21.1一元二次方程第一节练习题

一元二次方程同步测试试题（一）一．选择题1．x＝﹣1是关于x的一元二次方程2x2﹣mx﹣3＝0的解，则m等于（）A．﹣1B．﹣3C．5D．12．把方程2x＝x2﹣3化为一般形式，若二次项系数为1，则一次项系数及常数项分别为（）A．2、3B．﹣2、3C．2、﹣3D．﹣2、﹣33．若关于x的一元二次方程x2﹣2x+m＝0有一个解为x＝﹣1，则m的值为（）A．1B．﹣3C．3D．44．关于x的方程（a﹣1）x2+x+2＝0是一元二次方程，则a的取值范围是（）A．a≠1B．a≥﹣1且a≠1C．a＞﹣1且a≠1D．a≠±15．把方程（x+1）（3x﹣2）＝10化为一元二次方程的一般形式后为（）A．2x2+3x﹣10＝0B．2x2+3x﹣10＝0C．3x2﹣x+12＝0D．3x2+x﹣12＝06．若x＝2是关于x的一元二次方程ax2﹣bx﹣2018＝0的一个解，则2035﹣2a+b的值是（）A．17B．1026C．2018D．40537．下列方程中是关于x的一元二次方程的是（）A．x2+＝5B．3x2+4xy﹣y2＝0C．ax2+bx+c＝0D．2x2+x+1＝08．一元二次方程3x2﹣2x﹣4＝0的二次项系数、一次项系数、常数项分别为（）A．3，﹣2，﹣4B．3，2，﹣4C．3，﹣4，2D．2，﹣2，09．关于x的方程（m+1）x2﹣（m﹣1）x+1＝0是一元二次方程，那么m是（）A．m≠1B．m≠﹣1C．m≠1且m≠﹣1D．m≠010．下列方程中是关于x的一元二次方程的是（）A．B．y2﹣2x+1＝0C．x2﹣5x＝2D．x2﹣2＝（x+1）2二．填空题11．已知﹣1是关于x的一元二次方程x2+kx﹣3＝0的一个根，则k＝．12．一元二次方程3x2﹣8x﹣10＝0的一次项是．13．已知n为方程x2﹣4x+1＝0的根，则＝．14．将一元二次方程4x2﹣5x＝81化成一般形式后，二次项系数，一次项系数，常数项分别为．15．若x＝0是关于x的一元二次方程（k+2）x2+5x+k2﹣4＝0的一个根，则k＝．三．解答题16．已知m是方程x2﹣2x﹣3＝0的一个根，求（m﹣2）2+（m+3）（m﹣3）的值．17．已知关于x的方程x2﹣6x+m2﹣3m﹣5＝0（m为常数）的一个根是1，求m的值．18．已知x＝﹣1是一元二次方程x2+ax+b＝0的一个根，求a2+b2﹣2ab﹣2的值．19．若m是方程x2﹣2x﹣15＝0的一个根，求代数式的值．参考答案与试题解析一．选择题1．【解答】解：根据题意得将x＝﹣1代入方程式得2+m﹣3＝0，解得m＝1．故选：D．2．【解答】解：根据题意可将方程变形为x2﹣2x﹣3＝0，则一次项系数为﹣2、常数项为﹣3，故选：D．3．【解答】解：把x＝﹣1代入方程x2﹣2x+m＝0得1+2+m＝0，解得m＝﹣3．故选：B．4．【解答】解：∵关于x的方程（a﹣1）x2+x+2＝0是一元二次方程，∴a﹣1≠0，a+1≥0，解得：a≥﹣1，且a≠1．故选：B．5．【解答】解：方程整理得：3x2+x﹣12＝0，故选：D．6．【解答】解：把x＝2代入方程ax2﹣bx﹣2018＝0得4a﹣2b﹣2018＝0，所以2a﹣b＝1009，所以2035﹣2a+b＝2035﹣（2a﹣b）＝2035﹣1009＝1026．故选：B．7．【解答】解：A、该方程不是整式方程，故本选项错误；B、该方程中含有两个未知数，不是一元二次方程，故本选项错误；C、该方程中当a＝0时，不是一元二次方程，故本选项错误；D、该方程符合一元二次方程的定义，故本选项正确．故选：D．8．【解答】解：一元二次方程3x2﹣2x﹣4＝0的二次项系数、一次项系数、常数项分别为：3，﹣2，﹣4．故选：A．9．【解答】解：∵关于x的方程（m+1）x2﹣（m﹣1）x+1＝0是一元二次方程，∴m+1≠0，解得：m≠﹣1．故选：B．10．【解答】解：A、不是一元二次方程，故此选项错误；B、不是一元二次方程，故此选项错误；C、是一元二次方程，故此选项正确；D、不是一元二次方程，故此选项错误；故选：C．二．填空题（共5小题）11．【解答】解：把x＝﹣1代入方程x2+kx﹣3＝0得1﹣k﹣3＝0，解得k＝﹣2．故答案为﹣2．12．【解答】解：一元二次方程3x2﹣8x﹣10＝0的一次项是﹣8x．故答案是：﹣8x．13．【解答】解：∵n是方程x2﹣4x+1＝0的一个根，∴n2﹣4n+1＝0，即n2+1＝4n，∴原式＝＝505，故答案为：505．14．【解答】解：一元二次方程4x2﹣5x＝81化为一般形式为4x2﹣5x﹣81＝0，二次项系数，一次项系数，常数项4，﹣5，﹣81，故答案是：4，﹣5，﹣81．15．【解答】解：把x＝0代入方程得：k2﹣4＝0，（k﹣2）（k+2）＝0，可得k﹣2＝0或k+2＝0，解得：k＝2或k＝﹣2，当k＝﹣2时，k+2＝0，此时方程不是一元二次方程，舍去；则k的值为2．故答案为：2．三．解答题（共4小题）16．【解答】解：∵m是方程x2﹣2x﹣3＝0的一个根，∴m2﹣2m﹣3＝0，∴m2﹣2m＝3，∴（m﹣2）2+（m+3）（m﹣3）＝m2﹣4m+4+m2﹣9＝2（m2﹣2m）﹣5＝2×3﹣5＝1．17．【解答】解：把x＝1代入方程x2﹣6x+m2﹣3m﹣5＝0得1﹣6+m2﹣3m﹣5＝0，整理得m2﹣3m﹣10＝0，解得m1＝5，m2＝﹣2，即m的值为5或﹣2．18．【解答】解：∵x＝﹣1是一元二次方程x2+ax+b＝0的一个根，∴a﹣b＝1．∴a2+b2﹣2ab﹣2＝（a﹣b）2﹣2＝﹣1．19．【解答】解：∵x2﹣2x﹣15＝0，∴（x﹣5）（x+3）＝0．∴x＝5或x＝﹣3．由于m是方程的一个根，所以m＝5或﹣3．∵＝×﹣2＝×﹣2＝﹣2（3+m）﹣2＝﹣6﹣2m﹣2。

一元二次方程第一节一、课前预习 (5分钟训练)1.关于x 的方程（k －2）x ∣k ∣－3=0是一元二次方程，则k 的值为( )A.±2B.2C.－2D.－12.绿苑小区住宅设计，准备在每两栋楼房之间开辟面积为900 m 2的一块长方形绿地，并且长比宽多10米，则绿地的长和宽各为多少？如果设其长为x 米，那么所列的方程是( )A.x(10+x)=900B.x(10－x)=900C.x 2－10x+900=0D.x 2－10x －900=03.一元二次方程x 2－4=0的根为( )A.x=2B.x=－2C.x 1=2,x 2=－2D.x=44.方程（x+4）2=2x －3化为一般式是____________,二次项系数是____________,一次项系数是____________,常数项是____________。

二、课中强化(10分钟训练)1.下列关于x 的方程中，一元二次方程的个数有( )2x 2－32x=0 ，x x 1 =2x －1， x 2－3y=0 ， x 2－x 2(x 2+1)－3=0； A.0个 B.1个 C.2个 D.3个2.已知关于x 的方程（k+3）x 2－3kx+2k －1=0,它一定是( )A.一元二次方程B.一元一次方程C.一元二次方程或一元一次方程D.无法确定3.方程（x －1）（x+3）=12化为ax 2+bx+c=0形式后，a,b,c 的值为( )A.1，－2，－15B.1，－2，－15C.1，2，－15D.－1，2，－154.如果a 的值使x 2+4x+a=(x+2)2－1成立，那么，a 的值为( )A.5B.4C.3D.25.关于x 的方程（m 2－4）x 2－（m －2）x －1=0，当m__________时,是一元二次方程；当m=_________时是一元一次方程。

