数列求和的方法技巧
数列求和是数列的重要内容之一，在现行高中教材中，只对等差数列和等比数列的求和公式进行了计算推导，而数列种类繁多，形式复杂，绝大多数既非等差数列又非等比数列，也就不能直接用公式来求解。对于这种非常规数列的求和问题，针对具体情况，现归结为以下几种方法，供大家参考。
一、倒序相加法
此法来源于等差数列求和公式的推导方法。
例1. 已知求
解：。 ①
把等式①的右边顺序倒过来写，即①可以写成以下式子：
②
把①②两式相加得
二、错位相消法
此法来源于等比数列求和公式的推导方法。
例2. 求数列的前n项和。
解：设
当时，
当时， ①
①式两边同时乘以公比a，得 ②
①②两式相减得
三、拆项分组法
把一个数列分拆成若干个简单数列（等差数列、等比数列），然后利用相应公式进行分别求和。
例3. 求数列的前n项和。
解：设数列的前n项和为，则
当时，
当时，
说明：在运用等比数列的前n项和公式时，应对q＝1与的情况进行讨论。
四、裂项相消法
用裂项相消法求和，需要掌握一些常见的裂项技巧。如
例4. 求数列的前n项和。
解：
五、奇偶数讨论法
如果一个数列为正负交错型数列，那么从奇数项和偶数项分别总结出与n的关系进行求解。
例5. 已知数列求该数列的前n项和。
解：对n分奇数、偶数讨论求和。
①当时，
②当时，
六、通项公式法
利用，问题便转化成了求数列的通项问题。这种方法不仅思路清晰，而且运算简洁。
例6. 已知数列求该数列的前n项和。
解：
即
∴数列是一个常数列，首项为
七、综合法
这种方法灵活性比较大，平时注意培养对式子的敏锐观察力，尽量把给定数列转化为等差或等比数列来处理。
例7. 已知求
分析：注意观察到：
一、错位相减法
设数列
na的等比数列，数列nb是等差数列，则数列nnba的前n项和nS求解，均
可用错位相减法。
例1;设{}
na是等差数列，{}nb是各项都为正数的等比数列，且111ab，3521ab，
5313ab
（Ⅰ）求{}
na，{}
nb的通项公式；
（Ⅱ）求数列n
na
b的前n项和nS．
例2;在数列
na中，1
112(2)2()nn
nnaaanN，，其中0．
（Ⅰ）求数列
na的通项公式；
（Ⅱ）求数列
na的前n项和nS；
二、裂项求和法
这是分解与组合思想在数列求和中的具体应用. 裂项法的实质是将数列中的每项（通
项）分解，然后重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目的. 通项分解（裂项）如：
（1）
111
)1(1
nnnnan
（2）)
121
121
(
21
1
)12)(12()2(2
nnnnn
an
（3）]
)2)(1(1
)1(1
[
21
)2)(1(1
nnnnnnnan等。
例3:；求数列,
11
,,
321
,
211
nn的前n项和.
数列求和（错位相减、裂项相消法）专题训练
1、{2}.nnn求数列前项和
2、已知等差数列na满足：37a，5726aa.na的前n项和为nS.
（Ⅰ）求
na及nS；
（Ⅱ）令
21
1n
nb
a（nN）,求数列nb的前n项和nT.
3、已知等差数列{}
na的前3项和为6，前8项和为-4。
（Ⅰ）求数列{}
na的通项公式；w_w w. k#s5_u.c o*
（Ⅱ）设1*(4)(0,)n
nnbaqqnN，求数列{}
nb的前n项和nS
4、已知等差数列na满足：37a，5726aa，na的前n项和为nS．
（Ⅰ）求na及nS；（Ⅱ）令bn=
21
1
na(nN*)，求数列nb的前n项和nT．
5、已知二次函数()yfx的图像经过坐标原点，其导函数为'()62fxx，数列{}
na的
前n项和为
nS，点(,)()
nnSnN均在函数()yfx的图像上。
（Ⅰ）求数列{}
na的通项公式；
（Ⅱ）设
11
n
nnb
aa，nT是数列{}
nb的前n项和，求使得
第1讲 等差数列与等比数列
高考定位 1.等差、等比数列基本运算和性质的考查是高考热点，经常以选择题、
填空题的形式出现；2.数列的通项也是高考热点，常在解答题中的第(1)问出现，
难度中档以下.
