当前位置：文档之家 › 九年级数学下册：1.5 第1课时 抛物线形二次函数学案

九年级数学下册：1.5 第1课时 抛物线形二次函数学案

  • 格式：docx
  • 大小：133.62 KB
  • 文档页数：4

1.5二次函数的应用
第1课时抛物线形二次函数
学习目的
【知识与技能】
能够分析和表示不同背景下实际问题中变量之间的二次函数关系,并能利用二次函数的知识解决实际问题.
【过程与方法】
经历运用二次函数解决实际问题的探究过程,进一步体验运用数学方法描述变量之间的依赖关系,体会二次函数是解决实际问题的重要模型,提高运用数学知识解决实际问题的能力.
【情感态度】
1.体验函数是有效的描述现实世界的重要手段,认识到数学是解决问题和进行交流的重要工具.
2.敢于面对在解决实际问题时碰到的困难,积累运用知识解决问题的成功经验.
【学习重点】
用抛物线的知识解决拱桥类问题.
【学习难点】
将实际问题转化为抛物线的知识来解决.
自学过程
一、情境导入，初步认识
页的内容，完成下面各题.
通过预习P
29
动脑筋中“拱顶离水面的高度变化情况”，你准备采取什么办法？
1.要求出教材P
29
图1-18，你猜测是什么样的函数呢？
2.根据教材P
29
3.怎样建立直角坐标系比较简便呢？试着画一画它的草图看看！
4.根据图象你能求出函数的解析式吗？试一试！
二、思考探究，获取新知
探究直观图象的建模应用
例1某工厂的大门是一抛物线形水泥建筑物，
大门的地面宽度为8m，两侧距地面3m高处各
有一盏壁灯，两壁灯之间的水平距离是6m,如
图所示，则厂门的高（水泥建筑物厚度不计，
精确到0.1m)约为（）
A.6.9m
B.7.0m
C.7.1m
D.6.8m
【分析】因为大门是抛物线形，所以建立二次函数模型来解决问题.先建立平面直角坐标系,如图,设大门地面宽度
为AB,两壁灯之间的水平距离为CD,则B,D坐标
分别为(4,0),(3,3),设抛物线解析式为y=ax2+h.
把（3，3），（4，0）代入解析式求得h≈6.9.故选A.
【自学说明】根据直观图象建立恰当的直角坐标系和解析式.
例2小红家门前有一座抛物线形拱桥,如图,
当水面在l时，拱顶离水面2m,水面宽4m,水面
下降1m时，水面宽度增加多少？
【分析】拱桥类问题一般是转化为二次函数的知识来解决.
解:由题意建立如图的直角坐标系,设抛物线的解析式y=ax2,
∵抛物线经过点A（2，-2），∴-2=4a,
∴a=-11 ,即抛物线的解析式为y=-x2, 22
当水面下降1m时，点B的纵坐标为-3.
将y=-3代入二次函数解析式，得y=-1
2x2,
得-3=-1
2x2→x2=6→x=±6,∴此时水面宽度为2|x|=26m.
即水面下降1m时，水面宽度增加了(26-4)m.
【自学说明】用二次函数知识解决拱桥类的实际问题一定要建立适当的直角坐标系；抛物线的解析式假设恰当会给解决问题带来方便.
三、运用新知，深化理解
1.某溶洞是抛物线形，它的截面如图所示.现测得水面宽
AB=1.6m,溶洞顶点O到水面的距离为2.4m,在图中直角坐标系内，溶洞所在抛物线的函数关系式是（）
A.y=
151512
x2B.y=x2+
445
151512
C.y=-x2
D.y=-x2+
445
2.某公园草坪的防护栏是由100段形状相同的抛物线形组成的，为了牢固起见，每段护栏需要间距0.4m加设一根不锈钢的支柱，防护栏的最高点距底部0.5m（如图），则这条防
护栏需要不锈钢支柱的总长度至少为（）
A.50m
B.100m
C.160m
D.200m
第2题图第3题图
3.如图，济南建邦大桥有一段抛物线形的拱梁，抛物线的表达式为y=ax2+bx,小强骑自行车从拱梁一端O沿直线匀速穿过拱梁部分的桥面OC，当小强骑自行车行驶10秒时和26秒时拱梁的高度相同，则小强骑自行车通过拱梁部分的桥面OC共需秒.
4.(浙江金华中考）如图，足球场上守门员在O处
踢出一高球，球从离地面1米处飞出（A在y轴上），运
动员乙在距O点6米的B处发现球在自己的正上方达到最
高点M，距地面约4米高，球落地后又一次弹起.据实验,足球在草坪上弹起后的抛物线与原来的抛物线形状相同,最大高度减少到原来最大高度的一半.
(1)求足球开始飞出到第一次落地时,该抛物线的表达式;
(2)足球第一次落地点C距守门员是多少米?(取43≈7,26≈5)
(3)运动员乙要抢到第二个落点D，他应再向前跑多少米？
【自学说明】学生自觉完成上述习题，加深对新知的理解，并适当加以分析，提示如第4题，由图象的类型及已知条件，设其解析式为y=a(x-6)2+4,过点A（0，1），可求出a;（2）令y=0可求出x的值，x＜0舍去；（3）令y=0,求出C点坐标（6+43,0),设抛物线CND为y=-
1
12(x-k)2+2,代入C点坐标可求出k值(k＞6+43).再令y=0可求出C、D的坐标，进而求出BD.
【答案】1.C 2.C 3.36 4.解:(1)y=-1
12(x-6)2+4(2)令y=0,可求C点到守门员约13
米.(3)向前约跑17米.
四、预习小结
你学到了什么?还有哪些疑惑?
建立二次实际问题的一般步骤:(1)根据题意建立适当的平面直角坐标系.(2)把已知条件转化为点的坐标.(3)合理设出函数解析式.(4)利用待定系数法求出函数解析式.(5)根据求得的解析式进一步分析,判断并进行有关的计算.。