6.关于x 的方程ax 2－2m －3=x （2－x ）是一元二次方程，则a 的取值范围是____________。

第二十一章 一元二次方程21.1 一元二次方程要点感知1 只含有 个未知数，并且未知数的最高次数是 的整式方程，叫一元二次方程. 预习练习1-1 下列方程中：①x 2+y -6=0；②x 2+=2；③x 2-x -2=0；④x 2-2+5x 3-6x=0.其中是一元二次方程的有( ) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 要点感知2 关于x 的一元二次方程的一般形式是ax 2+bx+c=0(a ≠0)，其中是二次项， 是二次项系数； 是一次项， 是一次项系数； 是常数项.预习练习2-1 一元二次方程2x 2-5x=3的一般形式是 ，其中二次项是 ，一次项的系数是 ，常数项是 .要点感知3 使一元二次方程两边 的未知数的值就是这个一元二次方程的解，也叫做一元二次方程的 .预习练习3-1 下列数值是方程x 2-x -2=0的根的是 . ①-1； ②0； ③1； ④2.3-2 已知1是关于x 的一元二次方程(m -1)x 2+x+1=0的一个根，则m 的值是( ) A.1 B.-1 C.0 D.无法确定知识点1 一元二次方程的定义及一般形式 1.下列方程是一元二次方程的是( ) A.ax 2+bx+c=0 B.2x 2-3x=2(x 2-2) C.x 3-2x+7=0 D.(x -2)2-4=02.关于x 的方程ax 2-3x+3=0是一元二次方程，则a 的取值范围是( ) A.a ＞0 B.a ≠0 C.a=1 D.a ≥03.一个关于x 的一元二次方程，它的二次项系数为2，一次项系数为3，常数项为-5，则这个一元二次方程是 .4.将一元二次方程2y 2-3=y 化为一般形式，并写出它的二次项系数，一次项系数和常数项.知识点2 一元二次方程的根5.下表是某同学求代数式x 2-x 的值的情况，根据表格可知方程x 2-x=2的根是( )A.x=-1B.x=0C.x=2D.x=-1和x=2 6.下列是方程3x 2+x -2=0的解的是( ) A.x=-1 B.x=1 C.x=-2 D.x=27.关于x 的一元二次方程(a -1)x 2+x+|a|-1=0的一个根是0，则实数a 的值为( ) A.-1 B.0 C.1 D.-1或1知识点3用一元二次方程刻画实际问题中的数量关系8.兰州市某广场准备修建一个面积为200平方米的矩形草坪，它的长比宽多10米，设草坪的宽为x 米，则可列方程为( )A.x(x -10)=200B.2x+2(x -10)=200x12C.2x+2(x+10)=200D.x (x+10)=2009.根据下列问题，列出关于x 的方程，并将其化为一般形式. (1)正方体的表面积为36，求正方体的边长x ；(2)x 支球队参加篮球赛，参赛的每两个队之间都要比赛一场，一共进行了30场比赛，求参赛的篮球队支数x.10.下列方程中是关于x 的一元二次方程的是( ) A.x 2+=0 B.ax 2+bx+c=0 C.(x -1)(x+2)=1 D.x(x -1)=x 2+2x11.(甘孜中考)一元二次方程x 2+px -2=0的一个根为2，则p 的值为( ) A.1 B.2 C.-1 D.-212.(牡丹江中考)若关于x 的一元二次方程为ax 2+bx+5=0(a ≠0)的解是x=1，则2 013-a -b 的值是( ) A.2 018 B.2 008 C.2 014 D.2 01213.(菏泽中考)已知关于x 的一元二次方程x 2+ax+b=0有一个非零根-b ，则a -b 的值为( ) A.1 B.-1 C.0 D.-214.(白银中考)若一元二次方程(a+1)x 2-ax+a 2-1=0的一个根为0，则a= . 15.若关于x 的一元二次方程(a -2)x 2-(a 2-4)x+8=0不含一次项，则a= . 16.小明用30厘米的铁丝围成一斜边长等于13厘米的直角三角形，设该直角三角形的一直角边长x 厘米，则另一直角边长厘米.列方程得 .17.关于x 的一元二次方程x 2+bx+c=0的两个实数根分别为1和2，则b= ，c= . 18.将下列原方程化成一般形式，并写出其中的二次项系数、一次项系数以及常数项.19.根据下面的问题列出关于x 的方程，并将方程化成一般形式：在圣诞节到来之际，九(四)班所有的同学准备送贺卡相互祝贺，所有同学送完后共送了1 980张，求九(四)班有多 少名同学？20.已知关于x 的方程(m+3)(m -3)x 2+(m+3)x+2=0. (1)当m 为何值时，此方程是一元一次方程?21x(2)当m 为何值时，此方程是一元二次方程？挑战自我21.下面是一道作业题，请仔细阅读甲、乙两个同学的答案，判断一下谁的答案正确，若不正确，请给出正确的解答过程.题目：若x 2a+b -2x a -b +3=0是关于x 的一元二次方程，则a ，b 的值各是多少？学生甲：根据题意，可得,解得学生乙：根据题意，可得或或或 解得或或或参考答案要点感知1 一 2预习练习1-1 A要点感知2 ax 2 a bx b c预习练习2-1 2x 2-5x -3=0 2x 2 -5 -3 要点感知3 相等 预习练习3-1 ①④ 3-2 B1.D2.B3.2x 2+3x -5=0.4.2y 2-3=y ，一般形式是2y 2-y -3=0，其中二次项系数是2，一次项系数是-，常数项是-3. 5.D 6.A 7.A 8.D9. (1)6x 2=36.一般形式为：6x 2-36=0；{221=+=-b a b a {10==a b {221=+=-b a b a {122=+=-b a b a {220=+=-b a b a {022=+=-b a b a {10==a b {11=-=a b ⎩⎨⎧==3232a b ⎩⎨⎧=-=3234a b 222(2)x(x -1)=30.一般形式为：x 2-x -30=0或x 2-x -60=0.10.C 11.C 12.A 13.A 14.1 15.-2 16.(17-x) x 2+(17-x)2=132 17.-3 2 18.-2 -819.设九(四)班有x 名同学，根据题意得：x(x -1)=1 980. 将方程化成一般形式为：x 2-x -1 980=0.20. (1)由题意得(m+3)(m -3)=0且m+3≠0，所以m -3=0，即m=3. (2)由题意得(m+3)(m -3)≠0，即m ≠±3.21.学生甲、乙的解答过程均不完整，完整的解答过程如下：根据题意，可得或或或或解得或或或或212121{121=+=-b a b a {122=+=-b a b a {220=+=-b a b a {022=+=-b a b a {222=+=-b a b a {10==a b {11=-=a b ⎩⎨⎧==3232a b ⎩⎨⎧=-=3234a b ⎩⎨⎧=-=3432a b。

第二十一章一元二次方程21.1一元二次方程一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．下列方程是一元二次方程的是A．x2﹣y=1 B．x2+2x﹣3=0C．x2+1x=3 D．x﹣5y=6【答案】B2．关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+2x+m2﹣1=0，常数项为0，则m值等于A．1 B．﹣1C．1或﹣1 D．0【答案】B【解析】由题意，得m2﹣1=0，且m﹣1≠0，解得m=﹣1，故选B．3．若关于x的一元二次方程x2﹣x﹣m=0的一个根是x=1，则m的值是A．1 B．0C．−1 D．2【答案】B【解析】把x=1代入x2﹣x﹣m=0得1﹣1﹣m=0，解得m=0．故选B．4．若px2－3x＋p2－p＝0是关于x的一元二次方程，则A．p＝1 B．p＞0C．p≠0 D．p为任意实数【答案】C【解析】∵方程px2－3x＋p2－p＝0是关于x的一元二次方程，∴二次项系数p≠0．故选C．5．方程2x2﹣6x﹣5=0的二次项系数、一次项系数、常数项分别为A．6、2、5 B．2、﹣6、5C．2、﹣6、﹣5 D．﹣2、6、5【答案】C【解析】一元二次方程ax2+bx+c=0（a，b，c是常数且a≠0）的a、b、c分别是二次项系数、一次项系数、常数项．方程2x2﹣6x﹣5=0的二次项系数、一次项系数、常数项分别为2、﹣6、﹣5.故选C.【名师点睛】本题考查了一元二次方程的一般形式：ax2+bx+c=0（a，b，c是常数且a≠0）特别要注意a≠0的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．在一般形式中ax2叫二次项，bx叫一次项，c是常数项．其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．6．已知a﹣b+c=0，则一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）必有一个根是A．1 B．﹣2C．0 D．﹣1【答案】D【名师点睛】本题考查的是一元二次方程的根，即方程的解的定义．解题的关键是要掌握一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)中几个特殊值的特殊形式：x=1时，a+b+c=0；x=﹣1时，a﹣b+c=0．7．若关于x的一元二次方程ax2﹣b x+4=0的解是x=2，则2020+2a﹣b的值是A．2016 B．2018C．2020 D．2022【答案】B【解析】∵关于x的一元二次方程ax2﹣bx+4=0的解是x=2，∴4a﹣2b+4=0，则2a﹣b=﹣2，∴2020+2a ﹣b=2020+（2a﹣b）=2020+（﹣2）=2018．故选B．【名师点睛】本题考查了一元二次方程的解定义．解题时，利用了“整体代入”的数学思想．二、填空题：请将答案填在题中横线上．8．若x=﹣1是关于x的一元二次方程x2+3x+m+1=0的一个解，则m的值为__________．【答案】1【解析】将x=﹣1代入方程得：1﹣3+m+1=0，解得：m=1．9．已知（m﹣1）x|m|+1﹣3x+1=0是关于x的一元二次方程，则m=__________．【答案】-1【解析】∵方程(m−1)x|m|+1−3x+1=0是关于x的一元二次方程，∴|m|=1，m−1≠0，解得：m=−1.故答案为：−1.10．若是方程的一个根，则的值为__________．【答案】2018【解析】由题意可知：2m2-3m-1=0，∴2m2-3m=1,∴原式=3（2m2-3m）+2015=2018,故答案为2018.【名师点睛】本题考查一元二次方程的解，解题的关键是正确理解一元二次方程的解的定义，本题属于基础题型．11．已知关于x的方程（m＋2）x²＋4mx＋1＝0是一元二次方程，则m的取值范围是__________．【答案】m≠−2【名师点睛】本题考查了一元二次方程的定义，解题的关键是掌握判断一个方程是否是一元二次方程需注意几个方面：化简后；一个未知数；未知数的最高次数是2；二次项的系数不为0；整式方程. 12．若关于x的方程的常数项为0，则m的值等于__________．±【答案】32【解析】由题意知，方程（m-3）x2 +5x+m2 -18=0的常数项为m2−18，所以m2−18=0，±，解得：m=32±.故答案为：32【点睛】本题考查了方程的一般式，本题常数项为0时方程可为一元一次方程也可为一元二次方程，不论哪一种情况，都符合题意，这是解题的关键所在，也是易错点.13．一元二次方程2x2+4x﹣1=0的一次项系数及常数项之和为__________．【答案】3【解析】由题意，得：4+（﹣1）=3．故答案为3．【名师点睛】本题考查了一元二次方程的一般形式：ax2+bx+c=0（a，b，c是常数且a≠0）特别要注意a≠0的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．在一般形式中ax2叫二次项，bx叫一次项，c是常数项．其中a ，b ，c 分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．14．已知一个一元二次方程的一个根为3，二次项系数是1，则这个一元二次方程可以是__________．（只需写出一个方程即可）【答案】x 2﹣3x =0【解析】一元二次方程的一个根为3，二次项系数是1，这个一元二次方程可以为x 2-3x =0．故答案为x 2−3x =0．【名师点睛】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．灵活应用整体代入的方法计算．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．已知关于x 的方程（m 2 -1）x 2 -（m +1）x +m =0．（1）m 为何值时，此方程是一元一次方程？（2）m 为何值时，此方程是一元二次方程？并写出一元二次方程的二次项系数、一次项系数及常数项. 【答案】（1）m =1；（2）m ≠±1，二次项系数为m 2-1、一次项系数为-（m +1），常数项为m ．16．已知x 是一元二次方程x 2+3x ﹣1=0的实数根，求代数式 2352362x x x x x -⎛⎫÷+- ⎪--⎝⎭的值． 【答案】13【解析】原式=()()()333322x x x x x x +--÷-- ()()()()321323333x x x x x x x x --=⨯=-+-+. ∵x 2+3x ﹣1=0．∴x 2+3x =1．∴x （x +3）=1.∴原式=()11333x x ==+. 17．已知x =1是关于x 的一元二次方程x 2﹣4mx +m 2=0的根，求代数式()()()2233m m m m --+-的值．【答案】2． 18．已知实数a 是方程的根． （1）计算的值；（2）计算的值．【答案】（1）2015;（2）5.【解析】（1）∵实数a 是方程的根，∴． ∴，即 ． ∴； （2）．∵，∴．．。

