立几大题训练题一、解答题（共50题；共505分）1. ( 10分) 已知四棱锥S−ABCD中，四边形ABCD为梯形，∠BCD=∠ADC=∠SAD=90°,平面SAD⊥平面ABCD，E为线段AD的中点，AD=2BC=2CD.（1）证明：BD⊥平面SAB；（2）若SA=AD=2，求点E到平面SBD的距离.2. ( 10分) 如图，平面ABCD∩平面ABEF=AB，四边形ABCD和ABEF都是边长为2的正方形，点M，N分别是AF，AB的中点，二面角D−AB−F的大小为60°.（1）求证：MN//平面BCF；（2）求直线DE与平面BCF所成角的正弦值.3. ( 10分) 如图，四棱锥P-ABCD的底面是正方形，E为AB的中点，PD⊥CE,AE=1,PD=3,PC=√13（1）证明：AD⊥平面PCD．（2）求DA与平面PCE所成角的正弦值.4. ( 10分) 如图所示，直三棱柱ABC−A1B1C1的各棱长均相等，点E为AA1的中点.（1）证明：EB1⊥BC1；（2）求二面角C1−EB1−C的余弦值.AD，G是PB的中点，5. ( 10分) 已知在四棱锥P−ABCD中，AD//BC，AB=BC=CD=12ΔPAD是等边三角形，平面PAD⊥平面ABCD.（1）求证：CD⊥平面GAC；（2）求二面角P−AG−C的余弦值.6. ( 10分) 如图，多面体ABCE中，平面AEC⊥平面ABC，AC⊥BC，AE⊥CD四边形BCDE 为平行四边形.（1）证明：AE⊥EC；（2）若AE=EC=CB=√2，求二面角D−AC−E的余弦值.7. ( 10分) 如图,在三棱锥A−BCD中, △ABC是等边三角形, ∠BAD=∠BCD=90°,点P是AC 的中点,连接BP,DP．（1）证明:平面ACD⊥平面BDP;（2）若BD=√6,且二面角A−BD−C为120°,求直线AD与平面BCD所成角的正弦值．8. ( 10分) 如图，在四棱锥P−ABCD中，AP⊥平面PCD，AD//BC，AB⊥BC，AP=AB=AD，E为AD的中点，AC与BE相交于点O.BC=12（1）证明：PO⊥平面ABCD.（2）若OB=1，求点C到平面PAB的距离.9. ( 10分) 如图，在斜三棱柱ABC−A1B1C1中，平面ABC⊥平面A1ACC1，CC1=2，△ABC，△ACC1，均为正三角形，E为AB的中点.（1）证明: AC1//平面B1CE，（2）求直线AC1与平面B1BAA1所成角的正弦值.10. ( 10分) 如图，四棱锥P−ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，平面PAB⊥平面ABCD，AP=PB，AP⊥PB，E为CP的中点.（1）求证：AP//平面BDE；（2）求点D到平面ACP的距离.11. ( 10分) 在三棱柱ABC−A1B1C1中，已知AB=AC=AA1=√5，BC=4，O为BC的中点，A1O⊥平面ABC（1）证明四边形BB1C1C为矩形；（2）求直线AA1与平面A1B1C所成角的余弦值.12. ( 10分) 如图，四棱锥P−ABCD的底面是正方形，PA⊥平面ABCD，AE⊥PD.（1）证明：AE⊥平面PCD；（2）若AP=AB，求二面角B−PC−D的余弦值.13. ( 10分) 在直角梯形ABCD（如图1），∠ABC=90°，BC//AD，AD=8，AB=BC=4，M为线段AD中点.将△ABC沿AC折起，使平面ABC⊥平面ACD，得到几何体B−ACD（如图2）.（1）求证：CD⊥平面ABC；（2）求AB与平面BCM所成角θ的正弦值.14. ( 15分) 如图，四棱锥S−ABCD的底面是边长为1的正方形，SD垂直于底面ABCD，SD=1.（1）求证BC⊥SC；（2）求平面SBC与平面ABCD所成二面角的大小；（3）设棱SA的中点为M，求异面直线DM与SB所成角的大小.15. ( 10分) 已知菱形ABCD的边长为4, AC∩BD=O, ∠ABC=60°,将菱形ABCD沿对角线BD折起,使AC=a,得到三棱锥A−BCD,如图所示.⇒（1）当a=2√2时,求证: AO⊥平面BCD;（2）当二面角A−BD−C的大小为120°时,求直线AD与平面ABC所成的正切值.16. ( 10分) 在四棱锥P–ABCD中，AB//CD，CD=2AB．⇀=mAP⇀(m>0)，且MN//平面PCD，求实数m的值；（1）设AC与BD相交于点M，AN（2）若AB=AD=DP，∠BAD=60°，PB=√2AD，且PD⊥AD，求二面角A−PC−B的余弦值．17. ( 10分) 如图，在四棱锥P−ABCD中，PA⊥平面ABCD，ABCD是正方形，E是CD中点，点F在BC上，且BF=3FC.（1）证明：EF⊥平面PAE；（2）若PA=AB=4，求点C到平面PEF的距离.18. ( 10分) 如图，在四棱锥P−ABCD中，PA⊥平面ABCD，ABCD是正方形，E是CD中点，点F在BC上，且BF=3FC.（1）证明EF⊥平面PAE；AB，求平面PAB与平面PEF所成二面角的正弦值.（2）若PA=5419. ( 10分) 如图（1），在平面五边形EADCB中，已知四边形ABCD为正方形，ΔEAB为正三角形.沿着AB将四边形ABCD折起得到四棱锥E−ABCD，使得平面ABCD⊥平面EAB，设F在线段AD上且满足DF=2AF，G在线段CF上且满足FG=CG，O为ΔECD的重心，如图（2）.（1）求证：GO//平面ABE；（2）求直线CF与平面BCE所成角的正弦值.20. ( 10分) 如图所示，在矩形ABCD中，AB=4，AD=2，E是CD的中点，O为AE的中点，以AE为折痕将ΔADE向上折起，使D点折到P点，且PC=PB.（1）求证: PO⊥面ABCE；（2）求AC与面PAB所成角θ的正弦值.21. ( 10分) 如图，在以A，B，C，D，E，F为顶点的多面体中，四边形ACDF是菱形，∠FAC=600,AB//DE,BC//EF,AB=BC=3,AF=2√3,BF=√15（1）求证：平面ABC⊥平面ACDF（2）求平面AEF与平面ACE所成的锐二面角的余弦值22. ( 10分) 已知四棱锥E−ABCD，AB=3，BC=4，CD=12，AD=13，cos∠ADC= 12，EC⊥平面ABCD.13（1）求证：平面ABE⊥平面EBC；（2）当CE=60时，求直线AC和平面ADE所成角的正弦值.23. ( 10分) 如图，在四棱锥P−ABCD中，四边形ABCD是直角梯形，AB⊥AD，AB//CD，PC⊥底面ABCD，AB=2AD=2CD=4，PC=2a，E是PB的中点.（1）求证：AC⊥平面PBC；，求直线PA与平面EAC所成角的正弦值.（2）若二面角P−AC−E的余弦值为√6324. ( 10分) 如图1，在等腰梯形ABF1F2中，两腰AF2=BF1=2，底边AB=6，F1F2=4，D，C是AB的三等分点，E是F1F2的中点.分别沿CE，DE将四边形BCEF1和ADEF2折起，使F1，F2重合于点F，得到如图2所示的几何体.在图2中，M，N分别为CD，EF的中点.（1）证明：MN⊥平面ABCD.