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广东省江门市普通高中2025届高三第二次模拟考试数学试卷考生请注意：1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。
2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。
3．考生必须保证答题卡的整洁。
考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．i 是虚数单位，21i z i =-则||z =（ ） A ．1B ．2C ．2D ．22 2．已知在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若函数()3222111()324f x x bx a c ac x =+++-存在极值，则角B 的取值范围是（ ）A ．0,3π⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．,63ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．,3π⎛⎫π ⎪⎝⎭D ．,6π⎛⎫π ⎪⎝⎭3．集合{}2,A x x x R =>∈，{}2230B x x x =-->，则AB =（ ） A ．(3,)+∞ B ．(,1)(3,)-∞-+∞C ．(2,)+∞D ．(2,3) 4．已知集合M ＝{y ｜y ＝，x ＞0}，N ＝{x ｜y ＝lg （2x －）}，则M∩N 为（ ）A ．（1，＋∞）B ．（1，2）C ．[2，＋∞）D ．[1，＋∞） 5．若复数1a i z i -=+在复平面内对应的点在第二象限，则实数a 的取值范围是（ ） A ．()1,1- B ．(),1-∞- C ．()1,+∞ D ．()0,∞+6．一个封闭的棱长为2的正方体容器，当水平放置时，如图，水面的高度正好为棱长的一半．若将该正方体绕下底面（底面与水平面平行）的某条棱任意旋转，则容器里水面的最大高度为（ ）A ．1B 2C 3D ．227．由曲线3,y x y x == ）A ．512B ．13C ．14D ．128．已知集合{}2230A x x x =--≤{}2B x x =＜，则AB =( ) A ．()1,3 B ．(]1,3C ．[)1,2-D ．()1,2-9．函数sin (3sin 4cos )y x x x =+()x R ∈的最大值为M ，最小正周期为T ，则有序数对(,)M T 为（ ） A ．(5,)π B ．(4,)π C ．(1,2)π- D ．(4,2)π10．在ABC 中，12BD DC =，则AD =（ ） A ．1344+AB AC B ．21+33AB AC C ．12+33AB AC D ．1233AB AC - 11．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（ ）A ．48122+B ．60122+C ．72122+D ．8412．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A ．103B ．3C ．83D ．73二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2013—2014学年第二学期上海市高三年级八校联考数学（文科）试卷一、填空题（本题满分56分）本大题共有14题，要求在答题纸相应题序的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分．1. 在复平面上，复数()232i -对应的点到原点的距离为 ．2. 已知函数()44sin cos f x x xωω=-()0>ω的最小正周期是π，则=ω ．3. 向量在向量方向上的投影为 ．4. 直线220x y -+=过椭圆22221x y a b+=的左焦点1F 和一个顶点B ，则椭圆的方程为 ．5. 已知直线l 的法向量为()1,2=，则该直线的倾斜角为 ．（用反三角函数值表示）6. 已知正数,a b 满足2a b +=，则行列式111111ab++的最小值为 ．7. 阅读右边的程序框图，如果输出的函数值y 在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡141,内，则输入的实数x 的取值范围是 ． 8. 设αβ、是一元二次方程022=+-m x x 的两个虚根.若||4αβ=，则实数=m ．9. 在△ABC 中，A B C 、、所对边分别为a b c 、、.若tan 21tan A cB b+=，则A = ．10. 已知数列{}n a 的首项12a =，其前n 项和为n S .若121n n S S +=+，则n S = ． 11. 某地球仪上北纬30︒纬线长度为12πcm ，该地球仪的表面积为 cm 2． 12. 已知直线()2y k x =-与抛物线x y C 8:2=相交于A 、B 两点，F 为抛物线C 的焦点．若||2||FA FB =，则实数=k ．13. 已知“,,,c d e f ”是从1,3,4,5,7中取出4个元素的一个排列．设x 是实数，若“(2)(6)0x x --<”可推出“()()0x c x d --<或()()0x e x f --<”，则满足条件的排列“,,,c d e f ”共有_________个． 14. 将()22x x af x =-的图像向右平移2个单位后得曲线1C ，将函数()y g x =的图像向下平移2个单位后得曲线2C ，1C 与2C 关于x 轴对称．若()()()f x F x g x a=+的最小值为m 且m >2+7，则实数a 的取值范围为 ．二． 选择题（本题满分20分）本大题共有4题，每题都给出四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，必须把答题纸上相应题序内的正确结论代号涂黑，选对得 5分，否则一律得零分．15. 已知关于x 的不等式21<++ax x 的解集为P . 若P ∉1，则实数a 的取值范围为 （ ）（A ）(][)+∞∞-,,10 . （B ）[]01,-. （C ）()()+∞-∞-,,01 . （D ）(]01,-. 16. 函数()()21212-<+=x x x f 的反函数是（ ）（A ）3)y x ≤<. （B ） 3)y x =>.（C ）3)y x =≤<. （D ）3)y x =>. 17. 已知A 、B 、C 是单位圆上三个互不相同的点.若，则的最小值是（ ）（A ）0． （B ）14-． （C ）12-． （D ）34-．18. 已知公比为q 的等比数列{}n a 的前n 项和为,*n S n N ∈，则下列结论中：（1）232,,n n n n n S S S S S --成等比数列； （2）2232()()n n n n n S S S S S -=-； （3）322()n n n n n S S q S S -=-正确的结论为 （ ）（A ）（1）（2）． （B ）（1）（3）． （C ）（2）（3）． （D ）（1）（2）（3）．三． 解答题：（本题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸的规定区域（对应的题号）内写出必要的步骤．19. （本题满分12分；第（1）小题满分6分，第（2）小题满分6分）在直三棱柱111ABC -A B C 中,90 ABC =∠︒ ,11,2AB =BC =BB =，求: （1）异面直线11B C 与1AC 所成角的大小；（2）四棱锥111A B BCC -的体积．20. (本题满分14分；第（1）小题满分6分，第（2）小题满分8分)已知()()x b xx f 24lg2++=，其中常数0>b ．求证：（1）当1b =时，()x f 是奇函数；（2）当4b =时，()x f y =的图像上不存在两点A 、B ，使得直线AB 平行于x 轴．21. （本题满分14分；第（1）小题6分，第（2）小题8分）已知点1F 、2F 为双曲线C ：()01222>=-b b y x 的左、右焦点，过2F 作垂直于x 轴的直线，在x 轴上方交双曲线C 于点M ，1230MF F ∠=︒．（1）求双曲线C 的方程；（2）过双曲线C 上任意一点P 作该双曲线两条渐近线的垂线，垂足分别为1P 、2P ，求21PP PP ⋅的值．22. （本题满分16分；第（1）小题满分8分，第（2）小题满分8分 ）如图，制图工程师用两个同中心的边长均为4的正方形合成一个八角形图形．由对称性，图中8个三角形都是全等的三角形，设α=∠11H AA ．（1）试用α表示11H AA ∆的面积； （2）求八角形所覆盖面积的最大值，并指出此时α的大小．23. （本题满分18分；第（1）小题６分，第（2）小题6分，第（3）小题６分）在等差数列{}n a 和等比数列{}n b 中，112a b ==，222a b b ==+，n S 是{}n b 前n 项和．（1）若lim 3n n S b →∞=-，求实数b 的值；（2）是否存在正整数b ，使得数列{}n b 的所有项都在数列{}n a 中？若存在，求出所有的b ，若不存在，说明理由；（3）是否存在实数b ，使得数列{}n b 中至少有三项在数列{}n a 中，但{}n b 中的项不都在数列{}n a 中？若存在，求出一个可能的b 的值，若不存在，说明理由．2014届高三年级八校联合调研考试试卷数学（文科）一、 填空题（本题满分56分）本大题共有14题，要求在答题纸相应题序的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分．