专题21.1 一元二次方程定义及配方法解一元二次方程【考点导航】目录【典型例题】 (1)【考点一一元二次方程的识别】 (1)【考点二利用一元二次方程的定义求参数的值】 (2)【考点三一元二次方程的一般形式、各项系数】 (2)【考点四已知一元二次方程的解求参数（式子）的值】 (3)【考点五解一元二次方程——直接开平方法】 (3)【考点六解一元二次方程——配方法】 (4)【考点七用配方法解一元二次方程错解复原】 (5)【考点八配方法的应用】 (7)【过关检测】 (9)【典型例题】【考点一一元二次方程的识别】【例题1】（2023春·安徽合肥·八年级统考期中）下列方程中属于一元二次方程的是（）2y x【变式1-1】（2023程的是（）0c 中，属于一元二次方程的有D ．4个【考点二 利用一元二次方程的定义求参数的值】【例题2】（2023·全国·九年级假期作业）当m =______时，关于x 的方程()32690m m x x +++-=是一元二次【考点三 一元二次方程的一般形式、各项系数】【例题3】（2023·全国·九年级假期作业）若方程22533x x x x --=-+的二次项系数是4，则方程的一次项系数是______，常数项是_______．【变式3-1】（2022秋·海南省直辖县级单位·九年级校考阶段练习）将方程221x x -=-化为一般形式为__________，其中=a ________，b =________，c =________．【变式3-2】（2022秋·云南昭通·九年级统考期中）方程3(1)5x x -=的二次项系数是______，一次项系数是______，常数项是______．【变式3-3】（2023秋·河北廊坊·九年级统考期末）将方程()()32183x x x -+=-化成一元二次方程的一般形式后，二次项系数为a ，一次项系数为b ，常数项为c ，则a b c ++=______．【考点四 已知一元二次方程的解求参数（式子）的值】【例题4】（2023春·黑龙江哈尔滨·八年级哈尔滨市第六十九中学校校考阶段练习）关于x 的一元二次方程2210x x a ++-=的一个根是0，则a 的值为______．【变式4-1】（2023·湖南长沙·校考二模）若1x =是一元二次方程220x x m -+=的一个根，则m 的值是________．【变式4-2】（2023·甘肃平凉·统考二模）若m 是方程22310x x -+=的一个根，则2692023m m -+的值为______．【变式4-3】（2023·全国·九年级假期作业）若m 是一元二次方程230x x --=的根，则325m m m +-的值为_____【考点五 解一元二次方程——直接开平方法】【例题5】（2023·上海·八年级假期作业）解关于x 的方程：251250x -=．【变式5-1】（2023·上海·八年级假期作业）解关于x 的方程：290x ．【变式5-2】（2023·江苏·九年级假期作业）解下列一元二次方程：()2(21)42140x x ++++=；【变式5-3】（2023·上海·八年级假期作业）解下列方程： (1) ()()22231+=-x x ； (2)229(21)16(2)0+--=x x ；(3)24410x x -+=； (4)21236=--x x ．【考点六解一元二次方程——配方法】2210x．【考点七 用配方法解一元二次方程错解复原】 【例题7】（2023·全国·九年级假期作业）以下是圆圆在用配方法解一元二次方程2240x x --=的过程： 解：移项得224x x -=配方：2214x x -+=()214x -=开平方得：12x -=±移项：21x =±+所以：13x =，23x =圆圆的解答过程是否有错误？如果有错误，请写出正确的解答过程．【变式7-1】（2023秋·河北沧州·九年级统考期末）阅读材料，并回答问题： 佳佳解一元二次方程2640x x +-=的过程如下：解：2640x x +-=264x x +=-------------------------------- ①2694x x ++=----------------------------- ②2(3)4x += -------------------------------③32+=±x --------------------------------④3232x x +=+=-，1215x x ==-，．问题：(1)佳佳解方程的方法是______；A ．直接开平方法B ．配方法C ．公式法D ．因式分解法(2)上述解答过程中，从______步开始出现了错误（填序号），发生错误的原因是______；(3)在下面的空白处，写出正确的解答过程．24x，……………………该同学的解答从第______步开始出错；请写出正确的解答过程．【考点八 配方法的应用】【例题8】（2023秋·甘肃庆阳·八年级统考期末）阅读材料：利用公式法，可以将一些形如()20ax bx c a ++≠的多项式变形为()2a x m n ++的形式，我们把这样的变形方法叫作“配方法”．运用多项式的配方法及平方差()()()()232351x x x x =+++-=+-．根据以上材料，解答下列问题：(1)分解因式：228x x +-．(2)求多项式287x x +-的最小值．【变式8-1】（2023春·浙江·七年级专题练习）代数式243x x -+的最小值为（ ）． A ．1- B ．0 C ．3 D ．5【变式8-2】（2023春·浙江·七年级专题练习）把代数式通过配凑等手段，得到局部完全平方式，再进行有关运算和解题，这种解题方法叫做配方法．如：①用配方法分解因式：243a a ++，解：原式()22=441=21a a a ++-+- ()()()()=2121=31a a a a +++-++②226M a a =-+，利用配方法求M 的最小值：解：()222=26=215=15M a a a a a -+-++-+因为()210a -≥，所以当1a =时，M 有最小值5请根据上述材料解决下列问题：(1)在横线上添加一个常数，使之成为完全平方式28x x -+ ；(2)用配方法因式分解22412x xy y --；(3)若2=421M x x +-，求M 的最小值．【变式8-3】（2023秋·河南信阳·八年级统考期末）教材中这样写道：“我们把多项式222a ab b ++及222a ab b -+叫做完全平方式”，如果关于某一字母的二次多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式最大值，最小值等．例如：分解因式223x x +-．原式22(21)4(1)4(12)(12)(3)(1)x x x x x x x =++-=+-=+++-=+-；；例如：求代数式246x x ++的最小值．原式22442(2)2x x x =+++=++．2(2)0x +≥，∴当2x =-时，246x x ++有最小值是2．根据阅读材料用配方法解决下列问题：(1)分解因式：245m m --= ；(2)求代数式2612x x -+的最小值；(3)若22y x x =--当x ＝ 时，y 有最 值（填“大”或“小”），这个值是 ．【过关检测】一、选择题二、填空题三、解答题11．（2023春·浙江·八年级专题练习）已知方程21(1)(2)10aa x a x +++--=是关于x 的一元二次方程，求a 的值．12．（2023春·浙江·八年级专题练习）把下列方程化成一元二次方程的一般形式，再写出它的二次项系数、。

21.1 一元二次方程练习题姓名：分数：一、单选题.1．若关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（ac≠0）有一根为x＝2020，则关于y的一元二次方程cy2+by+a＝0（ac≠0）必有一根为（）A．B．﹣C．2020D．﹣20202．三角形两边长分别为2和3，第三边的长是方程2x2﹣13x+15＝0的根，则该三角形的周长为（）A．B．10C．D．或103．若x1是方程ax2﹣2x﹣c＝0（a≠0）的一个根，设p＝（ax1﹣1）2，q＝ac+1.5，则p与q的大小关系为（）A．p＜q B．p＝q C．p＞q D．不能确定4．关于一元二次方程x2﹣2x+1﹣a＝0无实根，则a的取值范围是（）A．a＜0B．a＞0C．a＜D．a＞5．若x1是方程ax2+2x+c＝0（a≠0）的一个根，设M＝（ax1+1）2，N＝2﹣ac，则M与N的关系为（）A．M＞N B．M＜N C．M＝N D．不能确定6．①2x2+1＝0；②ax2+bx+c＝0；③2x﹣＝0；④（x+2）（x﹣2）＝x2﹣3，是一元二次方程的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个7．若关于x的一元二次方程ax2+bx+1＝0的一个解是x＝1，则2021+a+b＝（）A．2020B．2021C．2022D．20238．已知x＝2是一元二次方程x2+bx﹣c＝0的解，则﹣4b+2c＝（）A．8B．﹣8C．4D．﹣49．一元二次方程（4x+1）（2x﹣3）＝5x2+1化成一般式后a，b，c的值为（）A．3，﹣10，﹣4B．3，﹣12，﹣2C．8，﹣10，﹣2D．8，﹣12，410．已知x＝m是一元二次方程x2﹣x﹣1＝0的一个根，则代数式m2﹣m+2021的值为（）A．2021B．2022C．2023D．2024二．填空题11．若a是方程x2﹣3x+1＝0的根，计算a2﹣3a+＝．12．若关于x的一元二次方程ax2+bx+2＝0（a≠0）有一根为x＝2019，则关于x的一元二次方程a（x﹣1）2+b（x﹣1）＝﹣2必有一根为．13．已知一元二次方程有一根为﹣2，则该一元二次方程可以是（写出一个即可）．三．解答题14．若a是方程x2+2x﹣3＝0的一个根，则代数式2020﹣a2﹣2a的值．15．已知三个关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0，bx2+cx+a＝0，cx2+ax+b＝0恰有一个公共实数根，求的值．16．发现：当一元二次方程各项系数之和等于零时，这个方验证必有一根等于1验证：（1）方程5x2+3x﹣8＝0的系数和等于0，解出它的两根．（2）在一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）中，若a+b+c＝0，利用方程的根的定义验证这个方程必有一根等于1．延伸：在一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）中，若a﹣b+c＝0，方程必有一根是几，请说明理由。

