高中数学解析几何总结(非常全)

1 高中数学解析几何

第一部分:直线

一、直线的倾斜角与斜率

1.倾斜角α

(1)定义：直线l向上的方向与x轴正向所成的角叫做直线的倾斜角。

(2)范围：1800

2.斜率：直线倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率.

tank

（1）.倾斜角为90的直线没有斜率。

（2）.每一条直线都有唯一的倾斜角，但并不是每一条直线都存在斜率（直线垂直于x轴时，其斜率不存在)，这就决定了我们在研究直线的有关问题时，应考虑到斜率的存在与不存在这两种情况，否则会产生漏解。

（3）设经过),(11yxA和),(22yxB两点的直线的斜率为k，

则当21xx时，2121tanxxyyk；当21xx时，o90；斜率不存在；

二、直线的方程

1.点斜式：已知直线上一点P（x0,y0）及直线的斜率k（倾斜角α）求直线的方程用点斜式：y-y0=k(x-x0)

注意：当直线斜率不存在时，不能用点斜式表示，此时方程为0xx；

2.斜截式：若已知直线在y轴上的截距（直线与y轴焦点的纵坐标）为b，斜率为k，则直线方程：bkxy；特别地，斜率存在且经过坐标原点的直线方程为：kxy

注意：正确理解“截距”这一概念，它具有方向性，有正负之分，与“距离”有区别。

3.两点式：若已知直线经过),(11yx和),(22yx两点，且（2121,yyxx则直线的方程：121121xxxxyyyy；

注意：①不能表示与x轴和y轴垂直的直线；

②当两点式方程写成如下形式0))(())((112112xxyyyyxx时，方程可以适应在于任何一条直线。

4截距式：若已知直线在x轴，y轴上的截距分别是a，b（0,0ba）则直线方程：1byax；

注意：1）.截距式方程表不能表示经过原点的直线，也不能表示垂直于坐标轴的直线。

2）.横截距与纵截距相等的直线方程可设为x+y=a;横截距与纵截距互为相反数的直线方程可设为x-y=a

5一般式：任何一条直线方程均可写成一般式：0CByAx；（BA,不同时为零）；反之，任何一个二元一次方程都表示一条直线。

注意：①直线方程的特殊形式，都可以化为直线方程的一般式，但一般式不一定都能化为特殊形式，这要看系数CBA,,是否为0才能确定。

②指出此时直线的方向向量：),(AB，),(AB，2222,BAABAB

（单位向量）；直线的法向量：),(BA；（与直线垂直的向量） 2 6(选修4-4)参数式btyyatxx00（t参数）其中方向向量为),(ba，

单位向量2222,babbaa； abk；22||||batPPo；

点21,PP对应的参数为21,tt，则222121||||battPP；

sincos00tyytxx（t为参数）其中方向向量为)sin,(cos， t的几何意义为||oPP；斜率为tan；倾斜角为)0(。

三、两条直线的位置关系

位置关系

222111::bxkylbxkyl 0:0:22221111CyBxAlCyBxAl

平行  21kk，且21bb

212121CCBBAA(A1B2-A2B1=0)

重合  21kk，且21bb

212121CCBBAA

相交  21kk

2121BBAA

垂直  121kk 02121BBAA

设两直线的方程分别为：222111::bxkylbxkyl或0:0:22221111CyBxAlCyBxAl；当21kk或1221BABA时它们相交，交点坐标为方程组2211bxkybxky或00222111CyBxACyBxA解；