二． 选择题（本题满分20分）本大题共有4题，每题都给出四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，必须把答题纸上相应题序内的正确结论代号涂黑，选对得 5分，否则一律得零分．三． 解答题：（本题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸的规定区域（对应的题号）内写出必要的步骤．19. 解：（1）因为11//B C BC ，所以1ACB ∠（或其补角）是异面直线11B C 与1AC 所成角. …………1分 因为BC ^AB ,BC ^BB 1,所以BC ⊥平面1ABB ，所以1BC A B ⊥. …………3分在Rt D A 1BC 中,11tan A BACB BC∠==所以1ACB ∠=………………5分所以异面直线11B C 与1AC 所成角的大小为 ………………6分 （2）因为A 1B 1^B 1C 1,A 1B 1^BB 1所以11A B ⊥平面11B BCC ………9分 则11111111233A B BCC B BCC V S A B -=⨯= ………12分 20.证明：（1）由题意，函数定义域R ， ……对定义域任意x ，有：()))lg2lg2f x x x -===- ……4分所以()()f x f x -=-，即y f x =是奇函数 ………6分（2）假设存在不同的B A ,两点，使得AB 平行x 轴，则))lg2lg2A B x x = ………9分A B x x =-化简得：2220A B A B x x x x +-=，即A B x x =，与A B 、不同矛盾。
秘密★启用前试卷类型：A江门市2014年普通高中高二调研测试数学（理）本试卷共4页，20小题，满分150分，测试用时120分钟。
不能使用计算器．注意事项：1．答题前，考生务必把自己的姓名、考生号等填写在答题卡相应的位置上．2．做选择题时，必须用2B铅笔把答题卷上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．3．非选择题必须使用黑色字迹钢笔或签字笔，将答案写在答题卡规定的位置上．4．所有题目必须在答题卡上指定位置作答，不按以上要求作答的答案无效．5．考生必须保持答题卡的整洁。
考试结束后，将答题卡交回．参考公式：锥体的体积公式，其中是锥体的底面积，是锥体的高．一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．⒈是虚数单位，A．B．C．D．⒉已知点和向量，点在平面上，使向量，则点的坐标为A．B．C．D．⒊的展开式的第4项的系数为A．B．C．D．⒋某几何体的三视图如图1所示（图中标记的数据为2或4），则该几何体的体积为A．B．C．D．⒌“”是“函数的图象关于轴对称”的A．充分非必要条件 B．必要非充分条件C．充要条件 D．非充分非必要条件⒍双曲线（，）的顶点为、，焦点为、，若、是线段的三等分点，则双曲线的离心率A．B．C．D．⒎设，若函数（）有大于的极值点，则A．B．C．D．⒏设（）三边的长分别为、、，的面积为，若，，，，，则A．为递减数列 B．为递增数列，为递减数列C．为递增数列 D．为递减数列，为递增数列二、填空题：本大题共7小题，每小题6分，满分30分．㈠必做题（9～13题）⒐一个路口的红绿灯，红灯的时间为30秒，黄灯的时间为5秒，绿灯的时间为40秒．一辆汽车到达路口，看见红灯的概率是．⒑已知命题：，．则命题的否定：．⒒执行如图2所示的程序框图，输出的值为．⒓经过圆：上一点，且与圆相切的直线的方程是．⒔若，恒有，则的取值范围是．㈡选做题（14～15题，考生只能从中选做一题）⒕（选做题）计算：、、、……，根据计算结果找规律填空：．⒖（选做题）如图3，是抛物线上一点，是抛物线的焦点，若，则．三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．⒗（本小题满分12分）如图4，海中有一小岛，周围海里内有暗礁．海轮由西向东航行，在处望见岛在北偏东．航行海里到达处，望见岛在北偏东．如果海轮继续由西向东航行，有没有触礁的危险？⒘（本小题满分13分）已知数列的前项和（）．⑴求；⑵求集合（用列举法表示）．⒙（本小题满分14分）如图5，是长方体，，、分别是棱、上一点，，经过、、三点的平面与棱相交于．⑴求；⑵求二面角的余弦值．⒚（本小题满分13分）为考察某种药物防治疾病的效果，对105只动物进行试验，得到如下的列联表：药物效果试验列联表⑴能否以的把握认为药物有效？为什么？⑵从上述30只患病动物中随机抽取3只作进一步的病理试验，求抽取的3只动物中服药动物数量的分布列及其均值（即数学期望）．参考公式与数据：⒛（本小题满分14分）点与定点的距离和它到直线的距离之比是．⑴求点的轨迹方程（写成标准方程形式）；⑵设点的轨迹与轴相交于、两点，是直线上的动点，求的最大值．21．（本小题满分14分）已知函数，其中是常数．⑴若曲线在点处的切线平行于轴，求的值；⑵求函数的极值；⑶试讨论直线（为自然对数的底数）与曲线公共点的个数．评分参考一、选择题 DBCB ADAC二、填空题⒐⒑（2分），（3分，其中，等号1分）⒒⒓⒔（端点各2分，格式1分）⒕⒖三、解答题⒗（方法一）从小岛P向海轮的航线AB作垂线PC，垂足为C……1分设PC长为海里，BC长为海里，则……7分消去变量得……9分解得……11分，所以海轮继续由西向东航行没有触礁的危险……12分（方法二）从小岛P向海轮的航线AB作垂线PC，垂足为C……1分在△PAB中，∠PAB=900-750=150，∠PBA=900+600=1500，从而∠APB=1800-150-1500=150，∠PAB=∠APB……6分（其中，求∠APB给2分）PB=AB=10……8分，PC=PB×sin300=5……11分（其中，列式给2分），所以海轮继续由西向东航行没有触礁的危险……12分⒘⑴时，……1分时，……3分……5分时，……6分所以，，……7分⑵（方法一）由⑴得……8分所以……10分因为，所以……12分（或“……12分”）所求集合……13分（方法二）设，，则……10分由，得……11分由，得……12分，，，所以……13分⒙⑴是长方体，面面……1分在同一平面上，所以……2分，……3分由已知得和都是等腰直角三角形，所以……4分⑵（方法一）在平面内作，垂足为，连接……5分面，所以……6分，所以面……7分所以，是二面角的平面角……8分在中，，……9分由余弦定理得……11分，……12分所以……13分，……14分（方法二）以为原点，、、所在直线分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系……5分，则平面的一个法向量为……6分，，……7分设平面即平面的一个法向量为，则……9分，即……11分，，不妨取……12分二面角的余弦值……14分⒚⑴……3分（其中，不论是否写公式，正确代入1分，近似计算1分，比较1分）所以，能以的把握认为药物有效……4分⑵服从超几何分布……5分其中，，，1，2，3……6分，，，……10分分布列为……11分的均值（即数学期望）……13分⒛⑴设是轨迹上任意一点……1分依题意，，即……3分两边平方得，……4分化简得点的轨迹方程为……6分（未化成标准方程扣1分）⑵由⑴得、……7分设直线交轴于，根据椭圆的对称性，不妨设（），则（方法一），……9分……10分……11分，所以……12分，所以……13分在区间单调递增，所以的最大值为……14分（方法二）……8分……10分，，所以……11分，……12分所以……13分在区间单调递减，所以的最大值为……14分21．⑴……1分依题意，……2分，解得……3分⑵，时，，单调递减，无极值……4分时，由得……5分当时，当时……6分，所以在处取得极小值，极小值为……7分⑶记，则直线与曲线公共点的个数即函数零点的个数．时，，单调递减，且值域为，有一个零点……8分时，由得……9分当时，当时……10分，所以在处取得极小值，极小值为……11分当，即时，无零点……12分当，即时，有一个零点……13分当，即时，有两个零点．综上所述，或时，直线与曲线有一个公共点；时，有两个公共点；时，无公共点……14分．。
广东省江门市实验中学高三数学文模拟试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 设f(x)=x2－πx，α= arcsin，β=arctan，γ=arcos(－)，δ=arccot(－)，则(A)f(α)>f(β)>f(δ)>f(γ) (B) f(α)> f(δ)>f(β)>f(γ)(C) f(i)>f(α)>f(β)>f(γ) (D) f(δ)>f(α)>f(γ)>f(β)参考答案：B解：f(x)的对称轴为x=，易得， 0<α<<<β<<<γ<<<δ<．选B．2. 《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著,书中有如下问题:“今有女子善织,日益功,疾,初日织五尺,今一月织九匹三丈(1匹=40尺,一丈=10尺),问日益几何?”其意思为:“有一女子擅长织布,每天比前一天更加用功,织布的速度也越来越快,从第二天起,每天比前一天多织相同量的布,第一天织5尺,一月织了九匹三丈,问每天增加多少尺布?”若一个月按31天算,记该女子一个月中的第天所织布的尺数为，则的值为（）A. B. C. D.参考答案：B3. 如右图，一个直径为1的小圆沿着直径为2的大圆内壁的逆时针方向滚动，M和N是小圆的一条固定直径的两个端点。
那么，当小圆这样滚过大圆内壁的一周，点M，N在大圆内所绘出的图形大致是( )参考答案：A本题考查了轨迹的识别，体现了动态数学的特点。
