2019-2020学年黑龙江省哈尔滨市第九中学高二上学期期末数学试题

黑龙江省哈尔滨市第九中学2019-2020学年高一上学期9月阶段考试数学试题一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）1.设集合{}{}0,2,4,6,8,10,4,8A B ==，则AB=（ ）A. {4,8}B. {02,6}，C. {026,10}，，D. {02468,10}，，，， 『答案』C『解析』由补集的概念，得{}0,2,6,10AB =，故选C ．2.设集合={1,2,3}A ，B={45}，，={x|x=a+b,a A,b B}M ∈∈，则M 中元素的个数为（ ）A. 3B. 4C. 5D. 6『答案』B『解析』由题意知x a b =+，,a A b B ∈∈，则x 的可能取值为5,6,7,8. 因此集合M 共有4个元素，故选B. 3.如果集合{}2210A x ax x =--=只有一个元素，则a 的值是（ ）A. 0B. 0或1C. 1-D. 0或1-『答案』D『解析』由题意得知关于x 的方程2210ax x --=只有一个实数解.当0a =，{}12102A x x ⎧⎫=--==-⎨⎬⎩⎭，合乎题意； 当0a ≠时，则440a ∆=+=，解得1a =-. 综上所述：0a =或1-，故选：D.4. 若g (x ＋2)＝2x ＋3，则g (3)的值是（ ） A. 9B. 7C. 5D. 3『答案』C『解析』解法一：令x ＋2＝3，则x ＝1，则g (3)＝2×1＋3＝5.解法二：令x ＋2＝t ，则x ＝t －2，则g (t )＝2(t －2)＋3，故g (3)＝5. 5.下列四组函数，表示同一函数的是（ ）A.()f x =()g x x=B. ()f x x =，()2x g x x =C. ()f x =()2x g x x =D. ()1f x x =+，()1,11,1x x g x x x +≥-⎧=⎨--<-⎩ 『答案』D『解析』对于A 选项，函数()y f x =和()y g x =的定义域均为R ，且()()f x xg x ==≠，A 选项中的两个函数不是同一函数； 对于B 选项，函数()y f x =的定义域为R ，函数()y g x =的定义域为{}0x x ≠，定义域不相同，B 选项中的两个函数不是同一函数；对于C 选项，两个函数的解析式不相同，C 选项中两个函数不是同一函数； 对于D 选项，，函数()y f x =和()y g x =的定义域均为R ，且()1,111,1x x f x x x x +≥-⎧=+=⎨--<-⎩，D 选项中的两个函数为同一函数.故选：D. 6.下列四个函数中，在(0,)+∞上为增函数的是（ ） A. ()3f x x =-B.2()3f x x x =- C.1()1f x x =-+D.()f x x=-『答案』C『解析』观察函数∵f (x )=3−x 在(0,+∞)上为减函数，∴A 不正确；∵2()3f x x x =-是开口向上对称轴为32x =的抛物线,所以它在(0,+∞)上先减后增，∴B 不正确；()11f x x =-+在()0,∞+上y 随x 的增大而增大，所它为增函数，∴C 正确；∵f (x )=−|x |在(0,+∞)上y 随x 的增大而减小，所以它为减函数，∴D 不正确，故选C.7.已知集合{}{}2|320,,|05,A x x x x R B x x x N =-+=∈=<<∈，则满足条件A C B⊆⊆的集合C 的个数为（ ） A. 1B. 2C. 3D. 4『答案』D『解析』求解一元二次方程，得{}()(){}2|320,|120,A x x x x x x x x =-+=∈=--=∈R R{}1,2=，易知{}{}|05,1,2,3,4B x x x =<<∈=N .因为A C B ⊆⊆，所以根据子集的定义， 集合C 必须含有元素1,2，且可能含有元素3,4， 原题即求集合{}3,4的子集个数，即有224=个，故选D.8.设1,01,()0,0,()0,1,0x x f x x g x x x >⎧⎧⎪===⎨⎨⎩⎪-<⎩为有理数为为无理数,则f (g (π))的值为( )A. 1B. 0C. -1D. π『答案』B 『解析』()0g π=，(())(0)0f g f π∴==,故选B.9.设函数()2,02,0x bx c x f x x ⎧++≤=⎨>⎩，若()()40f f -=， ()22f -=-，则关于x 的方程()f x x=的解的个数为( )A. 1B. 2C. 3D. 4『答案』D 『解析』(4)(0)164,4f f b c c b -=∴-+==，又(2)2f -=-，482,2c c ∴-+=-=，所以242(0)(){2(0)x x x f x x ++≤=>，显然0x >时()f x x =有一个解； 0x ≤当时，2242,320,12x x x x x x x ++=++==-=-或，所以关于x 的方程()f x x =的解的个数为3.故选D 10.已知函数()f x =m 的取值范围是（ ）A. 04m <≤B. 01m ≤≤C. 4m ≥D. 04m ≤≤『答案』D『解析』因为函数()f x =的定义域是一切实数，所以当0m =时，函数1f x 对定义域上的一切实数恒成立；当0m >时，则240m m ∆=-≤，解得04m <≤，综上所述，可知实数m 的取值范围是04m ≤≤，故选D.11.若函数234y x x =--定义域为[]0,m ，值域为25,44⎡⎤--⎢⎥⎣⎦，则m 的取值范围是（ ）A.(]0,4B. 254,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦ C. 3,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦D.3,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭ 『答案』C『解析』如下图所示：223253424y x x x ⎛⎫=--=-- ⎪⎝⎭，当32x =时，254y =-；当0x =或3时，4y =-.由二次函数图象可知，当332m ≤≤时，函数234y x x =--在区间[]0,m 上的最小值为254-，最大值为4-，因此，实数m 的取值范围是3,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦，故选：C. 的12.设函数2()2()g x x x R =-∈，()4,(),(),().(){g x x x g x g x x x g x f x ++<-≥=则()f x 的值域是（ ） A. 9,0(1,)4⎡⎤-⋃+∞⎢⎥⎣⎦B. [0,)+∞C. 9[,)4-+∞D. 9,0(2,)4⎡⎤-⋃+∞⎢⎥⎣⎦『答案』D 『解析』当,即,时,或,,其最小值为,无最大值,因此这个区间的值域为:. 当时,,其最小值为,其最大值为因此这区间的值域为:9[,0]4-.综合得:函数值域为:9[,0](2,)4-⋃+∞ ，故选D.二、填空题（共4小题，每题5分）13.已知()f x 是一次函数，且满足3(1)2(1)217f x f x x +--=+，则()f x =________． 『答案』()27f x x =+『解析』设f （x ）=ax +b （a ≠0），则3f （x +1）-2f （x -1）=3ax +3a +3b -2ax +2a -2b =ax +b +5a =2x +17， ∴a =2，b =7，∴f （x ）=2x +7． 14.已知集合{}29140A x x x =-+=，集合{}20B x ax =+=，若B A ⊆，则实数a 的取值为______________.『答案』0、1-或27-『解析』解方程29140x x -+=，得2x =或7x =，则{}2,7A =.当0a =时，B A ，合乎题意；当0a ≠时，{}220B x ax a ⎧⎫=+==-⎨⎬⎩⎭，B A ⊆，22a ∴-=或27a -=，解得1a =-或27-.故答案为：0、1-或27-.15.已知246,0()6,0x x x f x x x ⎧-+≥=⎨+<⎩，则不等式()(1)f x f >的解集是______________.『答案』(3,1)(3,)-⋃+∞『解析』f （1）=3，已知不等式f （x ）＞f （1）则f （x ）＞3 如果x ＜0 则 x +6＞3可得 x ＞-3，可得-3＜x ＜0． 如果 x ≥0 有x 2-4x +6＞3可得x ＞3或 0≤x ＜1 综上不等式的解集：（-3，1）∪（3，+∞） 16.设全集{}06,U x x x N =<<∈，{}250A x x x q =-+=，{}2120B x xpx =++=，(){}1,3,45UA B =，，则集合B =___________.『答案』{3,4} 『解析』{}{}06,1,2,3,4,5U x x x N =<<∈=，则A U ⊆，B U ⊆，(){}1,3,4,5UA B ⋃=，2A∴∈，设集合A 中的另一个元素为a ，由韦达定理得25a +=，得3a =，{}2,3A ∴=.{}1,4,5U A ∴=，又(){}1,3,4,5UA B ⋃=，3B∴∈，设集合B 中另一个元素为b ，由韦达定理得312b =，得4b =，因此，{}3,4B =，故答案为：{}3,4.