=--+=-=(sin )x x -.因此,当(0,)x π∈时,()0,()h x h x '<在(0,)π上单调递减,且(0)0h =,故()0g x '<,所以()g x 在(0,)π上单调递减,而000sin cos 1lim ()limlim (2cos )2cos sin 3x x x x x g x x x x x x →→→===++-. 另一方面,当[,)x π∈+∞时,sin 111()(2cos )3x g x x x x π=<+,因此13a .【例4】 设函数()(1)ln(1)f x x x =++,若对所有的0x 都有()f x ax 成立,求实数a 的取值范围. 【解析】【解法1】 令()(1)ln(1)g x x x ax =++-,对函数()g x 求导数:()ln(1)1g x x a '=++-,令()0g x '=,解 得1e 1u x -=-.(1)当1a 时,对所有0,()0x g x >'>,所以()g x 在[0,)+∞上是增函数.又(0)0g =,所以对0x ,有()(0)g x g ,即当1a 时,对于所有0x ,都有()f x ax . (2)当1a >时,对于10e 1,()0u x g x -<<-'<,所以()g x 在()10,e 1α--是减函数.又(0)0g =.所以对10e 1a x -<<-,有()(0)g x g <,即()f x ax <.所以当1a >时,不是对所有的0x ,都有()f x ax 成立. 综上a 的取值范围是(,1]-∞. 【解法2】 令()(1)ln(1)g x x x ax =++-,于是不等式()f x ax 成立即为()(0)g x g 成立.对()g x 求导数得()ln(1)1g x x a '=++-,令()0g x '=,解得1e 1a x -=-,当1e 1a x ->-时,()0,()g x g x '>为增函数,当11e 1u x --<<-时,()0,()g x g x '<为减函数.要对所有0x 都有()(0)g x g 充要条件为1e 10a --.由此得1a ,即a 的取值范围是(,1]-∞.。

导数结合洛必达法则巧解高考压轴题第一部分：历届导数高考压轴题(全国2理)设函数f (x )＝(x ＋1)ln(x ＋1)，若对所有的x ≥0，都有f (x )≥ax 成立，求实数a 的取值范围．（全国1理）已知函数()11ax x f x e x-+=-.（Ⅰ）设0a >，讨论()y f x =的单调性；（Ⅱ）若对任意()0,1x ∈恒有()1f x >，求a 的取值范围.（全国1理）设函数()e e x x f x -=-．（Ⅰ）证明：()f x 的导数()2f x '≥；（Ⅱ）若对所有0x ≥都有()f x ax ≥，求a 的取值范围．（全国2理）设函数sin ()2cos x f x x=+．（Ⅰ）求()f x 的单调区间；（Ⅱ）如果对任何0x ≥，都有()f x ax ≤，求a 的取值范围．（辽宁理）设函数ln ()ln ln(1)1x f x x x x=-+++.⑴求()f x 的单调区间和极值;⑵是否存在实数a ,使得关于x 的不等式()f x a 的解集为(0,)+∞?若存在,求a 的取值范围;若不存在,试说明理由.（新课标理）设函数)(x f =21x e x ax ---.（Ⅰ）若0=a ，求)(x f 的单调区间;（Ⅱ）若当x ≥0时)(x f ≥0，求a 的取值范围.（新课标文）已知函数2()(1)x f x x e ax =--.（Ⅰ）若()f x 在1x =-时有极值，求函数()f x 的解析式；（Ⅱ）当0x ≥时，()0f x ≥，求a 的取值范围.（全国大纲理）设函数()1x f x e -=-.（Ⅰ）证明：当1x >-时，()1x f x x ≥+；（Ⅱ）设当0x ≥时，()1x f x ax ≤+，求a 的取值范围.（新课标理）已知函数ln ()1a x b f x x x=++，曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程为230x y +-=.（Ⅰ）求a 、b 的值；（Ⅱ）如果当0x >，且1x ≠时，ln ()1x k f x x x>+-，求k 的取值范围.。

导数结合洛必达法则巧解高考压轴题法则1 若函数f(x) 和g(x)满足下列条件：(1) lim f xx a0及 l im g x 0 ；x a⑵在点 a 的去 心邻域内，f(x) 与g(x) 可导且g'(x) K ;(3) f x liml ,那么x ag xf x f xlim -=lim l 。

x ag xx ag xf x f x lim =lim l 。

x ag x x a g x利用洛必达法则求未定式的极限是微分学中的重点之一，在解题中应注意： 1.将上面公式中的X — a , x —x 换成 X — +x, X — -X, x a , x a 洛必达法则也成立。