立意清新，难度较大。
根据小圆与大圆半径1：2的关系，找上下左右四个点，根据这四个点的位置，小圆转半圈，刚好是大圆的四分之一，因此M点的轨迹是个大圆，而N点的轨迹是四条线，刚好是M产生的大圆的半径。
4. 已知D是中边BC上（不包括B、C点）的一动点，且满足，则的最小值为（）A. 3B.5C.6 D .4参考答案：D略5. 设集合，，则中元素的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4参考答案：A由中不等式变形得：，即由中，得解得，即则，即中元素的个数为1故答案选6. 函数y＝(0<a<1)的图象的大致形状是()参考答案：D7. 已知i是虚数单位，复数z满足，则（）A．2 B．C．D．参考答案：B由题意可得：，则：，结合复数模的运算法则可得：.本题选择B选项.8. 函数为奇函数，该函数的部分图像如图所示，分别为最高点与最低点，并且，则该函数图像的一条对称轴为( )A． B． C． D．参考答案：C 9. 在平面直角坐标系中，若两点P，Q满足条件：①P，Q都在函数y＝f（x）的图象上；②P，Q两点关于直线y＝x对称，则称点对P，Q是函数y＝f（x）的一对“和谐点对”已知函数则此函数的“和谐点对”有A、0对B、1对C、2对D、3对参考答案：C作出函数的图像，然后作出关于直线对称的图像，与函数的图像有2个不同交点，所以函数的“和谐点对”有2对．10. 下列各选项中，与最接近的数是A. B. C. D.参考答案：A略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 已知等差数列的通项公式为an=3n-2，等比数列{bn}中，b1=a1,b4=a3+1.记集合A =，B=，U—AUB，把集合U中的元素按从小到大依次排列，构成数列{c。
江门市2025届普通高中高三调研测试数学本试卷共5页，19小题，满分150分.考试时间120分钟.注意事项：1.答题前，务必将自己的姓名､准考证号填写在答题卡规定的位置上，2.做选择题时，必须用2B 铅笔将答题卷上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.3.答非选择题时，必须用黑色字迹钢笔或签字笔，将答案写在答题卡规定的位置上.4.所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上作答无效.5.考试结束后，将答题卡交回.一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1 已知集合{}{}209,010A x x B x x =∈≤≤=∈≤≤N N∣∣，则A B = （ ）A. {}09xx ≤≤∣ B. {}1,2,3 C. {}03xx ≤≤∣ D. {}0,1,2,32. 设,m n ∈R ，则“33(1)m n +=”是“22m n ”的（ ） A 充分不必要条件 B. 充要条件C. 必要不充分条件D. 既不充分又不必要条件3. 下列命题为真命题的是（ ） A. 若0a b c >>>，则a a cb b c+<+ B. 若0,0a b c >><，则c c a b< C. 0a b >>，则22ac bc > D. 若a b >，则2a ba b +>> ..4. 已知函数()e e ,2,,2,3x x x f x x f x − +≤= >则()ln27f =（ ）A.83B.103C.72827D.730275. 下列函数中，以π为周期，且在区间π,π2上单调递增的是（ ） A. sin y x = B. cos y x = C. tan y x =D. cos y x =6. 在正方形ABCD 中，,2,AE EB FC BF AF ==与DE 交于点M ，则cos EMF ∠=（ ）A.B.15C.D.1107. 金针菇采摘后会很快失去新鲜度，甚至腐烂，所以超市销售金针菇时需要采取保鲜膜封闭保存.已知金针菇失去的新鲜度h 与其来摘后时间t （天）满足的函数解析式为()()ln 0h m t a a =+>.若采摘后1天，金针菇失去的新鲜度为40%；若采摘后3天，金针菇失去的新鲜度为80%.现在金针菇失去的新鲜度为60%，则采摘后的天数为（ ）1.41≈） A. 1.5B. 1.8C. 2.0D. 2.18. 已知各项都为正数的数列{aa nn }满足121,2a a ==，()2212123,n n n n n n a a a a a a n n −−−−+−−>≥∈N ，则下列结论中一定正确的是（ ） A. 8124a > B. 201024a > C. 8124a <D. 201204a <二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9. 若函数()2()f x x x c =−在1x =处取得极大值，则（ ） A. 1c =，或3c =B. ()10xf x +<的解集为()1,0− C 当π02x <<时，()()2cos cos f x f x > D. ()()224f x f x ++−=.10. 在ABC 中，1AB =，4AC =，BC =，点D 在边BC 上，AD 为BAC ∠的角平分线，点E 为AC 中点，则（ ） A. ABCB. BA CA ⋅C. BE =D. AD =11. 已知()()22sin cos nnn f x x x n +=+∈N ，则（ ） A. ()2f x 的最小正周期为π2B. ()2f x 的图象关于点()π,0Z 28k k+∈对称 C. ()n f x 的图象关于直线π2x =对称 D.()1112n n f x −≤≤ 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12. 函数()ln f x x x =⋅的单调递减区间为______．13. 已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，当0x ≥时，()()sin 1cos f x x x =+，则当0x <时，()f x =__________.14. 已知0,0a b >≠，且4a b +=，则48b a b++的最小值为__________. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15. 已知角α的顶点与原点O 重合，始边与x 轴的非负半轴重合，它的终边过点()4,3P −. （1）求sin2α的值；（2）若角β满足()5sin 13αβ+=，求cos β的值. 16. 已知数列{}n a 前n 项和为n S ，且()1344n n S n ++=−∈N .（1）证明：数列{}2log n a 为等差数列； （2）记数列{}2log n a 的前n 项和为n T ，若1231111100101n T T T T ++++< ，求满足条件的最大整数n . 17. 已知ABC 的三个内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且4,3==a c b ，记ABC 的面积为S ，内的切圆半径为r ，外接圆半径为R . （1）若b =，求sin A ；（2）记()12pa b c =++，证明：S r p =； （3）求rR 的取值范围： 18 设函数()()()1ln ,10f x x g x x x==−>. （1）求()f x 在1x =处的切线方程； （2）证明：()()f x g x ≥：（3）若方程()()af x g x =有两个实根，求实数a 的取值范围，19. 如果定义域为[]0,1的函数()f x 同时满足以下三个条件：（1）对任意的[]0,1x ∈，总有()0f x ≥；（2）()11f =；（3）当120,0x x ≥≥，且121x x +≤时，()()()1212f x x f x f x +≥+恒成立.则称()f x 为“友谊函数”.请解答下列问题：（1）已知()f x 为“友谊函数”，求()0f 的值；（2）判断函数()[]()310,1xg x x x =−−∈是否为“友谊函数”？并说明理由；（3）已知()f x 为“友谊函数”，存在[]00,1x ∈，使得()[]00,1f x ∈，且()()0f f x x=，证明：()00f x x =..江门市2025届普通高中高三调研测试数学本试卷共5页，19小题，满分150分.考试时间120分钟.注意事项：1.答题前，务必将自己的姓名､准考证号填写在答题卡规定的位置上，2.做选择题时，必须用2B 铅笔将答题卷上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.3.答非选择题时，必须用黑色字迹钢笔或签字笔，将答案写在答题卡规定的位置上.4.所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上作答无效.5.考试结束后，将答题卡交回.一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合{}{}209,010A x x B x x =∈≤≤=∈≤≤N N∣∣，则A B = （ ）A. {}09xx ≤≤∣ B. {}1,2,3 C. {}03xx ≤≤∣ D. {}0,1,2,3【答案】D 【解析】【分析】根据题意求集合,A B ，集合交集运算求解.【详解】由题意可得：{}{}2090,1,2,3A x x =∈≤≤=N∣， {}{}0100,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10B x x =∈≤≤=N ∣，所以{}0,1,2,3A B ∩=. 