§2.2.1椭圆及其标准方程

1 2
注意:椭圆定义中容易遗漏的三处地方： （1） 平面内----这是大前提; （2）动点 M 到两个定点 F1、F2 的距离之和是常数 2a ； （3）常数2a要大于两个定点之间 的距离 | F1 F2 | .
M F1 F2
观察得出：在同样的绳长下，两定点间距离较长，则所画 出的椭圆较扁（ 线段）; 两定点间距离较短，则所画出的椭圆较圆( 圆）. 由此可知，椭圆的形状与两定点间距离、绳长有关．

1( a b 0 )( 2 )
表 示 焦 点 在 x轴 上 ， 焦 点 是 F1 ( c , 0 ), F 2 ( c , 0 ) 的椭圆的标准方程. 其 中 c a b 且 a b 0.
2 2 2
表 示 焦 点 在 y轴 上 ， 焦 点 是 F1 (0, c ), F 2 (0, c ) 的椭圆的标准方程. 其 中 c a b 且 a b 0.
2 2 2
五.作业
课本P42：练习A 选做题：P43练习B
(1) 两 个 焦 点 的 坐 标 分 别 是 ( - 3 , 0 ) , ( 3 , 0 ) , 椭 圆 上 一 点 P与 两 焦 点 的 距 离 的 和 等 于 8；
(2)两 个 焦 点 的 坐 标 分 别 是 (0,-4),(0,4),并 且 椭 圆 经 过 点 ( 3 , 5 ).
思考：求一个椭圆的标准方程需求几个量？
2 2
M
F1 O F2 x
( x c ) y 2a
2 2
①
4.化简：
移项
2 2
( x c) y
2a
(x c) y
2
2
平方,化简 2 2 2 2 2 2 2 2 (a c ) x a y a (a c )

§2.1椭圆§2.2.1椭圆及其标准方程（第一课时)学习目标：1．理解椭圆的定义；2．学会求椭圆标准方程的方法。

学习重点：椭圆的定义及标准方程建立。

教习难点：椭圆标准方程的推导。

学习过程一、课前复习复习1：过两点(0,1),(2,0)的直线方程为 。

复习2：方程22(3)(1)4x y -++= 表示以 为圆心, 为半径的 。

二、自主学习阅读课本P 32页完成下列内容：取一条定长的细绳，把它的两端都固定在图板的同一个点处，套上铅笔，拉紧绳子，移动笔尖，这时笔尖画出的轨迹是一个 。

如果把细绳的两端拉开一段距离，分别固定在图板的两个点处，套上铅笔，拉紧绳子，移动笔尖，画出的轨迹是什么曲线？知识点1：椭圆的定义我们把 叫做椭圆，这两个定点F 1、F 2叫做椭圆的 ,两个焦点之间的距离叫做椭圆的 ，通常用2c （c>0）表示，而这个常数通常用2a 表示,椭圆用集合表示为 。

椭圆定义的理解：若将常数记为2a ，焦距记为2c. （1）当212F F a >时，其轨迹为 ； （2）当212F F a =时，其轨迹为 ； （3）当212F F a <时，其轨迹为 ． 小结：应用椭圆的定义注意两点：①分清动点和定点；②看是否满足常数122a F F >．知识点2：椭圆的标准方程（1）回顾求圆的标准方程的的基本步骤： （2）椭圆标准方程的推导：在X 轴的椭圆的标准方程为:思考：焦点在Y 轴上椭圆的标准方程？ .小结三 例1 完成填空（1）.已知两定点（-3，0），（3，0），若点P 满足1021=+PF PF ，则点P 的轨迹是 ，若点P 满足621=+PF PF ，则点P 的轨迹是 . （2.P 为椭圆1162522=+yx上一点,P 到一个焦点的距离为4,则P 到另一个焦点的距离为例2 写出适合下列条件的椭圆的标准方程：⑴4,1a b ==，焦点在x 轴上； ⑵4,a c ==y 轴上；四 当堂达标1．平面内一动点M 到两定点1F 、2F 距离之和为常数2a ，则点M 的轨迹为（ ）． A ．椭圆 B ．圆C ．无轨迹D ．椭圆或线段或无轨迹2.在椭圆10042522=+y x 中,a= ,b= ,焦距是 焦点坐标是 ,______.焦点位于________轴上3.椭圆191622=+yx,过焦点F 1的直线交椭圆于A,B 两点,则2ABF ∆的周长为4.求适合下列条件的椭圆的标准方程(1).a=4,b=1,焦点在x 轴上. (2).a=4,c=15,焦点在坐标轴上课后练习 1.如果点M(x,y)在运动过程,总满足关系式:10)3()3(2222=-++++y x y x ,点M 的轨迹是什么曲线?写出它的方程.2.已知△ABC 的一边长6=BC ，周长为16，求顶点A 的轨迹方程.§2.2.1椭圆及其标准方程(第二课时)学习目标：1. 进一步学会和掌握椭圆的定义与标准方程；2. 学会用相关点法求轨迹方程。