三、解答题（共70分）17.已知1{||3|1},{|0},3x A x x B x x -=-<=>-求,(C B).R A B A ⋃⋂解：解不等式31x -<，即131x -<-<，得24x <<，()2,4A ∴=.解不等式13x x ->-，即()()130x x -->，得1x <或3x >，()(),13,B ∴=-∞⋃+∞.[]1,3R B ∴=，因此，()(),12,A B ⋃=-∞⋃+∞，()(]2,3R A B ⋂=.18.已知函数()221x f x x =+. （1）求()()()()1111234234f f f f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭的值； （2）设()()1g x f x =，证明：()g x 在()0,∞+上单调递减.解：（1）由题意可得()()()()1111234234f f f f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 22222222222222111123423411213141111111234⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭=++++++++++⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭149161117251017510172=++++++=；（2）由题意得()()2111g x f x x==+，任取120x x >>，则()()()()22212221122222222212121212111111x x x x x x g x g x x x x x x x x x -+⎛⎫⎛⎫--=+-+=-== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，120x x >>，210x x ∴-<，120x x +>，22120x x >，()()120g x g x ∴-<，即()()12g x g x <.因此，函数()y g x =在()0,∞+上是减函数.19.已知函数()f x =A ，集合{}21B x m x m =≤≤-.（1）当1m =-时，求AB ；（2）若A B ⊆，求实数m 的取值范围； （3）若AB =∅，求实数m 的取值范围.解：（1）对于函数()y f x =，有3010x x -≥⎧⎨->⎩，解得13x <≤，(]1,3A ∴=.当1m =-时，[]2,2B =-，因此，[]2,3A B =-；（2）A B ⊆，则有2113m m ≤⎧⎨-≥⎩，解得2m ≤-，因此，实数m 的取值范围是(],2-∞-；（3）当21m m >-时，即当13m >时，B =∅，此时，A B =∅，合乎题意；当21m m ≤-时，即当13m ≤时，由于AB =∅，则11m -≤或23m >，解得0m ≥或32m >，此时103m ≤≤.综上所述，实数m 的取值范围是[)0,+∞.20.若不等式2520ax x +->的解集是122x x ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭. （1）求不等式22510ax x a -+->的解集；（2）已知二次不等式20ax bx c ++<的解集为1132x x x ⎧⎫⎨⎬⎩⎭或，求关于x 的不等式20cx bx a -+>的解集.解：（1）由题意知，关于x 的二次方程2520ax x +-=的两根为2和12，且0a <，由韦达定理得15221222a a ⎧+=-⎪⎪⎨⎪⋅=-⎪⎩，解得2a =-， 不等式22510ax x a -+->即为22530x x --+>，即22530x x +-<，解得132x -<<.因此，不等式22510ax x a -+->的解集为13,2⎛⎫- ⎪⎝⎭； （2）2a =-，由题意可知，关于x 的二次方程220x bx c -++=的两根为13和12，由韦达定理得1123211232b c ⎧+=-⎪⎪-⎨⎪⋅=⎪-⎩，解得5313b c ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩， 所以，不等式20cx bx a -+>即为2152033x x --->，即2560x x ++<，解得32x -<<-，因此，关于x 的不等式20cx bx a -+>的解集为()3,2--.21.已知二次函数满足()()20f x ax bx c a =++≠，满足()()12f x f x x+-=，且()01f =．（1）函数()f x 的解析式： （2）函数()f x 在区间[]1,1-上的最大值和最小值：（3）若当x ∈R 时，不等式()3f x x a>-恒成立，求实数a 的取值范围．解：（1）因()2f x ax bx c=++，所以()()()()221112f x f x a x b x c ax bx c ax a b+-=++++---=++．即22ax a b x ++=，所以22,0a b a =+=， 即()1,1,01a b f c ==-==，所以()21f x x x =-+．（2）由（1）知()2213124f x x x x ⎛⎫=-+=-+⎪⎝⎭，∴当12x=时，()f x有最小值34，当1x=-时，()f x有最大值3；（3）不等式可化为()3a x f x>-，即241a x x>-+-恒成立，设()241,g x x x x R=-+-∈，可知()g x的最大值为3，所以3a>．22.定义在()0,∞+上的函数()y f x=，满足()()()f xy f x f y=+，113f⎛⎫=⎪⎝⎭，当1x>时，()0 f x<.（1）求()1f的值；（2）判断函数()f x的单调性；（3）解关于x的不等式()()21 f x f x+->-.解：（1）令1x y==，则有()()121f f=，可得()10f=；（2）取1yx=，则()()1110f x f f x fx x⎛⎫⎛⎫+=⋅==⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()1f f xx⎛⎫∴=-⎪⎝⎭，任取120x x>>，则()()() 11112 22211xf f x f x f f x f xx x x⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⋅=+=-⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，120x x>>，121 xx∴>，则()()1122xf x f x fx⎛⎫-=<⎪⎝⎭，即()()12f x f x<.因此，函数()y f x=在定义域()0,∞+上为减函数；（3）113f⎛⎫=⎪⎝⎭，由（2）知，()1313f f⎛⎫=-=-⎪⎝⎭.由()()21f x f x+->-，可得()()23f x x f⎡⎤->⎣⎦，即()()223f x x f->.由（2）知，函数()y f x=在定义域()0,∞+上为减函数，则22320x xxx⎧-<⎪>⎨⎪->⎩，解得23x<<.因此，不等式()()21f x f x+->-的解集为()2,3.。

黑龙江省哈尔滨市第九中学2020届高三数学上学期期末考试试题文（含解析）本试卷分为第I卷（选择题）和第II卷（非选择题），满分150分，考试时间120分钟.注意事项1.答题前，考生先将自己的姓名、学生代号填写清楚.2.选择题必须使用2B铅笔填涂.3.请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效.第I卷（选择题共60分）一.选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将答案填涂在客观题答题卡上.1.已知复数312zi=-（i为虚数单位），则z的实部为（）A. 35B.35C.15- D.15〖答案〗B〖解析〗〖分析〗直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．〖详解〗解：33(12)3612(12)(12)55iz ii i i+===+--+，z∴的实部为35．故选：B．〖点睛〗本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，属于基础题．2.已知a，b，c为实数，则“111010a b⎛⎫⎛⎫<⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭”是“22ac bc>”的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件〖答案〗B〖解 析〗〖分析〗根据不等式的关系结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可．