故选：D .2. 设,m n ∈R ，则“33(1)m n +=”是“22m n ”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 充要条件C. 必要不充分条件D. 既不充分又不必要条件【答案】A 【解析】【分析】根据充分、必要条件的判定方法进行判断. 【详解】由()331m n +=⇒1m n +=⇒122m n +=，又122m m +<，所以22m n <，故“33(1)m n +=”是“22m n <”的充分条件； 又若22m n <，如0m =，2n =，此时33(1)m n +=不成立， 所以“33(1)m n +=”是“22m n <”的不必要条件. 综上：“33(1)m n +=”是“22m n <”充分不必要条件. 故选：A3. 下列命题为真命题的是（ ） A. 若0a b c >>>，则a a cb b c+<+ B. 若0,0a b c >><，则c c a b< C. 0a b >>，则22ac bc > D. 若a b >，则2a ba b +>> 【答案】D 【解析】【分析】根据不等式的性质作差法比较大小或取特殊值判断，即可得出结果. 【详解】对于A ，()()()()()a b c b a c c a b a a c b b cb bc b b c +−+−+−==+++， 因0a b c >>>，所以()0,0a b b b c −>+>，所以()()0c a b a a c b b c b b c −+−=>++，即a a cb b c+>+，故A 错误；对于B ，因为0a b >>，所以11a b<， 又0c <，所以c ca b>，故B 错误； 对于C ，当0c =时，220ac bc ==，故C 错误；对于D ，若a b >，则2,2a a b a b b >++>，的为所以2a ba b +>>，故D 正确. 故选：D.4. 已知函数()e e ,2,,2,3x x x f x x f x − +≤= >则()ln27f =（ ）A.83B.103C.72827D.73027【答案】B 【解析】【分析】利用对数的运算性质计算可得答案. 【详解】因为21ln e ln 3ln e 2=<<=所以3ln27ln 33ln 33==>，又因为()e e ,2,23x x x f x x f x − +≤ =>， 所以()()1ln ln3ln33ln273ln3110ln27ln3e e 3e 33333f f f f − ====+=+=+=. 故选：B.5. 下列函数中，以π为周期，且在区间π,π2上单调递增的是（ ） A. sin y x = B. cos y x = C. tan y x = D. cos y x =【答案】D 【解析】【分析】先判断各函数的最小正周期，再确定各函数在区间上的单调性，即可选择判断． 【详解】对于A ：由sin 1s 1π3π2in 2−−==−，，可知π不是其周期，（也可说明其不是周期函数）故错误； 对于B ：()cos ,0cos ,0coscos cos ,0cos ,0x x x x yx x x x x x ≥≥ === −<< ，其最小正周期为2π，故错误； 对于C ：tan y x =满足()tan tan x x π+=，以π为周期，当π,π2x∈时，tan tan y x x ==−，由正切函数的单调性可知tan tan y x x ==−在区间π,π2 上单调递减，故错误；对于D ，cos y x =满足()cos πcos x x +=，以π为周期， 当π,π2x∈时，cos cos y x x ==−，由余弦函数的单调性可知，cos y x =−在区间π,π2 上单调递增，故正确； 故选:D6. 在正方形ABCD 中，,2,AE EB FC BF AF ==与DE 交于点M ，则cos EMF ∠=（ ）A.B.15C.D.110【答案】C 【解析】【分析】建立平面直角坐标系，利用向量的坐标计算夹角的余弦值即可.【详解】建立平面直角坐标系，设正方形ABCD 棱长为2，因为,2AE EB FC BF == ，则()0,1E ，()0,2A ，()2,2D ，2,03F， 所以2,23AF=−，()2,1DE =−−，所以cos cos ,EMFAF DE ∠== .故选：C的7. 金针菇采摘后会很快失去新鲜度，甚至腐烂，所以超市销售金针菇时需要采取保鲜膜封闭保存.已知金针菇失去的新鲜度h 与其来摘后时间t （天）满足的函数解析式为()()ln 0h m t a a =+>.若采摘后1天，金针菇失去的新鲜度为40%；若采摘后3天，金针菇失去的新鲜度为80%.现在金针菇失去的新鲜度为60%，则采摘后的天数为（ ）1.41≈） A. 1.5 B. 1.8C. 2.0D. 2.1【答案】B 【解析】【分析】根据已知条件得到两个等式，两个等式相除求出a 的值，再根据两个等式相除可求得结果.【详解】由题可得()()ln 10.4ln 30.8m a m a +=+=，两式相除可得()()ln 32ln 1a a +=+， 则()()ln 32ln 1a a +=+，()231a a +=+，∵0a >，解得1a =，设t 天后金针菇失去的新鲜度为60%，则()ln 10.6m t +=，又()110.4mln +=， ∴()ln 13ln 22t +=，()2ln 13ln 2t +=，()23128t +==，12 1.41 2.82t +==×=， 则 2.821 1.82 1.8t =−=≈， 故选：B.8. 已知各项都为正数数列{aa nn }满足121,2a a ==，()2212123,n n n n n n a a a a a a n n −−−−+−−>≥∈N ，则下列结论中一定正确的是（ ） A. 8124a > B. 201024a > C. 8124a < D. 201204a <【答案】B 【解析】【分析】由()2212123,n n n n n n a a a a a a n n −−−−+−−>≥∈N 得()()1120n n n n n a a a a a −−− +−+> ，由题意，12n n n a a a −−>+，根据递推公式可验证B ，通过对3a 赋值，可验证ACD.【详解】由()2212123,n n n n n n a a a a a a n n −−−−+−−>≥∈N ，的得()()1120n n n n n a a a a a −−− +−+> ， 因为数列{aa nn }各项都为正数，所以10n n a a −>+，故()120n n n a a a −−−+>，即12n n n a a a −−>+，所以321213a a a >+=+=，对于A ，设34a =，则432426a a a >+=+=， 设47a =，则5437411a a a >+=+=， 设512a =，则65412719a a a >+=+=， 设620a =，则765201232a a a >+=+=， 设733a =，则876332053a a a >+=+=， 则8a 可以为54124<，故A 错误；对于B ，432325a a a >+>+>，543538a a a >+>+>，6548513a a a >+>+>，76513821a a a >+>+>， 876211334a a a >+>+>， 987342155a a a >+>+>， 1098553489a a a >+>+>，111098955144a a a >+>+>， 12111014489233a a a >+>+>，131211233144377a a a >+>+>， 141312377233610a a a >+>+>，151413610377987a a a >+>+>， 1615149876101597a a a >+>+>，17161515979872584a a a >+>+>， 181716258415974181a a a >+>+>，191817418125846765a a a >+>+>，20191867654184109461024a a a >+>+>>，故B 正确；对于C ，若3124a =， 由于12n n n a a a −−>+，则8124a >，故C 错误； 对于D ，若31024a =， 由于12n n n a a a −−>+，则201024a >，故D 错误； 故选：B二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9. 若函数()2()f x x x c =−在1x =处取得极大值，则（ ） A. 1c =，或3c =B. ()10xf x +<的解集为()1,0−C. 当π02x <<时，()()2cos cos f x f x > D. ()()224f x f x ++−=【答案】BCD 【解析】【分析】A 选项，由题可得()10f ′=，据此得c 的可能值，验证后可判断选项正误；B 选项，由A 分析，可得()1xf x +表达式，解相应不等式可判断选项正误；C 选项，由A 分析结合cos x ，2cos x 大小关系可判断选项正误；D 选项，由A 分析，验证等式是否成立可判断选项正误.【详解】A 选项，由题()3222f x x cx c x =−+，则()2234f x x cx c =−+′， 因在1x =处取得极大值，则()214301f c c c +′=−=⇒=或3c =.当1c =时，()2341f x x x ′=−+，令()()10,1,3f x x ∞∞ >⇒∈−∪+ ′；()10,13f x x <⇒∈′.