2015年全国高考文科数学试题及答案-山东卷
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2015年普通高等学校招生全国统一考试（山东卷）
数学（文科）
第I卷（共50分）
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1、已知集合{24}Axx ，{(1)(3)0}Bxxx ，则AB
（A）（1，3） （B）（1，4） （C）（2，3） （D）（2，4）
2、若复数z 满足1zii ，其中i为虚数单位，则z
（A）1i （B）1i （C）1i （D）1i
3、设0.61.50.60.6,0.6,1.5abc ，则,,abc的大小关系是
（A）abc （B）acb （C）bac （D）bca
4、要得到函数sin(4)3yx的图象，只需将函数sin4yx的图象
（A）向左平移12个单位 （B）向右12平移个单位
（C）向左平移3个单位 （D）向右平移3个单位
5、设mR ，命题“若0m ，则方程20xxm 有实根”的逆否命题是
（A）若方程20xxm有实根，则0m
（B） 若方程20xxm有实根，则0m
（C） 若方程20xxm没有实根，则0m
（D） 若方程20xxm没有实根，则0m
6、为比较甲、乙两地某月14时的气温状况，随机选取该月中的5天，将这5天中14时的气温数据(单位：℃)制成如图所示的茎叶图。考虑以下结论： ①甲地该月14时的平均气温低于乙地该月14时的平均气温；
②甲地该月14时的平均气温高于乙地该月14时的平均气温；
③甲地该月14时的气温的标准差小于乙地该月14时的气温的标准差；
④甲地该月14时的气温的标准差大于乙地该月14时的气温的标准差.
其中根据茎叶图能得到的统计结论的编号为
（A） ①③ （B） ①④ （C） ②③ （D） ②④
7、在区间0,2上随机地取一个数x
，则事件“1211log()12x ”发生的概率为
（A）34 （B）23 （C）13 （D）14
8、若函数21()2xxfxa 是奇函数，则使()3fx 成立的x的取值范围为
（A）,1 （B）1,0 （C）0,1 （D）1,
9、已知等腰直角三角形的直角边的长为2，将该三角形绕其斜边所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为
（A）223 （B）423 （C）22 （D）42
10、设函数3,1,()2,1,xxbxfxx 若5(())46ff ，则b
（A）1 （B）78 （C）34 （D）12
第Ⅱ卷（共100分）
二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分。
（11）执行右边的程序框图，若输入的x的值为1，则输出的y的值是 .
（12）若,xy 满足约束条件1,3,1,yxxyy 则3zxy 的最大值为 . （13）过点(1,3)P 作圆221xy的两条切线，切点分别为A，B，则PAPB .
（14）定义运算“”：22,,0xyxyxyRxyxy.当0,0xy时，2xyyx的最小值为 .
（15）过双曲线2222:10,0xyCabab 的右焦点作一条与其渐近线平行的直线，交C于点P，若点P的横坐标为2a 则C的离心率为 .
三、解答题：本大题共6小题，共75分
16．（本小题满分12分）
某中学调查了某班全部45名同学参加书法社团和演讲社团的请况，数据如下表：
参加书法社团 未参加书法社团
参加演讲社团 8 5
未参加演讲社团 2 30
（I）从该班随机选1名同学，求该同学至少参加上述一个社团的概率；
（II）在既参加书法社团又参加演讲社团的8名同学中，有5名男同学54321,,,,AAAAA，3名女同学321,,BBB，现从这5名男同学和3名女同学中各随机选1人，求1A被选中且1B未被选中的概率。
17．（本小题满分12分）
ABC中，角CB,A,所对的边分别为cba,,，已知33cosB，6sin()9AB，23ac，求Asin和c的值.
18．（本小题满分12分）
如图，三棱台ABC-DEF中，2,,ABDEGH分别为BCAC,的中点，
（I）求证：//BD平面FGH； （II）若BCABBCCF,，求证：平面BCD平面FGH.
19．（本小题满分12分）
已知数列}{na是首项为正数的等差数列，数列11{}nnaa的前n项和为12nn。
（I）求数列}{na的通项公式；
（II）设b(1)2nanna，求数列}{nb的前n项和nT .