〖详 解〗解：根据指数函数110x y ⎛⎫= ⎪⎝⎭的单调性可得，若111010a b⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭则a b >； 当111010a b ⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，0c 时，22ac bc >不成立，即充分性不成立， 当22ac bc >，则0c ≠，则a b >，即111010a b ⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即必要性成立， 即“111010a b ⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭”是“22ac bc >”的必要不充分条件， 故选：B ．〖点 睛〗本题主要考查充分条件和必要条件的应用，根据不等式的关系是解决本题的关键，属于基础题． 3.已知tan 2α=，()0,απ∈，则sin 2cos 2απα=⎛⎫- ⎪⎝⎭（ ）A.C.〖答 案〗B〖解 析〗〖分析〗首先根据同角三角函数的基本关系求出sin α、cos α，再利用诱导公式及二倍角公式化简可得；详解〗解：tan 2α=22sin 2cos sin cos 1αααα⎧=⎪∴⎨⎪+=⎩解得sin 5cos 5αα⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩或sin 5cos 5αα⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩()0,απ∈25sin 55cos 5αα⎧=⎪⎪∴⎨⎪=⎪⎩5sin 22sin cos 2cos sin co 225s ααααπαα∴===⎛⎫- ⎪⎝⎭故选：B〖点 睛〗本题考查同角三角函数的基本关系及诱导公式的应用，二倍角正弦公式的应用，属于基础题.4.函数()222x xx f x -=-的部分图象可能是（ ） A. B.C.D.〖答 案〗B〖解 析〗〖分析〗 首先求出函数的定义域，判断函数的奇偶性，再取特殊值即可判断；〖详 解〗解：因为()222x x x f x -=-定义域为()(),00,x ∈-∞+∞ 且()()()222x x x f x f x ---==--所以()222x x x f x -=-为奇函数，函数图象关于原点对称，故A 、C 排除； 又因为()2112102213f -==>-，所以D 排除； 故选：B〖点 睛〗本题考查函数图象的识别，函数的奇偶性的判断，属于基础题.5.已知非零向量a b ，满足||||a b a b +=-，则a 与b 的夹角为（ ） A. 3π B. 2π C. 4π D. 23π 〖答 案〗B〖解 析〗〖分析〗根据向量模的定义,将等式两边同时平方,即可得0a b ⋅=,即可求得a 与b 的夹角. 〖详 解〗非零向量a b ，满足||||a b a b +=-将等式两边同时平方可得()()22a ba b +=- 展开可得222222a a b b a a b b +⋅+=-⋅+化简可得0a b ⋅= 由向量数量积的定义可知cos 0a b a b a b =⋅=⋅<>，因为a b ，为非零向量则cos 0a b =<>，即a 与b 垂直,其夹角为2π 故选:B〖点 睛〗本题考查了向量模的化简运算,向量数量积的定义及向量夹角的求法,属于基础题.6.已知数列{}n a 为等差数列，n S 为其前n 项和，5632a a a +=+，则7S =（ ）A. 2B. 7C. 14D. 28 〖答 案〗C〖解 析〗〖分析〗利用等差数列通项的性质，将已知条件转化为关于4a 的方程，由此解得4a 的值，利用等差数列前n 项和的性质，求得7S 的值.〖详 解〗5632a a a +=+ 44422a d a d a d ∴++=++-，解得：42a =()177477142a a S a +∴===.故选：C〖点 睛〗本小题主要考查等差数列通项的性质，考查等差数列前n 项和公式，考查化归与转化的数学思想方法，属于基础题.7.若函数1()(2)2f x x x x =+>-在x a =处取最小值，则a 等于（ ）A. 3B. 1C. 1+D. 4 〖答 案〗A〖解 析〗〖分析〗将函数()y f x =的解析式配凑为()()1222f x x x =-++-，再利用基本不等式求出该函数的最小值，利用等号成立得出相应的x 值，可得出a 的值.〖详 解〗当2x >时，20x ->，则()()1122222f x x x x x =+=-++≥-- 4=，当且仅当()1222x x x -=>-时，即当3x =时，等号成立，因此，3a =，故选A. 〖点 睛〗本题考查基本不等式等号成立的条件，利用基本不等式要对代数式进行配凑，注意“一正、二定、三相等”这三个条件的应用，考查计算能力，属于中等题.8.已知圆22(1)(1)2x y a ++-=-截直线20x y ++=所得弦的长度为4，则实数a =（ ） A. -2B. -4C. -6D. -8〖答 案〗B〖解 析〗〖详 解〗由题意：圆心(1,1)-，r =设圆心到直线的距离为d ，∴d ===∵d ===∴4a =-． 9.已知双曲线C的中心在坐标原点，一个焦点到渐近线的距离等于2，则C 的渐近线方程为（ ） A. 12y x =± B. 23y x =± C. 32y x =± D. 2y x =±〖答 案〗D〖解 析〗〖分析〗先根据双曲线的焦点坐标，求得a 和b2=，解得a 和b ，问题得解． 〖详 解〗解：设双曲线的方程为：22221x y a b-=，其渐近线方程为：b y x a =±依题意可知2252a b ⎧+=⎪=， 解得12a b ==，，∴双曲线C 的渐近线方程为2y x =±，故选D ．〖点 睛〗本题主要考查了双曲线的简单性质，点到直线的距离公式，属基础题．10.已知抛物线2:8C y x =的焦点为F ，点()()1, 0A a a >在C 上，若直线AF 与C 交于另一点B ，则AB 的值是（ ）A. 12B. 10C. 9D. 4.5〖答 案〗C〖解 析〗〖分析〗可得(A ，故直线AF 的方程为2)y x =--，联立直线AF 与抛物线方程，由韦达定理，求出B 的坐标，然后求解AB ．〖详 解〗解：因为()()1, 0A a a >在2:8C y x =上，所以28a =，解得a =a =-，即(A故直线AF 的方程为2)y x =--，由22)8y x y x ⎧=--⎪⎨=⎪⎩消去y ，得2540x x -+=，解得11x =，24x =，(4,B ∴-则||9AB =．故选：C ．〖点 睛〗本题考查直线与抛物线的位置关系的应用，考查转化思想以及计算能力，属于基础题．11.我国古代名著《张丘建算经》中记载：“今有方锥，下广二丈，高三丈.欲斩末为方亭，令上方六尺.问：斩高几何？”大致意思是：有一个正四棱锥下底边长为二丈，高三丈，现从上面截去一段，使之成为正四棱台，且正四棱台的上底边长为六尺，则截去的正四棱锥的高是多少.如果我们把求截去的正四棱锥的高改为求剩下的正四棱台的体积，则该正四棱台的体积是（注：1丈10=尺）（ ）A. 1946立方尺B. 3892立方尺C. 7784立方尺D. 11676立方尺〖答 案〗B〖解 析〗分析〗根据题意画出图形，利用棱锥与棱台的结构特征求出正四棱台的高，再计算它的体积．〖详 解〗解：如图所示，正四棱锥P ABCD -的下底边长为二丈，即20AB =尺，高三丈，即30PO =尺；截去一段后，得正四棱台ABCD A B C D -''''，且上底边长为6A B ''=尺， 所以16302130202OO ⨯-'=⨯， 解得21OO '=，所以该正四棱台的体积是22121(202066)38923V =⨯⨯+⨯+=（立方尺）． 故选：B ．〖点 睛〗本题考查了棱锥与棱台的结构特征与应用问题，也考查了棱台的体积计算问题，属于中档题．12.已知函数()11ln ,011,12x x x f x x -+<≤⎧⎪=⎨>⎪⎩，若方程()()()210f x a f x a +--=恰有三个不同的实数根，则实数a 的取值范围是（ ）A. (),0-∞B. ()0,1C. ()1,+∞D. ()0,∞+ 〖答 案〗B〖解 析〗〖分析〗由题意作函数()f x 图象，由()()()210f x a f x a +--=得()1f x =-或()f x a =，要使方程()()()210f x a f x a +--=恰有三个不同的实数根，则()f x a =有两个不同的实数根，即函数()y f x =与y a =有两个交点，数形结合即可得解；〖详 解〗解：因为()11ln ,011,12x x x f x x -+<≤⎧⎪=⎨>⎪⎩ 可画函数图象如下所示：()()()210f x a f x a +--=()()()()10f x f x a ∴+-=()1f x ∴=-或()f x a =要使方程()()()210f x a f x a +--=恰有三个不同的实数根，则()f x a =有两个不同的实数根，即函数()y f x =与y a =有两个交点，由图可得01a <<，即()0,1a ∈故选：B〖点 睛〗本题考查了分段函数的应用及方程与函数的关系应用，同时考查了数形结合的思想应用，属于中档题．第II 卷（非选择题 共90分）二.