合集下载

九年级数学下册《二次函数》教案、教学设计

九年级数学下册《二次函数》教案、教学设计

（二）教学设想
1.针对重点内容的设想
（1）采用直观演示法，通过绘制二次函数图像，引导学生观察、分析图像性质，使他们在直观感知的基础上，形成对二次函数性质的深入理解。
（2）设计具有层次性的练习题，由浅入深地让学生掌握二次函数的定义、图像和性质，使他们在解决问题的过程中，逐步提高自己的数学能力。
2.针对难点内容的设想
（三）学生小组讨论
1.分组讨论：将学生分成若干小组，讨论以下问题：
a.二次函数的定义是什么？各参数有什么含义？
b.二次函数的图像有哪些性质？如何判断开口方向、对称轴和顶点？
c.如何将二次函数的解析式转化为顶点式？顶点式与解析式的互化方法是什么？
2.小组代表发言：每个小组选派一名代表，汇报本组的讨论成果，分享对二次函数性质的理解和应用。
九年级数学下册《二次函数》教案、教学设计
一、教学目标
（一）知识与技能
1.理解二次函数的定义，掌握二次函数的一般形式，并能根据实际情境抽象出二次函数模型；
2.掌握二次函数图像的性质，如开口方向、对称轴、顶点等，并能够通过描点法或解析法绘制二次函数图像；
3.掌握二次函数的顶点式和解析式的互化方法，了解其几何意义，并能够应用于实际问题中；
（1）运用实际问题引入顶点式与解析式的互化，让学生在实际情境中感受互化的意义，降低学习难度。
（2）通过小组合作、讨论交流，引导学生共同探究二次函数图像的开口方向、对称轴和顶点等性质的几何意义，培养学生合作解决问题的能力。
（3）设计专题讲座，针对二次函数在实际问题中的应用，如最值问题、优化问题等，进行详细讲解，帮助学生克服难点。
（五）总结归纳
1.让学生回顾本节课所学内容，总结二次函数的定义、图像性质、顶点式与解析式的互化等方面。
九年级《二次函数》全章教案