20．（本小题满分13分）
设函数xexxgxaxxf2)(,ln)()(，已知曲线)(xfy在点))1(,1(f处的切线与直线02yx平行，
（Ⅰ）求a的值；
（Ⅱ）是否存在自然数k，使的方程)()(xgxf在)1,(kk内存在唯一的根？如果存在，求出k；如果不存在，请说明理由；
（Ⅲ）设函数),)}(min((),(min{)(qpxgxfxm表示qp,中的较小值），求)(xm的最大值.
21. （本小题满分14分）
平面直角坐标系xOy中，已知椭圆)0(1:2222babyaxC的离心率为23，且点)21,3(在椭圆C上，
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）设椭圆144:2222byaxE，P为椭圆C上任意一点，过点P的直线mkxy交椭圆E于BA,两点，射线PO交椭圆E于点Q，
（ⅰ）求OPOQ的值；
（ⅱ）求ABQ面积的最大值。 参考答案
一、选择题
（1）C （2）A （3）C （4）B （5）D
（6）B （7）A （8）C （9）B （10）D
二、填空题
（11）13 （12）7 （13）23 （14）2 （15）2+3
三、解答题
（16）解：
（Ⅰ）由调查数据可知，既未参加书法社团又未参加演讲社团的有30人，故至少参加上述一个社团的共有453015人，
所以从该班级随机选1名同学，该同学至少参加上述一个社团的概率为
151.453P
（Ⅱ）从这5名男同学和3名女同学中各随机选1人，其一切可能的结果组成的基本事件有：111213212223313233{,},{,},{,},{,},{,},{,},{,},{,},{,},ABABABABABABABABAB
414243515253{,},{,},{,},{,},{,},{,}ABABABABABAB，共15个.
根据题意，这些基本事件的出现是等可能的.
事件“1A被选中且1B未被选中”所包含的基本事件有：
1213{,},{,}ABAB，共2个.
因此1A被选中且1B未被选中的概率为215P.
17.解：
在ABC中，由3cos3B，得6sin3B.
因为ABC，
所以6sinsin()9CAB， 因为sinsinCB，所以CB，可知C为锐角，
所以53cos9C，
因此sinsin()ABC
sincoscossinBCBC
653362239393.
由,sinsinacAC
可得22sin323sin69ccAacC，
又23ac，所以1c.
18.
（Ⅰ）证法一：连接,DGCD，设CDGFO，连接OH
在三棱台DEFABC中，
2,ABDEG为AC的中点，
可得//,DFGCDFGC，
所以四边形DFCG为平行四边形
则O为CD的中点，
又H为BC的中点，
所以//OHBD，
又OH平面,FGHBD平面FGH，
所以//BD平面FGH
证法二：在三棱台DEFABC中， 由2,BCEFH为BC的中点，
可得//,BHEFBHEF，
所以四边形BHFE为平行四边形，
可得//BEHF
在ABC中，G为AC的中点，H为BC的中点，
所以//GHAB
又GHHFH，所以平面//FGH平面ABED
因为BD平面ABED，
所以//BD平面FGH
（Ⅱ）
证明：连接HE.
因为GH，分别为ACBC，的中点，
所以//GHAB
由,ABBC得GHBC，
又H为BC的中点，
所以//,,EFHCEFHC
因此四边形EFCH是平行四边形，
所以//.CFHE
又CFBC，所以HEBC.
又,HEGH平面EGH，HEGHH，
所以BC平面EGH，
又BC平面BCD，
所以平面BCD平面.EGH
19.解：
（Ⅰ）设数列na的公差为d， 令1,n得12113aa，
所以 123aa.
令2,n得12231125aaaa，
所以 2315aa.
解得11,2ad，
所以21nan
（Ⅱ）由（Ⅰ）知21224nnnbnn
所以121424...4nnTn，
所以23141424...4nnTn，
两式相减，得12313444...44nnnTn
14(14)414nnn
1134433nn
所以113144(31)44.999nnnnnT
20.解：
（Ⅰ）由题意知，曲线()yfx在点(1,(1))f处的切线斜率为2，
所以'(1)2f，
又()ln1afxxx，
所以1a
（Ⅱ）1k时，方程()()fxgx在(1,2)内存在唯一的根.