填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分，请将答案写在答题纸指定的位置上.13.甲、乙、丙、丁四人通过抓阄方式选出一人周末值班（抓到“值”字的人值班）.抓完阄后，甲说：“我没抓到.”乙说：“丙抓到了.”丙说：“丁抓到了.”丁说：“我没抓到.”已知他们四人中只有一人说了真话，根据他们的说法，可以判断值班的人是________.〖答案〗甲〖解析〗〖分析〗依题意，对各种情况分类讨论一一判断可得；〖详解〗解：假如甲说的是真话，则乙、丙、丁都说假话，既然丁说假话，则丁抓到了，那么丙说的是真话，与假设矛盾；假如乙说的是真话，则甲、丙、丁都说假话，即丙抓到了，则甲、丁没有抓到，甲与丁也说的是真话，与假设矛盾；假如丙说的是真话，则甲、丙、丁都说假话，即丁抓到了，则甲没有抓到，甲也说的是真话，与假设矛盾；假如丁说的是真话，则甲、丙、丁都说假话，则甲抓到了，则丙、丁都没有抓到，符合题意；故答案为：甲〖点睛〗本题考查简单的合情推理，属于基础题.14.已知某几何体三视图如图所示，其中正视图和侧视图都是矩形，俯视图为直角三角形，则该几何体的外接球表面积为__________.〖答案〗29〖解析〗〖分析〗先还原几何体得到直三棱柱，再找到球心的位置，利用垂径定理求得半径，代入表面积公式求解即可.〖详解〗还原三视图可得如图直三棱柱，因为底面为直角三角形，∴其外接球球心在底面斜边BC的中点D的正上方O处，且OD=2,所以半径2222229R 42AB AC BD OD OD +=+=+=， ∴外接球表面积为24π29R π=. 故答案为29π.〖点 睛〗本题考查了利用三视图还原几何体及外接球的表面积应用问题，找到球心是解题的关键，是基础题．15.已知函数()()2sin 0,2f x x πωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭的部分图象如图所示，则76f π⎛⎫⎪⎝⎭的值为______.〖答 案〗1 〖解 析〗 〖分析〗首先由512π-和12π之间的距离求ω，再根据,012π⎛⎫ ⎪⎝⎭求ϕ，再求函数值.〖详 解〗设()f x 的最小正周期为T ，根据题中图象可知，22T π=，∴T π=，故2ω=，根据2sin 2012πϕ⨯+⎫⎪⎝⎭=⎛（增区间上的零点）可知，26k πϕπ+=，k Z ∈，即26k πϕπ=-，k Z∈，又2πϕ<，故6πϕ=-.∴()2sin 26f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，∴7142sin 2sin 16666f ππππ⎛⎫⎛⎫=-==⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 故答案为：1〖点 睛〗本题考查根据三角函数的图象求函数的解析式，意在考查基本的数形结合分析问题的能力，函数()sin y A ωx φ=+，一般根据振幅求A ，再根据周期求ω，根据“五点法”求ϕ.16.若函数()21ln f x x x a x =-++在()0,∞+上单调递增，则实数a 的取值范围是________.〖答 案〗18a ≥ 〖解 析〗 〖分析〗依题意可得()210af x x x'=-+≥在()0,x ∈+∞上恒成立，参变分离得到22a x x ≥-在()0,x ∈+∞上恒成立，令()22g x x x =-，求出()g x 的最大值即可求出参数的取值范围；〖详 解〗解：因为()21ln f x x x a x =-++的定义域为()0,x ∈+∞，且函数()21ln f x x x a x =-++在()0,∞+上单调递增，()210af x x x'∴=-+≥在()0,x ∈+∞上恒成立， 即22a x x ≥-在()0,x ∈+∞上恒成立，令()22112248g x x x x ⎛⎫=-=--+ ⎪⎝⎭ 当14x =时()max 18g x =所以18a ≥即1,8a ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭ 故答案为：1,8⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭〖点 睛〗本题考查利用导数研究函数的单调性，不等式恒成立问题，属于中档题. 三.解答题：本题共6小题，满分70分（17题至21题12分，选修题10分）.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.在ABC ∆中，内角,,A B C 的对边分别是,,a b c ，已知222,3A b c a π=+-=． （1）求a 的值；（2）若1b =，求ABC ∆的面积．〖答 案〗（1；（2〖解 析〗 〖分析〗（1）由2223b c abc a +-=，利用余弦定理可得2cos 3bc A abc=,结合3A π=可得结果； （2）由正弦定理1sin 2B =，π6B =, 利用三角形内角和定理可得π2C =，由三角形面积公式可得结果.〖详 解〗（1）由题意，得222b c a +-=. ∵2222cos b c a bc A +-=.∴2cos bc A =,∵π3A =，∴a A ==（2）∵a =由正弦定理sin sin a b A B =，可得1sin 2B =.∵a>b，∴π6B =, ∴ππ2C A B =--=.∴1sin 2ABC S ab C ∆==〖点 睛〗本题主要考查正弦定理、余弦定理及特殊角的三角函数，属于中档题.对余弦定理一定要熟记两种形式：（1）2222cos a b c bc A =+-；（2）222cos 2b c a A bc+-=，同时还要熟练掌握运用两种形式的条件.另外，在解与三角形、三角函数有关的问题时，还需要记住30,45,60o o o 等特殊角的三角函数值，以便在解题中直接应用.18.己知数列{}n a 满足11a =，22a =，()*1132102,n n n a a a n n N +--+-=≥∈.（1）设11n n n b a a +=-+，证明：数列{}n b 是等比数列； （2）求数列{}n a 的通项公式.〖答 案〗（1）见解析（2）()*2nn a n n N =-∈〖解 析〗 〖分析〗（1）由递推公式可得()()11113211210n n n n n n n a a a a a a a +-+--+-=-+--+= 即()11121n n n n a a a a +--+=-+，即可得证；（2）由（1）可得121nn n a a +-=-，再用累加法求出数列{}n a 的通项公式.〖详 解〗解：（1）由题意知，当2n ≥时，()()11113211210n n n n n n n a a a a a a a +-+--+-=-+--+=，即()11121n n n n a a a a +--+=-+.因为11n n n b a a +=-+，所以12n n b b -=. 又12112112b a a =-+=-+=，所以数列{}n b 是首项为2，公比为2的等比数列.（2）由（1）可知，1222n n n b -=⨯=，所以121nn n a a +-=-.当2n ≥时，1121n n n a a ---=-，21221n n n a a ----=-，…，12121a a -=-，将以上式子相加可得，()()()1211212222112112n n n n a a n n n ----=+++--=--=---，所以()22nn a n n =-≥.当1n =时，1121a ==-也满足上式， 所以()*2nn a n n N=-∈.〖点 睛〗本题考查根据递推公式证明数列是等比数列，累加法求数列的通项公式，属于中档题.19.在四棱锥P ABCD -中，平面PAD ⊥平面ABCD ，2PA PD ==，四边形ABCD 是边长为2的菱形，60DAB ∠=︒，E 是AD 的中点.（Ⅰ）求证：BE ⊥平面PAD ； （Ⅱ）求点E 到平面PAB 的距离. 〖答 案〗（Ⅰ）详见解析；15〖解 析〗 〖分析〗(Ⅰ)首先结合面面垂直的性质定理证明线线垂直，然后结合几何关系和线面垂直的判定定理即可证得题中的结论；(Ⅱ)首先求得四棱锥P ABE -的体积，然后利用等体积法即可求得点E 到平面PAB 的距离. 〖详 解〗(Ⅰ)连接BD ，在PAD ∆中，2PA PD ==，E 是AD 的中点， ∴得PE AD ⊥，∵平面PAD ⊥平面ABCD ，平面PAD 平面ABCD AD =，∴PE ⊥平面ABCD ， ∴PE BE ⊥，又∵四边形ABCD 是边长为2的菱形，60A ∠=︒， ∴ABD ∆为等边三角形， ∴BE AD ⊥， 又∵PEAD E =，PE ⊂面PAD ，AD ⊂面PAD ，∴BE ⊥平面PAD ；(Ⅱ)在PAB ∆中，2PA AB ==，6PB =15PAB S ∆=， 在ABE ∆中，2AB =，1AE =，3BE =，则32ABE S ∆=， 由PE ⊥面ABCD ，3PE =111313322P ABE V -=⨯=， 由P ABE E PAB V V --=，设点E 到平面PAB 的距离为h ， 则11513333h =，则15h =即点E 到平面PAB 的距离为155. 〖点 睛〗本题主要考查线面垂直的判定定理，线面垂直的性质定理，等体积法求解点面距离的方法等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力. 20.