高中数学解析几何知识点总结大全
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高中数学解析几何知识点大总结
第一部分 直线
一、直线的倾斜角与斜率
1.倾斜角α
(1)定义：直线 l 向上的方向与 x 轴正向所成的角叫做直线的倾斜角。
(2)范围：0 180
2.斜率：直线倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率.
k tan
（1）.倾斜角为 90 的直线没有斜率。
（2）每一条直线都有唯一的倾斜角，但并不是每一条直线都存在斜率（直线垂直于 x 轴时，
其斜率不存在)，这就决定了我们在研究直线的有关问题时，应考虑到斜率的存在与不存在
这两种情况，否则会产生漏解。
（3）设经过 A( x , y ) 和 B( x , y ) 两点的直线的斜率为 k ， 1 1 2 2
则当 x x 时， k tan y1 y2 ；当 x
1 2 x x 1 1 2
x 时， 90o ；斜率不存在； 2
二、直线的方程
1.点斜式：已知直线上一点 P（x0,y0）及直线的斜率 k（倾斜角α）求直线的方程用点斜式：
y-y0=k(x-x0)
注意：当直线斜率不存在时，不能用点斜式表示，此时方程为 x x ； 0
2.斜截式：若已知直线在 y 轴上的截距（直线与 y 轴焦点的纵坐标）为b ，斜率为 k ，则直
线方程： y kx b ；特别地，斜率存在且经过坐标原点的直线方程为： y kx
注意：正确理解“截距”这一概念，它具有方向性，有正负之分，与“距离”有区别。
3.两点式：若已知直线经过 ( x , y ) 和 ( x , y ) 两点，且（ x x , y y 则直线的方程： 1 1 2 2 1 2 1 2
y y 1 y y 2 1 x x 1 ；
2 1
注意：①不能表示与 x 轴和 y 轴垂直的直线；
②当两点式方程写成如下形式 ( x2 x1 )( y y1 ) ( y2 y1 )( x x1 ) 0 时，方程可以适应在
于任何一条直线。
4 截距式：若已知直线在 x 轴， y 轴上的截距分别是 a ， b （ a 0, b 0 ）则直线方程：
x y 1 ； a b
注意：1）.截距式方程表不能表示经过原点的直线，也不能表示垂直于坐标轴的直线。
2）.横截距与纵截距相等的直线方程可设为 x+y=a;横截距与纵截距互为相反数的直
1 ②指出此时直线的方向向量：( B, A) ，( B, A) ，
6(选修 4-4)参数式 （ t 参数）其中方向向量为 (a, b) ， y y bt
单位向量 ； k b ； | PP | a a b
点 P , P 对应的参数为 t , t ，则 | P1P2 | | t t | a 2 b2 ；
位置关系 l : y k x b 1 1 1 1
A C k k ，且 b b
设两直线的方程分别为： l1 : y k1 x b1 或 l1 : A1 x B1 y C1 0 ；当 k k 或
A B A B 时它们相交，交点坐标为方程组 y k1 x b1 或 A1 x B1 y C1 0 y k 2 x b2 A2 x B2 y C2 0
线方程可设为 x-y=a
5 一般式：任何一条直线方程均可写成一般式： Ax By C 0 ；（ A, B 不同时为零）；
反之，任何一个二元一次方程都表示一条直线。
注意：①直线方程的特殊形式，都可以化为直线方程的一般式，但一般式不一定都能化为特
殊形式，这要看系数 A, B, C 是否为 0 才能确定。
B A ,
A2 B 2 A2 B 2
位向量）；直线的法向量： ( A, B) ；（与直线垂直的向量）
x x at 0
0
（单
a b ,
a 2 b 2 a 2 b2 | t | o 2
2
；
1 2
1 2 1 2
x x t cos 0
y y0 t sin
（ t 为参数）其中方向向量为(cos ,sin ) ， t 的几何意义为 | PP | ；斜 o
率为 tan ；倾斜角为 (0 ) 。
三、两条直线的位置关系
l1 : y k1 x b 2 2 2
l : A x B y C 0 l1 : A x B y C 0 2 2 2 2
平行 A1 1 2 1 2 2 B 1 B 2 C 1 (A B -A B =0) 1 2 2 1
2
重合 k k ，且 b b 1 2 1
2 A 1 A 2 B 1 B 2 C 1 C 2
相交 k k 1
2 A 1 A 2 B 1 B 2
垂直 k k 1 1 2 A A B B 0 1 2 1 2 l : y k x b l : A x B y C 0