2. 洛必达法则可处理°，—, 0, 1 ,,Q °,型。

3. 在着手求极限以前，首先要检查是否满足 0 , — , 0 , 1 , ° , 0° , 型定式，否则滥用洛必达法则会出错。

当不满足三个前提条件时，就不能用洛必达法则，这时 称洛必达法则不适用，应从另外途径求极限。

4.若条件符合，洛必达法则可连续多次使 用，直到求出极限为止。

f(x) 和g(x)在，A 与 A,上可导，且g'(x)工0 ;⑶limx l ,那么xgxf x f xlim =lim l 。

x g x x g x法则3若函数f(x)和g(x)满足下列条件：(1)lim f x及 lim g x(2)在点x ax aa 的去心邻域内，f(x) 与g(x)可导且g'(x) K ;f (3) limxl ，那么x ag x0 及［im g x 0 ; (2) Af 0，和g(x)满足下列条件：⑴lim f xx法则2若函数f(x)二.高考题处理1.(2010年全国新课标理)设函数f(x) e x 1 x ax 2。

( 1)若a 0,求f(x)的单调区间；(2)若当x 0时f(x) 0，求a 的取值范围 0，对任意实数a,均在f(x) 0 ；当x 0时，f(x) 0等价于2 . ( 2011年全国新课标理)已知函数，曲线y f(x)在点(1,f (1))处的切线方程为 x 2y3 0。

导数结合洛必达法则巧解高考压轴题法则 1若函数 f(x) 和 g(x)满足下列条件： (1) lim f x0 及 lim g x0 ； (2)在点 a 的x a x af xl ，那么f x f x去心邻域内，f(x) 与 g(x) 可导且 g'(x) ≠0；(3) lim lim= lim l 。

x a g x x a g x x a g x法则 2若函数 f(x)和 g(x)满足下列条件： (1) lim f x0 及 lim g x0 ； (2) A f 0 ，x xf(x) 和 g(x) 在, A 与 A,上可导，且 g'(x)≠0； (3)lim f x，那么lx g xlim f x= lim f x l 。

g x g xx x法则 3若函数 f(x) 和 g(x)满足下列条件： (1) lim f x及 lim g x；在点a的x a x a(2)f xl ，那么f x f xl 。

去心邻域内，f(x) 与 g(x) 可导且 g'(x) ≠0；(3) lim lim= limx a g x x a g x x a g x利用洛必达法则求未定式的极限是微分学中的重点之一，在解题中应注意： 1.将上面公式中的 x→a， x→∞换成 x→ +∞，x→ -∞， x a ，x a洛必达法则也成立。

洛必达法则可处理0 ，， 0，，0 ，0 ，型。

2.103.在着手求极限以前，首先要检查是否满足0 ，， 0，，0 ，0，型定式，010否则滥用洛必达法则会出错。

当不满足三个前提条件时，就不能用洛必达法则，这时称洛必达法则不适用，应从另外途径求极限。

4.若条件符合，洛必达法则可连续多次使用，直到求出极限为止。

二．高考题处理1.(2010 年全国新课标理 )设函数f (x)e x 1 x ax 2。

（1）若a0 ，求f ( x)的单调区间；（2）若当 x 0 时f ( x)0，求 a 的取值范围xxx 1xx 2 xx 2aex 1令 g xe(x>0),e22则g ( x)e 3，令xxxxxxxxh xx e 2ex 2 x 0，则 h x xe e 1， h x x e0 ，知 h x 在 0, 上为 增函 数， h xh 00 ； 知 h x 在 0,h xh 0 0 ；g x 0 ， g(x) 在 0,上 为 增 函 数 。

用洛必达法则巧解高考教学压轴题甘肃省永昌县第一髙级中学(737200)李文星•现在许多省市的高考试卷的压轴题都是导数的应用问题,其中求参数的取值范围问题就是一类重点考査的题型.这类题型学生容易想到用分离参数的方法解决，但这种方法往往讨论多样、过于繁杂,学生掌握起来非常困难.原因是出现了3”型的式子，而这就是大学数学中的待定型问题.解决这类问题的有效方法就是洛必达法则，现给出供读者参考.一、洛必达法則简介法则:若函数/■(，)和g(x)满足下列条件：(1 )lim/{x) =0 及limg(x) =0;x—*a r—HI(2)在点G的去心邻域内JG)与gG)可导且，G) 部；⑶若或今。

'则回捋=崂齧顼.二、洛比达法则应用例1设函数/<x)=l-e*.(1)证明：当*〉-1 时土；(2)设当时/(%) W亠r，求a的取值范围.说明此题(2)的标准解答技巧性很强，略显突兀, 学生普遍反映能看懂但想不到.能否有更好更自然的解答思路呢？用洛必达法则来处理可达到事半功倍的效果.解(1)略.(2)由题设*N0,此时/(x) ^0.①当亦0时，若■>■，则二^7<0/(，)〈詬%a ax ± I ax + L 不成立；②当Q二。