已知函数()xf x xe =，ln ()xg x x=. （1）求函数()f x 的极值；（2）当>0x 时，求证：>()()f x g x .〖答 案〗(1) ()f x 的极小值为1(1)f e-=-，无极大值.（2）见解析. 〖解 析〗 〖分析〗（1）对()xf x xe =求导，确定函数单调性，得到函数极值. （2）构造函数2()ln (0)F x x x x =->，证明()0F x >恒成立，得到2ln 1xx <， 22ln ln x x x e xe x x>⇒>，得证. 〖详 解〗（1）由题意知，()(1)xxxf x xe e x e '=+=+，令()>0f x '，得>1x -，令()0f x '<，得1x <-.则()f x 在(,1)-∞-上单调递减，在(1,)-+∞上单调递增，所以()f x 的极小值为1(1)f e-=-，无极大值. （2）当0x>时，要证()()f x g x >，即证2ln xx e x >.令2()ln (0)F x x x x =->，则1()2(0)x x F x x'=->，令'()0F x >，得2x >，令'()0F x <，得0x <<则()F x 在0,2⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭上单调递减，在,2⎛⎫+∞ ⎪ ⎪⎝⎭上单调递增，所以当0x>时，1()ln 0222F x F ⎛≥=-> ⎝⎭， 所以2ln x x >，即2ln 1xx <.因为0x>时，01x e e >=， 所以当0x>时，22ln ln x x x e xe x x>⇒>，所以当0x>时，不等式()()f x g x >成立.〖点 睛〗本题考查了函数的单调性，极值，不等式的证明，构造函数2()ln (0)F x x x x =->是解题的关键.21.已知椭圆()222210x y a b a b+=>>的上顶点为A ，右焦点为F ，O 是坐标原点，AOF ∆是等腰直角三角形，且周长为2+. （1）求椭圆的方程；（2）若直线l 与AF 垂直，且交椭圆于B ，C 两点，求ABC ∆面积的最大值.〖答 案〗（1）22142x y +=（2）83〖解 析〗 〖分析〗（1）依题意求出a ，b ，c 的值，即可求出椭圆方程；（2）由（1）可得直线AF 的斜率，则可设直线l 的方程为(y x m m =+≠，联立直线与椭圆方程，利用根的判别式求出参数m 的范围，设()11,B x y ，()22,C x y ，利用韦达定理及点到线的距离公式表示出BC 及点A 到直线l 的距离d ，则12ABC S BC d ∆=⋅=利用导数求出面积的最值；〖详 解〗解：（1）在AOF ∆中，OA b =，FO c =，则=AF a ，因为AOF ∆是等腰直角三角形，且周长为2+，所以b c =，a =，2a b c ++=+得b c ==2a =，因此椭圆的方程为22142x y +=.（2）由（1）知(A ，)F，则直线AF斜率1AF k =-，因为直线l 与AF 垂直，所以可设直线l 的方程为(y x m m =+≠，代入22142x y +=，得2234240x mx m ++-=，则()()22434240m m ∆=-⨯->，解得m <<，所以(()2,6m ∈.设()11,B x y ，()22,C x y ，则1243m x x +=-，212243m x x -=，12BC x x =-=又点A 到直线l的距离d =所以12ABC S BC d∆=⋅=(()2,6m ∈.令()()(226f m mm =-，(()2,6m∈则()(22f m m m m '=-+-，令()0fm '>，则m<<2m <<，令()0f m '<，则m<或2m<<因此()f m在(上是增函数，在(上是减函数，在2⎫⎪⎪⎭上是增函数，在2⎛⎝上是减函数.因为(32f =，34f=⎝⎭，(f f>⎝⎭， 所以当m =()f m 取得最大值，()max 32f m =， 所以()max833ABC S ∆===， 因此ABC ∆面积的最大值是83.〖点 睛〗本题考查待定系数法求椭圆方程，直线与椭圆的综合应用，利用导数求函数的最值，属于中档题.（22，23为二选一的选修题，10分）22.在平面直角坐标系xOy 中,已知直线l的参数方程为121x t y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩（t 为参数）.在以坐标原点O 为极点,x 轴的正半轴为极轴,且与直角坐标系长度单位相同的极坐标系中,曲线C 的极坐标方程是4πρθ⎛⎫=+⎪⎝⎭. （1）求直线l 的普通方程与曲线C 的直角坐标方程；（2）设点()0,1P -.若直l 与曲线C 相交于两点,A B ,求PA PB +的值. 〖答 案〗（110y --=，22(1)(1)2x y -+-=；（2）1. 〖解 析〗 〖分析〗（1）利用代入法消去参数方程中的参数可求直线l 的普通方程，极坐标方程展开后，两边同乘以ρ，利用222,cos ,sin x y x y ρρθρθ=+== ，即可得曲线C 的直角坐标方程；（2）直线l 的参数方程代入圆C 的直角坐标方程，利用韦达定理、直线参数方程的几何意义即可得结果.〖详 解〗（1）将直线l 的参数方程消去参数t 并化简，得 直线l10y --=.将曲线C的极坐标方程化为2cos 22ρθθ⎛⎫=+ ⎪⎪⎝⎭. 即22sin 2cos ρρθρθ=+.∴x 2+y 2=2y+2x.故曲线C 的直角坐标方程为()()22112x y -+-=. （2）将直线l 的参数方程代入()()22112x y -+-=中，得22112222t t ⎛⎫⎛⎫-+-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.化简，得(2130t t -++=.∵Δ>0，∴此方程的两根为直线l 与曲线C 的交点A ，B 对应的参数t 1，t 2.由根与系数的关系，得121t t +=，123t t =，即t 1，t 2同正.由直线方程参数的几何意义知,12121PA PB t t t t +=+=+=.〖点 睛〗本题主要考查参数方程和普通方程的转化、极坐标方程和直角坐标方程的转化以及直线参数方程的应用，属于中档题. 消去参数方程中的参数，就可把参数方程化为普通方程，消去参数的常用方法有：①代入消元法；②加减消元法；③乘除消元法；④三角恒等式消元法；极坐标方程化为直角坐标方程，只要将cos ρθ和sin ρθ换成x 和y 即可.23.已知()1f x x a x =-++.（1）若不等式()21f x x <++的解集是区间3,2的子区间，求实数a 的取值范围；（2）若对任意的x ∈R ，不等式()21>+f x a 恒成立，求实数a 的取值范围.〖答 案〗（1）[]1,0-（2）(),0-∞〖解 析〗〖分析〗（1）首先求出不等式的解集，再根据集合的包含关系求出参数的取值范围；（2）根据绝对值的三角不等式可得()1111f x x a x a x x a x x a =-++=-++≥-++=+，故对任意的x ∈R ，()21>+f x a 恒成立可转化为121a a +>+， 分类讨论计算可得；〖详 解〗解：（1）因为()1f x x a x =-++，且()21f x x <++，2x a ∴-< ，22a x a ∴-+<<+，由题意知，()[]2,23,2a a -+⊆-，所以2322a a -≥-⎧⎨+≤⎩， 解得10a -≤≤，所以实数a 的取值范围是[]1,0-.（2）()1111f x x a x a x x a x x a =-++=-++≥-++=+，当且仅当()()10a x x -+≥时，等号成立，所以()f x 的最小值为1a +.故对任意的x ∈R ，()21>+f x a 恒成立可转化为121a a +>+，所以10121a a a +≥⎧⎨+>+⎩或10121a a a +<⎧⎨-->+⎩，解得0a <. 所以实数a 的取值范围是(),0-∞.〖点 睛〗本题考查绝对值不等式的解法，集合的包含关系及绝对值三角不等式的应用，属于中档题.。