人教版数学九年级上册第21章21.1---21.3练习题含答案21.1一元二次方程一．选择题1．若关于x的一元二次方程ax2+bx+4＝0的一个根是x＝﹣1，则2015﹣a+b的值是（）A．2011B．2015C．2019D．20202．将一元二次方程5x2﹣1＝4x化为一般形式，其中一次项系数是（）A．5B．﹣4C．3D．﹣13．下列方程中，是一元二次方程的是（）A．2x﹣3＝0B．x2﹣2y＝0C．＝﹣3D．x2＝04．已知关于x的一元二次方程x2﹣x+a2﹣1＝0的一个根为0，则a的值为（）A．1B．﹣1C．±1D．5．已知x＝﹣2是一元二次方程x2+mx+4＝0的一个解，则m的值是（）A．﹣4B．4C．0D．0或46．一元二次方程x2﹣2x+3＝0的一次项和常数项分别是（）A．2和3B．﹣2和3C．﹣2x和3D．2x和37．方程（m+1）x|m﹣1|+mx+2＝0是关于x的一元二次方程，则（）A．m＝﹣1或3B．m＝3C．m＝﹣1D．m≠﹣18．关于x的方程ax2﹣2x+1＝0是一元二次方程，则（）A．a＞0B．a＜0C．a≠0D．a≤19．将关于x的一元二次方程x（x+2）＝5化成一般式后，a、b、c的值分别是（）A．1，2，5B．1，﹣2，﹣5C．1，﹣2，5D．1，2，﹣5 10．已知a是方程x2+x﹣1＝0的一个根，则代数式a3+2a2+2019的值是（）A．2018B．2019C．2020D．2021二．填空题11．方程（m﹣2）x|m|+3mx+1＝0是关于x的一元二次方程，则m＝．12．m是方程x2﹣6x﹣5＝0的一个根，则代数式11+6m﹣m2的值是．13．若x＝2是一元二次方程x2+x+c＝0的一个解，则c2＝．14．关于x的一元二次方程（a﹣1）x2+x+a2+2a﹣3＝0的一个根是0，则a的值是．15．已知a是方程x2﹣3x+1＝0的根，则2a2﹣5a﹣2+的值为．三．解答题16．已知m是方程x2﹣2x﹣3＝0的一个根，求（m﹣2）2+（m+3）（m﹣3）的值．17．已知方程x2﹣bx+3＝0的一个根是1，求b的值和方程的另外一个根．18．已知m是方程x2﹣x﹣3＝0的一个实数根，求代数式（m2﹣m）（m﹣+1）的值．19．若m是一个一元二次方程x|a+1|﹣x﹣5＝0的一个实数根．（1）求a的值；（2）不解方程，求代数式（m2﹣m）（m﹣+1）的值．参考答案与试题解析一．选择题1．【解答】解：把x＝﹣1代入方程ax2+bx+4＝0得a﹣b+4＝0，所以a﹣b＝﹣4，所以2015﹣a+b＝2015﹣（a﹣b）＝2015﹣（﹣4）＝2019．故选：C．2．【解答】解：一元二次方程5x2﹣1＝4x化为一般形式是5x2﹣4x﹣1＝0，一次项系数分别为﹣4．故选：B．3．【解答】解：A、是一元一次方程，故A不合题意；B、是二元二次方程，故B不合题意；C、是分式方程，故C不合题意；D、是一元二次方程，故D符合题意．故选：D．4．【解答】解：把x＝0代入方程x2﹣x+a2﹣1＝0得：a2﹣1＝0，∴a＝±1．故选：C．5．【解答】解：因为x＝﹣2是一元二次方程x2+mx+4＝0的一个解，所以4﹣2m+4＝0解得m＝4．故选：B．6．【解答】解：一元二次方程x2﹣2x+3＝0的一次项是﹣2x，常数项是3，故选：C．7．【解答】解：由方程（m+1）x|m﹣1|+mx+2＝0，得，解得m＝3，故方程（m+1）x|m﹣1|+mx+2＝0是关于x的一元二次方程，则m＝3．故选：B．8．【解答】解：∵关于x的方程ax2﹣2x+1＝0是一元二次方程，∴a≠0，故选：C．9．【解答】解：方程整理得：x2+2x﹣5＝0，则a，b，c的值分别是1，2，﹣5，故选：D．10．【解答】解：由题意可知：a2+a﹣1＝0，∴a2+a＝1，∴原式＝a3+a2+a2+2019＝a（a2+a）+a2+2019＝a+a2+2019，＝1+2019＝2020，故选：C．二．填空题（共5小题）11．【解答】解：由题意，得|m|＝2，且m﹣2≠0，解得m＝﹣2，故答案为：﹣2．12．【解答】解：∵a是方程x2﹣6x﹣5＝0的一个根，∴a2﹣6a﹣5＝0，整理得，a2﹣6a＝5，∴11+6m﹣m2＝﹣（m2﹣6m）+11，＝﹣5+11，＝6．故答案为：6．13．【解答】解：依题意，得22+2+c＝0，解得，c＝﹣6，则c2＝（﹣6）2＝36．故答案为：36．14．【解答】解：根据题意知，x＝0是关于x的一元二次方程（a﹣1）x2+x+a2+2a﹣3＝0的根，∴a2+2a﹣3＝0，解得，a＝﹣3或a＝1，∵a﹣1≠0，∴a≠1．故答案是：﹣3．15．【解答】解：∵a是方程x2﹣3x+1＝0的根，∴a2﹣3a+1＝0，∴a2＝3a﹣1，∴2a2﹣5a﹣2+＝2（3a﹣1）﹣5a﹣2+＝a+﹣4＝﹣4＝﹣4＝3﹣4＝﹣1．故答案为﹣1．三．解答题（共4小题）16．【解答】解：∵m是方程x2﹣2x﹣3＝0的一个根，∴m2﹣2m﹣3＝0，∴m2﹣2m＝3，∴（m﹣2）2+（m+3）（m﹣3）＝m2﹣4m+4+m2﹣9＝2（m2﹣2m）﹣5＝2×3﹣5＝1．17．【解答】解：把x＝1代入x2﹣bx+3＝0得1﹣b+3＝0，解得b＝4，方程化为x2﹣4x+3＝0，（x﹣1）（x﹣3）＝0，所以x1＝1，x2＝3，即方程的另一个解为3．18．【解答】解：∵m是方程x2﹣x﹣3＝0的一个实数根，∴m2﹣m﹣3＝0，即m2＝m+3，∴（m2﹣m）（m﹣+1）＝（m+3﹣m）＝3×＝3×2＝6．19．【解答】解：（1）根据题意得|a+1|＝2，解得a＝1或a＝﹣3；（2）∵m是一个一元二次方程x2﹣x﹣5＝0的一个实数根，∴m2﹣m﹣5＝0，∴m2﹣m＝521.2解一元二次方程一、选择题（共12题）1、一元二次方程x2﹣5x+6＝0的解为（）A．x1＝2，x2＝﹣3 B．x1＝﹣2，x2＝3C．x1＝﹣2，x2＝﹣3 D．x1＝2，x2＝32、一元二次方程x2-2x-1=0配方后可化为（）A.(x-1)2= 2B.(x-1)2= 1C.(x + 1)2= 1D.(x -1)2=03、方程的解是（）A．x1=2，x2= 3 B．x1=2，x2=1 C．x=2 D．x=3 4、若关于x的方程kx2﹣6x+9=0有实数根，则k的取值范围是（）A．k＜1 B．k≤1 C．k＜1且k≠0 D．k≤1且k≠05、方程x2﹣2x+3＝0的根的情况是（）A．两实根的和为﹣2 B．两实根的积为3C．有两个不相等的正实数根 D．没有实数根6、下列一元二次方程中，有两个不相等实数根的是（）A．x2+6x+9=0 B．x2=x C．x2+3=2x D．（x﹣1）2+1=07、一元二次方程x2-2x+1=0的根的情况是（）A．有两个不等的实数根 B．有两个相等的实数根C．无实数根 D．无法确定8、关于x的一元二次方程x2﹣4x+m＝0的两实数根分别为x1、x2，且x1+3x2＝5，则m的值为（）A． B． C． D．09、关于x的一元二次方程x2+(a2-2a)x+a-1=0的两个实数根互为相反数,则a 的值为 ( )A.2B.0C.1D.2或010、若是关于x的一元二次方程的一个解，的值是A． 17 B． 1026 C． 2018 D． 405311、已知y＝0是关于y的一元二次方程（m﹣1）y2+my+4m2﹣4＝0的一个根，那么m的值是（）A．0 B．1 C．﹣1 D．±112、一个等腰三角形的两边长分别是方程x2-7x+10=0的两根,则该等腰三角形的周长是 ( )A.12B.9C.13D.12或9二、填空题（共5题）1、已知关于x的方程x2－3x＋a＝0有一个根为1，则方程的另一个根为______．2、若关于x的一元二次方程（k﹣1）x2+2x﹣1＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是_____．3、关于 x 的一元二次方程（a﹣1）x2﹣2x+3=0 有实数根，则整数 a 的最大值是_____________．4、如果a、b、c为互不相等的实数，且满足关系式b2+c2＝2a2+16a+14与bc＝a2﹣4a﹣5，那么a的取值范围是_____．5、定义新运算“※”，规则：a※b=ab﹣a﹣b，如1※2=1×2﹣1﹣2=﹣1，若x2+x﹣1=0的两根为x1，x2，则x1※x2= ．三、解答题（共4题）1、已知关于x的一元二次方程x2﹣4x+m﹣1=0有两个相等的实数根，求m的值及方程的根．2、关于x的一元二次方程x2+3x+m-1=0的两个实数根分别为x1,x2．（1）求m的取值范围．（2）若2（x1+x2）+ x1x2+10=0．求m的值.3、关于x的一元二次方程kx2-(2k-2)x+(k-2)=0(k≠0).(1)求证:无论k取何值时,方程总有两个不相等的实数根;(2)要使得方程的两个实数根都是整数,求整数k可能的取值.4、阅读理解题：小聪是个非常热爱学习的学生，老师在黑板上写了一题：若方程x2﹣6x﹣k﹣1=0与x2﹣kx﹣7=0有相同根，试求k的值及相同根．思考片刻后，小聪解答如下：解：设相同根为m，根据题意，得①﹣②，得（k﹣6）m=k﹣6 ③显然，当k=6时，两个方程相同，即两个方程有两个相同根﹣1和7；当k≠6时，由③得m=1，代入②式，得k=﹣6，此时两个方程有一相同根x=1．∴当k=﹣6时，有一相同根x=1；当k=6时，有两个相同根是﹣1和7.聪明的同学，请你仔细阅读上面的解题过程，解答问题：已知k为非负实数，当k取什么值时，关于x的方程x2+kx﹣1=0与x2+x+k﹣2=0有相同的实根．参考答案一、选择题1、D;2、A.;3、A;4、B;5、D;6、B;7、B;8、A;9、B;10、B;11、C;12、A;二、填空题1、 22、 k＞0且k≠1.3、 04、 a＞﹣1且a≠﹣且a≠且a≠﹣5、0，三、解答题1、解：由题意可知△=0，即（﹣4）2﹣4（m﹣1）=0，解得m=5．当m=5时，原方程化为x2﹣4x+4=0．解得x1=x2=2．所以原方程的根为x1=x2=2．2、（1）m≤3.25．（2）m=-3.3、解:(1)证明:∵kx2-(2k-2)x+(k-2)=0(k≠0),∴Δ=[-(2k-2)]2-4k(k-2)=4>0,∴无论k取何值时,方程总有两个不相等的实数根.(2)由求根公式可求得x1=1,x2=1-,要使得方程的两个实数根都是整数,则整数k为2的因数,∴k=±1或k=±2.4、解：设相同实根是a 则a2+ka﹣1=0，a2+a+k﹣2=0，相减得（k﹣1）a﹣1﹣k+2=0，即（k﹣1）a=k﹣1，若k=1，则两个方程都是x2+x﹣1=0，有两个相同的根和．若k≠1，则a==1，即相同实根是x=1，代入方程，得12+k×1﹣1=0，k=0综上当k=0或k=1时，关于x的方程x2+kx﹣1=0与x2+x+k﹣2=0有相同的实根21.3实际问题与一元二次方程一．选择题1．一个矩形的长比宽多2，面积是99，则矩形的两边长分别为（）A．9和7B．11和9C．1+，﹣1+D．1+3，﹣1+32．新型冠状病毒肺炎具有人传人性，调查发现1人感染病毒后如果不隔离，那么经过两轮传染将会有225人感染，若设1人平均感染x人，则x为（）A．14B．15C．16D．173．如图，学校课外生物小组的试验园地的形状是长50米、宽30米的矩形，为便于管理，要在中间开辟一横两纵共三条等宽的小道，使种植面积为800平方米．则小道的宽为多少米？若设小道的宽为x米，则根据题意，列方程为（）A．50×30﹣50x﹣30x+2x2＝800B．50×30﹣50x﹣2×30x＝800C．（50﹣2x）（30﹣x）＝800D．（50﹣x）（30﹣2x）＝8004．如图，要为一幅长为29cm，宽为22cm的照片配一个相框，要求相框的四条边宽度相等，且相框所占面积为照片面积的四分之一，相框边的宽度为xcm，则可列方程为（）A．（29﹣2x）（22﹣2x）＝×29×22B．（29﹣2x）（22﹣2x）＝×29×22C．（29﹣x）（22﹣x）＝×29×22D．（29﹣x）（22﹣x）＝×29×225．某学校生物兴趣小组在该校空地上围了一块面积为200m2的矩形试验田，用来种植蔬菜．如图，试验田一面靠墙，墙长35m，另外三面用49m长的篱笆围成，其中一边开有一扇1m宽的门（不包括篱笆）．设试验田垂直于墙的一边AB的长为xm，则下列所列方程正确的是（）A．x（49+1﹣x）＝200B．x（49﹣2x）＝200C．x（49+1﹣2x）＝200D．x（49﹣1﹣2x）＝2006．某市为解决当地教育“大班额”问题，计划用三年时间完成对相关学校的扩建，2019年市政府已投资5亿人民币，若每年投资的增长率相同，预计2021年投资额达到y亿元人民币，设每年投资的增长率为x，则可得（）A．y＝5（1+2x）B．y＝5x2C．y＝5（1+x）2D．y＝5（1+x2）7．如表是一张月历表，在此月历表上用一个正方形任意圈出2×2个数（如1，2，8，9），如果圈出的四个数中的最小数与最大数的积为308，那么这四个数的和为（）12345 678910111213141516171819202122232425262728293031A．68B．72C．74D．768．如图是某公司去年8～12月份生产成本统计图，设9～11月每个月生产成本的下降率都为x，根据图中信息，得到x所满足的方程是（）A．30（1﹣x）2＝15B．15（1+x）2＝30C．30（1﹣2x）4＝15D．15（1+2x）2＝309．《九章算术》卷九“勾股”中记载：今有立木，系索其末，委地三尺．引索却行，去本八尺而索尽，问索长几何？译文：今有一竖立着的木头柱子，在柱子的上端系有绳索，绳索从柱子上端顺木柱下垂后，堆在地面的部分尚有3尺．牵着绳索（绳索头与地面接触）退行，在距柱子根部8尺处时绳索用尽．问绳索长是多少？设绳索长为x尺，可列方程为（）A．x2﹣8＝（x﹣3）2B．x2+82＝（x﹣3）2C．x2﹣82＝（x﹣3）2D．x2+8＝（x﹣3）210．《代数学》中记载，形如x2+8x＝33的方程，求正数解的几何方法是：“如图1，先构造一个面积为x2的正方形，再以正方形的边长为一边向外构造四个面积为2x的矩形，得到大正方形的面积为33+16＝49，则该方程的正数解为7﹣4＝3．”小聪按此方法解关于x 的方程x2+10x+m＝0时，构造出如图2所示的图形，已知阴影部分的面积为50，则该方程的正数解为（）A．6B．﹣C．﹣2D．5﹣5二．填空题11．某文具店三月份销售铅笔100支，四，五两个月销售量连续增长．若四，五月平均增长率为x，则该文具店五月份销售铅笔的支数是．（用含x的代数式表示）12．在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝6厘米，BC＝3厘米，点P从点A开始沿AB边向点B以1厘米/秒的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向点C以2厘米/秒的速度移动，如果点P，Q分别从A，B两点同时出发，则经过秒钟后，P，Q两点间距离为4厘米．13．如图，在工地一边的靠墙处，用120米长的铁栅栏围一个占地面积为2000平方米的长方形临时仓库，并在其中一边上留宽为3米的大门，设无门的那边长为x米．根据题意，可建立关于x的方程是．14．如图，用长为20m的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度为11m），围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃，为了方便出入，在建造篱笆花圃时，在BC上用其他材料做了宽为1m的两扇小门．若花圃的面积刚好为40m2，则此时花圃AB段的长为m．15．如图，在足够大的空地上有一段长为3米的旧墙MN，某人利用旧墙和木栏围成一个矩形菜园ABCD，其中AD≤MN，已知矩形菜园的一边靠墙，另三边一共用了16米木栏．所围成的矩形菜园的面积为14平方米，则所利用旧墙AD的长为．三．解答题16．如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝8cm，BC＝10cm，点P由点A出发，沿AB 边以1cm/s的速度向点B移动；点Q由点B出发，沿BC边以2cm/s的速度向点C移动．如果点P，Q分别从点A，B同时出发，问：（1）经过几秒后，AP＝CQ？（2）经过几秒后，△PBQ的面积等于15cm2？17．10月份，是柚子上市的季节，柚子味酸甜，略带苦味，含有丰富的维生素c和大量的营养元素．有健胃补血，降血糖等功效，百果园大型水果超市的红心柚与沙田柚这两种水果很受欢迎，红心柚售价12元/千克，沙田柚售价9元/千克．（1）若第一周红心柚的销量比沙田柚的销量多200千克，要使这两种水果的总销售额不低于6600元，则第一周至少销售红心柚多少千克？（2）若该水果超市第一周按照（1）中红心柚和沙田柚的最低销量销售这两种水果，并决定第二周继续销售这两种水果，第二周红心柚售价降低了a%，销量比第一周增加了a%，沙田柚的售价保持不变，销量比第一周增加了a%，结果这两种水果第二周的总销售额比第一周增加了%，求a的值．18．某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是91，每个支干长出多少小分支？若设每个支干长出x个小分支．（Ⅰ）分析：根据问题中的数量关系，填表：①主干的数目为；②从主干中长出的支干的数目为；（用含x的式子表示）③又从上述支干中长出的小分支的数目为；（用含x的式子表示）（Ⅱ）完成问题的求解．19．如图①，用一块长100cm，宽80cm的薄钢片，在四个角上截去四个相同的小正方形，可以做成如图②所示的底面积为4800cm2的没有盖的长方体盒子，求截去的小正方形的边长．参考答案与试题解析一．选择题1．【解答】解：设矩形的长为x，则宽为（x﹣2），则x（x﹣2）＝99，解得x＝11，（舍去负值）．则x﹣2＝9，答：矩形的两边长分别为11和9，故选：B．2．【解答】解：设1人平均感染x人，依题意可列方程：（1+x）2＝225．解得：x1＝14，x2＝﹣16（不合题意舍去），答：x为14，故选：A．3．【解答】解：依题意，得：（50﹣2x）（30﹣x）＝800，故选：C．4．【解答】解：设相框边的宽度为xcm，则可列方程为：（29﹣2x）（22﹣2x）＝×29×22．故选：B．5．【解答】解：设当试验田垂直于墙的一边长为xm时，则另一边的长度为（49+1﹣2x）m，依题意得：x（49+1﹣2x）＝200，故选：C．6．【解答】解：依题意，得y＝5（1+x）2．故选：C．7．【解答】解：设最小的数为x，则最大的数为x+8，由题意得：x（x+8）＝308，解得：x1＝14，x2＝﹣22（不合题意，舍去），14+8＝22，则四个数为：14，15，21，22，14+15+21+22＝72，故选：B．8．【解答】解：设每个月生产成本的下降率为x，根据题意得：30（1﹣x）2＝15，故选：A．9．【解答】解：设绳索长为x尺，可列方程为x2﹣82＝（x﹣3）2，故选：C．10．【解答】解：如图2，先构造一个面积为x2的正方形，再以正方形的边长为一边向外构造四个面积为x的矩形，得到大正方形的面积为：50+×4＝50+25＝75，∴该方程的正数解为﹣×2＝5﹣5．故选：D．二．填空题11．【解答】解：若月平均增长率为x，则该文具店五月份销售铅笔的支数是：100（1+x）2，故答案为：100（1+x）2．12．【解答】解：设t秒后PQ＝4，则BP＝6﹣t，BQ＝2t，∵∠B＝90°，∴PB2+BQ2＝PQ2，∴（6﹣t）2+（2t）2＝（4）2，解得t＝或2（舍弃）．答：秒后PQ间的距离为4，故答案为：．13．【解答】解：设无门的那边长为x米，则平行于墙的一面长为120+3﹣2x＝123﹣2x，∴工地面积为x（123﹣2x）＝2000．故答案为x（123﹣2x）＝2000．14．【解答】解：设AB＝x米，则BC＝（20﹣3x+2）米，依题意，得：x（20﹣3x+2）＝40，整理，得：3x2﹣22x+40＝0，解得：x 1＝，x2＝4．当x＝时，20﹣3x+2＝12＞11，不合题意，舍去；当x＝4时，20﹣3x+2＝10，符合题意．故答案为：4．15．【解答】解：设AB＝x米，则BC＝（16﹣2x）米，依题意得：x（16﹣2x）＝14，解得：x1＝1，x2＝7．当x＝1时，16﹣2x＝14＞3，不合题意舍去；当x＝7时，16﹣2x＝2．答：所利用旧墙AD的长为2米．故答案为：2米．三．解答题16．【解答】解：（1）设经过x秒后，AP＝CQ，则AP＝xcm，CQ＝（10﹣2x）cm，依题意，得：x＝10﹣2x，解得：x＝．答：经过秒后，AP＝CQ．（2）设经过y秒后，△PBQ的面积等于15cm2，则BP＝（8﹣y）cm，BQ＝2ycm，依题意，得：（8﹣y）×2y＝15，化简，得：y2﹣8y+15＝0，解得：y1＝3，y2＝5．答：经过3秒或5秒后，△PBQ的面积等于15cm2．17．【解答】解：（1）设第一周销售红心柚x千克．则沙田柚（x﹣200）千克，根据题意得：12x+9（x﹣200）≥6600，解得：x≥400．答：第一周至少销售红心柚400千克；（2）根据题意得：12（1﹣a%）×400（1+a%）+9×200（1+a%）＝6600（1+%），∴a1＝45，a2＝0（舍去）．答：a的值为45．18．【解答】解：（Ⅰ）①根据题意得主干的数目为1；②从主干中长出的支干的数目为小x；③又从上述支干中长出的小分支的数目为x2；（Ⅱ）设每个支干长出x个小分支，则1+x+x2＝91，解得：x1＝9，x2＝﹣10（舍去），答：每个支干长出9个小分支．19．【解答】解：设截去的小正方形的边长为xcm，则长方形盒子的底面为长（100﹣2x）cm，宽为（80﹣2x）cm的长方形，依题意，得：（100﹣2x）（80﹣2x）＝4800，化简，得：x2﹣90x+800＝0，解得：x1＝10，x2＝80（不合题意，舍去）．答：截去的小正方形的边长为10cm．。

