黑龙江省实验中学2020-2021学年高二数学上学期期末考试试题文(含解析)

2020-2021学年山东省实验中学高二（上）期中数学试卷一、选择题（共8小题）.1．直线3x+2y﹣1＝0的一个方向向量是（）A．（2，﹣3）B．（2，3）C．（﹣3，2）D．（3，2）2．椭圆+＝1的离心率是（）A．B．C．D．3．两条平行直线2x﹣y+3＝0和ax﹣3y+4＝0间的距离为d，则a，d分别为（）A．a＝6，B．a＝﹣6＝﹣6，C．a＝﹣6，D．a＝6，4．如图，四棱锥P﹣OABC的底面是矩形，设，，，E是PC的中点，则（）A．B．C．D．5．空间直角坐标系O﹣xyz中，经过点P（x0，y0，z0）且法向量为的平面方程为A（x﹣x0）+B（y﹣y0）+C（z﹣z0）＝0，经过点P（x0，y0，z0）且一个方向向量为的直线l的方程为，阅读上面的材料并解决下面问题：现给出平面α的方程为3x﹣5y+z﹣7＝0，经过（0，0，0）直线l 的方程为，则直线1与平面α所成角的正弦值为（）A．B．C．D．6．已知圆x2+y2﹣6x＝0，过点（1，2）的直线被该圆所截得的弦的长度的最小值为（）A．1B．2C．3D．47．已知l，m是异面直线，A，B∈l，C，D∈m，AC⊥m，BD⊥m，AB＝2，CD＝1，则异面直线l，m所成的角等于（）A．30°B．45°C．60°D．90°8．已知F1，F2是椭圆C：＝1（a＞b＞0）的左、右焦点，A是C的左顶点，点P 在过A且斜率为的直线上，△PF1F2为等腰三角形，∠F1F2P＝120°，则C的离心率为（）A．B．C．D．二.多选题（共4小题）.9．过点P（2，3），并且在两轴上的截距相等的直线方程为（）A．x+y﹣5＝0B．2x+y﹣4＝0C．3x﹣2y＝0D．4x﹣2y+5＝0 10．已知曲线C：mx2+ny2＝1．（）A．若m＞n＞0，则C是椭圆，其焦点在y轴上B．若m＞n＞0，则C是椭圆，其焦点在x轴上C．若m＝n＞0，则C是圆，其半径为D．若m＝0，n＞0，则C是两条直线11．已知圆C：（x﹣3）2+（y﹣4）2＝1和两点A（﹣m，0），B（m，0）（m＞0）若圆C 上存在点P，使得∠APB＝90°，则m的可能取值为（）A．7B．6C．5D．812．已知F1，F2是椭圆的左、右焦点，动点在椭圆上，∠F1PF2的平分线与x轴交于点M（m，0），则m的可能取值为（）A．1B．2C．0D．﹣1三、填空题（共4小题，每小题5分，共20分）13．已知平面α的一个法向量，平面β的一个法向量，若α⊥β，则y﹣x＝．14．在棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E是线段DD1的中点，F是线段BB1的中点，则直线FC1到平面AB1E的距离为．15．已知F1，F2是椭圆的左、右焦点，弦AB过点F1，若△ABF2的内切圆的周长为2π，A，B两点的坐标是（x1，y1）（x2，y2），则|y1﹣y2|＝．16．2020年是中国传统的农历“鼠年”，有人用3个圆构成“卡通鼠”的形象，如图：Q （0，﹣3）是圆Q的圆心，圆Q过坐标原点O；点L、S均在x轴上，圆L与圆S的半径都等于2，圆S、圆L均与圆Q外切．已知直线l过点O．（1）若直线l与圆L、圆S均相切，则l截圆Q所得弦长为；（2）若直线l截圆L、圆S、圆Q所得弦长均等于d，则d＝．四、解答题（本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（10分）已知平行四边形ABCD的三个顶点的坐标为A（﹣1，4），B（﹣2，﹣1），C（2，3）．（Ⅰ）在△ABC中，求边AC中线所在直线方程；（Ⅱ）求平行四边形ABCD的顶点D的坐标及边BC的长度；（Ⅲ）求△ABC的面积．18．（12分）已知△ABC的边AB边所在直线的方程为x﹣3y﹣6＝0，M（2，0）满足，点T（﹣1，1）在AC边所在直线上且满足．（1）求AC边所在直线的方程；（2）求△ABC外接圆的方程；（3）若动圆P过点N（﹣2，0），且与△ABC的外接圆外切，求动圆P的圆心的轨迹方程．19．（12分）在如图所示的试验装置中，两个正方形框架ABCD，ABEF的边长都是1，且它们所在的平面互相垂直，活动弹子M，N分别在正方形对角线AC和BF上移动，且CM和BN的长度保持相等，记CM＝BN＝a（0＜a＜）．（Ⅰ）求MN的长；（Ⅱ）a为何值时，MN的长最小并求出最小值；（Ⅲ）当MN的长最小时，求平面MNA与平面MNB夹角的余弦值．20．（12分）椭圆C1：的长轴长等于圆C2：x2+y2＝4的直径，且C1的离心率等于，已知直线l：x﹣y﹣1＝0交C1于A、B两点．（Ⅰ）求C1的标准方程；（Ⅱ）求弦AB的长．21．（12分）如图所示，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，四边形ABB1A1为菱形，∠AA1B1＝，平面ABB1A1⊥平面ABC，AB＝BC，AC＝，E为AC的中点．（Ⅰ）求证：B1C1⊥平面ABB1A1；（Ⅱ）求平面EB1C1与平面BB1C1C所成角的大小．22．（12分）已知点A（1，0），点P是圆C：（x+1）2+y2＝8上的任意一点，线段PA的垂直平分线与直线CP交于点E．（Ⅰ）求点E的轨迹方程；（Ⅱ）过点A的直线l与轨迹E交于不同的两点M，N，则△CMN的面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值及直线l的方程；若不存在，请说明理由．参考答案一、单选题（共8小题）.1．直线3x+2y﹣1＝0的一个方向向量是（）A．（2，﹣3）B．（2，3）C．（﹣3，2）D．（3，2）解：依题意，（3，2）为直线的一个法向量，∴则直线的一个方向向量为（2，﹣3），故选：A．2．椭圆+＝1的离心率是（）A．B．C．D．解：椭圆+＝1，可得a＝3，b＝2，则c＝＝，所以椭圆的离心率为：＝．故选：B．3．两条平行直线2x﹣y+3＝0和ax﹣3y+4＝0间的距离为d，则a，d分别为（）A．