则()f x 在()1,1,3∞∞−+ ，上单调递增，在1,13上单调递减，则()f x 在1x =处取得极小值，不合题意；当3c =时，()23129f x x x =−+′，令()()()0,13,f x x ∞∞>⇒∈−∪+′；()()01,3f x x <⇒∈′.则()f x 在()(),13,∞∞−+，上单调递增，在()1,3上单调递减，则()f x 在1x =处取得极大值，满足题意；则3c =，故A 错误；B 选项，由A 可知，()()23f x x x =−，则()()()()()21120101,0xf x x x x x x x +=+−<⇒+<⇒∈−.故B 正确； C 选项，当π02x <<，则，则2cos cos x x <，由A 分析，()f x 在(0,1)上单调递增， 则()()2cos cos f x f x >，故C 正确；D 选项，令22x m x n +=−=，，由A 可知，()3269f x x x x =−+.则()()()()22f x f x f m f n ++−=+()()()()32322222696969m m m n n n m n m mn n m n m n =−++−+=+−+−+++，又4m n+=，则()()()()22242363624f m f n mn m n m n +=−−++=−+=，故D 正确. 故选：BCD10. 在ABC 中，1AB =，4AC =，BC =，点D 在边BC 上，AD 为BAC ∠的角平分线，点E 为AC 中点，则（ ） A. ABCB. BA CA ⋅C. BE =D. AD =【答案】ACD 【解析】【分析】根据余弦定理可得π3A ∠=，进而可得面积判断A ，再结合向量的线性运算及向量数量积可判断BC ，根据三角形面积及角分线的性质可判断D.【详解】如图所示，由余弦定理可知222116131cos 22142AB AC BC BAC AB AC +−+−∠===⋅××， 而BAC ∠为三角形内角，故π3BAC ∠=，sin BAC ∠， 所以ABC面积11sin 1422S AB AC BAC =⋅⋅∠=××=A 选项正确； 1cos 1422BA CA AB AC AB AC BAC ⋅=⋅=⋅⋅∠=××= ，B 选项错误；由点E 为AC 中点，则12BE AE AB AC AB =−=− ， 所以222211412324BE AC AB AC AB AB AC =−=+−⋅=+−=，则BE = ，C 选项正确；由AD 为BAC ∠的角平分线，则π6BAD CAD ∠=∠=，所以1sin sin 2S AB AD BAD AC AD CAD =⋅⋅∠+⋅⋅∠，111151422224AD AD AD =××+××=，则AD =D 选项正确； 故选：ACD.11. 已知()()22sin cos nnn f x x x n +=+∈N ，则（ ） A. ()2f x 的最小正周期为π2B. ()2f x 的图象关于点()π,0Z 28k k+∈对称 C. ()n f x 的图象关于直线π2x =对称 D.()1112n n f x −≤≤ 【答案】ACD 【解析】【分析】用函数对称性的定义及函数周期性的定义可判断ABC 选项的正误；利用导数法可判断D 选项的正误.【详解】()2442222221()sin cos sin cos 2sin cos 1sin 22f x x x x x x x x =+=+−=−11cos 43cos 41224x x −+=−×=，所以()f x 的最小正周期为2ππ=42T =，故A 正确； 令π4π2xk =+，可得ππ,Z 84k x k =+∈,所以()2f x 的图象关于点()ππ3,Z 484k k+∈对称，故B 错误； 对于C ： ()()()()()2222sin cos sin cos nnnnf x x x x x πππ −=−+−=+−()22sin cos n n x x f x =+=，所以函数()f x 的图象关于直线π2x =对称，C 对； 对于D: ，因为()()2222sin cos cos sin 222nnnnf x x x x x πππ+=+++=+−()22sin cos n n x x f x =+=，所以，函数()f x 为周期函数，且π2是函数()f x 的一个周期， 只需求出函数()f x 在0,2π上的值域，即为函数()f x 在R 上的值域， ()22sin cos n n f x x x =+ ，则()()212122222sin cos 2cos sin 2sin cos sin cos n n n n f x n x x n x x n x x x x −−−−−′−=，当,42x ππ∈时，0cos sin 1x x <<<<， 因为2n ≥且k ∗∈N ，则222n −≥，故2222sin cos n n x x −−>，此时ff ′(xx )>0，所以，函数()f x 在ππ,42上单调递增，当0,4x π∈时，0sin cos 1x x <<<<， 因为2k ≥且k ∗∈N ，则222n −≥，故2222sin cos n n x x −−<，此时ff ′(xx )<0，所以，函数()f x 在0,4π上单调递减，所以，当π0,2 ∈ x 时，()1min π112422n n f x f − ==×=， 又因为()π012f f ==，则()max 1f x =， 因此，函数()f x 的值域为11,12n −，D 对.故选：ACD三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12. 函数()ln f x x x =⋅的单调递减区间为______． 【答案】10,e##(10,e − 【解析】【分析】利用导数求得()f x 的单调递减区间.【详解】函数的定义域为()0,∞+，∵()ln 1f x x ′=+，令ln 10x +≤得10ex <≤， ∴函数()ln f x x x =⋅的单调递减区间是10,e．故答案为：10,e13. 已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，当0x ≥时，()()sin 1cos f x x x =+，则当0x <时，()f x =__________.【答案】()sin 1cos x x −+ 【解析】【分析】根据函数的奇偶性与三角函数的奇偶性求解即可.【详解】因为当0x ≥时，()()sin 1cos f x x x =+， 所以当0x <时，则0x −>，所以()()()()sin 1cos sin 1cos f x x x x x −=−+−=−+ ， 又函数()f x 是定义在R 上的偶函数，所以()()()sin 1cos f x f x x x =−=−+. 故答案为：()sin 1cos x x −+.14. 已知0,0a b >≠，且4a b +=，则48b a b++的最小值为__________.【答案】2+. 【解析】【分析】先将所求式子化简4848b b a b a b b ++=++，再根据基本不等式得到48a b+的最小值，则可判断当0b <，求得最小值.【详解】根据题意：4848b b a b a b b++=++， 若0b >，则1||b b =， 若0b >，则1||=−b b ， 因为0,0a b >≠，则||0b >，481482()()34b a a b a b a b a b +=++=++33≥++当且仅当2b aab=即1),4(2a b =−=−时取等号;则当0b <时，48481b a b a b++=+−的最小值是312+−=+当且仅当1),2)a b =−=−时取等号.故答案为：2+.四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15. 已知角α的顶点与原点O 重合，始边与x 轴的非负半轴重合，它的终边过点()4,3P −. （1）求sin2α的值；（2）若角β满足()5sin 13αβ+=，求cos β的值. 【答案】（1）2425−（2）3365或6365− 【解析】【分析】（1）根据三角函数的定义，求三角函数值，再根据二倍角公式，即可求解；（2）利用角的变换()cos cos βαβα=+− ，再结合两角差的余弦公式，即可求解.【小问1详解】由题意可知，()4,3P −，则=5r ， 则3sin 5α=−，4cos 5α=， 24sin 22sin cos 25ααα==−；【小问2详解】()5sin 13αβ+=，所以()12cos 13αβ+=±， 所以()()()cos cos cos cos sin sin βαβααβααβα=+−=+++ ，当()12cos 13αβ+=，所以1245333cos 13513565β =×+×−= ，当()12cos 13αβ+=−，所以1245363cos 13513565β=−×+×−=−， 综上可知，cos β的值为3365或6365− 16. 已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且()1344n n S n ++=−∈N .（1）证明：数列{}2log n a 为等差数列； （2）记数列{}2log n a 的前n 项和为n T ，若1231111100101n T T T T ++++< ，求满足条件的最大整数n . 【答案】（1）证明见解析 （2）99 【解析】【分析】（1）利用退一相减法可得n a 及2log n a ，即可得证；（2）根据等差数列求和公式可得()1n T n n =+，则()111111n T n n n n ==−++，利用裂项相消法可得1231111111n T T T T n ++++=−+ ，解不等式即可. 