人教版九年级数学上册《21.1 一元二次方程与公共根、整数根、整体代入》专项练习题-附带答案【例题精讲】【例1】已知关于x 的方程2(1)10x k x k -++-=． （1）试判断该方程根的情况 说明理由；（2）若该方程与方程22(3)60x k x k --+-=有且只有一个公共根 求k 的值． 【解答】解：（1）方程有两个不相等的实数根 理由如下： △222[(1)]41(1)25(1)4k k k k k =-+-⨯⨯-=-+=-+．2(1)0k -2(1)40k ∴-+>即△0>∴无论k 取何值 方程总有两个不相等的实数根．（2）设两个方程的一个公共根为m则()()221102360m k m k m k m k ⎧-++-=⎪⎨--+-=⎪⎩①②②-① 得：2450m m +-= 解得：15m =- 21m =．当5m =-时 有255(1)10k k +++-= 解得：296k =-2929225(3)(5)6066⨯---⨯---=296k ∴=-符合题意；当1m =时 2(1)110m k m k -++-=-≠1m ∴=不符合题意 舍去． k ∴的值为296-． 【例2】关于x 的一元二次方程2(3)30x k x k +++=． （1）求证：方程总有两个实数根；（2）选取一个合适的k 值 使得方程有两个整数根 并求出这两个整数根．【解答】（1）证明：△22(3)12(3)k k k =+-=-2(3)0k -∴方程有两个实数根；（3）解：取2k =时 则35k += 36k = 故方程为2560x x ++= (3)(2)0x x ++=解得2x =-或3x =-．【例3】已知a 是方程2202010x x -+=的一个根．求：（1）2240403a a --的值； （2）代数式22202020191a a a -++的值． 【解答】解：（1）a是方程2202010x x -+=的一个根220201a a ∴=- 220201a a ∴=- 2240403a a ∴-- 2(20201)40403a a =---4040240403a a =--- 5=-；（2）原式2020202012019202011a a a =--+-+11a a =+- 211a a+=-2020111a a -+=-20201=- 2019=．【题组训练】一．公共根（共15小题）1．方程210x ax ++=和20x x a --=有一个公共根 则a 的值是 2 ．【解答】解：方程210x ax ++=和20x x a --=有一个公共根 (1)10a x a ∴+++= (1)(1)0a x ∴++=解得 1x =- 当1x =-时 2112a x x =-=+=．故答案是：2．2．若方程20x ax b ++=和20x bx a ++=只有一个公共根 则200()a b +的值是多少？【解答】解：设公共根为0x 则20020000x ax b x bx a ⎧++=⎪⎨++=⎪⎩①②．①-② 得0()(1)0a b x --=当a b =时 两方程完全一样 不合题意； 当01x =时 1a b +=- 则200()1a b +=． 答：200()a b +的值是1．3．若两个方程20x ax b ++=和20x bx a ++=只有一个公共根 则( ) A ．a b =B ．0a b +=C ．1a b +=D ．1a b +=-【解答】解：设公共根为0x 则20020000x ax b x bx a ⎧++=⎪⎨++=⎪⎩①②．①-② 得0()(1)0a b x --=当a b =时 方程可能有两个公共根 不合题意； 当01x =时 1a b +=-． 故选：D ．4．若关于x 的方程：2230x x --=和210x mx ++=有且只有一个公共根 则m = 2或103- ． 【解答】解：解方程2230x x --=得11x =- 23x = 把1x =-代入210x mx ++=得110m -+= 解得2m =；把3x =代入210x mx ++=得9310m ++= 解得103m =- 综上所述 m 的值为2或103-． 故答案为：2或103-． 5．已知三个关于x 的一元二次方程20ax bx c ++= 20bx cx a ++= 20cx ax b ++=恰有一个公共实数根 则222a b c bc ca ab++的值为 3 ．【解答】解：设公共实数根为t则20at bt c ++= 20bt ct a ++= 20ct at b ++= 三式相加得2()()0a b c t a b c t a b c ++++++++= 即2()(1)0a b c t t ++++= 因为22131()024t t t ++=++>所以0a b c ++=所以原式333a b c abc++=223()()a b a ab b c abc+-++=23()[()3]a b a b ab c abc++-+=23(3)c c ab c abc --+=3abcabc= 3=．故答案为3．6．已知关于x 的一元二次方程220x mx ++=与220x x m ++=有一个公共实数根 则m = 3- ．【解答】解：220x mx ++=与220x x m ++=有一个公共实数根2222x mx x x m ∴++=++有一个实数根 1x ∴=把1x =代入220x mx ++=得： 3m =-．故答案为：3-．7．有三个方程：①2650x x -+=；②2250x -=；③550(0)ax a b bx a b --+=+≠ 它们的公共根是( ) A ．5B ．5-C ．1D ．以上都不是【解答】解：2650x x -+= (5)(1)0x x --= 50x -=或10x -= 15x ∴= 21x =把15x = 21x =代入②③ 5x =能使方程左右相等∴它们的公共根是5故选：A ．8．已知关于x 的方程2(1)10x k x k -++-=． （1）试判断该方程根的情况 说明理由；（2）若该方程与方程22(3)60x k x k --+-=有且只有一个公共根 求k 的值． 【解答】解：（1）方程有两个不相等的实数根 理由如下： △222[(1)]41(1)25(1)4k k k k k =-+-⨯⨯-=-+=-+．2(1)0k -2(1)40k ∴-+> 即△0>∴无论k 取何值 方程总有两个不相等的实数根．（2）设两个方程的一个公共根为m则()()221102360m k m k m k m k ⎧-++-=⎪⎨--+-=⎪⎩①②②-① 得：2450m m +-= 解得：15m =- 21m =．当5m =-时 有255(1)10k k +++-= 解得：296k =- 2929225(3)(5)6066⨯---⨯---=296k ∴=-符合题意； 当1m =时 2(1)110m k m k -++-=-≠ 1m ∴=不符合题意 舍去． k ∴的值为296-． 9．已知关于x 的两个一元二次方程：方程①：2(1)(2)102kx k x +++-=；方程②：2(21)230x k x k ++--=．（1）若方程①有两个相等的实数根 求解方程②；（2）若方程①和②中只有一个方程有实数根 请说明此时哪个方程没有实数根； （3）若方程①和②有一个公共根a ．求代数式22(42)35a a k a a +-++的值． 【解答】解：（1）方程①有两个相等实数根 102k ∴+≠且△10= 即2(2)4(1)(1)02kk +-+⨯-= 则(2)(4)0k k ++= 解此方程得12k =- 24k =-而20k +≠ 4k ∴=-当4k =-时 方程②变形为：2750x x -+= 解得1x 2x =； （2）△2222(21)4(23)41213(23)40k k k k k =+++=++=++>∴无论k 为何值时 方程②总有实数根方程①、②只有一个方程有实数根∴此时方程①没有实数根（3）设a 是方程①和②的公共根 2(1)(2)102ka k a ∴+++-=③2(21)230a k a k ++--=④由(③-④)2⨯得22(1)44ka k a k =---⑤ 由④得：2(21)23a k a k =-+++⑥ 将⑤、⑥代入 原式2242352(1)44423(21)6955ka ak k a a k a k ak k k a k a =+-++=---+--++++=． 10．已知关于x 的两个一元二次方程： 方程①：2(1)(2)102kx k x +++-=；方程②：2(21)230x k x k ++--=．（1）若方程①有两个相等的实数根 求：k 的值（2）若方程①和②只有一个方程有实数根 请说明此时哪个方程没有实数根． （3）若方程①和②有一个公共根a 求代数式22(42)35a a k a a +-++的值． 【解答】解：（1）方程①有两个相等的实数根 ∴11020k ⎧+≠⎪⎨⎪=⎩ 则2k ≠- △222214(2)4(1)(1)4442682kb ac k k k k k k =-=+-+⨯-=++++=++则(2)(4)0k k ++= 2k ∴=- 4k =- 2k ≠-4k ∴=-；（2）△22222(21)41(23)44181241213(23)40k k k k k k k k =+-⨯⨯--=++++=++=++>∴无论k 为何值时 方程②总有实数根方程①、②只有一个方程有实数根∴此时方程①没有实数根．（3）根据a 是方程①和②的公共根∴2(1)(2)102k a k a +++-=③ 2(21)230a k a k ++--=④∴③2⨯得：2(2)(24)20k a k a +++-=⑤⑤+④得：2(3)(45)25k a k a k +++-=代数式222(42)35(3)(45)25a a k a a k a k a k =+-++=+++-=．故代数式的值为5．11．已知三个关于x 的一元二次方程20ax bx c ++= 20bx cx a ++= 20cx ax b ++=恰有一个公共实数根 则222a b c bc ca ab++的值为( )A ．0B ．1C ．2D ．3【解答】解：设0x 是它们的一个公共实数根则2000ax bx c ++= 2000bx cx a ++= 2000cx ax b ++=． 把上面三个式子相加 并整理得200()(1)0a b c x x ++++=．因为22000131()024x x x ++=++>所以0a b c ++=．于是222333333()3()3a b c a b c a b a b ab a b bc ca ab abc abc abc+++-+-+++====故选：D ．12．是否存在某个实数m 使得方程220x mx ++=和220x x m ++=有且只有一个公共的实根？如果存在 求出这个实数m 及两方程的公共实根；如果不存在 请说明理由． 【解答】解：假设存在符合条件的实数m 且设这两个方程的公共实数根为a 则 222020a ma a a m ⎧++=⎨++=⎩①②①-② 得(2)(2)0a m m -+-= (2)(1)0m a --= 2m ∴= 或1a =．当2m =时 已知两个方程是同一个方程 且没有实数根 故2m =舍去； 当1a =时 代入②得3m =-把3m =-代入已知方程 求出公共根为1x =． 故实数3m =- 两方程的公共根为1x =．13．关于x 的方程2230x x +-=和22240x x m m +++=有公共根 则m 的值为 1-或3- ．【解答】解：设公共解为t根据题意得222230240t t t t m m ⎧+-=⎨+++=⎩①②②-①得2430m m ++= 解得11m =- 23m =-． 故答案为1-或3-．14．若方程210x mx ++=和20x x m ++=有公共根 则常数m 的值是 2- ． 【解答】解：设方程210x mx ++=和20x x m ++=的公共根为t 则210t mt ++=① 20t t m ++=②①-②得(1)1m t m -=-如果1m = 那么两个方程均为210x x ++= △2141130=-⨯⨯=-< 不符合题意； 如果1m ≠ 那么1t =把1t =代入① 得110m ++= 解得2m =-． 故常数m 的值为2-． 故答案为：2-．15．方程270x ax ++=和270x x a --=有一个公共根 则a 的值是( ) A ．9B ．8C ．7D ．6【解答】解：设该公共根为x b = 由题意可知：270b ab ++= 270b b a --= (7)70a b a ∴+++= 70a +≠ 1b ∴=-1x ∴=-代入270x x a --= 178a =+=故选：B ．二．整数根（共15小题）16．关于x 的一元二次方程20x px q ++=有两个同号非零整数根 关于y 的一元二次方程20y qy p ++=也有两个同号非零整数根 则下列说法正确的是( )A ．p 是正数 q 是负数B ．22(2)(2)8p q -+-<C ．q 是正数 p 是负数D ．22(2)(2)8p q -+->【解答】解：设方程20x px q ++=的两根为1x 、2x 方程20y qy p ++=的两根为1y 、2y ． 关于x 的一元二次方程20x px q ++=有两个同号非零整数根 关于y 的一元二次方程20y qy p ++=也有两个同号非零整数根 120x x q ∴⋅=> 120y y p ⋅=>故选项A 与C 说法均错误 不符合题意；关于x 的一元二次方程20x px q ++=有两个同号非零整数根 关于y 的一元二次方程20y qy p ++=也有两个同号非零整数根 240p q ∴- 240q p -2222(2)(2)44448(p q p q q p p ∴-+-=-++-+>、q 不能同时为2 否则两个方程均无实数根）故选项B 说法错误 不符合题意；选项D 说法正确 符合题意； 故选：D ．17．关于x 的方程2(3)30(0)mx m x m +--=≠有两个不相等的正整数根 则整数m 的值为1- ．【解答】解：由题意可知：△2(3)4(3)m m =--⨯-2269(3)0m m m =++=+x ∴=1x ∴=或3x m=-由题可知：1m =- 故答案为：1-18．已知：关于x 的一元二次方程2(2)20mx m x -++=． （1）求方程有实数根的实数m 的取值范围；（2）若方程有两个不相等的正整数根 求出此时m 的整数值． 【解答】 解：（1）由题意可知：0m ≠ △2(2)?8m m =+ 244?8m m m =++ 2?44m m =+2(?2)m =∴△0故0m ≠ 方程总有实数根； （2）2(2)20mx m x -++= (1)(2)0x mx ∴--= 1x ∴=或2x m=方程有两个不相等的正整数根 1m ∴=．19．关于x 的一元二次方程2(3)30x k x k +++=． （1）求证：方程总有两个实数根；（2）选取一个合适的k 值 使得方程有两个整数根 并求出这两个整数根． 【解答】（1）证明：△22(3)12(3)k k k =+-=-2(3)0k -∴方程有两个实数根；（3）解：取2k =时 则35k += 36k = 故方程为2560x x ++= (3)(2)0x x ++=解得2x =-或3x =-．20．已知关于x 的一元二次方程220x mx n -+=．（1）若此方程总有两个相等的实数根 求n 的值．（用含m 的代数式表示）；（2）当2m =时 此方程有两个不相等的整数根 写出一个满足条件的n 的值 并求此时方程的根．【解答】解：（1）根据题意得△2440m n =-= 所以2n m =；（2）当2m =时 原方程变形为240x x n -+= 方程有两个不相等的根∴△2440n =->即4n <当0n =时 方程变形为240x x -= 方程有两个整数根 即10x = 24x =．21．已知关于x 的一元二次方程2(2)20(0)mx m x m ---=≠． （1）求证：方程一定有实数根；（2）若此方程有两个不相等的整数根 求整数m 的值． 【解答】（1）证明：0m ≠ △2(2)4(2)m m =--⨯- 2448m m m =-++ 244m m =++2(2)0m =+∴方程一定有实数根；（2）2(2)2m m x m-±+=11x ∴= 22x m=-当整数m 取1± 2±时 2x 为整数 方程有两个不相等的整数根∴整数m 为1- 1 2．22．已知关于x 的方程2220x x m ++-=有两个整数根 且m 为正整数 则符合条件的所有正整数的和是( ) A ．6B ．5C ．4D ．3【解答】解：根据题意得△224(2)1240m m =--=-解得3mm 为正整数m ∴为1、2、3当1m =时 △8= 所以方程的根为无理数 不合题意舍去； 当2m =时 方程化为220x x += 方程有两个整数解； 当3m =时 方程化为2210x x ++= 方程有两个相等整数解； 所以符合条件的所有正整数m 的和为235+=． 故选：B ．23．已知关于x 的方程2(2)20mx m x -++=有两个不相等的正整数根 则m 的值为( )A ．2B ．1C D ．2或1【解答】解：方程2(2)20mx m x -++=是一元二次方程 0m ∴≠2(2)20mx m x -++= (2)(1)0mx x ∴--= 1x ∴=或2x m=方程有两个不相等的正整数根∴21m ≠ 2m是正整数 1m ∴=．故选：B ．24．已知二次多项式25x ax a -+-． （1）当1x =时 该多项式的值为 4- ；（2）若关于x 的方程250x ax a -+-= 有两个不相等的整数根 则正数a 的值为 ． 【解答】解（1）当1x =时 25154x ax a a a -+-=-+-=- 故答案为4-；（2）设1x 2x 是方程两个不相等的整数根 则12x x a += 125x x a =-． a ∴ 5a -均为整数∴△222()4(5)420(2)16a a a a a =---=-+=-+为完全平方数设22(2)16(a t t -+=为整数 且0)t则22(2)16a t --=-．于是 (2)(2)16a t a t ---+=- 由于2a t -- 2a t -+奇偶性相同 且22a t a t ---+ ∴2424a t a t --=-⎧⎨-+=⎩或2822a t a t --=-⎧⎨-+=⎩或2228a t a t --=-⎧⎨-+=⎩解得24a t =⎧⎨=⎩或15a t =-⎧⎨=⎩（舍去）或55a t =⎧⎨=⎩经检验2a = 5a =符合要求 2a ∴=或5a =故答案为2或5．25．已知关于x 的方程2(1)(31)220k x k x k ++-+-= （1）求证：无论k 取何值 此方程总有实数根； （2）若此方程有两个整数根 求正整数k 的值；（3）若一元二次方程2(1)(31)220k x k x k ++-+-=满足12||3x x -= 求k 的值． 【解答】解：（1）证明：当10k += 即1k =-时 原方程为440x --= 解得：1x =-；当10k +≠ 即1k ≠-时 △222(31)4(1)(22)69(3)0k k k k k k =--+-=-+=-∴方程有实数根．综上可知：无论k 取何值 此方程总有实数根． （2）方程有两个整数根 113(3)12(1)k k x k -+-∴==-+ 213(3)2(1)422(1)11k k k x k k k ----===-++++ 且1k ≠-2x 为整数 k 为正整数1k ∴=或3k =．（3）由（2）得11x =- 2421x k =-++ 且1k ≠- 1244|||1(2)||1|311x x k k ∴-=---+=-=++解得：3k =-或0k =经检验3k =-或0k =是原方程的解． 故k 的值为3-或0．26．求正整数k 使得关于x 的方程2343410x x k -+-=至少有一个正整数根． 【解答】解：方程2343410x x k -+-=至少有1个正整数根∴△2344(341)11601360k k =--=-正整数k 可能取值为1 2 3 4 5 6 7 8 只有当1k =时 11x = 233x =∴正整数k 的值是1．27．已知关于x 的一元二次方程23610x x k -+-=有实数根 k 为负整数． （1）求k 的值；（2）如果这个方程有两个整数根 求出它的根．【解答】解：（1）根据题意 得△2(6)43(1)0k =--⨯- 解得2k -． k 为负整数 1k ∴=- 2-．（2）当1k =-时 不符合题意 舍去；当2k =-时 符合题意 此时方程的根为121x x ==． 28．已知关于x 的方程2(3)30(0)ax a x a +--=≠． （1）求证：方程总有两个实数根；（2）若方程有两个不相等的负整数根 求整数a 的值． 【解答】解：（1）0a ≠∴原方程为一元二次方程．∴△22(3)4(3)(3)a a a =--⨯⨯-=+．2(3)0a +．∴此方程总有两个实数根．（2）解原方程 得11x =- 23x a=．此方程有两个负整数根 且a 为整数 1a ∴=-或3-． 11x =- 23x a=． 3a ∴≠-． 1a ∴=-．29．已知关于x 的方程2(1)210m x mx m --++=． （1）试说明方程根的情况；（2）求证：当1m ≠时 原方程总有一个不变的整数根为1．【解答】（1）解：当1m =时 原方程化为220x -+= 此时方程的根为1x =． 当1m ≠时△22244(1)(1)44440m m m m m =--+=-+=>∴当1m ≠时 此方程有两个不相等的实数根综上所述 当1m =时 关于x 的方程2(1)210m x mx m --++=的根为1x =；当1m ≠时 关于x 的方程2(1)210m x mx m --++=有两个不相等的实数根； （2）证明：由求根公式 得222(1)m x m ±=-11x ∴= 212111m x m m +==+-- ∴无论m 取何值 方程总有一个不变的整数根为1．30．已知：关于x 的方程：2(2)2(1)10m x m x m ---++=． （1）m 取何值时 方程有两个实数根？（2）是否存在正整数m 使方程的根均为整数？若存在 请求出它的整数根；若不存在 请说明理由．【解答】解：（1）根据题意得20m -≠且△2[2(1)]4(2)(1)0m m m =----⨯+ 解得3m 且2m ≠；故当3m 且2m ≠时 方程有两个实数根； （2）存在由（1）知3m 且2m ≠m 为正整数 1m =或3当1m =时 方程为220x -+= 无整数解 故1m =舍去； 当3m =时 方程为2440x x -+= 解得122x x ==； 综上 当3m =时 使方程的根122x x ==均为整数． 三．整体思想（共12小题）31．若a 是一元二次方程2230x x +-=的一个根 则224a a +的值是 6 ． 【解答】解：a 是一元二次方程2230x x +-=的一个根 2230a a ∴+-= 223a a ∴+=22242(2)236a a a a ∴+=+=⨯= 故答案为：6．32．若a 为方程2240x x +-=的解 则2368a a +-的值为( ) A ．4B ．2C ．4-D ．12-【解答】解：a 为方程2240x x +-=的解 2240a a ∴+-= 224a a ∴+=223683(2)83484a a a a ∴+-=+-=⨯-= 故选：A ．33．m 是方程210x x +-=的根 则式子2222020m m ++的值为( ) A ．2018B ．2019C ．2021D ．2022【解答】解：m 是方程210x x +-=的根 210m m ∴+-=即21m m +=222220202()2020220202022m m m m ∴++=++=+=． 故选：D ．34．若a 是方程210x x --=的一个根 则322020a a -++的值为( ) A ．2020B ．2020-C ．2019D ．2019-【解答】解：a 是方程210x x --=的一个根21a a ∴-= 21a a -+=-32222020(1)202020202019a a a a a a a ∴-++=--++=-++=． 故选：C ．35．若a 是2270x x --=的一个根 则221a a -+的值是( ) A ．5B ．6C ．7D ．8【解答】解：a 是2270x x --=的一个根 2270a a ∴--= 227a a ∴-= 221718a a ∴-+=+=．故选：D ．36．若关于x 的一元二次方程220(0)ax bx a ++=≠有一根为2019x = 则一元二次方程2(1)(1)2a x b x -+-=-必有一根为( ) A ．2017B ．2020C ．2019D ．2018【解答】解：对于一元二次方程2(1)(1)20a x b x -+-+= 设1t x =- 所以220at bt ++=而关于x 的一元二次方程220(0)ax bx a ++=≠有一根为2019x = 所以220at bt ++=有一个根为2019t = 则12019x -= 解得2020x =所以一元二次方程2(1)(1)2a x b x -+-=-必有一根为2020x =． 故选：B ．37．已知a 是方程220150x x +-=的一个根 则22211a a a---的值为( ) A ．2014B ．2015C ．12014D ．12015【解答】解：a 是方程220150x x +-=的一个根 220150a a ∴+-=∴22211a a a--- 21(1)(1)(1)(1)a a a a a a a a +=-+-+- 21(1)(1)a a a a a --=+-21a a =+ 12015=． 故选：D ．38．已知a 是方程210x -+=的一个根．则221a a +的值为( )A ．4B ．6C ．D ．【解答】解：把x a =代入方程210x -+= 得210a -+=所以21a +=则222211()22826a a a a +=+-=-=-=． 故选：B ．39．若x 是方程2310x x ++=的解 则11x x -=+ 2- ． 【解答】解：21(1)11111x x x x x x x x +-+--==+++ x 是方程2310x x ++=的解231x x ∴=--∴原式3111x x x --+-=+2(1)1x x +=-+ 2=-．故答案为：2-．40．已知实数a 是元二次方程2202110x x -+=的根 求代数式22120202021a a a +--的值为1- ．【解答】解：a 是方程2202110x x -+=根 2202110a a ∴-+= 220211a a ∴=-∴原式2021112021120202021a a a -+=---1a a =--1=-．故答案是：1-．41．若m 是方程210x x +-=的一个根 则代数式3222022m m ++的值为 2023 ． 【解答】解：m 是方程210x x +-=的一个根 210m m ∴+-= 21m m ∴=-+32(1)(1)21m m m m m m m m ∴=-+=-+=--++=-3222022212(1)2022212220222023m m m m m m ∴++=-+-++=--++=． 故答案为：2023．42．已知a 是方程2202010x x -+=的一个根．求： （1）2240403a a --的值； （2）代数式22202020191a a a -++的值． 【解答】解：（1）a 是方程2202010x x -+=的一个根 220201a a ∴=- 220201a a ∴=- 2240403a a ∴-- 2(20201)40403a a =--- 4040240403a a =---5=-；（2）原式2020202012019202011a a a =--+-+11a a=+- 211a a+=-第 21 页 共 22 页2020111a a -+=- 20201=- 2019=．第22页共22页。