P F 2F 1课题：2.2.1椭圆及其标准方程（1） 第 课时 总序第 个教案课型： 新授课 编写时时间： 年 月 日 执行时间： 年 月 日教学目标：◆ 知识与技能目标理解椭圆的概念，掌握椭圆的定义、会用椭圆的定义解决实际问题；理解椭圆标准方程的推导过程及化简无理方程的常用的方法；了解求椭圆的动点的伴随点的轨迹方程的一般方法．◆ 过程与方法目标通过作图展示与操作，必须让学生认同：圆、椭圆、双曲线和抛物线都是圆锥曲线，是因它们都是平面与圆锥曲面相截而得其名；已知几何图形建立直角坐标系的两个原则，及引入参量22b a c =-的意义，培养学生用对称的美学思维来体现数学的和谐美。

◆ 情感、态度与价值观目标会把几何问题化归成代数问题来分析，反过来会把代数问题转化为几何问题来思考，培养学生的数形结合的思想方法；培养学生的会从特殊性问题引申到一般性来研究，培养学生的辩证思维能力．批 注教学重点：理解椭圆的概念，掌握椭圆的定义、会用椭圆的定义解决实际问题。

教学难点：理解椭圆标准方程的推导过程及化简无理方程的常用的方法。

教学用具： 多媒体，三角板 教学方法： 推导，分析教学过程： 一、课前准备（预习教材P 38~ P 40）复习1：过两点(0,1),(2,0)的直线方程 ．复习2：方程22(3)(1)4x y -++= 表示以 为圆心, 为半径的 ．二、新课导学 ※ 学习探究取一条定长的细绳，把它的两端都固定在图板的同一个点处，套上铅笔，拉紧绳子，移动笔尖，这时笔尖画出的轨迹是一个 ．如果把细绳的两端拉开一段距离，分别固定在图板的两个点处，套上铅笔，拉紧绳子，移动笔尖，画出的轨迹是什么曲线？思考：移动的笔尖（动点）满足的几何条件是什么？经过观察后思考：在移动笔尖的过程中，细绳的 保持不变，即笔尖 等于常数．新知１： 我们把平面内与两个定点12,F F 的距离之和等于常数（大于12F F ）的点的轨迹叫做椭圆，这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距 ．反思：若将常数记为2a ，为什么122a F F >？ 当122a F F =时，其轨迹为 ；当122a F F <时，其轨迹为 ．试试：已知1(4,0)F -，2(4,0)F ，到1F ，2F 两点的距离之和等于8的点的轨迹是 ．小结：应用椭圆的定义注意两点：①分清动点和定点；②看是否满足常数122a F F >． 新知２：焦点在x 轴上的椭圆的标准方程 ()222210x y a b a b +=>> 其中222b ac =- 若焦点在y 轴上，两个焦点坐标 ，则椭圆的标准方程是 ．※ 典型例题例1 写出适合下列条件的椭圆的标准方程： ⑴4,1a b ==，焦点在x 轴上；⑵4,15a c ==，焦点在y 轴上；⑶10,25a b c +==．变式：方程214x ym+=表示焦点在x 轴上的椭圆，则实数m 的范围 ．小结：椭圆标准方程中：222a b c =+ ；a b > ．例2 已知椭圆两个焦点的坐标分别是()2,0-，(2,0)，并且经过点53,22⎛⎫- ⎪⎝⎭，求它的标准方程 ．变式：椭圆过点 ()2,0-，(2,0)，(0,3)，求它的标准方程．小结：由椭圆的定义出发，得椭圆标准方程 ．※ 动手试试练1. 已知ABC ∆的顶点B 、C 在椭圆2213x y +=上，顶点A 是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC 边上，则ABC ∆的周长是（ ）．彗星太阳A ．23B ．6C ．43D ．12练2 ．方程219x ym-=表示焦点在y 轴上的椭圆，求实数m 的范围．三、总结提升 ※ 学习小结 1. 椭圆的定义： 2. 椭圆的标准方程：※ 知识拓展1997年初，中国科学院紫金山天文台发布了一条消息，从1997年2月中旬起,海尔·波普彗星将逐渐接近地球，过4月以后,又将渐渐离去,并预测3000年后,它还将光临地球上空1997年2月至3月间,许多人目睹了这一天文现象天文学家是如何计算出彗星出现的准确时间呢？原来，海尔·波普彗星运行的轨道是一个椭圆，通过观察它运行中的一些有关数据，可以推算出它的运行轨道的方程，从而算出它运行周期及轨道的的周长．学习评价※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）． A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分：1．平面内一动点M 到两定点1F 、2F 距离之和为常数2a ，则点M 的轨迹为（ ）．A ．椭圆B ．圆C ．无轨迹D ．椭圆或线段或无轨迹2．如果方程222x ky +=表示焦点在y 轴上的椭圆，那么实数k 的取值范围是（ ）．A ．(0,)+∞B ．(0,2)C ．(1,)+∞D ．(0,1)3．如果椭圆22110036x y +=上一点P 到焦点1F 的距离等于6，那么点P 到另一个焦点2F 的距离是（ ）．A ．4B ．14C ．12D ．84．椭圆两焦点间的距离为16，且椭圆上某一点到两焦点的距离分别等于9和15，则椭圆的标准方程 是 ．5．如果点(,)M x y 在运动过程中，总满足关系式2222(3)(3)10x y x y ++++-=，点M 的轨迹是 ，它的方程是 ．课后作业1. 写出适合下列条件的椭圆的标准方程：⑴焦点在x 轴上，焦距等于4，并且经过点()3,26P -； ⑵焦点坐标分别为()()0,4,0,4-，5a =；⑶10,4a c a c+=-=．2. 椭圆2214x yn+=的焦距为2，求n的值．教学后记：。

