学案7：3.2.2 直线的两点式方程

3.2.2 直线的两点式方程

课标要求

1．了解线段中点坐标公式．

2．掌握直线的两点式方程．

3．理解直线的截距式方程．

核心扫描

1．会求直线的两点式、截距式方程．(重点)

2．直线的两点式、截距式方程的应用．(难点)

新知探究

新知导学

1．直线方程的两点式

名称 已知条件 示意图 方程 使用范围

两点式 P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，

其中x1≠x2，y1≠y2 y－y1y2－y1

＝x－x1x2－x1 斜率存在

且不为0

温馨提示 (1)当直线斜率不存在(x1＝x2)或斜率为零(y1＝y2)时，不能用两点式表示，即与坐标轴垂直的直线没有两点式方程．

(2)如果将直线两点式转化为：(x2－x1)(y－y1)＝(y2－y1)(x－x1)，此时只要直线上已知两点不重合，都可以用它表示出来(即这个变形方程可以表示过任意已知两点的直线)．

2．直线方程的截距式

名称 已知条件 示意图 方程 使用范围

截距式 在x、y轴上的截距a、b且ab≠0 xa＋yb＝1

温馨提示 (1)截距式方程xa＋yb＝1应用的前提是a≠0且b≠0，即直线过原点或与坐标轴垂直时不能用截距式方程；

(2)截距式方程是两点式的一种特殊情况(两个点是直线与坐标轴的交点)，在求直线方程时合理地选择形式，会加快解题速度．

3．线段的中点坐标公式

若点P1，P2的坐标分别为(x1，y1)、(x2，y2)，设P(x，y)是线段P1P2的中点，则 x＝x1＋x22，y＝y1＋y22. 温馨提示 点关于点对称问题可用线段的中点坐标公式解决．

互动探究

探究点1 过P1(x1，y1)、P2(x2，y2)(x1≠x2且y1≠y2)两点时直线方程可以写成y－y2y1－y2＝x－x2x1－x2的形式吗？

探究点2 直线方程的截距式形式上有什么特点？

探究点3 求点P(2,1)关于点Q(－1,1)的对称点P′的坐标．

题型探究

类型一 直线的两点式方程

例1 已知A(－3,2)，B(5，－4)，C(0，－2)，在△ABC中，

(1)求BC边的方程；

(2)求BC边上的中线所在直线的方程．

[规律方法] (1)首先要鉴别题目条件是否符合直线方程相应形式的要求，对含有字母则需分类讨论；(2)注意问题叙述的异同，本题中第一问是表示的线段，所以要添加范围；第二问则表示的是直线．

活学活用1 已知△ABC三个顶点坐标A(2，－1)，B(2,2)，C(4,1)，求三角形三条边所在的直线方程．

类型二 直线的截距式方程

例2 求过点(4，－3)且在两坐标轴上截距的绝对值相等的直线l的方程．

[规律方法] (1)运用直线的截距式方程一定要注意条件，截距均不为零．

(2)本例易遗漏直线过原点的情形．

活学活用2 求过点A(5,2)且在x轴上的截距是在y轴上截距的2倍的直线l的方程．

类型三 直线与两坐标轴围成的面积问题

例3 直线l过定点A(－2,3)，且与两坐标轴围成的三角形面积为4，求直线l的方程．

[规律方法] (1)关于过一点的直线与坐标轴围成的三角形面积问题；主要有以上两种解法，法一较为简单．

(2)求直线方程的问题一般都用待定系数法求解，但根据题目的条件，灵活选择方程的形式是关键．

活学活用3 求经过点A(－2,2)，并且和两坐标轴围成的三角形面积是1的直线方程．

方法技巧 对称问题的解法

(1)点关于点对称，可用线段的中点坐标公式．

(2)线关于点对称，可设线上任一点及其对称点化为点关于点对称，结合代入法解决．

(3)点关于线对称，运用对称点的中点在对称轴直线上、对称点连线与对称轴垂直这两个条件，通过解方程组求解．

(4)线关于线对称，转化为点关于线对称，结合代入法解决．

示例 已知直线l：y＝－12x＋1，试求：

(1)点P(－2，－1)关于直线l的对称点坐标；

(2)直线l1：y＝x－2关于直线l对称的直线l2的方程；

(3)直线l关于点A(1,1)对称的直线方程．

[思路分析] (1)利用点关于线对称的两个条件即可．

(2)(3)分别转化为点关于线对称、点关于点对称寻找，而对称点的坐标，再利用代入法解决．

【解】(1)设点P关于直线l的对称点为P′(x0，y0)，

则线段PP′的中点M在直线l上，且PP′⊥l.