21.1一元二次方程基础导练1.把一元二次方程(x－3)2＝5化为一般形式为________________，二次项为________，一次项系数为__________，常数项为________.2.若(a－1)x2＋bx＋c＝0是关于x的一元二次方程，则( )A．a≠0 B．a≠1C．a＝1 D．a≠－13．一元二次方程2x2－(m＋1)x＋1＝x(x－1)化成一般形式后二次项的系数为1，一次项的系数为－1，则m的值为( )A．－1 B．1 C．－2 D．2能力提升4．方程(m＋2)x|m|＋3mx＋1＝0是关于x的一元二次方程，则m＝_______________.5．若关于x的方程mx2＋(m－1)x＋5＝0有一个解为2，则m的值是______．6．已知关于x的一元二次方程(2m－1)x2＋3mx＋5＝0有一根是x＝－1，求m的值．参考答案1.x2－6x＋4＝0 x2－6 42.B3.B4.25.－1 26．解：把x＝－1代入原方程，得2m－1－3m＋5＝0，解得m＝4.21.2.1配方法基础导练1.下列方程中，一定有实数解的是（ ）A.210x +=B.2(21)0x +=C.2(21)30x ++=D.21()2x a a -= 2.若224()x x p x q -+=+，那么p 、q 的值分别是（ ）A.p =4，q =2B.p =4，q =-2C.p =-4，q =2D.p =-4，q =-23.若28160x -=，则x 的值是_________．能力提升4.无论x 、y 取任何实数，多项式222416x y x y +--+的值总是_______数（填“正”或“负”）．5.如果16（x -y ）2+40（x -y ）+25=0，那么x 与y 的关系是 ．6.解一元二次方程22(3)72x -=．7.如果a 、b b 2-12b +36=0，求ab 的值．参考答案1.B2.B3.正 5.x -y =-54 6.解：方程两边同除以2，得2(3)36x -=，∴36x -=±，∴129,3x x ==-．7.2(6)0b -=，∴34060a b +=⎧⎨-=⎩， ∴43a =-，6b =，∴8ab =-. 21.2.2公式法基础导练1.一元二次方程2210x x --=的根的情况为（ ）A ．有两个相等的实数根B ．有两个不相等的实数根C ．只有一个实数根D ．没有实数根2.若关于x 的一元二次方程220x x m -+=没有实数根，则实数m 的取值范围是（ ）A ．1m <B ．1m >-C ．1m >D ．1m <-3.若关于x 的一元二次方程230x x m -+=有实数根，则实数m 的取值范围是_____________. 能力提升4.如果关于x 的方程022=--k x x 没有实数根，则k 的取值范围为_____________.5.用公式法解下列方程.（1）1)4(2=+x x ；（2）(2)(35)1x x --=；（3）20.30.8y y +=.6.求证：关于x 的方程01)12(2=-+++k x k x 有两个不相等的实数根．参考答案 1.B 2.C 3.94m ≤4.1k <-5.解：（1）将方程化为一般形式22810x x +-=，∴2a =，8b =，1c =-,∴224842(1)720b ac -=-⨯⨯-=>,∴84222x -±-±==⨯，∴142x -+=，242x --=． （2）将方程化为一般形式231190x x -+=，∴3a =，11b =-，9c =,∴224(11)439130b ac -=--⨯⨯=>,∴x ==1x =2x =． （3）将方程化为一般形式20.30.80y y +-=，∴0.3a =，1b =，0.8c =-,∴224140.3(0.8) 1.960b ac -=-⨯⨯-=>,∴y =1101420.36--±=⨯，∴14y =-，223y =．6. 证明：∵∆＝2224(21)41(1)450b ac k k k -=+-⨯⨯-=+>恒成立，∴方程有两个不相等的实数根．21.2.3一元二次方程的根与系数的关系基础导练1．若x 1，x 2是一元二次方程x 2＋4x ＋3＝0的两个根，则x 1x 2的值是( )A ．4B ．3C ．－4D ．－32．如果关于x 的一元二次方程x 2＋px ＋q ＝0的两根分别为x 1＝2，x 2＝1，那么p ，q 的值分别是( )A ．－3,2B ．3，－2C ．2，－3D ．2,33．已知一元二次方程的两根之和为7，两根之积为12，则这个方程为____________________． 能力提升4．已知方程x 2－3x ＋m ＝0的一个根是1，则它的另一个根是______，m 的值是______．5．已知x 1，x 2是方程x 2－3x －3＝0的两根，不解方程可求得x 21＋x 22＝________.6.已知1x 、2x 是方程2630x x ++=的两实数根，求2112x x x x +的值.参考答案1．B 2.A 3．x 2－7x ＋12＝0(答案不唯一) 4．2 2 5.156.解：由一元二次方程根与系数的关系可得：121263x x x x +=-⎧⎨=⎩，∴222221121212121212()2(6)23103x x x x x x x x x x x x x x ++---⨯+====. 21.3实际问题与一元二次方程基础导练1.一台电视机成本价为a 元，销售价比成本价增加25%，因库存积压，•所以就按销售价的70%出售，那么每台售价为（ ）A ．（1+25%）（1+70%）a 元B ．70%（1+25%）a 元C ．（1+25%）（1-70%）a 元D ．（1+25%+70%）a 元2.某商品原价200元，连续两次降价a ％后售价为148元，下列所列方程正确的是（ ）A ．2002(1%)a +=148B ．2002(1%)a -=148C ．200(12%)a -=148D ．2002(1%)a -=1483.为了美化环境，某市加大对绿化的投资．2012年用于绿化投资20万元，2014年用于绿化投资25万元，求这两年绿化投资的年平均增长率．设这两年绿化投资的年平均增长率为x ，根据题意所列方程为（ ）A ．22025x =B ．20(1)25x +=C ．220(1)25x +=D ．220(1)20(1)25x x +++=能力提升4.一个小组有若干人，新年互送贺卡，若全组共送贺卡72张，则这个小组共有（ ）人.A ．12B ．10C ．9D ．85.某县化肥厂第一季度增产a 吨化肥，以后每季度比上一季度增产%x ，则第三季度化肥增产的吨数为（ ）A ．2)1(x a +B ．2%)1(x a +C ．2%)1(x +D ．2%)(x a a +6.某化工厂今年一月份生产化工原料15万吨，通过优化管理，产量逐月上升，三月份生产化工原料60万吨，设二、三月份平均增长的百分率相同，均为x ，则可列出方程为________________________．7.某公司一月份营业额为10万元，第一季度总营业额为33.1万元，求该公司二、三月份营业额平均增长率是多少？（分析：设该公司二、三月份营业额平均增长率为x ，•那么二月份的营业额就应该是10(1)x +，三月份的营业额应是102(1)x +．）参考答案1.B2.B3.C4.C5.B6.215(1)60x +=7.解：设该公司二、三月份营业额平均增长率为x ．则依题意得：21010(1)10(1)x x ++++=33.1把（1+x ）看成一个整体，配方得：21(1)2x ++=2.56，即23()2x +=2.56, ∴x +32=±1.6，即x +32=1.6或x +32=-1.6. ∴1x =0.1=10%，2x =-3.1∵因为增长率为正数，∴取x =10%.答:该公司二、三月份营业额平均增长率为10%．。