【小问1详解】由已知1344n n S +=−，当1n =时，211334412a S ==−=，即14a =；当2n ≥时，1344nn S −=−， 则11333444434n n n n n n a S S +−=−=−−+=⋅，即4n n a =，又1n =时，14a =满足4nn a =，所以242n nna ==， 设222log log 22nn n b a n ===，()12122n n b b n n +−=+−=， 即数列{bb nn }为等差数列，即数列{}2log n a 为以2为首项2为公差的等差数列； 【小问2详解】 由等差数列可知()()()122122n nb b n n nT n n ++===+，则()111111n T n n n n ==−++， 所以1231111n T T T T ++++ 1111112231n n =−+−++−+ 11n 1=−+，即110011101n −<+，N n +∈， 解得100n <，即满足条件的最大整数99n =.17. 已知ABC 的三个内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且4,3==a c b ，记ABC 的面积为S ，内切圆半径为r ，外接圆半径为R . （1）若b =，求sin A ；（2）记()12pa b c =++，证明：S r p =； （3）求rR 取值范围： 【答案】（1（2）证明见解析 （3）3,24【解析】【分析】（1）利用余弦定理求得cos A ，进而求得sin A . （2）根据三角形的面积公式证得结论成立.（3）用b 表示rR ，然后利用导数求得rR 的取值范围. 【小问1详解】 ∵4a =,b =,c =,由余弦定理，得2221cos 23b c a A bc +−== ，∵0πA <<,sin A ∴.【小问2详解】∵ABC 的面积为S ,内切圆半径为r ，的∴()11112222S a r b r c r a b c r =×+×+×=++, 又∵1()2pa b c =++,∴S pr =，∴S r p =.【小问3详解】 由正弦定理得2sin aR A=,得2sin 2sin 42sin R A A a A ===, 因为4a =,3c b =， 由（2）得1(43)(22)2S pr r b b b r ==++=+， 又因为213sin sin 22b S bc A A ==×，所以23sin 4(1)b A r b =+, 所以2321b Rr b =×+, 由3443b b b b +>+>,解得12b <<, 令23()(12)2(1)b f b b b =<<+，()()()232021b b f b b +=>+′， 则()f b 在(1,2)上单调递增, 所以()243f b <<, 故rR 的取值范围为3,24. 18. 设函数()()()1ln ,10f x x g x x x==−>. （1）求()f x 在1x =处的切线方程； （2）证明：()()f x g x ≥：（3）若方程()()af x g x =有两个实根，求实数a 的取值范围，【答案】（1）10x y −−=（2）证明见解析 （3）(0,1)(1,)∪+∞ 【解析】【分析】（1）根据切点和斜率求得切线方程. （2）利用构造函数法，结合导数证得不等式成立.（3）利用构造函数法，结合导数以及对a 进行分类讨论来求得a 的取值范围. 【小问1详解】 1()f x x′=，则(1)1,(1)0k f f ===′.()f x ∴在1x =处的切线方程为1y x =−，即10x y −−=. 【小问2详解】 令1()()()ln 1,(0,)h x f x g x x x x∞=−=+−∈+ 22111()x h x x x x −′=−=.令21()0x h x x ′−==，解得1x =. 01,()0x h x ′∴<<<；1,()0x h x ′>>.()h x 在(0,1)上单调递减，在(1,)+∞上单调递增.()(1)0h x h ≥=，即()()f x g x ≥.【小问3详解】令1()()()ln 1,(0,)m x f x g x a x x x∞=−=+−∈+， 问题转化为()m x 在(0,)+∞上有两个零点.2211()a ax m x x x x−=−=′.①当0a ≤时，()0m x ′<，()m x 在(0,)+∞递减，()m x 至多只有一个零点，不符合要求.②当0a >时， 令()0m x ′=，解得1x a= 当10x a<<时，()0m x ′<，()m x 递减； 当1x a>时，()0m x ′>，()m x 递增. 所以11()ln 1ln 1m x m a a a a a a a≥=+−=−−.当1a =时，1(1)0m m a==，()m x 只有一个零点，不合题意. 令()ln 1,()ln a a a a a a ϕϕ′=−−=−， 当01a <<时，()ln 0ϕ′=−>a a ， 所以()a φ在(0,1)递增，()(1)0a ϕϕ<=. 由于1(1)0,()0m m a a φ ==< ，111111(e )ln e 10e e a a a am a =+−=>， 111,e a x a ∴∃∈，使得1()0m x =， 故01a <<满足条件.当1a >时，()ln 0a a ϕ′=−<， 所以()a φ在(1,)+∞递减，()(1)0a φφ<=. 由于1(1)0,()0m m a a φ==< ，21(e )ln e 1e 10ea a a a m a a −−−+−−−> 21e ,a x a − ∴∃∈，使得2()0m x =， 故1a >满足条件.综上所述：实数a 的取值范围为(0,1)(1,)∪+∞.【点睛】关键点点睛：本题的解题过程中，需通过导数分析函数的性质，并将问题转化为函数零点的讨论，充分体现了数学思想方法的应用．在解题时，要特别注意导数符号的变化对函数单调性的影响，确保分类讨论的全面性和严谨性．19. 如果定义域为[]0,1的函数()f x 同时满足以下三个条件：（1）对任意的[]0,1x ∈，总有()0f x ≥；（2）()11f =；（3）当120,0x x ≥≥，且121x x +≤时，()()()1212f x x f x f x +≥+恒成立.则称()f x 为“友谊函数”.请解答下列问题：（1）已知()f x 为“友谊函数”，求()0f 的值；（2）判断函数()[]()310,1x g x x x =−−∈是否为“友谊函数”？并说明理由； （3）已知()f x 为“友谊函数”，存在[]00,1x ∈，使得()[]00,1f x ∈，且()()00f f x x =，证明：()00f x x =.【答案】（1）()00f =（2）是，理由见解析.（3）证明见解析.【解析】【分析】（1）结合条件，利用“赋值法”可求函数值. （2）根据给出的条件，逐一验证即可.（3）先判断函数的单调性，结合反证法进行证明.【小问1详解】由条件（1）可知：()00f ≥；结合条件（3），令120x x ==，则()()020f f ≥⇒()00f ≤. 所以：()00f =.【小问2详解】函数()[]()310,1x g x x x =−−∈是“友谊函数”.理由如下： 对条件（1）：因为()00g =，()3ln 31xg x ′=−，当[]0,1x ∈时，()0g x ′>，所以()g x 在[0,1]上单调递增，所以()0g x ≥，[]0,1x ∈.对条件（2）：()13111g =−−=.对条件（3）：设120,0x x ≥≥，且121x x +≤，则： ()()()1212g x x g x g x +−+()()()12121212313131x x x x x x x x + −+−−−−−−− 12123331x x x x +=−−+()()123131x x =−−0≥. 所以：()()()1212g x x g x g x +≥+.综上可知：函数()[]()310,1x g x x x =−−∈是“友谊函数”. 【小问3详解】设1201x x ≤<≤且121x x +≤，则210x x −>， 所以()()()()211211f x f x f x x x f x −=+−− ()()()1211f x f x x f x ≥+−−()21f x x −0≥所以函数()f x 在[0,1]上单调递增. 下面用反证法证明：()00f x x =. 假设()00f x x ≠，则()00f x x >或()00f x x <.若()00f x x >，则()()000f x f f x x <=，这与()00f x x >矛盾； 若()00f x x <，则()()000f x f f x x >=，这与()00f x x <矛盾. 故假设不成立，所以()00f x x =.【点睛】方法点睛：对于抽象函数的问题，“赋值法”是解决问题的突破口.合理赋值是解决问题的突破口.。
