立体几何100题
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b
b 立体几何100题
1.如图，三角形中，，是边长为l的正方形，平面底面，若分别是的中点.
（1）求证：底面；
（2）求几何体的体积.
2．在三棱锥PABC中， PAC和PBC是边长为2的等边三角形， 2AB， ,OD分别是,ABPB的中点.
（1）求证： //OD平面PAC；
（2）求证: OP平面ABC；
（3）求三棱锥DABC的体积.
3．如图，在直三棱柱111ABCABC中， 090BAC， 2ABAC，点,MN分别为111,ACAB的中点.
（1）证明： //MN平面11BBCC；
（2）若CMMN，求三棱锥MNAC的体积..
4．如图，在三棱柱中， 平面，点是与的交点，点在线段上，平面.
（1）求证：； b
b （2）若,求点到平面的距离.
5．如图，四棱锥PABC中，底面ABCD是直角梯形，
1,//,2ABBCADBCABBCAD， PAD是正三角形， E是PD的中点．
（1）求证： ADPC；
（2）判定CE是否平行于平面PAB，请说明理由．
6．如图，在四棱锥SABCD中，侧面SAD底面ABCD， SASD， //ADBC，
22ADBCCD， M， N分别为AD， SD的中点．
（1）求证： //SB平面CMN；（2）求证： BD平面SCM．
7．如图，在矩形中，，平面，分别为的中点，点是上一个动点．
(1) 当是中点时，求证:平面平面；
(2) 当时，求的值．
8．如图，在正三棱柱111ABCABC中，点,DE分别是1,ACAB的中点．
求证： ED∥平面11BBCC b
b 若12ABBB求证：A1B⊥平面B1CE.
9．如图，在长方体1111ABCDABCD中， 12,1,1ABADAA.
（1）证明直线1BC平行于平面1DAC；
（2）求直线1BC到平面1DAC的距离.
10．如图所示，菱形ABCD与正三角形BCE所在平面互相垂直， FD平面ABCD，且2AB， 3FD.
（1）求证： //EF平面ABCD；
（2）若3CBA，求几何体EFABCD的体积.
11．在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AB＝AC，E是BC的中点，求证：
（Ⅰ）平面AB1E⊥平面B1BCC1；
（Ⅱ）A1C//平面AB1E．
12．如图，在三棱柱中，平面，，，点为的中点.
（1）证明：平面；
（2）求三棱锥的体积. b
b
13．如图，在多面体中，四边形是正方形，在等腰梯形中，，，，为中点，平面平面.
(1)证明：； (2)求三棱锥的体积.
14．已知三棱锥，，，为的中点，平面，，，是中点，与所成的角为，且.
（1）求证：； （2）求三棱锥的体积.
15．在四棱锥中，平面平面，，是等边三角形，已知，，.
（1）设是上一点，求证：平面平面. （2）求四棱锥的体积.
16．如图，在四棱锥PABCD中， PA底面ABCD，底面ABCD为菱形，
60ABC， 1,PAPBE为PC的中点 b
b .
（1）求证： //PA平面BDE；（2）求三棱锥PBDE的体积.
17．如图，在直三棱柱（侧棱与底面垂直的棱柱）111ABCABC中，点G是AC的中点．
（1）求证： 1//BC平面1ABG；（2）若ABBC， 12ACAA，求证： 11ACAB．
18．如图所示，四棱锥SABCD中，平面SAD平面ABCD， SAAD， //ADBC，
43SABCAB 24AD．
（1）证明：在线段SC上存在一点E，使得//ED平面SAB；
（2）若ABAC，在（1）的条件下，求三棱锥SAED的体积．
19．（本小题共12分）
如图，边长为3的正方形ABCD所在平面与等腰直角三角形ABE所在平面互相垂直，
AEAB，且2EMMD， 3ABAN.
（Ⅰ）求证： //MN平面BEC；（Ⅱ）求三棱锥EBMC的体积. b
b
20．如图，在四棱锥中，底面是边长为2的正方形，分别为的中点，平面 底面.
（1）求证:平面；（2）若，求三棱锥的体积.
21．在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AB＝AC，E是BC的中点，求证：
（Ⅰ）平面AB1E⊥平面B1BCC1； （Ⅱ）A1C//平面AB1E．
22．如图1，四边形ABCD为等腰梯形， 2,1ABADDCCB，将ADC沿AC折起，使得平面ADC平面ABC， E为AB的中点，连接,DEDB.
（1）求证： BCAD； （2）求E到平面BCD的距离.
23．如图，四棱锥中，底面为菱形，平面，为的中点． b
b
（Ⅰ）证明：平面； （Ⅱ）设，求三棱锥的体积．
24．如图，在多面体中，四边形是正方形，在等腰梯形中，，，，为中点，平面平面.
(1)证明：；(2)求三棱锥的体积.
25．如图1，在矩形中，，，是的中点，将沿折起，得到如图2所示的四棱锥，其中平面平面.