九年级《二次函数》全章教案

教学目标：1.了解二次函数的概念及特点。

2.掌握二次函数的图像、顶点、轴对称、零点等基本性质。

3.学会利用函数图像解决实际问题。

教学重点：1.理解二次函数的相关概念。

2.掌握二次函数图像的绘制方法。

3.能够运用二次函数解决实际问题。

教学难点：1.掌握二次函数的顶点和轴对称的概念及求解方法。

2.学会利用函数图像解决实际问题。

教学准备：1.教材《二次函数》的教学课件及习题。

2.计算器、直尺、笔记本等教学工具。

3.多媒体设备及相关教学资源。

教学过程：一、导入（10分钟）1.通过展示一副二次函数的图像和实际应用问题，引起学生兴趣。

2.复习一次函数的相关内容，引出二次函数的定义及特点。

二、概念讲解与示例演示（25分钟）1.讲解二次函数的定义，即形如f(x)=ax²+bx+c（a≠0）的函数。

2.介绍二次函数图像的最简形式，即顶点形式f(x)=a(x-h)²+k。

3.示例演示：给出一个二次函数式，通过变换得到最简形式，并通过求顶点等方式解决具体问题。

三、绘制二次函数图像（40分钟）1.讲解如何绘制二次函数图像的步骤，包括求顶点、确定轴对称、绘制图像等。

2.分组活动：将学生分成小组，每组选择一道习题，并利用求顶点和绘图方法解答。

3.展示小组成果，让每个小组派学生来展示解题过程和图像结果。

四、实际应用问题（30分钟）1.引导学生思考如何利用二次函数图像解决实际问题。

2.提供一些实际应用问题，如物体抛射问题、面积最大问题等，让学生结合所学知识进行求解。

3.组织学生进行小组合作讨论，并将解题思路和结果展示给全班。

五、拓展与总结（15分钟）1.通过讨论、展示和总结，让学生理解二次函数的基本性质和应用方法。

2.布置课后作业，要求学生进一步巩固所学知识，并解决一些拓展问题，如不等式问题、复合函数问题等。

3.回顾本节课的主要内容和思路，澄清学生对二次函数的理解和掌握程度。

教学反思：通过本节课的教学，学生对二次函数的定义和特点有了更深入的了解。

[初三数学]《二次函数》第1课时教学设计

[初三数学]《二次函数》第1课时教学设计

（二）上述三个函数解析式具有哪些共同特征？
让学生充分发表意见，提出各自看法。
教师归纳总结：上述三个函数解析式经化简后都具y=ax²+bx+c (a,b,c是常数, a≠0)的形式.
板书：我们把形如y=ax²+bx+c(其中a,b,C是常数，a≠0)的函数叫做二次函数(quadratic funcion)
称a为二次项系数，b为一次项系数，c为常数项，
请讲出上述三个函数解析式中的二次项系数、一次项系数和常数项。
注意：切不可忽视a≠0.
学生思考问题，列出关系式。
学生小组合作交流。
学生发表自己的见解，总结归纳二次函数的定义。
让学生体会引入二次函数概念的显示背景，感受其实际意义，激发学生的学习兴趣。
通过归纳、分析，使学生明白二次函数的特征，理解其解析的特点。
（1） （2） （3）
3、若函数 为二次函数，则m的值为。
（二）实际问题中的二次函数：
1、如图，一张正方形纸板的边长为2cm，将它剪去4个全等的直角三角形（图中阴影部分）。设AE=BF=CG=DH=x(cm) ,四边形EFGH的面积为y(cm2),求：
(1)y关于x的函数解析式和自变量x的取值范围。
二次函数（第1课时）教学设计
教师行为
学生学习活动
设计意图
活动1：创设情境，导入新课：
问题1、现有一根12m长的绳子，用它围成一个矩形，如何围法，才使举行的面积最大？小明同学认为当围成的矩形是正方形时 ，它的面积最大，他说的有道理吗？
问题2、很多同学都喜欢打篮球，你知道吗：投篮时，篮球运动的路线是什么曲线？怎样计算篮球达到最高点时的高度？
3、如果函数y=（k+2）xk²-2是y关于x的二次函数，则k值为多少？
九年级数学下册《抛物线形问题》教案