a＝6，B．a＝﹣6＝﹣6，C．a＝﹣6，D．a＝6，解：根据两条平行直线2x﹣y+3＝0和ax﹣3y+4＝0，可得＝≠，可得a＝6，可得两条平行直线即6x﹣3y+9＝0和6x﹣3y+4＝0，故它们间的距离为d＝＝，故选：D．4．如图，四棱锥P﹣OABC的底面是矩形，设，，，E是PC的中点，则（）A．B．C．D．解：∵四棱锥P﹣OABC的底面是矩形，，，，E是PC的中点，∴＝+＝﹣+＝﹣+（+）＝﹣+（﹣+）＝﹣﹣+，故选：B．5．空间直角坐标系O﹣xyz中，经过点P（x0，y0，z0）且法向量为的平面方程为A（x﹣x0）+B（y﹣y0）+C（z﹣z0）＝0，经过点P（x0，y0，z0）且一个方向向量为的直线l的方程为，阅读上面的材料并解决下面问题：现给出平面α的方程为3x﹣5y+z﹣7＝0，经过（0，0，0）直线l 的方程为，则直线1与平面α所成角的正弦值为（）A．B．C．D．解：∵平面α的方程为3x﹣5y+z﹣7＝0，∴平面α的一个法向量为＝（3，﹣5，1），∵经过（0，0，0）直线l的方程为，∴直线l的一个方向向量为＝（3，2，﹣1），设直线1与平面α所成角为θ，则sinθ＝|cos＜，＞|＝||＝||＝，∴直线1与平面α所成角的正弦值为．故选：B．6．已知圆x2+y2﹣6x＝0，过点（1，2）的直线被该圆所截得的弦的长度的最小值为（）A．1B．2C．3D．4解：由圆的方程可得圆心坐标C（3，0），半径r＝3；设圆心到直线的距离为d，则过D（1，2）的直线与圆的相交弦长|AB|＝2，当d最大时弦长|AB|最小，当直线与CD所在的直线垂直时d最大，这时d＝|CD|＝＝2，所以最小的弦长|AB|＝2＝2，故选：B．7．已知l，m是异面直线，A，B∈l，C，D∈m，AC⊥m，BD⊥m，AB＝2，CD＝1，则异面直线l，m所成的角等于（）A．30°B．45°C．60°D．90°解：由AC⊥m，BD⊥m，可得AC⊥CD，BD⊥CD，故可得＝0，＝0，∴＝（）•＝+||2+＝0+12+0＝1，∴cos＜，＞＝＝，∵与夹角的取值范围为[0，π]，故向量的夹角为60°，∴异面直线l，m所成的角等于60°．故选：C．8．已知F1，F2是椭圆C：＝1（a＞b＞0）的左、右焦点，A是C的左顶点，点P 在过A且斜率为的直线上，△PF1F2为等腰三角形，∠F1F2P＝120°，则C的离心率为（）A．B．C．D．解：由题意可知：A（﹣a，0），F1（﹣c，0），F2（c，0），直线AP的方程为：y＝（x+a），由∠F1F2P＝120°，|PF2|＝|F1F2|＝2c，则P（2c，c），代入直线AP：c＝（2c+a），整理得：a＝4c，∴题意的离心率e＝＝．故选：D．二.多选题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分.）9．过点P（2，3），并且在两轴上的截距相等的直线方程为（）A．x+y﹣5＝0B．2x+y﹣4＝0C．3x﹣2y＝0D．4x﹣2y+5＝0解：当直线经过原点时，直线的斜率为k＝，所以直线的方程为y＝x，即3x﹣2y＝0；当直线不过原点时，设直线的方程为x+y＝a，代入点P（2，3）可得a＝5，所以所求直线方程为x+y＝5，即x+y﹣5＝0．综上可得，所求直线方程为：x+y﹣5＝0或3x﹣2y＝0．故选：AC．10．已知曲线C：mx2+ny2＝1．（）A．若m＞n＞0，则C是椭圆，其焦点在y轴上B．若m＞n＞0，则C是椭圆，其焦点在x轴上C．若m＝n＞0，则C是圆，其半径为D．若m＝0，n＞0，则C是两条直线解：曲线C：mx2+ny2＝1．若m＞n＞0，方程化为，得＞0，则C是椭圆，其焦点在y轴上，故A 正确；B错误；若m＝n＞0，方程化为，则C是圆，其半径为，故C错误；若m＝0，n＞0，方程化为，即y＝，则C是两条直线，故D正确．故选：AD．11．已知圆C：（x﹣3）2+（y﹣4）2＝1和两点A（﹣m，0），B（m，0）（m＞0）若圆C 上存在点P，使得∠APB＝90°，则m的可能取值为（）A．7B．6C．5D．8解：圆C：（x﹣3）2+（y﹣4）2＝1的圆心C（3，4），半径为1，∵圆心C到O（0，0）的距离为5，∴圆C上的点到点O的距离的最大值为6，最小值为4，再由∠APB＝90°，可得以AB为直径的圆和圆C有交点，得PO＝|AB|＝m，即4≤m≤6，结合选项可得，m的值可能取6和5．故选：BC．12．已知F1，F2是椭圆的左、右焦点，动点在椭圆上，∠F1PF2的平分线与x轴交于点M（m，0），则m的可能取值为（）A．1B．2C．0D．﹣1解：由椭圆方程可得F1（，0），F2（），由y1＞，可得＜x1＜，则直线PF1的方程为，即，直线PF2的方程为，即．∵M（m，0）在∠F1PF2的平分线，∴，①∵＝，＝，﹣＜m＜，∴①式转化为，即m＝，又＜x1＜，∴＜m＜．结合选项可得m的可能取值为1，0，﹣1，故选：ACD．三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13．已知平面α的一个法向量，平面β的一个法向量，若α⊥β，则y﹣x＝1．解：∵平面α的一个法向量，平面β的一个法向量，α⊥β，∴＝﹣x+y﹣1＝0，解得y﹣x＝1．故答案为：1．14．在棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E是线段DD1的中点，F是线段BB1的中点，则直线FC1到平面AB1E的距离为．解：如图，取C1C的中点G，连接BG，可得BF∥C1G，BF＝C1G，则四边形BGC1F为平行四边形，∴C1F∥BG．连接EG，得EG∥CD∥AB，EG＝CD＝AB，则四边形ABGE为平行四边形，得BG∥AE，则FC1∥AE，∵AE⊂平面AB1E，FC1⊄平面AB1E，∴FC1∥平面AB1E，∴直线FC1到平面AB1E的距离等于F到平面AB1E的距离，∵正方体ABCD﹣A1B1C1D1中的棱长为1，∴，AE＝，，则cos∠EAB1＝，∴sin，则＝．