§2．2．1椭圆方程知识点1、平面内与两定点F 1，F 2的距离的和等于定长(定长大于两定点间的距离)的点的轨迹。

其中两定点F 1，F 2叫焦点，定点间的距离叫焦距。

2、 椭圆的标准方程：（1）焦点在x 轴上，中心在原点：12222=+by a x （a ＞b ＞0）；焦点F 1（－c ，0）， F 2（c ，0）。

其中22b a c -=（2）焦点在y 轴上，中心在原点：12222=+bx a y （a ＞b ＞0）；焦点F 1（0，－c ），F 2（0，c ）。

其中22b a c -= 注意：①在两种标准方程中，总有a ＞b ＞0，22b a c -=并且椭圆的焦点总在长轴上；②两种标准方程可用一般形式表示：Ax 2+By 2=1 （A ＞0，B ＞0，A ≠B ），当A ＜B 时，椭圆的焦点在x 轴上，A ＞B 时焦点在y 轴上。

3、 椭圆的参数方程：),,(sin cos 为中心坐标为参数k h k b y ha x θθθ⎩⎨⎧+=+= 4、 椭圆的几何性质：对于焦点在x 轴上，中心在原点：12222=+by a x （a ＞b ＞0）有以下性质：① 范围：|x|≤a ，|y|≤b ；② 对称性：对称轴方程为x=0，y=0，对称中心为O （0，0）； ③ 顶点：A 1（-a ，0），A 2（a ，0），B 1（0，-b ），B 2（0，b ），长轴|A 1A 2|=2a ，短轴|B 1B 2|=2b ； ④ 离心率：e=ac（焦距与长轴长之比）； 同步练习 一、填空1、焦点1(4,0)F -，2(4,0)F ，210a =； 则椭圆的标准方程：2、焦点1(0,4)F -，2(0,4)F ，210a =； 则椭圆的标准方程：3、焦点在x 轴上，:2:1a b =，c =；则椭圆的标准方程：4、焦点在y 轴上，225a b +=，且过点(；则椭圆的标准方程： 5、焦距为6，1a b -=；则椭圆的标准方程：6、椭圆经过两点35(,)22-，．则椭圆的标准方程：8、4a =，bc =b c <．则椭圆的标准方程：9、两个焦点的坐标分别是(4,0)-、(4,0)，椭圆上一点P 到两焦点距离的和等于10； 则椭圆的标准方程：10、两个焦点的坐标分别是(0,2)-、(0,2)，并且椭圆经过点35(,)22-．则椭圆的标准方程： 11、已知方程221410x y k k +=--表示焦点在x 轴上的椭圆，则实数k 的取值范围为 ．12、椭圆221169x y +=的焦距是 ，焦点坐标为 ，若CD 为过左焦点1F 的弦，则2F CD∆的周长为 ．13、椭圆22110064x y +=上一点P 到焦点1F 的距离等于8，则点P 到另一个焦点2F 的距离是 ．14、动点P 到两定点1(4,0)F -，2(4,0)F 的距离和是8，则动点P 的轨迹为 ． 15、方程2241x ky +=的曲线是焦点在y 轴上的椭圆，则k 的取值范围是 ． 二、解答16、求椭圆22mx ny mn+=-（0m n <<）的焦点坐标．17、已知,A B 是该椭圆上两点，A 点坐标为，||OB =，且AO BO ⊥，求这椭圆的标准方程方程.18、已知椭圆22916144x y +=，焦点为1F 、2F ，P 是椭圆上一点，且2160F PF ∠=，求21PF F ∆的面积。