时/(%) W—Qi 在4G ［0, +ax + 18 )上成立；% e* 1③当a > 0 时J(%) W - <=>a W - -- =a W' ox +1 e 1 xI e* I x f设"=片-+，")=弋艺措“ 设g(x) = - e,x2 + e* -2e* + 1,则g(0) =O,g'(.x)= e'( -x2-2x+ 2e* -2).令h(x) - -x2 -2x +2e，-2.当％>0 时,"(x) =2(^-x-1) ,h"(x)=2(e, -1) >0,.•&(«)是增函数,h'(x) >h'(0) =0"⑴是增函数,.*• h(x) > A(0) =0. g(x)在［0, + 8 )上是增函数,g(x)mg(0)=0. .•.F'S)mo,F(*)在［o, + 8)上是增函数. '由洛比达法则可得,WmF(x)=甄"'m'.t l = xe -Xlim ―- = lim^,+Xe,=。

导数结合洛必达法则巧解高考压轴题一．洛必达法则：法则1.若函数)(x f 和)(x g 满足下列条件：(1) ()lim 0x a f x →= 及()lim 0x ag x →=； (2)在点a 的去心邻域内，)(x f 与)(x g 可导且0)('≠x g ；(3)()()lim x a f x l g x →'='，那么 ()()lim x a f x g x →=()()lim x a f x l g x →'='． 法则2.若函数)(x f 和)(x g 满足下列条件：(1) ()lim x a f x →=∞及()lim x a g x →=∞；(2)在点a 的去心邻域内，)(x f 与)(x g 可导且0)('≠x g ；(3)()()lim x a f x l g x →'='，那么 ()()lim x a f x g x →=()()lim x a f x l g x →'='． 利用洛必达法则求未定式的极限是微分学中的重点之一，在解题中应注意：○1将上面公式中的a x →，∞→x 换成+∞→x ，-∞→x ，+→a x ，-→a x 洛必达法则也成立．○2洛必达法则可处理00，∞∞，0⋅∞，∞1，0∞，00，∞-∞型． ○3在着手求极限以前，首先要检查是否满足00，∞∞，0⋅∞，∞1，0∞，00，∞-∞型定式，否则滥用洛必达法则会出错．当不满足三个前提条件时，就不能用洛必达法则，这时称洛必达法则不适用，应从另外途径求极限．○4若条件符合，洛必达法则可连续多次使用，直到求出极限为止． 二．高考例题讲解1. 函数2()1x f x e x ax =---．（Ⅰ）若0a =，求()f x 的单调区间；（Ⅱ）若当0x ≥时()0f x ≥，求实数a 的取值范围．2. 已知函数xb x x a x f ++=1ln )(，曲线()y f x =在点))1(,1(f 处的切线方程为230x y +-=．（Ⅰ）求a 、b 的值；（Ⅱ）如果当0x >，且1x ≠时，ln ()1x k f x x x>+-，求k 的取值范围．3.若不等式3sin ax x x ->对于)2,0(π∈x 恒成立，求实数a 的取值范围． 4.设函数xx x f cos 2sin )(+=。

导数结合“洛必达法则”巧解恒成立问题第一部分：历届导数高考压轴题1.2006 年全国 2理设函数 f(x)＝(x＋1)ln( x＋ 1) ，若对所有的x≥0 ，都有f (x)≥ax成立，求实数a的取值范围．·2.2006 全国1理已知函数 f x1x e ax.1x（Ⅰ）设 a0 ，讨论 y f x的单调性；（Ⅱ）若对任意x0,1恒有 f x1，求a的取值范围.3.2007 全国1理设函数 f (x)e x e x．（Ⅰ）证明： f ( x) 的导数 f (x) ≥ 2；（Ⅱ）若对所有x ≥ 0 都有 f ( x)≥ax，求a的取值范围．4.2008 全国2理设函数 f (x)sin x2．cosx（Ⅰ）求 f ( x) 的单调区间；（Ⅱ）如果对任何x≥ 0，都有 f (x) ≤ ax ，求 a 的取值范围．5.2008 辽宁理设函数 f ( x)ln x ln x ln( x1) .1x⑴求 f (x) 的单调区间和极值;⑵是否存在实数 a ,使得关于x 的不等式 f (x) a 的解集为 (0,) ?若存在,求 a 的取值范围;若不存在 ,试说明理由 .6.2010 新课标理设函数 f (x)= e x1x ax 2.（Ⅰ）若 a0 ，求 f ( x)的单调区间;（Ⅱ）若当 x≥0时 f (x) ≥0，求a的取值范围7.2010 新课标文已知函数 f ( x)x(e x1)ax 2.（Ⅰ）若 f ( x) 在x 1 时有极值，求函数 f (x)的解析式；（Ⅱ）当 x0 时， f ( x)0 ，求a的取值范围.8.2010 全国大纲理设函数 f ( x)1 e x.（Ⅰ）证明：当x1x；时， f ( x)x1（Ⅱ）设当 x 0时， f ( x)x，求 a 的取值范围. ax 19.2011 新课标理已知函数 f ( x)a ln x b，曲线 y f ( x) 在点 (1, f (1)) 处的切线方程为 x 2 y 3 0 . x1x（Ⅰ）求 a 、b的值；（Ⅱ）如果当 x0 ，且 xln x k1 时， f ( x)，求 k 的取值范围.x 1x10. 自编自编：若不等式sin x x ax3对于 x (0,) 恒成立，求a的取值范围.2第二部分：新课标高考命题趋势及方法1.新课标高考命题趋势近年来的高考数学试题逐步做到科学化、规范化，坚持了稳中求改、稳中创新的原则，充分发挥数学作为基础学科的作用，既重视考查中学数学基础知识的掌握程度，又注重考查进入高校继续学习的潜能。