21.1一元二次方程一、填空题1．（2019·资阳）a 是方程224x x =+的一个根，则代数式242a a -的值是_______．2．关于x 的方程（m-1）x 2+（m+1）x+3m-1=0，当m_________时,是一元一次方程;当m_________时,是一元二次方程.3．（2018·南充）若2n （n≠0）是关于x 的方程x 2﹣2mx+2n=0的根，则m ﹣n 的值为______． 4．一元二次方程290x -=的解是__ ．5．（2019·湖南中考模拟）在等腰ABC ∆中，A B C ∠∠∠、、的对边分别为a b c 、、，已知3,a b =和c 是关于x 的方程21202x mx m ++-=的两个实数根，则ABC ∆的周长是__________． 6．方程3x 2-3=2x+1的二次项系数为________，一次项系数为_________，常数项为_________．7．若关于x 的一元二次方程()221534m x x m m +++-=的常数项为0，则m 的值是__________．8．已知x =2是关于x 的一元二次方程20x bx c +-=的一个根，则b 与c 的关系是__________．(请用含b 的代数式表示c )9．当m __________时，关于x 的方程()2220m x x -+-=是一元二次方程.二、单选题10．下列方程中，是一元二次方程的是（ ）A ．213x +=B ．22x y +=C ．2324x x +=D ．211x x+= 11．已知关于x 的方程（a 2-1）x 2+（1-a ）x+a-2=0，下列结论正确的是（ ）A ．当a≠±1时，原方程是一元二次方程。