设F到平面AB1E的距离为h，由，得，即h＝．∴直线FC1到平面AB1E的距离为．故答案为：．15．已知F1，F2是椭圆的左、右焦点，弦AB过点F1，若△ABF2的内切圆的周长为2π，A，B两点的坐标是（x1，y1）（x2，y2），则|y1﹣y2|＝．解：由椭圆，得a2＝25，b2＝16，∴a＝5，b＝4，c＝＝3，∴椭圆的焦点分别为F1（﹣3，0）、F2（3，0），设△ABF2的内切圆半径为r，∵△ABF2的内切圆周长为2π，∴r＝1，根据椭圆的定义，得|AB|+|AF2|+|BF2|＝（|AF1|+|AF2|）+（|BF1|+|BF2|）＝4a＝20．∴△ABF2的面积S＝（|AB|+|AF2|+|BF2|）×r＝×20×1＝10，又∵△ABF2的面积S＝+＝×|y1|×|F1F2|+×|y2|×|F1F2|＝×（|y1|+|y2|）×|F1F2|＝3|y2﹣y1|（A、B在x轴的两侧），∴3|y1﹣y2|＝10，解得|y1﹣y2|＝．故答案为：．16．2020年是中国传统的农历“鼠年”，有人用3个圆构成“卡通鼠”的形象，如图：Q （0，﹣3）是圆Q的圆心，圆Q过坐标原点O；点L、S均在x轴上，圆L与圆S的半径都等于2，圆S、圆L均与圆Q外切．已知直线l过点O．（1）若直线l与圆L、圆S均相切，则l截圆Q所得弦长为3；（2）若直线l截圆L、圆S、圆Q所得弦长均等于d，则d＝．解：（1）根据条件得到两圆的圆心坐标分别为（﹣4，0），（4，0），设公切线方程为y＝kx+m（k≠0）且k存在，则，解得k＝±，m＝0，故公切线方程为y＝±x，则Q到直线l的距离d＝，故l截圆Q的弦长＝2＝3；（2）设方程为y＝kx+m（k≠0）且k存在，则三个圆心到该直线的距离分别为：d1＝，d2＝，d3＝，则d2＝4（4﹣d12）＝4（4﹣d22）＝4（9﹣d32），即有（）2＝（）2，①4﹣（）2＝9﹣（）2，②解①得m＝0，代入②得k2＝，则d2＝4（4﹣）＝，即d＝，故答案为：3；．四、解答题（本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（10分）已知平行四边形ABCD的三个顶点的坐标为A（﹣1，4），B（﹣2，﹣1），C（2，3）．（Ⅰ）在△ABC中，求边AC中线所在直线方程；（Ⅱ）求平行四边形ABCD的顶点D的坐标及边BC的长度；（Ⅲ）求△ABC的面积．解：（1）设AC边的中点为M，则M（，），∴直线BM斜率k＝＝，∴直线BM的方程为y+1＝（x+2），化为一般式可得9x﹣5y+13＝0，∴AC边中线所在直线的方程为：9x﹣5y+13＝0（2）设点D坐标为（x，y），由已知得M为线段BD中点，∴有，解得，∴D（3，8），∵B（﹣2，﹣1），C（2，3）∴；（3）由B（﹣2，﹣1），C（2，3）可得直线BC的方程为x﹣y+1＝0，∴点A到直线BC的距离d＝＝2，∴△ABC的面积S＝×4×2＝8．18．（12分）已知△ABC的边AB边所在直线的方程为x﹣3y﹣6＝0，M（2，0）满足，点T（﹣1，1）在AC边所在直线上且满足．（1）求AC边所在直线的方程；（2）求△ABC外接圆的方程；（3）若动圆P过点N（﹣2，0），且与△ABC的外接圆外切，求动圆P的圆心的轨迹方程．解：（1）∵∴AT⊥AB，又T在AC上∴AC⊥AB，△ABC为Rt△ABC，又AB边所在直线的方程为x﹣3y﹣6＝0，所以直线AC的斜率为﹣3．又因为点T（﹣1，1）在直线AC上，所以AC边所在直线的方程为y﹣1＝﹣3（x+1）．即3x+y+2＝0．（2）AC与AB的交点为A，所以由解得点A的坐标为（0，﹣2），∵∴M（2，0）为Rt△ABC的外接圆的圆心又r＝．从△ABC外接圆的方程为：（x﹣2）2+y2＝8．（3）因为动圆P过点N，所以|PN|是该圆的半径，又因为动圆P与圆M外切，所以，即．故点P的轨迹是以M，N为焦点，实轴长为的双曲线的左支．因为实半轴长，半焦距c＝2．所以虚半轴长．从而动圆P的圆心的轨迹方程为．19．（12分）在如图所示的试验装置中，两个正方形框架ABCD，ABEF的边长都是1，且它们所在的平面互相垂直，活动弹子M，N分别在正方形对角线AC和BF上移动，且CM和BN的长度保持相等，记CM＝BN＝a（0＜a＜）．（Ⅰ）求MN的长；（Ⅱ）a为何值时，MN的长最小并求出最小值；（Ⅲ）当MN的长最小时，求平面MNA与平面MNB夹角的余弦值．解：如图建立空间直角坐标系，A（1，0，0），C（0，0，1），F（1，1，0），E（0，1，0），∵CM＝BN＝a，∴M（，0，1﹣），N（，，0）．（Ⅰ）＝；（Ⅱ）＝，当a＝时，|MN|最小，最小值为；（Ⅲ）由（Ⅱ）可知，当M，N为中点时，MN最短，则M（，0，），N（，，0），取MN的中点G，连接AG，BG，则G（，，），∵AM＝AN，BM＝BN，∴AG⊥MN，BG⊥MN，∴∠AGB是平面MNA与平面MNB的夹角或其补角．∵，，∴cos＜＞＝＝．∴平面MNA与平面MNB夹角的余弦值是．20．（12分）椭圆C1：的长轴长等于圆C2：x2+y2＝4的直径，且C1的离心率等于，已知直线l：x﹣y﹣1＝0交C1于A、B两点．（Ⅰ）求C1的标准方程；（Ⅱ）求弦AB的长．解：（Ⅰ）由题意可得2a＝4，∴a＝2，∵，∴c＝1，∴b＝，∴椭圆C1的标准方程为：．（Ⅱ）联立直线l与椭圆方程，消去y得：7x2﹣8x﹣8＝0，设A（x1，y1），B（x2，y2），则，，∴|AB|＝＝＝．21．（12分）如图所示，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，四边形ABB1A1为菱形，∠AA1B1＝，平面ABB1A1⊥平面ABC，AB＝BC，AC＝，E为AC的中点．（Ⅰ）求证：B1C1⊥平面ABB1A1；（Ⅱ）求平面EB1C1与平面BB1C1C所成角的大小．