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导数结合“洛必达法则”巧解恒成立问题第一部分：历届导数高考压轴题1.2006年全国2理设函数f (x )＝(x ＋1)·ln(x ＋1)，若对所有的x ≥0,都有f (x ）≥ax 成立，求实数a 的取值范围．2。

2006全国1理已知函数()11ax x f x e x-+=-. (Ⅰ)设0a >，讨论()y f x =的单调性；(Ⅱ）若对任意()0,1x ∈恒有()1f x >，求a 的取值范围.3.2007全国1理设函数()e e x x f x -=-．(Ⅰ）证明：()f x 的导数()2f x '≥；（Ⅱ）若对所有0x ≥都有()f x ax ≥，求a 的取值范围．4.2008全国2理 设函数sin ()2cos x f x x=+． （Ⅰ）求()f x 的单调区间；（Ⅱ）如果对任何0x ≥，都有()f x ax ≤,求a 的取值范围．5.2008辽宁理 设函数ln ()ln ln(1)1x f x x x x=-+++。

⑴求()f x 的单调区间和极值;⑵是否存在实数a ,使得关于x 的不等式()f x a 的解集为(0,)+∞?若存在,求a 的取值范围;若不存在，试说明理由.6.2010新课标理设函数)(x f =21x e x ax ---.(Ⅰ）若0=a ，求)(x f 的单调区间;（Ⅱ）若当x ≥0时)(x f ≥0，求a 的取值范围7.2010新课标文已知函数2()(1)x f x x e ax =--。