（2）求直线CN与平面ABF所成角的正弦值.25. ( 15分) 如图，在四棱锥P一ABCD中，已知AB=BC=√5,AC=4,AD=DC=2√2，点Q为AC中点，PO⊥底面ABCD, PO=2，点M为PC的中点.（1）求直线PB与平面ADM所成角的正弦值；（2）求二面角D-AM-C的正弦值；（3）记棱PD的中点为N，若点Q在线段OP上，且NQ//平面ADM，求线段OQ的长.26. ( 10分) 如图，已知ΔABC为等边三角形，ΔABD为等腰直角三角形，AB⊥BD，平面ABC⊥平面ABD，点E与点D在平面ABC的同侧，且CE//BD，BD=2CE.点F为AD中点，连接EF.（1）求证：EF//平面ABC；（2）求二面角C−AE−D的余弦值.27. ( 10分) 如图，在四棱锥S−ABCD中，底面ABCD是直角梯形，AD//BC，AB⊥BC，ΔSAB 是等边三角形，侧面SAB⊥底面ABCD，AB=2√3，BC=3，AD=1，点M、点N分别在棱SB、棱CB上，BM=2MS，BN=2NC，点P是线段MN上的任意一点.（1）求证：AP//平面SCD；（2）求二面角S−CD−B的大小.28. ( 15分) 如图，四棱锥P−ABCD的底面是正方形，PA⊥底面ABCD，PA=AD=2，点M,N分别在棱PD,PC上，且PC⊥平面AMN.（1）求证：AM⊥PD；（2）求直线CD与平面AMN所成角的正弦值.（3）求二面角C−AM−N的余弦值29. ( 10分) 如图,四棱锥P−ABCD中, PD⊥底面ABCD,且底面ABCD为平行四边形,若∠DAB= 60°, AB=2, AD=1.（1）求证: PA⊥BD;（2）若∠PCD=45°,求点D到平面PBC的距离ℎ.30. ( 10分) 在长方体ABCD−A1B1C1D1中，底面ABCD是边长为2的正方形，E是AB的中点，F是BC的中点.（1）求证：EF//平面A1DC1；（2）若AA1=2√3，求平面A1DC1与平面B1EF所成二面角的正弦值.31. ( 10分) 如图，在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD是矩形，侧棱PD⊥底面ABCD，且PD= CD=1，过棱PC的中点E，作EF⊥PB交PB于点F.（1）证明：PA//平面EDB；，求PA与面ABCD所成角的正弦值．（2）若面DEF与面ABCD所成二面角的大小为π332. ( 5分) 如图，在三棱柱ABC−A1B1C1中，AA1⊥平面ABC，D是AB的中点，BC=AC，AB=2DC=2√2，AA1=4.（Ⅰ）求证：BC1//平面A1CD；（Ⅱ）求平面BCC1B1与平面A1CD所成锐二面角的平面角的余弦值.33. ( 10分) 如图，在三棱柱ABC−A1B1C1中，AA1⊥平面ABC，点D是AB的中点，BC= AC，AB=2DC=2，AA1=√3.（1）求证：平面A1DC⊥平面ABB1A1；（2）求点A到平面A1DC的距离.34. ( 10分) 如图，在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1＝A1D，AB＝BC，∠ABC＝120°.（1）证明：AD⊥BA1；（2）若平面ADD1A1⊥平面ABCD，且A1D＝AB，求直线BA1与平面A1B1CD所成角的正弦值.35. ( 10分) 如图,在四棱锥P−ABCD中, PA⊥平面ABCD,∠ABC=∠BAD=90°,AD=AP= 4,AB=BC=2, M,N为线段PC,AD上一点不在端点.AD，求证：MN∥面PBA（1）当M为中点时，AN=14，若存在（2）当N为AD中点时，是否存在M，使得直线MN与平面PBC所成角的正弦值为2√55求出M的坐标，若不存在，说明理由.36. ( 10分) 如图，正方体ABCD−A1B1C1D1的棱长为2，E为棱CC1的中点.（1）求 AD 1 与 DB 所成角的大小；（2）求 AE 与平面 ABCD 所成角的正弦值.37. ( 20分 ) 如图， E 是以 AB 为直径的半圆 O 上异于 A,B 的点，矩形 ABCD 所在的平面垂直于半圆 O 所在的平面，且 AB =2 ， AD =3（1）求证：平面 EAD ⊥ 平面 EBC ；（2）若 EB ⌢ 的长度为 π3，求二面角 A −DE −C 的正弦值． 38. ( 5分 ) 如图1，在直角梯形 ABCD 中，AB ∥CD ， AB ⊥AD ，且 AB =AD =12CD =1 ．现以 为一边向梯形外作正方形 ADEF ，然后沿边 AD 将正方形 ADEF 翻折，使平面 ADEF 与平面 ABCD 垂直，如图2．（Ⅰ）求证：BC ⊥平面DBE ；（Ⅱ）求点D 到平面BEC 的距离.39. ( 10分 ) 如图，扇形 AOB 的半径为 2 ，圆心角 ∠AOB =120∘ ，点 C 为弧 AB 上一点， PO ⊥ 平面 AOB 且 PO =√5 ，点 M ∈PB 且 BM =2MP ， PA ∥平面 MOC ．（1）求证：平面MOC⊥平面POB；（2）求平面POA和平面MOC所成二面角的正弦值的大小.40. ( 10分) 如图，已知四边形ABCD为等腰梯形，BDEF为正方形，平面BDEF⊥平面ABCD，AD//BC,AD=AB=1，∠ABC=60°.（1）求证:平面CDE⊥平面BDEF；（2）点M为线段EF上一动点，求BD与平面BCM所成角正弦值的取值范围.41. ( 10分) 如图，在四棱锥P-ABCD中，AD=2√3,AB=3,AP=√3,AD//BC，AD⊥平面PAB，∠APB=90°，点E满足PE⇀=23PA⇀+13PB⇀.（1）证明：PE⊥DC；（2）求二面角A-PD-E的余弦值.42. ( 10分) 在斜三棱柱ABC−A1B1C1中，侧面AC1⊥平面ABC，AA1=√2a，A1C=CA=AB=a，AB⊥AC，D是AA1的中点．（1）求证：CD⊥平面AB1；（2）在侧棱BB1上确定一点E，使得二面角E−A1C1−A的大小为π．343. ( 10分) 如图,在四棱锥P−ABCD中,侧面PAD⊥底面ABCD,底面ABCD为梯形，AB//CD,=2.∠ABC=∠BCD=90°,BC=CD=AB2（1）证明: BD⊥PD;（2）若△PAD为正三角形,求二面角A−PB−C的余弦值.44. ( 10分) 如图，已知四棱锥P−ABCD的底面为直角梯形，∠ADC为直角，AP⊥平面ABCD，BC:AD:CD=5:4:2，且CD=1.（1）求证：BP⊥AC；（2）若AP=CD，求二面角D−PC−B的余弦值.45. ( 10分) 如图，在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD,PA=AD=2,AB=1, AM⊥PD于点M，连接BM.（1）求证：PD⊥BM；（2）求直线CD与平面ACM所成角的正弦值.BC=1，E是BC的中46. ( 10分) 如图所示1，已知四边形ABCD满足AD//BC，BA=AD=DC=12点.将△BAE沿着AE翻折成△B1AE，使平面B1AE⊥平面AECD，F为CD的中点，如图所示2.