分解质因数讲义
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分解质因数
【适用场景】
沪教版--六年级上册--新课
【知识定位】
分解质因数的方法在求最大公约数和最小公倍数时有用，在学习有理数的运算、因式分解、解方程等方面也有广泛的应用。分解质因数的方法还可为一些数学问题提供新颖的解法，有益于开辟解题思路，启迪创造性思维。
【知识梳理】
1.质数、合数的定义：
问：
1的约数有：1；
2的约数有：1，2；
3的约数有：1，3；
4的约数有：1，2，4；
6的约数有：1，2，3，6；
7的约数有：1，7；
12的约数有：1，2，3，4，6，12；
……
从上面各数的约数的个数中我们可以看到：一个自然数的约数的个数有三种情况：
①只有一个约数的，如1。因此，1不是质数，也不是合数。
②只有两个约数的（1和它本身），如2，3，7……
③有两个以上约数的，如4，6，12……
所以，我们将属于第__②__种情况的，即：除了1和本身以外，不再有别的约数，这样的数叫做质数。
我们将属于第__③__种情况的，即：除了1和本身以外，还有别的约数，这样的数叫做合数。
2.质因数：如果某个质数是一个数的因数，那么这个质数就是这个数的质因数。我们观察下面这些式子：
4=1×2×2；
6=1×2×3
8=1×2×2×2；
10=1×2×5；
12=1×2×2×3；
……
从上面各数的约数的情况中我们可以看到：一个合数最终总是能被写成质数相乘的形式，这里，我们就将这些质数叫做这个合数的质因数。
例如：18=2×3×3
这里的2、3、3都是18的因数，而2和3本身又都是质数，于是我们就把2、3、3叫做18的质因数。
这里需要注意的是：18也可以写成3与6的乘积，即：18=3×6，无疑3和6都是18的因数，但3本身是质数，可以称做18的质因数，而6是合数，则不能称做6是18的质因数。
3.互质数：两个或几个自然数，当它们的最大公约数是1的时候，这两个或几个数，就叫做互质数（也叫互素数）。
例如：5和7，4和11，8和9，7、11和15，12、20和35……。
上述这几组数，它们的最大公约数都是1，因此，它们都是互质数。
在以上两个互质数中，如7、11和15这三个数，7和11是互质数，11和15是互质数，7和15也是互质数。这类情况，我们就叫做这三个数“两两互质”。但12、20和35这组数中，虽然它们也是互质数，但不是两两互质，因为12和35是互质数，至于12和20、20和35都不是互质数。
注意：互质的两个数或是几个数，它们本身不一定是质数。
如5和7是互质数，它们本身都是质数；4和11是互质数，其中4并不是质数；8和9是互质数，但8和9本身都不是质数。
总结：质数是指一个数。譬如说：“2是质数，11是质数”等等。
质因数虽然也是指一个数，但是它是针对另一个数而说的。譬如说：“5是35的质因数。”如果离开35，孤立地说：“5是质因数。”则是不妥当的。因此，质因数具有双重身份：第一必须是个质数；第二必须是另一个数的因数。
互质数同质数、质因数都不同，它不是指一个数，而是指除了1以外，再没有其他公约数的两个或两个以上的数。
由此可见：掌握质数、质因数和互质数这几个术语的概念，其中质数是基础，这三者之间既有联系，又有区别，要透彻理解和正确区分，才能防止混淆。
4.分解质因数：
问：我们能把30用几个质数那个的形式表示出来吗？
30=____ ×____ =_____ ×_______ ×_______
像这样，我们将一个合数分解为两个或两个以上质数相乘的形式的过程，叫做分解质因数。
5.分解质因数的方法：短除法
例题精讲
【试题来源】
【题目】把一合数用几个（ ）的形式表示出来，叫做（ ）。
【答案】 质数相乘， 分解质因数
【解析】分解质因数的定义
【知识点】分解质因数
【适用场合】当堂例题
【难度系数】1
【试题来源】
【题目】写出两个都是质数的连续自然数。
【答案】2和3
【解析】
【知识点】分解质因数
【适用场合】当堂例题
【难度系数】1
【试题来源】
【题目】写出两个既是奇数，又是合数的数。
【答案】 9和15
【解析】奇数：不能被2整除的数；合数：除了和它本身以外，没有别的约数的数；
【知识点】分解质因数
【适用场合】当堂例题