注意：①对于平行和重合，即它们的方向向量（法向量）平行；如：),(),(2211BABA

对于垂直，即它们的方向向量（法向量）垂直；如0),(),(2211BABA

②若两直线的斜率都不存在，则两直线 平行 ；若一条直线的斜率不存在，另一直线的斜率为 0 ，则两直线垂直。

③对于02121BBAA来说，无论直线的斜率存在与否，该式都成立。因此，此公式使用起来更方便．

④斜率相等时，两直线平行(或重合)；但两直线平行(或重合)时，斜率不一定相等，因为斜率有可能不存在。

四、两直线的交角

（1）1l到2l的角：把直线1l依逆时针方向旋转到与2l重合时所转的角；它是有向角，其范围是0；

注意：①1l到2l的角与2l到1l的角是不一样的；②旋转的方向是逆时针方向；③绕“定点”是指两直线的交点。

（2）直线1l与2l的夹角：是指由1l与2l相交所成的四个角的最小角(或不大于直角的角)，它的取值范围是 3 20；

（3）设两直线方程分别为：

222111::bxkylbxkyl或0:0:22221111CyBxAlCyBxAl

①若为1l到2l的角，12121tankkkk或21211221tanBBAABABA；

②若为1l和2l的夹角，则12121tankkkk或21211221tanBBAABABA；

③当0121kk或02121BBAA时，o90；

注意：①上述与k有关的公式中，其前提是两直线斜率都存在，而且两直线互不垂直；当有一条直线斜率不存在时，用数形结合法处理。

②直线1l到2l的角与1l和2l的夹角：)2(或)2(；

五、点到直线的距离公式：

1.点),(00yxP到直线0:CByAxl的距离为：2200||BACByAxd；

2.两平行线0:11CByAxl，0:22CByAxl的距离为：2221||BACCd；

六、直线系：

（1）设直线0:1111CyBxAl，0:2222CyBxAl，经过21,ll的交点的直线方程为0)(222111CyBxACyBxA（除去2l）；

如：①011kxykxy，即也就是过01y与0x的交点)1,0(除去0x 的直线方程。

②直线5)12()1(:mymxml恒过一个定点 。

注意：推广到过曲线0),(1yxf与0),(2yxf的交点的方程为：0)()(21xfxf；

（2）与0:CByAxl平行的直线为01CByAx；

（3）与0:CByAxl垂直的直线为01CAyBx；

七、对称问题：

（1）中心对称：

①点关于点的对称：

该点是两个对称点的中点，用中点坐标公式求解，点),(baA关于),(dcC的对称点)2,2(bdac

②直线关于点的对称：

Ⅰ、在已知直线上取两点，利用中点公式求出它们关于已知点对称的两点的坐标，再由两点式求出直线方程； 4 Ⅱ、求出一个对称点，在利用21//ll由点斜式得出直线方程；

Ⅲ、利用点到直线的距离相等。求出直线方程。

如：求与已知直线0632:1yxl关于点)1,1(P对称的直线2l的方程。

（2）轴对称：

①点关于直线对称：

Ⅰ、点与对称点的中点在已知直线上，点与对称点连线斜率是已知直线斜率的负倒数。

Ⅱ、求出过该点与已知直线垂直的直线方程，然后解方程组求出直线的交点，在利用中点坐标公式求解。

如：求点)5,3(A关于直线0443:yxl对称的坐标。

②直线关于直线对称：（设ba,关于l对称）

Ⅰ、若ba,相交，则a到l的角等于b到l的角；若la//，则lb//，且ba,与l的距离相等。

Ⅱ、求出a上两个点BA,关于l的对称点，在由两点式求出直线的方程。

Ⅲ、设),(yxP为所求直线直线上的任意一点，则P关于l的对称点'P的坐标适合a的方程。

如：求直线042:yxa关于0143:yxl对称的直线b的方程。

八、简单的线性规划：

（1）设点),(00yxP和直线0:CByAxl，

①若点P在直线l上，则000CByAx；②若点P在直线l的上方，则0)(00CByAxB；

③若点P在直线l的下方，则0)(00CByAxB；

（2）二元一次不等式表示平面区域：

对于任意的二元一次不等式)0(0CByAx，

①当0B时，则0CByAx表示直线0:CByAxl上方的区域；

0CByAx表示直线0:CByAxl下方的区域；

②当0B时，则0CByAx表示直线0:CByAxl下方的区域；

0CByAx表示直线0:CByAxl上方的区域；

注意：通常情况下将原点)0,0(代入直线CByAx中，根据0或0来表示二元一次不等式表示平面区域。

（3）线性规划：

求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题，统称为线性规划问题。

满足线性约束条件的解),(yx叫做可行解，由所有可行解组成的集合叫做可行域。生产实际中有许多问题都可以归结为线性规划问题。

注意：①当0B时，将直线0ByAx向上平移，则ByAxz的值越来越大； 5 直线0ByAx向下平移，则ByAxz的值越来越小；

②当0B时，将直线0ByAx向上平移，则ByAxz的值越来越小；

直线0ByAx向下平移，则ByAxz的值越来越大；

如：在如图所示的坐标平面的可行域内（阴影部分且包括周界），目标函数ayxz取得最小值的最优解有无数个，则a为 ；

第二部分：圆与方程

2.1圆的标准方程：222)()(rbyax圆心),(baC，半径r

特例：圆心在坐标原点，半径为r的圆的方程是：222ryx.

2.2点与圆的位置关系：

1. 设点到圆心的距离为d，圆半径为r：

(1)点在圆上 d=r；(2)点在圆外 d＞r；(3)点在圆内 d＜r．

2.给定点),(00yxM及圆222)()(:rbyaxC.

①M在圆C内22020)()(rbyax ②M在圆C上22020)()rbyax（

③M在圆C外22020)()(rbyax

2.3 圆的一般方程：022FEyDxyx .

当0422FED时，方程表示一个圆，其中圆心2,2EDC，半径2422FEDr.

当0422FED时，方程表示一个点2,2ED.

当0422FED时，方程无图形（称虚圆）.

注：（1）方程022FEyDxCyBxyAx表示圆的充要条件是：0B且0CA且0422AFED.

圆的直径系方程：已知AB是圆的直径

0))(())((),(),(21212211yyyyxxxxyxByxA

2.4 直线与圆的位置关系： 直线0CByAx与圆222)()(rbyax的位置关系有三种，d是圆心到直线的距离，(22BACBbAad

(1)0相离rd；(2)0相切rd；（3）0相交rd。

2.5 两圆的位置关系

设两圆圆心分别为O1，O2，半径分别为r1，r2，dOO21。

（1）条公切线外离421rrd；（2）条公切线外切321rrd； x y

O A(1,1) B(5,1) C(4,2)