（1）求证：EF⊥平面AB1E；（2）求AE到平面CB1D的距离.47. ( 10分) 如图,四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD是平行四边形,∠BCD=135°,PA⊥平面ABCD,AB=AC=PA=2,E,F,M分别为线段BC,AD,PD的中点.（1）求证:直线EF⊥平面PAC;（2）求平面MEF与平面PBC所成二面角的正弦值.48. ( 5分) 如图，三棱柱A1B1C1−ABC中，BB1⊥平面ABC，AB⊥BC，AB=2，BC= 1，BB1=3，D是CC1的中点，E是AB的中点.（Ⅰ）证明：DE//平面C1BA1；（Ⅱ）F是线段CC1上一点，且直线AF与平面ABB1A1所成角的正弦值为1，求二面角F−3BA1−A的余弦值.49. ( 5分) 如图,在四棱锥P−ABCD中, PA⊥平面ABCD, AD⊥CD,AD//BC,BC=4,PA= AD=CD=2,点E为PC的中点.(I) 证明：DE//平面PAB;(II)求直线PB与平面PCD所成角的正弦值.50. ( 10分) 如图，AB是圆的直径，PA垂直圆所在的平面，C是圆上的一点.（1）求证：平面PAC⊥平面PBC；（2）若AB=2 , AC=PA=1，求直线PA与平面PBC所成角的正弦值.答案解析部分一、解答题1.【答案】（1）解：由题意知∠BCD=∠ADC=90°，BC//ED,且BC=CD=12AD=DE，所以四边形BCDE是正方形，连接CE，所以BD⊥CE，又因为BC//AE，BC=AE，所以四边形ABCE是平行四边形，所以CE//AB，则BD⊥AB.因为平面SAD⊥平面ABCD，∠SAD=90°，平面SAD∩平面ABCD=AD，故SA⊥平面ABCD.所以SA∩AB=A，所以SA⊥BD，又因为SA∩AB=A，则BD⊥平面SAB.（2）解：∵SA=AD=2，BE=DE=1，∴△BDE的面积为12，又由（1）知SA⊥平面ABCD，∴V S−BDE=13×12×2=13，又在RtΔSAB中，SA=2，AB=DB=√2，∴SB=√6，由（1）知BD⊥SB，∴ΔSBD的面积为12×√2×√6=√3，设点E到平面SBD的距离为ℎ，则13S△BDS⋅ℎ=13，即ℎ=√33.【考点】直线与平面垂直的判定，点、线、面间的距离计算【解析】【分析】（1)利用线面垂直的判定定理，即可证得BD⊥平面SAB.（2）由（1）知SA⊥平面ABCD，求得V S−BDE=13，再根据等体积法，即可求解点点E到平面SBD的距离.2.【答案】（1）证明：∵M，N分别是AF，AB的中点，∴MN∥BF.∵MN⊄平面BCF，BF⊂平面BCF，∴MN//平面BCF.（2）解：∵四边形ABCD和ABEF都是边长为2的正方形，∴DA⊥AB，FA⊥AB，∴∠DAF就是二面角D−AB−F的平面角，∴∠DAF=60°.连接DM，在△DAM中，DA=2，AM=1，∠DAM=60°，∴DM2=AM2+AD2−2AM⋅AD⋅cos60°=3，∴DM=√3.∴DM2+AM2=AD2，∴DM⊥AM.∵DA⊥AB，FA⊥AB，FA∩DA=A，∴AB ⊥ 平面 ADM ， ∴AB ⊥DM .∴DM ⊥ 平面 ABEF .以点 M 为原点， MF ， MG （ G 是 BE 中点）， MD 所在直线分别为 x 轴， y 轴， z 轴建立如图空间直角坐标系，如图所示：则 D(0,0,√3) ， E(1,2,0) ， B(−1,2,0) ， F(1,0,0) ， A(−1,0,0) ，DE ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,2,−√3) ， BF ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,−2,0) ， BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,0,√3) .设平面 BCF 的法向量为 m⃗⃗ =(x,y,z) ， 则 {m ⇀⋅BF ⇀=2x −2y =0m ⇀⋅BC⇀=x +√3z =0 ，取 m ⃗⃗ =(√3,√3,−1) . 设直线 DE 与平面 BCF 所成角为 θ ，则 sinθ=|m⃗⃗⃗ ⋅DE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||m ⃗⃗⃗ ||DE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=√427 ，∴ 直线 DE 与平面 BCF 所成角的正弦值为 √427. 【考点】直线与平面平行的判定，用空间向量求直线与平面的夹角【解析】【分析】（1）根据三角形的中位线，有 MN ∥BF ，再利用线面平行的判定定理证明.（2）根据点 M ， N 分别是 AF ， AB 的中点，二面角 D −AB −F 的大小为60°，证明 DM ⊥ 平面 ABEF ，然后以点 M 为原点， MF ， MG （ G 是 BE 中点）， MD 所在直线分别为 x 轴， y 轴， z 轴建立如图空间直角坐标系，再求得平面 BCF 的一个法向量，利用线面角的向量求法求解.3.【答案】 （1）证明：因为E 为AB 的中点， AE =1 ，所以 CD =AB =2 ，所以 CD 2+PD 2=PC 2 ，从而 PD ⊥CD .又 PD ⊥CE ， CD ∩CE =C ，所以 PD ⊥ 底面ABCD ， 所以 PD ⊥AD .因为四边形ABCD 是正方形，所以 AD ⊥CD .又 CD ∩PD =D ，所以 AD ⊥ 平面PCD.（2）解：以D 为坐标原点，建立空间直角坐标系 D −xyz ，如图所示，则 A(2,0,0) ， P(0,0,3) ， E(2,1,0) ， C(0,2,0) ，所以 PE ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,1,−3) ， EC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−2,1,0) ， DA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,0,0) .设平面PCE 的法向量为 n⃗ =(x,y,z) ， 则 PE ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅n ⃗ =EC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅n ⃗ =0 ，即 {2x +y −3z =0−2x +y =0 ，令 x =3 ，得 n ⃗ =(3,6,4) . cos〈n ⃗ ,DA ⃗⃗⃗⃗⃗ 〉=n ⃗ ⋅DA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |n ⃗ ||DA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=3√6161 ， 故DA 与平面PCE 所成角的正弦值为 3√6161 .