1 2 2 2 2 2 2 2 2
1 2 2 1
2
它的取值范围是 0
1 1 1 1
①若 为 l 到 l 的角， tan k2 k1 或 tan 1 ；
或 tan ；
2 ；
A2 B 2 ；
解；
注意：①对于平行和重合，即它们的方向向量（法向量）平行；如： ( A , B ) ( A , B ) 1 1 2 2
对于垂直，即它们的方向向量（法向量）垂直；如 ( A , B ) ( A , B ) 0
1 1 2 2 ②若两直线的斜率都不存在，则两直线 平行 ；若一条直线的斜率不存在，另一直线的斜率
为 0 ，则两直线垂直。
③对于 A1 A2 B1B2 0 来说，无论直线的斜率存在与否，该式都成立。因此，此公式使用
起来更方便．
④斜率相等时，两直线平行(或重合)；但两直线平行(或重合)时，斜率不一定相等，因为斜
率有可能不存在。
四、两直线的交角
（1） l 到 l 的角：把直线 l 依逆时针方向旋转到与 l 重合时所转的角；它是有向角，其范 1 2 1 2
围是 0 ；
注意：① l 到 l 的角与 l 到 l 的角是不一样的；②旋转的方向是逆时针方向；③绕“定点” 1 2 2 1
是指两直线的交点。
（2）直线 l 与 l 的夹角：是指由 l 与 l 相交所成的四个角的最小角(或不大于直角的角)，
1 2 1 2
2 ；
l : y k x b l : A x B y C 0 （3）设两直线方程分别为： l1 : y k1 x b 或 l1 : A x B y C 0 2 2 2 2 2 2 2
1 2 1 k k 2 1 A B A B 1 2 2 A A B B 1 2 1 2
②若 为 l 和 l 的夹角，则 tan 1 2 k k 2 1 1 k k 2 1 A B A B 1 2 2 1 A A B B 1 2 1 2
③当1 k k 0 或 A A B B 0 时， 90 o； 1 2 1 2 1 2 注意：①上述与k 有关的公式中，其前提是两直线斜率都存在，而且两直线互不垂直；当有
一条直线斜率不存在时，用数形结合法处理。
②直线 l 到 l 1
2
的角 与 l 和 l 的夹角 ： ( 1 2
2 ) 或 ( )
五、点到直线的距离公式：
1.点 P( x , y ) 到直线 l : Ax By C 0 的距离为： d 0 0
3
| Ax By C | 0 0 A2 B 2 ；
2.两平行线 l : Ax By C 0 ， l : Ax By C 0 的距离为： d 1 1 2 2
六、直线系： | C C | 1 2
（1）设直线 l1 : A1 x B1 y C1 0 ， l 2 : A x B y C 2 2
2 0 ，经过 l , l 1 2 的交点
的直线方程为 A1x B1 y C1 ( A2 x B2 y C2 ) 0 （除去 l 2 ）；
如：① y kx 1 y 1 kx 0 ，即也就是过 y 1 0 与 x 0 的交点 (0,1) 除去 x 0
的直线方程。
②直线 l : (m 1) x (2m 1) y m 5 恒过一个定点 。
注意：推广到过曲线 f ( x, y) 0 与 f ( x, y) 0 的交点的方程为： f ( x) f ( x ) 0 ； 1 2 1 2
（2）与 l : Ax By C 0 平行的直线为 Ax By C1 0 ；
（3）与 l : Ax By C 0 垂直的直线为 Bx Ay C1 0 ；
七、对称问题：
（1）中心对称：
①点关于点的对称：
该点是两个对称点的中点，用中点坐标公式求解，点A(a, b) 关于 C (c, d ) 的对称点
(2c a,2d b)
②直线关于点的对称：
Ⅰ、在已知直线上取两点，利用中点公式求出它们关于已知点对称的两点的坐标，再
由两点式求出直线方程；
Ⅱ、求出一个对称点，在利用 l // l 由点斜式得出直线方程；
1 2 Ⅲ、利用点到直线的距离相等。求出直线方程。
如：求与已知直线 l : 2 x 3 y 6 0 关于点 P(1,1) 对称的直线 l 的方程。
1 2 （2）轴对称：
①点关于直线对称：
Ⅰ、点与对称点的中点在已知直线上，点与对称点连线斜率是已知直线斜率的负倒数。
Ⅱ、求出过该点与已知直线垂直的直线方程，然后解方程组求出直线的交点，在利用中点
坐标公式求解。
如：求点 A(3,5) 关于直线 l : 3x 4 y 4 0 对称的坐标。
②直线关于直线对称：（设 a, b 关于 l 对称）
Ⅰ、若 a, b 相交，则 a 到 l 的角等于 b 到 l 的角；若 a // l ，则 b // l ，且 a, b 与 l 的距
4