B ．当a≠1时，原方程是一元二次方程。

C ．当a≠-1时，原方程是一元二次方程。

D ．原方程是一元二次方程。

12．（2019·遂宁）已知关于x 的一元二次方程22(1)210a x x a --+-=有一个根为0x =，则a 的值为（ ）A ．0B ．±1C ．1D ．1-13．（2019·兰州）1x =是关于x 的一元一次方程220x ax b ++=的解，则24a+b=（ ） A ．2- B ．3- C ．4 D ．6-14．若关于x 的方程()2230m x mx -+-=是一元二次方程，则m 的取值范围是（ ）A ．2m ≠B ．2m =C ．2m >D ．0m ≠15．已知n 是方程2210x x --=的一个根，则2367n n --=（ ）A ．10-B ．7-C ．6-D ．4-三、解答题16．如果x=1是方程ax 2+bx+3=0的一个根，求（a-b ）2+4ab 的值．17．（2019·湖北中考模拟）已知关于x 的方程x 2﹣2kx+k 2﹣k ﹣1＝0有两个不相等的实数根x 1，x 2． （1）求k 的取值范围；（2）若x 1﹣3x 2＝2，求k 的值．18．关于x 的方程（2m 2+m ）x m+1+3x=6可能是一元二次方程吗？为什么？19．已知一元二次方程ax 2+bx+c=0（a≠0）.（1）若a+b+c=0，则此方程必有一根为 ；（2）若a-b+c=0，则此方程必有一根为 ；（3）若4a-2b+c=0，则此方程必有一根为 ．参考答案1．82．=1 ≠13．124．x 1＝3，x 2＝﹣3．5．375或7 6．3 −2 -47．48．42c b =+9．2≠10．C 11．A 12．D 13．A 14．A 15．D16．917．解（1）△＝（﹣2k ）2﹣4（k 2﹣k ﹣1）＝4k+4＞0，∴k ＞﹣1；（2）∵1212322x x x x k -=⎧⎨+=⎩， ∴1231212k x k x +⎧=⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩， ∵x 1•x 2＝k 2﹣k ﹣1， ∴14（3k+1）（k ﹣1）＝k 2﹣k ﹣1，∴k 1＝3，k 2＝﹣1，∵k ＞﹣1，∴k ＝3．18．解关于x 的方程（2m 2+m ）x m+1+3x=6是一元二次方程，理由如下： 21220m m m +=+≠⎧⎨⎩ ，解得m=1，m=1时,关于x 的方程（2m 2+m ）x m+1+3x=6是一元二次方程19．解：对于一元二次方程ax 2+bx+c=0（a≠0），（1）当a+b+c=0时，x=1；（2）当a-b-c=0时，x=-1；（3）当4a-2b+c=0时，x=-2.。