2020-2021学年黑龙江省哈尔滨市第九中学高二上学期期末考试数学（文）试题一、单选题1．过点()4,3M -和()2,1N -的直线方程是（ ） A ．30x y -+= B ．10x y ++=C ．10x y --=D ．30x y +-=【答案】B【分析】由两点式方程即可求出.【详解】由两点式得，()()431324x y ---=----， 整理得10x y ++=. 故选B.2．双曲线221169y x -=的虚半轴长是（ ）A ．3B ．4C ．6D ．8【答案】A【分析】由双曲线方程求出b 的值可得结果 【详解】解：由题意得2216,9a b ==， 所以4,3a b ==，所以双曲线221169y x -=的虚半轴长为3故选：A3．直线0x y +=被圆226240x y x y +-++=截得的弦长等于（ ）A ．4B ．2C ．D【答案】A【分析】先将圆化成标准方程，求出圆心与半径，再求圆心到直线的距离，然后解弦长即可．【详解】因为226240x y x y +-++= 所以22(3)(1)6x y -++=，圆心到直线的距离为d =直线0x y +=被圆226240x y x y +-++=截得的弦长4l =；故选：A ．【点睛】计算圆的弦长通常使用几何法简捷．也可使用代数法计算.4．唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河.”诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在区域为221x y +≤，若将军从点(4,3)A -处出发，河岸线所在直线方程为4x y +=，并假定将军只要到达军营所在区域即回到军营，则“将军饮马”的最短总路程为（ ） A ．8 B ．7 C ．6 D ．5【答案】C【分析】求出A 关于y 4x +=的对称点A ',根据题意，1A C '-为最短距离，求出即可.【详解】设点A 关于4x y +=的对称点(,)A a b '，设军营所在区域为的圆心为C ,根据题意，1A C '-为最短距离，∴AA '的中点为43,22a b +-⎛⎫⎪⎝⎭，，直线'AA 的斜率为1, ∴434,22,31,4a b b a +-⎧+=⎪⎪⎨+⎪=⎪-⎩解得：7,0a b ==, ∴1716A C '-=-=，故选: C.【点睛】本题考查点关于直线对称，点与圆心的距离，考查运算求解能力，求解时注意对称性的应用.5．已知点(), x y 满足：221x y +=，则x y +的取值范围是（ ）A．⎡⎣B ．[]1,1-C ．⎡⎣D ．(【答案】A【分析】由221x y +=，可设cos sin x y αα=⎧⎨=⎩，则cos sin 4x y πααα⎛⎫+=+=+ ⎪⎝⎭可得答案.【详解】由221x y +=，可设cos sin x y αα=⎧⎨=⎩，则cos sin 4x y πααα⎛⎫+=+=+ ⎪⎝⎭由1sin 14πα⎛⎫-≤+≤ ⎪⎝⎭，可得x y ≤+≤故选：A【点睛】本题考查圆中的最值问题，考查三角换元，属于基础题.6．已知抛物线2:4C y x =的焦点为F ，过点F 的直线与抛物线交于A ，B 两点，满足6AB =，则线段AB 的中点的横坐标为（ ） A ．2 B ．4C ．5D ．6【答案】A【分析】根据抛物线的定义和抛物线的方程可以直接求出点的坐标.【详解】由抛物线方程可知(1,0)F ，假设,A B 横坐标分别为12,x x ，由抛物线的准线的性质可知 1212||264AB x x x x =++=⇒+=，AB 中点的横坐标为121()22x x +=. 故选;A【点睛】本题考查了抛物线的定义，考查了数学运算能力.属于基础题.7．直线210kx y k -++=与240x y +-=的交点在第四象限，则k 的取值范围为（ ） A ．()6,2-- B ．1,06⎛⎫- ⎪⎝⎭C ．11,26--⎛⎫⎪⎝⎭D ．11,62⎛⎫-- ⎪⎝⎭【答案】C【分析】联立方程可直接求出交点坐标，令交点的横坐标大于零，纵坐标小于零，解不等式组即可. 【详解】解：直线210kx y k -++=与240x y +-=的交点在第四象限，210k ∴+≠，联立方程：{210240kx y k x y -++=+-= ，解得24216121k x k k y k -=++=+⎧⎨⎩， 即2402161021kx k k y k -=>++=<+⎧⎨⎩， 解得：1126k -<<-. 故选：C.8．设1F ，2F 分别为双曲线22134x y -=的左，右焦点，点P 为双曲线上的一点.若12120F PF ∠=︒，则点P 到x 轴的距离为（ ）A．21B．21C．21D【答案】C【分析】如图，设1=PF m ，2=PF n，由双曲线定义知m n -22212m n mn +-=，在12F PF △中利用余弦定理可得：2228m n mn ++=，即可得到163mn =，再利用等面积法即可求得PD 【详解】由题意，双曲线22134x y -=中，2223,4,7a b c === 如图，设1=PF m ，2=PF n，由双曲线定义知=2m n a -=两边平方得：22212m n mn +-=在12F PF △中，由余弦定理可得：2222cos120428m n mn c +-==，即2228m n mn ++=两式相减得：316mn =，即163mn =利用等面积法可知：11sin120222mn c PD=⨯⨯，即163PD= 解得PD = 故选：C.【点睛】关键点睛：本题考查双曲线的定义及焦点三角形的几何性质，解题的关键是熟悉焦点三角形的面积公式推导，也可以直接记住结论：（1）设1F ，2F 分别为椭圆22221x y a b +=的左，右焦点，点P 为椭圆上的一点，且12F PF θ∠=，则椭圆焦点三角形面积122tan2F PF Sb θ=（2）设1F ，2F 分别为双曲线22221x y a b-=的左，右焦点，点P 为双曲线上的一点，且12F PF θ∠=，则双曲线焦点三角形面积122tan2F PF b Sθ=9． 已知点A (－2,3)在抛物线C ：y 2＝2px 的准线上，过点A 的直线与C 在第一象限相切于点B ，记C 的焦点为F ，则直线BF 的斜率为( ) A ．12B ．23C ．34D ．43【答案】D【解析】试题分析：由于点(2,3)A -在抛物线C ：22y px =的准线上，所以，设直线AB 的方程为(3) 2......()x k y =--*，将()*与28y x =联立，即2(3)2{8x k y y x=--=2824160......()y ky k ⇒-++=⊗，则264966402k k k =--=∴=（负值舍去），将k=2代入()⊗得y=8，即可求出x=8，故B （8,8），所以804823BF k -==-，故选D. 【解析】1.直线与抛物线的位置关系；2.斜率公式.10．已知椭圆()222210x y a b a b+=>>上一点A 关于原点的对称点为点B ，F 为其右焦点，若AF BF ⊥，设ABF α∠=，且,64ππα⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则该椭圆的离心率e 的取值范围是（ ）A．⎤⎥⎣⎦B．1⎤⎥⎣⎦ C．⎣⎦ D．⎣⎦【答案】B【分析】设椭圆()222210x y a b a b+=>>的左焦点为：1F ,根据AF BF ⊥，得到四边形为1AF BF 为矩形，再由ABF α∠=，结合椭圆的定义得到22sin 2cos a c c αα=+，然后由1sin cos c e a αα==+求解. 【详解】设椭圆()222210x y a b a b+=>>的左焦点为：1F ,因为AF BF ⊥，所以四边形为1AF BF 为矩形， 所以12AB FF c == 因为ABF α∠=，所以2sin ,2cos ,AF c BF c αα== 由椭圆的定义得：22sin 2cos a c c αα=+，所以11sin cos 4c e a πααα===+⎛⎫+ ⎪⎝⎭， 因为,64ππα⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦， 所以5,4122πππα⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，所以sin 4πα⎤⎛⎫+∈⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦，4πα⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭⎣，所以12e ⎤∈⎥⎣⎦，故选：B【点睛】方法点睛：椭圆定义的应用主要有两个方面：一是确认平面内与两定点有关的轨迹是否为椭圆；二是当P 在椭圆上时，与椭圆的两焦点F 1，F 2组成的三角形通常称为“焦点三角形”，利用定义可求其周长；利用定义和余弦定理可求|PF 1|·|PF 2|；通过整体代入可求其面积等．11．已知F 是抛物线2y x =的焦点，点A ，B 在该抛物线上且位于x 轴的两侧，2OA OB ⋅=（其中O 为坐标原点），则ABO ∆与AFO ∆面积之和的最小值是（ ） A ．2 B ．3CD【答案】B【详解】试题分析：据题意得1(,0)4F ，设1122(,),(,)A x y B x y ，则221122,x y x y ==，221212122,2y y y y y y +==-或121y y =，因为,A B 位于x 轴两侧所以.所以122y y =-两面积之和为12211111224S x y x y y =-+⨯⨯221221121111112248y y y y y y y y =-+⨯⨯=-+⨯111218y y y =++⨯11298y y =+112938y y =+≥.二、填空题12．已知抛物线的焦点(,0)(0)F a a <，则抛物线的方程为__________. 【答案】24y ax =【分析】根据抛物线的焦点以及抛物线的标准方程即可求解. 【详解】由抛物线的焦点(,0)(0)F a a <， 可知焦点在x 轴的负半轴上，2pa =-， 所以224y px ax =-=. 故答案为：24y ax =13．若三个点()2,1-，()2,3-，()2,1-中恰有两个点在双曲线222:1(0)x C y a a-=>上，则双曲线C 的渐近线方程为_______.