【考点】直线与平面垂直的判定，用空间向量求直线与平面的夹角【解析】【分析】（1）通过证明 PD ⊥AD ， AD ⊥CD 即可证明线面垂直；（2）建立空间直角坐标系，利用向量方法求解线面角的正弦值.4.【答案】 （1）证明：设 BC 1 与 CB 1 交点为 O ，连接 OE ， BE .由题可知四边形 BCC 1B 1 为正方形，所以 BC 1⊥CB 1 ，且 O 为 BC 1 中点.又因 BE 2=AB 2+AE 2 ， C 1E 2=A 1E 2+A 1C 12 ，所以 BE =C 1E ，所以 BC 1⊥OE .又因为 OE ∩CB 1=O ，所以 BC 1⊥ 平面 EB 1C .因为 EB 1⊂ 平面 EB 1C ，所以 BC 1⊥EB 1 .（2）解：取 AB 的中点 O ′ ，连接 O ′C ， O ′C ⊥AB ，在平面 ABB 1A 1 过点 O ′ 内作 AB 的垂线，如图所示，建立空间直角坐标系 O ′−xyz .设 AB =2 ，则 E(0,−1,1) ， B 1(0,1,2) ， B(0,1,0) ， C 1(−√3,0,2) .所以 EB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,2,1) ， EC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−√3,1,1) .设平面 C 1EB 1 的一个法向量为 n ⃗ =(x,y,z) ，则 {n ⇀⋅EB1⇀=2y +z =0n ⇀⋅EC 1⇀=−√3x +y +z =0 ，令 y =√3 ，则 n ⃗ =(−1,√3,−2√3) . 由（1）可知平面 CEB 1 的一个法向量为 BC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−√3,−1,2) ， 则 |cos〈BC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,n⃗ 〉|=|n ⃗ ⋅BC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||n ⃗ |⋅|BC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=√3√3+1+4⋅√1+3+12=√64.由图可知二面角 C 1−EB 1−C 为锐角，所以其余弦值为 √64.【考点】空间中直线与直线之间的位置关系，用空间向量求平面间的夹角【解析】【分析】（1）通过证明 BC 1⊥ 平面 EB 1C 即可证得；（2）建立空间直角坐标系，利用向量求解.5.【答案】 （1）证明：取 AD 的中点为 O ，连结 OP ， OC ， OB ，设 OB 交 AC 于 H ，连结 GH . 因为 AD//BC ， AB =BC =CD =12AD ， 四边形 ABCO 与四边形 OBCD 均为菱形， ∴OB ⊥AC ， OB//CD ， CD ⊥AC ， 因为 △PAD 为等边三角形， O 为 AD 中点， ∴PO ⊥AD ，因为平面 PAD ⊥ 平面 ABCD ，且平面 PAD ∩ 平面 ABCD =AD .PO ⊂ 平面 PAD 且 PO ⊥AD ， ∴PO ⊥ 平面 ABCD 因为 CD ⊂ 平面 ABCD ， ∴PO ⊥CD ，因为H ， G 分别为 OB ， PB 的中点， ∴GH//PO ， ∴GH ⊥CD .又因为 GH ∩AC =H ， AC,GH ⊂ 平面 GAC ， ∴CD ⊥ 平面 GAC .（2）解：取 BC 的中点为 E ，以 O 为空间坐标原点，分别以 OE ⇀,OD ⇀,OP ⇀ 的方向为 x 轴、 y 轴、 z 轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系 O −xyz .设 AD =4 ，则 P(0,0,2√3) ， A(0,−2,0) ， C(√3,1,0) ， D(0,2,0) ， G(√32,−12,√3)AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,2,2√3) ， AG ⇀=(√32,32,√3) ， 设平面 PAG 的一法向量 n →=(x,y,z) .由 {n ⇀⋅AP⇀=0n ⇀⋅AG ⇀=0 ⇒{2y +2√3z =0√32x +32y +√3z =0⇒{y =−√3z x =z .令 z =1 ，则 n ⃗ =(1,−√3,1) . 由（1）可知，平面 AGC 的一个法向量 CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−√3,1,0) ， cos〈n ⇀,CD⇀〉=n ⇀⋅CD ⇀|n⇀||CD ⇀|=−√155∴ 二面角 P −AG −C 的平面角的余弦值为 −√155.【考点】直线与平面垂直的判定，用空间向量求平面间的夹角【解析】【分析】（1）取 AD 的中点为 O ，连结 OP ， OC ， OB ，设 OB 交 AC 于 H ，连结 GH .证明 AC ⊥CD ， GH ⊥CD ，即可证 CD ⊥ 平面 GAC ；（2）取 BC 的中点为 E ，以 O 为空间坐标原点，分别以 OE⇀,OD ⇀,OP ⇀ 的方向为 x 轴、 y 轴、 z 轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系 O −xyz .设 AD =4 ，利用向量法求二面角 P −AG −C 的余弦值.6.【答案】 （1）解：因为平面 AEC ⊥ 平面 ABC ，交线为 AC ，又 AC ⊥BC ， 所以 BC ⊥ 平面 AEC ， ∴BC ⊥AE ，又 AE ⊥CD ， CD ∩BC =C ， 则 AE ⊥ 平面 BCDE ， EC ⊂ 平面 BCDE ， 所以， AE ⊥EC ；（2）解：取 AC 的中点 O ， AB 的中点 F ，连接 OE ， OF ，则 OE ⊥ 平面 ABC ， OF ⊥ 平面 AEC ；以点 O 为坐标原点，分别以 OA ， OF ， OE 为 x 轴， y 轴， z 轴建立空间直角坐标系如图所示，已知 AE =EC =CB =√2 ，则 AC =2 ， OE =1 ， O(0,0,0) ， A(1,0,0) ， C(−1,0,0) ， D(0,−√2,1) ， 则 AC⃗⃗⃗⃗⃗ =(−2,0,0) ， AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1,−√2,1) ， 设平面 DAC 的一个法向量 m⃗⃗ =(x,y,z) ， 由 {m ⇀⋅AC⇀=0,m ⇀⋅AD ⇀=0 得 {−2x =0,−x −√2y +z =0令 y =√2 ，则 x =0 ， z =2 ，即 m ⃗⃗ =(0,√2,2) ；平面 ECA 的一个法向量为 n ⃗ =(0,1,0) ； cos〈m ⃗⃗ ,n ⃗ 〉=m⃗⃗⃗ ⋅n ⃗ |m ⃗⃗⃗ ||n ⃗ |=√2√2+4=√33.