导数结合洛必达法则巧解高考压轴题作者：郝清鹏来源：《新课程·中学》2018年第03期摘要：高考数学试题常与大学数学知识有机接轨，以高等数学为背景的命题形式成为热点.许多省市的高考试卷的压轴题都是导数应用问题，其中求参数的取值范围就是一类重点考查题型.其中涉及一些高中没有教授过的重要的数学定理，洛必达法则就是运用高等数学知识解决高考题的很好体现.用洛必达法则和导数解决高考试题并将这种方法应用于其他试题，从中可以发现运用高等数学知识解题的优越性.关键词：洛必达法则；导数；参数取值范围高考数学试题常与大学数学知识有机接轨，以高等数学为背景的命题形式成为热点.许多省市的高考试卷的压轴题都是导数应用问题，其中求参数的取值范围就是一类重点考查题型.这类题目容易让考生想到用分离参数的方法，一部分题用这种方法很凑效，另一部分题在高中范围内用分离参数的方法却不能顺利解决.利用分离参数的方法不能解决这类问题的原因是出现了“”型的式子，而这就是大学数学中的不定式问题，解决这类问题的有效方法就是洛必达法则.利用导数确定函数的单调性，再用洛必达法则就能顺利解决上面提出的“”型的导数应用问题.本文首先给出洛必达法则，然后用洛必达法则和导数解决高考试题并将这种方法应用于其他试题，从中可以发现运用高等数学知识解题的优越性.洛必达法则：设函数f（x）、g（x）满足：（1）f（x）=g（x）=0；（2）在U0（a）内，f ′（x）和g′（x）都存在，且g′（x）≠0；（3）=A（A可为实数，也可以是±∞）.则==A.1.（2011海南宁夏理21）已知函数f（x）=+，曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为x+2y-3=0.（1）求a，b的值；（2）如果当x>0，且x≠1时，f（x）>+，求k的取值范围.解析：（1）略解，易知a=1，b=1；（2）当x>0，且x≠1时，由f（x）>+，易得k记g（x）=+1，则g′（x）==（lnx+），记h（x）=lnx+，则h′（x）=+=>0，从而h（x）=lnx+在x∈（0，+∞）时单调递增，且h （1）=0，所以当x∈（0，1）时，h（x）0；当x∈（0，1）时，g′（x）0，所以g（x）在（0，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增.由洛必达法则有：g（x）=（+1）=1+=1+=0，即当x→1时，g（x）→0所以当x>0，且x≠1时，g（x）>0.因为k综上所述，当x>0，且x≠1时，f（x）>+成立，求k的取值范围是（-∞，0].通过例题1的分析，我们不难发现运用洛必达法则解决的试题应满足：①可以分离变量；②用导数可以确定分离变量后一端函数的单调性；③出现“”型的式子.洛必达法则是数学分析中的一个重要的求不定式极限的方法.在分离参数之后，洛必达法则就能帮助我们解决“”型的高考压轴题.本题很容易想到分离变量的方法把参数分离出来，然后对分离出来的函数g（x）=+1求导，研究其单调性、极值.此时遇到了“当x=1时，函数g（x）值没有意义”这一问题，很多考生陷入困境.如果考前对优秀学生讲洛必达法则的应用，再通过强化训练就能掌握解决此类难题的这一有效方法.2.（2010海南宁夏理21）设函数f（x）=ex-1-x-ax2（1）若a=0，求f（x）的单调区间；（2）若当x≥0时f（x）≥0，求a的取值范围.解析：（1）略；（2）当x≥0时，f（x）≥0，即ex-1-x≥ax2.①当x=0时，a∈R；②当x>0时，ex-1-x≥ax2？圳a≤.记g（x）=，x∈（0，+∞），则g′（x）=.记h（x）=（x-2）ex+x+2，x∈（0，+∞），则h′（x）=（x-1）ex+1，当x∈（0，+∞）时，h″（x）=xex>0，所以h′（x）=（x-1）ex+1在x∈（0，+∞）时单调递增，且h′（x）>h′（0）=0，所以h（x）=（x-2）ex+x+2在x∈（0，+∞）时单调递增，且h（x）>h（0）=0，因此当x∈（0，+∞）时，g′（x）=>0，从而g（x）=在x∈（0，+∞）时单调递增.由洛必达法则有：g（x）====，即当x→0时，g（x）→，所以当x∈（0，+∞）时，g（x）>，因此a≤.综上所述，当x≥0且f（x）≥0时，a的取值范围是a≤.洛必达法则是数学分析中的一个重要的求不定式极限的方法.在分离参数之后，洛必达法则就能帮助我们解决“”型的高考压轴题，分离参数是广大学生容易想到而且易于操作的一个方法，只要掌握了洛必达法则，就能突破瓶颈顺利地解决这类求参数的取值范围的问题.通过以上例题对洛必达法则的应用对比，我们可以感受到高等数学对初等数学的指导作用，感受到高等数学的优越性，从而激发学生学习的兴趣和动力.随着新课标的推进，高观点下的高考命题颇受命题者的青睐，这似乎也是新课标命题的一种趋势和方向.因此，加强对高等数学在中学数学中应用的研究就显得很重要也很必要.参考文献：[1]王海光.巧用洛必达法则解高考题[J].中学生数学，2017（1）：47-48.[2]唐伟.洛必达法则巧解高考数学压轴题：函数与导数中的参数问题求解[J].西藏教育，2014（7）.作者简介：郝清鹏，男，1975年6月生，湖北十堰人，中学高级教师。

导数结合洛必达法则巧解高考压轴题求证：不等式1x e x ≥+恒成立.对于[)0,x ∈+∞，不等式1x e ax ≥+恒成立，求实数a 的取值范围.方法一：讨论假设方法二：洛必达法则1.2006年全国2理设函数f (x )＝(x ＋1)ln(x ＋1)，若对所有的x ≥0，都有f (x )≥ax 成立，求实数a 的取值范围． （1,∞-]。

2.2006全国1理已知函数()11ax xf x e x -+=-.（Ⅰ）设0a >，讨论()y f x =的单调性；（Ⅱ）若对任意()0,1x ∈恒有()1f x >，求a 的取值范围. (]2,∞-∈a3.2007全国1理设函数()e e x x f x -=-．（Ⅰ）证明：()f x 的导数()2f x '≥；（Ⅱ）若对所有0x ≥都有()f x ax ≥，求a 的取值范围． (]2-∞，4.2008全国2理设函数sin ()2cos x f x x=+． （Ⅰ）求()f x 的单调区间；（Ⅱ）如果对任何0x ≥，都有()f x ax ≤，求a 的取值范围．（13a ≥.）5.辽宁理 设函数ln ()ln ln(1)1x f x x x x=-+++. ⑴求()f x 的单调区间和极值;⑵是否存在实数a ,使得关于x 的不等式()f x a 的解集为(0,)+∞?若存在,求a 的取值范围;若不存在,试说明理由.6.2010新课标理设函数)(x f =21x e x ax ---.（Ⅰ）若0=a ，求)(x f 的单调区间; （Ⅱ）若当x ≥0时)(x f ≥0，求a 的取值范围. 1,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭7.2010新课标文已知函数2()(1)x f x x e ax =--.（Ⅰ）若()f x 在1x =-时有极值，求函数()f x 的解析式；（Ⅱ）当0x ≥时，()0f x ≥，求a 的取值范围. （1a ≤.）由洛必达法则有0001lim ()lim lim 11x xx x x e e g x x →→→-===，即当0x →时，()1g x →所以()1g x >，即有1a ≤.综上所述，当1a ≤，0x ≥时，()0f x ≥成立.8.2010全国大纲理设函数()1x f x e -=-.（Ⅰ）证明：当1x >-时，()1xf x x ≥+；（Ⅱ）设当0x ≥时，()1xf x ax ≤+，求a 的取值范围. 1(,]2-∞.9.2011新课标理已知函数ln ()1a x b f x x x=++，曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程为230x y +-=. （Ⅰ）求a 、b 的值；（Ⅱ）如果当0x >，且1x ≠时，ln ()1x k f x x x >+-，求k 的取值范围. （-∞，0] 利用洛必达法则处理如下：II ）由题设可得，当0,1x x >≠时，k<22ln 11x x x+-恒成立。