【解答】（Ⅰ）证明：∵四边形ABB1A1为菱形，AB＝BC，AC＝，∴AC2＝AB2+BC2，得AB⊥BC，又平面ABB1A1⊥平面ABC，平面ABB1A1∩平面ABC＝AB，∴BC⊥平面ABB1A1，又B1C1∥BC，∴B1C1⊥平面ABB1A1；（Ⅱ）取A1B1的中点O，A1C1的中点N，连接OA，ON，∵B1C1⊥平面ABB1A1，∴ON⊥平面ABB1A1，得ON⊥OA1，ON⊥OA，又四边形ABB1A1为菱形，，O是A1B1的中点，∴OA⊥A1B1，故OA1，ON，OA两两互相垂直．以O为坐标原点，分别以OA1、ON、OA所在直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系，∴B1（﹣1，0，0），C1（﹣1，2，0），E1（﹣1，1，），B（﹣2，0，），由图可知，平面EB1C1的一个法向量为，设平面BB1C1C的一个法向量为，则，取z＝1，得．设平面EB1C1与平面BB1C1C所成角的大小为θ，则cosθ＝|cos＜＞|＝||＝，又∵θ∈（0，]，∴，故平面EB1C1与平面BB1C1C所成角的大小为．22．（12分）已知点A（1，0），点P是圆C：（x+1）2+y2＝8上的任意一点，线段PA的垂直平分线与直线CP交于点E．（Ⅰ）求点E的轨迹方程；（Ⅱ）过点A的直线l与轨迹E交于不同的两点M，N，则△CMN的面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值及直线l的方程；若不存在，请说明理由．解：（Ⅰ）由题意可知：|EP|＝|EA|，|CE|+|EP|＝2，∴|CE|+|EA|＝2＞|CA|＝2，∴点E的轨迹是以C，A为焦点的椭圆，且2a＝2，c＝1，∴其轨迹方程为．（Ⅱ）设M（x1，y1），N（x2，y2），不妨设y1＞0，y2＜0，由题意可知，直线l的斜率不为零，可设直线l的方程为x＝my+1，联立方程，消去x得：（m2+2）y2+2my﹣1＝0，则，，∴＝，∴＝＝＝，当且仅当即m＝0时，△CMN的面积取得最大值，此时直线l的方程为x＝1．。

黑龙江省实验中学2020-2021学年高二数学上学期期中试题 理考试时间：120分钟 总分：150分I 卷（选择题共60分）一、选择题（每题5分，共12小题） 1．直线10x -+=的倾斜角为（ ） A ．150°B ．120°C ．60°D ．30°2. 若x,y 满足约束条件x 0x+y-30z 2x-2y 0x y ≥⎧⎪≥=+⎨⎪≤⎩，则的取值范围是（ ）A ．[0,6]B ．[0,4]C ．[6, +∞）D ．[4, +∞）3．过点()()1,1,1,1A B --，且圆心在直线20x y +-=上的圆的方程是（ ） A ．()()22314x y -++= B ．()()22314x y ++-= C ．()()22114x y -+-=D ．()()22114x y +++=4．焦点在x 轴上的椭圆222125x y a += 焦距为8，两个焦点为12,F F ，弦AB 过点1F ，则2ABF 的周长为（ ） A ．20B ．28C．D．5．设点()2,3A -，()3,2B --，直线l 过点()1,1P 且与线段AB 相交，则l 的斜率k 的取值范围是（ ） A ．34k ≥或4k ≤- B ．344k -≤≤C ．344k ≤≤ D ．以上都不对6．已知1F ，2F 是椭圆C 的两个焦点，P 是C 上的一点，若12PF PF ⊥，且2160PF F ∠=︒，则C 的离心率为（ ） A．12-B．2C．12D17．若圆C ：x 2＋y 2－2(m －1)x ＋2(m －1)y ＋2m 2－6m ＋4＝0过坐标原点，则实数m 的值为( ) A ．2或1 B ．－2或－1 C ．2D ．18．设e 是椭圆2214x y k +=的离心率，且1,12e ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则实数k 的取值范围是（ ）A ．()0,3B ．1633,⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．()0,2D ．()160,3,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭9．如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，25AB =，4=AD ，异面直线BD 与1AC 所成角的余弦值为115，则该长方体外接球的表面积为（ ）A ．50πB ．100πC ．400πD ．500π310．已知椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的右焦点为F ，离心率22，过点F 的直线l 交椭圆于,A B 两点，若AB 中点为(1,1)，则直线l 的斜率为（ ）A ．2B ．2-C ．12-D ．1211．已知半圆()()()221242x y y -+-=≥与直线(1)5y k x =-+有两个不同交点，则实数k 的取值范围是（ ） A ．55(22-B ．33[,]22-C ．53[]2D ．3553[,(,]22- 12．已知椭圆2222:1x y C a b +=，0a b >>，12,F F 分别为椭圆的左右焦点，若椭圆C 上存在点()()000,0P x y x ≥使得1260PF F ∠=，则椭圆的离心率的取值范围为（ ） A ．22⎫⎪⎪⎣⎭B ．2⎛ ⎝⎦C ．1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭D ．10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦II 卷（非选择题共90分）二、填空题（每题5分，共4小题）13．已知直线1:10l ax y a -++=，直线()2:3430l x a y +-+=，若12//l l ，则实数a 的值为_______. 14．圆C 1：x 2+y 2+2x+2y=0和圆C 2：x 2+y 2﹣6x+2y+6=0的公切线有____ 条.15．