（1）证明：平面；
（2）设为的中点，在线段上是否存在一点，使得平面，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.
26．如图，在四棱锥PABCD中， 90ABCACD， BAC 60CAD，
PA平面ABCD， 2,1PAAB.设,MN分别为,PDAD的中点.
（1）求证：平面CMN∥平面PAB；（2）求三棱锥PABM的体积. b
b
27．如图所示，在长方体1111ABCDABCD中，底面ABCD是边长为1的正方形， 12AA，
P为棱1BB上的一个动点.
（1）求三棱锥1CPAA的体积；
（2）当1APPC取得最小值时，求证： 1PD平面PAC.
28．在三棱柱111ABCABC中，已知侧棱1CC底面,ABCM为BC的中点，
13,2,2ACABBCCC.
（1）证明: 1BC平面1AMC；（2）求点1A到平面1AMC的距离.
29．五边形11ANBCC是由一个梯形1ANBB与一个矩形11BBCC组成的，如图甲所示，B为AC的中点， 128ACCCAN． 先沿着虚线1BB将五边形11ANBCC折成直二面角1ABBC，如图乙所示． b
b
（Ⅰ）求证：平面BNC平面11CBN；（Ⅱ）求图乙中的多面体的体积．
30．如图1， 1AFA中， 11,82FAFAAACF，，点,,BCD为线段1AA的四等分点，线段,,BECFDG互相平行，现沿,,BECFDG折叠得到图2所示的几何体，此几何体的底面ABCD为正方形.
（1）证明： ,,,AEFG四点共面；（2）求四棱锥BAEFG的体积.
31．如图，三棱锥PABC中， PC平面ABC， ,,FGH分别是,,PCACBC的中点，
I是线段FG上的任意一点， 22PCABBC，过点F作平行于底面ABC的平面DEF交AP于点D，交BP于点E.
（1）求证： //HI平面ABD；
（2）若ACBC，求点E到平面FGH的距离.
32．如图，已知正方体的棱长为3，分别是棱、上的点，且.
（1）证明：四点共面； b
b （2）求几何体的体积.
33．如图，在四棱柱1111ABCDABCD中，已知平面11AACC平面ABCD，且3ABBCCA， 1ADCD．
（1）求证： 1BDAA；（2）若E为棱BC的中点，求证： //AE平面11DCCD．
34．如图，在三棱柱111ABCABC中，底面ABC是等边三角形，且1AA 平面ABC,
D为AB的中点，
(Ⅰ) 求证：直线1//BC平面1ACD；
(Ⅱ) 若12,ABBBE是1BB的中点，求三棱锥1ACDE的体积；
35．如图，将菱形沿对角线折叠，分别过，作所在平面的垂线，，垂足分别为，，四边形为菱形，且.
（1）求证：平面； （2）若，求该几何体的体积. b
b
36．如图，在四棱锥PABCD中， 122PCADCDAB， //ABDC，
ADCD， PC平面ABCD.
（1）求证： BC平面PAC；
（2）若M为线段PA的中点，且过,,CDM三点的平面与线段PB交于点N，确定点N的位置，说明理由；并求三棱锥ACMN的高.
37．如图，在四棱锥OABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，侧棱OB底面ABCD，且侧棱OB的长是2，点,,EFG分别是,,ABODBC的中点.
（Ⅰ）证明： OD平面EFG；（Ⅱ）求三棱锥OEFG的体积.
38．如图，多面体ABCDEF中， //,ADBCABAD, FA平面,//ABCDFADE，且222ABADAFBCDE.
（Ⅰ）M为线段EF中点，求证： //CM平面ABF；
（Ⅱ）求多面体ABCDEF的体积. b
b 39．在如图所示的几何体中，四边形11BBCC是矩形， 1BB平面ABC，
1111//,2,ABABABABE是AC的中点.
（1）求证： 1//AE平面11BBCC；
（2）若ACBC， 12ABBB，求证平面1BEA平面11AAC.
40．如图，四边形ABCD为梯形， ABCD， PD平面ABCD，
90BADADC， 22DCABa， 3DAa， E为BC中点.
（1）求证：平面PBC平面PDE；
（2）线段PC上是否存在一点F，使PA平面BDF？若有，请找出具体位置，并进行证明：若无，请分析说明理由.
41．已知四棱锥SABCD中，底面ABCD是边长为2的菱形， 60BAD，
5,7SASDSB，点E是棱AD的中点，点F在棱SC上，且SFSC， SA//平面BEF．
（Ⅰ）求实数的值；（Ⅱ）求三棱锥FEBC的体积．
42．在三棱柱ABC-A1B1C1中，AB=BC=CA=AA1=2，侧棱AA1⊥平面ABC，且D，E分别是棱A1B1，AA1的中点，点F在棱AB上，且AF=14AB。
（1）求证：EF∥平面BDC1；（2）求三棱锥D-BEC1的体积。