【难度系数】1
【试题来源】
【题目】非0自然数按因数的个数可以分为（ ）、（ ）和（ ）三类。
【答案】1， 质数， 合数
【解析】1只有一个约数；质数：除了1和它本身以外没有别的约数；合数：除了1和它本身以外还有别的约数。
【知识点】分解质因数
【适用场合】当堂例题
【难度系数】1
【试题来源】
【题目】 判断：
（1）任何一个自然数，不是质数就是合数。（ ）
（2）偶数都是合数，奇数都是质数。（ ）
（3）7的倍数都是合数。（ ）
（4）20以内最大的质数乘以10以内最大的奇数，积是171。（ ）
（5）只有两个约数的数，一定是质数。（ ）
（6）两个质数的积，一定是质数。（ ）
（7）2是偶数也是合数。（ ）
（8）1是最小的自然数，也是最小的质数。（ ）
（9）除2以外，所有的偶数都是合数。（ ）
（10）最小的自然数，最小的质数，最小的合数的和是6。（ ）
【答案】 ××× √ √ ××× √√
【解析】（1）1,既不是质数也不是合数；
（2）2是质数，9是合数；
（3）7是7的倍数，但7不是合数适质数；
（4）20以内最大的质数是19，10以内最大的奇数是9，它们的乘积是171；
（5）质数的定义
（6）不一定，2*3=6，单6不是质数
（7）2不是合数，它只有约数1和本身；
（8）1,既不是质数也不是合数；
（9）正确；
（10）最小的自然数是0，最小的质数是2，最小的合数是4，它们的和是6。
【知识点】分解质因数
【适用场合】当堂例题
【难度系数】3
【试题来源】
【题目】先指出下列各数中的合数，再将它们分解质因数。
7， 9， 13， 16， 20， 25， 29
【答案】9=3×3， 16=2×2×2×2， 20=2×2×5， 25=5×5
【解析】采用短除法分解质因数
【知识点】分解质因数
【适用场合】当堂例题
【难度系数】2
【试题来源】
【题目】下面各数是由哪些质数相乘得到的。
15=( )×( ) 42=( )×( )×( )
26=( )×( ) 66=( )×( )×( )
【答案】
15=( 3 )×( 5 ) 42=( 2 )×( 3 )×( 7 )
26=( 2 )×( 13 ) 66=( 2 )×( 3 )×( 11 )
【解析】
【知识点】分解质因数
【适用场合】当堂例题
【难度系数】1
【试题来源】
【题目】两个质数的和是18，积是65，这两个质数分别是多少？
【答案】这两个质数分别是13和5。
【解析】65可以分解质因数为，13×5，而13+15=18。从“两个质数的积是65”入手。
【知识点】分解质因数
【适用场合】当堂例题
【难度系数】1
【试题来源】
【题目】一个两位质数，交换个位与十位上的数字，所得的两位数仍是质数，这个数是（ ）。
【答案】13和31或 37和73或 79和97
【解析】
【知识点】分解质因数
【适用场合】当堂例题
【难度系数】3
【试题来源】
【题目】用10以内的质数组成一个三位数，使它能同时被3、5整除，这个数最小是（ ），最大是（）。
【答案】375， 735
【解析】可以这样想：（1）10以内质数有：2、3、5、7；（2）同时能被3、5整除，个位上数只能是5；这个三位数各数位之和也必须是3的倍数，所以只能用3和7。
【知识点】分解质因数
【适用场合】当堂例题
【难度系数】3
【试题来源】
【题目】有三个小朋友，他们的年龄正好是三个连续的自然数，且他们年龄的积是210，这三个小朋友的年龄分别是（ ）岁、（ ）岁、（ ）岁。
【答案】5,6,7岁
【解析】将210分解质因数，210=2×3×5×7，因为210是连续的自然数的乘积，所以，5×6×7=210.
【知识点】分解质因数
【适用场合】当堂例题
【难度系数】2
【试题来源】
【题目】最小的质数是（ ），在一位数中，既是奇数又是合数的数是（ ）。
【答案】2 , 9
【解析】1既不是质数，也不是合数；9既是奇数又是一位数的合数。
【知识点】分解质因数
【适用场合】当堂例题
【难度系数】1
【试题来源】
【题目】一个数的平方等于324，求这个数。
【答案】解：把324分解质因数：
324= 2×2×3×3×3×3
=（2×3×3）×（2×3×3）
=18×18
答：这个数是18。
【解析】
【知识点】分解质因数
【适用场合】当堂例题
【难度系数】3