点M 是椭圆221916x y +=上任意点，则点M 到直线70x y +-=的距离的最大值为____________.16．三棱锥P ABC -中，PA ⊥平面ABC ，223PA AC ==，1AB =，60ABC ∠=︒，三棱锥P ABC -的外接球的表面积为____________．三、解答题17．已知圆C ：()()221+11x y --=（1）求过点A ()24，且与圆C 相切的直线方程. （2）若(),P x y 为圆C 上的任意一点，求()()2223x y +++的取值范围.18．已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>的离心率为3，短轴的一个端点到右焦点的距离为2．()1求椭圆C 的方程；()2设直线l ：12y x m =+交椭圆C 于A ，B 两点，且5AB =，求m 的值．19．已知多面体EF ABCD -中，正方形ADFE ⊥直角梯形ABCD ，//,45,5,1AB CD BCD FC AD ∠=︒==，P 为FD 的中点．（1）证明：//AP 平面BCF ；（2）求直线CD 与平面BCF 所成角的正弦值．20．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的一个顶点(2,0)A ,过左焦点且垂直于x 轴的直线截椭圆C 得到的弦长为2,直线(1)y k x =-与椭圆C 交于不同的两点M ,N . (1)求椭圆C 的方程;(2)当AMN ∆的面积为10时,求实数k 的值. 21．如图，四棱锥P ABCD -，//AB CD ，90BCD ∠=︒，224AB BC CD ===，PAB ∆为等边三角形，平面PAB ⊥平面ABCD ，Q 为PB 中点.（1）求证：AQ ⊥平面PBC ； （2）求二面角B PC D --的余弦值.22．已知F 为椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的右焦点，点()1,P m 在C 上，且PF x ⊥轴，椭圆C 的离心率为12. （1）求椭圆C 的方程；（2）若直线:2l y kx =+与椭圆C 相交于A ，B 两点，且•2OA OB >（O 为坐标原点），求k 的取值范围.参考答案1．D直线x 3-+1＝0化为斜截式为y 3=33∴直线的倾斜角α满足tanα3=结合α∈[0°，180°），可得α＝30° 故选D ． 2．D 【解析】解：x 、y 满足约束条件，表示的可行域如图：目标函数z=x+2y 经过C 点时，函数取得最小值， 由解得C （2，1），目标函数的最小值为：4 目标函数的范围是[4，+∞）． 故选D ．3．C本题作为选择题，可采用排除法，根据圆心在直线20x y +-=上，排除B 、D ， 点()1,1B -在圆上，排除A 故选C 4．D解：因为焦点在x 轴上的椭圆222125x y a += 焦距为8，所以22254a -=，解得41a =如图，根据椭圆的定义可得122AF AF a +=，122BF BF a +=，所以22211224441ABF CAB AF BF AF BF AF BF a =++=+++==故选：D5．A根据题意，设直线l 的方程为1(x 1)y k -=-，即10kx y k -+-=， 直线l 过(1,1)P 且与线段AB 相交，则A 、B 在l 的两侧或在直线上， 则有(231)(321)0k k k k ++--++-，即(4)(43)0k k +-， 解得：34k或4k -， 故选：A ． 6．D解：在12F PF ∆中，122190,60F PF PF F ∠=∠=︒设2||PF m =，则12122,3c F F m PF m ===， 又由椭圆定义可知122(31)a PF PF m =+= 则离心率2312(31)c c e a a m====+， 故选D. 7．C若圆C ：x 2＋y 2－2(m －1)x ＋2(m －1)y ＋2m 2－6m ＋4＝0过坐标原点，则有22640m m +－＝且()()()222414142640m m m m +-+>－－－. 解得2m =.故选C. 8．D当焦点在x 轴时41,12k e k -⎛⎫=⎪⎝⎭， 4116,1,,43k k k -⎛⎫⎛⎫∴∈∴∈+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 当焦点在y 轴时()41,10,32k e k -⎛⎫=∴∈ ⎪⎝⎭，所以实数k 的取值范围是()160,3,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭.故选：D. 9．B连AC 与BD 交于O 点，则O 为AC 中点， 取1CC 中点E ，连,BE OE ，则1//AC OE ，所以BD 与OE 所成的角即为异面直线BD 与1AC 所成的角， 设CE x =，则22216BE EC BC x =+=+，25AB =，4=AD ，2211120163222OC OB BD AB AD ===+=+=，2229OE OC CE x =+=+， 在△OBE 中，由余弦定理222cos 2OB OE BE EOB OB OE +-∠=⨯2222991606969x x x x++-+==>++，所以21cos 1569EOB x ∠==+， 解得4x =，则128CC x ==，所以长方体的体对角线长为20166410++=，则长方体的外接球的半径为5，该长方体外接球的表面积为24π5100π⨯=.故选：B. 10．C 由题得2222222242,4()2,2c c a a b a a b a =∴=∴-=∴=. 