∴ y0＋1x0＋2×－12＝－1，y0－12＝－12·x0－22＋1，解得 x0＝25，y0＝195，

即P′点的坐标为25，195.

(2)法一 由 y＝－12x＋1，x－y－2＝0，得l与l1的交点A(2,0)，

在l1上任取一点B(0，－2)，设B关于l的对称点B′为(x0，y0)，

则 y0＋2x0×－12＝－1，y0－22＝－12·x02＋1，即 2x0－y0－2＝0，x0＋2y0－8＝0，∴ x0＝125，y0＝145，

即B′125，145，∴l2的斜率为kAB′＝145125－2＝7.

∴l2的方程为y＝7(x－2)，即7x－y－14＝0.

法二 直线l1：y＝x－2关于直线l对称的直线为l2，则l2上任一点P1(x，y)关于l的对称点P1′(x′，y′)一定在直线l1上，反之也成立．由 y－y′x－x′×－12＝－1，y＋y′2＝－12·x＋x′2＋1，

得 x′＝3x－4y＋45，y＝－4x－3y＋85.把(x′，y′)代入方程y＝x－2并整理，得：7x－y－14＝0，

即直线l2的方程为7x－y－14＝0.

(3)法一 取l：y＝－12x＋1上一点M(2,0)，则M关于点A(1,1)的对称点M′坐标为(0,2)，且M′在l关于A(1,1)对称的直线上，又所求直线与l平行，

∴设所求直线为y＝－12x＋C

又过点M′(0,2)，∴C＝4，

∴所求直线方程为x＋2y－4＝0.

法二 设直线l关于点A(1,1)的对称直线为l′，则直线l上任一点P2(x1，y1)关于点A的对称点P2′(x，y)一定在直线l′上，反之也成立．

由 x＋x12＝1，y＋y12＝1，

得 x1＝2－x，y1＝2－y.

将(x1，y1)代入直线l的方程得：x＋2y－4＝0，

∴直线l′的方程为x＋2y－4＝0.

[题后反思] 本例解法中，(1)(2)法二、(3)法二是利用点对称、线对称的原理解决的，(2)

法一、(3)法一运用了直线的几何特征.

感悟题型

课堂达标

1．过两点(5,2)，(－5,2)的直线方程是( )

A．x＝5 B．y＝2 C．x＋y＝2 D．x＝2

2．在x轴，y轴上的截距分别为2，－3的直线方程为( )．

A.x2－y3＝1 B.x2＋y3＝1

C.y3－x2＝1 D.x2＋y3＝0 3．经过点(2,1)，在x轴上的截距是－2的直线方程是________．

4．若点P(3，m)在过点A(2，－1)，B(－3,4)的直线上，则m＝________.

5．已知直线l与x轴、y轴分别交于A、B两点，且线段AB的中点为P(4,1)，求直线l的

方程．

课堂小结

1．在记忆和使用直线的两点式方程时，必须注意坐标的对应关系，即x2与y2表示一点的坐标，而x1与y1是另一点的坐标．

2．直线的截距式方程是两点式方程的一种特殊情况，用它来求直线与坐标轴围成的三角形面积或周长比较方便．

3．中心对称、轴对称原理是解决对称问题的基本思路，应注意掌握. 参考答案

新知探究

新知导学

2． ab≠0

互动探究

探究点1 提示 可以．

探究点2 提示 截距式方程的特点有两个：一是中间必须用“＋”号连接；二是等号右边为1.

探究点3 提示 (－4,1)．

题型探究

类型一 直线的两点式方程

例1 【解】(1)∵BC边过两点B(5，－4)，C(0，－2)， ∴由两点式得y－－4－2－－4＝x－50－5，

即2x＋5y＋10＝0.

故BC边的方程为2x＋5y＋10＝0(0≤x≤5)．

(2)设BC的中点为M(x0，y0)，

则x0＝5＋02＝52，y0＝－4＋－22＝－3.

∴M52，－3，

又BC边上的中线经过点A(－3,2)．

∴由两点式得y－2－3－2＝x－－352－－3，即10x＋11y＋8＝0.

故BC边上的中线所在直线的方程为10x＋11y＋8＝0.

活学活用1 【解】∵A(2，－1)，B(2,2)，A、B两点横坐标相同，

∴直线AB与x轴垂直，故其方程为x＝2.

∵A(2，－1)，C(4,1)，由直线方程的两点式可得AC的方程为y－1－1－1＝x－42－4，

即x－y－3＝0.

同理可由直线方程的两点式得直线BC的方程为y－21－2＝x－24－2，即x＋2y－6＝0.

类型二 直线的截距式方程

例2 【解】法一 设直线在x轴、y轴上的截距分别为a、b.