导数结合洛必达法则巧解高考压轴题时间：2021.03.02创作：欧阳数第一部分：历届导数高考压轴题(全国2理)设函数f (x )＝(x ＋1)ln(x ＋1)，若对所有的x ≥0，都有f (x )≥ax 成立，求实数a 的取值范围．（全国1理）已知函数()11axx f x e x-+=-. （Ⅰ）设0a >，讨论()y f x =的单调性；（Ⅱ）若对任意()0,1x ∈恒有()1f x >，求a 的取值范围. （全国1理）设函数()e e x x f x -=-． （Ⅰ）证明：()f x 的导数()2f x '≥；（Ⅱ）若对所有0x ≥都有()f x ax ≥，求a 的取值范围． （全国2理）设函数sin ()2cos xf x x=+．（Ⅰ）求()f x 的单调区间；（Ⅱ）如果对任何0x ≥，都有()f x ax ≤，求a 的取值范围．（辽宁理）设函数ln ()ln ln(1)1xf x x x x=-+++. ⑴求()f x 的单调区间和极值;⑵是否存在实数a ,使得关于x 的不等式()f x a 的解集为(0,)+∞?若存在,求a 的取值范围;若不存在,试说明理由.（新课标理）设函数)(x f =21x e x ax ---. （Ⅰ）若0=a ，求)(x f 的单调区间;（Ⅱ）若当x ≥0时)(x f ≥0，求a 的取值范围. （新课标文）已知函数2()(1)x f x x e ax =--.（Ⅰ）若()f x 在1x =-时有极值，求函数()f x 的解析式； （Ⅱ）当0x ≥时，()0f x ≥，求a 的取值范围. （全国大纲理）设函数()1x f x e -=-. （Ⅰ）证明：当1x >-时，()1xf x x ≥+； （Ⅱ）设当0x ≥时，()1xf x ax ≤+，求a 的取值范围. （新课标理）已知函数ln ()1a x bf x x x =++，曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程为230x y +-=.（Ⅰ）求a 、b 的值；（Ⅱ）如果当0x >，且1x ≠时，ln ()1x kf x x x>+-，求k 的取值范围.例题：若不等式3sin x x ax >-对于(0,)2x π∈恒成立，求a 的取值范围第二部分：泰勒展开式1.2311,1!2!3!!(1)!n n xxx x x x x e e n n θ+=+++++++其中(01)θ<<； 2.231ln(1)(1),2!3!!nn n x x x x x R n -+=-+-+-+其中111(1)()(1)!1n nn n x R n xθ++=-++；3.35211sin (1)3!5!(21)!k k nx x x x x R k --=-+-+-+-，其中21(1)cos (21)!k kn xR x k θ+=-+；4.24221cos 1(1)2!4!(22)!k k nx x x x R k --=-+-+-+-，其中2(1)cos (2)!kkn x R x k θ=-；第三部分：洛必达法则及其解法 洛必达法则：设函数()f x 、()g x 满足：（1）lim ()lim ()0x a x af xg x →→==；（2）在()U a 内，()f x '和()g x '都存在，且()0g x '≠；（3）()lim ()x af x Ag x →'=' （A 可为实数，也可以是±∞）.则()()lim lim ()()x a x af x f x Ag x g x →→'=='. 1.（新课标理）已知函数ln ()1a x bf x x x=++，曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程为230x y +-=.（Ⅰ）求a 、b 的值；（Ⅱ）如果当0x >，且1x ≠时，ln ()1x kf x x x>+-，求k 的取值范围.常规解法（Ⅰ）略解得1a =，1b =.（Ⅱ）方法一：分类讨论、假设反证法由（Ⅰ）知ln 1()1x f x x x=++，所以22ln 1(1)(1)()()(2ln )11x k k x f x x x x x x---+=+--. 考虑函数()2ln h x x =+2(1)(1)k x x--(0)x >，则22(1)(1)2'()k x xh x x -++=.(i)当0k ≤时，由222(1)(1)'()k x x h x x +--=知，当1x ≠时，'()0h x <.因为(1)0h =，所以当(0,1)x ∈时，()0h x >，可得21()01h x x ⋅>-；当(1,)x ∈+∞时，()0h x <，可得21()01h x x ⋅>-，从而当0x >且1x ≠时，ln ()()01x kf x x x-+>-，即ln ()1x k f x x x>+-；（ii ）当01k <<时，由于当1(1,)1x k∈-时，2(1)(1)20k x x -++>，故'()0h x >，而(1)0h =，故当1(1,)1x k∈-时，()0h x >，可得21()01h x x ⋅<-，与题设矛盾.