设1122(,),(,)A x y B x y ，由题得1212+=2+=2x x y y ，，所以2222221122222222b x a y a b b x a y a b ⎧+=⎨+=⎩， 两式相减得2212121212()()a ()()0b x x x x y y y y +-++-=， 所以2212122()2a ()0b x x y y -+-=，所以221212()240()y y b bx x -+=-，所以1120,2k k +=∴=-. 故选C 11．D直线(1)5y k x =-+过定点M (1,5)， 如图：MP 、MQ 与圆切于P 、Q 两点，(1,2)A -，(3,2)B ，523112MA k -==-（-），523132MB k -==--，设过M 的圆的切线方程为5(1)y k x -=-，即50kx y k -+-=， 圆心(1,2)到直线50kx y k -+-=221k =+，解得5k =，所以5MP k =5MQ k =， 由图可知，352k -≤<532k <≤， 故选：D12．D设1PF m = ，22PF a m =-，若椭圆C 上存在点()()000,0P x y x ≥使得1260PF F ∠=，m a ∴≥ ，()2222422cos60a m m c m c ∴-=+-⋅⋅， 22224442a am m m c mc ∴-+=+-即224442a c m a c-=- ，222244424442a c a c a ca c aa c⎧-<+⎪⎪-∴⎨-⎪≥⎪-⎩ 12c a ⇒≤ ， 即12e ≤， 01e <<102e ∴<≤. 故选D 13．1或3已知直线1:10l ax y a -++=，直线()2:3430l x a y +-+=，若12//l l ，则()()43331a a a a ⎧-=-⎪⎨≠+⎪⎩，解得1a =或3a =. 故答案为：1或3. 14. 【答案】4根据题意，圆C 1：x 2+y 2+2x +2y =0的标准方程为（x +1）2+（y +1）2=2，其圆心坐标为C 1（–1，–1），半径RC 2：x 2+y 2–6x +2y +6=0的标准方程为（x –3）2+（y +1）2=4，其圆心坐标为C 2（3，–1），半径r =2，圆心距离C 1C 2=3–（–1），即两圆相外离，则公切线有4条，故答案为4． 15．设与直线70x y +-=平行的直线x y m +=与椭圆221916x y+=相切，联立221916x y x y m ⎧+=⎪⎨⎪+=⎩得，22251891440x mx m -+-=,则()22(18)42591440k k ∆=-⨯⨯-=， 解得5k =或5k =-，由椭圆和70x y +-=的位置关系，取离直线70x y +-=远的切线5x y +=，此时切点M 是椭圆221916x y +=上到直线70x y +-=的距离最大的点，等于两平行直线的距离226211d ==+，故答案为：62 16．16π解：如图，在△ABC 中，由正弦定理得sin sin AC AB B C= ⇒sinC=12，∵C＜B ，∴C=30°，∴A=90°，又∵PA⊥平面ABC ，AP ，AC ，AB 两两垂直，故可将此三棱锥放入一个长、宽、高分别1，3，23为的长方体内，三棱锥的四个顶点亦为长方体的顶点，其外接球为长方体外接球．易得外接球半径为2，故外接球表面积为4πR 2=16π． 故答案为16π．17．（1）2x =或4340x y -+=（2）[16,36]（1）圆C ：()()221+11x y --=的圆心为(1,1)C ，半径1r =，当经过点A ()24，的直线l 与x 轴垂直时，方程为x =2，恰好到圆心C 到直线的距离等于半径，此时直线l 与圆相切，符合题意；当经过点A ()24，的直线l 与x 轴不垂直时, 设直线l 为4(2)y k x -=-,即240kx y k --+=，由圆C 到直线的距离d =r ，得211k =+，解得43k =，此时直线的方程为44(2)3y x -=-，化简得4340x y -+=，综上圆的切线方程为2x =或4340x y -+=，（2）()()2223x y +++可以看作圆上动点(,)x y 与定点(2,3)--距离的平方，设圆心与点(2,3)--的距离为d ，则22(12)(13)5d =+++=，所以圆上动点与定点(2,3)--距离的最大值为6d r +=，最小值为4d r -=，故()()2223x y +++的最大值为36，最小值为16，即()()2223x y +++的取值范围[16,36].18．(1)22 14x y +=；(2) 1m =±.解：()1由题意可得2222232a b c ca ⎧=+=⎪⎨=⎪⎩，解得：2a =，1b =，∴椭圆C 的方程为2214x y +=；()2设()11,A x y ，()22,.B x y联立221244y x m x y ⎧=+⎪⎨⎪+=⎩，得222220x mx m ++-=，122x x m ∴+=-，21222x x m =-， 2221251488AB k x x m m ∴=+-=⨯-+2525m =⋅-=，解得1m =±．19．（1）证明见解析；（2）6.(1)如图，因为正方形ADFE ⊥直角梯形ABCD , FD AD ⊥,正方形ADFE 直角梯ABCD= AD ，所以FD ⊥平面ABCD ，所以FD CD ⊥,故222CD FC FD -=，又45BCD ∠=︒，解三角形可得1AB =,取FC 的中点Q ，连接PQ ，BQ ，则//PQ CD ,12PQ CD =,又因为//DC AB ,12AB CD =,所以//PQ AB ,PQ AB =,所以四边形ABQP 为平行四边形，所以//AP BQ ，因为BQ ⊂平面BCF ，AP ⊄平面BCF ,所以//AP 平面BCF（2）由1,5ADDF FC ===，则22512DC FC DF =-=-=如图，以D 为坐标原点，DA ，DC ，DF 分别为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，则(0,0,0),(0,2,0),(1,1,0),(0,01)D C B F ,所以(0,2,0)CD →=，(1,1,0)BC →=-,(0,2,1)CF →=-,设平面BCF 的法向量n (x,y,z)→=，则00BC n CF n ⎧⋅=⎨⋅=⎩,即020x y y z -+=⎧⎨-+=⎩，令1y =，则1,2x z ==，所以(1,1,2)n →=， 故||6sin 626||||CD n CD n θ→→→→⋅===即直线CD 与平面BCF 620．