九年级数学下册《抛物线形问题》教案

九年级数学下册《抛物线形问题》教案九年级数学下册《抛物线形问题》教案教学目标知识技能1.能根据具体的问题情境建立数学模型，应用二次函数的知识求解，并根据具体问题的实际意义检验结果的合理性．2．学会从多个角度思考问题，逐步提高解决问题的能力．数学思考1.通过对实际问题的研究，体会建模的数学思想．2．经历将实际问题抽象为数学问题的过程，体会转化和数形结合的思想．问题解决通过问题的设计、解答，使学生学会从不同角度寻求解决问题的方法，获得解决问题的经验．情感态度1.通过小组合作交流，提高合作意识，培养创新精神．2．通过用二次函数的知识解决实际问题，体会数学与现实生活的紧密联系，提高学习数学的兴趣，增强应用数学的意识.教学重点探究应用二次函数的知识解决实际问题的方法.教学难点如何从实际问题中抽象出数学问题，建立数学模型．授课类型新授课课时1教具多媒体教学活动教学步骤师生活动设计意图回顾1.二次函数常见的表达式有哪几种？2.用待定系数法求二次函数表达式，选择不同表达式的条件是什么？3.二次函数的应用通常有哪些类型？在已有知识的基础上提出新的问题，能为学生营造一个主动思考、探索的氛围，激发学生的学习兴趣.活动一：创设情境导入新课问题1：某涵洞是抛物线形，它的截面如图所示，现测得水面宽1．6，涵洞顶点o到水面的距离为2．4，在图中直角坐标系内，涵洞所在的抛物线的函数关系式是什么？二次函数的应用--抛物线形问题教学设计杨光辉根据问题中的图形为抛物线，由此可知本题应该运用二次函数的知识进行解答．通过日常生活中的实际问题，激发学生的学习兴趣，培养学生的探究意识和解决实际问题的能力.活动二：实践探究交流新知问题2一个涵洞成抛物线形，它的截面如图,现测得，当水面宽AB＝1.6时，涵洞顶点与水面的距离为2.4．这时，离开水面1.5处，涵洞宽ED是多少？是否会超过1？二次函数的应用--抛物线形问题教学设计杨光辉学生合作解决问题活动二：实践探究交流新知2.归纳总结教师引导学生进行归纳总结：建立适当的平面直角坐标系；根据题意找出题目中的点的坐标；求出抛物线所对应的函数表达式；直接利用图象解决实际问题．2.通过总结抛物线类型的实际问题的解题步骤，使学生明确问题的解答方法，思路清晰，明确了方向.活动三：开放训练体现应用问题3，图中是抛物线形拱桥，当水面在L时，拱顶离水面2，水面宽4，水面下降1时，水面宽度增加了多少？二次函数的应用--抛物线形问题教学设计杨光辉激发学生的学习欲望和兴趣，让学生切实感受到数学就在身边的亲切感．让学生学会将获得的知识经验进行类比迁移，并让学生体验数学的建模思想，增强应用意识.活动三：应用新知，解决问题问题4：某工厂大门是一抛物线形的水泥建筑物,大门底部宽AB=4,顶部c离地面的高度为4.4,现有载满货物的汽车欲通过大门,货物顶部距地面2.7,装货宽度为2.4.这辆汽车能否顺利通过大门?若能,请你通过计算加以说明;若不能,请简要说明理由二次函数的应用--抛物线形问题教学设计杨光辉二次函数的应用--抛物线形问题教学设计杨光辉练习：有一抛物线拱桥，已知水位在AB位置时，水面的宽度是二次函数的应用--抛物线形问题教学设计杨光辉，水位上升4就达到警戒线cD，这时水面宽是二次函数的应用--抛物线形问题教学设计杨光辉米．若洪水到来时，水位以每小时0.5速度上升，求水过警戒线后几小时淹到拱桥顶端处．通过抛物线与常见生活情景相联系的题目的展示，拓宽学生的视野，提高学生灵活运用知识的能力.活动四：课堂总结反思【课堂总结】1．课堂总结：(1)谈一谈你在本节课中有哪些收获，有哪些进步．(2)学完本节课后，你还存在哪些困惑？2．布置作业：教材P42的习题21.4.第4、5题小结环节的设置能够让学生养成自主归纳课堂重点的习惯，提高学生的学习能力.。