所以二面角 D −AC −E 的余弦值为 √33.【考点】空间中直线与直线之间的位置关系，用空间向量求平面间的夹角【解析】【分析】（1）先通过平面 AEC ⊥ 平面 ABC 得到 BC ⊥AE ，再结合 AE ⊥CD ，可得 AE ⊥ 平面 BCDE ，进而可得结论；（2）取 AC 的中点 O ， AB 的中点 F ，连接 OE ， OF ，以点 O 为坐标原点，分别以 OA ， OF ， OE 为 x 轴， y 轴， z 轴建立空间直角坐标系，求出平面 DAC 的一个法向量以及平面 ECA 的一个法向量，求这两个法向量的夹角即可得结果. 7.【答案】 （1）证明:因为 △ABC 是等边三角形, ∠BAD =∠BCD =90° , 所以 Rt △ABD ≅Rt △CBD ,可得 AD =CD ． 因为点 P 是 AC 的中点,则 PD ⊥AC , PB ⊥AC , 因为 PD ∩PB =P , PD ⊂ 平面PBD, PB ⊂ 平面 PBD , 所以 AC ⊥ 平面 PBD ,因为 AC ⊂ 平面 ACD , 所以平面 ACD ⊥ 平面 BDP ．（2）解：如图,作 CE ⊥BD ,垂足为 E 连接 AE ．因为 Rt △ABD ⊆Rt △CBD ,所以 AE ⊥BD, AE =CE, ∠AEC 为二面角A-BD-C 的平面角． 由已知二面角 A −BD −C 为 120° ,知 ∠AEC =120° ． 在等腰三角形 AEC 中,由余弦定理可得 AC =√3AE ． 因为 △ABC 是等边三角形,则 AC =AB ,所以 AB =√3AE ． 在 Rt △ABD 中,有 12AE ⋅BD =12AB ⋅AD ,得 BD =√3AD , 因为 BD =√6 ,所以 AD =√2 ． 又 BD 2=AB 2+AD 2 ,所以 AB =2 ． 则 AE =2√33, ED =√63．以 E 为坐标原点,以向量 EC ⃗⃗⃗⃗⃗ , ED ⃗⃗⃗⃗⃗ 的方向分别为 x 轴, y 轴的正方向, 以过点 E 垂直于平面 BCD 的直线为 z 轴,建立空间直角坐标系 E −xyz ,则 D(0,√63,0) , A(−√33,0,1) ,向量 AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =(√33,√63,−1) ,平面 BCD 的一个法向量为 m⃗⃗ =(0,0,1) , 设直线 AD 与平面 BCD 所成的角为 θ , 则 cos〈m ⃗⃗ ,AD ⃗⃗⃗⃗⃗ 〉=m⃗⃗⃗ ⋅AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |m⃗⃗⃗ ||AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=√2×1=−√22, sinθ=|cos〈m ⃗⃗ ,AD⃗⃗⃗⃗⃗ 〉|=√22所以直线 AD 与平面 BCD 所成角的正弦值为 √22．【考点】平面与平面垂直的判定，直线与平面所成的角，二面角的平面角及求法【解析】【分析】（1）由 △ABC 是等边三角形, ∠BAD =∠BCD =90° ,得 AD =CD ．再证明 PD ⊥AC , PB ⊥AC ,从而和证明 AC ⊥ 平面 PBD ,故平面 ACD ⊥ 平面 BDP 得证．（2）作 CE ⊥BD ,垂足为 E 连接 AE ．由 Rt △ABD ⊆Rt △CBD ,证得 AE ⊥BD, AE =CE, 结合二面角 A −BD −C 为 120° ,可得 AB =2 , AE =2√33, ED =√63 .建立空间直角坐标系,求出点的坐标则 D(0,√63,0) , A(−√33,0,1) ,向量AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =(√33,√63,−1) ,即平面 BCD 的一个法向量 m ⃗⃗ =(0,0,1) ,运用公式 cos〈m ⃗⃗ ,AD ⇀〉=m ⃗⃗⃗ ⋅AD ⇀|m⃗⃗⃗ ||AD ⇀| 和 sinθ=|cos〈m ⃗⃗ ,AD ⇀〉| ,即可得出直线 AD 与平面 BCD 所成角的正弦值． 8.【答案】 （1）证明：∵ AP ⊥ 平面 PCD ，∴ AP ⊥CD . ∵ AD//BC ， BC =12AD ，∴四边形 BCDE 为平行四边形， ∴ BE//CD ， ∴ AP ⊥BE .又∵ AB ⊥BC ， AB =BC =12AD ，且 E 为 AD 的中点， ∴四边形 ABCE 为正方形，∴ BE ⊥AC .又 AP ∩AC =A ，∴ BE ⊥ 平面 APC ，则 BE ⊥PO . ∵ AP ⊥ 平面 PCD ，∴ AP ⊥PC ，又 AC =√2AB =√2AP ， ∴ ΔPAC 为等腰直角三角形， O 为斜边 AC 上的中点， ∴ PO ⊥AC 且 AC ∩BE =O ，∴ PO ⊥ 平面 ABCD .（2）解：∵ OB =1 ，∴ PA =PB =AB =√2 . 设 C 到平面 PAB 的距离为 d ， 由 V C−PAB =V P−ABC ，得 13×√34×(√2)2×d =13×12×(√2)2×1 ，解得 d =2√33.【考点】直线与平面垂直的判定，点、线、面间的距离计算【解析】【分析】（1）首项通过证明 AP ⊥CD,CD//BE ，证得 AP ⊥BE ，然后通过证明四边形 ABCE 是正方形证得 BE ⊥AC ，由此证得 BE ⊥ 平面 APC ，所以 BE ⊥PO .通过证明 ΔPAC 为等腰直角三角形证得 PO ⊥AC ，由此证得 PO ⊥ 平面 ABCD .（2）利用等体积法，由 V C−PAB =V P−ABC 列方程，解方程求得点 C 到平面 PAB 的距离.9.【答案】 （1）解：如图，连接 BC 1 ，交 B 1C 于点M ，连接ME ，则 ME//AC 1 . 因为 AC 1⊄ 平面 B 1CE ， ME ⊂ 平面 B 1CE ，所以 AC 1// 平面 B 1CE .（2）解：设O 是AC 的中点，连接 OC 1 ，OB.因为 △ACC 1 为正三角形， 所以 OC 1⊥AC ，又平面 ABC ⊥ 平面 A 1ACC 1 ，平面 ABC ∩ 平面 A 1ACC 1=AC ， 所以 OC 1⊥ 平面ABC.由已知得 AC =2 .