高一数学 2.2.2《反证法》教案(新人教A版选修1-2)
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§2.2.2反证法
一、教学目标：
1、知识与技能：
结合已经学过的数学实例，了解间接证明的一种基本方法──反证法；了解
反证法的思考过程、特点。
2、过程与方法:
培养学生的辨析能力和分析问题、解决问题的能力；
3、情感、态度与价值观：
通过学生的参与，激发学生学习数学的兴趣。
二、教学重点：
了解反证法的思考过程、特点
三、教学难点：
反证法的思考过程、特点
四、教学过程:
（一）导入新课：
1、复习综合法和分析法的思考过程和特点。
2、反证法
反证法是一种间接证法，它是先提出一个与命题的结论相反的假设，然后，从这个假设出发，经过正确的推理，导致矛盾，从而否定相反的假设，达到肯定原命题正确的一种方法。
在解决某些数学问题时，我们会不自觉地使用反证法。
3、思考：桌面上有3枚正面朝上的硬币，每次用双手同时翻转2枚硬币，那么无论怎么翻转，都不能使硬币全部反面朝上。你能解释这种现象吗？
学生尝试用直接证明的方法解释。
采用反正法证明：假设经过若干次翻转可以使硬币全部反面向上，由于每枚硬币从正面朝上变为反面朝上都需要翻转奇数次，所以 3 枚硬币全部反面朝上时，需要翻转 3 个奇数之和次，即要翻转奇数次．但由于每次用双手同时翻转 2
枚硬币， 3 枚硬币被翻转的次数只能是 2 的倍数，即偶数次．这个矛盾说明假设错误，原结论正确，即无论怎样翻转都不能使 3 枚硬币全部反面朝上．
（二）推进新课
1、反证法的特点：
一般地，假设原命题不成立（即在原命题的条件下，结论不成立），经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明假设错误，从而证明了原命题成立，这样的证明方法叫做反证法。
2、例题讲解：
例1、已知直线,ab和平面，如果,ab，且||ab，求证||a。
证明：因为||ab,
所以经过直线a , b 确定一个平面。
因为a，而a，
所以 与是两个不同的平面．
因为b，且b，
所以b. 下面用反证法证明直线a与平面没有公共点．假设直线a 与平面有公共点P，则Pb，即点P是直线 a 与b的公共点，这与||ab矛盾．所以 ||a.
例2、求证：2不是有理数
分析：直接证明一个数是无理数比较困难，我们采用反证法．假设2不是无理数，那么它就是有理数．我们知道，任一有理数都可以写成形如mn（,mn互质， *,mZnN”的形式．下面我们看看能否由此推出矛盾．
证明：假设2不是无理数，那么它就是有理数．于是，存在互质的正整数,mn，使得2mn，从而有2mn,
因此，222mn，
所以 m 为偶数．于是可设2mk ( k 是正整数），从而有
2242kn，即
所以n也为偶数．这与 m , n 互质矛盾！
由上述矛盾可知假设错误，从而2是无理数．
注：正是2的发现，使人们认识到在有理数之外，还有一类数与 1 是不可公度的，这就是无理数；从而引发了数学史上的第一次危机，大大推动了数学前进的步伐。
例3、已知0ba，求证：nnba（Nn且1n）
证明：假设na不大于nb，即nnab或nnab.
∵a＞0，b＞0
∴由nnab()()nnnnab
又由nnabab
但这些都与已知条件，a＞b＞0相矛盾.
∴nnba成立.
（三）课堂练习：
课本P91页 练习1、2
（四）课堂小结：
反证法的思考过程和特点。
（五）布置作业：
课本P91页 A组 4、B组1。
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