（iii ）当1k ≥时， '()0h x >，而(1)0h =，故当(1,)x ∈+∞时，()0h x >，可得21()01h x x⋅<-，与题设矛盾.综上可得，k 的取值范围为(0]-∞，.注：分三种情况讨论：①0k ≤；②01k <<；③1k ≥不易想到.尤其是②01k <<时，许多考生都停留在此层面，举反例1(1,)1x k∈-更难想到.而这方面根据不同题型涉及的解法也不相同，这是高中阶段公认的难点，即便通过训练也很难提升.洛必达法则解法当0x >，且1x ≠时，ln ()1x k f x x x >+-，即ln 1ln 11x x kx x x x+>++-， 也即2ln 1ln 2ln 1111x x x x x x k x x x x <+-=++--，记22ln ()11x x g x x=+-，0x >，且1x ≠则2222222222(1)ln 2(1)2(1)1'()=(ln )(1)(1)1x x x x x g x x x x x ++-+-=+--+， 记221()ln 1x h x x x -=++，则22222214(1)'()+=0(1+)(1+)x x h x x x x x --=>， 从而()h x 在(0,)+∞上单调递增，且(1)0h =，因此当(0,1)x ∈时，()0h x <，当(1,)x ∈+∞时，()0h x >；当(0,1)x ∈时，'()0g x <，当(1,)x ∈+∞时，'()0g x >，所以()g x 在(0,1)上单调递减，在(1,)+∞上单调递增. 由洛必达法则有2211112ln 2ln 2ln 2lim ()lim(1)1lim 1lim 0112x x x x x x x x x g x x x x→→→→+=+=+=+=---，即当1x →时，()0g x →，即当0x >，且1x ≠时，()0g x >. 因为()k g x <恒成立，所以0k ≤.综上所述，当0x >，且1x ≠时，ln ()1x kf x x x>+-成立，k 的取值范围为(0]-∞，. 注：本题由已知很容易想到用分离变量的方法把参数k 分离出来.然后对分离出来的函数22ln ()11x x g x x=+-求导，研究其单调性、极值.此时遇到了“当=1x 时，函数()g x 值没有意义”这一问题，很多考生会陷入困境.如果考前对优秀的学生讲洛必达法则的应用，再通过强化训练就能掌握解决此类难题的这一有效方法.2.（新课标理）设函数2()1x f x e x ax =---. （Ⅰ）若0a =，求()f x 的单调区间；（Ⅱ）当0x ≥时，()0f x ≥，求a 的取值范围. 应用洛必达法则和导数（Ⅱ）当0x ≥时，()0f x ≥，即21x e x ax --≥. ①当0x =时，a R∈；②当0x >时，21x e x ax --≥等价于21x e x a x --≤.记21()x e x g x x --= (0+)x ∈∞，，则3(2)2'()x x e x g x x-++=. 记()(2)2x h x x e x =-++(0+)x ∈∞，，则'()(1)1x h x x e =-+，当(0+)x ∈∞，时，''()0x h x xe =>，所以'()(1)1x h x x e =-+在(0+)∞，上单调递增，且'()'(0)0h x h >=，所以()(2)2xh x x e x =-++在(0+)∞，上单调递增，且()(0)0h x h >=，因此当(0+)x ∈∞，时，3()'()0h x g x x=>，从而21()x e x g x x --=在(0+)∞，上单调递增. 由洛必达法则有，即当0x →时，1()2g x →，所以当(0+)x ∈∞，时，所以1()2g x >，因此12a ≤.综上所述，当12a ≤且0x ≥时，()0f x ≥成立.例题：若不等式3sin x x ax >-对于(0,)2x π∈恒成立，求a 的取值范围.应用洛必达法则和导数当(0,)2x π∈时，原不等式等价于3sin x xa x ->. 记3sin ()x x f x x -=，则43sin cos 2'()x x x xf x x--=. 记()3sin cos 2g x x x x x =--，则'()2cos sin 2g x x x x =+-.因为''()cos sin cos (tan )g x x x x x x x =-=-，'''()sin 0g x x x =-<，所以''()g x 在(0,)2π上单调递减，且''()0g x <，所以'()g x 在(0,)2π上单调递减，且'()0g x <.因此()g x 在(0,)2π上单调递减，且()0g x <，故4()'()0g x f x x =<，因此3sin ()x xf x x -=在(0,)2π上单调递减.由洛必达法则有320000sin 1cos sin cos 1lim ()limlim lim lim 3666x x x x x x x x x x f x x x x →→→→→--=====， 即当0x →时，1()6g x →，即有1()6f x <.故16a ≥时，不等式3sin x x ax >-对于(0,)2x π∈恒成立.