如图，分别以射线OB ，OA ， OC 1 的方向为x ，y ，z 轴的正方向，建立空间直角坐标系，则有 A(0,1,0) ， B(√3,0,0) ， C 1(0,0,√3) ， A 1(0,2,√3) ， 故 AC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,−1,√3) ， AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(√3,−1,0) ， AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,1,√3) ， 设平面 B 1BAA 1 的一个法向量为 m⃗⃗ =(x,y,z) ，则 {AB ⇀⋅m ⇀=0AA 1⇀⋅m ⇀=0 ， 所以 {√3x −y =0y +√3z =0 令 x =1 ，则 m ⃗⃗ =(1,√3,−1) .设直线 AC 1 与平面 B 1BAA 1 所成的角为 θ ， 则 sinθ=|AC⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅m ⃗⃗⃗ ||AC⃗⃗⃗⃗⃗1|⋅|m⃗⃗⃗ |=√32×5=√155，故直线 AC 1 与平面 B 1BAA 1 所成角的正弦值为 √155.【考点】直线与平面平行的判定，直线与平面所成的角【解析】【分析】（1）如图，连接 BC 1 ，交 B 1C 于点M ，连接ME ，则 ME//AC 1 ，再利用线面平行的判定定理，即可证明线面平行；（2）设O 是AC 的中点，连接 OC 1 ，OB ，分别以射线OB ，OA ， OC 1 的方向为x ，y ，z 轴的正方向，建立空间直角坐标系，求出平面 B 1BAA 1 的一个法向量为 m ⃗⃗ =(1,√3,−1) ，设直线 AC 1 与平面 B 1BAA 1 所成的角为 θ ，代入公式 sinθ=|AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅m ⃗⃗⃗ ||AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 1|⋅|m⃗⃗⃗ | 运算，即可得答案.10.【答案】 （1）解：如图，连接 AC 交 BD 于 O ，连接 OE ，则 O 为 AC 的中点.又E为CP上的中点，所以OE//PA.又AP⊄平面BDE，OE⊂平面BDE，所以AP//平面BDE（2）解：如图，取AB的中点M，连接PM，因为AP⊥PB，AP=PB，所以PM⊥AB，PM=12AB=1，AP=PB=√2，又平面PAB⊥平面ABCD，平面PAB∩平面ABCD=AB，PM⊂平面PAB，所以PM⊥平面ABCD.同理可得BC⊥平面PAB，∵AP、BP⊂平面PAB，∴BC⊥AP，BC⊥BP. 又因为AP⊥BP，BC∩BP=B，所以AP⊥平面BCP，∵PC⊂平面BCP，则AP⊥PC，所以PC=√PB2+BC2=√6，所以SΔAPC=12AP⋅PC=12×√2×√6=√3，又SΔACD=12×2×2=2，设点D到平面ACP的距离为ℎ，由V D−APC=V P−ACD，得13⋅SΔAPC⋅ℎ=13⋅PM⋅SΔACD，所以ℎ=3=2√33，即点D到平面ACP的距离为2√33.【考点】直线与平面平行的判定，点、线、面间的距离计算【解析】【分析】（1）连接AC交BD于O，则O为AC的中点，利用中位线的性质可得出OE//PA，然后利用直线与平面平行的判定定理可证明出AP//平面BDE；（2）取AB的中点M，连接PM，利用面面垂直的性质定理可得出PM⊥平面ABCD，由此可计算出三棱锥P−ACD的体积，并计算出ΔAPC的面积，并设点D到平面ACP的距离为ℎ，由V P−ACD=13SΔACP⋅ℎ可计算出点D到平面ACP的距离的值.11.【答案】（1）解：连接AO，因为O为BC的中点，可得BC⊥AO，∵ A 1O ⊥ 平面 ABC ， BC ⊂ 平面 ABC ，∴ A 1O ⊥BC ， 又∵ AO ∩A 1O =O ，∴ BC ⊥ 平面 AA 1O ，∴ BC ⊥AA 1 ， ∵ BB 1//AA 1 ， ∴ BC ⊥BB 1 ， 又∵四边形 BB 1C 1C 为平行四边形， ∴四边形 BB 1C 1C 为矩形；（2）解：如图，分别以 OA,OB,OA 1 所在直线为 x,y,z 轴，建立空间直角坐标系，则 A(1,0,0),B(0,2,0),C(0,−2,0),Rt △AOB 中， AO =√AB 2−BO 2=1 ， Rt △AA 1O 中， A 1O =√AA 12−AO 2=2 ，A 1(0,0,2) ，∴ AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1,0,2) ， A 1C ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,−2,−2) ， A 1B 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1,2,0) ，设平面 A 1B 1C 的法向量是 n⃗ =(x,y,z) ， 由 {n ⇀⋅AB⇀=0,n ⇀⋅A 1C ⇀=0, 得 {−x +2y =0,−2y −2z =0, 即 {x =2y,z =−y, ，可取 n ⃗ =(2,1,−1) ， 设直线 AA 1 与平面 A 1B 1C 所成角为 θ ，则 θ∈[0,π2] ，sinθ=|cos <AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,n ⃗ >| =|AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅n ⃗ ||AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅|n ⃗ |=√5⋅√6=215√30 ， ∵ θ∈[0,π2] ，∴ cosθ=√1−sin 2θ=√10515，即直线 AA 1 与平面 A 1B 1C 所成角的余弦值为 √10515．【考点】直线与平面所成的角【解析】【分析】（1）连接 AO ，可得 BC ⊥AO ，易证 A 1O ⊥BC ，则 BC ⊥ 平面 AA 1O ，从而可证 BC ⊥BB 1 ，由此即可得出结论；（2）以 OA,OB,OA 1 所在直线分别为 x,y,z 轴建立空间直角坐标系，利用法向量解决问题．12.