【答案】2y x =±【分析】利用双曲线的图象关于原点对称,得到点()2,1-， ()2,1-在双曲线222:1(0)x C y a a-=>上求解.【详解】因为三个点()2,1-，()2,3-，()2,1-中恰有两个点在双曲线222:1(0)x C y a a-=>上，又双曲线的图象关于原点对称,所以点()2,1-， ()2,1-在双曲线222:1(0)x C y a a-=>上，所以2411a -=，解得a =所以其渐近线方程为：2y x =±.故答案为：y = 【点睛】本题主要考查双曲线的对称性的应用以及渐近线方程的求法，还考查了运算求解的能力，属于基础题.14．椭圆221123x y +=的焦点分别是1F ，2F 点P 在椭圆上，如果线段1PF 的中点在y 轴上，那么1PF 是2PF 的________倍. 【答案】7【分析】根据线段PF 1的中点M 在y 轴上，推出2PF x ⊥轴，由此可设P (3，b )，代入椭圆方程求出2b ，再根据两点间的距离公式求出1||PF 和2||PF 可得解.【详解】由22123x y +＝1可知212a =，23b =，所以2221239c a b =-=-=， 所以F 1(－3，0)，F 2(3，0)，∵线段PF 1的中点M 在y 轴上，且原点O 为线段12F F 的中点， 所以2//PF MO ，所以2PF x ⊥轴， ∴可设P (3，b )，把P (3，b )代入椭圆22123x y +＝1，得234b =.∴|PF 1|＝3733642+=，|PF 2|＝33042+=. ∴1273||27||3PF PF ==. 故答案为：715．过抛物线()2:20C y px p =>的焦点F 的直线l 与C 相交于,A B 两点，且,A B 两点在准线上的射影分别为,M N ，,MFN BFN AFMMFNSS SSλμ==，则λμ=_____________. 【答案】4【分析】设MAF θ∠=,AF a =，BF b =，可得21sin 2MAF S a θ∆=，21sin 2NBF S b θ∆=，2222221()sin 4MNF S MF NF a b θ∆=⋅=，可得λμ的值.【详解】解：如图：设MAF θ∠=,AF a =，BF b =，由抛物线定义可得：AM a =,BN b =,2MFO NFO MFA NFB π∠+∠=∠+∠=,在MAF ∆中，由余弦定理可得：222(1cos )MF a θ=-， 同理：222(1cos )MF b θ=+，故21sin 2MAF S a θ∆=，21sin 2NBF S b θ∆=， 2222221()sin 4MNF S MF NF a b θ∆=⋅=，故2()4MNF MAF NBFS S S λμ∆∆∆=⋅=， 故答案为：4.【点睛】本题主要考查抛物线的定义与几何性质，属于中档题，注意余弦定理的灵活运用.三、解答题16．已知直线l 过点()1,2.（1）当直线l 在两坐标轴上的截距相等时，求直线l 方程；（2）若直线l 交x 轴正半轴，y 轴正半轴分别于A ，B 两点，求AOB 面积的最小值. 【答案】（1）2y x =或30x y +-=；（2）最小值为4.【分析】（1）当直线的截距为0时，直接求解；当截距不为0时， 设直线方程的截距式：设直线l 的方程为1x ya a+=，将点代入，解出a 即得直线方程； （2）同样设直线l 的方程为1x y a b +=，问题变为已知121a b +=，要求12ab 的最小值，把已知条件121a b+=利用基本不等式即得．【详解】（1）当直线的截距为0时，则2y x = 当截距不为0时，设直线l 的方程为1x ya a+=， 把点()1,2代入可得121a a+=，解得3a =， 故直线l 的方程为2y x =或30x y +-=. （2）设直线l 的方程为()10,0x y a b a b +=>>，把点P 代入可得121a b+=，则121a b =+≥8ab ≥，当12a b =，即2a =，4b =时取“=” 故118422AOBSab =≥⨯=， 所以AOB 面积的最小值为4.【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方17．在①圆经过()3,4C ，②圆心在直线20x y +-=上，③ 圆截y 轴所得弦长为8且圆心E 的坐标为整数；这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，进行求解. 已知圆E 经过点()1,2A -，()6,3B 且_________； （1）求圆E 的方程；（2）求以()2,1为中点的弦所在的直线方程.【答案】（1）22(3)(1)25x y -++=；（2）12y x =. 【分析】（1）设出圆的一般方程220x y Dx Ey F ++++=，若选①：将点()1,2A -，()6,3B ，()3,4C 代入，解方程组即可求解，若选②：将点()1,2A -，()6,3B 代入圆的一般方程，求出圆心坐标,22D E ⎛⎫-- ⎪⎝⎭代入20x y +-=即可求出,,D E F ，进而可得圆的一般方程，若选③：将点()1,2A -，()6,3B 代入圆的一般方程，再令220x y Dx Ey F ++++=中的0x =得20y Ey F ++=可得128y y -===，即可求解.（2）求出直线ME 的斜率ME k ，则弦所在直线的斜率k ，1ME k k ⋅=-，即可求斜率，利用点斜式即可得直线的方程.【详解】（1）选条件①，设圆的方程为220x y Dx Ey F ++++=，依题意有5204563025340D E F D E F D E F -++=⎧⎪+++=⎨⎪+++=⎩，解得6D =-，2E =，15F =-，所以圆的方程为2262150x y x y +-+-=，即为：22(3)(1)25x y -++=.选条件②，设圆的方程为220x y Dx Ey F ++++=，因为圆E 经过点()1,2A -，()6,3B ，且圆心在直线20x y +-=上依题意有520456302022D E F D E F D E⎧⎪-++=⎪+++=⎨⎪⎪---=⎩，解得6D =-，2E =，15F =-，所以圆E 的方程为22(3)(1)25x y -++=.选条件③，设圆E 的方程为220x y Dx Ey F ++++=， 由圆E 经过点()1,2A -，()6,3B ，故52045630D E F D E F -++=⎧⎨+++=⎩，又因为圆截y 轴所得弦长为8，故方程20y Ey F ++=的两个实数根1y ，2y 的差的绝对值为8. 所以128y y -===，即2464E F -=解方程组252045630464D E F D E F E F -++=⎧⎪+++=⎨⎪-=⎩，得6D =-，2E =，15F =-或20649D =-，747E =-，58549F =， 由于圆心E 的坐标为整数，故圆E 的方程为22(3)(1)25x y -++=.（2）由（1）知圆心()3,1E -，弦中点为()2,1M ， 所以11232ME k --==--， 弦所在直线的斜率112MEk k =-=， 所以弦所在直线方程为()1122y x -=-，即12y x =. 【点睛】关键点点睛：本题解题的关键点是利用待定系数法求圆的方程，设圆的一般方程，再利用已知条件列方程，圆心与弦中点的连线与弦垂直，可求弦所在直线的斜率.由点斜式即可得方程.18．已知抛物线()2:20C y px p =>，焦点为F ，准线为l ，抛物线C 上一点A 的横坐标为3，且点A 到焦点的距离为4.（1）求抛物线的方程；（2）设过点(6,0)P 的直线l 与抛物线交于A ，B 两点，若以AB 为直径的圆过点F ，求直线l 的方程.【答案】（1）24y x =；（2）:2120l x y ±-=.【分析】（1）根据抛物线的定义由点A 的横坐标求出p ，进而得出抛物线的方程； （2）设直线6l x my =+:以及点,A B 的坐标，并与抛物线方程联立，结合韦达定理得出1212424y y m y y +=⎧⎨=-⎩，由圆的性质得出FA FB ⊥，结合数量积公式求出直线l 的方程.【详解】解：（1）抛物线22(0)y px p =>的准线方程为：2px =-抛物线C 上一点A 的横坐标为3，∴根据抛物线的定义可知，342p += ∴2p =∴抛物线C 的方程是24y x =（2）由题意可知，直线l 不垂直于y 轴可设直线6l x my =+:，则由246y x x my ⎧=⎨=+⎩可得，24240y my --=设1122(,),(,)A x y B x y ，则1212424y y my y +=⎧⎨=-⎩ 因为以AB 为直径的圆过点F ，所以FA FB ⊥，即0FA FB ⋅=()()()()212121212111525x x y y m y y m y y ∴--+=++++2224(1)20250m m =-+++=解得：12m =±，∴直线1:62l x y =±+，即:2120l x y ±-=. 【点睛】第一问中，主要是利用抛物线的定义求出抛物线的方程，第二问中，关键将FA FB ⊥转化为0FA FB ⋅=进行求解.19．