通过以上例题的分析，我们不难发现应用洛必达法则解决的试题应满足：① 可以分离变量；②用导数可以确定分离变量后一端新函数的单调性； ③出现“0”型式子. （海南宁夏文）已知函数2()(1)x f x x e ax =--.（Ⅰ）若()f x 在1x =-时有极值，求函数()f x 的解析式；（Ⅱ）当0x ≥时，()0f x ≥，求a 的取值范围.解：（Ⅰ）略（Ⅱ）应用洛必达法则和导数 当0x ≥时，()0f x ≥，即2(1)x x e ax -≥. ①当0x =时，a R ∈；②当0x >时，2(1)xx e ax -≥等价于1xe ax -≥，也即1x e a x-≤.记1()x e g x x-=，(0,)x ∈+∞，则(1)1'()x x e g x x -+=.记()(1)1x h x x e =-+，(0,)x ∈+∞，则'()0x h x xe =>，因此()(1)1x h x x e =-+在(0,)+∞上单调递增，且()(0)0h x h >=，所以()'()0h x g x x=>，从而1()x e g x x -=在(0,)+∞上单调递增. 由洛必达法则有0001lim ()lim lim 11x xx x x e e g x x→→→-===， 即当0x →时，()1g x → 所以()1g x >，即有1a ≤.综上所述，当1a ≤，0x ≥时，()0f x ≥成立.（全国大纲理）设函数()1x f x e -=-. （Ⅰ）证明：当1x >-时，()1xf x x ≥+； （Ⅱ）设当0x ≥时，()1xf x ax ≤+，求a 的取值范围. 解：（Ⅰ）略（Ⅱ）应用洛必达法则和导数 由题设0x ≥，此时()0f x ≥. ①当0a <时，若1x a>-，则01x ax <+，()1xf x ax ≤+不成立； ②当0a ≥时，当0x ≥时，()1x f x ax ≤+，即11x xe ax --≤+； 若0x =，则a R ∈；若0x >，则11xxe ax --≤+等价于111x e x ax --≤+，即1x x x xe e a xe x -+≤-. 记1()x xx xe e g x xe x-+=-，则2222221'()=(2)()()x x x xx x x x e x e e e g x e x e xe x xe x ---+=--+--. 记2()2x x h x e x e -=--+，则'()2x x h x e x e -=--，''()+20x x h x e e -=->. 因此，'()2x x h x e x e -=--在(0)+∞，上单调递增，且'(0)0h =，所以'()0h x >，即()h x 在(0)+∞，上单调递增，且(0)0h =，所以()0h x >.因此2'()=()0()xx e g x h x xe x >-，所以()g x 在(0)+∞，上单调递增.由洛必达法则有000011lim ()lim lim lim 122x x x x x x x x x x x x x x xe e xe e xe g x xe x e xe e xe →→→→-++====-+-+，即当0x →时，1()2g x →，即有1()2g x >，所以12a ≤.综上所述，a 的取值范围是1(,]2-∞.（全国2理）设函数sin ()2cos xf x x =+．（Ⅰ）求()f x 的单调区间；（Ⅱ）如果对任何0x ≥，都有()f x ax ≤，求a 的取值范围． 解：（Ⅰ）22(2cos )cos sin (sin )2cos 1()(2cos )(2cos )x x x x x f x x x +--+'==++．当2π2π2π2π33k x k -<<+（k ∈Z ）时，1cos 2x >-，即()0f x '>；当2π4π2π2π33k x k +<<+（k ∈Z ）时，1cos 2x <-，即()0f x '<．因此()f x 在每一个区间2π2π2π2π33k k ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭，（k ∈Z ）是增函数，()f x 在每一个区间2π4π2π2π33k k ⎛⎫++ ⎪⎝⎭，（k ∈Z ）是减函数．解：（Ⅰ）略（Ⅱ）应用洛必达法则和导数 若0x =，则a R ∈； 若0x >，则sin 2cos xax x≤+等价于sin (2cos )x a x x ≥+，即sin ()(2cos )xg x x x =+则222cos 2sin sin cos '()(2cos )x x x x x xg x x x --+=+. 记()2cos 2sin sin cos h x x x x x x x =--+，因此，当(0,)x π∈时，'()0h x <，()h x 在(0,)π上单调递减，且(0)0h =，故'()0g x <，所以()g x 在(0,)π上单调递减，而000sin cos 1lim ()lim lim (2cos )2+cos sin 3x x x x x g x x x x x x →→→===+-.另一方面，当[,)x π∈+∞时，sin 111()(2cos )3x g x x x x π=≤≤<+，因此1a ≥.。