【答案】 （1）证明:因为 PA ⊥ 平面 ABCD , CD ⊂ 平面 ABCD , 所以 PA ⊥CD ,因为底面 ABCD 是正方形,所以 AD ⊥CD , 又 PA ∩AD =A ,所以 CD ⊥ 平面 PAD , 因为 AE ⊂ 平面 PAD ,所以 CD ⊥AE ,又因为 AE ⊥PD,CD ∩PD =D , CD,PD ⊂ 平面 PCD , 所以 AE ⊥ 平面 PCD（2）解：因为 PA ⊥ 平面 ABCD ,底面 ABCD 为正方形,所以 PA ⊥AB,PA ⊥AD,AB ⊥AD ,以 A 为原点,分别以 AB 、AD 、AP 所在的直线为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系 A −xyz （如图所示）,设 PA =AB =1 ,则 A(0,0,0),B(1,0,0),C(1,1,0),D(0,1,0),P(0,0,1) , 因为 AE ⊥PD ,所以 E 为 PD 中点,所以 E(0,12,12) , 所以 PB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,0,−1),PC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,1,−1),AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,12,12) , 由（1）得 AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,12,12) 为平面 PCD 的一个法向量, 设平面 PBC 的一个法向量为 m⃗⃗ =(x,y,z) , 由 {PB ⇀⋅m ⃗⃗ =0PC ⇀⋅m ⃗⃗ =0 ,即 {x −z =0x +y −z =0 ,令 x =1 ,则 z =1,y =0 ,所以 m ⃗⃗ =(1,0,1) , 因此 cos〈m⃗⃗ ,AE ⃗⃗⃗⃗⃗ 〉=m⃗⃗⃗ ⋅AE ⃗⃗⃗⃗⃗ |m⃗⃗⃗ |⋅|AE ⃗⃗⃗⃗⃗ |=12√2×√12=12, 由图可知二面角 B −PC −D 的大小为钝角, 故二面角 B −PC −D 的余弦值为 −12【考点】直线与平面垂直的判定，用空间向量求平面间的夹角【解析】【分析】（1）由 PA ⊥ 平面 ABCD 及底面 ABCD 是正方形可证得 CD ⊥ 平面 PAD ,则 CD ⊥AE ,又由 AE ⊥PD ,即可求证；（2）以 A 为原点,分别以 AB 、AD 、AP 所在的直线为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系 A −xyz ,由（1）可知 AE ⃗⃗⃗⃗⃗ 为平面 PCD 的一个法向量,求得平面 PBC 的一个法向量 m ⃗⃗ ,进而利用数量积求解即可13.【答案】 （1）解：由题设可知 AC =4√2 ， CD =4√2 ， AD =8 ∴ AD 2=CD 2+AC 2 ∴ CD ⊥AC又∵平面 ABC ⊥ 平面 ACD ，平面 ABC ∩ 平面 ACD =AC ∴ CD ⊥ 面 ABC .（2）解：法一、等体积法取 AC 的中点 O 连接 OB ，由题设可知 △ABC 为等腰直角三角形，所以 OB ⊥ 面 ACM ∵ V B−ACM =V A−BCM 且 V B−ACM =13S ACM ⋅BO =16√23而 S ΔBCM =4√3∴ A 到面 BCM 的距离 ℎ=4√63，所以 sinθ=ℎAB =√63.法二、向量法取 AC 的中点 O 连接 OB ，由题设可知 △ABC 为等腰直角三角形，所以 OB ⊥ 面 ACM ，连接 OM ，因为 M 、O 分别为 AB 和 AC 的中点，所以 OM//CD ，由（1）可知 OM ⊥AC ，故以 OM 、OC 、OB 所在直线为 x 轴、 y 轴、 z 轴建立空间直角坐标系，如图所示. 则 A(0,−2√2,0) ， B(0,0,2√2) ， C(0,2√2,0) ， M(2√2,0,0) ∴ CB⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,−2√2,2√2) CM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(2√2,−2√2,0) BA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,−2√2,−2√2) ∴面 BCM 的一个法向量 n ⃗ =(1,1,1) ∴ sinθ=|BA⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅n ⃗ ||BA ⃗⃗⃗⃗⃗ ||n⃗ |=√63【考点】直线与平面垂直的判定，直线与平面所成的角【解析】【分析】（1）通过计算结合勾股定理的逆定理可以证明 CD ⊥AC ，再根据面面垂直的性质定理进行证明即可；（2）法一、取 AC 的中点 O 连接 OB ，根据 V B−ACM =V A−BCM ，结合三棱锥的体积公式进行求解即可；法二、取 AC 的中点 O 连接 OB ，由题设可知 △ABC 为等腰直角三角形，所以 OB ⊥ 面 ACM ，连接 OM ，因为 M 、O 分别为 AB 和 AC 的中点，所以 OM//CD ，由（1）可知 OM ⊥AC ，故以 OM 、OC 、OB 所在直线为 x 轴、 y 轴、 z 轴建立空间直角坐标系，如图所示.运用向量法求解即可.14.【答案】 （1）证明：∵底面 ABCD 是正方形， ∴ BC ⊥CD ，∵ SD ⊥ 底面 ABCD ， BC ⊂ 底面 ABCD ，∴ SD ⊥BC ，又 DC ∩SD =D ， ∴ BC ⊥ 平面 SDC ，∵ SC ⊂ 平面 SDC ，∴ BC ⊥SC .（2）解：由（1）知 BC ⊥SC ，又 CD ⊥BC ，∴ ∠SCD 为所求二面角的平面角， 在 RtΔDSC 中，∵ SD =DC =1 ，∴ ∠SCD =45° .（3）解：取AB中点P，连结MP,DP，在ΔABS，由中位线定理得MP//SB，∴∠DMP或其补角是异面直线DM与SB所成角，∵MP=12SB=√32，DM=√22,DP=√1+14=√52，所以ΔDMP中，有DP2=MP2+DM2，∴∠DMP=90°.【考点】直线与平面垂直的判定，二面角的平面角及求法【解析】【分析】（1）根据题意，由线面垂直证线线垂直，再根据线面垂直的判定定理，证明线面垂直，再证线线垂直.（2）由（1）中线面垂直，可知所求二面角的平面角为∠SCD，根据题意可求角度.（3）利用中位线将异面直线平移，则∠DMP或其补角是异面直线DM与SB所成角，根据勾股定理，即可求解.15.【答案】（1）解：在△AOC中, OA=OC=2,AC=a=2√2,∴OA2+OC2=AC2∴∠AOC=90°,即AO⊥OC,∵AO⊥BD,且AO∩BD=O,∴AO⊥平面BCD（2）解：由(1)知, OC⊥OD,以O为原点, OC,OD所在的直线分别为x轴, y轴建立如图的空间直角坐标系O−xyz:则 Q(0,0,0), B(0,−2√3,0), C(2,0,0), D(0,2√3,0) . ∵AO ⊥BD,CO ⊥BD∴∠AOC 为二面角 A −BD −C 的平面角, ∴∠AOC =120° ∴ 点 A(−1,0,√3)AD⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,2√3,−√3) , BA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1,2√3,√3) , BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,2√3,0) 设平面 ABC 的法向量为 n⃗ =(x,y,z) ,则 ∴ {n ⃗ ⋅BC ⇀=0n ⃗ ⋅BA ⇀=0 故 {2x +2√3y =0x +2√3y +√3z =0 取 x =1 ,则 y =−√33,z =√3∴ n ⃗ =(1,−√33,√3)设直线 AD 与平面 ABC 所成的角为 θ , sinθ=|AD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅n ⃗ ||AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||n ⃗ |=4√133=√313 ∴cosθ=√1−sin 2θ=√1013 ∴tanθ=sinθcosθ=√310=√3010∴ 直线 AD 与平面 ABC 所成的正切值: √3010【考点】直线与平面垂直的判定，用空间向量求直线与平面的夹角，用空间向量求平面间的夹角 【解析】【分析】(1)根据线面垂直定义,即可求得答案.