绝密★启用前 试卷类型：A2013---2014年汕头市高三年级期末调研考试数学（理科） 2014.1本试卷共6页，21小题，满分150分．考试用时120分钟．注意事项：1．答卷前，考生首先检查答题卡是否整洁无缺损，监考教师分发的考生信息条形码是否正确；之后务必用0.5毫米黑色字迹的签字笔在答题卡指定位置填写自己的学校、姓名和考生号，同时，将监考教师发放的条形码正向准确粘贴在答题卡的贴条形码区，请保持条形码整洁、不污损．2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，答案不能答在试卷上．不按要求填涂的，答案无效．3．非选择题必须用0.5毫米黑色字迹的签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上，请注意每题答题空间，预先合理安排；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效． 4．作答选做题时，请先用2B 铅笔填涂选做题的题号对应的信息点，再做答．漏涂、错涂、多涂的答案无效．5．考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，将答题卡交回． 参考公式：① 体积公式：13V S h V S h =⋅=⋅柱体锥体，，其中,,V S h 分别是体积、底面积和高；② 独立性检验中的随机变量：22n ad bc K a b c d a c b d -=++++()()()()()，其中n a b c d =+++为样本容量．一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合{0,1}A =，{1,0,3}B a =-+，且A B ⊆，则a 等于 A.1 B.0 C.2- D.3-2．下列给出的定义在R 上的函数中，既不是奇函数也不是偶函数的是A ．2xy = B.2y x x =- C.x x x f sin )(3-= D.xx ee xf --=)(3. 已知21,e e 是不共线向量，212e e a+=，21e e b -=λ，当a ∥b 时，实数λ等于A .1-B .0C . 21-D . 2-4. 三棱柱的侧棱与底面垂直，且底面是边长为2的等边三角形， 其正视 图(如图所示)的面积为8，则侧视图的面积为( )A. 8B. 4C.5．已知等比数列}{n a 的公比为2，且531=+a a ，则42a a +的值为 ( ) A ．10B ．15C ．20D ．256．已知函数①x x y cos sin +=，②x x y cos sin 22=，则下列结论正确的是（ ）A ．两个函数的图象均关于点(,0)4π-成中心对称 B ．两个函数的图象均关于直线4x π=-对称C ．两个函数在区间(,)44ππ-上都是单调递增函数D ．可以将函数②的图像向左平移4π个单位得到函数①的图像7．若实数a,b 满足0,0,a b ≥≥且0ab =,则称a 与b 互补,记(,),a b a b ϕ=--,那么(),0a b ϕ=是a 与b 互补的（ ）A ．必要而不充分的条件B ．充分而不必要的条件C ．充要条件D ．即不充分也不必要的条件8. 两人进行乒乓球比赛,先赢三局着获胜,决出胜负为止,则所有可能出现的情形(各人输赢 局次的不同视为不同情形)共有（ ） A ．10种 B ．15种 C ．20种 D ．30种 二、填空题：（本大共6小题,每小题5分,共30分,把答案填在答题卡的相应位置．） （一）必做题（9-13题） 9.复数ii++121的虚部为___________________. 10.计算=-++10lg 333log 120tan 33ln 0e.11．定义某种运算⊗，a b ⊗的运算原理如右图所示. 设()(0)(2)f x x x x =⊗-⊗.则(2)f =___ ___.12．设6sin (a xdx,π=⎰则二项式的展开式中含有2x 的项于 . 13．设实数x ，y 满足约束条件2220,20,220,x y x y x y x y ⎧-≤⎪-≥⎨⎪+--≤⎩，则目标函数z x y =+的最大值 正视图为 .（二）选做题（14—15题，考生只能从中选做一题）14. (坐标系与参数方程选做题)如图所示的极坐标系中,以)6,4(πM 为圆心,半径1=r 的圆M 的极坐标方程是 .15．（几何证明选讲选做题）已知PA 是圆O 的切线，切点为A ，2=PA ．AC 是圆O 的直径，PC 与圆O 交于点B ，1=PB ， 则圆O 的半径=R ． 三、解答题：本大题共6小题，共75分。
江门市2024届普通高中高三调研测试数学本试卷共5页，22小题，满分150分，测试用时120分钟。
注意事项：1.答题前，务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上。
2.做选择题时，必须用2B 铅笔将答题卷上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。
3.答非选择题时，必须用黑色字迹钢笔或签字笔，将答案写在答题卡规定的位置上。
4.所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上作答无效。
5.考试结束后，将答题卡交回。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合{A x x =>，{}23B x N x =∈≤，则A B = （）A.{}3x x <≤B.{}1,0,1- C.{}0,1,2 D.{}0,12.“240b ac -<”是“关于x 的不等式()200ax bx c a ++>≠的解集为R ”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.不充分不必要条件3.已知()ln 0aa >与()ln 0b b >互为相反数，则（）A.0a b +=B.0a b -= C.1ab = D.1ab=4.若函数()221f x x kx =-+在[]3,5上单调递增，则实数k 的取值范围为（）A.(],3-∞ B.[]3,5 C.[)5,+∞ D.[)3,+∞5.函数()1ln f x x x=-的零点所在的区间是（）A.()1,2 B.()2,e C.(),3e D.()3,46.若曲线2a xy e =在点()0,1处的切线与直线210x y ++=垂直，则a =（）A.2- B.1- C.1D.27.气象台A 在早上8:00观测到一台风，台风中心在气象台A 正西方向处，它正向东北方向移动，移动速度的大小为40km/h ；距离台风中心以内的地区都将受到影响.若台风中心的这种移动趋势不变，该气象台受到台风影响的时段为（）A.12:00-17:00B.13:00-18:00C.13:00-17:00D.14:00-18:008.北宋著名文学家苏轼的诗词“日啖荔枝三百颗，不辞长作岭南人”，描述的是我国岭南地区著名的水果荔枝.为了利用数学模型预测估计某果园的荔枝产量，现根据在果实成熟期，荔枝的日产量呈现“先递增后递减”的规律和该果园的历史观测数据，对该果园的荔枝日产量给出模型假设：前10天的每日产量可以看作是前一日产量的2倍还多1个单位；第11到15天，日产量与前日持平；从第16天起，日产量刚好是前一天的一半，直到第25天，若第1天的日产量为1个单位，请问该果园在不计损耗的情况下，估计这25天一共可以收获荔枝单位个数为（精确到整数位，参考数据：1021024=）（）A.8173B.9195C.7150D.7151二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
江门市2015届普通高中高三调研测试数 学（文科）本试卷共4页，21题，满分150分，测试用时120分钟． 注意事项：⒈答题前，考生务必把自己的姓名、考生号等填写在答题卡相应的位置上。
⒉做选择题时，必须用2B 铅笔把答题卷上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。
⒊非选择题必须使用黑色字迹钢笔或签字笔，将答案写在答题卡规定的位置上。
⒋所有题目必须在答题卡上指定位置作答，不按以上要求作答的答案无效。
⒌考生必须保持答题卡的整洁。
考试结束后，将答题卡交回。
参考公式：锥体的体积公式Sh V 31=，其中S 是锥体的底面积，h 是锥体的高．一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．⒈设{}054|2=--=x x x A ，{} 5 , 4 , 3 , 2 , 1 =B ，则=B AA ．{} 1B ．{} 5C ．{} 5 , 1D ．φ ⒉=311sinπA ．23 B ．23- C ．21 D ．21-⒊已知 i 是虚数单位，若复数bi a Z +=（a ，R b ∈）在复平面内对应的点位于第四象限，则复数 i Z ⋅在复平面内对应的点位于A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 ⒋双曲线14491622=-y x 的离心率=e A ．1625 B ．925 C ．45 D ．35⒌将正弦曲线x y sin =上所有的点横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，所得曲线对应的函数的最小正周期=TA ．πB ．π2C ．π4D ．2π ⒍已知{}n a 是等比数列，11=a ，23=a ，则=2a A ．23B ．2C ．2或2-D ．以上都不对秘密★启用前 试卷类型：A图1 图2⒎函数1221)(+-=xx f 在其定义域上是A ．单调递增的奇函数B ．单调递增的减函数C ．偶函数且在) , 0(∞+上单调递增D ．偶函数且在) , 0(∞+上单调递减 ⒏直线 l 经过点)4 , 3(-P 且与圆2522=+y x 相切，则直线 l 的方程是 A ．)3(344+-=-x y B ．)3(434+=-x yC ．)3(344--=+x yD ．)3(434-=+x y ⒐某三棱锥的三视图如图1所示，这个三棱锥最长棱 的棱长是A ．1B ．2C ．3D ．2⒑已知函数⎪⎩⎪⎨⎧>≤=. , ln ,, )(2e x x e x ax x f ，其中e 是自然对数的底数，若直线2=y 与函数)(x f y =的图象有三个交点，则常数a 的取值范围是A ．)2 , (-∞B ．]