(1)22:142x y C +=(2)1k =±.解:(1)∵2a =,222b a =,∴2b =椭圆22:142x y C +=(2)设()()1122,,,M x y N x y ,则由22(1)142y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩消y,得()2222124240k x k x k +-+-=∵直线(1)y k x =-恒过椭圆内一点(1,0),∴>0∆恒成立.由根与系数的关系,得22121222424,1212k k x x x x k k-+==++ 121211122AMN S y y kx kx ∆=⨯⨯-=⨯-2||123k k ===+ 即427250k k --=,解得1k =±.21．（1）见解析；（2）14- （1）证明：因为//AB CD ，90BCD ∠=︒，所以AB BC ⊥，又平面PAB ⊥平面ABCD ，且平面PAB ⋂平面ABCD AB =，所以BC ⊥平面PAB .又AQ ⊂平面PAB ，所以BC AQ ⊥，因为Q 为PB 中点，且PAB ∆为等边三角形，所以PB AQ ⊥.又PB BC B ⋂=，所以AQ ⊥平面PBC .（2）取AB 中点为O ，连接PO ，因为PAB ∆为等边三角形，所以PO AB ⊥，因为平面PAB ⊥平面ABCD ，所以PO ⊥平面ABCD ，所以PO OD ⊥，由224AB BC CD ===，90ABC ∠=︒，可知//OD BC ，所以⊥OD AB .以AB 中点O 为坐标原点，分别以OA ，OD ，OP 所在直线为x ，y ，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系O xyz -.所以()2,0,0A ，()0,2,0D ，()2,2,0C -，(0,0,23P ，()2,0,0B -， 所以(0,2,23DP =-，()2,0,0CD =，由（1）知，AQ 为平面PBC 的法向量，因为Q 为PB 的中点， 所以()1,0,3Q -， 所以(3AQ =-，设平面PCD 的法向量为(),,n x y z =，由00n CD n DP ⎧⋅=⎨⋅=⎩，得202230x y z =⎧⎪⎨-+=⎪⎩， 取1z =，则()0,3,1n =. 所以23cos ,3331AQ n AQ n AQ n ⋅==+⋅+ 14=. 因为二面角B PC D --为钝角，所以，二面角B PC D --的余弦值为14-. 22．（1）22143x y +=；（2）2112,2222⎛⎫⎛--⋃ ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭（1）因为(c,0)F 为椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的右焦点，点()1,P m 在C 上，且PF x ⊥轴，所以1c =；又椭圆C 的离心率为12，所以2a =，因此222413b a c =-=-=， 所以椭圆C 的方程为22143x y +=；（2）设11(,)A x y ，22(,)B x y 由222143y kxx y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得 22(34)1640k x kx +++=， 所以1221634kx x k +=-+，122434x x k =+， 故2212121212228(2)(2)2()4434k y y kx kx k x x k x x k -=++=+++=++， 由2OA OB •>，得12122x x y y +>，即224284234k k -+>+， 整理得212k <，解得k <<；又因2221616(34)0k k ∆=-+>，整理得214k >， 解得12k >或12k <-；综上，k的取值范围是11,2222⎛⎫⎛--⋃⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭.。

2020-2021学年黑龙江省哈师大附中高二下学期期中数学复习卷(2)一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）1.若复数(a∈R,i是虚数单位)是纯虚数，则a的值为()A. −2B. 2C. 1D. −12.设0<a<b，则下列不等式中正确的是()A. a<b<<B. a<<<bC. a<<b<D. <a<<b3.设α，β是两个不同的平面，直线m⊂α，则“m⊥β”是“α⊥β”的()条件A. 充分而不必要B. 必要而不充分C. 充分必要D. 既不充分也不必要4.当时，复数在复平面内对应的点位于：A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限5.下列结论正确的是()A. 当且时，B. 当时，C. 当时，的最小值为2D. 当时，无最大值6.已知函数，则的值为()A. B. C. D.7.设函数f(x)是定义在R上周期为2的可导函数，若f(2)=2，且f′(2)=−4，则曲线y=f(x)在点(0,f(0))处切线方程是()x+2A. y=−2x+2B. y=−4x+2C. y=4x+2D. y=−128.秦九韶是我国南宋时期的数学家，普州(现四川省安岳县)人，他在所著的《数书九章》中提出的多项式求值的秦九韶算法，至今仍是比较先进的算法．如图是实现该算法的程序框图，执行程序框图，若输入的a为2，2，5，x与n均为2，则输出的s等于()A. 34B. 17C. 12D. 79.