(2)由于平面 ABC 不是特殊的平面,故建系用法向量求解,以 O 为原点建系, OC,OD 所在的直线分别为 x 轴, y 轴,求出平面 ABC 的法向量 n ⃗ ,求解 AD ⃗⃗⃗⃗⃗ 和 n⃗ 的夹角,即可求得答案. 16.【答案】 （1）解：因为 AB//CD ，所以 AMMC =ABCD =12 ，即AM AC=13.因为 MN// 平面PCD ， MN ⊂ 平面PAC ，平面 PAC ∩ 平面 PCD =PC ， 所以 MN//PC ． 所以 ANAP =AM AC=13 ，即 m =13（2）解：因为 AB =AD ， ∠BAD =60° ，可知 △ABD 为等边三角形， 所以 BD =AD =PD ，又 BP =√2AD ， 故 BP 2=PD 2+DB 2 ，所以 PD ⊥DB ．由已知 PD ⊥AD ， AD ∩BD =D ，所以 PD ⊥ 平面ABCD ，如图，以D 为坐标原点， DA ⃗⃗⃗⃗⃗ ,DP⃗⃗⃗⃗⃗ 的方向为x ， y 轴的正方向建立空间直角坐标系，设 AB =1 ，则 AB =AD =DP =1 ， CD =2 ， 所以 A(1,0,0) ， B(12,0,√32) ， P(0,1,0) ， C(−1,0,√3) ，则 PB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(12,−1,√32) ， PC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1,−1,√3) ， PA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,−1,0) 设平面PBC 的一个法向量为 n 1⃗⃗⃗⃗ =(x 1,y 1,z 1) ，则有 {n 1⇀⋅PB⇀=0n 1⇀⋅PC ⇀=0 即 {x 1−2y 1+√3z 1=0x 1+y 1−√3z 1=0. 令 x 1=1 ，则 y 1=2,z 1=√3 ，即 n 1⃗⃗⃗⃗ =(1,2,√3) ， 设平面APC 的一个法向量为 n 2⃗⃗⃗⃗ =(x 2,y 2,z 2) ，则有{n 2⇀⋅PA ⇀=0n 2⇀⋅PC ⇀=0，即 {x 2−y 2=0−x 2−y 2+√3z 2=0 令 x 2=y 2=√3 ，则 z 2=2 ，即 n 2⃗⃗⃗⃗ =(√3,√3,2) ． 所以 cos <n 1⃗⃗⃗⃗ ,n 2⃗⃗⃗⃗ >=n 1⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅n 2⃗⃗⃗⃗⃗ |n 1⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅|n 2⃗⃗⃗⃗⃗ |=√32√2×√10=√154设二面角 A −PC −B 的平面角为 θ ，则 cosθ=√154【考点】向量的共线定理，直线与平面平行的性质，用空间向量求平面间的夹角 【解析】【分析】（1）由AB ∥CD ， 得到AM AC=13 ，由MN ∥平面PCD ， 得MN ∥PC ， 从而 ANAP =AM AC=13，由此能实数m 的值；（2）由AB ＝AD ， ∠BAD ＝60°，知△ABD 为等边三角形，推导出PD ⊥DB ， PD ⊥AD ， 从而PD ⊥平面ABCD ， 以D 为坐标原点， DA ⃗⃗⃗⃗⃗ ，DP ⃗⃗⃗⃗⃗ 的方向为x ， y 轴的正方向建立空间直角坐标系，由此能求出二面角B ﹣PC ﹣B 的余弦值．17.【答案】 （1）证明：因为 PA ⊥ 平面 ABCD ， EF ⊂ 平面 ABCD ，故可得 EF ⊥PA ； 设底面正方形的边长为4，故可得 AE =√AD 2+DE 2=√16+4=2√5 ， EF =√FC 2+CE 2=√1+4=√5 ， AF =√AB 2+BF 2=√16+9=5 ， 故在 △AFE 中，满足 AE 2+EF 2=AF 2 ，故可得 AE ⊥EF ； 又 PA,AE ⊂ 平面 PAE ，且 PA ∩AE =A ， 则 EF ⊥ 平面 PAE ，即证.（2）解：因为 PA ⊥ 平面 ABCD ，故 PA 为三棱锥 P −EFC 底面上的高线.故可得V P−EFC=13S∆EFC×PA=13×12×1×2×4=43.在△PEF中，因为PE=√PA2+AE2=6，EF=√5，由（1）可知EF⊥平面PAE，又PE⊂平面PAE，故可得EF⊥PE，则S△PEF=12×EF×PE=3√5，设点C到平面PEF的距离为ℎ，故可得V P−EFC=V C−PEF=13×S∆PEF×ℎ=43，解得ℎ=4√515.即点C到平面PEF的距离为：4√515.【考点】直线与平面垂直的判定，点、线、面间的距离计算【解析】【分析】（1）根据PA⊥平面ABCD，可得EF⊥PN，再证EF⊥AE，即可由线线垂直推证线面垂直；（2）转换三棱锥顶点，用等体积法求点面距离即可.18.【答案】（1）证明：因为PA⊥平面ABCD，EF⊂平面ABCD，故可得EF⊥PA；设底面正方形的边长为4，故可得AE=√AD2+DE2=√16+4=2√5，EF=√FC2+CE2=√1+4=√5，AF=√AB2+BF2=√16+9=5，故在△AFE中，满足AE2+EF2=AF2，故可得AE⊥EF；又PA,AE⊂平面PAE，且PA∩AE=A，则EF⊥平面PAE，即证.（2）解：因为PA⊥平面ABCD, AB,AD⊂平面ABCD，故可得PA⊥AB,PA⊥AD，又底面ABCD为正方形，故可得AB⊥AD，故以A为坐标原点，以AB,AD,AP所在直线为x,y,z轴建立空间直角坐标系如下图所示：设AB=4，故可得A(0,0,0),P(0,0,5),B(4,0,0),E(2,4,0),F(4,3,0)设平面PEF的法向量为m⃗⃗ =(x,y,z)，则{m⃗⃗ ⋅EF⇀=0m⃗⃗ ⋅PE⇀=0，则{2x−y=02x+4y−5z=0取y=2，则m⃗⃗ =(1,2,2).不妨取平面PAB的法向量n⃗=(0,1,0).则cos〈m⃗⃗ ,n⃗ 〉=m⃗⃗⃗ ⋅n⃗|m⃗⃗⃗ ||n⃗ |=√9×1=23.。