2 , (-∞C ．) , 2(2∞+-eD ．) , 2[2∞+-e二、填空题：本大题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，满分20分． (一)必做题（11～13题）⒒抛物线y x 22=的准线方程为 ．⒓若变量x ，y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤≥+≤22x y x x y ，则y x z 2-=的最小值为 ．⒔已知定义在区间) 0 , (π-上的函数x x x x f cos sin )(+=，则)(x f 的单调递减区间是 ．(二)选做题（14、15题，考生只能从中选做一题） ⒕如图2，正方体的底面与正四面体的底面在同一平面α上，且棱AB 所在的直线与棱CD 所在的直线互相平行，正方体的六个面所在的平面与直线CE 、EF 相交的平面个数分别记为m ，n ，那么=m ；=n ．⒖若函数)(x f 满足条件：①R x ∈∀，0)(>x f ；②R x x ∈∀21 , ，)()()(2121x f x f x x f =+；③1)2(<f ．则⑴=)(x f ；（写出一个满足条件的函数即可） ⑵根据⑴所填函数)(x f ，=-)1(f ．三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． ⒗（本小题满分12分）已知函数)4sin()(π+=x A x f ，R x ∈，且1)0(=f ．⑴求A 的值；⑵若51)(-=αf ，α是第二象限角，求αcos ．⒘（本小题满分14分）如图3，AB 是⊙O 的直径，PA 垂直于⊙O 所在的平面，C 是圆周上不同于A 、B 的一点．⑴求证：平面PAC ⊥平面PBC ；⑵若PA=AB=2，∠ABC=30°，求三棱锥P -ABC 的体积．⒙（本小题满分14分）设数列{}n a 、{}n b 满足：)1()1(2+-=n a n n ，1++=n n n a a b ，*∈N n ．⑴求1a 的值；⑵求数列{}n b 的通项公式；⑶求数列{}n a 的前100项和100S 的值．⒚（本小题满分12分）某农户建造一间背面靠墙的小房，已知墙面与地面垂直，房屋所占地面是面积为12 m 2的矩形，房屋正面每平方米的造价．．．．．．．为1200元，房屋侧面每平方米的造价．．．．．．．为800元，屋顶的造价为5200元．如果墙高为3 m ，且不计房屋背面和地面的费用，问怎样设计房屋能使总造价最低？最低总造价是多少？⒛（本小题满分14分）在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C 的焦点为)0 , 4(1-F 、)0 , 4(2F ，且经过点) 1 , 3(P ．⑴求椭圆C 的标准方程； ⑵若点M 在椭圆C 上，且2121PF PF λ+=，求λ的值．21．（本小题满分14分）已知函数12)(23-++=x x ax x f （R a ∈）． ⑴求曲线)(x f y =在点) )0( , 0 (f 处的切线方程；⑵是否存在常数a ，使得] 4 , 2 [-∈∀x ，3)(≤x f 恒成立？若存在，求常数a 的值或取值范围；若不存在，请说明理由．评分参考一、选择题 BBADC CABCD二、填空题⒒21-=y （或等价方程） ⒓2- ⒔) 0 , 2(π-（或) 0 , 2[π-，端点对即给5分）⒕4，4（填对任何一空给3分，全对给5分）⒖x )21(或x )32(或其他或x a （其中10<<a ）……第1空3分，第2空2分；若第1空填诸如x 2或x a ……本小题给2分三、解答题⒗解：⑴依题意，14sin =πA ……2分，122=⨯A ……3分，2=A ……4分 ⑵（方法一）由⑴得，x x x x f cos sin )4sin(2)(+=+=π……6分由51)(-=αf 得，51cos sin -=+αα……7分51cos sin --=αα，22)51cos (sin --=αα……8分251cos 52cos cos 122++=-ααα……9分，02512cos 51cos 2=-+αα……10分解得53cos =α或54cos -=α……11分∵α是第二象限角，0cos <α，∴54cos -=α……12分（方法二）由⑴得，)4sin(2)(π+=x x f ……5分由51)(-=αf 得，102)4sin(-=+πα……6分 ∵α是第二象限角，ππαππ+<<+k k 222，4524432πππαππ+<+<+k k ……7分，∴4πα+是第二或第三象限角（由0102)4sin(<-=+πα知4πα+是第三象限角），1027)4(sin 1)4cos(2-=+--=+παπα……9分（列式1分，计算1分） 4sin )4sin(4cos )4cos(]4)4cos[(cos ππαππαππαα+++=-+=……11分 5422102221027-=⨯-⨯-=……12分⒘证明与求解：⑴设⊙O 所在的平面为α，依题意，PA α⊥，BC α⊂，∴PA ⊥BC ……2分∵AB 是⊙O 的直径，C 是圆周上不同于A 、B 的一点，∴AC ⊥BC ……3分 ∵PA∩AC=A ，∴BC ⊥平面PAC ……5分∵BC ⊂平面PBC ，∴平面PAC ⊥平面PBC ……7分⑵∵PA α⊥，∴三棱锥P -ABC 的体积PA S V ABC ⨯=∆31……9分∵AB=2，∠ABC=30°，AC ⊥BC ，∴AC=1，BC=3……11分 2321=⨯⨯=∆BC AC S ABC ……13分 332233131=⨯⨯=⨯=∆PA S V ABC ……14分⒙解：⑴2)11()1(211-=+-=a ……2分⑵]1)1[()1()1()1(212++-++-=+n n b n n n ……3分]11)1[()1(221--++-=+n n n ……5分，)12()1(1+-=+n n ……6分 ⑶由已知，99531100b b b b S +++=……8分1991173++++= ……10分250)1993(⨯+=……13分，5050=……14分⒚解：设房屋地面长为x m ，宽为y m ，总造价为z 元（x ，y ，0>z ），则12=xy ……1分52008003212003+⨯⨯+⨯=x y z ……4分∵x y 12=，∴52004800360012++⨯=x xz ……5分 ∵x ，0>y ，∴520048003600122+⨯⨯≥z ……8分，34000=……9分当x x4800360012=⨯时……10分，即3=x 时，z 取最小值，最小值为34000元……11分答：房屋地面长3m ，宽4m 时，总造价最低，最低总造价为34000元……12分⒛解：⑴（方法一）依题意，设椭圆C 的标准方程为12222=+b y a x （0>>b a ）……1分||||221PF PF a +=……2分，261)43(1)43(2222=+-+++=，∴23=a ……4分4=c ……5分，∴2222=-=c a b ……6分椭圆C 的标准方程为121822=+y x ……7分 （方法二）依题意，设椭圆C 的标准方程为12222=+b y a x （0>>b a ）……1分∵4=c ……2分，∴162222+=+=b c b a ，1162222=++b y b x ……3分 ∵点) 1 , 3(P 在椭圆C 上，∴1116922=++bb ……4分 016624=-+b b ……5分，解得22=b 或82-=b （负值舍去）……6分 181622=+=b a ，椭圆C 的标准方程为121822=+y x ……7分 ⑵)212 , 272()1 , 1()1 , 7(212121+--=-+--=+=λλλλPF PF ……9分 点M 的坐标为)212 , 272(+--λλM ……10分∵点M 在椭圆C 上，∴1)212(21)272(18122=+-+-⨯λλ……11分即074202=-+λλ……12分，解得21=λ或107-=λ……14分21．解：⑴223)(2/++=x ax x f ……1分，所求切线的斜率2)0(/==f k ……2分所求切线方程为)0()0(-=-x k f y （或)0(f kx y +=）……3分 即12-=x y ……4分⑵（方法一）由312)(23≤-++=x x ax x f ，作函数x xx x g 124)(23--=，其中4] , (00) , 2 [ -∈x ……5分)2)(6(11412)(4234/-+=++-=x x x g ……6分由上表可知，0) , 2 [-∈∀x ，21)2()(-=-≤g x g ；4] , (0∈∀x ，21)2()(-=≥g x g……11分由312)(23≤-++=x x ax x f ，当4] , (0∈x 时，x xx a 12423--≤，a 的取值范围为]21 , (--∞，当0) , 2 [-∈x 时，x x x a 12423--≥，a 的取值范围为) , 21[∞+-……13分∵⎭⎬⎫⎩⎨⎧-=∞+---∞21) , 21[]21 , ( ，31)0(≤-=f 恒成立，∴21-=a ……14分（方法二）0≥a 时，232364)4(≥+=a f 不符合题意……5分0<a 时，解0223)(2/=++=x ax x f 得a a x 36111-+-=，aax 36112---=……8分，由⎩⎨⎧≤+=32364)4(a f ……10分，解得16521-≤≤-a ……11分此时416122<--=a x ，2161236111->+--=-+-=a a a x ……12分∴312)(222322≤-++=x x ax x f ，即0124222≤-+x x ，262≤≤-x ……13分 解216122≤--=a x 得21-≤a ，综上所述21-=a ……14分。