真 题 感 悟
1.(2017·全国Ⅲ卷)等差数列{a
n}的首项为1，公差不为0.若a
2，a
3，a
6成等比数
列，则{a
n}前6项的和为( )
A.－24 B.－3 C.3 D.8
解析 根据题意得a＝a
2·a
6，即(a
1＋2d)2＝(a
1＋d)(a
1＋5d)，由a
1＝1及d≠0解23
得d＝－2，所以S
6＝6a
1＋d＝1×6＋×(－2)＝－24.6×526×52
答案 A
2.(2018·北京卷)“十二平均律”是通用的音律体系，明代朱载堉最早用数学方法计
算出半音比例，为这个理论的发展做出了重要贡献.十二平均律将一个纯八度音
程分成十二份，依次得到十三个单音，从第二个单音起，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于.若第一个单音的频率为f，则第八个单音的频122
率为( )
A.f B.f32322
C.f D.f12251227
解析 从第二个单音起，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于
，第一个单音的频率为f.由等比数列的定义知，这十三个单音的频率构成一个122
首项为f，公比为的等比数列，记为{a
n}.则第八个单音频率为a
8＝f·()8－1＝122122
f.1227
答案 D
3.(2018·全国Ⅰ卷)记S
n为数列{a
n}的前n项和.若S
n＝2a
n＋1，则S
6＝________.
解析 因为S
n＝2a
n＋1，所以当n＝1时，a
1＝2a
1＋1，解得a
1＝－1，
当n≥2时，a
n＝S
n－S
n－1＝2a
n＋1－(2a
n－1＋1)，所以a
n＝2a
n－1，所以数列{a
n}
是以－1为首项，2为公比的等比数列，所以a
n＝－2n－1，所以S
6＝＝－1×（1－26）
1－2
－63.
答案 －63
4.(2018·全国Ⅲ卷)等比数列{a
n}中，a
方法技巧专题1 数列求和问题
【一】公式求和法
1.例题
【例1】求1＋2＋22＋…＋2n的和.
【例2】已知等比数列{an}中，a3＝4，S3＝12，求数列{an}的通项公式.
【例3】在公差为d的等差数列{na}中，已知1a＝10，且1a，22a＋2，53a成等比数列．
(1)求d，na；(2)若d<0，求|1a|＋|2a|＋|3a|＋…＋|na|.
2.巩固提升综合练习
【练习1】在中插入个数，使它们和组成等差数列，则（ ）
A． B． C． D．
【练习2】记Sn为等差数列{an}的前n项和，已知a1＝－7，S3＝－15.
(1)求{an}的通项公式；
(2)求Sn，并求Sn的最小值． ,abn,ab12,,,,naaaab12naaa()nab()2nab(1)()2nab(2)()2nab1.等差数列前n项和
2.等比数列前n项和 公比含字母时一定要讨论
3.其他常用求和公式
①2)1(321nnn；
①2)12(531nn
①6)12)(1(3212222nnnn；
①23333]2)1([321nnn dnnnaaanSnn2)1(2)(11)1(1)1()1(11qqqaqnaSnn
【练习3】在平面直角坐标系中，已知1,2Aa，121,2nnnAAnnN.
（1）若123//OAAA，求a的值；
（2）若1a，求nOA的坐标；
【练习4】公差不为0的等差数列na的前n项和为3,6nSS，且347,,aaa成等比数列.
（1）求数列na的通项公式na；
（2）求na的前10项和10T
【二】分组求和法
1.例题
【例1】求和：112＋2122＋3123＋…＋n＋12n.