执行如图所示的程序框图，输出的a值为()A. 3B. 5C. 7D. 910.过椭圆中心的直线与椭圆交于A、B两点，右焦点为(c,0)，则的最大面积是()A. AbB. bcC. AcD.11.下列有关命题的说法正确的是()A. 命题“若x2=1，则x=1”的否命题为：“若x2=1，则x≠1”B. 命题“∃x∈R使得x2+x+1<0”的否定是：“γx∈R，均有x2+x+1<0”C. 在△ABC中，“A>B”是“cos2A<cos2B”的充要条件D. “x≠2或y≠1”是“x+y≠3”的非充分非必要条件12.已知双曲线的离心率为，若抛物线的焦点到双曲线的渐近线的距离为，则抛物线的方程为()．A. B. C. D.二、单空题（本大题共4小题，共20.0分）13.函数f(x)=x−√x，则f′(1)=______ ．14.华罗庚数学小组的同学们在图书馆发现一块古代楔形文字泥板的图片，同学们猜测它是一种乘法表的记录，请你根据这个猜测，判定表示______？(如图)15.计算机中常用的十六进制是逢16进1的记数制，采用数字0～9和字母A～F共16个记数符号，这些符号与十进制的数对应关系如下表：十六进制0123456789A B C D E F十进制0123456789101112131415例如，用十六进制表示：E+D=1B，则用十六进制表示：B×C=______ ．16.在下图所示的三角形数阵中，用a i,j(i≥j)表示第i行第j个数(i,j∈N∗),已知a i,1=a i,i=1−1(i∈N∗),且当i≥3时，每行中的其他各数均等于其“肩膀”上的两个数之和，即a i,j= 2i−1a i−1,j−1+a i−1,j(2≤j≤i−1),若a m,2>100,则正整数m的最小值为______________．三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.选做题22.(本小题满分10分)如图设为圆的内接三角形，为圆的弦，且，过点作圆的切线与DB的延长线交于点E，AD与BC交于点F。

黑龙江省绥化市兰西第一中学2021-2022学年高二数学理上学期期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 已知抛物线的焦点与双曲线的一个焦点重合，则该双曲线的渐近线方程为（）A．y=±2x B．y=±4x C．D．参考答案：A【考点】直线与抛物线的位置关系；直线与椭圆的位置关系．【分析】求出抛物线的焦点坐标，利用是倾向于抛物线的焦点坐标相同，求出a，然后求解双曲线的渐近线方程．【解答】解：抛物线的焦点（0，﹣），抛物线的焦点与双曲线的一个焦点重合，可得： =，解得a=﹣1，该双曲线的渐近线方程为：y=±2x．故选：A．2. 已知抛物线的焦点恰为双曲线的右焦点,且两曲线交点的连线过点,则双曲线的离心率为（）A. B. C. D.参考答案：D3. 在极坐标系中，圆心坐标是（），半径为的圆的极坐标方程是（）A．（）．B．（）．C．（）．D．（）．参考答案：B4. 如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90，PA⊥平面ABC，则四面体P-ABC中共有（）个直角三角形A.4B.3C.2D.1参考答案：A5. 根据偶函数定义可推得“函数在上是偶函数”的推理过程是（）A．归纳推理 B.类比推理 C.演绎推理 D.非以上答案参考答案：C略6. 设3，x，5成等差数列，则x为（）A．3 B．4 C．5 D．6参考答案：B【考点】等差数列的通项公式．【分析】由3，x，5成等差数列，可得2x=3+5，解出即可．【解答】解：∵3，x，5成等差数列，∴2x=3+5，解得x=4．故选：B．7. 边长为5，7，8的三角形的最大角与最小角的和是（）A．90°B．120°C．135°D．150°参考答案：B【考点】余弦定理．【分析】设长为7的边所对的角为θ，根据余弦定理可得cosθ的值，进而可得θ的大小，则由三角形内角和定理可得最大角与最小角的和是180°﹣θ，即可得答案．【解答】解：根据三角形角边关系可得，最大角与最小角所对的边的长分别为8与5，设长为7的边所对的角为θ，则最大角与最小角的和是180°﹣θ，有余弦定理可得，cosθ==，易得θ=60°，则最大角与最小角的和是180°﹣θ=120°，故选B．【点评】本题考查余弦定理的运用，解本题时注意与三角形内角和定理结合分析题意．8. 执行如图所示的程序框图，若输出S的值为0.99，则判断框内可填入的条件是（）A．i＜100 B．i≤100C．i＜99 D．i≤98参考答案：A【考点】程序框图．【分析】由程序框图知：算法的功能是求S=++…+=1﹣的值，确定跳出循环的i值，从而得判断框应填的条件．【解答】解：由程序框图知：算法的功能是求S=++…+=1﹣的值，∵输出的结果为0.99，即S=1﹣=0.99，∴跳出循环的i=100，∴判断框内应填i≤99或i＜100．故选：A．9. 设函数的导函数为，对任意x∈R都有> 成立，则A. 3f（ln2）＜2f（ln3）B. 3f（ln2）＝2f（ln3）C. 3f（ln2）＞2f（ln3）D. 3f（ln2）与2f（ln3）的大小不确定参考答案：C10. 一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为A、 B、 C、18 D、20参考答案：B二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且△ABC的外接圆半径为1，若，则△ABC的面积为______．参考答案：分析：由正弦定理可把其中一边化为角，从而由及由公式求得面积.详解：由题意得，即，∴，故答案为.点睛：正弦定理：，利用它把三角形的边角与外接圆半径建立联系，这样可得三角形面积为.12. 过圆外一点，引圆的两条切线，切点为，则直线的方程为________。