已知抛物线24y x =，过其焦点F 做两条互相垂直的直线1l ，2l ，1l 交抛物线于A ，B 两点，2l 交抛物线于C ，D 两点. （1）若直线1l 斜率为2，求AB 长； （2）求四边形ACBD 面积最小值. 【答案】（1）5；（2）最小值为32.【分析】（1）由题意可得直线1l 的方程22y x =-，与抛物线联立，根据韦达定理，结合抛物线的定义，即可求得答案；（2）显然直线1l ，2l 的斜率都存在，设直线1l 的方程为(1)y k x =-，与抛物线联立，结合抛物线的定义，可求得244AB k=+ ，同理可求得CD ，四边形ACBD 面积12S AB CD =⋅，结合基本不等式，即可求得答案. 【详解】（1）由题意得(1,0)F ，所以直线1l 的方程22y x =-，设1122(,),()A x y B x y ，则2224y x y x=-⎧⎨=⎩，可得2310x x -+=， 所以123x x +=，由抛物线定义可得12325AB x x p =++=+=；（2）显然直线1l ，2l 的斜率都存在，设直线1l 的方程为(1)y k x =-，则直线2l 的方程为1(1)y x k=--，联立2(1)4y k x y x=-⎧⎨=⎩，得2222(24)0k x k x k -++=，所以122222244k x k x k++==+， 所以122244224AB x x p k k=++=++=+， 同理可得244CD k =+， 所以四边形ACBD 面积22221141(4)(44)8(2)22S AB CD k k k k =⋅=+⋅+=++82)32≥⨯=， 当且仅当221kk =，即1k =±时等号成立， 所以四边形ACBD 面积最小值为32.【点睛】解题的关键是灵活应用抛物线的定义处理弦长问题，可简化计算，提高正确率，考查分析理解，计算化简的能力，属中档题.20．已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的焦点为()1F，)2F，且过点12⎫⎪⎭. （1）求椭圆C 的方程；（2）设椭圆的上顶点为B ，过点()2,1--作直线交椭圆于M ，N 两点，记直线MB ，NB 的斜率分别为MB k ，NB k ，试判断MB NB k k +是否为定值？若为定值，求出该定值；若不是定值，说明理由.【答案】（1）2214x y +=；（2）是定值，定值为1，理由见解析. 【分析】（1）由题意，得出关于,,a b c 的方程组，求得,a b 的值，即可得到椭圆的标准方程；（2）设直线MN 的方程为()12y k x +=+，联立方程组()221214y k x x y ⎧+=+⎪⎨+=⎪⎩，利用根与系数的关系，得到1212,x x x x +，结合斜率公式进行计算，即可求得MB NB k k +是为定值.【详解】（1）椭圆C ：22221x y a b+=的焦点为()1F，)2F ，且过点12⎫⎪⎭，可得222223114c a b c a b ⎧=⎪⎪+=⎨⎪=-⎪⎩，解得2,1a b ==，所以椭圆的方程为2214x y +=.（2）由（1）可得点()0,1B ，设()()1122,,,M x y N x y ，直线MN 的方程为()12y k x +=+，联立方程组()221214y k x x y ⎧+=+⎪⎨+=⎪⎩，整理得()()()22148211610k x k k x k k ++-+-=， 所以()()121222821161,1414k k k k x x x x k k--+=-=++， 则()()()()12121212121212222221 1 2MB NB kx x k x x k x x y y k k k x x x x x x +-+-+--+=+==+ 2(1)8(21)22(21)116(1)k k k k k k k k -⨯-=+=--=-，所以MB NB k k +是为定值1.【点睛】有关直线与圆锥曲线的位置关系的综合应用问题，通常联立直线方程与圆锥曲线方程，应用一元二次方程根与系数的关系进行求解，此类问题易错点是复杂式子的变形能力不足，导致错解，能较好的考查考生的逻辑思维能力、运算求解能力．21．已知点F 是椭圆()222210x y C a b a b+=>>：的右焦点，过点F 的直线l 交椭圆于,M N 两点，当直线l 过C 的下顶点时，ll 垂直于C 的长轴时，OMN 的面积为32．（Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；（Ⅱ）当2MF FN =时，求直线l 的方程；（Ⅲ）若直线l 上存在点P 满足,,PM PF PN 成等比数列，且点P 在椭圆外，证明：点P 在定直线上．【答案】（Ⅰ）22143x y +=；（Ⅱ20y ±-=；（Ⅲ）详见解析． 【分析】（Ⅰ）根据题意得：b c =232b c a =，及222a b c =+，解得,a b ，进而可得椭圆的方程；（Ⅱ）分两种情况：当直线l 与x 轴重合时，得3MF FN =，不合题意；当直线l 与x 轴不重合时，设直线l 的方程为1x ty =+，1122,,M x y N x y ，联立直线与椭圆得方程，结合根与系数关系得1212,y y y y +，由2MF FN =，得122y y =-，组成方程组解得t ，进而可得直线l 的方程；（Ⅲ）设()00,P x y ，分两种情况讨论，当直线l 与x 轴重合时，当直线l 与x 轴不重合时，由2PM PN PF ⋅=，解得052x =，所以点P 在定直线52x =上．【详解】解：（Ⅰ）由题设：b c =232b c a =，解得：2,a b ==，所以椭圆C 的方程为：22143x y +=．（Ⅱ）当直线l 与x 轴重合时，可得3MF FN =，不合题意； 当直线l 与x 轴不重合时，设直线l 的方程为：1x ty =+，设()()1122,,,M x y N x y ，联立2213412x ty x y =+⎧⎨+=⎩， 消去x 整理得：()2234690t y ty ++-=， 有122634t y y t -+=+①，122934y y t -=+②， 由2MF FN =，得122y y =-③，联立①②③得2222729(34)34t t t --=++，解得：t =±，所以直线l 20y ±-=． （Ⅲ）设()00,P x y ，当直线l 与x 轴重合时，因为点P 在椭圆外，所以002,2x x +-同号， 由2PM PN PF ⋅=，得()()()2000221x x x +-=-，解得：052x =， 当直线l 与x 轴不重合时， 由（Ⅱ）知122634t y y t -+=+，122934y y t -=+，因为10PM y =-，20PN y y =-，0PF =，因为点P 在椭圆外，所以1020,y y y y --同号， 由2PM PN PF ⋅=， 得()()210200y y y y y --=，整理得：()120120y y y y y -+=，即0229603434ty t t ---=++， 解得：032y t=，代入直线l 方程1x ty =+，得：052x =， 所以点P 在定直线52x =上． 【点睛】本题考查椭圆的标准方程和直线方程，以及直线与椭圆的位置关系，联立方程组、韦达定理，还涉及等比中项的应用，考查转化思想和计算能力．。

2019-2020学年高二上数学期中模拟试卷含答案试题总分：150分 考试时间：120分钟一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在答题卡相．．．．应位置．．．． 1. 已知f(x)＝x 2＋ax ＋b ，满足f(1)＝0，f(2)＝0，则f(－1)= ▲ ． 2. 函数)4lg(2x x y -++=的定义域为 ▲ ．3.30y +-=的斜率是 ▲4. 若直线210ax y ++=与直线20x y +-=互相平行，那么a 的值等于 ▲5. 经过点)0,1(-，且与直线y x +＝0垂直的直线方程是 ▲6. 以)0,2(A ，)4,0(B 所连线段为直径的圆的方程是 ▲7. 直线0543=-+y x 到直线01543=++y x 的距离是 ▲8.直线032=-+y x 关于直线1=x 对称的直线的方程是 ▲9．设直线过点(0,),a 其斜率为1，且与圆222x y +=相切，则a 的值为 ▲ 10．直线250x y -+=与圆228x y +=相交于A 、B 两点，则AB ∣∣= ▲ ．11.若某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为 ▲12.已知一个球体的半径为1cm,若使其表面积增加到原来的2倍,则表面积增加后球的体积为 ▲13．设,m n 为空间的两条直线，,αβ为空间的两个平面，给出下列命题：①若m ∥α,m ∥β , 则α∥β； ②若m ⊥α，m ⊥β，则α∥β; ③若m ∥α，n ∥α，则m ∥n ； ④若m ⊥α，n ⊥α，则m ∥n ; 上述命题中，其中假命题．．．的序号是 ▲ ． 14．在圆06222=--+y x y x 内，过点E （0，1）的最长弦和最短弦分别是 AC 和BD ，则四边形ABCD 的面积是 ▲二．解答题（本题总计80分）15．（本小题满分12分）已知直线1l ：(2)(3)50m x m y +++-=和2l ：6(21)5x m y +-=。